2021年高考数学一轮复习强化训练题汇总9(含解析)
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：第九章 第三讲 椭 圆 Word版含解析
析姓名，年级：时间：析第三讲 椭 圆1。
[2020湖南岳阳入学调研考试］已知定点M (1,0)和椭圆x 29+y 23=1上两个动点P ，Q 满足MP ⊥MQ ，则MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时点P 的横坐标为 （ )A 。
12B 。
1 C.32 D.522。
［2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1（a 〉b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点,｜F 1F 2｜=2√2，B 为短轴的一个端点,三角形BF 1O (O 为坐标原点）的面积为√7,则椭圆的长轴长为( ）A 。
4B 。
8C 。
1+√332D 。
1+√333。
［2020陕西省部分学校摸底检测]已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b >0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限的点,延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ,且|PF 1｜=|PQ |，则椭圆的离心率为( ）A.2—√2B.√3-√2C.√2-1D.√6−√34.［2020福建省三明市模拟］已知P 是椭圆x 225+y 29=1上一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2面积为（ )A 。
3√3 B.2√3 C.√3 D.√335.［2019唐山市高三摸底考试］已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a 〉b >0)和双曲线E :x 2-y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线E 的离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C 。
钝角三角形 D 。
不能确定6.［2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1〉0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2>0,b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是曲线C 1与C 2的一个公共点,e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率,若PF 1⊥PF 2,则4e 12+e 22的最小值为 .7。
最新2021高三数学一轮强化训练含答案
一 选择题（每题5分，共计50分）1、集合{}2,4,6M =的真子集的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 2、“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )。
A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．.必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知10<<a ，3log 21log ,5log 21,3log 2log a a a a a z y x -==+=，则（ ）A. x>y>z B z>y>x C y>x>z D z>x>y4、下列函数图象中，正确的是（ ）．5、已知=+-=+ni m i n m ni i m是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C) 2+i(D)2－i6、设函数)(x f 定义如下表，数列}{n x 满足50=x ，且对任意自然数nD 7N ③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β． 其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．18、设椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P A 必在圆222=+y x 内 B 必在圆222=+y x 上C 必在圆222=+y x 外D 以上都有可能9、在电脑游戏中，“主角”的生命机会往往被预先设定。
如某枪战，“主角”被设置生命6次，每次生命承受射击8次（即被击中8次就失去一次生命机会），假设射击为单发射击，如图是为“主角”耗用生命机会的过程设计的一个程序框图，请问判断框内应该填（ ）A i<6B i<8C i>48D i<4810、一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下定义域为R 的函数：x x f =)(1，22)(x x f =，33)(x x f =， x x f sin )(4=，x x f cos )(5=2)(6=x f 。
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
2021年高三理科数学一轮复习题组层级快练91含答案
2021年高三理科数学一轮复习题组层级快练91含答案1．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析 将直线参数方程化为标准形式：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos20°，y ＝2＋t sin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 D3．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t (t 为参数) 答案 D解析 考查四个选项：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ； 对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，但要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2即符合y 2＝x . 因此D 是正确的，故选D.4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1) C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2) D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2) 答案 D 解析x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2. 5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是( )A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆答案 D解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为x 24＋y 2＝1，表示椭圆．极坐标方程ρ＝－6cos θ的直角坐标方程为(x ＋3)2＋y 2＝9，表示圆．6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3,4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.7．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，圆C ：ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离是( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 C解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C ：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝ 2.8．(xx·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2答案 D解析 由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.9．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则m ＝______.答案2，－1或3解析 由题意知，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其半径r ＝ 2.若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则|1－2＋m |1＋1＝2，得|m －1|＝2，故m ＝－1或3.10．(xx·重庆理)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以公共点为(1,2)． 所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5.11．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________． 答案 2解析 方法一：由直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的参数方程，得(2＋t )2＋(－1－t )2＝9，整理，得t 2＋3t －2＝0，方程有两个不相等的实数根，所以直线与曲线的交点个数有2个．方法二：将直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程，得x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝9.原点(圆心)到直线的距离为d ＝12<r ＝3， 所以直线与圆相交，交点个数为2.12．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线2x －y＋2＝0的距离的最大值为________．答案45＋55解析 将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为直角坐标方程，得(x －1)2＋y 2＝1，这是圆心为(1,0)，半径为1的圆．圆心到直线2x －y ＋2＝0的距离为d ＝|2×1＋2|22＋(－1)2＝455>r ＝1，故直线与圆相离，所以圆C 上的点到直线的距离的最大值为d ＋r ＝455＋1＝45＋55.13．(xx·安徽合肥二检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t为参数)．以O 为极点，射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，则线段MN 的长度为________．答案 2解析 由题意，C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t 转化为直角坐标方程为x ＋3y －43＝0，C 2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝22，圆心(0,2)到直线x ＋3y －43＝0的距离为d ＝|0＋23－43|12＋(3)2＝3，所以|MN |＝222－(3)2＝2.14．(xx·福建理)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 答案 (1)l ：2x －y －2a ＝0，C ：x 2＋y 2＝16 (2)[－25，25]思路 (1)通过消参，直线是代入消去法，圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程．在(2)中，利用直线和圆的位置关系，得d ≤r ，从而求得a 的范围．解析 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.15．(xx·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．答案 8 2解析 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得(2＋22t )2＝4(1－22t )．解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.16．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π4)＝m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值；(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．答案 (1)m ＝2 (2)(x ＋28)2＋(y －28)2＝116，轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆 解析 (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A 的直角坐标为(2，0)，直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2m ＝0.由点A 到直线l 的距离为d ＝|2＋2m |2＝1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ－π4)＝2，设P (ρ0，θ0)，Q (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝1，θ＝θ0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝1ρ，θ0＝θ.①因为点P (ρ0，θ0)在直线l 上，所以ρ0sin(θ0－π4)＝2.②将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q 轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π4)．化为直角坐标方程为(x＋28)2＋(y －28)2＝116. 则点Q 的轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆．17．(xx·衡水调研卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．答案 (1)C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)(2)(2，π2)，(2，π)解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0. 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．18．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D (2，π4)．(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)已知A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．答案 (1)C 1：x 216＋y 24＝1，C 2：(x －1)2＋y 2＝1(2)516解析 (1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.∴曲线C 1的方程为x 216＋y 24＝1.设圆C 2的半径为r ，则圆C 2的方程为ρ＝2r cos θ， 将点D (2，π4)代入得2＝2r ·22，∴r ＝1.∴圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 1：x 216＋y 24＝1得极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)代入，得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1， ∴1ρ21＋1ρ22＝(cos 2θ16＋sin 2θ4)＋(sin 2θ16＋cos 2θ4)＝516.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析 由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.40670 9EDE 點ct35758 8BAE 议 ?34950 8886 袆Q30485 7715 眕36120 8D18 贘b38799978F 鞏35843 8C03 调27190 6A36 樶30316 766C 癬。
2021高考理科数学(人教A版)一轮复习单元质检卷九解析几何
单元质检卷九 解析几何(时间:100分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019山西芮城模拟,6)点P (2,3)到直线l :ax+y-2a=0的距离为d ,则d 的最大值为( )A.3B.4C.5D.72.(2019云南师范大学附中模拟,8)直线l 与双曲线x 2-y 22=1交于A ,B 两点,以AB 为直径的圆C 的方程为x 2+y 2+2x+4y+m=0,则m=( ) A.-3B.3C.5-2√2D.2√23.(2019湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,过点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,且直线l 与圆x 2-px+y 2-34p 2=0交于C 、D 两点.若|AB|=2|CD|,则直线l 的斜率为( )A.±√22 B.±√32C.±1D.±√24.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)2019联考,7)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (k>0,k ≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P 满足|PA ||PB |=√2,当P 、A 、B 不共线时,三角形PAB 面积的最大值是( ) A.2√2B.√2C.2√23 D.√235.设F 1、F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为左顶点,点P 为双曲线C 右支上一点,|F 1F 2|=10,PF 2⊥F 1F 2,|PF 2|=163,O 为坐标原点,则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-293B.163C.15D.-156.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.114B.5√54C.4120D.57.(2019山东青岛调研,11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于()A.12B.1C.2D.48.(2019福建宁德质检,8)如图,点F是抛物线C:x2=4y的焦点,点A,B分别在抛物线C和圆x2+(y-1)2=4的实线部分上运动,且AB总是平行于y轴,则△AFB周长的取值范围是()A.(3,6)B.(4,6)C.(4,8)D.(6,8)9.(2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆E:x 22+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π,则直线AF2的方程是()A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=010.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.√2+12B.√2+1 C.√5-12D.√5-111.(2019四川南充三模,8)已知直线x+y=1与椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)交于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ (其中O 为坐标原点),若椭圆的离心率e 满足√33≤e ≤√22,则椭圆长轴的取值范围是( )A.[√5,√6]B.√52,√62C.54,32D.52,312.在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3B.2√2C.√5D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,当△AOB 的面积取最小值时,直线l 的方程为 .14.(2019河北唐山摸底)已知直线l :kx-y-k+2=0与圆C :x 2+y 2-2y-7=0相交于A ,B 两点,则|AB|的最小值为 .15.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 斜率为√3的直线l'与抛物线C 交于点M (M 在x 轴的上方),过M 作MN ⊥l 于点N ,连接NF 交抛物线C 于点Q ,则|NQ ||QF |= .16.(2019四川成都棠湖中学开学考试,16)已知F 是椭圆C :x 225+y 216=1的右焦点,P 是椭圆上一点,A 0,365,当△APF 周长最大时,该三角形的面积为 .三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019安徽滁州模拟,18)已知圆O :x 2+y 2=r 2(r>0)与直线3x-4y+15=0相切. (1)若直线l :y=-2x+5与圆O 交于M ,N 两点,求|MN|;(2)已知A (-9,0),B (-1,0),设P 为圆O 上任意一点,证明:|PA ||PB |为定值.18.(14分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√33,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.19.(14分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,过点F作切线l0的垂线,垂足为Q,则点Q是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.20.(14分)(2019江西宜春模拟,20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,点-√3,12在椭圆上,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点M(t,2)(t≠0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.21.(14分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆C:x 22+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为1,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积的最大值为2√2.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.参考答案单元质检卷九解析几何1.A直线方程即y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为√(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.2.A 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据圆的方程可知C (-1,-2),C 为AB 的中点,根据双曲线中点差法的结论k AB =b 2a 2×x 0y 0=21×-1-2=1,由点斜式可得直线AB 的方程为y=x-1,将直线AB 方程与双曲线方程联立{x 2-y22=1,y =x -1,解得{x =-3,y =-4,或{x =1,y =0,所以|AB|=4√2,由圆的直径|AB|=√D 2+E 2-4F =√22+42-4m =4√2,可解得m=-3,故选A .3.C 由题设可得x-p22+y 2=p 2,故圆心在焦点上,故CD=2p ,AB=4p ,设直线l 的方程为x=ty+p2,设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)代入y 2=2px (p>0)得y 2-2pty-p 2=0,所以y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,则AB=√(1+t 2)(4p 2t 2+4p 2)=2p (1+t 2)=4p ,即1+t 2=2,解得t=±1.故选C.4.A 以经过A ,B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-1,0),B (1,0),设P (x ,y ),∵|PA ||PB |=√2,∴√(x+1)2+y 2√(x -1)+y 2=√2,两边平方并整理得x 2+y 2-6x+1=0,即(x-3)2+y 2=8,当点P 到AB (x 轴)的距离最大时,三角形PAB 的面积最大,此时面积为12×2×2√2=2√2,故选A .5.D 由题得{a 2+b 2=25,b2a=163,∴a=3,b=4.所以双曲线的方程为x 29−y 216=1,所以点P 的坐标为5,163或5,-163,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0)·5,±163=-15.故选D.6.C 圆的内接四边形对角互补,因为x 轴与y 轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x-2y-3=0与坐标轴的交点为0,-32,(3,0),两直线的交点纵坐标为-25.所以四边形的面积为12×3×32−12×1×25=4120,故选C.7.C ∵M ,N 分别是PQ ,PF 的中点,∴MN ∥FQ ,且PQ ∥x 轴,∵∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP 为正三角形,则FM ⊥PQ ⇒QM=p=2,正三角形边长为4,PQ=4,FN=12PF=2,又可得△FRN 为正三角形,∴FR=2,故选C.8.B 抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,圆(y-1)2+x 2=4的圆心为(0,1),与抛物线的焦点重合,且半径r=2,∴|FB|=2,|AF|=y A +1,|AB|=y B -y A ,∴三角形ABF 的周长=2+y A +1+y B -y A =y B +3,∵1<y B <3,∴三角形ABF 的周长的取值范围是(4,6).故选B . 9.D 设内切圆半径为r ,则πr 2=9π16,∴r=34,∵F 1(-c ,0),∴内切圆圆心为-c+34,0,由|AB|=3知A -c ,32,又F 2(c ,0),所以AF 2方程为3x+4cy-3c=0,由内切圆圆心到直线AF 2距离为r ,即|3(-c+34)-3c|√3+(4c )=34,得c=1,所以AF 2方程为3x+4y-3=0,故选D .10.B 过点P 作准线的垂线,垂足为N ,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|.∵|PA|=m|PB|, ∴|PA|=m|PN|.∴1m =|PN ||PA |. 设直线PA 的倾斜角为α,则sin α=1m .当m 取得最大值时,sin α最小,此时直线PA 与抛物线相切.设直线PA 的方程为y=kx-1,代入x 2=4y ,可得x 2=4(kx-1),即x 2-4kx+4=0,∴Δ=16k 2-16=0,∴k=±1, ∴P (2,1)或P (-2,1).∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(√2-1), ∴双曲线的离心率为√2-1=√2+1. 故选B .11.A 联立{x +y =1,x 2a 2+y 2b2=1,得(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2=0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),∴Δ=4a 4-4(a 2+b 2)(a 2-a 2b 2)>0,化为a 2+b 2>1. 则x 1+x 2=2a 2a 2+b2,x 1x 2=a 2-a 2b 2a 2+b2.∵OP ⊥OQ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1-1)(x 2-1)=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0, ∴2×a 2-a 2b 2a 2+b2−2a 2a 2+b2+1=0.化简得a 2+b 2=2a 2b 2.∴b2=a 22a 2-1.∵椭圆的离心率e 满足√33≤e ≤√22,∴13≤e 2≤12, ∴13≤a 2-b 2a 2≤12,13≤1-12a 2-1≤12,化为5≤4a 2≤6,解得√5≤2a ≤√6.满足Δ>0.∴椭圆长轴的取值范围是[√5,√6].故选A .12.A 建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,1),B (0,0),D (2,1).设P (x ,y ),圆C 的半径为r ,由|BC|·|CD|=|BD|·r ,得r=|BC |·|CD ||BD |=√5=2√55,即圆的方程是(x-2)2+y 2=45.易知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0). 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得{x =2μ,y -1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y ,所以λ+μ=12x-y+1. 设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因为点P (x ,y )在圆(x-2)2+y 2=45上,所以圆心C 到直线12x-y+1-z=0的距离d ≤r , 即√14+1≤2√55,解得1≤z ≤3,所以z 的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A .13.2x+3y-12=0 方法1:易知直线l 的斜率k 存在且k<0,则直线l 的方程为y-2=k (x-3)(k<0),则A 3-2k ,0,B (0,2-3k ),所以S △AOB =12(2-3k )3-2k =1212+(-9k )+4-k ≥1212+2√(-9k )·4-k =12×(12+2×6)=12,当且仅当-9k=4-k ,即k=-23时等号成立.所以当k=-23时,△AOB 的面积最小,此时直线l 的方程为y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0.方法2:设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得3a+2b=1≥2√6ab,即ab≥24,当且仅当3a =2b,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=12ab,所以当a=6,b=4时△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.14.2√6kx-y-k+2=0,化为y-2=k(x-1),直线过定点E(1,2),E(1,2)在圆x2+y2-2y-7=0内,当E 是AB中点时,|AB|最小,由x2+y2-2y-7=0得x2+(y-1)2=8,圆心C(0,1),半径2√2,|AB|=2√8-|EC|2=2√8-2=2√6,故答案为2√6.15.2由抛物线定义可得MF=MN,又斜率为√3的直线l'倾斜角为π3,MN⊥l,所以∠NMF=π3,即三角形MNF为正三角形,因此NF倾斜角为2π3,由{y2=2px,y=-√3(x-p2),解得x=p6或x=3p2(舍),即x Q=p6,|NQ||QF|=p6-(-p2)p2-p6=2.16.1445由x225+y216=1得右焦点F(3,0),左焦点F'(-3,0),△APF周长|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|≤10+(|AF|+|AF'|),当A,P,F'共线时△APF周长最大,此时直线AF'方程为x-3+y365=1,与x225+y216=1联立,解得y P=-125,可得S△APF=12|FF'|(y A-y P)=12×6×365+125=1445,故答案为1445.17.(1)解由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d=√9+16=3, ∵圆O与直线相切,∴r=d=3,∴圆O方程为x2+y2=9.圆心O到直线l:y=-2x+5的距离d1=√4+1=√5,∴|MN|=2√9-d12=4.(2)证明 设P (x 0,y 0),则x 02+y 02=9,∴|PA |=√(x +9)2+y 2√(x 0+1)+y 0=√x 2+18x 0+81+y 2√x 0+2x 0+1+y 0=√18x 0+902x 0+10=3,即|PA ||PB |为定值3.18.解 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=c a=1a=√33,所以a=√3,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x 23+y 22=1.(2)(i)当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时, 直线BD 的方程为y=k (x+1),代入椭圆方程x 23+y 22=1,并化简得(3k 2+2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0. 设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-6k23k 2+2,x 1x 2=3k 2-63k 2+2,|BD|=2·|x 1-x 2|=√(1+k 2)·[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=4√3(k 2+1)3k 2+2.易知AC 的斜率为-1k ,所以|AC|=4√3(1k 2+1)3×1k2+2=4√3(k 2+1)2k 2+3.所以|AC|+|BD|=4√3(k 2+1)13k 2+2+12k 2+3=20√3(k 2+1)2(3k 2+2)(2k 2+3)≥20√3(k 2+1)2[(3k 2+2)+(2k 2+3)2]2 =20√3(k 2+1)225(k 2+1)24=16√35.当k 2=1,即k=±1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为16√35. (ii)当直线BD 的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=10√3>16√3. 综上,|AC|+|BD|的最小值为16√35.19.解 (1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+p2=2,①又M (2,m )在抛物线上,所以2pm=4,② 由①②联立解得p=2,m=1, 所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)①当x 0=0,即点P 为原点时,易知点Q 在直线y=0上;②当x 0≠0,即点P 不在原点时, 由(1)得,x 2=4y ,则y'=12x ,所以在点P 处的切线的斜率为12x 0,所以在点P 处的切线l 0的方程为y-y 0=12x 0(x-x 0),又x 02=4y 0,所以y=12x 0x-y 0.又过点F 与切线l 0垂直的方程为y-1=-2x 0x ,联立方程{y =12x 0x -y 0,y -1=-2x 0x ,消去x ,得y=-14(y-1)x 02-y 0.(*)因为x 02=4y 0,所以(*)可化为y=-yy 0,即(y 0+1)y=0, 由y 0>0,可知y=0,即垂足Q 必在x 轴上. 所以点Q 必在直线y=0上, 综上,点Q 必在直线y=0上.20.(1)解 由题意知{ ca =√32,32+14b 2=1,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =1,c =√3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)证明 易知A (0,1),B (0,-1),则直线MA 的方程为y=1x+1,直线MB 的方程为y=3x-1.联立{y =1t x +1,x 24+y 2=1,得4t 2+1x 2+8t x=0,于是x P =-8t t 2+4,y P =t 2-4t 2+4, 同理可得x Q =24t t 2+36,y Q =36-t 2t 2+36,又由点M (t ,2)(t ≠0)及椭圆的对称性可知定点在y 轴上,设为N (0,n ),则直线PN 的斜率k 1=t 2-4t 2+4-n -8t t 2+4,直线QN 的斜率k 2=36-t 2t 2+36-n 24t t 2+36,令k 1=k 2,则t 2-4t 2+4-n -8tt 2+4=36-t 2t 2+36-n 24t t 2+36,化简得t 2-4-n (t 2+4)-8t=36-t 2-n (t 2+36)24t,解得n=12,所以直线PQ 过定点0,12.21.解 (1)由已知得{ c a =13,12×2c×b =2√2,c 2=a 2-b 2,解得a 2=9,b 2=8,c 2=1,∴椭圆C 的方程为x 29+y 28=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),MN 的中点为E (x 0,y 0),点G (m ,0),使得|GM|=|GN|, 则GE ⊥MN. 由{y =kx +2,x 29+y 28=1,消y 得(8+9k 2)x 2+36kx-36=0,由Δ>0,得k ∈R .∴x 1+x 2=-36k 9k 2+8,∴x 0=-18k9k 2+8,y 0=kx 0+2=169k 2+8.∵GE ⊥MN ,∴k GE =-1k ,即169k 2+8-0-18k 9k 2+8-m =-1k , ∴m=-2k 9k 2+8=-29k+8k. 当k>0时,9k+8k ≥2√9×8=12√2当且仅当9k=8k ,即k=2√23时,取等号,∴-√212≤m<0;当k<0时,9k+8k ≤-12√2当且仅当9k=8k ,即k=-2√23时,取等号,∴0<m ≤√212,∴点G 的横坐标的取值范围为-√212,0∪0,√212.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、 经典例题
考点一 对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
2021届高考一轮复习理科数学综合检测题(全国卷)附答案解析
2021届高考一轮复习综合检测一(全国卷)数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2－xx >0，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}2．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)复平面内表示复数z ＝6＋2i2－i 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．(2019·四川省成都市外国语学校期中)函数f (x )＝log121x ＋1的图象大致是( )4.如图，在△OAB 中， P 为线段AB 上的一点， OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝145．若m ＝log 312，n ＝7－0.1，p ＝log 425，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．m >p >nB ．p >n >mC ．p >m >nD ．n >p >m6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为( )A ．15B ．37C ．83D ．1777．在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 4＝1，则当2a 2＋a 6取得最小值时，log 2q 等于( ) A.14 B ．－14 C.18 D ．－188.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为( )A.332πB.33π2C.322πD.3π29.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是( )A.28B.38C.24D.3410．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a sin 2B ＋b sin A ＝0，若a ＋c ＝2，则边b 的最小值为( ) A. 2 B ．3 3 C ．2 3 D.311．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴(其中F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.5－1 D.5＋1212．(2020·四川省遂宁市射洪县射洪中学月考)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ＋3，g (x )＝x 3－x 2，若∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，则实数a 的取值范围为( ) A ．[4，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则使f (a )＝－1成立的a 的值是________．14．(2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是________．15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________． 16．已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是________．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }前2 020项的和．18．(12分)如图，在五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，△SBC为边长为2的正三角形，将△SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．(1)当AB＝2时，证明：平面SAB⊥平面SCD；(2)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．19.(12分)某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．20．(12分)(2019·甘青宁联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦距为2 3.(1)求C 的方程；(2)若斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，O 为坐标原点．证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21.(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1.(1)当k 为何值时，直线y ＝g (x )是曲线y ＝kf (x )的切线； (2)若不等式g (x )≥af (x )在[1，e]上恒成立，求a 的取值范围．请在第22～23题中任选一题作答．22．(10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6cos θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求|P A |＋|PB |的最小值．23．(10分)设函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋a |(a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若关于x 的不等式f (x )<5x ＋a 在x ∈[1,2]上有解，求实数a 的取值范围．解析附后答案精析1．C [由集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2－xx >0，可知A ＝{x |0<x <2}，因为B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩B ＝{}x |1≤x <2，故选C.] 2．A [∵z ＝6＋2i 2－i ＝(6＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝10＋10i5＝2＋2i ，∴z 在复平面内对应的点(2,2)在第一象限．]3．D [函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1x ＋1>0，即{x |x >－1}，所以排除A ，B 选项；因为f (x )＝log 12x为单调递减函数，f (x )＝1x ＋1在[－1，＋∞)时为单调递减函数，由复合函数单调性可知f (x )＝log 121x ＋1为单调递增函数，所以排除C 选项．综上可知，D 为正确选项．]4．A [由题可知OP →＝OB →＋BP →， 又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23B A →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23O A →＋13 OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A.]5．B [log 312∈(－1,0)，7－0.1∈(0,1)，log 425＝log 25∈(2,3)，故p >n >m .]6．B [执行程序，可得S ＝0，i ＝1，不符合，返回循环；S ＝2×0＋1＝1，i ＝3，不符合，返回循环； S ＝2×1＋3＝5，i ＝5，不符合，返回循环； S ＝2×5＋5＝15，i ＝7，不符合，返回循环； S ＝2×15＋7＝37，i ＝9，符合，输出S ＝37. 故选B.]7．A [2a 2＋a 6≥22a 2a 6＝22a 24＝22，当且仅当q 4＝2时取等号，所以log 2q ＝log 2214＝14，故选A.]8．A [设圆的半径为r ，则圆的面积S 圆＝πr 2，正六边形的面积S正六边形＝6×12×r 2×sin60°＝332r 2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率P ＝S 正六边形S 圆＝332r 2πr 2＝332π，故选A.]9．C [由长方体∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°， 设AD ＝DD 1＝1，CD ＝ 3.连接BC 1，BD .由AD 1∥BC 1，所以异面直线AD 1与DC 1所成的角等于∠BC 1D . 在△BDC 1中，BC 1＝2，BD ＝2，C 1D ＝2， 由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝C 1D 2＋BC 21－BD22C 1D ·BC 1＝22＋2－222×2×2＝24，所以异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是24.] 10．D [根据a sin 2B ＋b sin A ＝0，由正弦定理可得sin A sin 2B ＋sin B sin A ＝0⇒cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝2π3， A ＋C ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝4－ac . ∵a ＋c ＝2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝1时取等号， ∴ac ≤1 .∴b 2＝4－ac ≥3, 即b ≥ 3. 故边b 的最小值为 3.]11．D [∵直线l 与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴， ∴根据双曲线的对称性，设点M (－c ，－y )，N (c ，y )(y >0)，则c 2a 2－y 2b 2＝1，即|y |＝c 2－a 2a ，且|MF 1|＝|NF 2|＝|y |， 又∵直线l 的倾斜角为45°， ∴直线l 过坐标原点，|y |＝c ， ∴ c 2－a 2a ＝c ，整理得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解方程得e ＝5＋12，e ＝1－52(舍)．] 12．D [由题意知，对于∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最小值不小于g (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值， 由g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －23， 可得当x ∈⎣⎡⎭⎫13，23时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎦⎤23，2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，又由g ⎝⎛⎭⎫13＝－227，g (2)＝4， 即g (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值为4， 所以f (x )＝x ln x ＋ax ＋3≥4在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即a ≥x －x 2ln x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，2， 则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令p (x )＝1－2x ln x －x ，则p ′(x )＝－3－2ln x ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时，p ′(x )<0，函数p (x )单调递减， 即h ′(x )在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减，又由h ′(1)＝0，所以h ′(x )在⎣⎡⎭⎫13，1上大于0，在(1,2]上小于0， 所以h (x )在⎣⎡⎭⎫13，1上单调递增，在(1,2]上单调递减， 所以h (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值为h (1)＝1，所以a ≥1.] 13．－4或2解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0， f (a )＝－1，当a ≤0时，f (a )＝12a ＋1＝－1，解得a ＝－4,当a ＞0 时，f (a )＝－(a －1)2＝－1，解得a ＝2. 14．24解析 (2x ＋x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4(2x )4－k (x )k ＝C k 424－k x 4－k 2，令4－k 2＝3，解得k ＝2，故x 3的系数为C 2422＝24.15．8π解析 作出圆柱与其外接球的轴截面如图，设圆柱的底面圆半径为r ，则BC ＝2r ，所以轴截面的面积为S 正方形ABCD ＝(2r )2＝4，解得r ＝1，因此，该圆柱的外接球的半径 R ＝BD2＝22＋222＝2，所以球的表面积为S ＝4π(2)2＝8π. 16.π3解析 因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝2ππ＝2，又对任意的x ，都使得f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π3，所以2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减， 故a 的最大值是π3.17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，a 211＝a 1·a 13，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，d ＝－2，∴{a n }的通项公式为a n ＝27－2n (n ∈N *)． (2){b n }的前2 020项的和S 2 020＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2 019＋b 2 020＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2 018－a 2 017)＋ (a 2 020－a 2 019)＝(－2)×2 0202＝－2 020.18．(1)证明 作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ， ∴SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，SO ，AD ⊂平面SAD ， ∴AB ⊥平面SAD ，∴AB ⊥SA ，AB ⊥SD .利用勾股定理得SA ＝SB 2－AB 2＝4－2＝2， 同理可得SD ＝ 2.在△SAD 中，AD ＝2，SA ＝SD ＝2，SA 2＋SD 2＝AD 2， ∴SA ⊥SD ，又SA ∩AB ＝A ，SA ，AB ⊂平面SAB ，∴SD ⊥平面SAB ， 又SD ⊂平面SCD ，∴平面SAB ⊥平面SCD .(2)解 连接BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ， ∴BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形， ∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD .取BC 中点为E ，连接OE ，得OE ∥AB ，连接SE ， ∴SE ＝3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝2，由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以直线OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∴O (0,0,0)，D (－1,0,0)，C (－1,1,0)，S (0,0，2)，B (1,1,0)， ∴DC →＝(0,1,0)，SC →＝(－1,1，－2)， BC →＝(－2,0,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0,1)，设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 1＝1得n ＝(0，2，1)． 则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝13×3＝13， 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13.19．解 (1)由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为 y ＝10x ＋60，x ∈N ，方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧200，x ≤15，x ∈N ，20x －100，x >15，x ∈N . (2)设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以E (X )＝190×0.1＋200×0.4＋210×0.1＋220×0.2＋230×0.2＝210. 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为E (Y )＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212. 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．20．(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2c ＝23，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝－12x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2(m 2－1)＝0，则Δ＝4m 2－8(m 2－1)＝4(2－m 2)>0， 且x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2(m 2－1)>0， 故y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋m ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋m ＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－12，k OP k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－122(m 2－1)＝14＝k 2PQ，即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21．解 (1)令n (x )＝kf (x )＝k ln x ，n ′(x )＝kx ，设切点为(x 0，y 0)，则kx 0＝1，x 0－1＝k ln x 0，则ln k ＋1k＝1.令F (x )＝ln x ＋1x ，F ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，则函数y ＝F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且F (1)＝1，所以k ＝1. (2)令h (x )＝af (x )－g (x )＝a ln x －x ＋1， 则h ′(x )＝a x －12x ＝2a －x 2x ，①当a ≤0时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在[1，e]上单调递减， 所以h (x )≤h (1)＝0，所以a ≤0满足题意． ②当a >0时，令h ′(x )＝0，得x ＝4a 2， 所以当x ∈(0,4a 2)时，h ′(x )>0， 当x ∈(4a 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以函数h (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减． (ⅰ)当4a 2≥e ，即a ≥e2时，h (x )在[1，e]上单调递增， 所以h (x )≤h (e)＝a －e ＋1≤0， 所以a ≤e －1，此时无解．(ⅱ)当1<4a 2<e ，即12<a <e2时，函数h (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减．所以h (x )≤h (4a 2)＝a ln(4a 2)－2a ＋1＝2a ln(2a )－2a ＋1≤0. 设m (x )＝2x ln(2x )－2x ＋1⎝⎛⎭⎫12<x <e2，则m ′(x )＝2ln(2x )>0，所以m (x )在⎝⎛⎭⎫12，e2上单调递增，m (x )>m ⎝⎛⎭⎫12＝0，不满足题意．(ⅲ)当0<4a 2≤1，即0<a ≤12时，h (x )在[1，e]上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，所以0<a ≤12满足题意．综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12.22．解 (1)由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得t 2＋2(sin α－cos α)t －7＝0. 由Δ＝4(sin α－cos α)2＋4×7＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以t 1＋t 2＝2(cos α－sin α)，t 1t 2＝－7， 又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝4(sin α－cos α)2＋28＝32－4sin 2α≥27，当sin 2α＝1时取等号．所以|P A |＋|PB |的最小值为27.23．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋1|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－(x ＋1)＝32， 当且仅当x ＝12时取等号．故f (x )的最小值为12.(2)当x ∈[1,2]时，f (x )<5x＋a ，则|2x －a |＋x ＋a <5x ＋a ，即|a －2x |<5x －x ，即3x －5x <a <x ＋5x，因为x ∈[1,2]时，3x －5x 的最小值为－2，x ＋5x 的最大值为6，所以－2<a <6，又因为a >0，所以0<a <6. 所以a 的取值范围为(0,6)．。
2021年高考数学一轮复习 题组层级快练9(含解析)
2021年高考数学一轮复习 题组层级快练9（含解析）1．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1D ．y ＝3|x |答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x的值域是正实数，∴y ＝(13)1－x的值域是正实数．2．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a＝3. ∴f (2a )＝22a＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |> 2 D ．|a |< 2答案 C4．(xx·成都二诊)若函数f (x )＝(a ＋1e x－1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12答案 D5．(xx·唐山一中模拟)函数y ＝(12)x＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )答案 A解析 函数y ＝(12)x＋1的图像如图所示，关于y ＝x 对称的图像大致为A 选项对应图像．6．若函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定答案 A解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 7．函数f (x )＝3·4x －2x在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( ) A ．－112B ．0C ．2D ．10答案 C解析 设t ＝2x，∵x ∈[0，＋∞)，∴t ≥1. ∵y ＝3t 2－t (t ≥1)的最小值为2， ∴函数f (x )的最小值为2.8．(xx·山东师大附中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B9．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图像，其中a >0且a ≠1，则下列所给图像中可能正确的是( )答案 D解析 若a >1，则y ＝a x 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa<2π；若0<a <1，则y ＝a x是减函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa>2π.10．(xx·四川绵阳一诊)计算：23×31.5×612＝________. 答案 6解析 原式＝2×312×(32)13×1216＝2×312×313×2－13×316×213＝2×312＋13＋16×2－13＋13＝6.11．若指数函数f (x )＝a x在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.答案 12或32解析 当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 是减函数，∴a －a 2＝a 2，∴a ＝12.12．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 答案 m <n解析 由于0<a <1，所以f (x )是减函数，再由f (m )>f (n )知m <n . 13．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．答案 m ≤－214．若0<a <1,0<b <1，且a log b (x －3)<1，则实数x 的取值范围是________． 答案 (3,4)解析 ∵log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4. 15．(xx·沧州七校联考)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析 f (1)＝a 2＝19，a ＝13，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧132x －4， x ≥2，134－2x， x <2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．16．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14? 答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x∈[1a ，a ]，即t ∈[1a，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a)．∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时，t ∈[a ，1a]．∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上是增函数，∴y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.17．(xx·山东济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．答案 (1)m ＝－1 (2)[2，＋∞)解析 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．18．(xx·烟台上学期期末)已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )>2－x成立，求实数k 的取值范围． 答案 (1)k ＝－1 (2)(0，＋∞)解析 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x)．∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x＝0对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x，即2x ＋k ·2－x >2－x 成立，∴1－k <22x 对x ≥0恒成立，∴1－k <(22x)min .∵y ＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x )min ＝1，∴k >0.∴实数k 的取值范围是(0，＋∞)．1．在如图中曲线是指数函数y ＝a x，已知a 的取值为2，43，310，15，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 依次为( )A.43，2，15，310 B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43， 2 答案 A2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－|x |＋1，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(－1,2]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案 A解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝－2x ＋k 的图像，数形结合即可．37960 9448 鑈36259 8DA3 趣w28753 7051 灑}N358128BE4 诤33580 832C 茬\25012 61B4 憴34026 84EA 蓪38407 9607 阇40277 9D55 鵕。
2021-2022年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理
2021年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理1．(xx·江西南昌市一模)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0，配方，得(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)，直线y ＝kx －1恒过M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M 点在圆内，所以直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切． 3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．4．(xx·安徽屯溪一中月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)与直线y ＝k(x ＋2)有公共点，则k的取值范围是( ) A ．[－34，0)B ．(0，34)C ．(0，34]D ．[－34，34]答案 C解析 ∵x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k(x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3，0)到直线y ＝k(x ＋2)的距离d≤3，且k>0，∴|3k －0＋2k|k 2＋1≤3，且k>0，解得0<k≤34.故选C. 5．(xx·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3. 6．(xx·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0. 7．(xx·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋（33）2＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.8．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c 的值是( )A．－3 B．3C．2 2 D．8答案 A解析由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.9．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.10．(xx·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x－2)＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.11．(xx·重庆一中期末)已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152答案 A解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝12|PB|·|CB|＝12|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，|CP|＝3，∴|k －8－10|k 2＋16＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.12．(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． (2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x －4y －6＝0相切的圆的方程为________． 答案 (1)x ＋2y －5＝0 (2)(x －1)2＋(y －3)2＝9 解析 (1)由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(2)r ＝|3×1－4×3－6|5＝3，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14．已知点P(2，2)和圆C ：x 2＋y 2＝1，设k 1，k 2分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率，则k 1·k 2的值为________． 答案 1解析 设过点P 的切线斜率为k ，方程为y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. 其与圆相切则|2k －2|k 2＋1＝1，化简得3k 2－8k ＋3＝0.所以k 1·k 2＝ 1.15．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________． 答案 (2，2)解析 ∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得，|OP|＝x 02＋（－x 0＋22）2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 16．(xx·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值． 如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝2 2. ∴tan ∠OAB ＝|OB||AB|＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB ＝2×121－14＝43. 17．(xx·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.18．(xx·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1.由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.1．(xx·安徽，文)若过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．(0，π3]C ．[0，π6]D ．[0，π3]答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0. 由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，得0≤k≤ 3. ∴0≤tan α≤3，∴α∈[0，π3]，选D. 2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.3．(xx·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ， 所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为|a|2.由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2－a22＝2，故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.4．(xx·课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C.5．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6B ．4C. 6 D ．2答案 B解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB|min ＝214－10＝4，故选B.6．(xx·唐山一中模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 ⊙C 1关于x 轴对称的⊙C 1′的圆心C 1′(2，－3)，半径仍为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为⊙C 1′和⊙C 2的圆心距离减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为52－4.7．(xx·衡水调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值． 答案 (1)(x －3)2＋(y －1)2＝9 (2)a ＝－1解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.因此x 1＝（8－2a ）＋56－16a －4a 24，x 2＝（8－2a ）－56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA⊥OB，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.8．(xx·课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 答案 (1)(4－73，4＋73) (2)2解析 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN|＝2.。
2021年高考数学一轮总复习 能力提升练 解析几何 理 苏教版
2021年高考数学一轮总复习能力提升练解析几何理苏教版一、填空题1．(xx·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于________．解析因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝3a＋2x＋1a＋2，由两直线平行，得3a＋2＝a且1a＋2≠－2，解得a＝1或a＝－3.答案1或－32．(xx·洛阳模拟)椭圆x216＋y29＝1的焦距为________．解析由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝7，即焦距为2c＝27.答案273．(xx·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于________．解析圆心到直线的距离d＝|－5|32＋42＝1，弦AB的长l＝2r2－d2＝24－1＝2 3.答案2 34．(xx·武汉一模)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是________________．解析设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即a－52＋22＝a＋12＋42，解得a＝1，所以半径r＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.答案 (x －1)2＋y 2＝205．(xx·湖州模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝c a ＝54.答案546．(xx·济南一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 x ＝－27．(xx·郑州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是______________．解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|22＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案 (x －3)2＋y 2＝38．(xx·汕头一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 49．(xx·杭州模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x＋1，其中为“R 型直线”的是________．解析 由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 ①②10．(xx·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案2＋111．(xx·兰州一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．解析 由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±412．(xx·上海卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析 设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1，1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c ＝43 6.答案436 13．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则M 到x 轴的距离为________．解析 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2，m 2＋n 2＝12，可得mn ＝4.由△MF 1F 2的面积可得M 到x 轴的距离为423＝233.答案23314．(xx·淄博二模)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________． 解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，由题意知b2－－cc －b2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a＝23＝233. 答案233二、解答题15．(xx·广东卷改编)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1) 设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°， 设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187. 17．(xx·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4. (2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(xx·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0. 由椭圆方程及x 1＝2x 0， 得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263. 从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2632＋y 2＝163.]122203 56BB 嚻34259 85D3 藓28454 6F26 漦+Y &\K.24882 6132 愲\=。
2021高考理科数学(北师大版)一轮复习单元质检卷九 解析几何 Word版含解析
姓名，年级：时间：单元质检卷九解析几何(时间：100分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1.(2019山西芮城模拟,6）点P（2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d，则d的最大值为（）A。
3 B。
4 C。
5 D.7y=—a(x-2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为√(2-2)2+(3-0)2=3.故选A。
2.（2019云南师范大学附中模拟，8)直线l与双曲线x2—y22=1交于A，B两点，以AB为直径的圆C的方程为x2+y2+2x+4y+m=0,则m=(）A.-3 B。
3 C.5-2√2 D.2√2A（x1,y1），B(x2，y2）,由根据圆的方程可知C（-1,—2)，C为AB的中点，根据双曲线中点差法的结论k AB=b2a2×x0y0=21×-1-2=1,由点斜式可得直线AB的方程为y=x—1，将直线AB方程与双曲线方程联立{x2-y22=1,y=x-1,解得{x=-3,y=-4,或{x=1,y=0,所以｜AB｜=4√2,由圆的直径|AB｜=√D2+E2-4F=√22+42-4m=4√2,可解得m=-3，故选A。
3。
（2019湖南湖北八市十二校一调联考，8)已知抛物线C：y2=2px(p〉0）的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点,且直线l与圆x2-px+y2—34p2=0交于C、D两点。
若|AB|=2|CD｜,则直线l的斜率为(）A.±√22B。
±√32C。
±1 D.±√2解析由题设可得x-p22+y2=p2,故圆心在焦点上，故CD=2p，AB=4p，设直线l的方程为x=ty+p2，设A(x1，y1）B(x2,y2）代入y2=2px(p〉0)得y2—2pty—p2=0,所以y 1+y2=2pt，y1y2=—p2,则AB=√(1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p,即1+t2=2,解得t=±1.故选C.4.（2019江西名校（临川一中、南昌二中）2019联考,7）阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k〉0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。
2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第7讲抛物线学案(含解析)北师大版
第7讲 抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的02准线.其数学表达式：03|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离). 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴04y ＝005x ＝0焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F 06⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0F 07⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2F 08⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝091准线方程 10x ＝－p211x ＝p212y ＝－p213y ＝p2范围 14x ≥0，y ∈R 15x ≤0，y ∈R 16y ≥0，x ∈R 17y ≤0，x ∈R 开口方向向18右向19左向20上向21下抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A ．2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4答案 D解析 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D ．3．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A ．4．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4答案 D解析 由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D ．5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 B解析 由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B ．6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4答案 C解析 利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C ．核心考向突破角度1 例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析 过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2020·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3答案 B解析 由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[即时训练] 1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案 B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B．2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )A． 3 B． 5C．2 D．5－1答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.考向二抛物线的方程例4 (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案 D解析∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M 的轨迹方程为y2＝16x.(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.答案 x 2＝4y解析 因为△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线的方程为x 2＝4y .抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定，也就是说，不必设为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[即时训练] 3.(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以设该点为P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .4．(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . 考向三 抛物线的性质例5 (1)过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条答案 B解析 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x＋14k 2＝0，因为A ，B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条． (2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[即时训练] 5.(2019·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 A解析 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D ．因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A ．6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52.考向四 直线与抛物线的位置关系例6 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.综上，圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时训练] 7.(2020·福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A ，B 在C 上，F 为线段AB 的中点，|AB |＝4.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点．若C 上仅存在三个点K i (i ＝1,2,3)，使得△MNK i的面积等于16，求l 的方程．解 解法一：(1)由抛物线的对称性，可知AB ∥x 轴，且A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－2，p 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p 2，所以4＝2p ·p 2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)如图，作与l 平行且与C 相切的直线l ′，切点为K .由题意，可知△MNK 的面积等于16.设l 的方程为y ＝kx ＋1，方程x 2＝4y 可化为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，令y ′＝k ，解得x ＝2k ，将x ＝2k 代入x 2＝4y ，得y ＝k 2，故K (2k ，k 2)，所以K 到l 的距离d ＝|2k 2－k 2＋1|k 2＋1＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，故△MNK 的面积为12|MN |·d ＝2(k 2＋1)k 2＋1，从而2(k 2＋1)k 2＋1＝16，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.解法二：(1)设A (x 0，y 0)，B (x 0′，y 0′)，则x 20＝2py 0，x 0′2＝2py 0′，因为F 为AB 的中点，所以x 0＋x 0′＝0，y 0＋y 0′＝p ，故y 0＝y 0′＝p2，从而|AB |＝2|x 0|，故|x 0|＝2，所以4＝2p ·p2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)直线l 斜率显然存在，设直线l的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，因为点K 在C 上，设K ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14m 2，则点K 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1，△MNK 的面积等于16，所以关于m 的方程12×4(k 2＋1)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1＝2k 2＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1＝16恰有三个不同实根，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪14m 2－km －1＝8k 2＋1恰有三个不同实根，所以m ＝2k ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪142k2－k ·2k －1＝k 2＋1＝8k 2＋1，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.1．(2019·长沙模拟)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于________.答案 2解析 依题意，得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM ||MN |＝55，则|KN |∶|KM |＝2∶1，即k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，得－4p＝－2，解得p＝2.2．(2019·山东临沂三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线m 与C 交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 准线的垂线，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．答案2解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ ⊥l 于点Q ，BP ⊥l 于点P ，由抛物线的定义可设|AF |＝|AQ |＝a ，|BF |＝|BP |＝b ，由勾股定理可知|AB |＝|AF |2＋|BF |2＝a 2＋b 2，由梯形中位线的性质可得|MN |＝a ＋b2，则|AB ||MN |＝a 2＋b2a ＋b2≥12a ＋b 2a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，即|AB ||MN |的最小值为 2.答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．对点训练1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AF |>|BF |，则|AF ||BF |＝________. 答案 3解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，设直线l 与抛物线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，联立方程组，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6，∴|AF |＝x 1＋p 2＝2p ，|BF |＝x 2＋p 2＝2p 3，∴|AF |∶|BF |＝3∶1，∴|AF ||BF |的值为3.2．(2019·湖北八校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 作斜率大于0的直线与抛物线C 交于M ，N 两点(M 在x 轴上方)，且与直线l 交于点Q .若|FN ||NQ |＝34，|MF |＝16，则p 的值为________．答案 4解析 过M ，N 分别作l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，过F 作MM 1的垂线，垂足为P .∵|FN ||NQ |＝34，∴|NN 1||NQ |＝34，∴|MP ||MF |＝34， ∴|MP |＝34|MF |，∴|MF |＝|MM 1|＝|MP |＋p ＝34|MF |＋p ，∴p ＝4.。
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析
§9。
4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于 （ ) A 。
1 B 。
17C.1或17 D 。
以上均不对 答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（ ）A 。
x 24-y 212=1 B 。
x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。
x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。
若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（ ）A 。
实半轴长相等B 。
虚半轴长相等C 。
离心率相等 D.焦距相等 答案 D考点二 双曲线的几何性质5。
已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。
1答案 D6。
双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（ ） A 。
2 B.2√2 C 。
4 D 。
4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。
y=±14x B.y=±13xC 。
y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。
高二数学测试题高考数学第一轮章节复习考试题(附答案和解释)
高二数学测试题2021届高考数学第一轮章节复习考试题（附答案和解释）第6章第4节一、选择题1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于()A.12B.18C.24D.42[答案] C[解析] 由题意设Sn=An2+Bn，又∵S2=2，S4=10，∴4A+2B=2,16A+4B=10，解得A=34，B=-12，∴S6=36×34-3=24.2.数列{an}的前n项和为Sn，若an=1?n+1??n+2?，则S8等于()A.25B.130C.730D.56[答案] A[解析] ∵an=1?n+1??n+2?=1n+1-1n+2，而Sn=a1+a2+…+an=12-13+13-14+…+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2?n+2?，∴S8=82×?8+2?=25.3.数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n项和为()A.2-12n-n2n+1B.2-12n-1-n2nC.12(n2+n+2)-12nD.12n(n+1)+1-12n-1[答案] B[解析]S=1×12+2×14+3×18+4×116+…+n×12n=1×121+2×122+ 3×123+…+n×12n，①则12S=1×122+2×123+3×124+…+(n-1)×12n+n×12n+1，②①-②得12S=12+122+123+…+12n-n×12n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1.∴S=2-12n-1-n2n.4.122-1+132-1+142-1+…+1?n+1?2-1的值为()A.n+12?n+2?B.34-n+12?n+2?C.34-121n+1+1n+2D.32-1n+1+1n+2[答案] C[解析] ∵1?n+1?2-1=1n2+2n=1n?n+2?=121n-1n+2.∴Sn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2=1232-1n+1-1n+2=3 4-121n+1+1n+2.5.(2021?汕头模拟)已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，若称使乘积a1?a2?a3?…?an为整数的数n为劣数，则在区间(1,2021)内所有的劣数的和为()A.2026B.2046C.1024D.1022[答案] A[解析]∵a1?a2?a2?…?an=lg3lg2?lg4lg3?…?lg?n+2?lg?n+1?=lg ?n+2?lg2=log2(n+2)=k，则n=2k-2(k∈Z).令12021，得k=2,3,4， (10)∴所有劣数的和为4?1-29?1-2-18=211-22=2026.6.(2021?威海模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|=()A.66B.65C.61D.56[答案] A[解析] 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5;当n=1时，a1=S1=-1，不符合上式，∴an=-1，n=1，2n-5，n≥2，∴{|an|}从第3项起构成等差数列，首项|a3|=1，末项|a10|=15.∴|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+?1+15?×82=66.7.(文)(20XX?江西)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于()A.18B.24C.60D.90[答案] C[解析] 由题意可知a42=a3×a7S8=32，∴?a1+3d?2=?a1+2d??a1+6d?8a1+8×72×d=32，∴a1=-3d=2，∴S10=10×(-3)+10×92×2=60，选C.(理)(20XX?重庆)设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=()A.n24+7n4B.n23+5n3C.n22+3n4D.n2+n[答案] A[解析] 设等差数列公差为d，∵a1=2，∴a3=2+2d，a6=2+5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a32=a1a6，即(2+2d)2=2(2+5d)，整理得2d2-d=0.∵d≠0，∴d=12，∴Sn=na1+n?n-1?2d=n24+74n.故选A. 8.在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于()A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1[答案] C[解析] 解法1：由{an}为等比数列可得an+1=an?q，an+2=an?q2由{an+1}为等比数列可得(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)，故(an?q+1)2=(an+1)(an?q2+1)，化简上式可得q2-2q+1=0，解得q=1，故an为常数列，且an=a1=2，故Sn=n?a1=2n，故选C.解法2：设等比数列{an}的公比为q，则有a2=2q且a3=2q2，由题设知(2q+1)2=3?(2q2+1)，解得q=1，以下同解法1.二、填空题9.设f(x)=12x+2，则f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)的值为________.[答案] 52[解析]∵f(-n)+f(n+1)=12-n+2+12n+1+2=2n1+2n?2+12n+1+2=2n?2 +12n+1+2=22，∴f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)=52.10.(2021?启东模拟)对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn=________.[答案] 2n+1-2[解析] ∵an+1-an=2n，∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n-2+2=2n，∴Sn=2-2n+11-2=2n+1-2.11.(2021?江门模拟)有限数列A={a1，a2，…，an}，Sn为其前n项的和，定义S1+S2+…+Snn为A的“凯森和”;如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为1000，则有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为________.[答案] 991[解析] ∵{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为S1+S2+…+S9999=1000，∴S1+S2+…S99=1000×99，数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：1+?S1+1?+?S2+1?+…+?S99+1?100=100+S1+S2+…+S99100=991.三、解答题12.(2021?重庆文)已知{an }是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.(1)求通项an及Sn;(2)设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力.(1)因为{an}为首项a1=19，公差d=-2的等差数列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21，Sn=19n+n?n-1?2(-2)=-n2+20n.(2)由题意知bn-an=3n-1，所以bn=3n-1-2n+21Tn=b1+b2+…+bn=(1+3+…+3n-1)+Sn=-n2+20n+3n-12.13.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n.(1)求证：数列{an}是等差数列;(2)若bn=an?2n，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] (1)证明：a1=S1=-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5. 又a1适合上式，故an=4n-5(n∈N*).当n≥2时，an-an-1=4n-5-4(n-1)+5=4，所以{an}是等差数列且d=4，a1=-1.(2)bn=(4n-5)?2n，∴Tn=-21+3?22+…+(4n-5)?2n，①2Tn=-22+…+(4n-9)?2n+(4n-5)?2n+1，②①-②得-Tn=-21+4?22+…+4?2n-(4n-5)?2n+1=-2+4?4?1-2n-1?1-2-(4n-5)?2n+1=-18-(4n-9)?2n+1，∴Tn=18+(4n-9)?2n+1.14.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且an+2SnSn-1=0(n≥2)，(1)求数列{Sn}的通项公式;(2)设Sn=1f?n?，bn=f(12n)+1.记Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试求Tn，并证明Pn12.[解析] (1)解：∵an+2SnSn-1=0(n≥2)，∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.∴1Sn-1Sn-1=2.又∵a=1，∴Sn=12n-1(n∈N+).(2)证明：∵Sn=1f?n?，∴f(n)=2n-1.∴bn=2(12n)-1+1=(12)n-1.Tn=(12)0?(12)1+(12)1?(12)2+…+(12)n-1?(12)n=(12)1+( 12)3+(12)5+…+(12)2n-1=23[1-(14)n].∵Sn=12n-1(n∈N+)∴Pn=11×3+13×5+…+1?2n-1??2n+1?=121-12n+112.15.(2021?山东理)已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1an2-1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.对(1)可直接根据定义求解，(2)问采用裂项求和即可解决.(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有a1+2d=72a1+10d=26，解得a1=3，d=2，所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+n?n-1?2×2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1，所以bn=1an2-1=1?2n+1?2-1=14?1n?n+1?=14?1n-1n+1，所以Tn=14?1-12+12-13+…+1n-1n+1=14?1-1n+1=n4?n+1?，即数列{bn}的前n项和Tn=n4?n+1?.[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积.本题应用了裂项求和.。
2021高考数学一轮复习考点通关练第二章函数、导数及其应用考点测试9指数与指数函数(含解析)苏教版
考点测试9 指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题 1．设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27答案 D 解析 因为2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －9＝32y，所以x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.2．化简(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB ．abC ．a 2b D ．a b答案 D 解析 原式＝＝ab －1＝ab .故选D.3．若f (x )＝(2a －3)a x为指数函数，则f (x )在定义域内( ) A ．为增函数 B ．为减函数 C ．先增后减 D ．先减后增答案 A解析 由指数函数的定义知2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (x )＝2x，所以f (x )在定义域内为增函数．故选A.4．已知，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A 解析 a ＝，由2<3得a <c ，由23>25，得a >b ，故c >a >b .故选A.5．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2B ．－1<a <1C ．a >2或a <－ 2D ．－2<a < 2答案 C解析 ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，即a 2>2.∴a >2或a <－ 2.故选C.6．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝22－xB ．y ＝x －11＋xC ．D ．y ＝－x 2＋2x ＋a答案 A解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝22－x＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在(0，＋∞)内单调递减，符合题意；对于B ，y ＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于C ，y ＝＝log 2x ，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于D ，y ＝－x 2＋2x ＋a ＝－(x －1)2＋a ＋1，在(0,1)内单调递增，不符合题意．故选A.7．已知函数f (x )满足对一切x ∈R ，f (x ＋2)＝－1f x都成立，且当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x，则f (2019)＝( )A.14 B ．18 C ．116 D ．132答案 B解析 由已知条件f (x ＋2)＝－1f x可得f (x )＝－1fx －2，故f (x ＋2)＝f (x －2)，易得f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2019)＝f (3＋504×4)＝f (3)，∵当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x ，∴f (3)＝2－3＝18，即f (2019)＝18.故选B.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 B ．(0,2] C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析 因为f (x )＝2x＋31＋2x ＋1＝121＋2x ＋1＋521＋2x ＋1＝12＋521＋2x ＋1，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋521＋2x ＋1<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C. 9．下列说法中，正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称． A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤答案 B解析 ①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错误；②中当x <0时，a x <a －x，故②错误；③中y ＝(3)－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，∵0<33<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数，故③错误；④中x ＝0时，y 取最小值1，故④正确；⑤由函数图象变换，可知y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，故⑤正确．故选B.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x－1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 D ．[2,3)答案 C解析 ∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x－1，∴f (x )在区间[0,1]上是增函数，又f (x )是奇函数，∴f (x )在区间[－1,1]上是增函数．∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，∴在区间(1,3)上不等式f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，故选C.11．求值：＝________.答案14380解析 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x≥e(当x ＝1时，取等号)；当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．b <c <a答案 B解析 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以a <c <b .故选B. 14．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.15．(2018·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.答案 6解析 由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65， ①2q 2q＋aq ＝－15， ②①＋②，得2p2q ＋aq ＋2q2p＋ap2p ＋ap 2q＋aq＝1， 整理得2p ＋q＝a 2pq ，又2p ＋q＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 16．(2015·江苏高考)不等式<4的解集为________．答案 {x |－1<x <2} 解析 不等式<4可转化为<22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．17．(2015·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．答案 1解析 因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.三、模拟小题18．(2020·河北张家口摸底)化简的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab答案 B 解析 原式＝＝4ab 0＝4a ，故选B.19．(2019·湖北八校联考)若，则函数y ＝2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B 解析 因为＝24－2x，则x 2＋1≤4－2x 即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1.所以18≤y ≤2.20．(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝e x －1－e－x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是1B ．函数f (x )是单调递减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1,0)中心对称 答案 D解析 函数f (x )＝ex －1－e－x ＋1，即f (x )＝ex －1－1e x －1，可令t ＝e x －1，即有y ＝t －1t，由y ＝t －1t在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A ，B 均错误；由f (2－x )＝e1－x－ex －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1,0)对称，则C 错误，D 正确．故选D.21．(2020·湖南衡阳高三摸底考试)设函数f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤K ，K ，f x >K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1答案 D解析 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1时恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.22．(2019·江苏省镇江市期末)已知函数f (x )＝12x －2x ，则满足f (x 2－5x )＋f (6)>0的实数x 的取值范围是________．答案 (2,3)解析 根据题意，函数f (x )＝12x －2x ，f (－x )＝12－x －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2x ＝－f (x )，即f (x )为奇函数，又由y ＝12x 在R 上为减函数，y ＝－2x在R 上为减函数，则f (x )在R 上为减函数，则f (x 2－5x )＋f (6)>0⇒f (x 2－5x )>－f (6)⇒f (x 2－5x )>f (－6)⇒x 2－5x <－6，解得2<x <3，即x 的取值范围为(2,3)．23．(2019·浦东新区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4x 2＋16，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x <2，若对任意的x 1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x 2∈(－∞，2)，满足f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________．答案 [－2,6)解析 当x 1∈[2，＋∞)时， x 14x 21＋16＝14x 1＋16x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116.当x 2∈(－∞，2)时，(1)若a ≥2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x 在(－∞，2)上是单调递增函数，所以f (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2.若满足题目要求，则⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2>116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，∴a －2<4，a <6.又a ≥2，所以a ∈[2,6)．(2)若a <2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x，x <a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －a，a ≤x ＜2.如果f (x )在(－∞，a )上是单调递增函数， 此时f (x 2)∈(0,1)；如果f (x )在[a,2)上是单调递减函数，此时f (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a ，1. 若满足题目要求，则116≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a，∴a ≥－2，又a <2，所以a ∈[－2,2)． 综上，a ∈[－2,6)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·兰州模拟)已知函数.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求实数a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，实数a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使的值域为(0，＋∞)，则应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.2．(2020·河南洛阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a|x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件． 解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得实数b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2019·渭南模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得实数b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得实数a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数， 所以由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. 4．(2020·山东枣庄高三摸底考试)已知函数f (x )＝e x ＋a ·e －x，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立． 解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为x 1<x 2，函数y ＝e x为增函数，所以，则，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0， 所以对任意的0≤x 1<x 2恒成立，所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由(1)(2)知函数f (x )＝e x ＋e －x在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x＋e－2x＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x ＋e －x，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立， 等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1t 2恒成立， 而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14， 当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值34，故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
最新2021高三数学一轮强化训练含答案
胡文2021年高三文科数学一轮强化训练09一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2(4)(1)0,20A x x x B x x x =+-<=-=，则A B = ( )A ．{}0B ．{}2C ．{}0,2D ．{}41x x -<<2.若复数(1)(2)3ai i i ++=-，则实数a 的值为 ( )A ．1B ．1-C ．2±D ．2-3.命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为 ( )A ．x R ∀∈，2240x x -+≥B ．2,240x R x x ∀∉-+≤C ．x R ∃∈,2240x x -+>D ．x R ∃∉,2240x x -+>4.已知等差数列}{n a 中，1529,3a a a ==，则4a =( )A ．3B ．7C ．3或3-D ．3或75.同时满足两个条件：①定义域内是减函数 ②定义域内是奇函数的函数是 ( )A .()f x x x =- B.()3f x x = C.()sin f x x = D.()ln x f x x= 6．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是()① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ ② a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭③ //m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭④ ////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ A. ①和②B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④7.如上图,在平行四边形ABCD 中,O 是对角线,AC BD 的交点,N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是．．．．( ) A.AC AB AD =+ B.BD AD AB =- C.1122AO AB AD =+ D.53AE AB AD =+ 8.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()5,0A -和()5,0C ，顶点B 在双曲线221169x y -=上，则sin sin sin B A C -为 ( ) A.32 B. 23 C. 54 D. 459.对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的“上确界”，若,a b R +∈，且1,a b +=则122a b --的“上确界”为 () AA. 92B. 14C. 92- D. 4- 10.将1,2,3,,100这100个自然数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任意一个记为a ,另一个数记为b ,按框图所示进行运算(注：框图中每次“输入,a b ”为同一组的,a b 值，且每组数据不重复输入)，则输出的S 最大值为( )A ．5050B ．3775C ．2525D ．3885二。
2021年高考理科数学12月月考考前强化与演练(九) 含答案
2021年高考理科数学12月月考考前强化与演练（九）含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）1．若集合则集合A． B． C． D．2．函数的零点所在的一个区间是A．（-2，-1） B．（ -1，0） C．（0，1） D．（1，2）3．在锐角△中，“”是“”成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，且，则的最小值为A．24 B．25 C．26 D．275．=A．B． C． D．6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，是减函数，若，则A． B．C． D．7．设，函数的图象可能是8．已知，则A． B．C． D．9．已知函数的部分图象如图，则A． B．C． D．10．设满足，若目标函数的最大值为14，则A．1 B．2 C．23 D．11．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A． B．2 C．36 D．1212．用表示中的最大值.已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为A．-2 B．-1 C．1 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将正确答案填写在横线上）13．；14．如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数取值范围是。
15．设奇函数在（0，+∞）上为单调递增函数，且，则不等式的解集为。
16．有下列命题：①命题“”的否定是“”；②设p、q为简单命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④若函数为偶函数，则；其中所有正确的说法序号是。
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）设集合、，全集为R（1）当a=1时，求：；（2）若，求实数的取值范围。
18．(本题满分12分)在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回．．．地先后取得两个小球，其标号分别为，记．(1)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(2)求随机变量的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，（1）求的解析式；（2）讨论函数的单调性，并求的值域。
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第 1 页 共 12 页阶段复习检测(九) 复数、算法初步、统计与统计案例(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法C [因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合理．]2．复数z ＝i －2－i2(i 为虚数单位)，z 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [因为z ＝i－2－i 2＝i4＋4i －1＝i3＋4i ＝i 3－4i 25＝425＋325i ，所以z 在复平面内所对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫425， 325在第一象限．] 3．以下四个命题，其中正确的是( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位；第 2 页 共 12 页 ④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③D [由系统抽样知识知①是系统抽样，故①错误；由线性相关知识知②③正确；由独立性检验知k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故④错误．]4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2C ．3D ．2B [由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2.]5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45D[由频率分布直方图的知识得一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45. ]6．(2018·广东肇庆三模)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是( )A．63 B．64C．65 D．66A[由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63. ] 7．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的S＝( )A．7 B．12C．17 D．34C[由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，S＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，S＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，S＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出S＝17.]8．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为第3 页共12 页第 4 页 共 12 页91.现场作的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：89|7 7 4 0 1 0 x 9 1 则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169B ．367C ．36D ．677B [由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：87,94,90,91,90,90＋x,91，∴这组数据的平均数是90＋－3＋4＋0＋1＋0＋x ＋17＝91，得x ＝4.由方差公式得s 2＝17[(－4)2＋32＋(－1)2＋02＋(－1)2＋32＋02]＝367.]9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：优秀 非优秀 总计 A 班 14 6 20 B 班7 13 20 总计211940(1)统计量：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．(2)独立性检验的临界值表：P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 k 03.8416.635第 5 页 共 12 页则下列说法正确的是( )A ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C [因为K 2＝40×14×13－7×6220×20×21×19≈4.912,3.841<K 2<6.635，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．]10．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5xC [输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，则x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36，故n ＝2； 则x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36，故n ＝3；则x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，所以y ＝4x .]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝__________．第 6 页 共 12 页－1 [(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋a i ＋i 2＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由复数对应点在实轴上得a ＋1＝0，解得a ＝－1.]12．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：种子处理 种子未处理合计 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 合计93314407根据以上数据，则种子经过处理与是否生病__________(填“有”或“无”)关． 无 [在假设无关的情况下，根据题意K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d≈0.16，可以得到无关的概率大于50%，所以种子经过处理跟是否生病有关的概率小于50%，所以可以认为种子经过处理与是否生病无关．]13．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是__________．s ≤1112 [由程序框图，k 的值依次为0,2,4,6,8，因此s ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填s ≤1112.]第 7 页 共 12 页14．某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量．为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.由此，三位领导得出以下判断：p ：有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”； q ：没有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”； r ：有5%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”．则下列结论中，正确结论的序号是__________.(把你认为正确的命题序号都填上) ①p ∧(綈q )；②(綈p )∨q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨r ．①④ [由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以只有p 的判断正确，即有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”．由真值表知①④为真命题．]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分) 某中学为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟法庭”“街舞”“动漫”“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：(1)求a ，b ，c (2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．解 (1)由分层抽样知识和表可知抽取比例为530＝16，故a＝4，b＝24，c＝2．(2)(枚举法)设“动漫”社团的4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”社团的2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个．其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个．由古典概型得，这2人分别来自这两个社团的概率P＝815．16．(12分)(2019·湖南衡阳期末)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行，会议期间，达成了多项国际合作协议．假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为．(1)求a的值；(2)；第8 页共12 页第 9 页共 12 页(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率． 解 (1)由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30＋a ，故频率为30＋a300， 由意可得30＋a 300＝310，解得a ＝60．(2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20＋60300＝415，用频率估计概率，∴甲品牌产品寿命小于200小时的概率为415． (3)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，∴在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为210430＝2143，用频率估计概率2143，∴已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为2143．17．(12分)(2019·山西太原模拟)篮球运动员甲在最近6场NBA 比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污渍，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污渍2处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均值为17．(1)求污渍1,2处的数字；(2)篮球运动员乙在最近6场NBA 的比赛中所得分数为8,12,16,18,20,28.试分别以各自6场比赛得分的平均数与方差来分析这两名篮球运动员的发挥水平．解 (1)设污渍1,2处的数字分别为x ，y ，第 10 页 共 12 页由于除掉2处的数字后剩余5个数据的中位数为10＋x 或15，故污渍1处的数字为5， 所以x －甲＝8＋13＋30＋24＋20＋y 6＝17，则污渍2处的数字为7．(2)甲的得分的平均数为x －甲＝17，甲的得分的方差为s 2甲＝[(8－17)2＋(13－17)2＋(15－17)2＋(15－17)2＋(24－17)2＋(27－17)2]＝254，乙的得分的平均数为x －乙＝8＋12＋16＋18＋20＋286＝17．乙的得分的方差为s 2乙＝[(8－17)2＋(12－17)2＋(16－17)2＋(18－17)2＋(20－17)2＋(28－17)2]＝245，由于x －甲＝x －x 乙，s 2甲＞s 2乙， 所以两人的平均水平相当，但是乙的得分波动更小，发挥更稳定，故乙发挥水平更好． 18. (14分)(2018·山东德州模拟)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.第 11 页 共 12 页 k 02.7063.8416.6357.879附：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d．解 (1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时165 60 225 总计21090300K 2＝30045×60－165×302210×90×75×225＝10021≈4.762＞3.841，所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．第12 页共12 页。