矩阵分析及其应用

1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
ckik ,
ck c1k ik1,,
c c di 1 k di 1 kk i
k 0
k 0
k 0
都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 ck Ak 绝对收敛。
k 0
当( A) R 时，幂级数 ckik 发散，所以 ck Ak 发散。
k 0
k 0
推论 矩阵幂级数
I A A2 Ak 绝对收敛的充分必要条件是 ( A) 1 。且其和 (I A)1 。
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k) (aikj )22 C22 ，其中
a (k) 11 k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
sin
k 1
2k
那么矩阵级数
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P(A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k ) )1 A1 [ A ( A(k ) A)]1 A1 A1( A(k ) A) 1 A1( A(k) A)
k 0
若 ( A) R，则矩阵幂级数 ck Ak 绝对收敛；若 ( A) R
k 0
，则 ck Ak 发散。
k 0
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证明 设A的Jordan标准形为
其中
J diag(J1(1), J2(2 ), , Jr (r ))
i 1
Ji
(i
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
这样，当
lim A(k) A 0
k
时同样可得
lim A(k) A 0
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A(k) A, lim B(k) B
k
k
则 lim aA(k) bB(k) aA bB, a,b C k
A(k ) A(1) A(2)
k 1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
A(k )
定理 设 A(k) (aikj )mn Cmn，则矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛的充分必要条件是正项级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
即
lim
k
aij (
k
)
aij
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
故有
lim
k
A(k )
A
(aij )
现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果 A 是另
外一种范数，那么由范数的等价性可知
d1 A(k) A A(k) A d2 A(k) A
2!
n!
A 1 A3 (1)n 1 A2n1
3!
(2n 1)!
1 1 A2 (1)n 1 A2n
2!
(2n)!
都是绝对收敛的，因此可以定义
eA 1 A 1 A2 1 An
2!
n!
sin A A 1 A3 (1)n 1 A2n1
3!
(2n 1)!
cos A 1 1 A2 (1)n 1 A2n
1
eB
I
(e
1) B
e 0
k 1
a (k) ij
都是收敛的，于是矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
A(k )
绝对收敛。
反之，若矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛，则对每一对 i,j 都有
a(k) ij
k 1
于是
m n
mn
Ak
a (k) ij
a (k) ij
2!
k!
现在证明第二个等式
sin( A B) 1 (e j( AB) e j( AB) ) 2j
1 (e jAe jB e jAe jB ) 2j
1 (e jA e jA )(e jB e jB ) 1 (e jA e jA )(e jB e jB )
4j
4j
sin AcosB cosAsin B
A1 2 A(k ) A
0
1 A1 A(k) A
例 1 若对矩阵A的某一范数 A 1 ，则 lim Ak 0
k
例 2 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1 。 k
证明 设A的Jordan标准形 J diag(J1(1), J2(2 ), , Jr (r ))
i 1
J
i
(i
(8) sin2 A cos2 A I
定理：设 A, B Cnn，那么当 AB BA 时，我们有 (1) eAB eAeB eBeA (2) sin( A B) sin Acos B cos Asin A (3) sin 2 A 2sin Acos A (4) cos( A B) cos Acos B sin Asin B (5) cos 2 A cos2 A sin2 A
收敛，其中 A 为任意一种矩阵范数。
mn
证明 取矩阵范数 A(k)
a (k) ij
，那么对每一对 i,j
都有
i1 j1
因此如果
A(k )
a (k) ij
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
收敛，则对每一对 i,j 常数项级数
a (k) ij
a (1) ij
a (2) ij
f ( A) ck Ak k 0
例：因为当 |z|<+∞时，有
ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
sin z z 1 z3 (1)n 1 z2n1
3!
(2n 1)!
cos z 1 1 z2 (1)n 1 z2n
2!
(2n)!
都是绝对收敛的，因此
1 A 1 A2 1 An
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn Cmn，如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag(
J
k 1
(1
),
J
k 2
(2
),
,
J
k r
(r
))
P
1
显然，
lim Ak 0
k
的充要条件是
lim
k
J
k i
(i
)
0, i
1,
2,
,r
又因 其中
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 kdi 1 ki
于是
Ak
Pdiag(
J1k
(1
),
J
k 2
(
2
),
,
J
k r
(r
))
P
1
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 k di 1 ki
c1 k1 ki ik
di di
所以
ck Ak ck PJ k P1 P( ck J k )P1
k 0
k 0
k 0
P(diag(
ck J1k (1),
ck
J
k 2
(2
),,
ck
J
k r
(r
))
P
1
k 0
k 0
k 0
其中
ck ik
k0
k 0
ck
J
k i
(i
)
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di 1 k di 1 c c k k i
k 0
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di di
当 ( A) R 时，幂级数
k 1
k 1 i1 j1
i1 j1 k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义 设 A(k) (aikj )mn Cnn ，称形如
ck Ak c0I c1A c2 A2 ck Ak
k 0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理 设幂级数 ck xk 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。
证明：首先证明第一个等式
eAeB (I A 1 A2 1 Ak )
2!
k!
(I B 1 B2 1 Bk )
2!
k!
I (A B) 1 (A2 AB BA B2 ) 2! 1 ( A3 3A2B 3AB2 B3) 3!
I (A B) 1 (A B)2 1 (A B)k
例1 （1）求下面级数的收敛半径
k 1
xk 2k k
x 2 1
x2 22 2
x3 23
3
（2）设
A
1 1
4 3
Ak
判断矩阵幂级数 k1 2k k 的敛散性。
xk 2k k
解 设此级数的收敛半径为R，利用公式 lim ak1 1 容易
求得此级数的收敛半径为2。而
(
A)
a k k
R
1。所以由上面的定理
（3）设 lim A(k) A, lim B(k) B ，其中 A(k) Cml , B(k) Cln
k
k
那么 lim A(k)B(k) AB
k
（4）设 lim A(k) A ，那么 lim PA(k)Q PAQ
k
k
其中 A(k ) Cmn , P C mm ,Q C nn
c1 k1 ki ik
di di
ckl k(k 1)
(k l 1) (当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lim
k
J
k i
(i
)
0
的充要条件是 i 1。
lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 Cnn 的相容矩阵范数，则对任意 ACnn ，都
第三章
矩阵分析及其应用
矩阵序列与极限
定义 设已知矩阵序列 {A(k )}，其中 A(k) (aikj )mn Cmn，当
k→∞， aikj aij时，称{A(k)}收敛，并称矩阵
A
(aij
)
为
mn
{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为
lim A(k) A 或
k
不收敛的矩阵序列称为发散。
（5）设 lim A(k) A，且 {A(k )} , A均可逆，则 {( A(k ) )1} k 也收敛，且 lim( A(k) )1 A1 k
证明： （2） aA(k) bB(k) aA bB a A(k) A b B(k) B 0 （3） A(k)B(k) AB A(k)B(k) A(k)B A(k)B AB
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有
mn
lim
k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
上式即为
lim A(k) A 0
k
mn
充分性：设
lim
k
A(k ) A
lim k i1
j 1
a (k) ij
aij
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
2!
(2n)!
由此可以得到一些简单的结论：
(1)
e I Onn nn
(2) e Ae A e Ae A I
(3) e jA cos A j sin A j2 1
(4) cos A 1 (e jA e jA ) 2
(5) sin A 1 (e jA e jA ) 2
(6) sin(A) sin A (7) cos(A) cos A
同样可以证明其余的结论。
注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
例：设
1 1 1 1
A 0 0 , B 0 0
那么容易计算
A A2 A3 , B B2 B3
并且 于是有
A
B
2 0
0 0
( A B)k 2k1( A B) ,
k 1
eA
I
(e
1) A
e 0
1 e
A(k) A
定理 矩阵序列{A(k)} 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
lim
k
A(k )
A
[aij ]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
可知矩阵幂级数收敛。
矩阵函数
定义：设 ACnn，一元函数 f(z) 能够展开成关于 z 的幂级数
f (z) ck zk (| z | R) k 0
并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵 A 的谱半径 ( A) R
时，我们将收敛的矩阵幂级数
ck Ak
k 0
的和定义为矩阵函数，一般记为 f(A)，即