构造函数法解选填压轴题

合集下载

导数的综合运用：同构、构造函数选择填空压轴题(解析版)

2024届高考数学专题：同构、构造函数选择填空压轴题一、单选题1.若对∀x ∈12e ,12，不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(0,4e ]B.(4e ,+∞)C.[4e ,+∞)D.(4e ,+∞)【答案】C【分析】不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2变形为ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2，令f x =ln xx ，利用导数研究函数单调性，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】由已知得：a >0，由ax -4 ln x <2ln a -ax ln2，得ax ln 2x <2ln a +2ln x 即ax ln (2x )2<ln (ax 2)，可得ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2．令f x =ln xx，x ∈0,+∞ ，则f (2x )<f (ax 2)，求导得f (x )=1-ln x x2，f(x )>0，解得0<x <e ；f (x )<0，解得x >e ，∴f (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，且当0<x <1时f (x )<0；当x >1时，f (x )>0，函数图像如图所示．∵x ∈12е,12，∴2x ∈1е,1，∴f (2x )<0，由f (2x )<f (ax 2)及f x =ln x x 的图像可知，2x <ax 2恒成立，即a >2x成立，而2x ∈(4,4e )，∴a ≥4е，实数a 的取值范围是[4e ,+∞).故选：C ．2.对任意x ∈0,+∞ ，k e kx +1 -1+1xln x >0恒成立，则实数k 的可能取值为()A.-1B.13C.1eD.2e【答案】D【分析】将恒成立的不等式化为e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，构造函数f x =x +1 ln x ，利用导数可求得f x 单调性，从而得到e kx >x ，分离变量可得k >ln x x ；令h x =ln xx，利用导数可求得h x 最大值，由此可得k 的范围，从而确定k 可能的取值.【详解】当x >0时，由k e kx +1 -1+1xln x >0得：kx e kx +1 >x +1 ln x ，∴e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，令f x =x +1 ln x ，则f x =ln x +1+1x，令g x =f x ，则g x =1x -1x 2=x -1x 2，∴当x ∈0,1 时，g x <0；当x ∈1,+∞ 时，g x >0；∴f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，∴f x ≥f 1 =2>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，由e kx +1 ln e kx >x +1 ln x 得：f e kx >f x ，∴e kx >x ，即k >ln xx；令h x =ln x x ，则h x =1-ln xx 2，∴当x ∈0,e 时，h x >0；当x ∈e ,+∞ 时，h x <0；∴h x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴h x ≤h e =1e，∴当x >0时，k >ln x x 恒成立，则k >1e，∴实数k 的可能取值为2e，ABC 错误，D 正确.故选：D .【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解.3.已知对任意的x ∈0,+∞ ，不等式kx e kx +1 -x +1 ln x >0恒成立，则实数k 的取值范围是()A.e ,+∞B.1e ,eC.1e,+∞D.1e2,1e【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为kx e kx +1 >(x +1)ln x ，所以e kx +1 ln e kx >(x +1)ln x ①，令f (x )=(x +1)ln x ，则f (x )=1x +1+ln x ，设g (x )=f (x )=1x+1+ln x ，所以g (x )=-1x 2+1x =x -1x2，当0<x <1时，g(x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以f (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f x ≥f 1 =2，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，因为①式可化为f e kx >f (x )，所以e kx >x ，所以k >ln xx，令h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，所以h (x )在(0,e )单调递增，在(e ,+∞)单调递减，所以h (x )max =h (e )=1e ，所以k >1e，故选：C .4.设实数a >0，对任意的x ∈1e3,+∞，不等式e 2ax -ln x 2a ≥1a -e 2ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是()A.1e ,+∞B.12e,+∞ C.0,1eD.1e2,+∞【答案】B【分析】将e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax化简为e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，再构造函数f x =x ln x +2 ，求导分析单调性可得e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.【详解】因为e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax恒成立即2axe 2ax -x ln x ≥2x -2e 2ax ，可得e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，令f x =x ln x +2 ，则f e 2ax ≥f x 恒成立.又f x =ln x +3，故当x ∈1e 3,+∞时，fx >0，故f x =x ln x +2 在区间1e3,+∞上为增函数.又f e 2ax ≥f x 恒成立，则e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，即2ax ≥ln x ，2a ≥ln xx .构造g x =ln x x ,x ∈1e 3,+∞，则g x =1-ln xx2，令g x =0有x =e ，故当x ∈1e3,e时g x >0，g x 为增函数；当x ∈e ,+∞ 时g x <0，g x 为减函数.故g x ≤g e =1e ，故2a ≥1e ，即a ≥12e.故选：B 【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：若f (x )在区间D 上有最值，则(1)恒成立：∀x ∈D ,f x >0⇔f x min >0；∀x ∈D ,f x <0⇔f x max <0；(2)能成立：∃x ∈D ,f x >0⇔f x max >0；∃x ∈D ,f x <0⇔f x min <0.若能分离常数，即将问题转化为：a >f x (或a <f x )，则(1)恒成立：a >f x ⇔a >f x max ；a <f x ⇔a <f x min ；(2)能成立：a >f x ⇔a >f x min ；a <f x ⇔a <f x max .5.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是()A.14,+∞B.12,+∞C.14,+∞ D.12,+∞ 【答案】D【分析】构造函数g (x )=f (x )-2x =ln x +ax 2-2x (x >0)，则转化得到g x 在(0,+∞)上单调递增，将题目转化为g (x )=1x+2ax -2≥0在(0,+∞)上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设x 1>x 2>0,因为对任意两个不等的正实数x 1,x 2,都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2,所以f x 1 -f x 2 >2x 1-2x 2,即f x 1 -2x 1>f x 2 -2x 2,构造函数g(x)=f(x)-2x=ln x+ax2-2x(x>0),则g x1>g x2,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g (x)=1x+2ax-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥1x-12x2在(0,+∞)上恒成立,设m(x)=1x-12x2(x>0),则m (x)=-1x2+1x3=1-xx3，所以当x∈(0,1)时,m (x)>0,m(x)单调递增，x∈(1,+∞)时,m (x)<0,m(x)单调递减，所以m(x)max=m(1)=1-12=12，所以a≥1 2 .故选：D.6.已知f x 是定义在R上的函数f x 的导函数，且f x +xf x <0，则a=2f2 ,b=ef e ,c=3f3 的大小关系为()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】A【分析】构建g x =xf x ，求导，利用导数判断g x 的单调性，进而利用单调性比较大小.【详解】构建g x =xf x ，则g x =f x +xf x ，因为f x +xf x <0对于x∈R恒成立，所以g x <0，故g x 在R上单调递减，由于a=2f2 =g2 ,b=ef e =g e ,c=3f3 =g3 ，且2<e<3，所以g2 >g e >g3 ，即a>b>c.故选：A.【点睛】结论点睛：1.f x +xf x 的形式，常构建xf x ；f x -xf x 的形式，常构建f x x；2.f x +f x 的形式，常构建e x⋅f x ；f x -f x 的形式，常构建f x e x.7.若函数f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-eB.-∞,-eC.-e,0D.-e,0【答案】A【分析】将问题转化为函数y=-a与y=e x2-2ln xx2-2ln x图象有两个不同的交点，根据换元法将函数y=e x2-2ln x x2-2ln x 转化为g t =e tt，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2=e x2-2ln x+a x2-2ln x，设h(x)=x2-2ln x(x>0)，则h (x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x，令h (x)>0⇒x>1，令h (x)<0⇒0<x<1，所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且h (1)=1，所以h (x )min =h (1)=1，所以h (x )≥1，函数f (x )有两个不同的零点等价于方程f (x )=0有两个不同的解，则e x 2-2ln x+a x 2-2ln x =0⇒-a =e x 2-2ln x x 2-2ln x，等价于函数y =-a 与y =e x 2-2ln xx 2-2ln x 图象有两个不同的交点.令x 2-2ln x =t ，g t =e t t ,t >1，则函数y =-a 与g t =e tt ,t >1图象有一个交点，则g t =te t -et t 2=e t t -1 t2>0，所以函数g (t )在(1,+∞)上单调递增，所以g t >g 1 =e ，且t 趋向于正无穷时，g t =e tt趋向于正无穷，所以-a >e ，解得a <-e.故选：A .【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.8.函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且满足f x +2xf x >0，若不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax在x ∈1,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.0,1eB.1e ,+∞C.0,eD.1e,+∞【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数g x =x 2f x ，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成g ax≥g ln x ，即a ≥ln x x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，求出函数ln xx在1,+∞ 上的最大值即可得a 的取值范围.【详解】设g x =x 2f x ，x >0，g x =x 2f x +2xf x =x 2fx +2x f x >0所以函数g x 在0,+∞ 上为增函数．由f x 的定义域为0,+∞ 可知ax >0，得a >0，将不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax整理得a 2x 2⋅f ax ≥f ln x ⋅ln 2x ，即g ax ≥g ln x ，可得ax ≥ln x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，即a ≥ln xx在x ∈1,+∞ 上恒成立；令φx =ln xx ，其中x >1，所以a ≥φx maxφ x =1-ln xx2，令φ x =0，得x =e ．当x ∈1,e 时，φ x >0，所以φx 在1,e 上单调递增；当x ∈e ,+∞ 时，φ x <0，所以φx 在e ,+∞ 上单调递减；所以φx max =φe =1e ，即a ≥1e故选：B ．9.已知函数f (x )=xe x -a ln x +x -x a +1，若f (x )>0在定义域上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,e )B.0,eC.(-∞,1)D.0,1【答案】B【分析】构造函数g x =x +e x ，从而原不等式可转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，根据g x 的单调性可得x -a ln x >0，根据a 不同取值分类讨论求解即可.【详解】由f x >0得xe x +x >a ln x +x a +1，所以xe x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，即e x +ln x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，构造函数g x =x +e x ，则不等式转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，又易知g x 在R 上单调递增，故不等式等价于x +ln x >a ln x +ln x ，即x -a ln x >0.设h x =x -a ln x ，若a <0，h e1a=e1a-a lne 1a =e 1a-1<0，不符合题意；若a =0，则当x >0时，h x =x >0，符合题意；若a >0，则h x =1-ax,h x 在0,a 上单调递减，在a ,+∞ 上单调递增，所以h (x )min =h a ，要使h x >0恒成立，只需h a =a 1-ln a >0，所以0<a <e.综上可知a 的取值范围是0,e .故选：B .10.已知函数f (x )=xe x +e x ,g (x )=x ln x +x ，若f x 1 =g x 2 >0，则x 2x 1可取()A.-1 B.-1eC.1D.e【答案】A【分析】探讨函数g x 在1e 2,+∞上单调性，由已知可得x 2=e x 1(x 1>-1)，再构造函数并求出其最小值即可判断作答.【详解】依题意，由g x 2 =x 2(ln x 2+1)>0得x 2>1e，令g x =2+ln x >0，函数g x 在1e 2,+∞上单调递增，由f x 1 =e x 1x 1+1 >0得x 1>-1，则f x =e x ln e x +1 =g (e x )，由f x 1 =g x 2 >0得：g (e x 1)=g (x 2)，又e x 1>1e ,x 2>1e，于是得x 2=e x 1(x 1>-1)，x 2x 1=ex1x 1，令h (x )=e x x (x >-1)，求导得h(x )=e x (x -1)x 2，当-1<x <0,0<x <1时，h (x )<0，当x >1时，h (x )>0，即函数h (x )在(-1,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当x >0时，h (x )min =h (1)=e ，且x →+∞，h (x )→+∞，h (-1)=-1e ，且x →0-，h (x )→-∞，故h (x )∈-∞,-1e∪[e ,+∞)即x 2x 1∈-∞,-1e ∪[e ,+∞)，显然选项A 符合要求，选项B ，C ，D 都不符合要求.故选：A 一、填空题11.设实数m >0，若对∀x ∈0,+∞ ,不等式e mx -ln xm≥0恒成立，则m 的取值范围为．【答案】m ≥1e【分析】构造函数f x =xe x 判定其单调性得mx ≥ln x ，分离参数根据恒成立求y =ln xx max即可.【详解】由e mx -ln xm≥0⇔mxe mx ≥x ln x =ln x ⋅e ln x ，构造函数f x =xe x x >0 ⇒f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 为增函数，则mx ⋅e mx ≥ln x ⋅e ln x ⇔mx ≥ln x 即对∀x ∈0,+∞ ,不等式mx ≥ln x 恒成立，则∀x ∈0,+∞ ,m ≥ln xx max，构造函数g x =ln x x ⇒g x =1-ln xx 2,令g x >0，得0<x <e ；令g x <0，得x >e ；∴g x =ln xx在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴g x max =g e =1e ，即m ≥1e .故答案为：m ≥1e .12.已知函数f (x )=e x +1-a ln x ，若f (x )≥a (ln a -1)对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】0,e 2【分析】对不等式进行合理变形同构得e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，构造函数利用函数的单调性计算即可.【详解】易知a >0，由e x +1-a ln x ≥a (ln a -1)可得e x +1a+1-ln a ≥ln x ，即e x +1-ln a +1-ln a ≥ln x ，则有e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，设h (x )=e x +x ，易知h x 在R 上单调递增，故h (x +1-ln a )≥h (ln x )，所以x +1-ln a ≥ln x ，即x -ln x ≥ln a -1，设g (x )=x -ln x ⇒g x =x -1x，令g x >0⇒x >1，g x <0⇒0<x <1，故g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以g x ≥g 1 =1，则有1≥ln a -1，解之得a ∈0,e 2 ．故答案为：0,e 2 .13.已知a >1，若对于任意的x ∈13,+∞，不等式13x -2x +ln3x ≤1ae2x +ln a 恒成立，则a 的最小值为.【答案】32e【分析】根据题意可得13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，再构造f (x )=1x +ln x (x ≥1)，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得3x ≤ae 2x ，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．【详解】因为ln a +2x =ln a +ln e 2x =ln ae 2x ，所以13x -2x +ln3x ≤1ae 2x +ln a 可化为13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，设f (x )=1x +ln x (x ≥1)，则f (x )=-1x 2+1x =x -1x 2≥0，∴f (x )在1,+∞ 上单调递增，因为a >1，x ∈13,+∞，所以3x ≥1，e 2x ≥e 23>1，ae 2x >1，所以13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x 可化为f (3x )≤f (ae 2x )，所以3x ≤ae 2x ，∴a ≥3x e2x 在x ∈13,+∞ 上恒成立，∴a ≥3x e2xmax ，x ∈13,+∞ ，设g (x )=3x e 2x ，x ∈13,+∞ ，则g(x )=3(1-2x )e 2x，令g (x )>0，得13≤x <12；g (x )<0，得x >12，所以g (x )在13,12上单调递增，在12,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 12 =32e ，所以a ≥32e ，即a 的最小值为32e ．故答案为：32e．【点睛】关键点睛：本题的关键是将式子同构成13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x ，再构造函数.14.若不等式ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，则实数a 的最小值为．【答案】13e【分析】将不等式变形为e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，构造函数g x =e x +x ，求导得单调性，进而问题进一步转化为ln a ≥ln x -3x 成立，构造h x =ln x -3x ，即可由导数求最值求解.【详解】因为ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，不等式可变形为:ae 3x +3x +ln a ≥ln x +x ，即e ln a e 3x +3x +ln a ≥ln x +e ln x ，即e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，记g x =e x +x ，则g x =e x +1>0，所以g x 在R 上单调递增，则e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 可写为g 3x +ln a ≥g ln x ，根据g x 单调性可知，只需3x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立即可，即ln a ≥ln x -3x 成立，记h x =ln x -3x ，即只需ln a ≥h x max ，因为h x =1x -3=1-3x x ，故在x ∈0,13 上，h x >0，h x 单调递增，在x ∈13,+∞ 上，h x <0，h x 单调递减，所以h x max =h 13 =ln 13-1=ln 13e，所以只需ln a ≥ln 13e 即可，解得a ≥13e.故答案为:13e【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题：1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.15.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不相等的正实数x 1,x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是【答案】12,+∞ 【分析】设x 2>x 1>0，令g x =f x -2x ，将问题转化为g x 在0,+∞ 上单调递增，即g x ≥0在0,+∞ 上恒成立，采用分离变量的方式可得2a ≥-1x 2+2x ，结合二次函数性质可确定2a ≥1，由此可得结果.【详解】不妨设x 2>x 1>0，由f x 1 -f x 2x 1-x 2>2得：f x 1 -2x 1<f x 2 -2x 2，令g x =f x -2x ，则g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g x =1x +2ax -2≥0在0,+∞ 上恒成立，∴2a ≥-1x 2+2x ，当1x =1，即x =1时，y =-1x2+2x 取得最大值1，∴2a ≥1，解得：a ≥12，∴实数a 的取值范围为12,+∞ .故答案为：12,+∞ .16.已知函数f x =12x 2-a ln x +1，当-2≤a <0，对任意x 1,x 2∈1,2 ，不等式f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2恒成立，则m 的取值范围为．【答案】12，+∞【分析】构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，求m 的取值范围即可.【详解】因为-2≤a <0，函数f x 在1,2 上单调递增，不妨设1≤x 1≤x 2≤2，则f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2，可化为f x 2 +m x 2≤f x 1 +mx 1，设h x =f x +mx=12x2-a ln x+1+mx，则h x1≥h x2，所以h x 为1,2上的减函数，即h x =x-ax-mx2≤0在1,2上恒成立，等价于m≥x3-ax在1,2上恒成立，设g x =x3-ax，所以m≥g(x)max，因-2≤a<0，所以g x =3x2-a>0，所以函数g x 在1,2上是增函数，所以g(x)max=g2 =8-2a≤12(当且仅当a=-2时等号成立)．所以m≥12.故答案为：12，+∞．17.已知实数x，y满足e x=xy2ln x+ln y，则xy的取值范围为.【答案】[e,+∞)【分析】把e x=xy2ln x+ln y化为xe x=x2y⋅ln(x2y)，构造函数f(x)=xe x(x>0)，可得xy=e xx，再求出函数g(x)=e xx(x>0)的值域即可得答案.【详解】依题意有x>0,y>0，设f(x)=xe x(x>0)，则f (x)=(x+1)e x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由e x=xy2ln x+ln y，得xe x=x2y⋅ln(x2y)，即有f(x)=f(ln(x2y))，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以有x=ln(x2y)，即x2y=e x，所以xy=e x x，设g(x)=e xx(x>0)，则g (x)=(x-1)e xx2，令g (x)=0，得x=1，x∈(0,1)时，g (x)<0，g(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，g (x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=e，所以x∈(0,+∞)时，g(x)∈[e,+∞)，所以xy的取值范围为[e,+∞).故答案为：[e,+∞)18.已知x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则ln x0x0=.【答案】3【分析】依题意得e3x0+3x0=x0+ln x0，构造函数f(x)=e x+x，则有f(3x0)=f(ln x0)，得出f(x)的单调性即可求解.【详解】因为x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则x0>0，所以e3x0-ln x0+2x0=0，即e3x0+3x0=x0+ln x0，令f(x)=e x+x，则f (x)=e x+1>0，所以f(x)在R单调递增，又e3x0+3x0=x0+ln x0，即f(3x0)=f(ln x0)，所以3x0=ln x0，所以ln x0x0=3.故答案为：319.已知函数f x =e ax-2ln x-x2+ax，若f x >0恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】2e,+∞ 【分析】根据f x >0恒成立，可得到含有x ，a 的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出a 的范围.【详解】已知函数f x =e ax -2ln x -x 2+ax ，若f x >0恒成立，则实数a 的取值范围为令g x =e x +x ，g x =e x +1>0，所以g x 单调递增，因为f x =e ax -2ln x -x 2+ax >0x >0 ，所以e ax +ax >ln x 2+e ln x 2，可得g ax >g ln x 2 ，所以ax >ln x 2，所以a >ln x 2xx >0 恒成立，即求ln x 2x max x >0 ，令F x =ln x 2x x >0 ，F x =ln x 2 x -x ln x 2x 2=21-ln x x 2，当x ∈0,e 时，F x >0，F x 单调递增，当x ∈e ,+∞ 时，F x <0，F x 单调递减，所以F x ≤F e =2e ，可得a <2e .故答案为：2e ,+∞ .【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的x ，使得f x >a 恒成立，可得出f x min >a ；对于任意的x ，使得f x <a 恒成立，可得出f x max <a .20.若ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，则实数a 的取值范围为．【答案】0<a ≤e 2【分析】利用同构法，构造函数f (x )=ln x +x ，将问题转化为f (2ax )≤f (e x)，从而得到2a ≤e x x恒成立问题，再构造g (x )=e x x，利用导数求得其最小值，由此得解.【详解】因为ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，a >0,x >0⇔ln (2ax )-x +2ax -e x ≤0,⇔ln (2ax )+2ax ≤x +e x =ln e x +e x ，令f (x )=ln x +x ,x >0，则原式等价于f (2ax )≤f (e x )，f (x )=1x +1=1+x x>0恒成立，所以f (x )在定义域内单调递增，所以2ax ≤e x ⇒2a ≤e x x，令g (x )=e x x (x >0),g (x )=e x (x -1)x 2，则x >1时，g (x )>0，g (x )在(1,+∞)单调递增，0<x <1时，g (x )<0，g (x )在(0,1)单调递减，所以g (x )min =g (1)=e ，则2a ≤e ,a ≤e 2.又a 为正数，故答案为：0<a ≤e 2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.已知a <0，不等式xe x +a ln x x a ≥0对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为.【答案】-e 【分析】将不等式等价变形为xe x ≥-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，进而问题转化成x ≥-a ln x ，构造g (x )=x ln x ，利用导数求解单调性进而得最值.【详解】xe x ≥-a ln x x a =-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，f x =x +1 e x >0x >0 ，故f x 在0，+∞ 上单调递增，故f x ≥f -a ln x 等价于x ≥-a ln x ，即a ≥-x ln x 任意的实数x >1恒成立．令g (x )=x ln x ，x >1则g (x )=ln x -1ln 2x ，故g (x )在(1,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增，g (x )min =e ，得a ≥-x ln x max=-e ．故答案为：-e【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别22.关于x 的不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的最小值是.【答案】22e【分析】不等式转化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，构造函数f x =e x +x ，判断函数单调递增得到2x +1+ln a ≥ln x ，转化为2x +1-ln x +ln a ≥0，构造函数g x =2x +1-ln x +ln a ，根据函数的单调性计算最小值即得到答案.【详解】a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0，即e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，设f x =e x +x ，f x =e x +1>0恒成立，故f x 单调递增.原不等式转化为f 2x +1+2ln a ≥f ln x ，即2x +1+2ln a ≥ln x ，即2x +1-ln x +2ln a ≥0在(0,+∞)上恒成立.设g x =2x +1-ln x +2ln a ，g x =2x -1x ，当x ∈12,+∞ 时，g x >0，函数单调递增；当x ∈0,12 时，g x <0，函数单调递减；故g x min =g 12=2+ln2+2ln a ≥0，即2ln a ≥-2-ln2=-ln2e 2，解得a ≥22e.所以a 的最小值是22e.故答案为：22e.【点睛】方法点睛：将不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥e ln x +ln x ，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．。

导数选择压轴题之【构造函数】

导数小题——构造函数解不等式当有题目有下列表格左栏中的条件时，那么构造相应的右侧的函数，利用新函数的单调性、奇偶性来解决题目中的问题。

例1 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f (1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f ′(x )<1 (x ∈R)，则不等式f (x )<x +1的解集为（）A.(1,+∞)B.(−∞,−1)C.(−1,1)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)例2 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且f (1)=0，当x <0时，f ′(x )+f (x )x>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是例3 ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()40f −=，则不等式()0xf x >的解集为．例4 已知()f x 是定义在(),−∞+∞上的函数，导函数()f x '满足()()f x f x '<对于R x ∈恒成立，则（）A ．()()220f e f >，()()201420140f e f >B ．()()220f e f <，()()201420140f e f >C ．()()220f e f >，()()201420140f e f <D ．()()220f e f <，()()201420140f e f <例5 已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫−<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f fπ⎛⎫< ⎪⎝⎭例6 α，,22ππβ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ−>，则下列结论正确的是（）A ．αβ>B ．22αβ>C ．αβ<D ．0αβ+>例7 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()10f =，当0x <时，有()()0xf x f x '−>恒成立，则不等式()0f x >的解集为．例8 已知偶函数()f x （0x ≠）的导函数为()f x '，且满足()10f −=，当0x >时，()()2f x xf x '>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是．例9 设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),0−∞上有()()2220xf x f x '+<，且()20f −=，则不等式()20xf x <的解集为例10若定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '−>，()01f =，则不等式()2x f x e >的解集为．例11已知函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，若()f x 满足：()()()10x f x f x '−−>⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e−−=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f f C ．()()330f e f >D ．()()440f e f < 答案：例1：A例2：(−1,0)∪(0,1)例3：(−∞,−4)∪(0,4) 例4：D 例5：A例6：A例7：(−∞,−1)∪(1,+∞) 例8：(−1,1) 例9：(−2,2)例10：(0,+∞)例11：C。

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数一、构造差函数h (x )＝f (x )－g (x )证明不等式f (x )>g (x ) 二、参变分离后构造函数例1．(2016·沈阳一模)已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上存在x 使得01<-x e e aax 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2. 令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知01<-x e e aax ，化简得x －1a <ln x ，又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －(x －1)·1x (ln x )2＝ln x －1＋1x (ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x>0，∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增，由洛毕达法则，可知111lim ln 1lim11==-→→xx x x x ，∴a >1.变式训练1当0≥x 时，若不等式1+≥ax e x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 略解：1≤a 。

三、利用目标不等式构造函数例2．(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )＞32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )＞32－2sin 2x2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1.又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3. 变式训练2函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )＞0的解集为{}x |x ＞－1，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． [答案] B四、利用导函数构造原函数例3．（1）(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)[解析] 设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A. [答案] A（2）已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，若f (0)＝1，则函数)()('x f x f 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ，∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2e x，∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2x x 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1，当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.（3）(2016·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，x f ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案：D变式训练3（1）已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )<g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a ) 答案：B（2）已知函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，y ＝f ′(x )是y ＝f (x )的导数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立．已知a ＝f (log 32)log 32，b ＝f (log 52)log 52，c ＝2f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 解析：选B 由函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，可知y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数．令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，由题意知g (x )在(－∞，0)上单调递减．又y ＝f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又0＜log 52＜log 32＜1＜2，所以g (log 52)＞g (log 32)＞g (2)，即b ＞a ＞c .（3）若的导数为,且满足则与的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．不能确定答案：C ．（4）定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8.综上，4<f (2)f (1)<8.五、构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数；例4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ’(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0，6))，f (π)＝1，则下列结论正确的是( )A ．)1(31)3(f f x xx f πD ．以上结论都不对解析：选D 因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0，6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin xx，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin xx，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )有最大值g (π)＝πf (π)＝π.变式训练4 f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a ++=b x bx f x F ．对任意2121],2,0(,x x x x ≠∈，都有1)()(2121-<--x x x F x F ，求实数b 的取值范围.()f x ()f x '()(),f x f x '<(3)f 3(0)e f 3(3)(0)f e f >3(3)(0)f e f =3(3)(0)f e f <解：当1=a 时，x x x g ln 21)(--=，定义域为），（∞+0，xx x x g 221)(-=-=' 当)2,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x g ,)(x g 单调递增，综上，)(x g 的单调递增区间为)2(∞+，，单调递减区间为)2,0(，所以2ln 21)2(-==g y 极小值（2）由题意得01)()(2121<+--x x x F x F ，即112212()[()]0F x x F x x x x +-+<-，若设x x F x G +=)((），则）x G (在]2,0(上单调递减， ①当]2,1[∈x 时，x x bx x G +++=1ln (），011-1(2≤++='）（）x b x x G ， 313)1()1(222+++=+++≥xx x x x x b 在]2,1[上恒成立，设313)(21+++=x x x x G ，则211-32)(xx x G +='，当]2,1[∈x 时，0)(1>'x G ， )(1x G 在]2,1[上单调递增，2272)(11=≤）（G x G ，∴227≥b②当]1,0（∈x 时，x x bx x G +++-=1ln (），011-1(2≤++-='）（）x b x x G ， 11)1()1(222--+=+++-≥xx x x x x b 在]1,0(上恒成立，设1-1-)(22x x x x G +=，则0112)(22>++='xx x G ，即)(2x G 在]1,0(上单调递增，01)(22=≤）（G x G ，∴0≥b . 综上，由①②可得227≥b变式训练5 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x ＞0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．设h (x )＝x (e x－1)，x ＞0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1＞(0＋1)e 0－1＝0(x ＞0)，故h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0. 故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)六、利用点的轨迹构造函数例6．设2222)4(ln )(4),(a a m a m m a f +-+-=，当正数m ，实数a 变化时，),(m a f 的最小值为____________．解析：设点)ln ,(m m P ，)4,(2a a Q ，则点P 在函数x y ln =的图象上，点Q 在函数42x y =的图象上。

高考数学专题《逆用导数的四则运算法则构造函数》填选压轴题及答案

专题34 逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于f (x )、f ′(x )的不等关系，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2. 常见的构造函数:①对于()()0(0)xf x f x '+><，构造()()h x xf x '=；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '+><，构造()()nh x x f x =．②对于()()0(0)xf x f x '-><，构造()()xx f x h =；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '-><，构造()()n f x h x x=． ③对于()()0(0)f x f x '-><，构造()()xe xf x h =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '-><，构造()()nxf x h x e =． ④对于()()0(0)f x f x '+><，构造()()x f e x h x=；一般的，对于()()0(0)f x nf x '+><，构造()()nxh x e f x =．⑤对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．⑥对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=． ⑦对于()0()f x f x '>，构造()ln ()h x f x =. ⑧对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()xh x a f x =. ⑨对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. 导数构造不用慌，遇和为乘差为商，构得函数莫骄傲，弄错奇偶白求忙.【典型题示例】例1 已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 B.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4C ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π4D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 【答案】 A【解析】构造F (x )＝f (x )cos x 形式，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin xcos 2x ，导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A.例2 已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223xf x e +≥的解集为__________．【答案】[)0,+∞【分析】结合已知“()()22f x f x '->”及所求“()223xf x e +≥”，构造新函数()()22ex f x g x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集【解析】设函数()()22ex f x g x +=，则()()()()222221()22222e x x x x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+= 故不等式2()23xf x e +≥ 可化为()(0)g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞．故答案为：[)0,+∞例 3 已知偶函数()f x (x ≠0)的导函数为()f x '，(e)e f =，当x ＞0时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是．（其中e 为自然对数的底数）【答案】()(),11,e e -∞-⋃++∞【分析】利用()2()0xf x f x '->构造函数2()()f x F x x=，再使用函数的单调性、奇偶性即可.【解析】设2()()f x F x x=，则243()2()()2()()f x x xf x f x x f x F x x x ''--'== ∵x ＞0时，()2()0xf x f x '->∴当x ＞0时，()0F x '>，故()F x 在（0，+∞）单增又(e)e f =，所以1()F e e=∵()f x 是偶函数 ∴()F x 也是偶函数，且()F x 在（－∞，0）单减21(1)(1)ef x x ->-等价于2(1)1(1)e f x x ->-，即(1)()F x F e ->由()F x 是偶函数且()F x 在（0，+∞）单增得1x e ->，解之得11x e x e >+<-或.例4 定义在（0，+∞）上的函数f(x)对不等式2f (x )＜xf′(x )＜3f (x )恒成立，且f (x )＞0在（0，+∞）上恒成立，则下面正确的是（）A.4＜f (2)f (1)＜16；B.4＜f (2)f (1)＜8；C.3＜f (2)f (1)＜4；D.2＜f (2)f (1)＜4.【答案】B 【解析】设F (x )=f (x )x 2（x ∈（0，+∞）），则F’(x )=f’(x )x 2−2xf (x )x 4=f’(x )x−2f (x )x 3∵2f (x )＜xf′(x )∴F’(x )＞0在（0，+∞）上恒成立，F (x )在（0，+∞）上单增 ∴F (2)＞F (1)，即f (4)4＞f (1)1，故f (2)f (1)＞4.设G (x )=f (x )x 3（x ∈（0，+∞）），则G’(x )=f’(x )x 3−3x 2f (x )x 6=f’(x )x−3f (x )x 4∵xf′(x )＜3f (x )∴G’(x )＜0在（0，+∞）上恒成立，F (x )在（0，+∞）上单减 ∴G (2)＜G (1)，即f (2)8＜f (1)1，故f (2)f (1)＜8.综上得，4＜f (2)f (1)＜8.例5 (多选题)定义域在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（）A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD【分析】根据题意构造函数，利用导数判断单调性，即可求解. 【解析】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e'-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>，所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e+==，故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11xf x e+>，()0f x >，所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->，令()()2,1xf x h x x e+=>，则()()()20xf x f x h x e''--=>，所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f ee>++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-，故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD.例 6 设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1·f (x 2－1)的解集为________．【答案】 [1,2) 【解析】设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，可得函数F (x )是R 上的增函数．又x ＋1>0，∴由f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可变形得x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即F (x ＋1)>F (x 2－1)，∴⎩⎨⎧x ＋1>x 2－1，x ≥1，解得1≤x <2. 【巩固训练】1.（多选题）已知定义在[0,)2π上的函数()f x 的导函数为()f x '，且(0)0f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A．()()64f f ππB ．()03f ln π>C ．()2()63f f ππ> D．()()43f ππ>2.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，且当0x >时，()()0f x f x lnx x'⋅+>，则不等式2(1)()0x f x -<的解集为( ) A ．(1,1)-B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(1⋃，)+∞3.设函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，且在0x =处存在导数，若函数()f x 及其导函数()f x '满足()()(1)1f x f x ln x x x '+=-+，则函数()(f x ) A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值 C ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值4.设()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x <-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（）A. (0,1)B. (1,)+∞C. (1,2)D. (2,)+∞ 5．定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()())12,3,12a fb fc f===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <⋅ABCD7．函数的导函数为，对任意的，都有)()(x f x f >'成立，则（） A.)3(ln 2)2(ln 3f f > B.)3(ln 2)2(ln 3f f <C.)3(ln 2)2(ln 3f f =D.)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定8.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为______．9.已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是． 10. 设奇函数f (x )定义在(－π，0)∪(0，π)上其导函数为f '(x )，且f (π2)＝0，当0＜x ＜π时，f '(x )sin x－f (x )cos x ＜0，则关于x 的不等式f (x )＜2f (π6)sin x 的解集为．11. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，记()f x 的导函数为()f x '，当0x 时，满足()()0f x f x '->，若存在x R ∈，使不等式2[(22)]()x x f e x x f ae x -++成立，则实数a 的最小值为___________.12. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()f x '为()f x 的导函数，且2()()3()f x xf x f x '<<对(0,)x ∈+∞恒成立，则(2)(3)f f 的取值范围是． 13. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．(2)1(2)322f f f +<<(1)； B ．(2)1(2)422f f f +<<(1)； C ．3(2)(2)1832f f f <<+(1)； D ．(2)13(2)428f f f +<<(1). 14.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且3()2()x xf x x e f x '=+，若f （2）244e =+，则函数()()4g x f x =-的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .16.设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则()f x ()f x 'x R ∈不等式(x ＋2 020)2f (x ＋2 020)－4f (－2)>0的解集为________．【答案与提示】1.【答案】CD【分析】结合已知可构造()()cos f x g x x =，1[0,)2x π∈，结合已知可判断()g x 的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．【解答】令()()cos f x g x x =，1[0,)2x π∈，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则2()cos ()sin ()0f x x f x xg x cos x'+'=<，故()g x 在[0，1)2π上单调递减，因为(0)0f =，则()0f x ，结合选项可知，()()64g g ππ>()()f f ππ>，即()()64f f ππ，故A 错误，因为103ln π>，结合()g x 在在[0，1)2π上单调递减可知1()03g ln π<，从而有1()301cos 3f ln ln ππ<，由1cos 03ln π>可得1()03f ln π<，故B 错误；1()()63g g ππ>，1()()312f f ππ>，且1()03f π<，即11()()2()633f f πππ>>．故C正确；1()()43g g ππ>1()()312f f ππ>即1()()43f ππ．故D 正确．故选：CD ． 2.【答案】B【解析】令()()g x f x lnx =，则()()()0f x g x f x lnx x'='+>， ()g x ∴在(0,)+∞时单调递增，又g （1）f =（1）10ln =，(0,1)x ∴∈时，()0g x <，(1,)x ∈+∞时，()0g x >，当(0,1)x ∈时，0lnx <，()0g x <，()0f x ∴>， (1,)x ∈+∞时，0lnx >，()0g x >，()0f x ∴>， ()0f x ∴>在(0,)+∞上恒成立，又()f x 是奇函数，(0)0f =， ()0f x ∴<在(,0)-∞上恒成立，①当0x >时，()0f x >，210x ∴-<，即01x <<， ②当0x <时，()0f x <，210x ∴->，即1x <-，由①②得不等式的解集是(-∞，1)(0-⋃，1)，故选：B ． 3.【答案】C【解析】函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，()()(1)1f x f x ln x x x '+=-+，令()()(1)g x f x ln x =+，则()()()(1)1f x g x f x ln x x x '='++=+，21()(2g x x c c ∴=+为常数），函数()f x 是连续函数，且在0x =处存在导数，(0)(0)10g f ln ∴==，0c ∴=，21()2g x x ∴=， 21()()(1)2g x f x ln x x ∴=+=，2()2(1)x f x ln x ∴=+， 2221()[2(1)][2(1)(1)]2(1)12(1)(1)x xf x xln x x ln x x ln x x x ln x ∴'=+-=++-++++，令()2(1)(1)h x x ln x x =++-，则()2(1)1h x ln x '=++，令()0h x '=，则x∴当1x -<<()0h x '<，此时()h x 单调递减；当x ()0h x '>，此时()h x 单调递增，当1x →-时，()10h x →>，0h <，0(x ∴∃∈-使0()0h x =，又(0)0h =，∴函数()h x 在(1,)-+∞的两个零点，分别为0x 和0，当1x >-时，令()0f x '=，则0x x =，∴当0x x >时，()0f x '，当01x x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在0(x ，)+∞上单调递增，在0(1,)x -上单调递减， ()f x ∴在(1,)-+∞上有极小值，无极大值．故选：C ． 4.【答案】D【解析】构造函数[()]'()'()0xf x f x xf x =+<，于是该函数递减，2(1)(1)(1)f x x f x +>--变形为22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，于是22101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，得2x >，选D. 5.【答案】A【解析】构造函数()()1f xg x x =-，当()1,x ∈+∞时，()()()()()2101f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，则()()()22221f a f g ===-，()()()3133231f b fg ===-，)1fc fg===则()()23gg g <<，即c a b <<，选A ．6.【答案】A【解析】由()()'tan f x f x x >得()()'cos sin 0f x x f x x ->，构造函数()()cos F x f x x =，则()'0F x >，故()F x 单调递增，有cos cos 666333F f f F ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选A ． 7.【答案】B 【解析】令()()xf x h x e=,则()()()()()()()22'()''''x x x xxxxf x e f x e f x e f x e f x f x h x eee---===,因为()()()()''0f x f x f x f x >⇒->,所以在R 上()'0h x >恒成立.即函数()h x 在R 单调递增. 因为ln3ln2>, 所以()()ln3ln 2h h > 即()()()()()()ln3ln 2ln3ln 2ln3ln 22ln33ln 232f f f f f f e e >⇒>⇒>.答案选B ．8.【答案】 (0，＋∞)【解析】构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 9.【答案】()1,2-10.【答案】(－π6，0)∪(π6，π)【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y 轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(fg )'＝f 'g －fg 'g 2，(sin x )'＝cos x ，于是本题的本质是构造f (x )sin x 来解不等式【解析】设g(x )=f (x )sin x ，则g ' (x )= (f (x )sin x )'＝f '(x )sin x －f (x )cos x sin 2x，所以当0＜x ＜π时，g ' (x )<0，g(x ) 在(0，π)上单调递减又由于在(0，π)上sin x ＞0，考虑到sin π6＝12，所以不等式f (x )＜2f (π6)sin x 等价于f (x )sin x ＜f (π6)sin π6，即g(x )< g (π6),所以此时不等式等价于π6＜x ＜π. 又因为f (x ) 、sin x 为奇函数，所以g(x )是偶函数，且在(－π，0)上sin x ＜0，所以函数g(x )在(－π，0)是单调递增函数，原不等式等价于g(x )＞g(－π6)=f (－π6)sin(－π6)，所以此时不等式等价于－π6＜x ＜0，综上，原不等式的解集是(－π6，0)∪(π6，π)． 11.【答案】11e- 【解析】令()()(0)x f x g x x e =，则()()()0x f x f x g x e'-'=>（当0x 时，满足()()0)f x f x '->，从而()g x 在[0，)+∞上单调递增，所以当0x >时，()()(0)0x f x g x g e =>=，从而当0x >时，()0f x >；当0x 时，()0f x （当0x =时取等号），又当0x 时，()()0f x f x '->，即()()0f x f x '>，所以()f x 在[0，)+∞上单调递增，由于()f x 是定义在R 上的奇函数，从而()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；不等式222[(22)]()(22)22x x x x x f e x x f ae x e x x ae x a x x xe --++⇔-++⇔-+-．令2()22x h x x x xe -=-+-，则原问题等价于()a h x 有解，从而()min a h x ，()22()(1)(2)x x x h x x e xe x e ---'=---=-+，()h x ∴在(,1)-∞上单减，在(1,)+∞上单增， ∴1()(1)1min a h x h e ==-，所以a 的最小值为11e-．12. 【解析】令3()()f x g x x=，则3264()3()()3()()f x x x f x xf x f x g x x x '-'-'==， ()3()xf x f x '<，即()3()0xf x f x '-<， ()0g x ∴'<在(0,)+∞恒成立，即有()g x 在(0,)+∞递减，可得g （2）g <（1），即(2)(1)81f f <，由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <；令2()()f x h x x=，243()2()()2()()f x x xf x xf x f x h x x x '-'-'==， ()2()xf x f x '>，即()2()0xf x f x '->，()0h x ∴'>在(0,)+∞恒成立，即有()h x 在(0,)+∞递增，可得h （2）h >（1），即(2)4f f >（1），则(2)4(1)f f >．即有(2)48(1)f f <<． 13.【解析】设2()()f x xg x x -=，()()f xh x x=，(0,)x ∈+∞，则243[()1]2[()]()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==， 2()()()xf x f x h x x '-'=，因为()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，则g （1）g >（2），h （1）h <（2），即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <，即(2)142f f +<（1）(2)2f <，故选：B ．14.【答案】B【分析】由3()2()x xf x x e f x '=+的结构特征，逆向使用导数的四则运算法则构造函数，求出()f x 的解析式.【解析】由3()2()x xf x x e f x '=+，可得24()2()x x f x xf x x e '-=，则24()2()x x f x xf x e x '-=，即2()()x f x e x'=，设2()x f x e C x=+，2()()x f x x e C =+，又f （2）244e =+，所以22444()e e C +=+，所以1C =，所以2()(1)x f x x e =+，所以2()()4(1)4x g x f x x e =-=+-，2()2(1)(22)x x x x g x x e x e x xe e '=++=++，令()22x x h x xe e =++，()2(3)x x x x h x e xe e x e '=++=+，令()0h x '=，得3x =-，当(,3)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(3,)x ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()h x 的最小值为3(3)20h e --=-+>，则对于()(22)x x g x x xe e '=++，令()0g x '<，可得0x <，令()0g x '>，可得0x >，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()g x 的最小值为(0)40g =-<，当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()g x 的零点个数为2．故选：B ．点评：作为选择题，求出2()(1)x f x x e =+后，欲判断零点个数，直接分离函数241x e x +=转化为1x y e =+与24y x =交点的个数，则秒杀！ 15.【答案】（1-，+∞）【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中2)(>'x f ，只需构造函数()g x ，使得()()2g x f x ''=-，不难得到()()2g x f x x c =-+（这里c 为常数，本题中取0c =），进而利用()g x 的单调性，即可找到解题的突破口.【解析】构造函数()()2g x f x x =-，则()g x '=()20f x '->，故()g x 单调递增，且(1)(1)214g f -=--⨯-=（）.另一方面所求不等式42)(+>x x f ，就转化为()()(1)g x f x x g =->-，逆用单调性定义易知1x >，则不等式的解集为(－1，+∞).16.【答案】 (－∞，－2 022)【解析】由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0，得2xf (x )＋x 2·f ′(x )<x 3，即[x 2f (x )]′<x 3<0，令F (x )＝x 2f (x )，则当x <0时，F ′(x )<0，即F (x )在(－∞，0)上是减函数．因为F(x＋2 020)＝(2 020＋x)2f(x＋2 020)，F(－2)＝4f(－2)，所以F(2 020＋x)－F(－2)>0，即F(2 020＋x)>F(－2)．又F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以2 020＋x<－2，即x<－2 022.。

压轴题型02 构造法在函数中的应用(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题型02构造法在函数中的应用近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．○热○点○题○型1构造法解决高考函数对称与周期性问题○热○点○题○型2主元构造法○热○点○题○型3分离参数构造法○热○点○题○型4局部构造法○热○点○题○型5换元构造法○热○点○题○型6特征构造法○热○点○题○型7放缩构造法一、单选题1．若正数x满足532-+=，则x的取值范围是（）.x x xA x2．设函数()f x =若曲线sin 22y x =+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++3．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线1和2构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P 作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．6树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．272πcmB ．2162πcmC ．2216πcmD ．2288πcm 【答案】C【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.【详解】不妨设正方体的边长为2a ，球О的半径为R ，则圆柱的底面半径为a ，因为正方体的体对角线即为球О直径，故223R a =，利用勾股定理得：222263a R a +==，解得18a =，球的表面积为2ππ44318216πS R ==⨯⨯=，故选：C.5．若函数()()有两个零点，则实数的取值范围是（）A ．()1,2B ．()0,2C ．()1,+∞D ．(),2-∞【答案】A【分析】将函数()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点的问题转化为函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象交点个数问题，结合导数的几何意义，数形结合，即可求解.【详解】由()()ln 2f x x a x a =+-+有两个零点，即()ln 20x a x a +-+=有两个正根，即函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，直线(2)y a x a =--可变为(1)20a x x y -++-=，令=1x -，则=2y -，即直线(2)y a x a =--过定点(1,2)P --，当该直线与ln y x =相切时，设切点为00(,)x y ，则1y x'=，则000ln 211x x x +=+，即001ln 10x x -+=，令1g()ln 1,(0)x x x x=-+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，故1g()ln 1,(0)x x x x=-+>有唯一零点1x =，故01x =，即(2)y a x a =--与曲线ln y x =相切时，切点为(1,0)，则切线斜率为1，要使函数ln ,(2)y x y a x a ==--的图象有2个交点，需满足021a <-<，即(1,2)a ∈，故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.6．已知()f x 是定义域为R 的函数，()220f x +为奇函数，()221f x +为偶函数，当10x -≤<时，()f x =()()()60y f x a x a =-+>有5个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．11,73⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,124⎛ ⎝⎭C ．⎝⎭D ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭当直线()2y a x =-与圆()()22910x y y -+=≥相切时，271aa +()2y a x =-与圆()()22510x y y -+=≥相切时，2311a a =+，解得32124a <<．故选：B ．【点睛】通过函数的奇偶性挖掘周期性与函数图像的对称性，从而能作出整个函数的大致图像，将函数零点转化为方程的根，再转化为两个函数图像交点的横坐标．交点的个数时注意数形结合思想的应用，动中蕴静，变化中抓住不变，抓住临界状态，利用直线与圆相切，借助点到直线的距离公式得到参数的临界值，从而求出参数的取值范围，考生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高．二、填空题7．已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1)()(x f x m m -->-对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.5⎛⎫①ln52<；②lnπ>③11<；④3ln2e>其中真命题序号为__________.9．设函数4()log ,0f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()2g 23x fx a f x =-++恰好有四个零点，则实数a 的取值范围是____________.令()f x t =，函数()()()()2g 23x fx a fx =-++恰好有四个零点．则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，设()2230t a t -++=的两根为12,t t ，因为123t t =，所以两根均大于0，且方程的一根在区间(]0,1内，另一根在区间()2+∞，内．令()()223g t t a t =-++所以()()()()2Δ2120001020a g g g ⎧=+->⎪>⎪⎨≤⎪⎪<⎩，解得：2a ≥，综上：实数a 的取值范围为[)2,.∞+故答案为：[)2,.∞+【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.三、解答题10．已知正数a b 、满足1a b +=，求M =的最小值.11．已知函数在处的切线方程为(1).求()f x 的解析式；(2).若对任意的0x >，均有()10f x kx -+≥求实数k 的范围；(3).设12x x ，为两个正数，求证:()()()121212f x f x x x f x x +++>+。

高考数学选填压轴题第20讲导数中的构造函数(解析版)

第20讲导数中的构造函数近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ；22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=；()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；…………………()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =．()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =，………………()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。

（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是（）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y<<D ．1y x<<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【答案】B【解析】由已知()2244log log x y y x -=-，因为2log 4x ＝log 2x ，所以原式可变形222log 4g 2lo x x y y =++令()222log f x x x =+，()24log g x x x =+，函数()f x 与()g x 均为()0,∞+上的增函数，且()()f x g y =，且()()11f g =，当1x >时，由()1f x >，则()1g y >，可得1y >，当1x <时，由()1f x <，则()1g y <，可得1y <，要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x-=-=+--=-+设()()222log 0h x x x x x =-+>，则()212ln 2h x x x '=-+()2220ln 2h x x ''=--<，故()h x '在()0+∞，上单调递减，又()2110ln 2h '=-+>，()1230ln 2h '=-+<，则存在()01,2x ∈使得()0h x '=，所以当()00,x x ∈时，()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，又因为()()()()010,10,412480h h x h h =>==-+=-<，所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不确定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，故1x y <<，当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，即选项A ，C ，D 均有可能，选项B 不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222log g x g y g x f x x x x -=-=-+，设()()222log 0h x x x x x =-+>，求导得出其单调性，从而得出,x y 的大小可能性．【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．22B C ．322D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题【答案】C【解析】 ()ln 1g x x x =--，1()1g x x'=-，()0g x '>(1,)x ⇒∈+∞，()0g x '<⇒(0,1)x ∈，∴()g x 在(0,1)x ∈单调递减，在(1,)x ∈+∞单调递增，∴()(1)1ln110g x g =--=，∴1ln 0x x x -≥>，恒成立，1x =时取等号，2211a b +-121a b =-，221ln ln(2)ln a a a b b b-=-， ()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，∴2211ln(2)ln a a b b +-=-，又21ab =（不等式取等条件），解得：2,2a b ==，322a b ∴+=，故选：C.2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞-D ．1[,)2+∞【答案】D【解析】由()()1f m f m --()33113m m ⎡⎤≥--⎣⎦得：3311(1)(1)()33f m m f m m ---≥-，构造函数31()()3g x f x x =-，2()()0g x f x x '=-<'故g （x ）在()0,+∞单调递减，由函数()f x 为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R 上单调递减，故112m m m -≤⇒≥选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由()2'f x x <要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e x x x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e 3e x x f +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为()A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【解析】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又 3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，故选D5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x x x-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是()f x ¢，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．()1,+¥D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【答案】A【解析】当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，即有()()()10f x x f x '++>．令()()()1F x x f x =+，则当1x <-时，()()()()10F x f x x f x ''=++>，故()F x 在(),1-∞-上单调递增．∵()()()()()()22121F x x f x x f x F x --=--+--=---=⎡⎤⎣⎦，∴()F x 关于直线1x =-对称，故()F x 在()1,-+∞上单调递减，由()()10xf x f ->等价于()()()102F x F F ->=-，则210x -<-<，得11x -<<．∴()()10xf x f ->的解集为(1,1)-．故选：A.【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<【答案】D ．【解析】令()()F x xf x =，则()F x 为奇函数，且当0x <时，()()()0F x f x xf x '+'=<恒成立，即函数()F x 在()0-，∞，()0+，∞上单调递减，又(2)0f =，则(2)(2)0F F -==，则()0xf x >可化为()(2)F x F >-或()(2)F x F >，则2x <-或02x <<．故选D ．2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A【解析】令()()x g x e f x =，则()(()())0x g x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g >即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．(0)02(1)f f <，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ．4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+ ，，∞∞B ．()()2002- ，，C ．()()202-+ ，，∞D ．()()202-- ，，∞【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减，()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+ ，，∞．故选C ．点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<- ，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001- ，，B ．()()11--+ ，，∞∞C ．()()101-+ ，，∞D ．()()101-- ，，∞【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x = ，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x '=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<，∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101-- ，，∞【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0x g x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x >，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]x g x xf x =。

构造函数解与导数有关的选填压轴题(教师版)

构造函数解与导数有关的选填压轴题方法规律：1.注意逆向思谁，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解2.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑： ①原函数是函数和差的组合； ②原函数是函数乘除的组合； ③原函数是函数与x 的乘除的组合； ④原雨数是函数与xe 的乘除的组合；⑤原函数是函数与)(cos sin x x 的乘除的组合； ⑥原函数是函数与x ln 的乘除的组合 3.常用的构造函数有：)()('x xf x f +构造)(x xf )()(2'2x f x x xf +构造)(2x f x )()('x f x xf -构造x x f )( )()('x f x f +构造)(x f e x)()('x f x f -构造x ex f )(等等（一）与等式有关的函数构造例1若函数)(x f 满足xe x xf x xf 3')()(=-，0)1(=f ，则当0>x 时，)(x f （ B ） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值解析：设x x f x F )()(=，则x xe x x f x xf x F =-=2'')()()(，所以C e x x x f x F x+-==)1()()( Cx e x x x f x +-=⇒)()(2，又由00)1(=⇒=C f ，所以x e x x x f )()(2-=2510)1()(2'+->⇒>-+=∴x e x x x f x 或251--<x 所以)(x f 在]215,0(-上递减，),215[+∞-上递增所以当0>x 时，)(x f 有极小值，无极大值，故选B练习1.函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足x x x f x xf ln )(2)('=+，且ee f 21)(=，则)(x f 的极值情况为（ D ）A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值解析：设)()(2x f x x F =，则x x f x x xf x F ln )()(2)('2'=+=C x x x x f x x F +-==⇒ln )()(22ln )(x C x x x x f +-=⇒，221)(2eC e eC e f =⇒==∴，22ln )(x ex x x x f +-=∴3'2ln )(xex x x x f -+-=∴，设e x x x x g -+-=2ln )(，则e x x x g <<⇒>-=00ln 1)(' )(x g ∴在],0(e 上递增，),[+∞e 上递减0)()(=≤⇒e g x g ，即0)('<x f所以)(x f 在),0(+∞上递减⇒)(x f 在),0(+∞上既无极大值也无极小值，故选D 练习2.若函数)(x f 在R 上可导，且3)2(2)('2-+=x f x x f ，则（ C ）A .)4()0(f f < B. )4()0(f f = C. )4()0(f f > D.以上都不对解析：4)2()2(24)2()2(22)('''''-=⇒+=⇒+=f f f f x x f ，38)(2--=∴x x x f ，其开口向上，对称轴为4=x ，所以)4()0(f f >，故选C练习 3.函数)(x f 在其定义域内满足xe xf x xf =+)()('（其中)('x f 为函数)(x f 的导函数），e f =)1(，则函数)(x f （ B ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值解析：令)()(x xf x F =，则x e x f x xf x F =+=)()()(''，C e x xf x F x +==∴)()(x C e x f x +=⇒)(，0)1(=⇒=+=∴C e C e f ，x e x f x =∴)(，10)1()(2'>⇒>-=x xx e x f x ，)(x f ∴在)0,(-∞上递减，]1,0(上递减，),1[+∞上递增)(x f ⇒有极小值，无极大值，故选B（二）与不等式有关的函数构造例 2.已知定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0<x 时，)(x f 满足)()()(2'x xf x xf x f <+，则)(x f 在R 上的零点个数为（ D ）A.5B.3C.1或3D.1解析：设)0()()(2<=x e x f x x F x ，则0)]()()(2[)()()(2)('2'2'>-+=-+=x x e x xf x xf x f x e x f x x f x x xf x F )(x F ∴在)0,(-∞上递增，又0)0(=F ，0<∴x 时，0)0()()(2=<=F ex f x x F x0)(<⇒x f又)(x f 为奇函数，所以)(x f 仅有一个零点0=x ，故选D练习4.设)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有0)()('>+x xf x f ，则不等式0)1()2017()2017(>-+++f x f x 的解集为（ C ）A.)2017,(-∞B.)0,2018(-C.)2017,2018(--D.)2018,(--∞ 解析：设)()(x xf x F =，则)(0)()()(''x F x xf x f x F ⇒>+=在)0,(-∞上递增0)1()2017()2017(>-+++f x f x )1()2017(->+⇔F x F 020171<+<-⇒x20172018-<<-⇒x ，故选C练习5.定义在R 上的函数)(x f 与其导函数)('x f 满足xe xf x f ->+1')()(，则下列不等式一定成立的是（ A ）A.)1()0(ef e f <+B.)1()0(ef e f >+C.)1()0(f e f <+D.)1()0(f e f >+ 解析：设0)]()([)()()(''>-+=⇒-=e x f x f e x F ex x f e x F x x )(x F ⇒在R 上递增)1()0()1()0()1()0(ef e f e ef f F F <+⇒-<⇒<∴，故选A练习6.定义域为R 的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足)()('x f x f >，且1)0(=f ，则不等式1)(<x ex f 的解集为（ B ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)2,(-∞ D.),2(+∞解析：设x ex f x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x ⇒<-=在R 上递减，又1)0(=F 0)0()(1)(>⇒<⇔<∴x f x F ex f x ，故选B 练习7.已知定义),0(+∞在上的函数)(x f 的导数为)('x f ，且满足)(2)ln )((2'x f x x x f >，则（ B ）A.)(3)(2)(623e f e f e f >> B.)(2)(3)(632e f e f e f << C.)(2)(3)(632e f e f e f >> D.)(3)(2)(623e f e f e f <<解析：)(2)ln )((2'x f x x x f >⇔)(2)ln 2)(('x f x x x f >⇒)()(ln 'x f x xf x >设0)(ln )()(ln )(ln )(1ln )()(ln )()(2'2''>-=-=⇒=x x x f x xf x x x f x x x f x F xx f x F )(x F ⇒在),0(+∞上递增)(2)(3)(63)(2)()()()()(323232e f e f e f e f e f e f e F e F e F <<⇒<<⇒<<∴，故选B练习8.设函数)(x f 是定义)0,(-∞在上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有)(3)('x f x xf <，则不等式0)2()2015()2015(83>-+++f x x f 的解集为（ C ）A.)2017,(--∞B.)0,2017(-C.)2015,2017(--D.)2018,(--∞解析：设3)()(xx f x F =，则)(0)(3)()(4''x F x x f x xf x F ⇒<-=在)0,(-∞上递减0)2()2015()2015(83>-+++f x x f 20152017020152)2()2()2015()2015(33-<<-⇒<+<-⇒--<++⇒x x f x x f 故选C（三）与三角函数有关的构造函数例 3.定义在)2,0[π上可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，且0sin )(cos )('<+x x f x x f ，0)0(=f ，则（ A ）A.)3(2)6(ππf f >B.)3(2)4(ππf f <C.0)2(ln >fD.)4(2)6(ππf f < 解析：设x x f x F cos )()(=，则)(0cos sin )(cos )()(2''x F x x x f x x f x F ⇒<+=在)2,0[π上递减 )0)3()(3(2)3(3)6(21)3(23)6(0)3()6()0(<>>⇒>>⇒>>∴ππππππππf f f f f f F F F ，故A 对)3(2)4(21)3(22)4()3()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故B 错0)2(ln 0cos )0(2ln cos )2(ln )0()2(ln <⇒<⇒<∴f f f F F ，故C 错)4(26)6(22)4(23)6()4()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故D 错练习9.定义在)2,0(π上的函数)(x f ，)('x f 是它的导函数，且恒有)(cos x xf 0sin )('>+x x f 成立，则（ B ）A.)3(3)4(2ππf f > B.)6(211(1sin πf f >） C.)4(2)6(ππf f >D.)3(3)6(ππf f >解析：设)(0cos )(sin )()(sin )()(''x F x x f x x f x F x x f x F ⇒>+=⇒=在)2,0(π上递增)3(3)4(2)3(23)4(22)3()4(ππππππf f f f F F <⇒<⇒<，故A 错 )3(3)4(2)6(211sin )1()6()1(ππππf f f f F F <⇒>⇒>，故选B练习10定义在)2,0(π上的函数)(x f )满足: x x f x f tan )()('>恒成立，则下列不等式中成立的是（ A ）A.)3()6(3ππf f > B.1sin )3(332)1(πf f <C.)4()6(2ππf f <D.)3(2)4(3ππf f <解析：在)2,0(π上，x x f x xf x x f x f sin )()(cos tan )()(''>⇔>设x x f x F sin )()(=，则)(0sin cos )(sin )()(2''x F x x x f x x f x F ⇒<-=在)2,0(π上递减)3()6(323)3(21)6()3()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故选A 迁移运用：1.奇函数)(x f 定义域为),0()0,(ππ -，其导函数是)('x f ，当π<<x 0时，有0cos )(sin )('<-x x f x x f ，则关于x 的不等式x f x f sin )4(2)(π<的解集为（ D ）A.),4(ππB.),4()4,(ππππ --C.)4,0()0,4(ππ -D.),4()0,4(πππ - 解析：设x x f x F sin )()(=，则当π<<x 0时，0sin cos )(sin )()(2'<-=xx x f x x f x F )(x F ⇒在),0(π上递减，又)(x F 为偶函数，所以)(x F 在)0,(π-上递增当0>x 时，x f x f sin )4(2)(π<πππππ<<⇒<⇔<⇔x f x F f x x f 4)4()(4sin )4(sin )(当0<x 时，x f x f sin )4(2)(π<04)4()(4sin )4(sin )(<<-⇒->⇔>⇔x f x F f x x f ππππ故选D2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，)('x f 是)(x f 的导单数，且满足)(3)('x f x f >，e f =)31(，则3)(ln x x f <的解集为（ B ） A.),0(e B.),0(31e C.),1(e D.),1(31e解析：设x ex f x F 3)()(=，则)(0)(3)()(3''x F e x f x f x F x ⇒>-=在R上递增，又1)31()31(==e f F 所以3)(ln x x f <313031ln )31()(ln 1)(ln e x x F x F xx f <<⇒<⇒<⇔<⇔，故选B 3.已知可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，2018)0(=f ，若对任意的R x ∈都有)()('x f x f >，则不等式x e x f 2018)(<的解集为（ A ）A.),0(+∞B.)(21∞+，e C.)1,(2e -∞ D.)0,(-∞ 解析：设x e xf x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x⇒<-=在R 上递减，又2018)0()0(==f F x e x f 2018)(<0)0()(2018)(>⇒<⇔<⇔x F x F ex f x ，故选A 4.已知)(x f 是定义在区间),0(+∞上的函数，其导函数为)('x f ，且不等式)(2)('x f x xf <恒成立，则（ B ）A.）2()1(4f f <B.）2()1(4f f >C.）2(4)1(f f <D.）2(4)1('f f <解析：设2)()(xx f x F =，则0)(2)()(3''<-=x x f x xf x F )(x F ⇒在),0(+∞上递减 )2()1(44)2()1()2()1(f f f f F F >⇒>⇒>∴，故选B 5.函数)(x f 的导函数为)('x f ，对R x ∈∀都有)()('x f x f >成立，若2)2(e f =，则不等式xe xf >)(的解是（ A ）A.),2(+∞B.)10(，C.),1(+∞D.)2ln ,0(解析：设x e x f x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x ⇒>-=在R上递增，又1)2()2(2==e f F 所以xe xf >)(2)2()(1)(>⇒>⇔>⇔x F x F e x f x，故选A 6.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足2)('<x f ，则不等式x e x x f x 32)2ln()1(1+>-+-++的解集为（ A ）A.)1,2(--B.),1(+∞-C.)2,1(-D.),2(+∞解析：设0321)1()(32)2ln()1()(1''1<--+-+=⇒---+-+=++x x e x x f x F x e x x f x F 对)2(∞+-∈，x 恒成立，)(x F 在)2(∞+-，上递减，又0312)0()1(=+--=-f F 所以0)(>x F 的解集为)1,2(--，故选A7.已知函数)(x f 的定又域为R ，)('x f 为)(x f 的导函数，当),0[+∞∈x 时，0)(cos sin 2'>-x f x x ，且R x ∈∀，12cos )()(=++-x x f x f ，下列说法一定正确的是（ B ）A.)32(43)65(41ππ-->--f f B.)34(43)65(41ππ-->--f f C.)43(21)3(43ππf f ->- D.)3(43)43(21ππf f ->-- 解析：设)(sin )(2x f x x F -=，则)(0)(cos sin 2)(''x F x f x x x F ⇒>-=在),0[+∞上递增12cos )()(=++-x x f x f )(sin )()(sin sin 22cos 1)()(222x x f x f x x x x f x f ---=-⇔=-=-+⇔)()(x F x F --=⇔)(x F ⇒为奇函数，又0)0(0)0(=-=f F ，所以)(x F 在R 上递增)34(43)65(41)34(65(ππππ-->--⇒->-∴f f F F ，故选B 8.函数)(x f 在R 上的导函数为)('x f ，对于任意的实数x ，都有x x f 40342017)('<+，若t t f t f 40342017)()1(++-<+，则实数t 的取值范围是（ A ） A.),21(+∞-B.),23(+∞-C.)21,(--∞D.)23,(--∞ 解析：设x x x f x F 20172017)()(2+-=，则)(020174034)()(''x F x x f x F ⇒<+-=在R 上递减所以t t f t f 40342017)()1(++-<+)()1(t F t F -<+⇔t t t f t t t f t F t F 20172017)()1(2017)1(2017)1()()1(22---<+++-+⇔-<+⇔211->⇒->+⇔t t t ，故选A9.已知函数)(x f 的定义域为R ，其图像关于点)0,1(-中心对称，其导函数为)('x f ，当1-<x 时，0)]()1()()[1('<+++x f x x f x ，则不等式)0()1(f x xf >-的解集为（ A ）A.),1(+∞B.)1,(--∞C.)1,1(-D.),1()1,(+∞--∞ 解析：设)()1()(x f x x F +=，则0)()1()()(''>++=x f x x f x F 对)1,(--∞∈x 恒成立)(x F ∴在]1,(--∞上递增，又)(x F 关于)0,1(-对称，且0)1(=-F ，)(x F ∴在R 上递增所以)0()1(f x xf >-101)0()1(>⇒>-⇒>-⇔x x F x F ，故选A10.设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ，R x ∈∀有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <)('，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ A ）A.),2[+∞B.]2,2[-C.),0[+∞D.),2[]2,(+∞--∞解析：设221)()(x x f x F -=，则0)()(''<-=x x f x F 对0>x 恒成立，)(x F ∴在),0(+∞递减2)()(x x f x f =+-)()()()()(2121)(22x F x F x F x f x x x f ⇒--=⇔---=-⇔为奇函数又)(x f 连续)(x F ⇒连续，)(x F ∴在R 上递减所以m m f m f 48)()4(-≥--)()4(21)()4(21)4(22m F m F m m f m m f >-⇔-≥---⇔24≥⇒≤-⇒m m m ，故选A。

微专题：构造函数法解选填压轴题.docx

微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力乂有效果。

近儿年各地髙考数学试卷屮，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。

所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数木身性质如单调性或利川运算结果，解决原问题方法，简而言Z就是构造函数解答问题。

怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方而问题。

几种导数的常见构造：1・对于广(x)>g*(x),构造/?(x) = /(x)-g(x)若遇到广(X)>Q(QH O),则可构h(x)= f(x)~ax2.对于广(Q+g'd)>(),构造/?(兀) = /(©+g(Q3.对于.厂(x) + /*(x) > 0,构造/?(%) = e v/(x)4.对于f\x)>f(x)[或/V)-/(x)>0],构造此)=理e5.对于xf\x)+ /(x)>0,构造h{x) = xf{x)6.对于xf'(x)- f(x)>Q ,构造力(兀)=/兀x一、构造函数法比较大小例1.已知函数y = /(x)的图象关于y轴对称，且当xe(-oo,0),/(x) + V，W<0成立,6/ = 202 /(2°-2), b = log"/(log"), c = log39/(log39),则d,仇c 的大小关系是()A. a >b> cB.a > c>bC.c >b> aD.b > a> c【解析】因为函数y = f(x)关于y轴对称，所以函数y = xf(x)为奇函数•因为[灯(兀)]' = /") +#*'(兀)，所以当兀w (一8,0)时,[xf (x)Y = f (x)xf \x) < 0,函数y = xf(x)单调递减，当尢G (0,+8)时,函数y = xf(x)单调递减.因为1 <202<2, OvlogQvl, 1吸9 = 2,所以0 <1^3< 202 <1^39,所以b>a>c t选D. 变式：己知定义域为/?的奇函数/(兀)的导函数为厂(兀)，当兀H0时，厂⑴+上凶>0,X 若a=- /(-),& = -2/(-2),c = In - /(In 2),则下列关于a,b,c的大小关系正确的是(D )2 2 2A.a > b> cB. a > c> bC. c >b> a Db> a> c例2.已知/(兀)为/?上的可导函数,且Vxe/?,均W /(x) > f(x),则有A. e2017(-2016)</(0), /(2016)>e2016/(0)B. ^20,6/(-2016) </(O), /(2016) < e20,6/(0)C. e2017(-2016)>/(0), /(2016)>e2016/(0)D. e20,6/(-2016) >/(O), /(2016) < e2O,6/(0)［解析］构造函数g(x)=半，则e x(e x y e x因为V XG R,均有/(x)>广(x),并且『>0,所以g'(x)vO,故函数g(x) = 4卫在R上单调递减, e x所以g(—20⑹ >g(0), g(20⑹ vg(O),即/(~^6)>/(0), /豐® </(0),e也就是严6/(-20⑹〉/(0), /(2016) v0H7(O),故选D.变式：已知函数/(兀)为定义在/?上的可导函数，且/(x)< f\x)对于任意XE R恒成立，0为自然対数的底数，则(C )A./(l) > e• /(0)> /(2016) < e2016・/(0)B.f ⑴ < e• /(0)、/(2016) > e2016• /(0)C")>e f(O). /(2016)>e2016./(0) D/⑴<£•/(())、/(2016)<^2016•/(O)例3.在数列仏｝中,(%)m=n+lg M)・则数列｛陽｝中的最大项为().A. >/2B. V3C. V5D.不存在【解析】由LL知再=血，= V3 , a3 = V4 = A/2,a4=\/5易得q < a2,a2 >a3>a4> ....... 猜想当n > 2时，｛色｝是递减数列乂由a fl n+i = 〃 +1 知In % = ln(n + 1),令/(x) = —,〃 + l X—• x — In x i ］则八沪二上竺% %・••当x>3 R寸，lnx>l,贝)Jl-lnx<0,即f\x) < 0/. /(x)在［3,+oo)内为单调递减函数，:.n>2时，，｛lna“｝是递减数列，即｛a“｝是递减数列又坷<02，・•・数列｛色｝中的最大项为a2=V3 故选B・jr jr练习1.已知函数y - /(%)对任意的xw(——,一)满足/z(x)cosx + /(x)sinx > 0,则( )A /(0)>V2/(^) B. /(0)<2/(-y) C. V2/(|)</(^) D. V2/(-|) </(-^)捉示：构造函数g(x) = /("),选D.COSX二、构造函数法解恒成立问题例1.若函数y=f(x)在斤上可导且满足不等式xf(x) + f(x)>0恒成立,对任意正数a、b,若a<b, 则必冇()A. af(h)<hf(a)B. hf(a)<af(h)C. af(a)<bf(b)D. bf(b)<af(a)【解析】由已知y(x) + /(x)>0・••构造函数F(x) = xf(x),则F'(Q = xf(x) + /(x) > 0 ,从而F(x)在斤上为增函数。

专题3-3 压轴小题导数技巧：构造函数-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)

f f
1 4
1 e3
，即
f 1
1
f 4 的范围为 e6
,
1 e3
.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律 1. 对于f (x)+f (x) 0 （ 0），构造g（x）=ex f（x）， 2. 对于f (x)+kf (x) 0 （ 0），构造g（x）=ekx f（x）
3. 对于f (x)-f (x) 0
f (2) e2
f
(1) e1
，得出答案即可.
【详解】构造函数 g(x)
f (x) ex
，因为当
x
1
时，
f x
f
x ，所以 g (x)
f (x) ex
f (x)
0
可得在 x 1 时， g(x)
是单调递增的；因为
f
2 x
f
x e22x ，化简得
f
(2 x) e2x
f (x) ex
即 g(2 x) g(x)
【典例分析】
（2021·吉林·高三阶段练习（文））已知定义在 (0, ) 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，满足 f (x) 0 ．当 x 0 时，f (x) 2 f (x) ．当 x 2 时，f (x) f (x) ，且 f (3 x) f (1 x)e22x ，其中 e 是自然对数的底数．则 f (1)
g 4 ，对其变形可得
f f
1 4
1 e3
，同理分析 h x 的单调
性可得
f f
1 4
1 e6
，综合即可得答案．
【详解】根据题意，设 g x
f
x
ex
，（
x

一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)(解析版)高考数学高分必刷必过题

专题04一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）构造函数法解决导数不等式问题①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x=(n Z ∈，且0n ≠)型②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x =型④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数①构造()()n F x x f x =或()()nf x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0xf x f x '+>，且(2)3f =，则()e e 6xxf >的解集为（）A ．(ln 2,)+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】A令()()F x xf x =，可得()()()0F x xf x f x ''=+>，所以()F x 在R 上是增函数，可得(e )e (e )x x x F f =，(2)3f =，(2)2(2)6F f ==，由(e )6ex x f >，可得(e )(2)xF F >，可得：e 2x >，所以ln 2x >，所以不等式的解集为：(ln 2,)+∞，故选：A ．2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A 令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=-所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增，由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞．故选：A ．3．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知()'f x 是偶函数()()R f x x ∈的导函数，(1)1f =．若0x >时，3()()0f x xf x '+>，则使得不等式3(2022)(2022)1x f x -->成立的x 的取值范围是（）A ．(2021,)+∞B ．(,2021)-∞C ．(2023,)+∞D ．(,2023)-∞【答案】C构造函数()()3g x x f x =，其中R x ∈，则()()()()()33g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以，函数()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，()()()()()232330g x x f x x f x x f x xf x '''=+=>⎡⎤⎣⎦+，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，因为()11f =，则()()111g f ==，由()()3202220221x f x -->得()()20221g x g ->，可得20221x ->，解得2023x >.故选：C4．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）定义在()0,8上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()2xf x f x '<，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24f x x <的解集为（）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 设()()2f xg x x=，08x <<，则()()()320xf x f x g x x '-'=<，则()g x 在()0,8上单调递减，由()24f x x <，得：()24f x x<，而21124212f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则182x <<．故不等式()24f x x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A5．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）若()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()30f -=，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()()3,00,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),30,3-∞-⋃D ．()()3,03,-⋃+∞【答案】C设()()g x xf x =，则()g x 的定义域为R而()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，故()g x 为R 上的奇函数，且()()()g x f x xf x ''=+，当0x <时，因为()()0f x xf x '+<，故()0g x ¢<，故()g x 在(),0-∞上为减函数，故()g x 为()0,+∞上的减函数，而()30f -=，故()30g -=，所以()30g =又()0xf x >即为()0g x >，故()00x g x <⎧⎪⎨>⎪⎩或()00x g x >⎧⎪⎨>⎪⎩，故()()03x g x g <⎧⎪⎨>-⎪⎩或()()03x g x g >⎧⎪⎨>⎪⎩，故3x <-或03x <<，故选：C.6．（2022·宁夏吴忠·高二期中（理））()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x '-<恒成立，则()0f x x>的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),22,-∞+∞C ．()()2,00,2-D ．()(),20,2-∞- 【答案】C 设函数()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x'-'=，由题知，当0x >时，()0g x ¢<，∴()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-∴()()()()f x f x g x g x x x---===--，∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数，∴()g x 的单调递增区间为(),0-∞，∵()20f =，∴()(2)202f g ==，()20g -=∴当2x <-或2x >时，()0g x <，当20x -<<或02x <<时，()0g x >，∴()()0f x g x x=>的解集为()()2,00,2- .故选：C.7．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，图象关于y 轴对称，且当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，设1a >，则()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+⎪+⎝⎭的大小关系为（）A ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭B ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭C ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭D ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭【答案】B解：∵当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，∴()()xf x f x '<，∴()()0xf x f x '-<，令()()f x g x x =，∴()()()2xf x f x g x x'-'=，∴()0g x '<，∴()g x 在(),0∞-上单调递减，∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 为奇函数，在()0,∞+上单调递减．∵比较()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小，∴()()41411af a ag a a +=++，((4ag =，()441411a a a f ag a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵1a >，∴)2110a +->，∴1a +>4411a aa a <++.∴411a a a +>>+，∴()(411a g a g g a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，∴()(441441a ag a ag ag a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，即()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭．故选：B ．9．（2022·四川雅安·三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（）A ．2(e)(2)4ef f >B ．9(3)(1)>f f C ．4(2)9(3)-<-f f D ．2(e)(3)9e f f ->【答案】D令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xfx x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()23g g ->-，即4(2)9(3)f f ->-，故C 错误；()()()e 33g g g >=-，即()()2e e 93f f >-，则2(e)(3)9e f f ->，故D 正确.故选：D.②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知()()f x f x '<，且()12e f =，则满足不等式()2e af a <的实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C设()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为()()f x f x '<，e 0x >，所以()0g x '<，()g x 是减函数，(1)2e (1)2e ef g ===，不等式()2e af a <化为()2e af a <，即()(1)g a g <，所以1a >．故选：C ．2．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '->，则下列大小关系正确的是（）A ．()()2312e 1e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()231e 12e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()231e 1e 22f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()3212e e 12f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A 构造函数()()2e x f x g x =，其中R x ∈，则()()()220e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，所以，()()1122g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()241122e e ef f f ⎛⎫⎪⎝⎭<<，因此，()()321e e 122ff f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A.3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））记定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x '->，()11f =，则不等式()1e xf x ->的解集为______．【答案】()1,+∞设()()xf xg x =e，()()()()()()20x xxx f x f x f x f x g x ''--'==>e e e e ，所以函数()g x 单调递增，且()()111e ef g ==，不等式()()()()11>e 1e e x x f x f x g x g -⇔>⇔>，所以1x >.故答案为：()1,+∞.4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x ¢，满足()()f x f x '<，且()3f x +为偶函数，()61f =，则不等式()e xf x >的解集为______．【答案】(),0-∞设()()exf xg x =，则()()()exf x f xg x '-'=，又()()f x f x '<，所以()0g x ¢<，即()g x 在R 上是减函数，因为()3f x +为偶函数，所以()3f x +图象关于y 轴对称，而()3f x +向右平移3个单位可得()f x ，所以()f x 对称轴为3x =，则()()061f f ==，所以()()0001e f g ==，不等式()e xf x >等价于()()()10e xf xg x g =>=，故0x <，所以不等式()e xf x >的解集为(),0-∞.故答案为：(),0-∞5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()3f x f x '+<，()03f =，则()3f x >的解集为___________.【答案】(),0∞-因为()()3f x f x '+<，所以()()3x xe f x f x e '+<⎡⎤⎣⎦，令()()3x F x e f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()3x x F x e f x e f x ''=-+⎡⎤⎣⎦，()()30x e f x f x '=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()F x 是减函数，又()()00030F e f =-=⎡⎤⎣⎦，()3f x >即()30f x ->，()30x e f x ->⎡⎤⎣⎦，所以()()0F x F >，所以0x <，则()3f x >的解集为(),0∞-故答案为：(),0∞-6．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________．【答案】1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x xe f x e f x F f x f x e x e ''-=-='，函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式3()x f x e >⇔3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．故答案为：1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x=型1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()0,x π∈，()()sin cos f x x f x x '<恒成立，则（）A3546f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3546f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B因为任意()()()0,,sin cos x f x x f x x <'∈π恒成立，即任意()()()0,,sin cos 0x f x x f x x '∈-<π恒成立，所以()()()()2sin cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，()0,x π∈所以()sin f x x在()0,π上单调递减，因为56π34>π，所以536453sin sin 64f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ，即536412f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ππ5364f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故选：B2．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）函数()f x 的定义域是()0,π，其导函数是()f x '，若()()sin cos f x x f x x <-'，则关于x()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭()()sin cos f x x f x x <-'变形为()()sin cos 0f x x f x x +<'，()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭变形为()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故可令g (x )＝f (x )sin x ，()0,πx ∈，则()()()sin cos 0g x f x x f x x =+''<，∴g (x )在()0,π单调递减，不等式()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭即为g (x )＜g (π4)，则π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：π,π4⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x 定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()f x >的解集为_____________.【答案】,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭解：()()cos sin f x x f x x'< ()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x=，则()()()2sin cos f x x f x xg x sin x'-'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>==即()6x g g π⎛>⎫⎪⎝⎭，26x ππ∴<<故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.4．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ- 上，其导函数为()'f x ，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为．【答案】(,0)(,)66πππ- 设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'='-，∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的偶函数，∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴(2(02sin 2f g πππ==，∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<.∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ- .④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知定义在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()y f x =，对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．63f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．43f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B 构造函数()()cos f x g x x =，其中,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()()()cos cos f x f x g x g x x x --==-=--，所以，函数()()cos f x g x x=为奇函数，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x'+'=>，所以，函数()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，故该函数在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上也为增函数，由题意可知，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上连续，故函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数.对于A 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<，则63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错；对于B 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭>，则63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；对于C 选项，43g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43122f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭>，则43f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，64g g ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎝⎝⎭⎭64f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪<64ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：B.2．（2022·福建龙岩·高二期中）设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若π6a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，1π23b f ⎛⎫=⎪⎝⎭，23π24c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】C因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以设()()cos F x f x x =⋅，则()()()cos sin 0F x f x x f x x ''=⋅->，所以()()cos F x f x x =⋅在()0,π上为增函数，又因为ππ266a f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1ππ233b f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23π3π244c f F ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，ππ3π634<<，所以ππ3π634F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c <<故选：C3．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数()f x '是定义在()0π，上的函数()f x的导函数，有()cos ()sin 0f x x f x x '->，若1023a b f π⎛⎫==⎪⎝⎭，，34c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C解：设()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-，又因为()cos ()sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)π上单调递增，又0cos(22a f ππ==，1(cos (2333b f f πππ==，333()cos ()2444c f f πππ==，因为3324πππ<<，所以33cos()cos ()cos (332244f f f ππππππ<<，所以c a b >>.故选：C ．4．（2022·广西玉林·高二期中（文））函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x '是它的导函数，且()()tan x f x f x '⋅>在定义域内恒成立，则（）A ．43f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()cos116f f π⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭D 46ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】D因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0cos 0x x >>，，由()()tan x f x f x '⋅>可得()cos ()sin f x x f x x '<，即()cos ()sin 0f x x f x x '-<，令()cos (),0,2g x x f x x π⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=-<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，则(1)643g g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则cos cos cos(1)(1)cos 664433f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2cos(1)(1)643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）定义域为,22ππ⎛⎫- ⎝⎭的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，其导函数为()f x '，当02x π≤<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B∵()()0f x f x +-=且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 是奇函数，设()()cos f x g x x =，则02x π≤<时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<，∴()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭是减函数．又()f x 是奇函数，∴()()cos f x g x x =也是奇函数，因此()g x 在(,0]2π-是递减，从而()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎝⎭上是减函数，不等式()cos 4f x f x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴42x ππ<<．故选：B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【答案】A 设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '>所以()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x =在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数1．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()260f x f x -'-<，且()21e 3=-f ，则满足不等式()2e 3>-x f x 的x 的取值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 构造函数()()23e x f x F x +=，则()()()226e xf x f x F x '--'=，因为()()260f x f x -'-<，所以()0F x '<，所以()()23exf x F x +=单调递减，又()21e 3=-f ，所以()()21311e f F +==，不等式()2e 3>-xf x 变形为()231e xf x +>，即()()1F x F >，由函数单调性可得：1x >故选：D2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数.若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，且()13f =，则不等式()12e x f x -->的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B解：不等式1()2e x f x -->，等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，则1()(()2)()e x f x f x g x -'--'=，若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，则()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，又()0(1)211e f g -==，故1()21e x f x -->即()()1g x g >，故不等式的解集是(1,)+∞，故选：B ．3．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2122f x f x x -->--的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,-+∞【答案】D设()()2g x f x x =+，则()()2g x f x ''=+.因为定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，所以()()20g x f x ''=+>，所以函数()g x 在R 上单调递增.又不等式()()2122f x f x x -->--可化为()()()24121f x x f x x +>-+-，即()()21g x g x >-，所以21x x >-，解得1x >-.所以不等式()()2122f x f x x -->--的解集为()1,-+∞.故选：D.4．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知R 上的函数()f x 满足()13f =，且()2f x '<，则不等式()21f x x <+的解集为（）A ．(,1)-∞B ．()3,+∞C ．()1,+∞D ．(2,)+∞【答案】C解：令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，又()f x 的导数()'f x 在R 上恒有()2f x '<，()()20F x f x ''∴=-<恒成立，()()21F x f x x ∴=--是R 上的减函数，又()()11210F f =--= ，∴当1x >时，()()10F x F <=，即()210f x x --<，即不等式()21f x x <+的解集为(1,)+∞；故选：C ．5．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 是函数()f x 的导函数，()(ln )()0f x x x f x '+>，则下列不等关系正确的是（）A ．2(3)log 3(2)f f >B ．()ln 033f ππ<C ．(3)2(9)f f >D ．21(0e )f <【答案】A函数()f x 的定义域为()0,∞+，则1()(ln )()0()()ln 0f x x x f x f x f x x x''+>⇔+>，令()()ln g x f x x =，0x >，则1()()()ln 0g x f x f x x x'=+>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，(3)(2)g g >，即2(3)ln 3(2)ln 2(3)log 3(2)f f f f >⇔>，A 正确；对于B ，((1)3g g π>，即(3)ln (1)ln103f f π>=，B 不正确；对于C ，(3)(9)g g <，即(3)ln 3(9)ln 92(9)ln 3(3)2(9)f f f f f <=⇔<，C 不正确；对于D ，21()(1)e g g <，即2211()ln (1)ln10e e f f <=，有22112()0()0e e f f -<⇔>，D 不正确.故选：A6．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数()2224ln f x x x x ax =++-，若当0m n >>时，()()n f m f m n ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,9B ．(],9-∞C ．(],8∞-D ．[)8,+∞【答案】B()()n f m f m n ->-，即()()f m m f n n ->-，令224l (n )()x x x ax g x f x x -+==+-，由题意得()g x 在(0,)+∞上单调递增，即4()410g x x a x '=++-≥，即441a x x≤++在(0,)+∞上恒成立由基本不等式得44119x x++≥+=，当且仅当44x x =即1x =时等号成立，则9a ≤故选：B7．（2022·安徽·高二阶段练习）已知()()21lg 20221lg 20222n n -+>，求满足条件的最小正整数n的值为___________.【答案】3解：由()()21lg 20221lg 20222n n -+>，两边取对数得()()()21ln 1lg 2022lg 2022lg 2n n -⋅+>⋅，因为n 是正整数，所以()()()ln lg 20221ln 211lg 202221n n +-+>-，令()()()ln 11x f x x x +=>，则()()()2ln 111xx x f x x x -++'=>，令()()ln 11x h x x x =-++，则()()201x h x x -'=<+，所以()h x 在()1,+∞上递减，则()()11ln 202h x h <=-=<，即()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上递减，所以lg 202221n <-，解得()11lg 20222n >+，因为3lg 20224<<，所以最小正整数n 的值为3.故答案为：38．（2022·浙江·高二期中）已知定义在R 上的可导函数()f x 是奇函数，其导函数为()'f x ，当0x <时，(1)()()0x f x xf x '-+>，则不等式()0f x <的解集为_______________．【答案】(0,)+∞()2e e(1)()()()()()e e e e x xx x x x x x x x f x xf x f x f x f x '--+⎡⎤=+'='⎢⎥⎣⎦，因为(1)()()0x f x xf x '-+>，所以()0e x xf x '⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即函数()e x x y f x =在(,0)-∞时单调递增的．因为()f x 的定义域是R ，且e x x在R 上都有意义，所以()e xx y f x =的定义域也是R ，所以在(,0)-∞时00()(0)0e ex x f x f <=，而e xx在(,0)-∞小于0恒成立，即在(,0)-∞时()0f x >．因为()f x 是奇函数，所以在(0,)+∞时()0f x <恒成立．所以()0f x <的解集为(0,)+∞．故答案为：(0,)+∞．9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 为偶函数，且满足()21f =，若当0x ≥时，()f x x '>，则不等式()2112f x x <-的解集为___________.【答案】(2,2)-设21()()2g x f x x =-，则()()0g x f x x ''=->，0x ≥时，()g x 是增函数，又()f x 是偶函数，所以2211()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，()g x 是偶函数，21(2)(2)212g f =-⨯=-,不等式()2112f x x <-即为()(2)g x g <，由()g x 是偶函数，得()(2)g x g <，又0x ≥时，()g x 递增，所以2x <，22x -<<．故答案为：(2,2)-．10．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()21f =，且()f x 的导函数()f x '满足：()1f x x '>-，则不等式()2112f x x x <-+的解集为___________.【答案】(),2∞-因为()1f x x '>-，所以()10f x x '-+>构造()()212F x f x x x =-+，则()()10F x f x x ''=-+>，即()()212F x f x x x =-+在R 上单调递增，因为()21f =，所以()()22221F f =-+=()2112f x x x <-+变形为()2112f x x x -+<，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知：2x <.故答案为：(),2∞-。

2023年高考数学填选压轴题专题12 双变量不等式类能成立、恒成立问题

专题12 双变量不等式类能成立、恒成立问题【方法点拨】1.∀x 1∈D , ∀x 2∈E,均有f (x 1) >g (x 2)恒成立,则f (x )min > g (x )ma x ； ∀x 1∈D , ∃x 2∈E, 使得f (x 1) >g (x 2)成立,则f (x )m in > g (x ) m in ； ∃x 1∈D , ∃x 2∈E , 使得f (x 1) >g (x 2)成立,则f (x ) ma x > g (x ) min .记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换.2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法.【典型题示例】例1 已知0a >，b R ∈，若()3242||2ax bx ax bx a b x b -+≤+++对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则ba的取值范围是______．【答案】2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】不等式化为221121b b b b x x a x a a a x -+≤+⋅+⋅+，令1t x x =+，52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得21b b t t a a +≥-，分别讨论0b a =，0b a <，和0ba>时，求最值可得出. 【解析】不等式两边同时除以2ax 得221121b b b bx x a x a a ax -+≤+⋅+⋅+，整理得2111b b x x a x x a⎛⎫++≥+- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则21b b t t a a +≥-，由于对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则有21b b t t a a +≥-对任意52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，（1）当0ba=时，1t ≥不成立，不符合题意；（2）当0b a <时，则当52t =时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，则255142b b a a ⋅+≥-，解得629b a ≥，与0ba<矛盾，不符合；（3）当0ba>时，①当52b a ≥时，则当2t =时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，则412b b a a ⋅+≥-，解得1b a ≥-，∴52b a ≥； ②当02b a <≤时，有21b bt t a a⋅+≥-，即2111b t a t t t ≥=++，则当2t =时，11t t +取得最大值为25，则25b a ≥，225ba ∴≤≤； ③当522b a <<时，211b b t t a a ⋅+>>-恒成立，满足题意，综上所述，b a 的取值范围是2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 例 2 已知函数)10)((log )(2≠-=a a x ax x f a ，且＞，若对]3,2[1∈∀x ，总]4,3[2∈∃x ，使得)8(log )(21x x f a -＞，则实数a 的取值范围是 .【答案】183,,292⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】即[]min min ()log (8)a f x x >-.当1a >时，[]min log (8)log 4a a x -=，故只需()log 4a f x >，所以()2min4ax x ->即24ax x ->对[2,3]x ∀∈恒成立，分参得214a x x >+，令111()32t t x =≤≤，24a t t >+，()()221max23442t a t tt t=>+=+=，故32a >；当01a <<时，[]min log (8)log 5a a x -=，故只需()log 5a f x >，所以()2max4ax x-<，且()2min0axx->，即205ax x <-<对[2,3]x ∀∈恒成立，分参得2115a x x x<<+，令111()32t t x =≤≤，25t a t t <<+，()()22max 1min3185529t t a t tt t==<<+=+=，故1829a <<；综上，实数a 的取值范围183,,292⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例3 已知函数xx x f 214)(-=，若对任意]21[1，∈x ，都存在]21[2，∈x 使)(22121x f bx x ≥-成立，则实数b 的取值范围是 . 【解析】由条件可知min min 2)()2(x f bx x ≥-因为()22x xf x -=-，且2xy =、2xy -=-在[1，2]上单调递增所以函数)(x f 在[1，2]上单调递增，23)1()(min ==f x f ，所以23)2(min 2≥-bx x ，即2322≥-bx x 在]21[，∈x 恒成立，即x x b 232-≤在]21[，∈x 恒成立，记]2,1[,23)(∈-=x xx x h ，易证)(x h 在[1,2]上单调递增，所以，21)1()(min -==h x h ，从而只需212-≤b ，即41-≤b . 点评：为避免求函数22y x bx =-最小值时的含参讨论，逆向转化为2322x bx -≥在]21[，∈x 上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！例4 已知函数()2xf x =，()()()g x f x f x =+，若1x ∀∈(0，+∞)，2x ∃∈[﹣1，0]，使得112(2)()2()0g x ag x g x ++>成立，则实数a 的取值范围是．【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分，当[1,0]x ∈-时，，，即在上为减函数，故所以，所以恒成立，即恒成立，又时取等号，所以实数点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系.例5 若对任意Rx∈1，存在2(1,2]x∈，使不等式3221222121++≥++mxxxxxx成立，则实数m的取值范围是 .【答案】]21,(-∞【解析一】先视为以“1x”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式03)2(2221221≥--+-+mxxxxx在Rx∈1上恒成立，所以0)3(4)2(22222≤----=∆mxxx，即016)44(3222≥---xmx，存在2(1,2]x∈，使不等式016)44(3222≥---xmx成立，再视为以“2x”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，设16)44(3)(2222---=xmxxh，则只需(1)0h>或0)2(≥h，即94m<-或21≤m，所以实数m的取值范围为]21,(-∞.【解析二】先视为以“1x”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式03)2(2221221≥--+-+mxxxxx在Rx∈1上恒成立，所以0)3(4)2(22222≤----=∆mxxx，即016)44(3222≥---xmx，存在2(1,2]x∈，使不等式016)44(3222≥---xmx成立，再视为以“2x”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，即016)44(3222≥---xmx在2(1,2]x∈能成立分离变量得2216443m xx-≤-设16()3g x xx=-，则16()3g x xx=-在区间(1,2]上单增，所以max()(2)2g x g==-，故442m-≤-，即12m≤所以实数m的取值范围为]21,(-∞.点评：1．二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想；2．解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.例6 设a >0，函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝x －ln x ＋4，若对任意的x 1∈[1，e]，存在x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为___________．【答案】⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【分析】问题可转化为f (x )min ≥g (x )min ，函数g (x )不含参，易求得g (x )min ＝g (1)＝5，接下来的思路有二，一是直接分类讨论求f (x )min ，二是将f (x )min ≥g (x )mi 转化为f (x )＝x ＋a 2x ≥5恒成立，通过分离参数再解决【解析】问题可转化为f (x )min ≥g (x )min .当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1－1x ≥0，故g (x )在[1，e]上单调递增，则g (x )min ＝g (1)＝5.思路一：又f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a 2x 2，令f ′(x )＝0，易知x ＝a 是函数f (x )的极小值．当a ≤1时，f (x )min ＝1＋a 2，则1＋a 2≥5，不成立；当1<a ≤e 时，f (x )min ＝f (a )＝2a ，则2a ≥5，得52≤a ≤e ；当a >e 时，f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e ≥5显然成立，得a 2>5e －e 2，所以a >e.综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，＋∞.思路二：故有f (x )min ≥5，即f (x )＝x ＋a 2x ≥5恒成立，分离参数得a 2≥x （5－ x ），易得[x （5－ x ）]max =254，又a >0，故a ≥52所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，＋∞．例7 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，g (x )＝ax，其中a >0，x ≠0.(1) 对任意的x ∈[1,2]，都有f (x )>g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；【解析】由题意知，f (x )－g (x )>0对x ∈[1,2]恒成立，即x 2－2ax ＋1－ax >0对x ∈[1,2]恒成立，即a <x 3＋x 2x 2＋1对x ∈[1,2]恒成立，令φ(x )＝x 3＋x 2x 2＋1，只需a ＜φ(x )min (x ∈[1,2])．由于φ′(x )＝2x 4＋x 2＋12x 2＋12>0，故φ(x )在x ∈[1,2]上是增函数，φ(x )min ＝φ(1)＝23，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. (2) 对任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)>g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】由题意知x 2－2ax ＋1>⎝⎛⎭⎫a x min ＝a 2，即a <2(x 2＋1)4x ＋1对x ∈[1,2]恒成立．令φ(x )＝2(x 2＋1)4x ＋1，则φ′(x )＝8(x 2－1)＋4x(4x ＋1)2>0对x ∈[1,2]恒成立，则φ(x )在[1,2]上是增函数，φ(x )min ＝φ(1)＝45，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，45. 点评：防止误将∀x ∈D ，均有f (x ) >g (x )恒成立，转化为f (x )min > g (x )ma x ，一般应作差构造函数F (x )=f (x )－g (x )，转化为F (x ) min >0恒成立.例8 已知函数()2ln x f x a x x a =+-（0a >且1a ≠），若对任意的12,x x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】)2e ,⎡+∞⎣【分析】求导()()1ln 2'=-+xf x a a x ，分01a <<，1a >，求得()()12max -⎡⎤⎣⎦f x f x ，再根据对任意的1x ，2x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立求解.【解析】因为函数()2ln xf x a x x a =+-（0a >且1a ≠），所以()()1ln 2'=-+xf x a a x ，当01a <<，[]1,2x ∈时，10,ln 0x a a -<<，则()0f x '>在[]1,2上成立，所以()f x []1,2上递增，所以()()()()2max min 242ln ,11ln ==+-==+-f x f a a f x f a a ，所以()()212max 3ln -=-+-⎡⎤⎣⎦f x f x a a a ，因为任意的1x ，2x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立，所以2213ln -+≥-+-a a a a a ，即ln 2a ≥，解得2e a ≥，当1a >，[]1,2x ∈时，10,ln 0xa a ->>，则()0f x '>在[]1,2上成立，所以()f x 在[]1,2上递增，所以()()()()2max min 242ln ,11ln ==+-==+-f x f a a f x f a a ，所以()()212max 3ln -=-+-⎡⎤⎣⎦f x f x a a a ，因为任意的1x ，2x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立，所以2213ln -+≥-+-a a a a a ，即ln 2a ≥，解得2e a ≥，综上：实数a 的取值范围为)2e ,⎡+∞⎣，故答案为：)2e ,⎡+∞⎣【巩固训练】1．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________．2．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．4.函数f (x )＝x 3－12x ＋3，g (x )＝3x －m ，若对∀x 1∈[－1,5]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的最小值是________．5.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3a ，g (x )＝2x －1 .若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f (x 1)|≤g (x 2)成立，则实数a 的值为________．6.已知函数f (x )＝12x 2＋x ，g (x )＝ln(x ＋1)－a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＞g (x 2) ，则实数a 的取值范围是 .7. 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．8.若对于[]1,1a ∀∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->都成立，则x 的取值范围是_________.9. 若关于x 的不等式2320x mx m -+-≥在区间[]1,2上有解，则实数m 的取值范围是_________.10.关于x 的一元二次方程21+(+1)0()2x m x m Z +=∈有两个根12x x 、，且满足12013x x <<<<，则实数m 的值是（）.A ．－2；B ．－3；C ．－4；D ．－5.11.设函数24()x f x x +=，()x g x xe =，若对任意12,(0,]x x e ∈，不等式()()121g x f x k k≤+恒成立，则正数k 的取值范围为（）A ．141,e ee +⎛⎤⎥⎝⎦B ．(],4eC ．10,4e e e +⎛⎤⎥-⎝⎦D ．140,4e e +⎛⎤⎥-⎝⎦12.已知大于1的正数a ，b 满足22ln a nb b e a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则正整数n 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．11【答案或提示】1．【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)． 2．【答案】⎣⎡⎭⎫14，＋∞【解析】当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.3.【答案】 (－∞，1]【解析】由题意知，f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )＝x ＋4x ，所以f ′(x )＝1－4x 2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝5，又因为g (x )在[2,3]上的最小值为g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1. 4.【答案】14【解析】由f ′(x )＝3x 2－12，可得f (x )在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，∴f (x )min ＝f (2)＝－13，∵g (x )＝3x －m 是增函数，∴g (x )min ＝1－m ，要满足题意，只需f (x )min ≥g (x )min 即可，解得m ≥14，故实数m 的最小值是14. 5.【答案】13-6.【答案】 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 【解析】依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.7.【答案】a ＞－4【分析】问题可转化为f (x )max >g (x )min ，易得f (x )max =4，g (x )min =－a ，由f (x ) ma x > g (x ) min 得：4＞－a ，故a ＞－4即为所求. 点评：理解量词的含义，将原不等式转化为[f (x )]max ≤[g (x )]max ；利用函数的单调性，求f (x )与g (x )的最大值，得关于a 的不等式求得a 的取值范围． 8.【答案】()(),13,-∞⋃+∞ 9.【答案】[)2,-+∞【解析】对不等式2320x mx m -+-≥分离参数得：223x m x -≥- 设22()3x g x x -=-（[]1,2x ∈），则min ()m g x ≥令3(12)x t t -=≤≤，则2(3)27()()6t g t t t t--==-++-函数7t t +在区间[]1,2t ∈单减，故max78t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，min ()(1)2g t g ==- 所以2m ≥-，即实数m 的取值范围是[)2,-+∞. 10.【答案】BC上的最大值代入可解得结果. 【解析】因为2224()f x x x =+在(0,2)上递减，在(2,]e 上递增，所以当22x =时，2()f x 取得最小值(2)4f =，因为111()xg x x e =，所以111111()(1)xxxg x e x e x e '=+=+，当1(0,]x e ∈时，1()0g x '>，所以111()xg x x e =在(0,]e 上单调递增，所以1()g x 的最大值为()·eg e e e =，因为对任意12,(0,]x x e ∈，不等式()()121g x f x k k≤+恒成立，所以12max min ()()1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因为0k >，所以·41ee e k k≤+，解得1404e k e +<≤-. 故选：D 12.【答案】C【分析】22ln n a n b b e a <等价于22ln a n n b e b a <，令()2ln n x f x x =，()2xn e g x x=，分别求()f x ，()g x 的导数，判断函数的单调性，可求得()f x 有最大值2222n n f e e ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭，()g x 有最小值22nnn e g n ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意，即求()()maxmin f x g x ≤，代入为2222n n e n e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤⎛⎫⎪⎝⎭，等价于2ln 22n n n +≥-，令()2ln 22x xx x ϕ+=--，即求()0x ϕ>的最大的正整数.对()x ϕ求导求单调性，可知()x ϕ单调递减，代入数值计算即可求出结果.【解析】由题干条件可知：22ln n a n b b e a <等价于22ln an n b e b a<，令()2ln n x f x x =，()1x >，则()121ln (2ln )ln (2ln )'n n n x x n x x n x f x x x-+⋅--== ()'0f x =，2n x e = ，当()'0f x >时，21,n x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()'0f x <时，2,n x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭所以()f x 在21,n e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,n e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 有最大值 2222n n f e e ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭. 令()2xn e g x x =，()1x >，则()()222'x ne x n g x x -=，当12n ≤时，此题无解，所以12n >，则()'0,2n g x x ==，当()'0,2n g x x >>，当()'0,12ng x x <<<，所以()g x 在1,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()g x 有最小值22nn n e g n ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭.若22ln a n n b e b a <成立，只需22n n f e g ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222n n e n e n ⎛⎫⎪⎝⎭≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，即222n n n e -+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取对数可得：22)ln 2(n n n +≥-.2n =时，等式成立，当3n ≥时，有2ln 22n n n +≥-，令()2ln 22x xx x ϕ+=--，本题即求()0x ϕ>的最大的正整数. ()241'0(2)x x xϕ-=-<-恒成立，则()x ϕ在[)3,+∞上单调递减， ()58ln 403ϕ=->，()1199ln 1.5714 1.51072ϕ=-≈->，()310ln 502ϕ=-<，所以()0x ϕ>的最大正整数为9. 故选：C.。

构造函数法在高考压轴题中的应用

构造函数法在高考压轴题中的应用高考数学作为考生选拔的一个重要环节，自然也是备受关注的焦点。

特别是数学的应用题，往往是考验学生综合运用知识的能力。

在高考压轴题中，构造函数法的应用频繁出现，并成为考生解题的关键点之一。

构造函数法是一种灵活的解题方法，同时也是一种突破性的思维方式，它在高考数学题中的应用不仅能够帮助考生解题，更能够启发学生的思维，提高解题的灵活性和创新性。

构造函数法是数学分析中的一种基本的工具和方法之一。

它的基本思想是用一个函数去模拟问题中的某些关键性质。

通过构造合适的函数，就可以对问题进行简化和化约，从而更好地解决问题。

构造函数法的运用要求学生具备对函数性质的理解和灵活运用，同时也需要学生对应用题目有较强的数学建模能力。

构造函数法的应用不仅可以帮助学生解题，更能培养学生的数学思维和建模能力。

在高考压轴题中，构造函数法的应用可以说是非常常见的。

这些问题往往是通过构造函数的方式来简化问题，或者通过构造特定的函数使得原问题得到更好的刻画和描述。

常见的函数定义域、值域等特性可以通过构造函数的方式更准确更简便地解决问题。

对于一些较为复杂的应用题，构造函数法也能够直接对问题进行建模和简化，从而更容易解决。

在解题过程中，构造函数法往往有着很强的普适性和灵活性。

通过构造合适的函数，我们可以灵活地对问题进行简化和化约。

构造函数法在高考压轴题中往往成为解题的关键之一。

从另一个角度来说，构造函数法的应用也反映了学生对数学知识的掌握和灵活应用能力。

构造函数法的应用在高考压轴题中是非常重要的。

构造函数法在高考压轴题中的应用不仅体现了数学的应用性和实用性，更是考察学生综合运用知识的能力和创新思维的一种体现。

通过构造函数法的应用，考生可以更好地解决问题，也能够更好地提高对数学概念和问题的理解和应用能力。

构造函数法在高考压轴题中的应用是十分重要的。

在教学过程中，我们应该充分重视构造函数法的教学，帮助学生掌握和灵活运用构造函数法。

专题3-4 构造函数解不等式(选填)(原卷版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

例题 2．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知定义在 R 上的偶函数 f (x)
满足：当 x 0 时，恒有 xf (x) 2 f (x) 0 ．若 a 2 f ( 2) ，b 9 f (3) ，c f (1) ，则 a ，b ，
c 的大小关系为（
）
A． b a c
例题 3．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数 f x 的定义域和值域均为 0, ，
f
x 的导函数为
f ¢(x) ，且满足 2 f
x
f
x 3f
x ，则
f f
2021 2022
的范围是______．
构造可导积（商）函数模型：
① enx[ f ( x) nf ( x)] [enx f ( x)]
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中（文））设定义域为 R 的函数 f x 满足 f x f x ，则不等式 ex1 f x f 2x 1 的解集为
A． ,1
B． 1,
C． 1,1
D． 1,
3．（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三开学考试）定义域为 R 的可导函数的导函数 y f x 为 f x ，满足 f x f x ，且 f 0 1，则不等式 f x ex 的解集为（）
x
x2
f
x
0 ，若 a
f
2 ,b
2
f
π
,c
π
f
5 ，则 a,b, c 的大小关系是（
5
）
A． c b a
B． c a b
C． b a c
D． a b c
2．（2022·江苏连云港·高三期中）设函数 f x 的导函数为 f x ，对任意 x R ，都有 xf x f x 成立，则（）

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立； (2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e 2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，证明：12|()()|2f x f x a-<．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.参考答案1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b 2e <．【过程详解】（1）()212()ln ()f x x a x x a x'=-+-⋅，由()10f '=，即202(1)ln1(1)a a --=+，解得1a =．（2）()()(2ln 1)af x x a x x'=--+，令()2ln 1ag x x x=-+， ()1,e a ∈ ，111(,1e ),a a a∴∈∴<，()21()2ln 11)2ln (10g a a a a a a=--+=-++-<， ()2ln 112ln 0g a a a =-+=>， 22()0ag x x x+'=>在(0,)+∞恒成立，故()g x 在(0,)+∞递增，而1lg()0,()0g a a <>，01(,)x a a∴∃∈，使得g 0()0,x =令()0f x '=，有1201,,x a x x x =<=故0(0,)x x ∈时()0f x ¢>，0(,)x x a ∈时()0f x '<，(,)x a ∈+∞时()0f x ¢>，故()f x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x a 上递减，在(,)a +∞上递增，∴()f x 极大值2000()()ln ,f x x a x b =->由000()2ln 10,ag x x x =-+=得0002ln ,a x x x =+ 故23004(ln ),b x x <则230028(ln ),ab ax x <01,e 1e x a a<<<< 0e,e a x ∴<<，23233008(ln )8e e 18e ax x ∴<⋅⋅⋅=，328e ,ab ∴<2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【过程详解】（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即2ln xa x≤-，令()2ln x u x x =-，所以()()222ln 122ln x x u x x x --'=-=，所以当0e x <<时，()0u x '<，当e x >时，()0u x '>，所以()u x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，所以()()min 2e eu x u ==-，所以2a e ≤-，即a 的取值范围是2,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦．（2）令()0g x =，即22ln 0xx a x--=，令()22ln x h x x a x =--，则()()()3222ln 121ln 2x x x h x x x x +--'=-=，令()3ln 1r x x x =+-，所以()2130r x x x'=+>，所以()r x 在()0,∞+上单调递增，又()10r =，所以当01x <<时，()0r x <，所以()0h x '<，当1x >时，()0r x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，因为()()120h x h x ==，所以()()22212222222212ln 2ln 1111x x h x h h x h x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()12ln x x x x ϕ=--（1x >），则()()22211210x x x x xϕ-'=+-=>在()1,+∞上恒成立，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()222212ln 10x x x x ϕϕ=-->=，所以()1210h x h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()121h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又函数()22ln xh x x a x=--在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，所以121x x <． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .【过程详解】（1）1a =，()e ln xf x x =-，0x >由()11e ln1e f =-=，得切点为()1,e由()1e xf x x'=-，有()1e 1f '=-，即()f x 在点()1,e 处的切线斜率为e 1-，所以()f x 在点()1,e 处的切线方程为：()e 11y x =-+. （2）证明：因为()1e xf x a x '=-(1ea ≥，0x >)，设函数()()g x f x '=，则()21e 0xg x a x '=+>(1e a ≥，0x >)，所以()f x '在()0,∞+上单调递增又因为()212e 02f a '=->，112e2e 1e 2e e 2e 02e a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在1,22e a β⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0f β'=，即1e a ββ=，1e a ββ=，所以，当()0,x ∈β时，()0f x '<，()f x 在()0,β上单调递减；当(),x β∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在(),β+∞上单调递增；所以()()1e ln ln 2lnf x f a a ββββββ≥=-+=--令()12ln =--h x x x x ，()()()()14432ln 40x h x x x x x xϕ=--+=+-->，则()()()2131x x x x ϕ-+'=，()0x ϕ'<解得01x <<，()0x ϕ'>解得1x >，所以，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以，()()10x ϕϕ≥=，所以，()h x 的图像在44y x =-+的上方，且()h x 与44y x =-+唯一交点为()1,0，所以，()44f x x ≥-+.（3）圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =圆心到直线44y x =-+的距离174d ===，所以直线44y x =-+为圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的切线，由2211741644x y y x ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-+⎩解得切点坐标为()1,0，显然，圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在直线44y x =-+的下方又因为()44f x x ≥-+，且点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上，则点()(),f ββ即为切点为()1,0，所以1β=，1ea =.4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立；(2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数21()e 12xf x x x =---，0x >，求导得()e 1x f x x '=--，令e 1x y x =--，0x >，求导得e 10x y '=->，则函数()f x '在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ''>=，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，所以当0x >时，()0f x >恒成立.（2）设sin y x x =-，()0,πx ∈，则1cos 0y x '=->，则sin y x x =-在()0,π上递增，0y >，即sin 0x x >>，方程()sin 2f x xa x x +=等价于e sin 10x ax x x ---=，()0,πx ∈，令()e sin 1xg x ax x x =---，原问题等价于()g x 在()0,π内有零点，由()0,πx ∈，得2sin x x x <，由（1）知，当12a ≤时，()21e sin 1e 102x xg x ax x x x x =--->--->，当()0,πx ∈时，函数()y g x =没有零点，不合题意；当12a >时，由()e sin 1x g x ax x x =---，求导得()()e cos sin 1xg x a x x x '=-+-，令()()()e cos sin 1x t x g x a x x x '==-+-，则()()e sin 2cos xt x a x x x '=+-，当π[,π)2x ∈时，()0t x '>恒成立，当π(0,)2x ∈时，令()()()e sin 2cos x s x t x a x x x '==+-，则()()e 3sin cos xs x a x x x '=++，因为e 0x >，()3sin cos 0a x x x +>，则()0s x '>，即()t x '在π(0,2上单调递增，又()0120t a '=-<，π2ππ(e 022t a '=+>，因此()t x '在π(0,)2上存在唯一的零点0x ，当()00,x x ∈时，()0t x '<，函数()g x '单调递减，当()0,πx x ∈时，()0t x '>，函数()g x '单调递增，显然()()000g x g ''<=，()ππe π10g a '=+->，因此()g x '在()0,π上存在唯一的零点1x ，且()10,πx x ∈，当()10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()1,πx x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，()()100g x g <=，由（1）知，21e 112x x x x >++>+，则()ππe π10g =-->，所以()g x 在()10,x 上没有零点，在()1,πx 上存在唯一零点，因此()g x 在()0,π上有唯一零点，所以a 的取值范围是1(,)2+∞.5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e2x x x x x x +++++<. 【过程详解】（1）由题意设()()22e x f x x =-（x ∈R ），则()f x '=()2e xx x -，x ∈R ，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增；当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减；又()20f =，()04f =，()33e 4f =>，且()()22e 0x f x x =-≥，当x 趋向于+∞时，()f x 也趋向于+∞，又方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<，等价于直线y a =与()y f x =的函数图像有三个交点，即04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.（2）选①，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<，设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<，不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >），又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-，1k >，则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭，设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >，则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 选②，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<，设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<，不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >），又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-（1k >），则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭1>），设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >，则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 所以()()()12121222244x x x x x x --=-++<，则()12122x x x x <+，又因为1202x x <<<，所以120x x <，从而()12121221121x x x x x x +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故121112x x +<①，下证120x x +<，有12122ln 2ln 44011k k kx x t t k k+=++=++<--（1k >），即证1k >时，()()1ln 21k k k +>-，即()214ln 211k k k k ->=-++，即证4ln 21k k +>+（1k >），设()4ln 1h x x x =++（1x >），则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，则()()12h x h >=，所以120x x +<②，又()()33e 0f f =>，所以得323x <<，设()1x x xϕ=+，（23x <<），则()211x x ϕ'=-，当23x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()2,3上单调递增，则331103x x +<③，联立①②③得：123123*********e 042362x x x x x x +++++<++=<<，故1231231113e2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 【过程详解】（1）解：函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()32222k x kf x x x x -='-=，令()0f x '=，则x =①当0k<时，当x <()0f x '<，()f x0x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当0k>时，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上：当0k <时，单调增区间为⎫⎪⎪⎭，()0,∞+，单调递减区间为⎛-∞ ⎝；当0k >时，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为(),0∞-，⎛ ⎝. （2）对任意的m，n ⎫∈+∞⎪⎭，且m n >，令mt n =（1t >），因为()()()()()()()32m n f m f n g m g n -+--()22333311ln 2222m m n m n m n m n n ⎛⎫⎛⎫=-+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33221133ln 222222n m m m n mn m n m n n=-+-+-+ 323111332ln 22m m m m n m n n n n n mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()332331*********ln (1)2ln 2222n t t t t t n t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+----=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33211111(1)2ln 33132ln 626t t t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥----=-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 321336ln 16t t t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，记()32336ln 1h t t t t t =-++-，则()22226311113636320h t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---'=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，故32336ln 10t t t t-++->，所以()()()()()()()302m n f m f n g m g n -+-->，故()()()()332g m g n f m f n m n-+<-.7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.【过程详解】（1）由题意可知，()()()()22ln 1y x f x x a x =-=-+-，则()2ln 11xy a x a x-'=+-++-，因为2x =是函数()()2ln 1y x a x =-+-的极值点，所以()ln 120a +-=，解得2a =，经检验满足题意，故2a =；（2）由（1）得()()ln 3f x x =-，(),3x ∞∈-，设()()()22ln 3h x x f x x x =-+=-+-，则()12133x h x x x -'=-=--，当2x <时，203x x ->-，即()0h x '>，所以()h x 在区间(),2-∞单调递增；当23x <<时，203x x -<-，即()0h x '<，所以()h x 在区间()2,3单调递减，因此当(),3x ∞∈-时，()()20h x h ≤=，因为()g x 的定义域要求()f x 有意义，即(),3x ∞∈-，同时还要求()2ln 30x x -+-≠，即要求2x ≠，所以()g x的定义域为{|3x x < 且}2x ≠，要证()()()()212x f x g x x f x -=>-+，因为()20x f x -+<，所以需证()()()22x f x x f x -<-+，即需证()()23ln 30x x x -+-->，令3x t -=，则0t >且1t ≠，则只需证1ln 0t t t -+>，令()1ln m t t t t =-+，则()ln m t t '=，令()ln 0m t t '==，可得1t =，所以()0,1t ∈，()0m t '<；()1,t ∈+∞，()0m t '>；所以()m t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()10m t m >=，即()1g x >成立.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.【过程详解】（1）()()f x x b '=+由切线方程知()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()()1110b b +=+=，注意到0a ≠，解得1a =,0b =.（2）由（1）可知()f x x，若要()f x x x =<且注意到0x >，所以只需ln x < 构造函数()ln h x x =()122h x x x '==，令()0h x '=得4x =，所以()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表：()0,4 ()4,+∞()h x '+-()h x所以()h x 有极大值()244ln 42ln 0eh =-=<，综上()0h x <，结合分析可知命题得证. （3）由题意分以下三种情形讨论：情形一：注意到当0t ≥且1x >0x >，()10txx -≥，此时有()0g x >，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形二：对()2()g x x t x x =+-求导得()()21g xt x x '=+-，所以有()11g t '=+；进一步对()()21g x t x x '=++- 求导得()32ln 24x g x t x-''=+，注意到当1t ≤-且1x >时，有20t <，32ln 04x x-< ，进而有()0g x ''<，所以()g x '单调递减，所以()()110g x g t ''<=+≤，因此()g x 单调递减，故()()10g x g <=，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形三：由（2）可知1x >lnx <，且注意到当10t -<<时有()()()1()21211212g x t x t x t x '=-<+-<++-成立，所以11(02a g a a -'<-<，此时()110g t '=+>，所以存在011,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，且注意到此时有()32ln 204x g x t x -''=+<成立，所以()g x 、()g x '随x 的变化情况如下表：()01,x ()0,x +∞()g x ' +-()g x故一方面当0x x =时，()g x 取极大值（或最大值）()0g x ，显然有()()010g x g >=；ln x <可得()()()22()1g x x t x x x t x x x tx t +-<+-=+-，所以有10a g a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理并结合这两方面可知函数()g x 在区间(1,)+∞上存在零点.综上所述，符合题意的t 的取值范围为(][),10,-∞-⋃+∞.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x，证明：12|()()|f x f x -<．【过程详解】（1）依题意，222122()(0)a ax x af x a x x x x -+'=-+=>，当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <<()0f x '>，解得102x a <<或12x a>，令()0f x '<，解得112x a <<，所以()f x在1(0,2a 上单调递增，在11(22a a上单调递减，在)+∞上单调递增；当a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）不妨设120x x <<，由（1）知，当04a <<时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()fx的极小值点，所以12()()f x f x >，所以1212|()()|()()f x f x f xf x -=-．由（1）知，122x x =，121x x a+=，则21x xa-==．要证12|()()|f x f x -<1221()())2f x f x x x -<-．因为22121122121112()()()()()ln 222x x xx x f x f x x x a x x a x x x ---+=-+--+⋅2212212111212()2()()ln ln 2x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+ 2122112(1)ln 1x x xx x x -=+，设211x t x =>，2(1)()ln 1t g t t t -=++．所以222414()0(1)(1)g t t t t '==>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=．所以2112)()()02x x f x f x --+>，即得1221()()()2f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=，当0a ≤时，10ax -<，令()0f x ¢>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x a >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，令()0f x ¢>，解得10x a <<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，由（1）可得()()11ln 10f x x f x=--<=，()1x >，因为N n *∈1>，则10<，即11>>所以n ++>-+L L2n =-L2n =-)21=-，即)2ln 1+>L .。

高中数学压轴题系列——导数专题——小题之构造函数解题

高中数学压轴题系列——导数专题——小题之构造函数解题类型一：x x f )(或)(x f x ⋅型构造1．（2015•新课标II ）设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）2．（2016•南充一模）函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （1）=0，当x ＜0时，xf ′（x ）+f （x ）＞0，则使得f （x ）＜0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）3．（2015•天津校级模拟）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （1）=0，f ′（x ）是f （x ）的导函数，当x ＞0时总有xf ′（x ）＜f （x ）成立，则不等式f （x ）＞0的解集为（）A ．{x|x ＜﹣1或x ＞1}B ．{x|x ＜﹣1或0＜x ＜1}C ．{x|﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1}D ．{x|﹣1＜x ＜1，且x ≠0}4．（2015•桂林校级模拟）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）=﹣1，且当x ＞0时，有xf ′（x ）＞f （x ），则不等式f （x ）＞x 的解集是（）A ．（﹣1，0）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）类型二：x e x f )(或)(x f e x ⋅型构造1．（2015•渝中区校级一模）已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f （x ）＜f ′（x ），且f （0）=2，则不等式的解集为（）A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）2．（2015•合肥三模）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）＞1且f （x ）+f ′（x ）＞1，f （0）=5，其中f ′（x ）是f （x ）的导函数，则不等式ln[f （x ）﹣1]＞ln4﹣x 的解集为（）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，0）类型三：n xx f )(或)(x f x n ⋅型构造1．（2015•鹰潭一模）设函数f （x ）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f ′（x ），且有3f （x ）+xf ′（x ）＞0，则不等式（x+2015）3f （x+2015）+27f （﹣3）＞0的解集（）A ．（﹣2018，﹣2015）B ．（﹣∞，﹣2016）C ．（﹣2016，﹣2015）D ．（﹣∞，﹣2012）2.（2017•湖北四模）设定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），若f （3）=1，且3f （x ）+xf′（x ）＞ln （x +1），则不等式（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2020）D．（2020，+∞）3．（2017•湖南一模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf′（x）＞x2+3f（x），则不等式8f（x+2014）+（x+2014）3f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2016）B．（﹣2018，﹣2016）C．（﹣2018，0）D．（﹣∞，﹣2018）4．（2016•朝阳二模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f （x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+6）2f（x+6）﹣f（﹣1）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，﹣7）C．（﹣7，0）D．（﹣7，﹣6）类型四：利用函数的奇偶性构造1．（2015•乌鲁木齐模拟）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）2．（2015•德阳模拟）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上，f′（x）＞x．若有f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）3．（2015•固原校级三模）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）4．（2015秋•重庆校级月考）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2sin2x，则以下大小关系一定不正确的是（）A．B．C．D．类型五：做商构造1．（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）2．（2015•山东模拟）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（2）=﹣2，f（1+x）=﹣f（1﹣x），则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）3．（2015•邢台模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）4.（2015•兰州一模）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）类型六：做差构造1．（2015•怀化二模）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）2．（2015•南阳校级三模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2013，对任意x∈R都有f′（x）＜2x 成立，则不等式f（x）＜x2+2009的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）3．（2015•遵义校级模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f（x）＞的解集为（）A．（1，2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）4．（2015•南市区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）5．（2015•郴州模拟）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）类型七需要换元求范围1．（2016•重庆模拟）设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为（）作商构造函数A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）2．（2015•淄博二模）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x 的解集为（）作差构造函数A．B．C．D．（10，+∞）3．（2015•绵阳校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对于任意的x，f′（x）恒成立，则不等式f（lg2x）＜+的解集为（）作差构造函数A．（0，）B．（10，+∞）C．（，10）D．（0，）∪（10，+∞）1．（2016•重庆校级模拟）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=logπ3•f（logπ3），c=log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a2．（2015•潍坊模拟）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b3．（2015•郑州三模）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）4．（2015•文峰区校级一模）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）=f（2）D．f（1）=f（2）5．（2015•福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）构造函数结合排除法A．B．C．D．6．（2015•马鞍山一模）定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4，有（）单调性与对称性结合比大小A．f（2a）＜f（log2a）＜f（2）B．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）B．C．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）7．（2015•哈尔滨校级三模）已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时导函数满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）。

合理构造函数解导数压轴题

合理构造函数解导数压轴题构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题）已知函数()()ax x x ax x f --++=231ln .(1) 若32为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()xbx x f =---311有实根，求实数b 的取值范围。

解：（1）因为32=x 是函数的一个极值点，所以0)32(='f ，进而解得：0=a ，经检验是符合的，所以.0=a（2）显然(),2312a x x ax ax f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。

同时a x x --232此函数是31<x 时递减，31>x 时递增，故此我们只需要保证()02311≥--++='a a af ，解得：.2510+≤≤a （3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于0>x ，所以：()2ln xx x x b -+=32ln x xx x -+=()2321ln x x x x g -++=' ()xx x x x x g 1266212---=-+=''当6710+<<x 时，(),0>''x g 所以()x g '在6710+<<x 上递增；当671+>x 时，(),0<''x g 所以()x g '在671+>x 上递减；又(),01='g ().6710,000+<<='∴x x g 当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减；当10<<x x 时，(),0>'x g 所以10<<x x 上递增；当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减；又当+∞→x 时，(),-∞→x g()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g当0→x 时，,041ln <+x 则(),0<x g 且()01=g ∴b 的取值范围为(].0,∞-()xx x x x x g 1266212---=-+=''，()2321ln x x x x g -++='，()32ln x x x x x g -+=方法二、构造：()2ln x x x x G -+=()()()xx x x x x x x x x x x G 112121221122-+-=---=++-=-+=' 0>x 10<<∴x ()0>'x G 从而()x G 在()1,0上为增函数；(),0,1<'>x G x 从而()x G 在()+∞,1上为减函数()()01=≤∴G x G 而0>x ()0≤⋅=∴x G x b 0≤∴b分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。

构造压轴题汇总

e0
不等式f x ex的解集为: 0, .
第 0077 题 2015 年高考福建省理数 10 题
若定义在 R 上的函数 f x 满足 f 0 1，其导函数 f x 满足 f x k 1 ，
则下列结论中一定错误的是（）
A.
f
1 k
1 k
B.
f
1 k
k
1 1
C.
f
k
1 1
k
构造函数汇总
第 0011 题
已知直线l1: y x a分别与直线l2: y 2 x 1及曲线C : y x ln x交于A, B两点，
则 AB 的最小值为_________ .
[解析]：
由题意可得 :
y
y
xa
2 x 1
x
y
a2 y
2a
2
,
y
x x
a ln
x
x y
ea ea
ax 1
ax 12
ax 12
x
0,
1 a
,
ax
1
ln
x
0;
令h
x
ax
1
ln
x,
x
0,
1 a
,
则:
h
'
x
ax 1 x
0,
hx
;
x
0,
1 a
,
h
x
h
1 a
ln
a
ln a 0
a 1
第 0055 题 2018 届高三江苏盐城中学实验班 9 月周考 14 题
已知定义在R上的可导函数y f x的导函数f ' x,满足f ' x f x,且f 1 x = f 1 x,若f 2 1,则不等式f x ex的解集为_________ .

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。

近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。

所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。

怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

几种导数的常见构造：1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -=2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x= 4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e =5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h = 一、构造函数法比较大小例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大小关系是 ( ) .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >>【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D.变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >>例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有A ．2016(2016)(0)ef f -<，2016(2016)(0)f e f > B ．2016(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f < C ．2016(2016)(0)e f f ->，2016(2016)(0)f e f > D ．2016(2016)(0)e f f ->，2016(2016)(0)f e f < 【解析】构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()x f x g x e =在R 上单调递减，所以(2016)(0)(2016)(0)g g g g -><，，即20162016(2016)(2016)(0)(0)f f f f e e--><，，也就是20162016(2016)(0)(2016)(0)e f f f e f -><，，故选D ．变式: 已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，则（ C ）2016.(1)(0)(2016)(0)A f e f f e f >⋅<⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)B f e f f e f <⋅>⋅、2016.(1)(0)(2016)(0)C f e f f e f >⋅>⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)D f e f f e f <⋅<⋅、例3．在数列{}n a 中，1()n 1,()n n a n N +*=+∈．则数列{}n a 中的最大项为( )．ABCD ．不存在【解析】由已知1a =2a =，3a =4a 易得12234,......a a a a a <>>>. 猜想当2n ≥时，{}n a 是递减数列又由11n n a n +=+知ln(1)ln 1n n a n +=+，令ln ()x f x x =，则221ln 1ln ()x x x x f x x x⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '<∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，2n ∴≥时，{}ln n a 是递减数列，即{}n a 是递减数列又12a a <，∴数列{}n a中的最大项为2a 故选B ．练习1．已知函数)(x f y =对任意的)22(ππ，-∈x 满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>,则（）A ．)4(2)0(πf f > B. )3(2)0(π-<f f C. )4()3(2ππf f < D. )4()3(2ππ-<-f f提示：构造函数()()cos f x g x x=，选D ．二、构造函数法解恒成立问题例1．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（）A ．()()af b bf a ∴构造函数 )()(x xf x F =，则()F x '=()()0xf x f x '+>，从而)(x F 在R 上为增函数。

a b < ∴()()F a F b < 即()()af a bf b <，故选C 。

例2．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a bf b ≤D ．()()bf b af a ≤ 【解析】x x f x F )()(=，0)()()(2'≤-='x x f x xf x F ，故xx f x F )()(=在（0，+∞）上是减函数，由b a <，有b b f a a f )()(≥，即 ()()af b bf a ≤。

故选A 。

变式 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()'()f x g x 、分别为()()f x g x 、的导函数，且满足'()()()'()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ C ）.()()()()A f x g b f b g x > .()()()()B f x g a f a g x >.()()()()C f x g x f b g b > .()()()()D f x g x f b g a >变式2. 设函数b x a x g x f b a x g x f <<'<'则当且上均可导在),()(,],[)(),( 时，有（ C ）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f <C ．)()()()(a f x g a g x f +<+D ．)()()()(b f x g b g x f +<+例3．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面不等式恒成立的是（）A ．0)(>x fB ．0)(<x fC ．x x f >)(D ．x x f <)(【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x '''+=>⇒>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．② 当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．例4．如果22(1)(1)1x x y y ++++=，那么下面的不等式恒成立的是（）A ． 0x y ==B ．0x y +=C ．0xy =D ．0x y +>【解析】构造函数2()lg(1)()f x x x x R =++∈ ，易证()f x 在R 上是奇函数且单调递增22(1)(1)1x x y y ++++=2()()lg(1)f x f y x x ∴+=+++2lg(1)y y ++ =22lg[(1)(1)]x x y y +++++=lg1 = 0()()f x f y ∴=- 即：()()f x f y ∴=-又 ()f x 是增函数 x y ∴=- 即0x y +=。