二倍角公式专项练习
三角函数专项练习
三角函数专项练习一．选择题（共6小题）1．已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同2．若sin2α＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．若α为第三象限，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣14．已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称B．函数f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）的图象在（，π）上单调递减D．函数f（x）的图象在（，π）上单调递增二．解答题（共20小题）7．已知函数．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求f（α）的值；（Ⅱ）若，求f（x）的值域．8．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），（1）求的值；（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．9．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（1）求的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和最小值．10．已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求的值．11．函数称为“双曲正弦函数”，类似地，函数称为“双曲余弦函数”．（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）①sinh2x+cosh2x=1；②sinh2x=2sinhx•coshy；③cosh2x=cosh2x﹣sinh2x．（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．12．已知函数f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的最值．13．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．14．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=Asin（x﹣）（A≠0）．（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？15．已知函数．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）若的值．（3）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线平行直线，求x0的值．16．设函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（﹣π＜ϕ＜0），若函数y=f（x）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线x=．（1）求ω，ϕ的值；（2）求函数y=f（x）的单调增区间；（3）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．17．已知：函数f（x）=的最小正周期为3π（ω＞0），且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0，（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．18．已知函数f（x）=a﹣bcos（2x+）（b＞0）的最大值为，最小值为﹣．（1）求a，b的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合．19．已知向量=（sin2x，﹣），=（，cos2x），函数f（x）=•．（Ⅰ）试用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象（要求列表）；（Ⅱ）求方程f（x）=m（0＜m＜1）在[﹣，]内的所有实数根之和．20．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．21．已知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）若a∈[0，π]且f（a）=2，求a；（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，求θ的最小值．22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜满足下列条件：①周期T=π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α，β∈（0，），f（α﹣）=﹣，f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．23．函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．24．已知函数f（x）=2sinx+1．（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若f（ωx）在区间上单调递增，求实数ω的取值范围；（Ⅱ）设集合，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A∪B=B，求实数m的取值范围．25．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）若∠PBC=，求PQ的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．26．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011•番禺区校级模拟）已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同【分析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．【解答】解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），∴r==5|k|=﹣5k，∴sinθ==﹣，cosθ==，∴2sinθ+cosθ=2（﹣）+=﹣故选B．【点评】本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查，解题时若没有字母系数的符合，我们就得讨论两种情况，在两种情况下，分别做出角的三角函数值，再进行运算．2．（2015•天津模拟）若sin2α＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】cosα＜0，确定α的象限，sin2α＞0，确定sinα的范围，再确定α的范围；然后推出结论．【解答】解：由cosα＜0，可知α是二，三象限角；由sin2α=2sinαcosα＞0，可得sinα＜0可知：α是三、四象限角；所以α是第三象限角故选C．【点评】本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦，考查分析问题解决问题的能力，是基础题3．（2013•衡水校级模拟）若α为第三象限，则的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【分析】对于根号内的三角函数式，通过平方关系sin2α+cos2α=1，去掉根号，注意三角函数值的正负号，最后化简即得．【解答】解：∵α为第三象限，∴sinα＜0，cosα＜0则=．故选：B．【点评】本题考查三角函数的同角公式，同角三角函数的基本关系主要是指：平方关系和商数关系，它反映了同一个角的不同三角函数间的联系，其精髓在“同角”．4．（2016春•内江期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【分析】由条件可得sinCcosB=cosCsinB，故sin（C﹣B）=0，再由﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，从而得到此三角形为等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，，则ccosB=bcosC，由正弦定理可得sinCcosB=cosCsinB，∴sin（C﹣B）=0，又﹣π＜C﹣B＜π，∴C﹣B=0，故此三角形为等腰三角形，故选C．【点评】本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（C﹣B）=0 及﹣π＜C﹣B＜π，是解题的关键．5．（2016•福建模拟）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，诱导公式的应用，属于基础题．6．（2015秋•潍坊校级期末）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称B．函数f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）的图象在（，π）上单调递减D．函数f（x）的图象在（，π）上单调递增【分析】根据三角函数的周期性求出ω，结合三角函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为4π，∴T==4π，即ω=，则函数f（x）=sin（2×x﹣）=sin（x﹣），则f（）=sin（×﹣）=sin（﹣）≠0，且f（）≠±1，则函数f（x）的图象关于点（，0）不对称，且关于直线x=不对称，当＜x＜π时，＜x＜，＜x﹣＜，此时函数f（x）为增函数，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的周期的应用，根据条件求出ω是解决本题的关键．结合三角函数的单调性和对称性进行求解是解决本题的关键．二．解答题（共20小题）7．（2015•抚州校级一模）已知函数．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求f（α）的值；（Ⅱ）若，求f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）因为点在角α的终边上，所以，，化简f（α）=2sinαcosα﹣2sin2α，把，代入运算得到结果．（Ⅱ）化简f（x）=，根据x的范围得到，从而求得f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）因为点在角α的终边上，所以，，所以=．（Ⅱ）==，因为，所以，所以，所以f（x）的值域是[﹣2，1]．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，三角恒等变换是解题的关键．8．（2015秋•丰城市校级期末）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），（1）求的值；（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα的值，再利用诱导公式求得所给式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（﹣4，3）∴r=5，sinα=，cosα=，∴===．（2）sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1=sinαcosα+2cos2α=×（﹣）+2×=．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．9．（2015•龙川县校级模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（1）求的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和最小值．【分析】（1）利用二倍角、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，代入求出函数的值即可．（2）结合（1）的结论，利用周期公式求出函数的最小正周期，求出最小值即可．【解答】解：（1）f（x）=cos2x+1+sin2x=，（6分）∴．（8分）（2）由（1）可知，∴函数f（x）的最小正周期．（10分）函数f（x）的最小值为．（12分）【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，周期的求法，最值的求法，考查计算能力，常规题目．10．（2016秋•雁峰区校级月考）已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求的值．【分析】先由A、B、C三点的坐标，求出的坐标，再根据，列出一个关于α的方程，可将问题转化为简单的三角函数化简求值问题．【解答】解：（1）∵，，∴，．由得sinα=cosα．又，∴．（2）由，得（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1，∴，∴．又由，∴，∴．故=．【点评】解决此题的关键是：熟练掌握向量数量积公式以及三角函数的变换方法．已知某三角函数值、求其它三角函数的值．一般先化简，再求值．化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简．11．（2014秋•北京校级期末）函数称为“双曲正弦函数”，类似地，函数称为“双曲余弦函数”．（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是②．（填写序号）①sinh2x+cosh2x=1；②sinh2x=2sinhx•coshy；③cosh2x=cosh2x﹣sinh2x．（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．【分析】（Ⅰ）利用奇函数的定义判断双曲正弦函数的奇偶性；（Ⅱ）对选项分别进行判断，即可得出结论；（Ⅲ）（Ⅲ）y=tanhx=，e2x=，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（﹣hx）==﹣sinhx，∴双曲正弦函数是奇函数；（Ⅱ）①sinh2x+cosh2x=+≠1，不正确；②sinh2x═=2sinhx•coshy，正确；③cosh2x﹣sinh2x=﹣≠cosh2x，不正确．（Ⅲ）y=tanhx=，∴e2x=tanh2x===﹣．故答案为：②．【点评】本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的能力．12．（2015春•德宏州校级期中）已知函数f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的最值．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）+，由周期公式可得；（2）由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2x=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[0，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴sin（2x+）+∈[，]，∴f（x）的最小值为，最大值为【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数公式周期性，属基础题．13．（2016•潍坊二模）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．【分析】（1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得ω值，代点（，2）可得φ值，可得解析式，再由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得；（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcosB，计算可得．【解答】解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足T=﹣=，解得T=π，∴ω===2，故f（x）=2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），故2sin（2×+φ）=2，故sin（+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+），由x∈[﹣，]可得2x+∈[0，]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴2sin（2x+）∈[0，2]，故函数的值域为[0，2]；（2）∵在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，∴f（A）=2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，结合三角形内角的范围可得2A+=，A=，由余弦定理可得BC2=32+22﹣2×3×2×，BC=，∴cosB==，故sinB==，∴sin2B=2sinBcosB=2××=【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，涉及正余弦定理解三角形以及三角函数的值域，属中档题．14．（2014秋•宿豫区校级期中）已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=Asin（x﹣）（A≠0）．（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？【分析】（1）用换元法，设t=sinx，x∈[0，]，化为求关于t的函数在闭区间上的最大值即可；（2）用换元法，设t=sinx，化为t∈[﹣1，1]上讨论方程2t2﹣2t+1=a解的情况，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1，设t=sinx，x∈[0，]，则0≤t≤1；∴，∴当t=0时，y取得最大值y max=1；…（6分）（2）方程2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1=a，该方程在[0，2π]上有两解，设t=sinx，则方程2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况如下：①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x有两解，（5﹣a）（1﹣a）＜0或△=0；∴a∈（1，5）或；②当t=﹣1时，x有惟一解，③当t=1时，x有惟一解，综上，当a∈（1，5）或时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解．…（16分）【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应利用换元法，把三角函数化为研究普通函数在某一区间上的性质问题，是中档题．15．（2013春•船营区校级期中）已知函数．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）若的值．（3）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线平行直线，求x0的值．【分析】（1）根据分式有意义的条件可得，cosx≠0，求解即可得函数的定义域；利用二倍角公式及辅助角对函数化简可得f（x）=，结合正弦函数性质可求函数的值域，（2）由于cos2x=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故需要求sin（x+），cos（x+），代入可求sin（x+），结合已知条件中x的范围可求cos（x+），然后代入可求，（3）对函数求导可得，f/（x）=cosx﹣sinx代入已知可得，=从而可得结合可求．【解答】解（1）=（2分）由，∴（4分）（6分）（2）∵，∴．∴（7分）∵，∴∴（8分）∴=2sin（x+）cos（x+）=（10分）（3）f/（x）=cosx﹣sinx由题意得=（12分）∴又∵∴（14分）【点评】本题主要考查了正弦函数的定义域及值域的求解，辅助角公式的应用，导数的基本运算，及由三角函数值求解角等知识的综合运用．16．（2016春•长治校级期中）设函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（﹣π＜ϕ＜0），若函数y=f（x）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线x=．（1）求ω，ϕ的值；（2）求函数y=f（x）的单调增区间；（3）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（1）利用正弦函数的图象的周期性求得ω的值，利用正弦函数的图象的对称性求得φ，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数y=f（x）的单调增区间．（3）利用五点法作图，作出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【解答】解：（1）函数y=f（x）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，∴=，∴ω=2．又函数图象的一条对称轴是直线，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，∵﹣π＜ϕ＜0，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣）．（2）由（1）可知，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+求得：kπ+≤x≤kπ+，可得函数y=f（x）的单调增区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）∵x∈[0，π]，则2x﹣∈[﹣，]，列表：X0 π0 π﹣2 2．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，五点法作图，属于中档题．17．（2013秋•和平区校级月考）已知：函数f（x）=的最小正周期为3π（ω＞0），且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0，（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．【分析】（1）利用三角函数公式将函数进行化简，利用最小周期和最小值即可求函数f（x）的表达式；（2）根据条件f（C）=1，建立方程关系，求出C的值，然后根据三角公式即可求出sinA的值．【解答】解：（1）f（x）==，∵函数f（x）的周期为3π，即，∴，因此，函数f（x）的解析式是，∵x∈[0，π]，∴，，∴，即f（x）的最小值为m，即m=0，∴．（2）∵，∴，∵C∈（0，π），∴，即，解得C=．∵在Rt△ABC中，A+B=，有2sin2B=cosB+cos（A﹣C）∴2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，即sin2A+sinA﹣1=0，解得，∵0＜sinA＜1，∴．【点评】本题主要考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点，要求熟练掌握三角函数的公式，属于中档题．18．（2014秋•高邮市校级期末）已知函数f（x）=a﹣bcos（2x+）（b＞0）的最大值为，最小值为﹣．（1）求a，b的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合．【分析】（1）根据余弦函数的性质可分别表示出函数的最大和最小值，进而联立方程气的a和b的值．（2）根据（1）中求得a和b的值，得到函数的解析式，根据x的范围确定x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得最小值和对应的x的集合．【解答】解：（1），∵b＞0，∴﹣b＜0，；∴；（2）由（1）知：∴，∴g（x）∈[﹣2，2]，∴g（x）的最小值为﹣2，对应x的集合为．【点评】本题主要考查了三角函数的最值问题，三角函数的单调性和值域问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．19．（2015春•南安市校级期中）已知向量=（sin2x，﹣），=（，cos2x），函数f（x）=•．（Ⅰ）试用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象（要求列表）；（Ⅱ）求方程f（x）=m（0＜m＜1）在[﹣，]内的所有实数根之和．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的表达式，然后利用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象；（Ⅱ）利用函数f（x）=m在[﹣，]内对称性，求出相应的对称轴，进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…（2分）2x﹣xf（x）0 1 0 ﹣1 0…（4分）通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数f（x）在一个周期内的图象如下图所示：…（6分）（Ⅱ）∵y=sin（2x﹣）的周期t=π，∴y=sin（2x﹣）在[﹣，]内有3个周期．…（7分）令2x﹣=kπ+，k∈Z，∴x=+，k∈Z，即函数y=sin（2x﹣）的对称轴为x=+，k∈Z．…（8分）又x∈[﹣，]，则2x﹣∈[﹣，]，且0＜m＜1，∴f（x）=m（0＜m＜1）在[﹣，]内有6个实根，…（9分）不妨从小到大依次设为x i，（i=1，2，3，4，5，6），则，=，=即x1+x2=，x3+x4=，x5+x6=，∴所有实数根之和=x1+x2+x3+x4+x5+x6=++=．…（12分）【点评】本题主要考查三角函数的图象做法，要掌握五点法作图，同时利用三角函数的对称性是解决本题的关键．20．（2016秋•铁岭月考）函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的最值以及周期性，求得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）由题意A=1，将点（0，）代入解得，，再根据，结合0＜ϖ＜4，所以ϖ=2，．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数的图象．（2）函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1=2sin（2x+），故函数的周期T=π．对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），故|x1﹣x2|的最小值为．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（2016•湖北模拟）已知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）若a∈[0，π]且f（a）=2，求a；（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，求θ的最小值．【分析】（Ⅰ）有条阿金利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用f（a）=2，求得a的值．（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），∵a∈[0，π]，∴a+∈[，]，∵f（a）=2sin（a+）=2，∴sin（a+）=，∴a+=，∴a=．（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin（2x﹣2θ+）的图象，再结合得到的图象关于直线x=对称，可得﹣2θ+=kπ+，求得θ=﹣，k∈Z，故θ的最小值为．【点评】本题主要考查辅助角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．22．（2016•临沂一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜满足下列条件：①周期T=π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α，β∈（0，），f（α﹣）=﹣，f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；（Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，由题意，g（x）的图象关于y轴对称，∴2×+φ=+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）；又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，得2sin（2α﹣+）=﹣，2sin（2β++）=，∴cos2α=，cos2β=；又α、β∈（0，），∴2α、2β∈（0，），∴sin2α=，sin2β=，∴cos（2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β=×+×=．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒定变换应用问题，是基础题目．23．（2015•东阳市模拟）函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．【分析】（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．【解答】解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．24．（2013秋•延庆县期末）已知函数f（x）=2sinx+1．（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若f（ωx）在区间上单调递增，求实数ω的取值范围；（Ⅱ）设集合，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A∪B=B，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[﹣，]，ω＞0，可得x∈[﹣，]，利用f（ωx）在区间上单调递增，可得不等式组，解不等式组，即可求实数ω的取值范围；（Ⅱ）求出函数的值域，根据A∪B=B，可得A⊆B，从而可得不等式组，解不等式，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[﹣，]，ω＞0，可得x∈[﹣，]，∵f（ωx）在区间上单调递增，∴，∴0＜ω≤；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵|f（x）﹣m|＜2，∴m﹣2＜f（x）＜m+2，∵，∴，∴2≤f（x）≤3，∴，∴1＜m＜4．【点评】本题考查三角函数的性质，考查函数的值域，考查集合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦函数的单调性是关键．25．（2016秋•句容市期中）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）若∠PBC=，求PQ的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【分析】（1）作出辅助线，根据梯形的性质求出PQ的长即可；（2）设∠PBP1=θ，求出PQ的长，得到总路径长f（θ）的表达式，通过求导得到函数的单调性，从而求出去最小值时θ的值，即P点的位置即可．【解答】解．（1）如图示：，连接BP，过P作PP1⊥BC，垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，在Rt△PBP1中，，PQ=1；（2）设∠PBP1=θ，，∴，在Rt△QBQ1中，，∴总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），f′（θ）=sinθ﹣cosθ﹣1=2sin（θ﹣）﹣1，令f'（θ）=0，，当时，f'（θ）＜0，当时，f'（θ）＞0，所以当时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．【点评】本题考查了数形结合思想，考查三角函数问题以及导数的应用，是一道中档题．26．（2016•徐汇区一模）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【分析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；（2）记，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）（2）记，则sinx+pcosx=2，则有，解得或﹣（10分）由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．11。
高中数学(人教A版)必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习(含答案解析)
试卷第1页，共35页高中数学（人教A 版）必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习（含答案解析）一、填空题1．已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.【分析】分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ ，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入1121221121221111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.【详解】 因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+， 所以()()()()()111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++- ()1212121222223cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣⎦=+ ()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦1122112211z z z z z z z z --=++ 由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-， 当12π3θθ-=时，12ππ33cos isin 332z z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1122112211z z z z z z z z --=====++，当12π3θθ-=-时，12ππ33cos isin 332z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1122112211z z z z z z z z --====++综上所述：1212z z z z -+2．化简：366384500i i i ++=___________.【答案】1【分析】根据复数的乘方法则计算可得.【详解】解：因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以3663845004912941265421i i 1i i i 1i i ⨯⨯+⨯++=+=++=+ 故答案为：13．已知复数21iz =+，则z =__________．【分析】根据复数的除法运算可得1i z =-，结合复数的几何意义即可求出模.【详解】 由21i z =+，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z ==4．已知2i z =+，则z =________【答案】2i -##【分析】直接根据共轭复数的概念得答案.【详解】i 2z =+试卷第3页，共35页2i z ∴=-故答案为：2i -.5．复数13i 3i+-的虚部是__________． 【答案】1【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】 因为()()()13i 3i 13i 10i i 3i 3i 3i 10+++===--+（），所以虚部为1. 故答案为：16．已知复数z 为纯虚数，若()2i i z a -=+（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为___________. 【答案】12##【分析】 先利用复数的除法运算化简i 2i a z +=-，再根据实部等于0虚部不等于0即可求得a 的值. 【详解】由()2i i z a -=+可得()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a z ++-+++-+====+--+， 若212i 55a a z -+=+为纯虚数，则2105205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ 可得12a =， 故答案为：12.7．若关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，则m 的取值范围是________．【答案】()4,8【分析】根据关于x 的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由∆<0求解.【详解】因为关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，所以()()24380m m ∆=---<，即212320m m -+<，即 ()()480m m --<，解得 48m <<，所以m 的取值范围是()4,8，故答案为：()4,88．i 是虚数单位，复数52i=-___________. 【答案】2i +##【分析】分子分母同时乘以2i +即可得解.【详解】()()()52i 52i 2i 2i 2i +==+--+. 故答案为：2i +9．若复数z 满足()1i 3i z +=+，则=z ___________.【答案】2+i +2【分析】根据复数的除法运算先求出z ，进而求出z .【详解】 由题意，()()3i 1i 3i 42i 2i 2i 1i 22z z +-+-====-⇒=++. 故答案为：2i +.10．已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答.【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-， 由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，试卷第5页，共35页于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =， 所以m 的值是52. 故答案为：5211．已知()12i i z +=（i 为虚数单位），则z =___________.【答案】1i +##【分析】根据复数代数的四则运算计算即可.【详解】()i 12i z +=,()()()()212=1111i i i i i i i i i 1z -∴==-=+++-. 故答案为：1i z =+. 12．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则i a +的模为________．【分析】 根据复数的乘除法运算求出i 2i a -+，再根据i 2i a -+为实数求出a ，从而可得出答案. 【详解】 解：()()()()()i 2i 212i i 2i 2i 2i 5a a a a ----+-==++-， 因为i 2i a -+为实数，所以20a +=，所以2a =-，则i 2i a +=-+=13．已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．【答案】1-或6【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =．故答案为：1-或6.14．若i 是虚数单位，则12i 2i++的虚部为___________. 【答案】35## 【分析】 先化简12i 2i++，然后可求虚部. 【详解】 因为()()()()12i 2i 12i 43i 2i 2i 2i 5+-++==++-， 所以虚部为35. 故答案为：35##0.6. 15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________.【答案】28i --##【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--.故答案为：28i --16．写出一个同时满足下列条件的复数z =________.①5z =；②复数z 在复平面内对应的点在第四象限.【答案】34i z =-（答案不唯一）【分析】根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.【详解】不妨令34i z =-，则5z ==，复数z 在复平面内对应的点()3,4-位于第四象限，满足①②，故34i z =-符合题意（答案不唯一）.故答案为：34i z =-（答案不唯一）试卷第7页，共35页17．已知复数2i 2iz -=+（i 为虚数单位），则z 的模为______． 【答案】1【分析】 利用复数的除法运算求出复数z 即可计算作答.【详解】 依题意，2(2i)34i 34i (2i)(2i)555z --===-+-，则||1z =， 所以z 的模为1.故答案为：118．已知i为虚数单位，复数11z =，在复平面中将1z 绕着原点逆时针旋转165°得到2z ，则2z =______.【答案】【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】解：11z =在复平面内对应的点为(A ，所以2OA =，且OA 与x 轴正方向的夹角为60︒，将其逆时针旋转165︒后落在第三象限，且与x 轴负半轴的夹角为6016518045︒+︒-︒=︒，所以对应的点为(，所以2z =．故答案为：．19．设i 为虚数单位，则3i 1i+=+________. 【答案】2i -##【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；【详解】解：()()()()2223i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 1i +-+-+-===-++-- 故答案为：2i -20．已知复数2i 1iz +=-，则复数z 的虚部为________【答案】32##【分析】根据复数除法运算得13i22z=+，进而得答案.【详解】解：()()()()2i1i2i13i13i 1i1i1i222 z++++====+ --+所以复数z的虚部为3 2故答案为：3 221．已知复数1i3iaz+=+为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数=a______．【答案】3-【分析】应用复数的除法化简z，再根据其为纯虚数可得30310aa+=⎧⎨-≠⎩，即可求参数a.【详解】由题设，1i(1i)(3i)(3)(31)i3i(3i)(3i)10a a a az++-++-===++-为纯虚数，∴30310aa+=⎧⎨-≠⎩，可得3a=-.故答案为：3-.22．复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是________．【答案】11i 22 --【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的共轭复数概念求解.【详解】因为复数()()()i1ii11i1i1i1i22+==-+--+，所以复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是11i22--，故答案为：11i 22 --23．若复数i(1i)z=-，则||z=___________.试卷第9页，共35页【分析】根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得【详解】2i(1i)=i i 1i z =--=+，所以||z24．一颗标有数字16~的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为a b ､，使得复数()()i 4i a b b a +-为实数的概率是___________. 【答案】112【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有66⨯种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，进行复数的乘法运算，得到2b a =的结果，列举出所有情况，得到概率．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有6636⨯=种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，()()22i 4i 5(4)i a b b a ab a b +-=--，要使()()i 4i a b b a +-是一个实数，有2240a b -=，224a b ∴=，2b a ∴=，或2b a =-，因为0a >，0b >，所以2b a =有1a =，2b =；2a =，4b =；3a =，6b =，共有3种结果，∴由古典概型得到概率313612P ， 故答案为：112． 25．已知复数z 满足(2i)12i z ⋅+=+，则z =_______.【答案】43i 55+ 【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】由(2i)12i z ⋅+=+可得()()()()212i 2i 12i 23i 2i 43i 43i 2i 2i 2i 5555z +-++-+=====+++-， 故答案为：43i 55+. 26．已知复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a _______．【答案】2【分析】根据题意得2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数所以2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，解得2a = 故答案为：227．已知复数32i z =+（i 为虚数单位），则2z 的虚部为______．【答案】12【分析】先求出2z ，然后可得其虚部，得到答案.【详解】由复数32i z =+，则()2232i 912i 4512i z +=+-=+=所以2z 的虚部为12故答案为：1228．已知i 是虚数单位，若()2i i ,1ia b a b +=+∈+R ，则()lg a b +的值为______. 【答案】0【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.【详解】 因为()()2i 212i i i 312i +-+-==+i i 3122a b =-=+， 所以31,,122a b a b ==-+=，()lg 0a b +=. 故答案为: 0试卷第11页，共35页29．已知a ∈R ，复数3(3i)(12i)z a =+--+的实部与虚部相等，则=a ___________.【答案】2【分析】根据复数的相关概念列式，解方程.【详解】因为3(3i)(12i)(31)7i z a a =+--+=++，所以317a +=，解得2a =，故答案为：2.30．设i 是虚数单位，若复数()i 1ia z a =+∈+R 是实数，则a 的值为______． 【答案】2【分析】根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可.【详解】 复数()()()1i i=i 1i 1i 1i a a z -=++++- 1i 22a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为原复数是实数，故得到1022a a -=⇒= 故答案为：2 31．在复平面上，A 、B 表示复数α、β)(0α≠对应的点，若)(1i βα=+，则AOB ∠=______． 【答案】4π 【分析】利用三角形式的复数除法表示即可得出答案.【详解】0α≠，)(1i βα=+，1i cos sin 44βππα⎫∴=+=+⎪⎭， ∴AOB ∠=4π.故答案为：4π 32．若1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=______．【答案】4-【分析】将1i -代入方程可得()()2i 0p q p +-+=，即可求出.【详解】因为1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，所以()()21i 1i 0p q -+-+=，即212i i i 0p p q -++-+=，整理得()()2i 0p q p +-+=， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，则4p q ⋅=-. 故答案为：4-.33．已知i 是虚数单位，若复数()i 1i z =⋅+，则z =____________.【分析】化简复数，再代入模长计算公式即可.【详解】化简原式，得()2i 1i i i 1i =⋅+=+=-+z ，所以z =34．()()12i 34i +÷-=______. 【答案】12i 55-+ 【分析】根据复数的四则运算规则计算即可.【详解】根据复数的四则运算规则得，原式=()()()()12i 34i 12i 12i 12i 34i 34i 34i 555+++-+===-+--+ 故答案为：12i 55-+.试卷第13页，共35页 35．复数()i 1i +的虚部为______．【答案】1【分析】利用复数乘法计算公式化简后，即得复数的虚部.【详解】()2i 1i i i 1i +=+=-+，所以复数()i 1i +的虚部为1.故答案为：136．若复数z 满足：22240z az a -++=，且|z |a ＝_____．【答案】±1【分析】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根，由复数的性质可得i z x y =-是另外一个根，进而可得22||4z z z a =⋅=+，即可求a 的值．【详解】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根， ∴i z x y =-是22240z az a -++=的另一个根， 由22||4z z z a =⋅=+＝5，即a 2＝1，解得a ＝±1；故答案为：±1．37．已知复数z 满足：2i i 0z ++=（i 为虚数单位），则||z =___________.【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出z ，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为2i i 0z ++=，所以2i i z +=-，所以()22i i 2i 12i i i z ++===-+--，所以12i z =--，所以z ==38．已知i 是虚数单位，复数3i 1i++＝______． 【答案】2i -##【分析】利用复数的除法法则化简复数3i 1i++即可求解. 【详解】 ()()()()23i 1i 3i 3i 3i i 2i 1i 1i 1i 2+-++--===-++-. 故答案为：2i -.39．设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______【答案】5π【分析】 依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解；【详解】 解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，试卷第15页，共35页所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π40．若|2|2z +=，则|14i |z --取值范围是______【答案】[3，7]【分析】根据复数的几何意义z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，求出z 对应的点到()1,4的距离的最值即可.【详解】根据复数的几何意义可得|2|2z +=表示z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，则|14i |z --表示z 对应的点到()1,4的距离，设为d ，则()2,0-到()1,4-5=，所以min 523d =-=，max 527d =+=，所以|14i |z --取值范围是[]3,7.故答案为：[]3,7.41．在复数范围内因式分解：41x -=______【答案】()())1i ((1i )x x x x +-+-【分析】利用二倍角公式及2i 1=-计算可得；【详解】解：()()()()()()()()422222111i 111i i x x x x x x x x x -=+-=--=+-+-故答案为：()()()()11i i x x x x +-+-42．设a ∈C ，a ≠0，化简：i 1i a a -+=______ . 【答案】－i【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()()22221i i 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a -+------====-++-++，故答案为：－i.43．设m R ∈，如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则m =______【答案】1-【分析】根据复数代数形式的乘法及复数为实数的充要条件得到方程，计算可得；【详解】解：复数223(i)(1i)()(1)i m m m m m ++=-++是实数，310m ∴+=，解得1m =-，故答案为：1-．44．设a R ∈，复数134i z =-，22i z a =+，若12z z是纯虚数，则a =______ 【答案】83 【分析】 利用复数的除法运算化简求出12z z ，再根据纯虚数的定义即可求出. 【详解】因为134i z =-，22i z a =+， 则()()()()21222234i 2i 34i 36i 4i 8i 3846i 2i 2i 2i 444a z a a a a z a a a a a a -----+-+====-++-+++， 因为12z z 是纯虚数，所以2238044604a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+-≠+⎩=+，解得83a =. 故答案为：83. 45．设a ∈R ，若(3a 2-2a -1)＋(9a 2-1)i 是纯虚数，则a ＝______.【答案】1【分析】纯虚数实部为零，虚部不为零，据此可求a 的值.【详解】由题知2232101910a a a a ⎧--=⇒=⎨-≠⎩， 故答案为：1.46．已知复数(23)z i i =-，则复数z 的虚部为______【答案】3试卷第17页，共35页【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数z 的值，然后求出复数z 的共轭复数z ，最后写出z 的虚部.【详解】(23)23z i i i =-=--，23z i ∴=-+， 所以复数z 的虚部为3.，答案为：3.47．已知z C ∈，若()i 2z z z z +=-=，则z =______【答案】1i -##【分析】设i z a b =+，根据已知可求出,a b .【详解】设i z a b =+，则i z a b =-， 则22z z a +==，解得1a =， 由()i 2i i 22z z b b -=⋅=-=，解得1b =-.所以1i z =-.故答案为：1i -.48．计算：12i +=_______【分析】根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：12i =+49．复数512i 2i z -=+的实部为______. 【答案】0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：512i 12i (12i)(2i)5i i 2i 2i (2i)(2i)5z -----=====-+++- 所以复数512i 2i z -=+的实部为0； 故答案为：050．已知复数z 满足()1i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z =________【分析】 将式子变形再运用复数的运算法则得到341712i i z i ---==+，根据复数模的公式求得结果即可.【详解】复数z 满足()1i 34i z +=-，变形得到()()()()134********i i i i z i i i -----===+-+||z =51．设i 为虚数单位，若复数()()12i 2i z =+-，则z 的实部与虚部的和为___________.【答案】7【分析】利用复数的乘法化简复数z ，即可求得结果.【详解】因为()()12i 2i 43i z =+-=+，因此，复数z 的实部与虚部之和为437+=. 故答案为：7.52．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=___________.【答案】2i -+【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+53．已知复数z 的虚部为1，且||2z =，则z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离为试卷第19页，共35页 ___________.【分析】由题意设z 对应点为(,1)x 且22||1z x =+，结合已知可得||=x ，即知z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离.【详解】由题意，设z 对应点为(,1)x ，则22||14z x =+=，∴23x =，则||=x∴z 在复平面内所对应的点z54．在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误. 设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()12i z z ac bd ad bc⋅=-++=12z z ⋅2）正确. 222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）55．设复数z 满足1z z =+，且11z z -+是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：z =___________.【答案】12- 【分析】设出复数z 的代数形式，由1z z =+求出z 的实部，然后由11z z -+是纯虚数列式即可计算作答.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R ，由1z z =+，可得2222(1)x y x y +=++，解得12x =-， 又11z z -+是纯虚数，设1i(1z t t z -=∈+R 且0)t ≠，则31i i 22y ty t -+=-+，则3212ty y t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得y =所以12z =-或12z =-.故答案为：12z =- 56．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是______． ①如果12z z R +∈，则12,z z 互为共轭复数；②如果复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=； ③如果2z z =，则||1z =； ④1212z z z z =．【答案】④【分析】根据复数的概念，复数的模的定义判断．【详解】12i z =+，23i z =-时，125z z R +=∈，但12,z z 不是共轭复数，①错； 如11z =，2i z =，则可得1212z z z z +=-120z z ≠，②错； 当0z =时，20z z ==，③错；只有④正确（可证明如下：设12i,i z a b z c d =+=+（,,,a b c d R ∈）．12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++===12z z=）故答案为：④．57．设m、n∈R，且2i1i1imn+=--（i为虚数单位），则im n+=_________．【答案】5【分析】利用复数相等可求得实数m、n的值，再利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得()()()()2i1i1i11im n n n+=--=--+，得()112n mn-=⎧⎨-+=⎩，解得43mn=⎧⎨=-⎩，故i43i5m n+=-==.故答案为：5.58．设2i1iz-=+，则z=___________.【分析】根据题意，结合复数的乘除运算，以及模长公式，即可求解.【详解】根据题意，()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222z-⋅---====-++⋅-，故z=.59．已知复数z满足i1iz⋅=+(i是虚数单位)，则复数z的模等于_______.【分析】利用复数乘法运算求得z，进而求得z的模.【详解】i1iz⋅=+，()()()i i1i i,1i,z z z⋅⋅-=+⋅-=-60．设i是虚数单位，复数2i1iz=-，则z对应的点位于第_____象限【答案】二【分析】试卷第21页，共35页先利用复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义求解.【详解】因为()()()2i 1i 1i 1i 1i z +==-+-+， 所以z 对应的点位于第二象限，故答案为：二61．复数(2i)1i z +=-，则z 的虚部是_________________． 【答案】35## 【分析】根据复数的运算求出复数z ，从而求复数z 的虚部.【详解】因为(2i)1i z +=-，所以()()()()1i 2i 1i 13i 13i 2i 2i 2i 555z ----====-++-， 所以z 的虚部是35. 故答案为：35. 62．若复数 z 满足13i 1i z +=-， 则 z =________．【分析】根据复数的运算法则，化简复数为12i z =-+，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】 由复数的运算法则，可得13(13)(1)24121(1i i i i i i i i )(1)2z ++⋅+-+====-+--⋅+，则z63．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则c =_______．【答案】3【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．【详解】1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，试卷第23页，共35页可知1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴(1＝c ，∴c ＝3．故答案为：3．64．复数51i +的虚部是___________.【答案】1【分析】利用2i ＝－1即可计算﹒【详解】∵5221i 1i i i 1i ⋅⋅＋＝＋＝＋，∴51i +的虚部为1．故答案为：1．65．复数13i 3i-+的虚部是___________. 【答案】−1【分析】利用复数的除法运算计算即可.【详解】()()()()1331310i i 33310i i i i i i ----===-++- 复数13i 3i-+的虚部是−1 故答案为，−166．已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．【答案】3【分析】设i z a b =+，结合已知条件求出点(,)a b 在221x y +=上运动，然后将问题转化为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.【详解】不妨设i z a b =+，由||1z =可得，221a b +=，故点(,)a b 在221x y +=上运动，又因为22i z a b -=-+，所以|2|z -=(,)a b 与点(2,0)之间的距离，从而|2|z -的最大值为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，又因为221x y +=是以圆心(0,0)，半径为1的圆，故圆心(0,0)与点(2,0)之间的距离2d ==，从而|2|z -的最大值为13d +=.故答案为：3.67．若复数z 满足1z z ⋅=，则|2i |z -的最大值是______.【答案】3【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，从而求得最大值.【详解】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，则最大值为213+=，故答案为：368．复数i 1ia -在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()0,+∞【分析】根据复数除法运算化简即可得出.【详解】 因为()2i 1i i 1i i i i 1a a a a ----===+-，又在复平面上对应的点位于第一象限，所以0a >. 故答案为：()0,+∞.69．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是12,z z ，则12=z z +__________．【答案】2试卷第25页，共35页【分析】由已知求得12,z z ,进一步求得12z z +.【详解】由题意可知,12i,2i z z ==-.所以()12i 2i 2z z +=+-=故答案为:2.70．若复数12z i =-（i 是虚数单位）是关于x 的方程()20x px q p q R ++=∈，的一个根，则p q +=__________.【答案】3【分析】把12i x =+代入方程20x px q ++=，化简方程，利用相等复数的概念得到p q 、的值，即得p q +的值.【详解】由复数12z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++= 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，故3p q += 故答案为：371．已知复数z 满足i i z z+=，则z =_________. 【答案】11i 22- 【分析】利用给定等式用i 表示出复数z ，再进行复数除法运算即可得解.【详解】因复数z 满足i i z z+=，则i i z z =+，整理得(1i)i z -+=， 则i i (1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z ⋅---====--+-+--， 所以11i 22z =-.故答案为：11i 22- 72．i 为虚数单位，若复数()()1i i 2m ++是纯虚数，则实数m 等于________．【答案】2【分析】计算求出复数，根据纯虚数的定义可得.【详解】()()()()2i 2i 2i 221i 1i i 2m m m m m =+-++++++=，因为()()1i i 2m ++是纯虚数，所以20210m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =. 故答案为：2.73．设i 是虚数单位，计算：43i 12i +=-__________.【答案】12i +##【分析】 计算出43i +，再利用复数的运算法则进行计算【详解】()()()512i 43i 12i 12i 12i 12i ++===+--+ 故答案为：12i +74．i 是虚数单位，复数74i 12i+=+______ 【答案】32i -##【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2274i 12i 74i 714i 4i 8i 1510i 32i 12i 12i 12i 14i 5+-+-+--====-++--， 故答案为：32i -.75．已知i 为虚数单位，则复数()()2i 1i z =+-的虚部为__________.【答案】1-.【分析】应用复数乘法化简复数，即可知虚部.试卷第27页，共35页【详解】由题设，()()2i 1i 3i z =+-=-，∴虚部为1-.故答案为：1-.76．设复数2cos isin 66z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么z 的共轭复数z 的代数形式是______．i【分析】计算i z =，再计算共轭复数得到答案.【详解】2cos isin i 6π6πz ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故i z .i .77．复数12的三角形式是______． 【答案】cos i 33πsin π+ 【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】1cos isin 233ππ+=+. 故答案为：cos i 33πsin π+. 78cos isin 3cos isin 121266ππππ⎫⎛⎫+⋅+⎪ ⎪⎭⎝⎭． 【答案】33i +##【分析】直接利用复数的三角运算性质求解即可【详解】原式cos isin 33i 126126ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 故答案为：33i +79．设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2sin icos 66z ππ⎫=+⎪⎝⎭，则12z z ⋅的三角形式为___________.22cos isin33ππ⎫+⎪⎭【分析】先将12,z z化简，然后计算12z z⋅，再转化为三角形式即可【详解】因为12cos isin133zππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，21sin i cos662zππ⎫⎫+==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12(1z z⎫⋅=⎪⎪⎝⎭2=+=12⎫-⎪⎪⎭22cos isin33ππ⎫=+⎪⎭，22cos isin33ππ⎫+⎪⎭80．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．【答案】86i±+【分析】若复数iz a b+＝【详解】设6iz a+＝，则1010886iz a z⇒⇒±⇒±+＝＝＝﹒故答案为：86i±+81．设复数iz x y=+，x，y∈R，且x y=，则满足1z=的复数z共有______个．【答案】4【分析】方法一(代数运算)：联立方程组求解；方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒试卷第29页，共35页【详解】方法一(代数运算)：由1z ＝，得221x y ＋＝．又x y ＝，联立，解得z ±＝， 故答案为：4方法二(几何意义)：由1z ＝，知复数z 在复平面内对应的点构成一个单位圆．又x y ＝，故复数z 在复平面内对应的点落在直线y x ±＝上，显然直线y x ±＝与单位圆有四个交点， 故答案为：482．若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．【答案】2【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】z =cos 1θ=时，max 2z =，故答案为：2 83．已知复数z 的实部为1，2z =，则z =______．【答案】1【分析】利用复数的模的概念即得.【详解】由题可设1i z b =+，又2z =，2，解得b =∴z =1.故答案为：1.84．已知复数z 满足实部为3，虚部为2-，则复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．【答案】32i --＃＃2i 3--【分析】由题可得32i z =-，结合条件即得.【详解】由题可得32i z =-，∴复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为32i --.故答案为：32i --.85．已知z C ∈，且i 1z +≤，则z 的取值范围为______.【答案】[]0,2【分析】将问题转化为到定点(0,1)的距离小于或等于1的动点所成图形，再应用数形结合法求z 的取值范围.【详解】若i z x y =+且,x y R ∈，则问题转化为到(0,1)的距离小于或等于1的动点(,)x y 所在区域， ∴(,)x y 在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上或内，如下图示：∴z 的取值范围为[]0,2.故答案为：[]0,286．若复数z 满足：()3i i 2i z z z z -⋅++=+，则z =______.试卷第31页，共35页【答案】12-± 【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩求a 、b ，写出复数z .【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，原式化为222i 1i a b a ++=-，则221,21,a b a ⎧+=⎨=-⎩解得1,2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴12z =-.故答案为：12-± 87．当实数m =______时，复数()()223i 456i z m m m m =-+-++⎡⎤⎣⎦为纯虚数.【答案】4【分析】由纯虚数的概念可得22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，求解即可. 【详解】由()223456i z m m m m =--+--为纯虚数，∴22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得4m =. 故答案为：488．已知复数153i z =-，242i z =-+，那么12z z +的共轭复数为______.【答案】1i +##【分析】应用复数的加法及共轭复数的概念，即可得12z z +的共轭复数.【详解】1253i 42i 1i z z +=--+=-，∴12z z +的共轭复数为1i +.故答案为：1i +89．已知复数12i z =+，212i z =+在复平面内对应的点分别为A 、B ，则向量AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第______象限.【答案】二【分析】由题设写出A 、B 的点坐标，进而得到AB 的点坐标，即可判断其对应点所在象限.【详解】由题意，(2,1),(1,2)A B ，故(1,1)AB =-，∴AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第二象限.故答案为：二90．复数31i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的值等于______. 【答案】i -【分析】根据复数的运算直接化简即可.【详解】 由()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2+++===--+， 故331i 1i i i +⎛⎫⎪⎭= ⎝=--， 故答案为：i -.91．复数()52i 34i -+的模为______.【答案】10【分析】由复数的乘法运算可得()52i 34i 2(3i 4)-+=--，再求模即可.【详解】()52i 34i 2(3i 4)-+=--，∴|2(3i 4)|210--==.故答案为：1092．在复平面内，复数53i z =--对应的点的坐标为______.【答案】()5,3--【分析】试卷第33页，共35页复数z ＝a ＋b i 对应的点为(a ，b )【详解】∵53i z =--，∴对应的点的坐标为(－5，－3)，故答案为：(－5，－3)93．复数isin 200cos100z =-︒+︒在复平面上对应的点在第______象限．【答案】二【分析】判断复数的实部和虚部的正负后可得．【详解】由已知cos100sin100︒=-︒<，sin 200sin 200-︒=︒>，实部小于0，虚部大于0，对应点在第二象限．故答案为：二．94．1001i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______.【答案】1【分析】根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.【详解】根据复数的运算规则知，()()()()100100100251i 1i 1i i 111i 1i 1i ⎡⎤+++⎛⎫====⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：1.95．()()()1i 2i 33i -+-=______.【答案】612i -##【分析】根据复数的运算规则计算.【详解】根据复数的运算规则得，()()()()()1i 2i 33i 3i 33i 612i -+-=--=-故答案为：612i -.96．23i ÷=______.【答案】2i 3-## 【分析】根据复数的除法运算即可得出答案.【详解】 解：26i 2i 23i 3i 93-÷===-. 故答案为：2i 3-. 97．()()2i 12i +-+=______.【分析】利用复数的乘法运算即可求解.【详解】()()()()22i 12i 2i 4i 2i 2241i 43i +-+=--++=--+-=-+， 故答案为：43i -+.98．()()()2i 62i 56i +--++=______.【答案】19i +##【分析】直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.【详解】解：()()()()()2i 62i 56i 265126i 19i +--++=-++++=+. 故答案为：19i +.99．()()53i 53i -++=______.【答案】10【分析】根据复数的加法运算，即可求出结果.【详解】()()()()53i 53i 553i 3i 10-++=++-=.故答案为：10.100．已知1i +为方程20ax x b ++=（a ，b 为实数）的根，则a b +=____________. 【答案】32- 【分析】试卷第35页，共35页 利用根与系数关系求得,a b ，由此求得a b +.【详解】依题意1i ±是方程20ax x b ++=的根， 所以111i 1i 22a a ++-==-⇒=-， ()()1i 1i 21bb a +-==⇒=-， 所以32a b +=-. 故答案为：32-。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.3．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．4．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos BAC ∠=，则AD =__________. 6．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．9．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,213．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ）A ．27π B ．25π C ．2π D ．23π14．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥15．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦16．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0C ．1,D ．(),1-∞17．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）A 2B ．33C 5D ．218．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,419．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．920．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．已知函数()cos f x x =. （1）若,αβ为锐角，5()5f αβ+=-， 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.24．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.25．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.26．已知向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知数列()2*11224n n a n f n N ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求{}n a 的前2n 项和2n S .27．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 28．设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）求函数()f x 在R 上的最小值；（2）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．29．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 30．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，2．②④3．20π4．③④ 5．46．28π7．①③8． 3 21,32⎡⎢⎣⎦9．π3##60°10．⎡⎢⎣⎦ 二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．B 15．A 16．D 17．B 18．C 19．A 20．C 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.23．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案.【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用. 24．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 25．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π，22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题26．（1）单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）)22n n +【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可得()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+ ⎪⎝⎭， 再利用三角函数单调区间的求法即可得解；（2）由题意可得()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦，又()()2221241n n n --=-+，则)2442434n S n n =--⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，再利用等差数列求和公式即可得解.【详解】解：（1）向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-≤+≤+，可得71212k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 解得()f x 的单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）因为22112sin 2244n n a n f n n ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦， 又()()2221241n n n --=-+，)2442434n S n n --⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，所以())2234122n n n S n n --+==+．【点睛】本题考查了三角函数单调区间的求法及数列中捆绑求和，属中档题. 27．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =（2，2cos2（ωx +φ）），b =（22，22-），∴f （x ）222222a b =⋅=⨯-⨯cos2（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1．∵0＜φ2π＜，∴φ4π=． ∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin2x π，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．28．（1）2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3）12a -<<-【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值； （2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围. 【详解】解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2a t =-． ①12a-<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=． ②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++．③12a->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f xg t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-． （3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有201,24(1)0,12(0)10,(1)220,a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.29．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1-【解析】 【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+．（2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=-时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 30．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[2]-.【解析】 【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域. 【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24x f x x x x x π-=+-⋅=++， 所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.。
二倍角公式专项练习
二倍角公式专项练习一、选择题1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－43，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )． A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．172．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )． A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D ．2425 3.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos （ ） A ．35 B ．95- C ．95 D ．35- 4.若sin θ－cos θ=－51,且π<θ<2π,则cos2θ等于（ ）A.257 B.－257 C.±257 D.－2512 5．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝( )． A ．－34 B ．－14 C ．34 D ．146．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )．A ．k π，(k ∈Z )B ．k π＋π6，(k ∈Z )C ．k π＋π3，(k ∈Z )D ．－k π－π3，(k ∈Z ) 7．cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值等于（ ） A.26 B.23 C.45 D.1+43 8．(2010年大同模拟)函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数9.若1sin()34πα-=,则cos(2)3πα+=（ ） A ．78- B ．14- C ．14D ．78 10.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 二、填空题1. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝45，则cos2θ＝________．－725 2. 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝________．－793. 已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)＝________．－2234．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.－555. 若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________．12 6.已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________.214- 7.已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+,,则)42sin(πθ-的值为________.2108.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝________．－79 设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=.则cos β的值为____.1665- 9.已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为2 10.．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝__________.13411.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cosx 的最小值是________．－3412．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．π 13．若sin(π－α)＝45，a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于__________．425 14. 已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________．－1 15.设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____.25017 16.在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t - 1,则t 的取值范围是_______.()+∞,2 ; 三、解答题17. 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 解：原式＝2cos 2x （cos 2x －1）＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12－2cos 2xsin 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12－12sin 22x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos2x. 18．设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )(1)化简函数f (x )的表达式，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f (x )的最大值与最小值． 解：(1)∵f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2， ∴当2x ＋π6＝7π6， 即x ＝π2时，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π6＝π2， 即x ＝π6时，f (x )max ＝2. 19. 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωxcos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1) 求ω的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0， 所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 20.已知函数f (x )＝sin 2 ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，23π上的取值范围． 【解析】 (1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0.所以2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵0≤x ≤23π， ∴－π6≤2x －π6≤76π， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12≤32， 即f (x )的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，32.21. (2013·南京三模)已知α、β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210. (1) 求cos2α的值；(2) 求2α－β的值解：(1) (解法1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15. 所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(解法2)因为cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1， 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35.(2) (解法1)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 又cos2α＝－35＜0，故2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin2α＝45. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. (解法2)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.从而2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 因为tan β＝－17，所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－17＝－1. 又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．4．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.5．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.6．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．7．在直角平面坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线()22210y x b b-=>的左、右焦点，过点1F 作圆221x y +=的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,A B ，若2||||F B AB =，则b 的值是_________．8．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 9．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 10．平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．二、单选题11．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣13．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3214．已知02πθ<<，()()cos 1sin 110sin cos f m m m θθθθθ--⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,3D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．如图，设1F ，2F 是双曲线()22210xy a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足12e <<，则双曲线的方程为（ ）A ．2215x y -=B ．2214x y -=C ．2213x y -=D ．2212x y -=16．已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin 3cos 2cos sin αβαβ+=+，则tan()αβ-=（ ） A ．3B ．1C ．23+D ．32-17．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>18．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．119．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,420．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π三、解答题21．函数()()3sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，ABC ∆为等边三角形.将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象.（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）若不等式()23sin 324x m g x m π⋅-≤+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.23．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）用θ表示该工程的总造价S ；（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？24．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？25．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围.26．已知函数21()sin 24f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期T 和[0,]π上的单调增区间：（2）若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.27．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.28．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．29．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间；（3）若α∈[0，π]，且f （α）α的值．【参考答案】一、填空题π1．62231164．5652637．1331 8109．1310．2332二、单选题11．B12．A13．D14．A15．B16．D17．A18．C19．C 20．C 三、解答题21．（Ⅰ）()12g x x =（Ⅱ）2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质，根据已知，可以求出函数的周期，利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，最后根据正弦型函数图象的变换性质求出()y g x =的解析式； （Ⅱ）根据函数()y g x =的解析式，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立，利用换元法，构造二次函数，分类讨论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）点A ABC ∆为等边三角形，所以三角形边长为2，所以24T πω==，解得2πω=，所以()23f x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，得到()123h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移23π个单位，得到()12g x x =.（Ⅱ）()22g x x x ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以()223sin 233cos 3cos x g x x m x π⋅-=--，原不等式等价于23cos 3cos 10x m x m +++≥在x ∈R 恒成立. 令cos x t =，[]1,1t ∈-，即23310t mt m +++≥在[]1,1t ∈-上恒成立.设()2331t t mt m ϕ=+++，对称轴2m t =-， 当12m-≤-时，即2m ≥时，()1240m ϕ-=-+≥，解得2m ≤，所以2m =； 当12m-≥时，即2m ≤-时，()1440m ϕ=+≥，解得1m ≥-（舍）； 当112m -<-<时，即22m -<<时，231024m m m ϕ⎛⎫-=-++≥ ⎪⎝⎭，解得223m -≤<.综上，实数m 的取值范围为2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换和性质，考查了利用换元法、构造法解决不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.22．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a ==， 综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤， 所以()02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．（1）()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3cos 4θ=时，()16()S af θθ=取得最小值 【解析】(1)根据题意可知4sin BF θ=,4cos AF θ=,进而求得Rt ABFS 与EFGH S 正方形再求得总造价S 即可.(2)由(1)有()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】（1）在Rt ABF 中,FAB θ∠=,4AB =,所以4sin BF θ=,4cos AF θ=. 由于Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE 是四个完全相同的直角三角形,所以4sin AE BF CG DH θ====,4(cos sin )EF FG GH HE θθ====-,所以Rt114cos 4sin 8sin cos 22ABFS AF BF θθθθ=⋅⋅=⨯⨯=, 2224(cos sin )16(12sin cos )EFGH S EF θθθθ==-=-正方形.所以()48sin cos 1016(12sin cos )1344sin S a a a θθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯16[20sin cos (12sin cos )13sin ]a θθθθθ=+-⨯+ 16(13sin 6sin cos )a θθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）记()13sin 6sin cos f θθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则22232()cos 6(cos sin )12cos cos 612(cos )(cos )43f θθθθθθθθ'=--=-++=--+. 令()0f θ'=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 4θ=或2cos 3θ=-(舍).记03cos 4θ=,所以当0(0,)θθ∈时,()0f θ'<,()f θ单调递减； 当0(,)4πθθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3cos 4θ=时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3cos 4θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 24．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()4g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值； （2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈ 又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴= （2）由（1）知1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题25．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】【分析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.26．(1) T=π，单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) ∅ 【解析】【分析】（1）化简函数得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算周期和单调区间. （2）分情况n 的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.【详解】解：（1）函数21()sin 24f x x x =11cos 2sin 242x x +=11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ==． 由题意可知：222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈ 解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 因为[0,]x π∈，所以()g x 的单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由（1）得1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立， 则2()(1)n f x m +-⋅的最小值大于零．当n 为偶数时，10m -+>，所以，1m当n 为奇数时，10m -->，所以，1m <-综上所述，m 的范围为∅.【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.27．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a =【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值.【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+--- 令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤ 1t ≤①当2a <a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a ≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a >，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a = 综上，2a =-或6a =【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.28．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |，可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．29．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π. 【解析】【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1（2）π(0,)2α∈，f （2α）=2 ∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π 30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2T πω，求出ω， 然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值． 【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1， 即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π， ∴当k =0时，φ=6π， 即A =2，ω=1，φ=6π； （2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π， b =f （0）=2sin 6π=2×12=1， ∵f （x ）=2sin （2x +6π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ， 得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π， ∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住：两对称轴之间的距离为半个周期；相邻对称轴心之间的距离为半个周期； 相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期． 关于正弦函数单调区间要掌握： 当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增； 当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
五年级数学下册典型例题系列之第七单元列方程解决倍数问题专项练习(解析版)北师大版
五年级数学下册典型例题系列之第七单元列方程解决倍数问题专项练习（解析版）1．笼子里有白兔、灰兔若干支。
白兔的只数是灰兔的3倍，灰兔比白兔少8只，白兔、灰兔各几只？（列出两种不同的方程，其中一种可以只列不解）法一：法二：【答案】方法一：设灰兔有x只，则白兔有3x只。
3x－x＝8白兔：12只；灰兔：4只方法二：设白兔有x只，则灰兔有x3只。
x3＋8＝x【解析】【分析】方法一：设灰兔有x只，白兔的只数是灰兔的3倍，白兔有3x只；灰兔比白兔少8只，用白兔的只数－灰兔的只数＝8，列方程：3x－x＝8，解方程，即可解答。
方法二：设白兔有x只，白兔的只数是灰兔的3倍，则灰兔有x3只，灰兔比白兔少8只，灰兔的只数＋8＝白兔的只数，列方程：x3＋8＝x，解方程，即可解答。
【详解】方法一：解：设灰兔有x只，则白兔有3x只。
3x－x＝82x＝8x＝8÷2x＝4白兔：4×3＝12（只）答：白兔有12只，灰兔有4只。
方法二：设白兔有x只，则灰兔有x3只。
x3＋8＝x【点睛】本题考查方程的实际应用，根据白兔与灰兔的关系，设出未知数，列方程，解方程。
2．妙想和乐乐一共收集了135枚邮票，妙想收集的邮票数是乐乐的4倍。
妙想、乐乐各收集了多少枚邮票？（列方程解决问题）【答案】108枚【解析】【分析】设乐乐收集邮票x枚，则妙想收集4x枚。
根据两人邮票枚数和＝135枚列出方程求出乐乐收集的邮票数，进而得出妙想收集的邮票数。
【详解】解：设乐乐有邮票x枚，则妙想收集4x枚。
x＋4x＝1355x＝135x＝27135－27＝108（枚）答：妙想收集了108枚，乐乐收集了27枚。
【点睛】本题主要考查列方程解含有两个未知数的问题，解题的关键是找出等量关系式并列出方程。
3．公园里有杨树和柳树共40棵，杨树的棵树比柳树的2倍还多4棵，杨树和柳树各有多少棵？（列方程解决）【答案】柳树：12棵；杨树：28棵【解析】【分析】根据题意，设柳树的棵数为x棵，杨树的棵数比柳树的2倍还多4棵，杨树有（2x＋4）棵，杨树和柳树一共40棵，列方程：x＋（2x＋4）＝40，解方程，即可解答。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
高中数学三角函数专题专项练习(非常好)
高中数学三角函数专题专项练习(非常好)三角函数疑难点解析】一、忽略隐含条件例3：若sinx+cosx-1>0，求x的取值范围。
正解：2sin(x+π/4)>1，由sin(x+π/4)>1/√2得2kπ+π/4<x+π/4<2kπ+3π/4(k∈Z)∴2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4(k∈Z)，即x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。
改写后：对于不等式sinx+cosx-1>0，可以化简为2sin(x+π/4)>1.由于sin(x+π/4)>1/√2，所以可以得到2kπ+π/4<x+π/4<2kπ+3π/4(k∈Z)。
进一步化简得到x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。
二、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4：设α、β为锐角，且α+β=120°，讨论函数y=cos2α+cos2β的最值。
正解：y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-cos(α-β)，可见，当cos(α-β)=1时，ymin=0；当cos(α-β)=-1时，ymax=2.分析：由已知得30°<α,β<90°，∴-60°<α-β<60°，则-1<cos(α-β)≤1，∴当cos(α-β)=1，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存在。
改写后：已知α、β为锐角，且α+β=120°，求函数y=cos2α+cos2β的最值。
根据cos2θ=1-2sin2θ和cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，可以得到y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-co s(α-β)。
当cos(α-β)=1时，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存在。
三角函数诱导公式专项练习(含答案)
三角函数诱导公式专项练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．（）A． B． C． D．2． 的值为（）A． B． C． D．3．已知 ，则cos（60°–α）的值为A． B．C． D．–4．已知，且，则 （）A． B． C． D．5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( )A． B．－ C．± D．6．已知 ，则 =( )A． B． C． D．7．已知 ，，则 （）A． B． C． D．8．已知，则 （）A． B． - C． D． -9．如果 ，那么A． - B． C． 1 D． -110．已知，则 （）A． B． C． D．11．化简 的值是（）A． B． C． D．12． 的值是（）A． B． C． D．13．已知角的终边经过点，则 的值等于A． B． C． D．14．已知 ，则 （）A． B． C． D．15．已知 则的值为（）A． B． C． D．16．已知 则 （）A． B． C． D．17．已知 ，且是第四象限角，则 的值是( ) A． B． C． D．18．已知sin＝，则cos＝( )A． B． C．－ D．－19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B．C．± D．－k20．＝( )A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 221． 的值为A． B． C． D．22． （）A． B． C． D．23．若， ，则 的值为（）A． B． C． D．24．已知且 ，则 （）A． B． C． D．25．已知 ，则 ( )A． B． C． D．26．若 ，且，则 （）A． B． C． D．27．已知 ，则 ( ) A． B． C． D．28．已知 ，则 的值为（）A． B． - C． D．29．若， ，则 的值为（）A． B． C． D．30．已知，则的大小关系是( ) A． B． C． D．31．A． B． C． D．32． 的值等于（）A． B． C． D．33． 的值的（）A． B． C． D．34．已知， ，则 等于（）．A． B． C． D．35．已知 ，则 的值为（）A． B． C． D．36．点在直角坐标平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限37．如果 ，那么 等于（）A． B． C． D．38．已知角的终边过点，若 ，则实数A． B． C． D．39．A． B． C． D．40．已知 ，则 的值为（）A． B． C． D．参考答案1．D【解析】【分析】直接运用诱导公式，转化为特殊角的三角函数值求解。
高中数学向量专项练习(含答案)
高中数学向量专项练习一、选择题1. 已知向量若则（）A. B. C. 2 D. 42. 化简+ + + 的结果是（）A. B. C. D.3．已知向量, 若与垂直, 则（）A. -3B. 3C. -8D. 84．已知向量, , 若, 则（）A. B. C. D.5．设向量, , 若向量与平行, 则A. B. C. D.6．在菱形中, 对角线, 为的中点, 则（）A. 8B. 10C. 12D. 147．在△ABC中, 若点D满足, 则（）A. B. C. D.8．在中, 已知, , 若点在斜边上, , 则的值为（）．A. 6B. 12C. 24D. 489．已知向量若, 则（）A. B. C. D.10．已知向量, , 若向量, 则实数的值为A. B. C. D.11．已知向量, 则A. B. C. D.12．已知向量, 则A. B. C. D.13．的外接圆圆心为, 半径为, , 且, 则在方向上的投影为A. 1B. 2C.D. 314．已知向量, 向量, 且, 则实数等于（）A. B. C. D.15．已知平面向量, 且, 则实数的值为（）A. 1B. 4C.D.16．是边长为的等边三角形, 已知向量、满足, , 则下列结论正确的是（）A. B. C. D.17．已知菱形的边长为, , 则（）A. B. C. D.18．已知向量, 满足, , 则夹角的余弦值为( )A. B. C. D.19．已知向量=（1, 3）, =（-2, -6）, | |= , 若（+ ）·=5, 则与的夹角为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°20．已知向量, 则的值为A. -1B. 7C. 13D. 1121．如图, 平行四边形中, , 则（）A. B. C. D.22．若向量 , , 则 =（ ）A. B. C. D.23．在△ 中, 角 为钝角, , 为 边上的高, 已知 , 则 的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424. 已知平面向量 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.25．已知向量 , , 则A. （5,7）B. （5,9）C. （3,7）D.（3,9） 26．已知向量 , 且 , 则实数 ＝（ ）A. －1B. 2或－1C. 2D. －227．在 中, 若 点 满足 , 则 （ ）A. B. C. D.28．已知点 和向量 , 若 , 则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.29．在矩形ABCD 中, 则 （ ）A. 12B. 6C.D.30. 已知向量 , ,则 （ ）.A. B. C. D.31．若向量 与 共线且方向相同, 则 （ ）A. B. C. D.32．设 是单位向量, 且 则 的最小值是（ ）A. B. C. D.33．如图所示, 是 的边 上的中点, 记 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.34．如图, 在 是边BC 上的高, 则 的值等于 （ ）ADCB35．已知平面向量的夹角为, （）A. B. C. D.36．已知向量且与共线, 则（）A. B. C. D.二、填空题37. 在△ABC中, AB＝2, AC＝1, D为BC的中点, 则＝_____________.38．设, , 若, 则实数的值为（）A. B. C. D.39．空间四边形中, , , 则（）A. B. C. D.40. 已知向量, , 满足, , 若, 则的最大值是 .41. 化简: = .42. 在中, 的对边分别为, 且, , 则的面积为 .43. 已知向量=（1, 2）, •=10, | + |=5 , 则| |= .44．如图, 在中, 是中点, , 则．45. 若| |=1, | |=2, = + , 且⊥, 则与的夹角为________。
2018年数学必修四练习——精选高考题
2018年数学必修四练习——精选高考题2018年数学必修四练习——精选高考题每个高中生都有一个共同的目标——高考，每一次考试都在为高考蓄力，考向，要求也与高考一致。
本练习全部来源于2016、2017年高考真题，无论是备战期末考还是寒假提升，都是能力的拔高。
一、选择题1、设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）2、设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），3、函数的最小正周期为（A）（B）（C）（D）4、已知,则（A）（B）（C）（D）5、设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）、①和②均为真命题、①和②均为假命题、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题6、设函数，则的最小正周期A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关7、函数y=sin x2的图象是（）8、已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）9、已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，则的最大值是(A) (B) (C) (D)10、为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点20、已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．三、简答题21、在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.22、已知函数.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，．23、设.（I）求得单调递增区间；（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.24、已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.25、已知函数f（x）=2sin ωx cosωx+cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.26、设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.高一资料介绍高一上期中考部分1.2017—2018学年高一第一学期期中质量检测（物理）2.2017—2018学年高一第一学期期中质量检测（语文）3.2017—2018学年高一第一学期期中质量检测（数学）两份4.2017—2018学年高一第一学期期中质量检测（化学）物理部分1.高一物理运动学综合练习--基础2.高一物理运动学综合练习--提升3.高一物理牛顿定律综合练习--基础4.高一物理牛顿定律综合练习--提升数学部分1.2018年数学必修二专项练习2.2018年数学必修三专项练习3.2018年数学必修四专项练习4.2018年数学必修一能力提高卷5.2018年数学必修一练习——精选高考题6.2018年数学必修四练习——精选高考题高一上期末考部分1.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（语文）2.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（数学）必修一二3.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（数学）必修一三4.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（数学）必修一四5..2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（英语）6.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（物理）7.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（化学）8.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（生物）9.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（历史）10.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（政治）11.2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（地理）参考答案一、选择题1、【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B选项错误；，不合题意，C选项错误；，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D选项错误.本题选择A选项.2、【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.3、C【解析】试题分析：因为,所以其最小正周期,故选C.【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.③对于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期.4、D【解析】试题分析：由得,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．5、D【解析】试题分析：因为必为周期为的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.6、B7、D【解析】试题分析：因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D.考点：三角函数图象.8、D考点：解简单三角方程9、B考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.10、A【解析】试题分析：由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有点向左移个单位，故选A. 考点：三角函数图像的平移.二、填空题11、【解析】试题分析： ,则.【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.12、【解析】试题分析：与关于轴对称，则，所以【考点】诱导公式【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则，若与关于轴对称，则，若与关于原点对称，则，13、【解析】 ,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.14、【解析】试题分析：由可得【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.15、【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，，这样.【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则，若与关于轴对称，则，若与关于原点对称，则.16、【解析】17、【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），所以在区间[0，2π]上的解为.考点：二倍角公式及三角函数求值.18、【解析】试题分析：，其中，故函数的最大值为，由已知，，解得.考点：三角函数的图象和性质.19、【解析】，即最大值为20、【解析】，所以三、简答题21、（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式22、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，根据公式求周期；（Ⅱ）当时，先求的范围再求函数的最小值.23、（）的单调递增区间是（或）（）由得所以，的单调递增区间是（或）考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.24、【解析】．(Ⅰ)定义域,（Ⅱ），，设，∵在时单调递减，在时单调递增由解得，由解得∴函数在上单调增，在上单调减25、26、-2由已知得：∴，解得．。
三角函数 诱导公式专项练习(含答案)
三角函数诱导公式专项练习(含答案) 三角函数诱导公式专项练一、单选题1.sin(-600°)的值为（）A。
-√3/2B。
-1C。
1D。
√3/22.cos(11π/3)的值为（）A。
-√3/2B。
-13/2C。
√2D。
23.已知sin(30°+α)=√3/2，则cos(60°-α)的值为A。
1/2B。
-1/2C。
√3/2D。
-√3/24.已知cos(π/3+α)=-5/2，且α∈(2π/5,π)，则XXX(α-π)=（）A。
-34/4B。
-3C。
4D。
35.已知sin(π-α)=-2/√3，且α∈(-2,0)，则tan(2π-α)的值为A。
2√5/5B。
-2√5/2√5C。
±5D。
√5/26.已知cos(π/4-α)=√2/2，则sin(α+π/4)=（）A。
-3B。
1C。
√2D。
√14/47.已知sinα=3/5，2<α<π/2，则sin(2-α)=（）A。
3/5B。
-3/5C。
4/5D。
-4/58.已知tanx=-12/5π，x∈(π/2,π)，则cos(-x+3π/2)=（）A。
5/13B。
-5/12C。
13D。
-12/139.如果cos(π+A)=-1，那么sin(π/2+A)=A。
-1/2B。
2C。
1D。
-110.已知cos(π/2-α)-3cosα/(sinα-cos(π+α))=2，则tanα=（）A。
12/5B。
-3C。
1/2D。
-511.化简cos480°的值是（）A。
1B。
-1C。
√3/2D。
-√3/212.cos(-585°)的值是（）A。
√2/2B。
√3/2C。
-√3/2D。
-√2/213.已知角α的终边经过点P(-5,-12)，则sin(3π/2+α)的值等于()A。
-5B。
-12/13C。
13D。
12/1314.已知cos(π+α)=2/3，则tanα=（）A。
√55/2B。
2√5/52.已知cosα=2/5，-2/5<α<0，则tan(α+α)cos(-α)tanα的值为（）答案：D解析：由cosα=2/5可得sinα=-√(21)/5，代入公式可得tan(α+α)cos(-α)tanα=-1/√3=-√3/3，故选D。
三角恒等变换-知识点+例题+练习
两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )． A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )． 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )． 4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15B.14C.13D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( ) A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( )A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若s in(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318 B.1322 C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α＝_______. 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝_________. 6． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝1617，求cos(α＋β)的值．。
三角函数专项练习(含答案)
三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为______ 3．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论： ①203f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________.4．已知函数23tan ,,,2332()2,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________.5．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.6．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．10．△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++++的值为_____________.二、单选题11．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） A 3B 5C 3D 512．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13D ．314．设函数()211f x x =-，()122x f ex --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ） A ．123I I I << B ．321I I I << C ．132I I I <<D ．213I I I <<15．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则91()()44t t --（ ） A ．1B 277C 1693D ．9816．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ） A ．1B 6C 2D 317．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>18．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .22．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.23．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围． 24．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.25．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.26．已知函数()2212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.27．已知函数()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+.（1）若对任意,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有4f x m π⎛⎫- ⎪⎝⎭成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数()1226g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和.28．已知函数22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值． 29．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.30．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦， 2．353．①②④4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 5．06107．①③8735+ 9．5+3210．4二、单选题11．D 12．A 13．B 14．D 15．B 16．B 17．A 18．B 19．C 20．A 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长； ②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a<⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题. 22．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 23．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式24．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max 2f x =，()min 12f x =- 【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型． 25．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈， 解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.26．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域.【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.27．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）2π 【解析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围；（2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答.【详解】解：（1）因为()sin 2cos cos 2sin 33f x x x ππ=+()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 所以sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即min 142f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12m ， 所以实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）由（1）得()1122sin 22sin 26263g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 令()0g x =，得sin x =sin x =[],3ππ-上有4个零点 这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得1222x x π+=-，34322x x π+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=.【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题. 28．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+- ()2sin(2)36f x x π∴=+- 由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+- 1sin(2)16x π-≤+≤ 当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤- 则有234a --=- 解得12a = 当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤-- 则有234a -=-解得12a =- 综上 12a ∴=或12a =-． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．29．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析.【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.30．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
高中数学三角函数专项练习(含答案)
高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．如图，在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是______.2．在ABC 中，7AB =，23BC =，1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △的面积有最大值，且最大值为3；②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．4．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.6．在直角坐标系中，ABC 的顶点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，C ⎝，且ABC 的重心G 的坐标为⎝，()cos αβ-=__________. 7．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．8．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）9．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 10．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④13．已知点P 是曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知,a b Z ∈，满足)sin 50a b ︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C ．32D ．3316．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======，则这个三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．2105B ．2103C ．253D ．2517．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π=，且()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1418．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒19．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）20．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)+B ．(0,33)C ．(22,33)+D ．(22,33]三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间. 23．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.24．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.25．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 26．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 32)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 28．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.29．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.30．已知两个不共线的向量a ，b 满足a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得||||a ma =成立，求正数m 的取值范围.【参考答案】一、填空题12．①③31 4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5．165386．237．⎝⎭8．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭910． 3 21,32⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．B 13．A 14．B 15．C 16．A 17．C 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=， BC ∴，由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即2sin ABC∠解得：sin ABC ∠=， 45ABC ∴∠=︒，C ∴船在B 船的正西方向．（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒， 设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，则10BD t =，CD =，在BCD △10sin tBCD∠， 解得：1sin 2BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，BCD ∴△是等腰三角形，10t ∴=，即t =∴缉私艇沿东偏北30【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．23．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为M x 在区间00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.24．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．25．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 表达式，利用(0)f =a 的值.（2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围.【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin 3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， [0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x 在[0,]π上有且只有一个零点， 223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 26．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12. 【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间（2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增， 解得：36k x k ππππ-≤≤+， 故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈. （2）∵02x π≤≤， ∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.27．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解.【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =， 从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62k B k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=. ∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】 本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.28．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1.【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果.【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π= 当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.29．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =()2202242a c b b a R R R ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭【解析】【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解.【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=.所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=， 即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。
高中数学人教版三角函数之诱导公式一到六知识讲解专项练习
诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos αtan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α (其中k ∈Z)公式二：设为任意角，π＋α的三角函数的值与的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos αtan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α公式五：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝cos α cos （）＝sin α tan （）＝cot α cot （）＝tan α 公式六：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝cos α cos （）＝－sin α tan （）＝－cot α cot （）＝－tan α 公式七：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝－cos α cos （）＝－sin α tan （）＝cot α cot （）＝tan α ααααπ-2απ-2απ-2απ-2απ-2απ+2απ+2απ+2απ+2απ+2απ-23απ-23απ-23απ-23απ-23公式八：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝－cos α cos （）＝sin α tan （）＝－cot α cot （）＝－tan α 公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α小结：1.诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为锐角的三角函数值2.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.（主要依据是奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）练习题1.若cos65°=a ，则sin25°的值是( )2.下列各式正确的是( ))β-αcos(-)βα-cos(.=+B 3.sin(−600°)的值是( )A. −√32 B. −12 C. 12D. √32 απ+23απ+23απ+23απ+23απ+23a A -.a B .2-1.a C 2-1-.a D αcos α-π29sin(.=）A 为第二象限角α ，则0>)α-2π cos(且0,<)α 2π sin(若.+C )α2πcos()2π-αsin(.+=D4.已知31)12sin(=+πα，则7cos()12πα+= ．31- 5.已知)2,0(πα∈，54cos =α，则)sin(απ-＝ ．53 6.1717cos()sin()44ππ---=的值为． 7.求值：0750sin ＝ ．12 8.已知函数3sin )(xx f π=，则)2014()2()1(f f f +++ ＝．93记k =-)70cos(0，那么0110tan 等于． 10.求值：)210sin()330(cos 45tan 180cos 120sin 22︒-+︒--︒+︒+︒＝ ．12 11.化简：)2sin()2cos()2cos()cos(απαπαπαπ+--+＝ ．tan α- 12.已知点))6sin(,45(tan ππ-是角θ终边上一点，则)25cos(θπ+＝．13.若x x f 3sin )(sin =，则)75(cos 0f．2 14.化简：3sin(3)cos()tan()2cos sin()cos()32ππαπααππαα+⋅-⋅+⋅-⋅- ．2- 15.若23)2sin(-=-x π，且ππ2<<x ，则x 等于 ．π67 16.在ABC ∆中，已知542sin=A ，则2cos C B +＝ ．45 17.求值：ππππ313cos 4tan 713cos )623sin(-+-＝ ．０18.在ABC ∆中，若sin cos 22A B C +=，则形状是 ．直角三角形 19.已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-＝ ．13 20.设))(42cos()(Z n n x f ∈+=ππ，则(1)(2)(2010)f f f +++．21.已知3tan =α，sin()cos()()sin()sin()n n n Z n n απαπαπαπ+⋅-∈++-的值 ．14± 22.求值：251025713sin()cos tan()sin()cos()63436πππππ++-+-- ．74- 23.已知⎩⎨⎧≤<-≤=)0(sin 2)0()(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则0x ＝ ．233or ππ 24.已知{cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤=-+>，则)34(f 的值为 ．32 25.化简：23sin ()cos()cos(2)tan()sin ()sin(2)2απαπαπππαααπ+⋅+⋅--+⋅+⋅--＝ ．１ 26.若32cos -=α，则cos(4)sin()sin()tan()2πααπαπα-⋅-+⋅-的值为 ．23- 27.化简28.化简29.已知sinθ,cosθ是关于x 的方程x 2−ax +a =0(a ∈R)的两个根（1）求cos 3(π2−θ)+sin 3(π2−θ)的值 )α2π9sin()α-π3sin()α-πcos()α-2π11cos()α2πcos()απcos()α-π2sin(+++).2cos()sin()25sin()2cos(αππααππα--+-（2）求tan(π−θ)−1的值tanθ。
2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)
三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。
初中三角函数专项练习题及答案(DOC)
初中三角函数专项练习题及答案(DOC)初中三角函数专项练题及答案1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都不变。
2、在Rt△ABC中，∠C=90，BC=4，sinA=5，则AC=3.3、若∠A是锐角，且13sinA-tanA>4，则30<∠A<45.4、若cosA=3，则4sinA+2tanA=11.5、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=1：1：2.6、在Rt△ABC中，∠C=90，则sinA=cosB。
7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么正确的是tanB=3/2.8．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（-2，2）。
9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣。
某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°。
若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为10.3米。
10．___同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向___方向走200m到C地，此时___同学离A地150m。
11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45，则该高楼的高度大约为82米。
12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距约为67.5海里。
1.在三角形Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=4/5.2.在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=3/7.3.在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是120°。
4.如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A'P'B，且BP=2，那么PP'的长为2sin15°。
三角函数图像变换专项练习题
三角函数图像变换专项练习题一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1. 为得到函数y =6sin (2x +π3)的图象，只需要将函数y =6cos2x 的图象( )A. 向右平行移动π6个单位 B. 向左平行移动π6个单位 C. 向右平行移动π12个单位D. 向左平行移动π12个单位2. 已知函数f(x)=sin(x +π3)sinx +cos 2x 的图象向右平移π6单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数g(x)，则关于函数g(x)的结论正确的是 ( )A. 最小正周期为πB. 关于x =π6对称 C. 最大值为1D. 关于(π24,0)对称3. 函数的图象y =3cos2x 可以看作把函数y =3sin2x 的图象向( )而得到的A. 左平移π2个单位 B. 左平移π4个单位 C. 右平移π2个单位D. 右平移π4个单位4. 将函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=sin(2x +π6) B. f(x)=sin(2x −π3) C. f(x)=sin(8x +π6)D. f(x)=sin(8x −π3)5. 要得到函数f(x)=cos(2x −π6)的图象，只需将函数g(x)=sin2x 的图象A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位6. 将函数f(x)=√3sin2x −cos2x 的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，若有g(θ)=2cos π6，则θ的可能取值为A. 3π4B. 5π6C. π6D. π47. 将函数的图象上的所有点向右平移π12个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)的函数解析式为( )A.B.C.D.8. 如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数.下列函数中与g(x)=√2sin(x +π4)能构成“和谐”函数的是( )A. f(x)=sin(x +π4) B. f(x)=2sin(x −π4) C. f(x)=√2sin(x2+π4)D. f(x)=√2sin(x +π4)+29. 若将函数f (x )=√2sin(2x +π4)的图像向右平移φ(φ>0)个单位，所得图像关于原点对称，则φ的最小值为( )A. π8B. π4C. 3π8D. 3π410. 函数y =sin (2x +π3)的图象可由函数y =cosx 的图象( )A. 先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位 B. 先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位 C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位 D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位11. 若将函数y =2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )A. x =kπ2−π6(k ∈Z)B. x =kπ2+π6(k ∈Z)C. x =kπ2−π12(k ∈Z)D. x =kπ2+π12(k ∈Z)12. 将函数的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. 函数g(x)的周期是π2B. 函数g(x)的图象关于直线x =−π12对称 C. 函数g(x)在(π6,π2)上单调递减 D. 函数g(x)在(0,π6)上最大值是113. 已知将函数的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若g (x )的图象关于原点对称，则f (π3)=( )A. −√32B. √32C. −12D. 12二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）14.将函数y=sin(−2x)的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式为_______________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象经过点(0,√3)，且相邻的两个零点差的绝对值为6．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，当x∈[−1,5]时，求g(x)的值域．16.设函数，其中0<ω<3.已知f(π6)=0．(1)求ω；(2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值及相应x的值．17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0,ω>0,0<φ<π，函数f(x)图像上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x=π3处取到最小值−2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将向左平移π6个单位，得到函数g(x)图象，求函数g(x)的单调递增区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二倍角公式专项练习一、选择题1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－43，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )． A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．172．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )． A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D ．24253.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos （ ） A ．35 B ．95- C ．95 D ．35- 4.若sin θ－cos θ=－51,且π<θ<2π,则cos2θ等于（ ）A.257 B.－257 C.±257 D.－2512 5．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝( )． A ．－34 B ．－14 C ．34 D ．146．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )．A ．k π，(k ∈Z )B ．k π＋π6，(k ∈Z )C ．k π＋π3，(k ∈Z )D ．－k π－π3，(k ∈Z ) 7．cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值等于（ ） A.26 B.23 C.45 D.1+43 8．(2010年大同模拟)函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数9.若1sin()34πα-=,则cos(2)3πα+=（ ） A ．78- B ．14- C ．14D ．78 10.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 二、填空题1. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝45，则cos2θ＝________．－725 2. 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝________．－793. 已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)＝________．－2234．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.－555. 若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________．12 6.已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________.214- 7.已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+,,则)42sin(πθ-的值为________.2108.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝________．－79 设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=.则cos β的值为____.1665- 9.已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为2 10.．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝__________.13411.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cosx 的最小值是________．－3412．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．π 13．若sin(π－α)＝45，a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于__________．425 14. 已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________．－1 15.设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____.25017 16.在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t - 1,则t 的取值范围是_______.()+∞,2 ; 三、解答题17. 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 解：原式＝2cos 2x （cos 2x －1）＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12－2cos 2xsin 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12－12sin 22x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos2x. 18．设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )(1)化简函数f (x )的表达式，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f (x )的最大值与最小值． 解：(1)∵f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2， ∴当2x ＋π6＝7π6， 即x ＝π2时，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π6＝π2， 即x ＝π6时，f (x )max ＝2. 19. 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωxcos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1) 求ω的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0， 所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 20.已知函数f (x )＝sin 2 ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，23π上的取值范围． 【解析】 (1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0.所以2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵0≤x ≤23π， ∴－π6≤2x －π6≤76π， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12≤32， 即f (x )的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，32.21. (2013·南京三模)已知α、β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210. (1) 求cos2α的值；(2) 求2α－β的值解：(1) (解法1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15. 所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(解法2)因为cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1， 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35.(2) (解法1)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 又cos2α＝－35＜0，故2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin2α＝45. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. (解法2)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.从而2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 因为tan β＝－17，所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－17＝－1. 又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.。