第三章-2(5次)-1

3.3 连续性方程
控制体(control volume)——相对于坐标系固定不变的空间 体积V 。是为了研究问题方便而取定的。边界面S 称为控 制面。 反映了欧拉观点。
3-3 连续方程式(质量守恒方程)
基本原理
在流场中取任意形状的控制体，如图所示，
其体积为V，表面积为A，任意时刻控制体
内流体的质量为：
dV
v
体积
在流体穿越控制面的流动过程中，经过单位时间，如果流体质
量发生了变化，其质量变化率为 dV
t V
体积
这个质量变化率是由什么引起的？ 单位时间从控制体流入或流出的净流量。
若
（1）流出的大于流入的，则
v dA 0
A
t
V
dV
0
若 （2）流出的小于流入的，则
v dA 0
A
若
t
V
t
则dt时间内由于密度的变化导致六面体内质量的变化为： dxdydzdt
t
由质量守恒定理得：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
三元直角坐标 连续性方程。
写成哈密顿算子形式为:
r
(v)
0
t
三元流动连
续方程式 直
角
定常流动
坐 标
系
不可压缩流动
(vx ) (vy ) (vz ) 0
图3—19
3.4 理想流体运动微分方程 （动力学方程）
图2.4.1控制体
牛顿第二运动定律 F ma
加速
在X方向的合力 表面力
质量力
度
pdydz
p
p x
dx dydz
f x dxdydz
dxdydz
dvx dt
fx
1
p x
dvx dt
单位质量 m
同理 可得
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
本次课主要内容
3.3 流体动力学——连续性方程 3.4 流体运动微分方程 3.5 伯努利方程的推导及应用
3.3 流体动力学——连续性方程
在研究流体运动时有个基本的假设，即假设流体是一个连 续介质，流体无空隙的充满整个流场。
连续性方程是描述连续流体的基本方程，是质量守恒定律 在流体力学中的表达式。
连续性方程的理论基础——质量守恒定律
dV
0
（3）流出的等于流入的，上 述两项皆为0
不管何种情况，根据质 量守恒定律
控制体内流体质量变化 率与通过控制面的净流 量的代数和为0，即
A
v
dA
t
V
dV
0
特例1、定常流动连续方程
A
v dA
t
V
dV
0
在定常流动中，密度不随时间变化，控制体中的质量不随时间变化
因此
t
V
dV
0
所以
dvz dt
欧拉运动 微分方程
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
欧拉平衡微 分方程 P56
这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年由欧拉推出。
对于平衡的流体，相对于坐标系来说v=0，可以直接得出流 体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式。因此欧拉平衡微 分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。
解: 根据不可压缩流体一维连续方程得
v1A1 v2 A2
v1
d2 1 4
v2
d22 4
1.4 3.14 102 5.6 3.14 d22
4
4
d2 5cm
二、三元直角坐标下的连续方程
为了方便，选取流场中的矩形六面体微元作为控制体。如图 所示，其体积为V,表面积为A，流体密度为ρ，其边长为dx、 dy、dz，分别平行于x、y、z轴。在dt时间内从左侧ADEH
面为流入vv的'd' y。质dzd则量vt右为(侧v)v按ddxyd左z..d.，侧t 从面右泰侧勒B公C式FG展面开流并出略的去质高量阶项的： t
x,y,z
图3.3.1 控制体
泰 勒 展 开 式 高数上册P176
f(x)在x0点展开
f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
vx dxdydzdt
x
同理：Y方向质量的净 流入量
Z方向质量的净流入量
vy dxdydzdt
y
vz dxdydzdt
z
则dt时间内，在整个控制体流体质量的变化为：
[(vx ) (vy ) (vz )]dxdydzdt
x
y
z
同样，假设ADEH面t时刻的密度为ρ，右侧BCFG面t+dt时刻的密度为 dt
( x0 2
)
(x
x0 )2
f
(n) (x0 ) n!
(x
x0 )n
Rn (x)
v ' v (v) (x dx x) ...
t
v (v) dx
t
x方向 dt时间内 流入的流体质量
流出的流 体质量
X方向质量 的净流入量
图3.3.1 控制体
v x dydzdt
( vx
vx
x
dx)dydzdt
x
y
z t
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z
(vx ) (vy ) (vz ) 0 x y z
如何改为二元流动？？
• 输水管道经三通管分流．已知管径d1＝d2 ＝200mm， d3 =100 mm．断面平均 流速 v1 ＝3m／s ， v2 ＝2m／s。试求断
面的平均流速v3
v dA 0
A
在定常流动中，从控制体流出的质量流量永远等于流入控制体的质量流量。
特例2、不可压缩流体流动的连续方程
[
A
v
dA
t
V
dV
]
0
密度不随空间变化， 也不随时间变化。
dV V ,控制体的位置,形状,体积在流动过程中相对于坐标系不变，Vt 0 ，密度≠0
V
v dA 0
A
不可压缩流体流动时任何瞬时流入控制体的流量均等于同一瞬时从控制体流出的流量
fx
1
p x
dvx dt
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fy
1
p y
dvy dt
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fz
1
p z
dvz dt
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
*粘性流体运动微的分方程 纳维、斯托克斯方程(N-S方程)
A1 v1dA1
v2 A2 v1A1 0
如果流体不可压缩的话，密度为常数，则 得到一元不可压缩流体的连续性方程。
v1A1 v2 A2 vA 常量
即平均速度与过流断面的面积成反比
公式中的密度和速度是过流断面上的平均值
例:如图水从管口自由向下流，已知v1=1.4m/s, d1=10cm, v2=5.6m/s, 求d2=?
一、一元流动的连续性方程
流动随一个、两个、三个空间坐标变化的流动称为一元、二元、三元流动。 不但微小流束是一元流动，有固体边界的总流，如果一切流动参数均以过流 断面上的平均值计算，也可看作一元流动。如图3－11，左进口和右出口的 质量相等，即一元定常流动的方程式是：
v dA A
A2 v2dA2