容斥原理公式

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容斥两集合公式

容斥两集合公式
我们要探讨的是容斥原理，这是一个在集合论中非常重要的原理，用于解决重叠集合的数量问题。

容斥原理的基本思想是：两个集合各自的元素个数和，减去两个集合的交集元素个数，等于两个集合的并集元素个数。

假设我们有两个集合 A 和 B。

集合 A 的元素个数为 A，集合 B 的元素个数为 B。

集合 A 和 B 的交集的元素个数为A ∩ B。

根据容斥原理，我们可以得到以下公式：
A ∪
B = A + B - A ∩ B
这个公式告诉我们如何计算两个集合的并集的元素个数，当我们知道两个集合各自的元素个数和它们的交集的元素个数时。

根据容斥原理，集合 A 和 B 的并集的元素个数为：9个。

三者容斥问题3个公式

一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。

用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。

【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。

结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。

三个对象的容斥原理公式

三个对象的容斥原理公式我们来看一下三个对象的容斥原理公式是怎样的。

对于三个集合A、B、C，容斥原理公式可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|X|表示集合X的元素个数，∪表示并集，∩表示交集。

这个公式的含义是，三个集合的并集的元素个数等于三个集合个别元素个数之和减去它们的交集个数，再加上它们的三个集合的交集个数。

在实际问题中，我们经常需要解决多集合之间的交集和并集问题。

而容斥原理可以帮助我们计算这些交集和并集的大小，从而得到最终的答案。

下面我们以一个具体的例子来说明容斥原理的应用。

假设有三个班级A、B、C，每个班级都有学生参加了数学竞赛和英语竞赛。

我们想要知道参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数。

我们可以分别计算出参加了数学竞赛的学生人数，记为|A|；参加了英语竞赛的学生人数，记为|B|；以及参加了数学竞赛和英语竞赛的学生人数，记为|C|。

然后，我们可以利用容斥原理公式计算出参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数。

根据公式，我们有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∪B|表示参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，|A∩B|表示参加了数学竞赛和英语竞赛的学生人数。

接下来，我们可以利用容斥原理公式进一步计算出参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数。

我们可以定义集合D表示参加了体育比赛的学生，那么根据容斥原理公式，我们有：|A∪B∪D| = |A∪B| + |D| - |(A∪B)∩D|其中，|A∪B∪D|表示参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数，|(A∪B)∩D|表示既参加了数学竞赛或英语竞赛，又参加了体育比赛的学生人数。

通过这样的计算，我们可以得到参加了数学竞赛或英语竞赛的学生总数，并且还参加了体育比赛的学生人数。

这个例子展示了容斥原理在计算交集和并集问题中的应用。

容斥原理

容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C详细推理如下：1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

2严格证明对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明：证明：当时，等式成立()。

假设时结论成立，则当时，所以当时，结论仍成立。

因此对任意，均可使所证等式成立。

3原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

两者容斥问题公式

两者容斥问题公式容斥原理是概率论中一个非常重要的方法，可用于解决很多事件不互斥的问题。

当事件A和事件B发生的概率有重叠部分时，容斥原理能够帮助我们计算它们共同发生的概率，即两个事件的交集。

这种计算方式被称为“容斥问题公式”。

在概率论中，容斥问题公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

这个公式解释了两个事件A和B的并集的概率与它们的交集的概率之间的关系。

具体而言，该公式告诉我们，要计算事件A和事件B的联合概率，我们需要先计算它们各自的概率，再减去它们的交集概率。

例如，假设一个国家有两家银行：A银行和B银行。

据统计，从A银行借款的人中，有20%也从B银行借了钱；而从B银行借钱的人中，也有35%同时从A银行贷款。

现在的问题是，假设有一个人从A或B银行贷了款，求这个人同时从这两家银行贷款的概率是多少？首先，我们可以先计算出这个人从A银行或B银行贷款的概率。

因为这两家银行是两个不同的事件，且它们不相互排斥，所以我们可以通过加法原理把它们的概率相加。

即P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B) = 0.5 + 0.6 - (0.5 × 0.2) = 0.84。

这表示这个人从A银行或B银行贷款的概率为84%。

接着，我们可以计算这个人同时从A和B银行贷款的概率，即它们的交集概率。

根据容斥公式，P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B) = 0.2 + 0.35 - 0.84 = 0.16。

这意味着，这个人同时从A和B银行贷款的概率为16%。

由此可见，容斥原理在概率论中的重要性。

容斥问题公式是解决事件不互斥概率计算的常见方法之一，可以应用于很多实际问题的求解，例如排列组合问题、生日悖论等。

因此，学好容斥原理对概率论、数学和计算机科学等领域的研究都具有非常重要的意义。

集合容斥公式

集合容斥公式集合容斥公式是一个通用的数学理论，它用来求解无论有多少单个集合时，它们的并集的总和。

它的概念可以用简单的语言来描述：如果你有若干集合，集合容斥公式可以帮助你计算这些集合的并集的总和。

一、定义集合容斥公式（Set Inclusion-Exclusion Formula）是一种在现代数学中常用的古老结果，也称为Möbius公式或容斥原理。

它由德国数学家August Ferdinand Möbius在1833年提出，是一种求解多个集合并集总和的简单方法。

其总体公式可以表述如下：S＝∑mₙ∑n∑i Aᵢₙ其中，S表示并集的总和，mₙ表示第n个集合的元素个数，n表示集合的总数，Aᵢₙ表示第n个集合的第i个元素。

二、应用集合容斥公式在现代数学中有很多实际应用，它主要用于解决多集合问题，如求其中某一元素出现次数问题。

一般来讲，使用它可以避免低效率的枚举法，而能够以更节省时间和空间的方式获得正确的答案。

此外，它不仅在计算机科学中广泛应用，而且在线性代数、概率论等领域也有重要作用。

三、容斥原理容斥原理的原理源于集合的相交性和可加性。

集合的可加性表明，如果有多个集合，那么他们的并集就是把各个集合的元素加起来所形成的集合。

而相交性表明，如果多个集合存在相同的元素，那么只有一个这样的元素被纳入到并集中，而不是重复计算。

因此，在计算多个集合的并集总和时，必须先求出相交的元素，然后使用容斥原理来计算总和。

关于容斥原理的具体描述如下：如果有一组集合{Ai（i = 1, 2, 3...）}，它们的并集总和可以表示为：S = A1 + A2 + A3 + ……然而，如果有一些集合存在相交的元素，那么这些重复的元素应该只计算一次，所以，可以使用容斥原理来调整计算公式：S = A1 + A2 + A3 + …… - A12 - A13 - A23 - …… + A123 + A124 + A134 + ……四、示例下面给出一个例子来说明集合容斥公式的使用。

三个对象的容斥原理公式

三个对象的容斥原理公式在数学中，容斥原理是一种用于计算交集和并集的方法。

它是一种非常有用的工具，可以帮助我们解决许多复杂的问题。

容斥原理的核心思想是通过逐步减去重复计数来计算不重复的元素数量。

在本文中，我们将介绍三个对象的容斥原理公式，并通过实例来说明其应用。

让我们来看看两个对象的容斥原理公式。

假设我们有两个集合A和B，我们想要计算A和B的并集的元素数量。

根据容斥原理的公式，我们可以得到如下计算公式：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|在这个公式中，|A|表示集合A的元素数量，|B|表示集合B的元素数量，而|A∩B|表示集合A和B的交集的元素数量。

通过这个公式，我们可以得到A和B的并集的元素数量。

接下来，我们来看看三个对象的容斥原理公式。

假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集的元素数量。

根据容斥原理的公式，我们可以得到如下计算公式：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|在这个公式中，|A|、|B|和|C|分别表示集合A、B和C的元素数量，而|A∩B|、|A∩C|和|B∩C|分别表示集合A和B的交集、集合A和C的交集以及集合B和C的交集的元素数量。

最后一个项|A∩B∩C|表示集合A、B和C的交集的元素数量。

通过这个公式，我们可以得到三个集合的并集的元素数量。

接下来，让我们通过一个实例来说明三个对象的容斥原理的应用。

假设我们有三个集合A、B和C，分别表示学生参加数学、物理和化学竞赛的人数。

我们想要计算参加至少一个竞赛的学生总数。

现在我们已经知道集合A、B和C的元素数量分别为100、120和80。

此外，我们还知道集合A和B的交集、集合A和C的交集以及集合B 和C的交集的元素数量分别为30、20和10。

最后，集合A、B和C 的交集的元素数量为5。

根据三个对象的容斥原理公式，我们可以计算并集的元素数量：|A∪B∪C| = 100 + 120 + 80 - 30 - 20 - 10 + 5 = 245因此，参加至少一个竞赛的学生总数为245人。

三者容斥问题3个公式

公务员行测容斥原理容斥原理公式为：三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3问题：某调查公司对甲乙丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲电影，47人看过乙电影，63人看过丙电影，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没看过，求只看过两部电影的人数？为什么这道题我用容斥原理去解答得到的答案是错误的，而且和上面的例题相比较，两道题几乎一样，谁能告诉我原因？就是用容斥原理去解答错误出现在什么地方公式一：若条件给出A∩B，A∩C，B∩C，A∩B∩C的值对于图中的全集I来说相当于整个图中所有部分之和，即I=A∪B∪C+D（D为非A非B非C的区域），那么这里面我们算得A∪B ∪C需要把其A、B、C中重复的区域扣除，如果我们把A,B,C加在一起，其中对于A∩B（①+②）的区域是在A,B中各参与计算一次，需要减一个A∩B，同样的道理对于A∩C（①+③），B∩C（①+④）均需要减去一个，对于重复的A∩B∩C（①）在我们把A、B、C加和时计算了三次，在减去A∩B，A∩C，B∩C均包含①区域则又减去三次，要保证没有遗漏需要在加回一次A∩B∩C，则A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

公式总结：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩CI=A∪B∪C+D=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+D公式二：若条件给出包含两种元素（②+③+④）和包含三种元素（①）的值同样的I=A∪B∪C+D，那么这里面我们算得A∪B∪C依旧需要把其A、B、C中重复的区域扣除，那么对于包含两种元素（②+③+④）的区域，②在A、B中各加一次，重复一次；③在A、C中各加一次，重复一次；④在B,C中各加一次，重复一次,均重复一次，则需整体减去一倍的包含两种元素（②+③+④），对于重复的包含三种元素（①）在我们把A.B.C加和时计算了三次，则需要减去2倍的包含三种元素（①），即A∪B∪C=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素公式总结：A∪B∪C=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素I=A∪B∪C+D=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素+D【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。

容斥原理三集合公式

容斥原理三集合公式
《容斥原理三集合公式》是一种数学原理，它可以用来计算三个集合中元素的总数。

公式是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C。

容斥原理三集合公式的应用非常广泛，可以用来解决许多复杂的数学问题。

例如，在计算三个不同集合中总共有多少个不同的元素时，可以使用容斥原理三集合公式。

容斥原理三集合公式也可以用来计算三个集合中包含的共同元素的数量。

例如，如果有三个集合A、B、C，要计算它们中有多少个共同元素，可以使用容斥原理三集合公式，即A∩B∩C。

容斥原理三集合公式是一种有效的数学工具，可以帮助我们快速解决复杂的数学问题。

它的应用范围非常广泛，可以用来计算三个集合中的元素总数和共同元素的数量。

公考容斥原理公式

公考容斥原理公式容斥原理是公务员考试中一个挺有意思的知识点。

咱们先来看看啥是容斥原理。

打个比方，咱就说学校组织活动，参加数学竞赛的有 A 个人，参加语文竞赛的有 B 个人，既参加数学又参加语文的有 C 个人。

那参加这两个竞赛的总人数咋算呢？这时候容斥原理就派上用场啦！两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。

用咱上面说的例子，参加竞赛的总人数就是参加数学竞赛的人数加上参加语文竞赛的人数，再减去两项都参加的人数。

再比如说，有一个班级，喜欢语文的同学有 20 个，喜欢数学的同学有 30 个，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个。

那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱就用 20 + 30 - 10 = 40 个。

那要是有三个集合呢？比如说参加英语竞赛的有 D 个人。

这时候的容斥原理公式就变成了：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 。

我之前给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，一直搞不清楚为啥要加上A∩B∩C 。

我就给他举了个例子，比如说咱们班组织看电影、唱歌和聚餐。

看电影的有 25 人，唱歌的有 30 人，聚餐的有20 人，既看电影又唱歌的有 10 人，既看电影又聚餐的有 8 人，既唱歌又聚餐的有 6 人，三样都参加的有 3 人。

那咱们来算算一共多少人参加了活动。

按照公式就是 25 + 30 + 20 - 10 - 8 - 6 + 3 = 54 人。

这个学生还是有点晕乎，我就给他画了个大大的图，把看电影、唱歌、聚餐的区域标出来，然后一点点给他解释，哪些地方被重复计算了，哪些地方被漏掉了。

最后这学生恍然大悟，还跟我说：“老师，我这下可算搞明白了！”其实啊，容斥原理在公考中经常出现，而且形式多样。

可能是人员参加活动，可能是商品的选购，还可能是各种不同条件的组合。

比如说有一道题，一个公司里会编程的有 50 人，会设计的有 40 人，两种都会的有 20 人，问至少会一种的有多少人。

三者容斥问题3个公式

容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

核心公式：
（1）两个集合的容斥关系公式：
A＋B＝A∪B＋A∩B
（2）三个集合的容斥关系公式：
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
原理一
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B = A+B - A∩B)
原理二
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A 类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B 类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个
数。

（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

容斥原理公式

容斥原理公式
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C 这个公式里的 A∪B∪C 迷糊 .
最重要的是可不可以给我多举几个例子说明一下啊?
优质解析
∪并集（比如集合A有1 3 5 7集合B有1 2 3 4 A并B为1 2 3 4 57）
∩交集（ A交 B为 13）
三个圆为 ABC
A∪B∪C为总面积
A∩B＋B∩C＋C∩A 为灰色面积
A∩B∩C为最中间面积
其实就是三个圆的总面积（不重叠的圆的总面积）
其他类似问题
容斥原理公式 A ＋ B＋ C＝ A ∪ B∪ C＋ A ∩B＋ B∩C＋ C∩A － A ∩B∩C 这个公式里的 A ∪ B∪ C 迷糊 .最重要的是可不可以给我多举几个例子说明一下啊?
容斥原理的公式（ 1） A ＋ B＋ C＝ A ∪ B∪ C＋ A ∩B＋ B∩C＋C∩A － A ∩B∩C 这个公式里的A ∪B∪C 迷糊 .
关于公考里容斥原理问题的疑惑昨天下午在复习容斥原理,这部分一直是搞的不太清楚的地方.A
∪ B∪ C = A+B+C - A ∩B - B∩C - C∩A + A ∩B∩C, 这个是大家都熟知的容斥原理公式 ,很多
题
1 、已知│ x+1 │+ （ y+2y ）∧2=0, 则 x∧y=
02 │的最小值是（）3、设x,y,a都是整数数 a,b,c 均不为 0,且 a+b+（） 2 、已知 a 是有理
数 ,│x│=1-a, │y│=2+2a-a
,则│a-2001
∧2,则 a= （
│+ │a-20
） 4、有理
线性代数一个初级行列式题今天做作业时候遇见个题是这样。

容斥原理三集合公式非标准型

容斥原理三集合公式非标准型
容斥原理是一种求解问题或统计概率的计算机算法，它由拉格朗日在1713年发现，它概括了一种可以将统计问题统一分解为多个无关的子问题，而且每个子问题又可以非常自然地转化为其它与其无关的子问题的方法。

容斥原理三集合公式非标准型，即当一个问题涉及三个集合时，它使用的容斥原理公式为：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)
其中，P(A)、P(B)和P(C)分别代表三集合A、B和C的概率值，P(A∩B)、P(A∩C)和P(B∩C)分别代表A与B交集的概率值，同理，P(A∩B∩C)代表三集合A、B和C的交集的概率值。

- 1 -。

容斥极值公式

容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。

1、区域出现重叠。

2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。

二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。

三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。

3、应用
【例1】某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？
A.165
B.203
C.267
D.199
【答案】C。

读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。

而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

三个集合的容斥原理公式

三个集合的容斥原理公式容斥原理是概率论和组合数学中的一种重要方法，用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。

它通过减去重复计算的部分来得到准确的结果。

假设有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的交集和并集的元素个数。

容斥原理告诉我们，可以通过如下的公式来计算：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|这个公式看起来可能有些复杂，下面我将逐步解释每一部分的含义。

|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|C|表示集合C的元素个数。

这是最基本的计算方法，没有什么特殊之处。

接下来，|A∩B|表示集合A和集合B的交集的元素个数，|A∩C|表示集合A和集合C的交集的元素个数，|B∩C|表示集合B和集合C 的交集的元素个数。

这些交集的元素个数需要减去，因为它们被重复计算了。

|A∩B∩C|表示集合A、B和C的交集的元素个数。

这个交集的元素个数需要加上，因为它在前面的计算中被减去了两次。

通过这个公式，我们可以准确地计算三个集合的交集和并集的元素个数，而不会出现重复计算的情况。

这在概率论和组合数学中是非常有用的。

举个例子来说明容斥原理的应用。

假设有一个班级，有60个学生，其中30个学生会打篮球，40个学生会踢足球，50个学生会打乒乓球。

我们希望知道至少会其中一项运动的学生有多少人。

根据容斥原理，我们可以先计算每个运动的人数，然后减去重复计算的部分。

首先，篮球和足球的交集是20个人，篮球和乒乓球的交集是10个人，足球和乒乓球的交集是10个人，篮球、足球和乒乓球的交集是10个人。

所以，至少会其中一项运动的学生有30 + 40 + 50 - 20 - 10 - 10 + 10 = 90个人。

通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理的计算方法和应用。

它可以帮助我们准确地计算多个集合的交集和并集的元素个数，避免重复计算的问题。

总结一下，容斥原理是计算多个集合的交集和并集的元素个数的一种方法。

容斥标准公式和非标准公式

容斥标准公式和非标准公式容斥原理是概率论中一种常用的计算技巧，用于计算多个事件的概率。

它可以帮助我们解决涉及多个事件同时发生或不发生的问题。

容斥原理包括容斥原理的标准公式和非标准公式两种形式。

首先，我们来介绍容斥原理的标准公式。

假设有n个事件A1，A2，...，An，我们想要计算它们至少有一个事件发生的概率。

容斥原理告诉我们可以通过对各个事件的概率求和，然后减去两两事件的交集的概率之和，再加上三个事件的交集的概率之和，以此类推，最后得到的就是至少有一个事件发生的概率。

具体地，标准公式可以表示为：P(A1∪A2∪...∪An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) - P(A1∩A2) - P(A1∩A3) - ... - P(An-1∩An) + P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + ... + (-1)^(n-1) * P(A1∩A2∩...∩An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(Ai∩Aj)表示事件Ai和Aj同时发生的概率，P(A1∩A2∩...∩An)表示所有事件同时发生的概率。

除了标准公式，容斥原理还有一种特殊情况下的非标准公式。

当我们想要计算至少有k个事件同时发生的概率时，可以采用非标准公式。

非标准公式可以表示为：P(A1∩A2∩...∩Ak) = P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak) - P(A1∩A2) - P(A1∩A3) - ... -P(Ak-1∩Ak) + P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + ... + (-1)^(k-1) * P(A1∩A2∩...∩Ak)非标准公式的计算方式与标准公式类似，只不过在求和时只考虑k个事件的交集。

容斥原理的标准公式和非标准公式为我们解决复杂的概率问题提供了一个有力的工具。

通过正确应用这些公式，我们能够准确计算多个事件同时发生或不发生的概率，从而更好地分析和理解各种概率情境。