周期矩形信号的频谱分析

1.周期信号的频谱

周期信号在满足一定条件时，可以分解为无数三角信号或指数之和。这就是周期信号的傅里叶级数展开。在三角形式傅里叶级数中，各谐波分量的形式为()1cos n n A n t ωϕ+；在指数形式傅里叶级数中，分量的形式必定为1j n t

n F e

ω 与1-j -n t

n F e

ω 成对出现。为了把周期信号所具有的各

次谐波分量以及各谐波分量的特征（如模、相角等）形象地表示出来，通常直接画出各次谐波的组成情况，因而它属于信号的频域描述。

以周期矩形脉冲信号为lifenxi 周期信号频谱的特点。周期矩形信号在一个周期（-T/2,T/2）内的时域表达式为

,2

0,>2

()A t T t f t ττ

≤⎧=⎨⎩

（2-6）

其傅里叶复数系数为

12

n n A F Sa T ωττ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

（2-7） 由于傅里叶复系数为实数，因而各谐波分量的相位为零（n F 为正）或为π±（n F 为负），因此不需要分别画出幅度频谱n F 与相位频谱n φ。可以直接画出傅里叶系数n F 的分布图。

如图2.4.1所示。该图显示了周期性矩形脉冲信号()T f t 频谱的一些性质，实际上那个也是周期性信号频谱的普遍特性： ① 离散状频谱。即谱线只画出现在1ω的整数倍频率上，两条谱线的间隔为1ω（等于2π/t ）。 ② 谱线宽度的包络线按采样函数()1/2a S n ωτ的规律变化。如图2.4.2所示。但1ω

为

2π

τ

时，即(

)2m π

ωτ=（m=1，2，……）时，包络线经过零点。在两相邻 零点之间，包络线有极值点，极值的大小分别为-0.212()2A T

τ，

0.127(

)

2A T τ，……

③ 谱线幅度变化趋势呈收敛状，它的主要能量集中在第一个零点以内，因而把w=0- 2 / 这段频率范围称为信号的有效带宽， B ω或B f

2B rad π

ωτ

=

1

B f hz τ

=

图2.4.1 周期性矩形脉冲信号频谱

τ

π

2

τ

π

4 τ

π

2 ω

2.4.2 频谱包络线

由上两式可见，信号频带宽度只与脉宽有关，且成反比关系，这时信号分析中最基本的特性。信号的有效宽度（简称宽度）是信号频率特性中重要指标。当信号通过系统时，信号与系统的带宽必须匹配。若信号的有效带宽大于系统的有效带宽，则信号通过次系统时，就会损失许多重要的成分而产生较大失真；若信号的有效带宽远小于系统的带宽，信号可以顺利通过，但对系统资源是巨大浪费。

④τ和T值的变化对频谱的影响可以用图2.4.3和图2.4.4表示出来。

由图2.4.3可见，T值不变，基波频率

12

T π

ω=不变，谱线的疏密间隔不变。τ值减少，是各个分量的幅值减少，同时也使包络线的第一零点右移，即信号占有频带宽度增大。由图2.4.4可见，τ值不变，包络线第一零点的位置不变；T值增大，使各个分量的幅度减少，同时使基波频率

1

ω减少，谱线变密。

2.EWB分析及傅里叶分析

EWB在波形分析方面，其SPICE的谱线分析功能可代替选频点平表实现对周期信号的频谱分析，

图2.4.4 不同的T值下周期矩形脉冲的频谱

t

t

t