现代信号处理第五章高阶倒谱

A( m) 和 c o ( m) 分 别 是 i ( k ) 和 o( k ) 的 复 倒 谱 。 实 际 上 有 c i ( m) , m0 和 m c o ( m) B ( m) , m 0。 m
5.2.4
复倒谱计算和解相位模糊（Unwrapping）
为了使复倒谱存在，需要保证 log | H ( ) | 为连续。然而， h ( ) 可以是不连续的， 因为在每个频率 处，可加 2 的任意整数倍，即
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最大相位时，对所有的 m 0 ，有 A ( m ) 0 ；
(v)
如果 y (k ) h(k ) * x(k ) ，则有 c y (m) c n (m) c x (m) 。即线性卷积运算在复倒谱域 变成了求和运算。将该性质用于（5.4.3）式可得 c h (m) ci (m) co (m) ，其中 ci (m)
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i (k )
最大相位分量为
1 2
I ( ) exp{ jk}d,


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第五章 高阶倒谱(Higher-Order Cepstrum) 多倒谱(Polycepstra)
5.1 引言
倒谱作为信号处理技术最初由 Bogert， Healy 和 Tukey[1963]引入。 Oppenheim[1969] 引入同态滤波（Homomorphic Filtering）作为一类非线性信号处理技术，倒谱作为特例 也包含其中。同态滤波或倒谱分析是一种非参数方法，因此，它对大多数信号均有效， 包括那些非最小相位信号和用零极点表征的信号。虽然信号的倒谱是一种简单的变换， 但它具有丰富的性质和广泛的应用。已经应用于语言、地理学、声纳、生物医学、图 像处理等领域。 本章详细介绍高阶倒谱的性质和计算以及他们在非线性相位重构和解卷积中的应 用。同时也介绍确定性能量信号和随机线性非高斯信号的多倒谱。
i 1 i 1
L1
L2
log(1 ci z )
1 i 1
L3
(5.6)
信号的复倒谱 ch m 定义为 log H ( z ) 的 Z 反变换，为
c h ( m)
1 log[ H ( z )]z m 1 dz c 2j
(5.7)
Z 11 [log H ( z )]
(i) (ii)
微分倒谱随 m 呈指数衰减； 如果 y (k ) h(k ) * x(k ) ， 则有 d y (m) d n (m) d x (m) 。 因此，d h (m) d i (m) d o (m) ,
( m 1) , m 2， 其中 d i (m) 和 d o (m) 分别是 i (k ) 和 o(k ) 的微分倒谱。 实际上，d i ( m ) A
1
) (5.2) )
(1 c z
i i 1
L2
i 1 L3
1
O( z ) (1 bi z )
i 1
(5.3)
分别是最小相位和最大相位分量， ai 1, bi 1, ci 1 。极点 ci 和零点 ai 位于单位圆 内，而零点 {1 / bi } 在单位圆外。注意到（5.3）式中没包含最大相位极点没有特别的理 由，倒谱分析对最大相位极点也有效。 信号的最小相位分量为
许多实际情况中，不能可靠地检测主值的不连续。因此，实际中解相位模糊变得 非常困难。虽然（5.8）式中计算复倒谱看起来简单，但由于在用 F11 [] 前需要对 h ( ) 解模糊，所以使得该方法是困难的。事实上，解相位模糊认为是基于倒谱信号处理算 法的“主要弊端” 。本章将证明如何在计算复倒谱 c h (m) 中用高阶谱的结果，而无需解 相位模糊算法。 Tribolet 【 1977 】 引 入 一 种 解 相 位 模 糊 算 法 ， 它 假 设 已 知 相 位 的 导 数 2 'h ( ) dh ( ) d 在点 , 0,1,, N 1 处的值。而 处的相位导数可 N 利用下式准确计算，
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H ( ) H ( ) exp j{h ( )}
(5.9)
注意： Z 1 [] 和 Z 11 [] 分别表示一维 Z 变换和 Z 反变换。 F1 [] 和 F11 [] 分别为一维傅立 叶变换和反变换。 利用幂级数展开公式： log(1 x)
(5.16)
(5.17)
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5.3.2
性质 复倒谱的性质(ii)~(iv)同样适用于微分倒谱。微分倒谱还有另外一些性质。
r 1 i 1 L3 i 1
L1
L2
(5.5)
log(1 ci z )
1 i 1
z r 项对应于一线性相移， 它在信号的高阶谱域被抑制。 参数 A 对信号形状无贡献，
因此，假设为正。这样（5.5）式变为
log[ H ( z )] log A log(1 ai z 1 ) log(1 bi z )
(i)
复倒谱 ch ( m ) 至少以与 1 m 一样的速度衰减。倒谱参数 A( m ) 和 B ( m ) 随|m|呈指数衰 减；
(ii)
c h (m) 总有无限持续期；
(iii) 如果 h(k ) 为实，其复倒谱也为实； (iv) 当且仅当 h(k ) 为最小相位时，对于所有 m 0 有 B ( m ) 0 。同样，当且仅当 h(k ) 为
k0
（因果序列）
(5.4.1)
O (k )
1 2
O( ) exp{ jk}d,


k<0
（反因果序列）
(5.4.2)
其中， I ( ) I ( e j ), O ( ) O ( e j ) , 将有如下线性卷积运算“*” ：
h( k ) i ( k ) * o( k )
h' ( ) Im
F1 [ jkh(k )] H ' ( ) Im H ( ) F1 [h(k )]
(5.13)
ˆ ( ) 为估计的解模糊相位，则 Tribolet 算法基于递归公式 如果 h ˆ ( ) ˆ ( ) h 1 h
5.2 确定性能量信号的复倒谱`
5.2.1 信号假设 考虑一 ARMA 能量序列 h( k ) ，其 Z 变换一般是非最小相位的，可写为 H ( z ) Az r I ( z 1 )O ( z ) 其中 A 为常数，r 为整数，且 (5.1)
I (z )
1
(1 a z
i
L1
n 1
xn , n
x 1
有
log(1 ai z 1 ) log(1 bi z )

a in n z , n 1 n
z ai
bin n z , n 1 n
z 1 / bi
合并(5.6) 和(5.7)式可得复倒谱的一般表示式
log A , m 0 (m) A , m0 c h ( m ) m ( m) B , m0 m
d o ( m ) B ( m 1) , m 0 ，注意， d h (1) 0 。
h ( ) arg[ H ( )] 2k ( )
(5.12)
其中 arg[ H ( )] 为相位的主值，k ( ) 为整数。为了使 h ( ) 为连续曲线，k ( ) 应取合适的整数值，从而可解 arg[ H ( )] 主值的模糊。 例 5.1 （略）
d h (m)
2 j

1

H '( ) exp{ j ( m 1)}d H ( )
(5.15.2)
其中 H '( ) dH ( ) d 。也可以直接用倒谱参数 A ( m ) 和B ( m ) 表示为
A ( m 1) , m 2 d h ( m) 0, m 1 B ( m 1) , m 0 合并(5.10)、 （5.11）和（5.16）式可得复倒谱与微分倒谱的关系 ch ( m ) 1 d h ( m 1), ( m 0) m
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' h ( ) h' ( 1 ) 2
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(5.14.1)
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其中，初始的 2 N ，且
Fam1981 年） ，它不需要解相位算法。微分倒谱是平移不变的，它与复倒谱的关系是简
单的。 5.3.1 定义
h k 或( H z )的微分倒谱定义为
dH ( z ) dz d h ( m) Z H ( z)
1 1
（5.15.1）
或以 H 表示为