第8讲 函数的零点与二分法

函数的零点与二分法

1、 掌握函数的零点和二分法的定义．

2、 会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：

定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒：

函数零点个数的确定方法：

1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；

2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；

3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：

定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：

用二分法求函数零点的近似值

第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；

第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；

若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =

第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则

重复第二、

三、四步。

类型一求函数的零点

例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1

练习1：求函数y ＝x 3

－x 2

－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.

练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－7

2 D ．－7

答案：C

类型二 零点个数的判断

例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数 解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得

Δ＝49－4×12＝1>0，

∴方程x 2

－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个

练习1：二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．0个

D ．无法确定

答案：B

练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2

＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．a >－9且a ≠0

B ．a >－9

C ．a <－9

D ．a >0或a <0

答案：A

类型三 函数零点的应用

例3：若关于x 的方程x 2

＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．

解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2

＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，

由⎩⎪⎨⎪

⎧

f 0>0f 1<0f 2>0

，即⎩⎪⎨⎪

⎧

2k －1>01＋k －2＋2k －1<0

4＋2k －2＋2k －1>0

，

解得，12

3

，

∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2

＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为

__________．

答案：(－∞，－1)

练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2

＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12

类型四 二分法的概念

例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．

解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．

答案：B

练习1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )

A．只有一个变号零点

B．有一个不变号零点

C．至少有一个变号零点

D．不一定有零点

答案：C

练习2：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

答案：B

类型五用二分法求函数零点的近似值

例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．

解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：

就是所求函数精确到0.1的实数解．

答案：1.7

练习1:试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．答案：－0.7.

练习2: (四川省中学高一月考)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间( )

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)

C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)

答案：B