自动控制(西南科大)第七章 非线性系统理论
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自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
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4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
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7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
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第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
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2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
自动控制原理第7章_非线性控制系统
7.2 相平面法
1. 基本概念 2. 相平面图的绘制 3. 线性系统的相轨迹 4. 非线性系统的相平面分析
7.2 相平面法
1. 基本概念 相平面法是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 1) 相平面图 f ( x, x ) 0 x 二阶系统的数学描述 ，得下列一阶微分方程组 设x1=x，x2= x
非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的
系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系 统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
7.1 概述
2. 典型的非线性特性
1) 饱和特性
2) 死区特性
3) 间隙特性(滞环特性)
4) 变放大系数特性
5) 继电器特性
7.1 概述
1) 饱和特性
x(t) k 0 a e(t)
数学表达式
ke(t ) x(t ) ka signe(t )
1 signe(t ) 1 不定
e(t ) a e(t ) a
-a
符号函数(开关函数)
e(t ) 0 e(t ) 0 e(t ) 0
图 7.2 饱和特性
a – 线性域宽度 k – 线性域斜率
(d)半稳定极限环
(a) 可通过实验观察到。设计时应尽量减少极限环 的大小，以满足系统的稳态误差要求。
(b) 不能通过实验观察到。设计时应尽量增大极限 环的大小，以扩大系统的稳定域。
(c)、(d)不能通过实验观察到。(c)不稳定。(d)稳 定，但过渡过程时间将由于极限环的存在而增加。
7.2 相平面法
单输入-单输出的线性定常系 统
现代控制理论（20世纪50 年代后）
可以是比较复杂的系统
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
西安科技大学自动控制原理教学同步教程-第七章资料
输出随输入线性变化。
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏。
(4) 继电器特性
理想继电器
y(t)
x(t)
具有滞环的继电器
具有死区的单值继电器
y(t) y(t)
x(t)
x(t) y(t)
x(t) 具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
(2)饱和特性
kx(t)
x(t) a
y(t)
y(t) ka sgn x(t) x(t) a
•放大器的饱和输出特性 •磁饱和 •元件的行程限制 •功率限制等。
x(t)
特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信 号变化而保持恒定。
(3)间隙特性
k(x D)
y
k
(x
D)
y0
当x 0,且y k(x D)
0
Yn An2 Bn2
（斜对称）
Bn
1
2
y(t)sin ntd(t)
0
n
arctan
An Bn
直流分量：A0 0
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1) Y1 A12 B12
1
arctan
A1 B1
稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比：
对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中 不可能产生稳定的自持振荡。
（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
3．非线性系统的研究方法
• 基本的非线性系统研究方法 • 小范围线性近似法 • 逐段线性近似法 • 相平面法 • 相平面法是非线性系统的图解法，只适用于阶数最高为二
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏。
(4) 继电器特性
理想继电器
y(t)
x(t)
具有滞环的继电器
具有死区的单值继电器
y(t) y(t)
x(t)
x(t) y(t)
x(t) 具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
(2)饱和特性
kx(t)
x(t) a
y(t)
y(t) ka sgn x(t) x(t) a
•放大器的饱和输出特性 •磁饱和 •元件的行程限制 •功率限制等。
x(t)
特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信 号变化而保持恒定。
(3)间隙特性
k(x D)
y
k
(x
D)
y0
当x 0,且y k(x D)
0
Yn An2 Bn2
（斜对称）
Bn
1
2
y(t)sin ntd(t)
0
n
arctan
An Bn
直流分量：A0 0
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1) Y1 A12 B12
1
arctan
A1 B1
稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比：
对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中 不可能产生稳定的自持振荡。
（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
3．非线性系统的研究方法
• 基本的非线性系统研究方法 • 小范围线性近似法 • 逐段线性近似法 • 相平面法 • 相平面法是非线性系统的图解法，只适用于阶数最高为二
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
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EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
自动控制理论第七章 非线性系统
-a
常见于齿轮传动机构、铁磁 元件的磁滞现象。可使系统 的稳态误差增大，也使系统 的动态特性变差。
4、继电器特性
y b -a -ma 0 ma -b a x
继电器特性中包含了死区、 回环和饱和特性，因此对 系统的稳态性能、暂态性 能和稳定性都有不利影响。
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法 2、描述函数法 时域方法 频域方法
谐波，用基波分量表示其输出。 描述函数法主要用于分析非线性系统稳定性、自 振荡特性及消除自振荡的方法。虽然是一种近似方 法,但对常见实际非线性系统而言,分析结果基本满 足工程需要,在非线性系统分析及设计中得到了广泛 应用。
r
＋
e
G1 ( S )
x
y
N
G2 (S )
C
C
设非线性环节的输入为：
x(t ) X sin t
其输出的稳定分量y是与x同周期的非正弦周 期信号，可用傅氏级数表示：
y
式中
A0 ( An cos nt B n sin nt )
n 1
A0 Y n sin(nt n)
n 1
An y (t ) cos nt d (t )
借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。 例1：有死区继电器非线性的系统框图如下
二、非线性系统的相平 面分析
r 常数
＋
e
1 -1 1
系统线性部分的传递函数 G ( S )
1 ，该二阶系统的无 S ( S 1)
s 阻尼自然振荡角频率 n 1rad /，阻尼比 0.5，根据 前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。
1 N(X )
第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
•
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
自动控制原理第七章
自持振荡问题 根据以前的分析可知，线性系统可能会 包含二阶振荡环节，但是，由于信号或功率 在传递过程中必然出现损耗，实际工程中绝 对不存在无阻尼情况。但在非线性系统中， 即使没有外部作用，系统也有可能产生一定 频率和振幅的周期运动。并且当系统受到扰 动后，运动仍能保持原来的频率和振幅，因 此这种周期运动具有稳定性。非线性系统出 现的这种周期运动称为自持振荡。
第七章
非线性控制系统的 分析方法
本章目录
第一节 非线性控制系统概念 第二节 描述函数法 第三节 非线性系统的描述函数法分析 第四节 改善非线性系统性能的方法 第五节 相平面分析法 第六节 非线性系统的相平面分析 本章小结
在自动控制系统中，如有一个或一个以 上的环节具有非线性特性时，该自动控制系 统就称为非线性控制系统。 所谓非线性环节就是指环节的输入和输 出之间的静特性不是线性的。 在本章中，我们将讨论非线性控制系统 的分析方法。
稳定性问题 对于线性系统，若它一个平衡状态是稳 定的，可以推出其所有的平衡状态都有是稳 定的。而对于非线性系统，它的某些平衡状 态可能是稳定的，但另外一些平衡状态却可 能是不稳定的。 线性系统的稳定性只与系统的结构形式 和参数有关，而与外作用及初始条件无关。 非线性系统的稳定性不但与系统的结构形式 和参数有关，还与外作用及初始条件有关。
y B
-c
0 c x
-B
图7-05 间隙非线性
三、非线性控制系统的特殊性
叠加原理不能应用于非线性控制系统 对于线性系统，描述其运动的数学模型 是线性微分方程，因此可以应用叠加原理， 进一步还可引入传递函数、频率特性、根轨 迹等概念。由于线性系统的运动特征与输入 的大小及初始状态无关，通常可在典型输入 函数和零初始条件下对系统进行分析。但对 于非线性系统，则不能应用叠加原理，因此 也就不能应用上述概念和方法对其运行状态 进行分析。
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
自动控制原理第七章
特点
常见于放大器中，在大信 号作用下，放大倍数小，因而 降低了稳态精度。
a
k
K
0
a
e
4
2、死区特性
0 e(t ) a
x
a
0
k
x
k e (t ) a k e (t ) a
e(t ) > a e (t ) < a
a
e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系 统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。
0 A
a
1 N ( A)
（2）交点 b
外界干扰 外界干扰
G ( j )
A↑ A↓
该交点产生自持振荡
24
总结
G ( j ) 1 N ( A)
A b
Im
Re
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im N ( A)
G ( j ) 1 N ( A)
1 N ( A) 1 2
Im
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im 0 N ( A)
Re
A 1
0
28
G ( j )
令
Im G ( j ) 0
0 .3 K 4 .5
50 rad / s
G(jw)与负实轴 相交处的幅值
R e G ( j )
50
系统临界稳定
0 .3 K c 4 .5
1 2
K c 7 .5
西南交大汪晓宁版《自动控制原理》 自控第七章
1 X j X j ns T n 1 故采样信号的频谱为 X j X j ns T k
采样角频率 的周期函数
8
第七章 采样控制系统
当 s 2max 时，上式中和的模等于模的和，此时
1 X j T
对上式取拉氏变换，并应用复数位移定理
1 X s Lx t L x t e jn st T n 1 1 X s jn s X s jn s T n T n
若X*(s)的极点都位于s左半平面，则
Digital Computer
D/A Converter
Hold Circuit
Actuator
Plant
Clock
Transductor
4
第七章 采样控制系统
• 数控铣床
Input data Reader Digital Computer D/A Sequential control signal Hold Amp Motor Milling machine
k 0
t kT
k 0
n
Cn e jnst
t 0
其中
1 1 jn t 2 jn t s , Cn 2T T t e s e s T 2 T T
T
1 T
7
第七章 采样控制系统
所以
1 x t xt T t xt e jnst T k
Y z G z X z
故脉冲传递函数定义为： 在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号 z变换与离散输入信号z变换之比
采样角频率 的周期函数
8
第七章 采样控制系统
当 s 2max 时，上式中和的模等于模的和，此时
1 X j T
对上式取拉氏变换，并应用复数位移定理
1 X s Lx t L x t e jn st T n 1 1 X s jn s X s jn s T n T n
若X*(s)的极点都位于s左半平面，则
Digital Computer
D/A Converter
Hold Circuit
Actuator
Plant
Clock
Transductor
4
第七章 采样控制系统
• 数控铣床
Input data Reader Digital Computer D/A Sequential control signal Hold Amp Motor Milling machine
k 0
t kT
k 0
n
Cn e jnst
t 0
其中
1 1 jn t 2 jn t s , Cn 2T T t e s e s T 2 T T
T
1 T
7
第七章 采样控制系统
所以
1 x t xt T t xt e jnst T k
Y z G z X z
故脉冲传递函数定义为： 在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号 z变换与离散输入信号z变换之比
自动控制原理-第七章 非线性系统分析
p p p ( x1 , x 2 ) ( x1 x 10 ) ( x 2 x 20 ) x1 x 2 Q ( x , x ) Q ( x x ) Q ( x x ) 1 2 1 10 2 20 x1 x 2
p ( x1 , x 2 ) a ( x1 x10 ) b( x 2 x 20 ) Q( x1 , x 2 ) c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
c 区域： a Tc c k m
c k m c 1 （k m c) T T ct 0 由奇点定义： k m c 0 c 常数 c k m 1 k m c dc T dc c 区域： c 常数 奇线： c k m
§7-4
奇点及极限环
dx 0 奇点概念：相轨迹上满足 dx 0 不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于 平衡状态 一 奇点分类：(线性系统)
2 2 n x n x 0 x 2 2 n x n x x dx 2 x dx 2 n x n x dt (*) 相轨迹方程 dx x dx x dt
介绍：典型非线性特性、相平面法、描述 函数法
§7-1引言
稳定性 1．线性系统与非线性系统区别： 输出曲线 等幅振荡 稳态输出
2．非线性特性（典型） 1）死区
0 x a y k ( x a ) x a k ( x a ) x a
0 = k ( x aSignx)
x1 a ( x1 x 10 ) b( x 2 x 20 ) x 2 c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
第7章 非线性系统分析
1 2
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
自动控制原理第七章非线性系统分析
02
非线性系统的分析方法
相平面法
相平面法是一种通过绘制系统的 相图来分析非线性系统的动态行
为的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在 二维平面上，显示系统的平衡状 态、周期运动和混沌运动等不同
状态。
相平面法可以用于分析非线性系 统的稳定性、分岔和混沌等现象。
描述函数法
描述函数法是一种通过引入描 述函数来分析非线性系统的频 率特性的方法。
滑模控制是一种变结构控制方法，通过设计滑模面和滑模控制器，使 得系统状态在滑模面上滑动，以达到控制系统的目的。
非线性系统的设计方法
相平面法
通过分析非线性系统的相轨迹，了解系统的动态行为，并 设计适当的控制器来控制系统状态。
描述函数法
通过分析非线性系统的频率特性，了解系统的动态行为， 并设计适当的控制器来控制系统状态。
它通过将非线性系统近似为线 性系统，并利用频率响应函数 来描述系统的频率特性。
描述函数法可以用于分析非线 性系统的谐振、倍周期分岔等 现象。
逆系统法
逆系统法是一种通过构建逆系统来补偿非线性系 统的非线性特性的方法。
它通过设计一个逆系统来抵消原系统的非线性， 从而将非线性系统转化为线性系统进行处理。
根轨迹法
根轨迹法是通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性，根轨迹是指系统的极点随参数变化而变化 的轨迹。
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是判断线性系统稳定性的重要方法之一，其基本思想是通过 计算系统的极点，判断极点是否位于复平面的左半部分。
劳斯稳定判据的优点是简单易行，适用于多变量系统，可以同时考虑系统 的所有极点。
03
非线性系统的稳定性分析
定义与特点
定义
非线性系统的稳定性是指系统在受到 扰动后，能否恢复到原来的平衡状态 。
第7章非线性控制系统分析
非线性系统中出现多个非线性环节时，不能简单地按 照线性环节的串、并联求取总的描述函数，而必须根 据具体情况来求取。
但当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处
理。在实际系统中，有时还人为地引入饱和特性，以便对控制信号
进行限2幅019，/6/保16 证系统或元件第在7章额非定线性或控制安系全统分情析 况下运行。
6
2. 死区特性 其数学表达式为
0
x a
y k(x asign(x)) x a
17
3. 系统的线性部分G(s)具有良好的低通滤波特性。这样， 非线性环节正弦输入下的输出中，本来幅值相对不大的那些 高次谐波分量将被大大削弱。因此，可以近似地认为在闭环 通道内只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分 析结果才比较准确。对于实际的非线性系统来说，由于G(s) 通常具有低通特性，因此这个条件是满足的。
2019/6/16
第7章 非线性控制系统分析
7
3. 滞环特性
又称间隙特性， 其数学表达式为
k(x asign(x)) y 0
y b sign(x)
y 0
这类特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在 输入——输出曲线上出现闭合环路。滞环特性表示，当输入
信号小于间隙a时，输出为零。只有当x>a后，输出随输入而
第7章自动控制原理教程自动控制原理教程201515第7章非线性控制系统分析1非线性控制系统分析非线性控制系统分析主要内容描述函数的基本概念和应用条件以及典型非线性环节的描述函数的描述函数相平面图的基本概念以及非线性系统的典型相平面图如何运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数如何运用描述函数法分析非线性系统的稳定性如何运用相平面法分析非线性系统的动态响应201515第7章非线性控制系统分析271非线性控制系统的基本概念和特点72描述函数法73相平面法73相平面法201515第7章非线性控制系统分析374用matlab进行非线性控制系统分析小结7
但当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处
理。在实际系统中，有时还人为地引入饱和特性，以便对控制信号
进行限2幅019，/6/保16 证系统或元件第在7章额非定线性或控制安系全统分情析 况下运行。
6
2. 死区特性 其数学表达式为
0
x a
y k(x asign(x)) x a
17
3. 系统的线性部分G(s)具有良好的低通滤波特性。这样， 非线性环节正弦输入下的输出中，本来幅值相对不大的那些 高次谐波分量将被大大削弱。因此，可以近似地认为在闭环 通道内只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分 析结果才比较准确。对于实际的非线性系统来说，由于G(s) 通常具有低通特性，因此这个条件是满足的。
2019/6/16
第7章 非线性控制系统分析
7
3. 滞环特性
又称间隙特性， 其数学表达式为
k(x asign(x)) y 0
y b sign(x)
y 0
这类特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在 输入——输出曲线上出现闭合环路。滞环特性表示，当输入
信号小于间隙a时，输出为零。只有当x>a后，输出随输入而
第7章自动控制原理教程自动控制原理教程201515第7章非线性控制系统分析1非线性控制系统分析非线性控制系统分析主要内容描述函数的基本概念和应用条件以及典型非线性环节的描述函数的描述函数相平面图的基本概念以及非线性系统的典型相平面图如何运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数如何运用描述函数法分析非线性系统的稳定性如何运用相平面法分析非线性系统的动态响应201515第7章非线性控制系统分析271非线性控制系统的基本概念和特点72描述函数法73相平面法73相平面法201515第7章非线性控制系统分析374用matlab进行非线性控制系统分析小结7
自动控制原理课程第7章-非线性系统分析
有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其
特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
y
b
a
k
0 a
x
bsign. y y K ( x asign y )
y0 y0
-b
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的稳 定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
M y M
（2）死区继电器特性
x0 x0
M y 0 M
x a x a xa
（3）回环继电器特性
x＜a M M x＞a y x＜－a M x＜－a M
（4）死区加回环继电器特性
0 M M y 0 M M a1 x a2 x a2 x a1 a2 x a1 x a1 x a2
7.3.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为：
f ( x, x ) 0 x
若令 x1 x, x2 x
则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
0 x
0 x
0 x
0 x
7.3 相平面分析法 相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种求 解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、准
确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初始
状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法适 用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特定 的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、极 限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。
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2M
h X sin 1 mh X sin( 2 )
N(X )
2M mh 2 h 2 Mh [ 1 ( ) 1 ( )2 ] j ( m 1), X h 2 X X X X
7.4 描述函数分析法
典型结构
N(X)
G(jω)
7.1 7.2 7.3
•闭环特征方程为：1+N(X)G(jω)=0 稳定性分析 N(X)G(jω)=-1,等幅振荡。 G(jω)包围-1/N(X), 系统不 稳定，否则稳定。 -1/N(X)被称为负倒描述函数 。
K ( X b) costdt
4 Kb b ( 1) X 2 /2 B1 ( K ( X sint b) sintdt
11
K ( X sint b) costdt )
0
1
/2
K ( X b) sintdt
第七章 非线性系统理论
7.1 非线性系统问题概述 7.2 常见非线性因素对系统影响 7.3 描 述 函 数 7.4 描述函数分析法
本章作业
End
7.1 非线性系统问题概述
7.2
7.3
7.4
何谓非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性 静特性的元件，即称为非线性系统。
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有 关外，还与起始偏差的大小有关 。 统的响应形式与输入信号的大 小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入 时，非线性系统完全可能产生具有 固定周期和幅值的稳定振荡过程。
Hale Waihona Puke 1K ( X sint b) sintdt )
继电特性描述函数
t 1 0, 0 y M , 1 t 2 0, 2 t
A1
1
Ka sintdt )
a a a 2 [arcsin 1 ( ) ] X X X
2 KX
a a a 2 N(X ) [arcsin 1 ( ) ] X X X
2K
A0 0
间隙特性描述函数
2 /2 A1 ( K ( X sint b) costdt 0
死区特性描述函数
y K ( x ) K ( X sint )
A0 0, A1 0
B1
4
/2
1
K ( X sint ) sintdt
/2 4 /2 2 ( KX sin tdt K sintdt ) 1 1 /2 4 KX / 2 [ (1 cos 2t )dt K sintdt ] 1 1 2
KX 2b 2b b b [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] 2 X X X X K 2b 2b b b 4 Kb b N ( X ) [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] j ( 1) 2 X X X X X X
7.2 常见非线性因素对系统的影响
7.1 7.3 7.4
不灵敏区（死区特性） 饱和特性 间隙特性 继电特性 摩擦特性
7.3 描述函数
7.1 7.2 7.4
描述函数的定义 x( t ) X sint , y ( t ) A0 ( An cosnt Bn sinnt )
1 arcsin X
X sin 1
2 cos 1 1 ( ) X
4 KX 1 /2 /2 [ (t sin2t ) K ( cos t ) 1 ] 1 2 2 2 KX 1 2 [( 1 sin2 1 ) (cos 1 )] 2 2 X 2 KX 2 [ arcsin 1 ( ) ] 2 X X X 2K N(X ) [ arcsin 1 ( )2 ] 2 X X X
y(t ) y 1 (t ) A1 cost B1 sint Y1 sin( t 1 )
Y1 N(X ) 1 X A12 B12 X A1 B1 A1 arctg j B1 X X
N(X)
G(jω)
n 0
应用限制条件 • 输入输出特性奇对称，即 y(x)=-y(-x), A0=0。 • 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 • 结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。 典型环节描述函数 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性
B1
2
2
1
M costdt
2 Mh ( m 1) X
2M
2
2
1
(si n 2 si n 1 )
M si ntdt
2M
( cos 2 cos 1 )
mh 2 h [ 1 ( ) 1 ( )2 ] X X
1 /2
t / 2 K ( X sint b), 0 y K ( X b), / 2 t 1 K ( X sint b), 1 t
饱和特性描述函数
t 1 KX sint , 0 y Ka , t 1 2
A0 0, A1 0
B1 4
( KX sin tdt
2 0
1
/2