人教新课标版数学高二-2-2导学案 1.5 定积分概念第二课时

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数学人教A版选修2-2预习导航：1.5 定积分的概念(第2课时)

预习导航1．定积分的概念一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x i …＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ba⎰f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －an f (ξi )，这里a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．思考1在定积分的定义中，对区间[a ，b ]的分法是否是任意的？ξi 的取法是否是任意的？提示：定积分定义中，对于区间[a ，b ]的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．另外，关于ξi 的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把ξi 都取为每个小区间的左(或右)端点．思考2定积分ba⎰f (x )d x 中，定积分的值与积分变量、积分区间有关系吗？提示：定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即ba⎰f (x )d x ＝b a⎰f (u )d u ＝b a⎰f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分b a⎰f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上限与下限不同，所得的值也就不同，例如10⎰(x 2＋1)d x 与30⎰(x 2＋1)d x 的值就不同．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ba⎰f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考3在区间[a ，b ]上函数f (x )＜0时，b a⎰f (x )d x 表示的含义是什么？提示：如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )＜0，那么曲边梯形位于x 轴的下方，如图所示．⎰f(x)d x＜0，这时它等于图中所示由于Δx i＞0，f(ξi)＜0，故f(ξi)·Δx i＜0，从而定积分ba⎰f(x)d x＝－S或S＝b a-⎰f(x)d x.曲边梯形面积S的相反数，即ba3．定积分的基本性质⎰kf(x)d x＝k b a⎰f(x)d x(k为常数)；(1)ba⎰[f1(x)±f2(x)]d x＝b a⎰f1(x)d x±b a⎰f2(x)d x；(2)ba⎰f(x)d x＝c a⎰f(x)d x＋b c⎰f(x)d x(其中a＜c＜b)．(3)ba小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

数学选修2-2人教A教案导学案：定积分的概念

§1.5.3定积分的概念学案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．前置复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2．定积分的几何意义分析：2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2性质3性质4 说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M BAabOyxy=1yxOba三．典例分析例1．计算定积分21(1)x dx +⎰四．课堂练习计算下列定积分 1．5(24)x dx -⎰5(24)945x dx -=-=⎰2．11x dx -⎰ 11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰3．课本练习五．回顾总结1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业性质1 性质4AMNB AMPC CPNBS S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

高中数学1.5.2定积分的概念第2课时教案新人教版选修2_2

§1.5.2汽车行驶的路程
【学情分析】：
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。

这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。

【教学目标】：
（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。

（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。

【教学重点】：
“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想【教学难点】：
过程的理解．
【教学过程设计】：
b n
n ∑。

高中数学选修2-2教案：1.5+定积分的概念(二)

教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

(完整word版)选修2-2 定积分学案

1。

5 定积分的概念学习目标知识与技能：1。

通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景;2。

借助于几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3。

理解掌握定积分的几何意义和性质; 过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法. 情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学习数学的兴趣。

学习重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义．学习过程：问题曲边梯形的面积例如:求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

解：（1)．分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i x n n n-∆=-=分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1ni i S S ==∆∑(2）近似代替i ni -1n 1Oyxy=x 2思考:（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？(2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲" 的思想的应用．1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,可以认记()2f x x =，如图所示，当n 很大,即x ∆很小时，在区间为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值1i f n -⎛⎫⎪⎝⎭,从图形上看,就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代曲”，则有221111(1,2,,)i i i i i S S f x x i n n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①（3）求和由①,上图中阴影部分的面积n S 为2111111n nnn i i i i i i S S f x n n n ===--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑= == = 从而得到S 的近似值n S S ≈= （4）取极限分别将区间[]0,1等分8,16,20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ,从而有111lim lim nn n n i i S S f n n →∞→∞=-⎛⎫== ⎪⎝⎭∑事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限☆定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()11n ni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑i ni -1n 1Oyxy=x 2当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

高中数学第一章导数及其应用 1.5 第2课时定积分的概念学案新人教A版选修2-2-新人教A版

1.5 第二课时定积分的定义一、课前准备 1.课时目标1. 借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2. 会用定积分的几何意义求积分值；3. 能熟练应用定积分的性质解题。

2.基础预探1.如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式________，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的________，记作________，即________，区间[a ，b ]叫做________，函数f (x )叫做________. 2．当f (x )≥0时，定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由________所围成的曲边梯形的________.当f (x )≤0时，⎠⎛ab f (x )dx 是________(填“正数”或“负数”)．3．(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝________(k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝________；(3)⎠⎛ab f (x )dx＝________(a <c <b )．二、学习引领1.定积分含义的理解求曲边梯形的面积与变速直线运动物体的路程，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在本质上，都利用了“分割-----代替----求和-------取极限”这种方法，体现了由曲化直，由变转化不变的思想．若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义． 2.定积分应注意问题(1)定积分⎠⎛ab f (x )dx 是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f (x )的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a b f (u )du ＝⎠⎛ab f (t )dt ＝…．(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．在定积分⎠⎛a b f (x )dx 的定义中，总是假设a <b ，而当a ＝b 及a >b 时，不难验证，⎠⎛aa f (x )dx＝0，⎠⎛a b f (x )dx ＝－⎠⎛ba f (x )dx .(3)定积分的值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积． 3.函数的奇偶性与定积分的关系根据定积分的几何意义知，若f (x )是区间[－a ，a ](a >0)上的连续函数，则 (1)当f (x )是偶函数时，⎠⎛-a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx ;(2)当f (x )是奇函数时，⎠⎛-aa f (x )dx ＝0.三、典例导析题型一利用定积分定义求值例1 利用定积分定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)dx 的值．思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决．解析：（1）令f (x )＝3x ＋2，在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )。

人教课标版高中数学选修2-2《定积分的概念》教案-新版

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想；（2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点定积分的概念二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x(x <0)，则⎠⎛－11f (x )dx 等于（）A ．⎠⎛－11x 2dxB ．⎠⎛－112x dC ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dxD ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D2.定积分⎰13(－3)dx 等（）A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（）A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）2．问题探究问题探究一什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()ba f x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰.这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.问题探究二定积分的几何意义．学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.问题探究三学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质定积分的性质：（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.例1．计算定积分21(1)x dx+⎰详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=⎰点拨：从定积分的几何意义出发解题3．课堂总结【知识梳理】1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,,)i n =，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积3.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数 )（2）1212[()()]()()b b ba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.【重难点突破】（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；②231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.（2）定积分的概念①定积分()ba f x dx ⎰就是和式1()ni i b af n ξ=-∑的极限，即()b a f x dx ⎰表示当n →∞时，和式1()ni i b af n ξ=-∑所趋向的定值. ②在计算定积分的过程中，为了计算的方便，我们常常将定义中的i ξ取为第i （1,2,,i n =）个小区间的左端点或右端点.③定积分()ba f x dx ⎰的值只取决于被积函数()f x 与积分上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a a f x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰.（3）定积分的几何意义①当()f x 对应的曲线位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边图形的面积；当()f x 对应的曲线位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边图形面积的相反数；当()f x 对应的曲线x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去x 轴下方曲边图形的面积.②定积分有很多实际意义，如：变速运动路程21()t t s v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰.（4）根据定积分的几何意义，易得以下性质： ①在区间[,]a b 上，若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰；②在区间[,]a b 上，若()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；③()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰.（5）定积分的性质的推广 ①11221122[()()()]()()()bb bbn n n n a aaak f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx +++=+++⎰⎰⎰⎰；②121()()()()nbc c ba a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰（其中12n a c c c b <<<<<）.4．随堂检测1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )有关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法有关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关答案：A解析：【知识点：定积分】定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关． 2．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛01x 3dx ＝i 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：定积分】积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③正确． 3．定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A解析：【知识点：定积分】⎠⎛133dx 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx ＝－⎠⎛133dx ＝－6. 4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 答案：B解析：【知识点：定积分】(sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0.而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，故选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B.解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.（三）课后作业基础型自主突破1．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.答案：24π+解析：【知识点：定积分】原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________．答案：S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .解析：【知识点：定积分】因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .3.若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)．答案：(1)，(2)，(4) 解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)． 4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)sin xdx .(2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .5．已知⎠⎛01x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx . 答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.能力型师生共研6．将和式的极限 1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p n p ＋1(p ＞0)表示成定积分为( )A.⎠⎛011x dxB.⎠⎛01x p dxC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x pd D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p dx 答案：B解析：【知识点：定积分】令ξi ＝in ，f (x )＝x p ，则1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝∑i ＝1n1n f (ξi )＝⎠⎛01x p dx .7．将(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分为________．答案：⎠⎛0111＋x dx解析：【知识点：定积分】由定积分的定义(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝∑i ＝1n(1in ＋1)·1n ＝∑i ＝1n(n n ＋i )·1n＝⎠⎛0111＋x dx . 8．设f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01(x ＋1)dx ＋⎠⎛12(－2x ＋4)dx .又由定积分的几何意义得 ⎠⎛01(x ＋1)dx ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12(－2x ＋4)dx ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )dx ＝32＋1＝52. 9．抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛-22(8－x 2－12x 2)dx .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43.由定积分的几何意义得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx ＝12⎠⎛-22 (8－x 2－12x 2)dx ＝π＋23.探究型多维突破10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3 x ∈[－2，2]，2x x ∈[2，π]，cos x x ∈[π，2π].则22()f x dx π-=⎰________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3dx ＝0，⎠⎛2π2xdx ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，由于cos x 关于32x π=对称，故2cos 0xdx ππ=⎰，由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )dx ＝⎠⎛－22x 3dx ＋⎠⎛2π2xdx ＋2cos xdx ππ⎰＝π2－4.11．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )dx ＝N 1N .自助餐1．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛a b 6f (x )dx 等于（）A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定答案：C解析：【知识点：定积分】 2．11x dx --⎰等于（）A ．11()x dx --⎰B ．11xdx -⎰C ．0110()x dx xdx --+⎰⎰D ．0110()xdx x dx -+-⎰⎰ 答案：C解析：【知识点：定积分】3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a b f (x )dx 的符号（）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的D ．以上都不对答案：A解析：【知识点：定积分】4．若⎠⎛a b f (x )dx ＝1，⎠⎛a b g (x )dx ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]dx ＝（）A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分】5．设a ＝10⎰x 13dx ，b ＝10⎰x 2dx ，c ＝1⎰x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c .6．由曲线y =x 2-1，直线x =0，x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（）A.220(1)x dx -⎰B.2201x dx -⎰C.220(1)x dx -⎰D.122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 答案：B解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知，阴影部分的面积为2121222211(1)(1)(1)(1)x dx x dx x dx x dx ---=-++⎰⎰⎰⎰2201x dx =-⎰7．⎠⎛06(2x －4)dx ＝____________. 答案：12解析：【知识点：定积分】A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x－4)dx ＝16－4＝128．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )dx ＝1，则f (x )的解析式为_________________．答案：f (x )＝65x ＋25解析：【知识点：定积分】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝a ⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01bdx ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.9．定积分⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx 的值为________．答案：92π 解析：【知识点：定积分】如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2dx ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3dx ＝0.由定积分的性质，得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx ＝⎠⎛－339－x 2dx －⎠⎛－33x 3dx ＝9π2. 10．已知f (x )=错误！未找到引用源。

高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念含解析

1．5.3 定积分的概念预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？(2)定积分的计算有哪些性质？[新知初探]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξ i )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξ i )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1n b －a n f (ξ i )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算⎠⎛a bf (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝S ；当f (x )<0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .2．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a bf 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x . (3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛02x 2d x ＝1.( )(2)⎠⎛a bf (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a b(x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a bx 2d x ＋⎠⎛a b2x d x . ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2.⎠⎛02x d x 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D ．－2答案：C3．已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则( ) A.⎠⎛01f (x )d x ＝4 B.⎠⎛02f (x )d x ＝4C.⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝8 D ．以上答案都不对答案：C4．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛－t 0x d x ＝________. 答案：－2利用定义求定积分[典例] 利用定义求定积分⎠⎛03x 2d x .[解] 令f (x )＝x 2，(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i＝3i n (i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和：令ξi ＝x i ＝3i n (i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫3i n 2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＝92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n . (3)取极限：根据定积分的定义，有⎠⎛03x 2d x ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx＝⎣⎡⎦⎤92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝9.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n 等分区间[a ，b ]；(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，可取ξi ＝x i －1或ξi ＝x i ； (3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an ；(4)取极限：⎠⎛a bf (x )＝li m n →∞∑i ＝1n f (ξi )·b －an . [活学活用]利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．解：令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫1＋in ·Δx＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1＋i n 2＋2⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎡⎦⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝S n ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23. 用定积分的性质求定积分[典例] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d x B.⎠⎛022x 2d xC.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛012x d x ＋⎠⎛12(x ＋1)d x(2)已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e33，求下列定积分的值：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ； ②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x .[解析] (1)由定积分的几何性质得：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .答案：C(2)解：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ＝2⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0ex 2d x ＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝⎠⎛0e2x 2d x －⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0e1d x ，因为已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．[活学活用]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1.且⎠⎛0－1 (2x －1)d x ＝－2，⎠⎛01 e －x d x ＝1－e －1，求⎠⎛1－1f (x )d x .解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1).用定积分的几何意义求定积分[典例] 求定积分：⎠⎛02(4－(x －2)2－x )d x .[解] ⎠⎛024－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即⎠⎛024－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.⎠⎛02x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积，即⎠⎛02x d x ＝12×22＝2.∴原式＝⎠⎛024－(x －2)2d x －⎠⎛02x d x ＝π－2.当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要注意定积分的符号．[活学活用]计算⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．解：如图所示，由定积分的几何意义得⎠⎛3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ⎠⎛3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得 ⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛3－39－x 2d x －⎠⎛3－3x 3d x ＝9π2.层级一学业水平达标1．定积分⎠⎛2－2f (x )d x (f (x )>0)的积分区间是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．不确定解析：选A 由定积分的概念得定积分⎠⎛2－2f (x )d x 的积分区间是[－2,2]． 2．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A 由定积分的几何意义知，⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故⎠⎛13(－3)d x ＝－6.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a bf (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a bf (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析：选D A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )＞0的曲线围成的面积比f (x )＜0的曲线围成的面积大．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1 x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛1－1x 2d x ＋⎠⎛1－12x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：选D 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 求出的是( )解析：选D 定积分S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，D 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．故选D.6．若⎠⎛a bf (x )d x ＝3，⎠⎛a bg (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝__________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5. 答案：57．若⎠⎛a bf (x )d x ＝1，⎠⎛a bg (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝_______. 解析：⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝2×1－3＝－1. 答案：－18．计算：⎠⎛0416－x 2d x ＝____________.解析：⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14π·42＝4π.答案：4π9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)⎠⎛－3－2 x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x .解：(1)原式＝⎠⎛1－3x 2d x ，如图(1)所示． (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5，x ∈[－1，1]，x ，x ∈[1，π)，sin x ，x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分．解：由定积分的几何意义知：∵f (x )＝x 5是奇函数，故⎠⎛1－1x 5d x ＝0； ⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图(1)所示)；⎠⎛1πx d x ＝12(1＋π)(π－1)＝12(π2－1)(如图(2)所示)．∴⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛－π3πsin x d x＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．层级二应试能力达标1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a bf (x )d x －⎠⎛a bf (t )d t 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零D ．不能确定解析：选B ⎠⎛a bf (x )d x 和⎠⎛a bf (t )d t 都表示曲线y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.2．(陕西高考)如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛01(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x解析：选C 由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.3．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：选B 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x ＜⎠⎛01x 2d x ＜⎠⎛01x 13d x ，即a ＞b ＞c ，故选B.4．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：选D 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.5．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________. 解析：原式＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011－x 2d x .因为⎠⎛012d x ＝2，⎠⎛011－x 2d x ＝π4，所以⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4.答案：2＋π46．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为______．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝a ⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.答案：f (x )＝65x ＋257．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程．解：依题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝∫600v (t )d t ＝∫20032t d t ＋⎠⎛2040(50－t )d t ＋⎠⎛406010d t＝300＋400＋200＝900(米)．8．求证：12＜⎠⎛01x d x ＜1.第11页共11页证明：如图，⎠⎛01x d x 表示阴影部分面积，△OAB 的面积是12，正方形OABC 的面积是1，显然，△OAB 的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC 的面积，即12＜⎠⎛01x d x ＜1.。

高中数学 1.5.3定积分的概念导学案新人教版选修2-2

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.5.3 定积分的概念导学案（无答案）新人教版选修 2导学案学习目标：学习重点：学习难点：学法指导：知识链接 1. 用四步曲 ------------------------- 求得曲边梯形得面积 S=____________________________ 2.用四步曲求得变速运动得路程 S=_____________________________. 自主学习例1. 函数 f ( x) 在区间 a, b 上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程. 1. 了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分; 2. 了解定积分的几何意义及性质. 定积分的概念, 定积分的几何意义及性质.上述和式无限接近某个常数 , 这个常数叫做函数 f ( x) 在区间 a, b 上得定积分 , 记做baf ( x)dx  lim n  i 1nba f ( i n),定积分的几何意义是:_____________________________________________________________________________________________________ ___-. 例 2. 计算下列定积分的值 , 并从几何上解释这个值表示什n 2 (n  1) 2 么?( 1  2    n  ) 43 3 3(1) (3) x dx3 01(2) (4) 01 2x 3 dx x dx3 111x 3 dx例 3.利用定积分的几何意义说明101  x 2 dx 的大小.例 4.利用定积分的定义,证明 1dx  b  a ,其中 a, b 均为常数且 a  b .ab合作探究 1. 设连续函数 f ( x)  0 ,则当 a  b 时,定积分 A. 一定是正的 C.当 0  a  b 时是正的 2. 与定积分 A.baf ( x)dx 的符号___ _____B.一定是负的 D.以上都不对3  2 0sin x dx 相等的是_________B.3  2 0sin xdx33  2 0sin xdx3C.0sin xdx -  2 sin xdxD.2 0sin xdx   2 sin xdx23. 定积分的baf ( x)dx 的大小_ ________A. 与 f ( x) 和积分区间 a, b 有关,与  i 的取法无关.B. 与 f ( x) 有关,与区间 a, b 以及  i 的取法无关 C. 与 f ( x) 以及  i 的取法有关,与区间 a, b 无关 D. 与 f ( x) 以及  i 的取法和区间 a, b 都有关 4. 下列等式成立的是________ A. C. 0  dx  b  aabB. D.bbaxdx 1 2b a11x dx  2 x dx01 ( x  1)dx  a bbxdx5. 已知 6. 已知 7. 已知 8. 计算baf ( x)dx =6,则  6 f ( x)dx  ______a ba 2f ( x)  g ( x)dx  18,2 0bag ( x)dx  10 ,则  f ( x)dx =______________a01f ( x)dx  3, 则   f ( x)  6dx  ___________12 3x0dx9. 计算 6x dx3 01。

高中数学专题1.5.3 定积分的概念教案新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案

定积分的概念【教学目标】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．【教法指导】本节学习重点：掌握定积分的基本性质．本节学习难点：理解定积分的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?(2)定积分就是和的极限limn→∞∑ni＝1(ξi)·Δx，而ʃb a f(x)d x只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b 的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x3d x的值．解令f(x)＝x3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .2＋i －1n ，从而得∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1(2＋i －1n )·1n ＝∑n i ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n n －12＝2＋n －12n .(3)取极限：S ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.探究点二定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃba f (x )d x 表示什么？答当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃba f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于b －an>0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃba f (x )d x ＝－S .当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃba f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃba f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃbf (x )d x (其中n ∈N *)．思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： (1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12. ☆课堂提高☆1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑ni ＝1i 3n 3·1n； ②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i －13n 3·1n；③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i 3n 3·1n. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 C2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (i ＝1,2，…，n )上的值可以用 ( )近似代替 A.inB ．1f n ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．i f n ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1n【答案】C【解析】f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上每一点对应的函数值近似代替，故选C. 3．下列等式不成立的是( ) A. ()()ba mf x ng x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝m ()b a f x dx ⎰＋n ()ba g x dx ⎰ B. ()1ba f x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝()ba f x dx ⎰＋b －aC. ()()baf xg x dx ⎰＝()()bbaaf x dxg x dx ⎰⎰D.2π2πsin xdx -⎰＝02π2πsin sin xdx xdx -+⎰⎰【答案】C【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C 不成立．例如112xdx =⎰，12013x dx =⎰，13014x dx =⎰，11132000x dx xdx x dx ≠⋅⎰⎰⎰.故选C.4．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )． A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 【答案】 B【解析】偶函数图象关于y 轴对称，故ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16，故选B. 5．已知1e e 1xdx =-⎰，221e e e xdx =-⎰，2283x dx =⎰，2122ln 2dx x =⎰.求：(1)2e xdx ⎰；(2)()220e 3xx dx +⎰；(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 【解析】(1)21222001e e e e 1e e e 1x x x dx dx dx =+=-+-=-⎰⎰⎰.(2)()22e3xx dx +⎰＝2e xdx ⎰＋()223x dx ⎰＝2e xdx ⎰＋2203x dx ⎰＝e 2－1＋8＝e 2＋7.(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝21e xdx ⎰＋21122dx x ⎰＝e 2－e ＋ln2. 6．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3[2n 2n ＋14n ＋16－n n ＋12n ＋16]＋2n2·n n ＋1＋2n2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23，2 3的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．ʃ21(－x2＋2x)d x＝。

高中数学选修2-2学案4：1.5.3 定积分的概念

1.5.3 定积分的概念学习目标：1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．了解定积分的概念．3．了解定积分的几何意义和性质．核心扫描：1．“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查．(热点) 2．学会求定积分．(重难点) 课前探究学习1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －an f (ξi )．其中a 与b 分别叫做积分下限和积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．想一想：当f (x )在区间[a ，b ]上且f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x 表示的含义是什么？当f (x )在区间[a ，b ]上值小于零时，⎠⎛ab f (x )d x 表示由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的图形的面积的相反数．6．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．名师点睛正确理解定积分的概念(1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．(2)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛ab f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分⎠⎛ab f (x )d(x )与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得的值也就不同，例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.课堂讲练互动：题型一利用定积分定义计算定积分例1：利用定积分定义计算⎠⎛12(1＋x )d x 的值．规律方法：(1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[x i －1，x i ]上对ξi 的选取是任意的，为了计算方便，ξi 可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．变式1：利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．题型二定积分几何意义的应用例2：用定积分的意义求下列各式的值．(1) ⎠⎛-13(3x ＋1)d x ； (2)x .题后反思： (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： ①准确画出各曲线围成的平面区域；②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； ③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； ④根据积分的性质写出结果．(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．变式2：利用定积分的几何意义求： (1)2224x --⎰d x ； (2)1201x -⎰d x .方法技巧：无限逼近的思想求曲边梯形的面积求定积分四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，求得整体图形的面积．例3：如图所示，求图中曲边梯形的面积．(只要求写出极限形式)方法点评：利用无限逼近的思想先分割，用小矩形面积近似代替曲边梯形面积，分割越细，所求的近似值就越接近于曲边梯形面积的真实值，通过求极限，就可以得到所求面积的真实值，这种方法称为微分法. 课堂检测：1．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．2．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛ab [2g (x )]d x ＝________.——★ 参考答案 ★——例1：解：(1)分割：∵f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间长度为Δx i ＝1n， (2)近似替代：在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋in ]上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，(3)求和：从而∑i ＝1nf (ξ1)Δx i ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n＝∑i ＝1n(2n ＋i －1n 2)＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·()12n n -＝2＋n －12n ， (4)取极限：⎠⎛12(1＋x )d x ＝lim n →∞(2＋n －12n )＝2＋12＝52.变式1：解：令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in ](i＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf (n ＋i －1n )·Δx＝∑i ＝1n[()31n i n +-＋2]·1n＝∑i ＝1n[()231i n -＋5n ] ＝5＋3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞(132－32n )＝132.例2：解：(1)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：⎠⎛-13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛-13(3x ＋1)dx ＝12×⎝⎛⎭⎫3＋13×(3×3＋1)－12⎝⎛⎭⎫－13＋1·2＝503－23＝16.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1，(y ≥0)图象如图，由定积分的几何意义知32231x --x等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－2×12×1×1×sin π3cos π3＝π3－34， S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴32231x --x ＝π3－34＋32＝π3＋34.变式2：利用定积分的几何意义求： (1)224x --⎰x ； (2)21x -⎰d x .解：(1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有224x --⎰x ＝π·222＝2π.(2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一的圆，由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的面积．∴201x -⎰d x ＝14π·12＝14π.例3：解：(1)分割：如图所示，将区间[a ，b ]任意分割成n 个小区间，其分点记为：x 1，x 2，… ，x n －1，x 0＝a ，x n ＝b ，即x 0＝a <x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，每个区间记为[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上任取一点，记为ξi (x i －1<ξi <x i )，并记Δx i ＝x i －x i －1. 以小区间长度Δx i 为底，f (ξi )为高的小矩形面积为 f (ξi )Δx i ，设小曲边梯形面积为ΔA i (i ＝1,2，…，n )，则有ΔA i ≈f (ξi )Δx i (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：将所有n 个小矩形面积加起来，得 S n ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξn )Δx n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i .①(4)取极限：如果分点的数目无限增多，且每个小区间的长度趋近于零时，和式①的极限存在，则和式①的极限就是所求曲边梯形的面积S .即S ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )Δx i .课堂检测：1．[解析]∵0<x <π2，∴sin x >0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为π⎰2sin x d x .[答案]π⎰2sin x d x2．[解析]⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x＝⎠⎛ab [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x＝3－1＝2. [答案]2。

人教课标版高中数学选修2-2《定积分的概念》名师课件2

巩固训练
解：因为bf(x)dx＋bg(x)dx＝b[f(x)＋g(x)]dx，
a
a
a
所以bf(x)dx＝12－6＝6， a
所以b3f(x)dx＝3bf(x)dx＝3×6＝18.
a
a
素养提炼 1．定积分的物理意义
素养提炼
2．有关定积分的常用结论
(1)
性
质
(2)
对
于
有
限
个
函
数
(
两
个
以
上
)
也
成
立
，
其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的左端点或右端点，求和时要注意一些求和公式的灵活运用.
巩固训练
证明：令 f(x)＝k，用分点 a＝x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间[xi－1，xi](i＝1，2，…，n)，在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1，2，…，n)．作和式i∑＝n1f(ξi)Δx＝i∑＝n1k·b－n a＝k(b－a)，因为当 Δx→0(亦即 n→∞)时，k(b－a)→k(b－a)，所以bkdx＝k(b－a)．
Oa
b
c
b
f (x)dx Sf (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
b
c
b
a f (x)dx aSf (x)dxc f
yf (x)
新课讲解
思考:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分
的面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2

高中数学 1.5.3定积分的概念导学案新人教版选修2-2 (2)

1．5.3 定积分的概念【学习目标】理解定积分的概念，掌握三种求定积分的方法【重点难点】求定积分的方法一、自主学习要点1 定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξ1(i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξ1)Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξ1)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的，记作⎠⎛a bf(x)d x ，即⎠⎛abf(x)d x ＝lim n→∞∑i ＝1nb －anf(ξi )．这里，a 与b 分别叫做积分与积分，区间[a ，b ]叫做积分，函数f(x)叫做，x 叫做，f(x)d x 叫做要点2 定积分的几何意义如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由所围成的曲边梯形的面积．要点3 定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝； (3)⎠⎛ab f(x)d x ＝ (a<c<b)．二、合作，探究，展示，点评题型一定义法求定积分例1 用定义计算⎠⎛12(1＋x)d x.题型二定积分的几何意义例2 求定积分⎠⎛011－x 2d x.思考题1 不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)⎠⎛01x d x________⎠⎛01x 2d x(如右图)；(2)⎠⎛01x d x________⎠⎛12x d x(如下图)；(3)⎠⎛024－x 2d x________⎠⎛022d x(如下图)．题型三利用性质求定积分例3 (1)计算⎠⎛-33 (9－x 2－x 3)d x 的值；(2)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x∈[0，，4－x x∈[2，，52－x 2 x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．思考题2 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x∈[－2，，2x ，x∈[2，π，cos x ，x∈[π，2π]，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分；(2)计算⎠⎜⎜⎛π232 π(2－5sin x)d x 的值．题型四利用定积分表示平面图形的面积例4 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.思考题3 用定积分表示抛物线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的平面图形的面积．三、知识小结1. 若f(x)在[－a ，a]上连续，则：(1)当f(x)是偶函数时，⎠⎛－a a f(x)d x ＝2⎠⎛0a f(x)d x.(2)当f(x)是奇函数时，⎠⎛－aa f(x)d x ＝0.2．定积分的性质拓展：拓展一：若在区间[a ，b]上，f(x)≥0，则⎠⎛ab f(x)d x≥0.拓展二：若在区间[a ，b]上，f(x)≤g(x)，则⎠⎛a b f(x)d x≤⎠⎛ab g(x)d x.拓展三：⎪⎪⎪⎪⎠⎛abd x ≤⎠⎛ab |f(x)|d x.拓展四(估值定理)：设函数f(x)在区间[a ，b]上的最小值与最大值分别为m 与M ，则m(b －a)≤⎠⎛ab f(x)d x≤M(b －a)．利用这个性质，由被积函数的在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．。

人民教育A版选修2-2 1.5.3 定积分的概念导学案

1.5.3 《定积分的概念》导学案制作马冰审核高二数学组 2016-03-22【学习目标】1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义． 2．掌握定积分的基本性质．【预习导航】[问题1] 直线x ＝1，x ＝2，y ＝0和函数f (x )＝1＋x 围成的图形的面积是多少？[问题2] 利用定积分计算⎠⎛12(1＋x )d x 的值．[问题3] 两个数值相同是巧合吗？说明了什么问题？【问题整合】 1.定积分的概念2.定积分的几何意义3.定积分的性质【问题探究】探究活动一利用定义求定积分例1用定积分的定义计算⎠⎛12(x ＋1)d x .探究活动二定积分的几何意义例2利用定积分的几何意义，求：(1)⎠⎜⎛－4416－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x .探究活动三定积分性质的应用例3 利用定积分的几何意义求⎠⎜⎛－22f (x )d x ＋sin x d x 的值，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0.【课堂巩固练习】1．利用定积分的几何意义计算：(1)⎠⎛024－x 2d x ；(2)∫2π0cos x d x ；(3)⎠⎜⎛－11|x |d x ； (4)⎠⎜⎛－11x d x .2．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x(x <0)，则⎠⎜⎛－11f (x )d x的值是( )A ．⎠⎜⎛－11x 2d xB.⎠⎜⎛－112x d xC ．⎠⎜⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎜⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x(2)已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：①⎠⎛023x 3d x ； ②⎠⎛146x 2d x ； ③⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .【总结概括】【课后作业】习题 1.5A 组3,4,5.。

人教版高中数学选修2-2教学案1.5--1.6：定积分的概念与微积分基本定理(学生版)

定积分的概念与微积分基本定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. 一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f nab x f ξξ∑∑==-=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f nab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做，x 叫做变量，区间[,]a b 为区间，b 积分，a 积分。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第1章导数及其应用 1.5 第2课时

第二十四页，编辑于星期六：二十三点五十七分。
〔跟踪练习 2〕
用定积分的几何意义求：
(1)1(3x＋2)dx； 0
(2) 32πsinxdx.
π
2
第二十五页，编辑于星期六：二十三点五十七分。
[解析] 如图 1，阴影部分面积为2＋25×1＝72，从而1(3x＋2)dx＝72. 0
(2)如图 2，由于 A 的面积等于 B 的面积，从而32πsinxdx＝0.
0
0
C．πsinxdx＝πcosxdx
0
0
D．π|sinx|dx＝π|cosx|dx
0
0
[解析] 选 C．
由定积分的几何意义知πsinxdx>0，πcosxdx＝0，所以 C 不成立，故应
0
0
第十一页，编辑于星期六：二十三点五十七分。
3．下列值等于 1 的是( C ) A．1xdx
0
C．11dx 0
π
2
第二十六页，编辑于星期六：二十三点五十七分。
命题方向3 ⇨利用定积分的性质求定积分
典例 3
已知1x3dx＝14，2x3dx＝145，2x2dx＝73，4x2dx＝536，
0
1
1
2
求：(1) 23x3dx； 0
(2) 46x2dx； 1
(3)
2
(3x2－2x3)dx.
1
第二十七页，编辑于星期六：二十三点五十七分。
第十七页，编辑于星期六：二十三点五十七分。
『规律总结』用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.