第8讲 函数的零点与二分法
函数应用零点二分法知识点和练习
一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
函数的零点-高中数学知识点讲解
函数的零点
1．函数的零点
【函数的零点】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0 的实数根x 叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为 0 的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解法﹣﹣二分法】
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1 就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥
若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【总结】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x 轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
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函数零点与二分法
1．函数零点 概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。
既存在，使得，这个也就是方程的根。
2.二分法 二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）； ③若·<，则令=（此时零点）； （4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
（二）考点分析题型1：方程的根与函数零点例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A ．(0，1)B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，+∞) （2）设a 为常数，试讨论方程的实根的个数。
解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与y=-x+3的图象(如图)。
它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。
实际上这是要比较与2的大小。
当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。
由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C 。
（2）原方程等价于))((D x x f y ∈=0)(=x f x))((D x x f y ∈=)(x f y =0)(=x f )(x f y =x 0)(=x f ⇔)(x f y =x ⇔)(x f y =)(x f y =],[b a 0)()(<b f a f )(x f y =),(b a ),(b a c ∈0)(=c f c a[]b )(a f )(b f 0<)(x f y =)(x f ε)(x f a []b )(a f )(b f 0<εa ()b 1x )(1x f )(1x f 01x )(a f )(1x f 0b 1x ),(10x a x ∈)(1x f )(b f 0a 1x ),(10b x x ∈εε<-||b a a b )lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-0x 0x 0x 0x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-xa x x x a x x )3)(1(00301即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解； ③当或时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生法求方程lgx+x=3解所在的区间。
(整理版)用二分法求函数零点
用二分法求函数零点二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象连续不间断；②()()0f a f b <．二分法不适合不变号零点的情况．二分法求零点的根本方法是：第一步 取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步 取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，假设11()0f x x =，就是所求零点，计算结束；假设1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步 对已确定的区间，重复第二步，直到到达规定的误差要求，计算结束.实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]n n a b ，，当 2n n a b ε-<时，区间[]n n a b ，的中点1()2n n n x a b =+就是函数()y f x =的近似零点，这时函数()y f x =的近似零点与真正零点的误差不超过ε.这也就是说：函数的零点总位于区间[]n n a b ，内，得到一系列的有根区间0011[][][]n n a b a b a b ，，，[]n n a b ，的长度为n d ，那么00122n n n n n n b a d b a x c d -=-=-<，，即0012n n b a x c +--<〔其中c 为函数的真正零点〕.所以当2n n a b ε-<时，1122n n n n x c d b a ε-<=-<.反过来，由n x c ε-<出发，0000111222n n n n b a b a x c d εε++---<=<>，〔ε为精确度要求，00a b ，为初始区间端点值〕，根据该式可以确定n 的最小值0n ，这样我们做题时就可以事先知道需要0n 次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.例 用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点〔精确到0.01〕.解：3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(0f x x x x x x x x x x x x =+--=+-+=+-=+=∴函数的零点为1-，.23x x ==，，令2()3f x x =-2()3f x x =-的零点， ∵ (1)20(2)10f f =-<=>，，， ∴可取初始区间[12]，用二分法逐次计算.由0012n b a ε+->，知12121000.01n +->=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．。
高一 数学 函数的零点与二分法课件
二分法在寻找函数零点中的应用
二分法是一种通过不断将区间 一分为二来逼近函数零点的数 值方法。
在给定一个连续函数和一个闭 区间，不知道零点所在的大致 位置时，可以使用二分法来找 到零点。
二分法的基本思想是，如果函 数在区间两端取值异号，则该 区间内必定存在一个零点。
二分法在解决函数零点问题中的优势
实例
以 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 为例， 其零点为 $x = -1, x = 3$。
高次函数的零点问题
高次函数零点定义
高次函数 $f(x)$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
零点求解方法
通过解高次方程来找到零点。
实例
以 $f(x) = x^3 - x - 1$ 为例，其零点为 $x = 1, x = -1, x = frac{1}{3}$。
以 $f(x) = x - 3$ 为例，其零点为 $x = 3$。
零点求解方法
通过解方程 $ax + b = 0$ 来找到零 点。
二次函数的零点问题
二次函数零点定义
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的
$x$ 值。
零点求解方法
通过解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来找到零点。
导数法
通过判断导数的正负来判 断函数的单调性，进而找 到函数的零点。
03 二分法原理
二分法的定义
二分法定义
二分法是一种求解实数近似值的方法，通过不断将区间一分 为二，使区间长度逐渐缩小，当区间长度小于给定的误差范 围时，区间内的任意实数近似值即可作为所求的近似解。
二分法求函数零点
二分法求函数零点
二分法求函数零点是一种数值解法，它利用二分搜索的思想，通过不断地将函数的定义域划分为较小的子域，来求函数的零点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(a)f(b)<0，即函数在区间[a,b]上必定有一个零点。
1. 首先确定区间[a,b]，计算出中点c，即c=(a+b)/2；
2. 计算f(c)，若f(c)=0，则c即为所求零点；若f(c)不等于0，
则根据f(c)与f(a)的符号关系，确定下一个搜索区间；
3. 若f(c)与f(a)异号，则零点位于区间[c,b]，此时a=c，继续重复步骤1；若f(c)与f(a)同号，则零点位于区间[a,c]，此时b=c，继续重复步骤1；
4. 重复步骤1-3，直到搜索区间的宽度小于某一预先设定的精
度值，此时得到的零点即为所求零点。
人教版高数必修一第8讲：函数的零点与二分法(学生版)
4-1函数的零点与二分法1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点．练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( )A ．7B ．72C ．－72 D ．－7类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9D ．a >0或a <0类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．类型四二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)类型五 用二分法求函数零点的近似值例5:求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．练习1:试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0D ．2或13、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4D ．1.55、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－123．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－467．已知函数2f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．8．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 10.已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．。
高中数学：函数零点的概念及求法，用二分法求方程的近似解
高中数学：函数零点的概念及求法，用二分法求方程的近似解一、知识点1、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。
2、方程的根与函数的零点的关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
3、函数零点的存在性对函数零点的存在性应从以下几方面进一步理解：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；（3）在函数的某一单调区间内，至多有一个零点；（4）如果函数在一个区间上的图象不间断，并且它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间至少有一个零点。
4、二分法对于在区间[a，b]上连续不断、且f（a）· f（b）＜0的函数y＝f （x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
5、用二分法求方程的近似解步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a，b）的中点x1；（3）计算f（x1）；1）若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；2）若f（a）·f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；3）若f（b）·f（x1）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））。
（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2～4。
说明：1）二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性。
2）二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想，它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值（即方程近似解）。
“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好的运用，希望同学们在学习中要多加领会。
3）二分法求函数零点的不足：二分法的思路虽然简单，但一方面，若函数在上有几个零点时，则只能算出一个零点；另一方面，即使函数在上有零点，也未必有，这就限制了二分法的使用范围。
函数的零点和二分法
练习1： 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
y
1
y=x3
有惟一解x0∈(0,1)
0 1
x
y=1-3x
课堂小结
1. 二分法定义 二分法是求函数零点近似解的一种计算方法. 2.解题步骤 ①确定初始区间 ②计算并确定下一区间，定端点值符号 ③循环进行，达到精确度。 3. 感悟重要的数学思想：等价转化、函数与 方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近 的思想.
由特殊到一般性的归纳：
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 方 程 Δ> 0 Δ= 0 判别式Δ x1=x2=1 x1=-1，x2=3 方程的根 方程ax2 +bx+c=0 两个不相等的 有两个相等的 (a>0)的根 数 实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 函 y y 函数y=ax2 +bx+c (a>0)的图象 2 4
A. ( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1)
B）
D. (0，0.5)
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法 ——二分法
问题1： 有12个球,其中有一个比别的球重,你用天平 称几次可以找出这个球?次数越少越好 ? • 第一次,两端各放6个,低的那端有重球. • 第二次,两端各放3个,低的那端有重球. • 第三次,两端各放1个,如果平了,剩下的 那个就是,否则低的那端那个就是!
数离形时少直观，形离数时难入微！
1．简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
函数的零点 二分法 人教B版本 高一 精华
5）常见函数的零点 ）
Y=kx+b （讨论参数）
二次函数y=ax2+bx+c （a><0） 二次函数 ） 当△=b2－4ac>0时，二次函数 ax2+bx+c有两个 时 二次函数y= 有 零点； 零点； 有一个二 当△=b2－4ac=0时，二次函数 ax2+bx+c有一个二 时 二次函数y= 有一个 重的零点或说有二阶零点； 重的零点或说有二阶零点； 或说有二阶零点 没有零点； 时 二次函数y= 没有零点 当△=b2－4ac<0时，二次函数 ax2+bx+c没有零点； 反比例和对号函数没有零点
2）数形理解 数形理解：
方程f (x)＝0的实数根 ＝ 的实数根 ⇔函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标 的图象与 轴交点的横坐标 ⇔函数y＝f (x)的零点 的零点
y
a
0b
c
d
f
x
3)分类： 分类： 分类 变号零点：穿过 轴 变号零点：穿过x轴 不变号零点：不穿过 轴 不变号零点：不穿过x轴 4)性质： 性质： 性质 （1）函数图象过变号零点时，函数值变号， ）函数图象过变号零点时，函数值变号， 过不变号零点时， 过不变号零点时，函数值不变号 （2）相邻的两零点点，函数值保持同号 ）相邻的两零点点，
由上表，你得到的猜想是？ 由上表，你得到的猜想是？
2：零点存在定理 ：
在区间[ 如果函数y=f(x)在区间 a, b]上的图象是 在区间 上的图象是 连续不断的, 连续不断的 并且f(a) · f(b)<0, 在区间( 则函数y=f(x)在区间 a, b)上至少有一个 在区间 上至少有一个 零点
巩固理解： 巩固理解：
人教版高数必修一第8讲：函数的零点与二分法(学生版)
函数的零点与二分法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a) f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a) f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a) f （ ）＜0，则令1b x =；若f( ) f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第8章函数应用 函数零点的综合问题 用二分法求方程的近似解
[解析]因为 = 与 = − 在上单调递增，
所以() = + − 在上单调递增，
因为(. ) < ，(. ) > ，
所以()在(. , . )上有唯一零点 ，
即 + − = ，故 = − ，
题后反思用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
1.需依据图象估计零点所在的初始区间(, )（一般采用估计值的方法完成）.
2.取区间中点，计算()，确定有解区间是(, )还是(, )，逐步缩小区间的
“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
跟踪训练2已知函数 = ()的图象是一条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列
二分法求解的个数分别为() D
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
[解析]图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4.左、右函数
值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.
规律方法 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据:其图象在零点附近是连续不断
的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零
() B
(参考数据：0.753 = 0.421 875，0.6253 ≈ 0.244 14)
A.0.825
B.0.635
C.0.375
D.0.25
[解析]设() = + − ，
则() = − < ，() = + − = > ，
因为(. ) = × . + × . − < ，且() = + − 在上单调递增，
[解析]由表可知()() <
零点和二分法
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
小结3．二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
y
1 0.5 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 1.25
f ( x) 2 3x 7
x
1.5
2
x
y
1 0.5
f ( x) 2 3x 7
x
1.375
1 1.25 1.5 2
0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
x
y
1 0.5 0 1 1.375
f ( x) 2 3x 7
小结4：二分法实质
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。
思想方法：
等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨 论以及无限逼近的思想.
注：变号零点才能用二分法求解
练习巩固
若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函 数值用二分法计算，其参考数据如下： 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.4063 x 1
f(x) -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 -0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为 0.1）为（ C ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
函数的零点与二分法
函数与方程教学设计农大附中张晓东一、教材分析1．本单元的教学内容范围2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法2．本单元的教学内容在模块中的地位和作用函数的应用是学习函数的主要目的之一。
本模块安排了 2.3, 2.4, 3.4三节函数应用的学习，2.3, 3.4节主要是关注函数在生活实践及其它领域中的应用，而本节内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给学生呈现了研究一个问题完整的思路和方法。
本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系。
在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用。
函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用。
3．本单元教学内容的总体教学目标（1）进一步了解函数的广泛应用（2）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法4．本单元的教学内容重点和难点分析重点：理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解。
难点：函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。
5．其它相关问题本单元的两节内容属于新增内容，涉及函数在数学内部的应用。
大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用。
课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处。
函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质，二次函数的相关知识，为本节的学习提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新，体现了本套教材低起点，循序渐进，螺旋式上升的特色。
2.函数的零点与二分法(教师版)-精选文档
函数的零点与二分法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a) f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a) f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a) f （ ）＜0，则令1b x =；若f( ) f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
高一数学函数的零点与二分法教案
一. 教学内容：函数的零点与二分法 三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
4、函数零点的求法：Ⅰ：可以解方程0)x (f =而得到（代数法）； Ⅱ：可以将它与函数)x (f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法） 5、二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表。
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函数的零点与二分法1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数 解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( )A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－9且a ≠0B ．a >－9C ．a <－9D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )A．只有一个变号零点B．有一个不变号零点C．至少有一个变号零点D．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：就是所求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1:试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．答案：－0.7.练习2: (四川省中学高一月考)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0,f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： 7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.。