垂直平分线定义性质与判定
线垂直平分线的判定
线垂直平分线的判定线垂直平分线是几何学中的一个重要概念，用于描述一个线段被等分成两等分的直线，且这条直线与线段垂直。
在本文中，我们将深入探讨线垂直平分线的定义、性质和判定方法。
我们将从简单的概念入手，逐渐深入探讨该主题的更复杂和有趣的方面。
1. 线垂直平分线的定义线垂直平分线是指一个直线将线段等分，且与线段垂直。
具体而言，对于一个线段AB，如果存在一条直线CD，使得CD将AB分为两等分，并且CD与AB垂直，则CD就是线段AB的垂直平分线。
线垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以在几何证明中起到重要的作用。
2. 线垂直平分线的性质线垂直平分线具有一些重要的性质，这些性质使得它成为几何学中的一个重要工具：- 线垂直平分线平分线段：线垂直平分线将线段分成两个相等的部分，因此线段的两个端点到线垂直平分线的距离相等。
- 线垂直平分线垂直于线段：线垂直平分线与线段垂直，这意味着线垂直平分线所形成的两个角是直角。
- 线垂直平分线唯一性：对于给定的线段，存在唯一一条垂直平分线。
这是由线垂直平分线的定义所决定的。
如果有两条直线同时满足平分线和垂直线的条件，那么这两条直线将重合。
3. 线垂直平分线的判定方法线垂直平分线的判定方法有多种，我们将介绍两种常见的方法：- 利用垂直线段的性质：如果两条线段长度相等且垂直相交，那么它们的中垂线就是垂直平分线。
- 利用角的平分线的性质：如果两条边相等的角的平分线也相等，则该平分线是垂直平分线。
4. 个人观点和理解线垂直平分线作为几何学中的一个重要概念，对于解决几何问题和证明定理起到至关重要的作用。
它不仅可以帮助我们确定线段的中点，还可以与其他几何概念相结合，拓展我们的几何思维能力。
在解决实际问题时，线垂直平分线的概念也具有一定的应用价值，例如在建筑、地理测量等领域中，它可以帮助我们确保某些结构或地理位置的垂直平均。
深入理解线垂直平分线的概念对于我们的学习和应用都是十分重要的。
时线段的垂直平分线的性质与判定课件
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
2.加强直观演示，利用教具、多媒体等教学手段，帮助学生形象地理解线段垂直平分线的性质和判定定理。
3.引导学生主动参与课堂，鼓励学生提问、发表见解，培养学生的自主学习能力和思考习惯。
4.拓展课堂练习，设计具有梯度、挑战性的习题，使学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过实际操作、观察和分析，引导学生发现线段垂直平分线的性质和判定定理。
-教师可以组织学生进行小组讨论、合作探究，通过观察线段垂直平分线的实例，引导学生发现性质和判定定理。
-学生在自主探究过程中，培养观察、分析、总结的能力。
2.运用数形结合的方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
5.练习巩固，拓展提高。
-设计形式多样的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
-通过练习，让学生在巩固知识的同时，提高解决问题的能力，拓展思维深度和广度。
6.反馈评价，总结反思。
-教学结束后，组织学生进行自我评价和同伴评价，反思学习过程中的收获和不足。
-教师根据学生的反馈，进行教学反思，调整教学策略，以促进教学效果的提升。
-学生可以通过写学习心得、画思维导图等方式，对自己的学习进行梳理和总结。
6.预习任务：
-布置下一节课的预习任务，让学生提前了解下节课将要学习的内容，为课堂学习做好准备。
2.提高题：设置一些有一定难度的题目，让学生在小组内合作完成，培养学生的团队协作能力。
3.拓展题：设计一些富有挑战性的题目，激发学生的思维潜能，提高学生的创新能力。
（五）总结归纳
1.学生总结：教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结线段垂直平分线的性质和判定定理。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案一、教学目标知识与技能：1. 理解垂直平分线的定义。
2. 掌握垂直平分线的性质与判定方法。
3. 能够运用垂直平分线的性质与判定解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生直观思维能力。
2. 利用几何画板或实物模型，引导学生探索垂直平分线的性质与判定。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队合作精神，鼓励学生在探究过程中互相交流、合作。
2. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识。
二、教学重点与难点重点：1. 垂直平分线的定义。
2. 垂直平分线的性质与判定方法。
难点：1. 垂直平分线的性质与判定在实际问题中的应用。
三、教学准备教师准备：1. 几何画板或实物模型。
2. 教学PPT或黑板。
3. 练习题。
学生准备：1. 笔记本。
2. 尺子、圆规、橡皮擦等学习工具。
四、教学过程1. 导入：利用一个实际问题引入垂直平分线的概念，例如：“在平面直角坐标系中，如何找到一点，使得该点到两点距离相等？”2. 探究垂直平分线的性质：学生分组讨论，每组尝试找出一条线段的垂直平分线，并观察其性质。
教师引导学生总结出垂直平分线的性质。
3. 验证垂直平分线的性质：利用几何画板或实物模型，教师引导学生验证垂直平分线的性质。
4. 学习垂直平分线的判定方法：教师引导学生从特殊情况入手，探索垂直平分线的判定方法。
学生分组讨论，总结出判定方法。
5. 应用垂直平分线的性质与判定：教师设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题。
五、课后作业1. 完成练习题。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足，针对不足之处提出改进措施，以提高教学效果。
关注学生的学习情况，了解学生在垂直平分线性质与判定方面的掌握程度，为后续教学提供参考。
六、教学拓展1. 引导学生思考：垂直平分线在实际生活中的应用，例如电线杆的竖直放置、地图上的距离测量等。
2. 介绍垂直平分线的几何意义，如线段的中垂线、角平分线等。
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质
性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等等。
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的
距离相等。
4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。
若图形（这个图形可以是直线的、折线的、曲线的）关于某条直线对称，这条轴就称
为对称轴。
以五角星为例，它有五条对称轴。
垂直平分线是存在某条线段时才会有这个概念。
它的定义是经过某一条线段的中点，
并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
它有一定的局限性。
轴对称图形的对称轴是对称图形中任意两个对应点连线段的垂直平分线。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
三角形的角平分线与垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。
线段的垂直平分线1性质定理与判定定理
′
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?
驶向胜利 的彼岸
我能行 1
逆定理
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
如图, ∵PA=PB(已知),
M P
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
开启 智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
Байду номын сангаас
距离相等. 如图,
M P
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任
意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距离
C
B
相等).
N
驶向胜利 的彼岸
思
你能写出它的逆命题吗?
考 分
析 定理 线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点距离相等.
A
C
B
N
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 1
挑战自我
如图,已知AB是线段CD的垂直平 分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600,那 么∠EDC= 60 0.
C
AE
B
D
驶向胜利 的彼岸
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。
性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。
第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。
判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。
2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。
方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。
第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。
3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。
3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。
第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。
4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。
4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。
第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。
5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 导入：引入线段的垂直平分线的概念，让学生直观地了解垂直平分线的作用和意义。
1.2 教学内容：1.2.1 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直平分线是线段上一点到线段两端点的距离相等的直线。
1.2.2 垂直平分线的性质：引导学生探究垂直平分线的性质，如垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，垂直平分线与线段垂直相交等。
1.3 教学活动：1.3.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线概念的理解。
1.3.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的性质，并找出相关的证据和证明方法。
1.4 作业布置：布置一些有关垂直平分线性质的练习题，巩固所学知识。
第二章：垂直平分线的判定2.1 教学内容：2.1.1 垂直平分线的判定方法：介绍垂直平分线的判定方法，即如果一条直线垂直平分一条线段，则该直线满足一定的条件。
2.1.2 判定条件的应用：引导学生理解和掌握判定条件，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学活动：2.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线判定方法的理解。
2.2.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的判定条件的应用，并找出相关的证据和证明方法。
2.3 作业布置：布置一些有关垂直平分线判定的练习题，巩固所学知识。
第三章：垂直平分线的性质与判定综合应用3.1 教学内容：3.1.1 综合应用：引导学生将垂直平分线的性质与判定方法综合运用到实际问题中，解决一些与垂直平分线相关的问题。
3.1.2 问题解决：让学生尝试解决一些与垂直平分线相关的问题，如寻找线段的垂直平分线、判断直线是否为线段的垂直平分线等。
3.2 教学活动：3.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，理解综合应用的意义和方法。
3.2.2 小组讨论：让学生分组讨论如何综合运用垂直平分线的性质与判定方法解决实际问题，并找出相关的证据和证明方法。
垂直平分线知识点
垂直平分线知识点
垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。
以下是垂直平分线的一些知识点：
1.性质：垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
2.判定：如果直线过线段中点，并且垂直于这条线段，那么这条直线就是这条线段的垂直平分线。
3.三角形中的垂直平分线：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
4.与对称轴的关系：如果一个图形关于某一直线对称，那么这个直线就是对应点连线的垂直平分线。
总之，垂直平分线是数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法，并且在三角形等图形问题中有着广泛的应用。
垂直平分线定义性质和判定
l是AB的垂直平分线,观察P1A和
P3
P1B,P2A和P2B,P3A和P3B之间
P2
的关系？
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线,
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
相等的点,在这条线段的垂直 平分线上.
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等〔性质
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P 与一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平 分线上〔判定
这个点在这条线段 的垂直平分线上
A
C
பைடு நூலகம்
B
P33页21题
习题1.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直 平分线上,AB,AC,CE的长度有什么关系？ AB+BD与DE有什么关系？
A
B
∵m是AB的垂直平分线,P在m上
结∴∴∠P论OAO⊥：PA=线B∠,A段BOO=垂PB=O9直0°平分线上的点与这条线段
O
在△APO两和个△B端PO点中,的距离相等．
PO=PO
∠AOP= ∠BOP
AO=BO
∴ △APO≌△BPO <SAS>
∴ PA=PB.
1、因为AD为BC的中垂线,所以AB＝A.C 理由： 线段垂直平分线上的点与这条 B
AB的垂直平分线,连接AE,∠CAE：
∠DAE=1：2,求∠B的度数.
C
线段垂直平分线性质和判定的应用
∵P是线段AB垂直平分线上的点， ∴PA=PB
依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
学练互助一 1
1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有AB垂 直平分CD,请说出证明过程. 2.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若 AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ABCD的周 长是多少?
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
一、线段垂直平分线的性质:
证明: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 数学表达： ∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB 也可以说： ∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上 ∴PA=PB 还可以说： A C N B P M
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB.
A
数学化
实 际 问 题
2
B
L
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
达标测试A:
如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的 垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
ADຫໍສະໝຸດ EBC 小结：
这节课你有什么收获？ 与你的同学进行交流。
再 见
线段垂直平分线性质 与判定的应用
学习 目标：
1、掌握线段垂直平分线的性质 以及判定的简单应用。 2、了解数学和生活的紧密联系， 培养用数学的能力。 3、培养学生步步有据的推理意 识。
线段垂直平分线的性质及判定定理证明
知识点一：（线段垂直平分线的性质及其判定定理）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
我们把该交点称为三角形的外心，特别地：锐角三角形的外心位置在__________，直角三角形的外心位置在___________，钝角三角形的外心位置在___________。
知识点二：（线段垂直平分线的性质及其判定定理的应用）<1> 等腰三角形ABC中，AB=AC，的垂直平分线交，线段ABA︒=∠20AB于点D，交AC于点E，连接BE，则等于CBE∠______。
<2> 如图所示，。
于点交的垂直平分线中，在DACMNABACABABC,=∆若，︒=∠40A则=∠B D C_______。
<3> 已知A,B两个村庄的位置如图所示，现要在公路l边上修建一个人粮食收购站，使其到A,B两村庄的距离相等，试确定粮食收购站的位置。
<4> 已知:线段ha,（如图所示）。
求作：hADaBCACABABC===∆高且使,,,。
（不写作法，保留作图痕迹）<5>在BCDEABACBABCR交的垂直平分线，中，︒=∠∆90t的延长线于点F,若的长是，则，EFDEBFD130=︒=∠_____。
<6>有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将的长为则重合，折痕为与点折叠，使点BEDEABABC,∆_______。
<7> 平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于点E, 则的周长是C D E∆_____。
<8> 已知：把),1重合与点所示方式摆放（点按如图和ECDEFRtABCRt∆∆点B,C(E),F在同一条直线上，cmBCcmACDEFEDFACB6,84590==︒=∠︒=∠=∠，，，cmEF9=。
13.5.2线段垂直平分线的性质和判定
A N
C
B
试一试：
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B
基础闯关
1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上 的一点,如果EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 0. ∠ECD=600,那么∠EDC= 60
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
C
二、线段垂直平分线的判定:
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”， “箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木 棒垂直呢？为什么？
A
答：当PA=PB时，射出的箭 的方向与木棒垂直
O
P
与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
B
二、线段垂直平分线的判定:
线段垂直平分线的性质和判定
垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段 的垂直平分线。
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线课件
首先，将圆规的两脚分开，分别置于 已知线段的两个端点上。然后，将圆 规的笔头置于线段的中点，旋转圆规 即可得到垂直平分线。
利用尺规作图作垂直平分线
总结词
尺规作图是一种更为精确的作图方法 ，通过尺规作图可以作出更为精确的 垂直平分线。
详细描述
首先，用直尺画出已知线段。然后， 用圆规以线段的中点为圆心，分别在 已知线段的两侧画弧。接着，用直尺 连接两个交点，即可得到垂直平分线 。
02
垂直平分线也是一条直线，它经 过线段的中点，并且与线段垂直 。
垂直平分线的图形定义
在几何图形中，垂直平分线通常用一 条通过线段中点并与线段垂直的虚线 表示。
这条虚线将线段分为两个相等的部分 ，并且与线段垂直。
垂直平分线的性质
垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等。 经过线段中点的直线是该线段的垂直平分线。
利用垂直平分线性质解决实际问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
垂直平分线的性质在实际问题中有着广泛的应用，如解决 几何作图问题、确定物体的位置等。
在几何作图问题中，利用垂直平分线的性质可以确定对称 点的位置。在解决实际问题时，如建筑、机械设计等领域 ，垂直平分线的性质可以帮助确定物体的位置和方向，简 化问题的解决过程。
垂直平分线的逆定理
总结词
垂直平分线的逆定理是，如果一条直线是某点的垂直平分线，则这条直线上有两点到该点的距离相等。
详细描述
垂直平分线的逆定理是一个与判定定理相反的结论。如果一条直线是某点的垂直平分线，那么在这条直线上存在 两个点，它们到该点的距离是相等的。这个逆定理常常用于证明两条线段相等，或者确定一个点是否在某条直线 上。
质等来进行判定。
初二第6讲垂直角平分线
题型分类： 无星代表普通高中 ★重点高中 ★ ★三大名校1、垂直平分线的定义如图1，直线l ⊥AB 于点D ，且AD ＝BD ，则 . 1) 直线l 叫做线段AB 的_______________。
2) 求证PA ＝PB 。
总结：直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
即： ∵点P 在线段AB 的垂直平分线l 上，∴________＝___________2、线段垂直平分线的判定如图，已知线段BC 外两点A D ，且AB =AC ，BD =CD ， 则直线AD 与线段BC 的关系是_________.总结：线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
表述如下∵________＝___________，∴点P 在线段AB 的垂直平分线l 上。
第五讲 证明（二）垂直平分线角平分线ABlD图1P◆二、角平分线的性质与判定1、如图3，∵ 射线OC 是∠AOB 的平分线，∴ ∠AOC＝∠______1______2=∠。
2、角平分线的性质 如图，已知∠AOB 。
（1）求作∠AOB 的平分线OC 。
（2）在射线OC 上任取一点P ，过点P 分别作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足为D 、E 。
求证：PD=PE即：角平分线上的点到角两边的距离相等。
3、角平分线的判定如图，DP ⊥AO ，EP ⊥BO ，垂足为D 、E ，且DP=EP求证：点P 在∠AOB 的角平分线上。
证明：总结：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
OA BC图3图例1：如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF .求证：OP 垂直平分EF .例2：如图12，CE⊥AB 于点E ，BD⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且OB ＝OC 。
求证：AO 平分∠BAC .★变式练习2：如图,在△ABC 中，∠C ＝90 ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF 。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线的概念。
1.2 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直于线段并且将线段平分的直线。
1.3 性质1：线段的垂直平分线垂直于线段。
1.4 性质2：线段的垂直平分线将线段平分，即线段的两个端点到垂直平分线的距离相等。
第二章：垂直平分线的判定2.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何判定一条直线是线段的垂直平分线。
2.2 判定1：若一条直线垂直于一条线段，并且将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
2.3 判定2：若一条直线与一条线段相交，并且交点将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
第三章：垂直平分线的应用3.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在几何中的应用。
3.2 应用1：利用垂直平分线证明线段相等。
3.3 应用2：利用垂直平分线证明直角三角形。
3.4 应用3：利用垂直平分线解决线段比例问题。
第四章：垂直平分线的作图4.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何作一条线段的垂直平分线。
4.2 作图方法1：利用直尺和圆规作图。
4.3 作图方法2：利用直尺和圆规作图的变体。
4.4 作图方法3：利用尺规作图的其他方法。
第五章：垂直平分线的综合应用5.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在不同情境下的应用。
5.2 综合应用1：在几何题目中综合运用垂直平分线的性质与判定。
5.3 综合应用2：解决实际问题中涉及垂直平分线的问题。
5.4 拓展思考：探讨垂直平分线在其他数学领域中的应用。
第六章：线段垂直平分线与圆的关系6.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线与圆的关系。
6.2 性质3：线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
6.3 判定3：若一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，则该直线是线段的垂直平分线。
6.4 应用4：利用线段垂直平分线性质解决与圆相关的问题。
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类似地，轴对称图形的对 称轴是任何一对对称点所 连线段的垂直平分线．
对应点的连线被对称轴垂直平分。
下面我们来探究线段垂直平分线的性质
l是AB的垂直平分线，观察P1A
P3
和P1B，P2A和P2B，P3A和P3B
P2
之间的关系？
O
在△APO两和个△B端PO点中的， 距离相等．
PO=PO
∠AOP= ∠BOP
AO=BO
∴ △APO≌△BPO (SAS) ∴ PA=PB.
1、因为AD为BC的中垂线，所A以B＝AC。 理由： 线段垂直平分线上的点与这条 B
线段两个端点的距离相等．
2、如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有：①②③。
A
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等．
思考
. 反过来: 到一条线段两个端 P
点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上吗?
A
C
B
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.
判定定理：
与一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等（性质）
与一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直 平分线上（判定）
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P
这个点在这条线段 的垂直平分线上
A
C
B
P33页21题
习题1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的 垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关 系？AB+BD与DE有什么关系？
①AB⊥MN,②AD=DB， ③
MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是
A
MN的垂直平分线
A
D
C
M
D
B
N
如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分 线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。 A
解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
∴ BD=AD
∵ △BCD的周长
=BD+DC+BC AD+DC+BC
∴ △BCD的周长= AC+BC
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线，
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
A
B
∵m是AB的垂直平分线，P在m上
结∴∴∠P论OAO⊥：PA=线B∠,A段BOO=垂PB=O直90°平分线上的点与这条线段
①如果两条线段互相垂直且平分，那么这两条线段互为对称轴 ②若两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等 ③线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等 ④若P为∠AOB平分线上的点，C、D分别是边OA与OB上的点，则PC=PD A、①② B、②③ C、③④ D、①④
5、下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是（ ） A MA=MB，NA=NB B MA=MB，MN⊥AB C MA=NA，MB=NB D MA=MB，MN平分∠AMB
24、如图，AO、OB是互相垂直的墙壁， 墙角O处是一老鼠洞，一只猫在A处发现B 处的一只老鼠正向洞口O处逃窜，若猫以 与老鼠同样的速度 去追捕这只老鼠，请 在图中作出猫最快能截住老鼠的位置C。 （保留作图痕迹，不写作法）
练一练：P30：1题、P31页5题
【课堂检测】 1、给出以下四个结论，其中正确的有（ ）
D
A'
C
E C'
P29、30：
4、5题
F
B
B'
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、
B，为了便于两厂的工人看病，市政府计
划在公路边上修建一所医院，使得两厂
到医院的距离相等，问医院的院址应选
在何处？你的方案是什么?
B
P30：7题
L
高速公路
7、如图，已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使 PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等。
MN⊥AA’于P AP = A’P
1、图中的对称点有哪些？ 2、线段AA’、BB’、CC’与直
A
线MN有什么样的关系？
M
P
A’
直线MN垂直且平分这三条
线段
Q
C
C’
定义：经过线段的中点并且垂 B 直于这条线段的直线，叫做这
G
B’
条线段的垂直平分线，也叫中
N
垂线。
图中的两个三角形关于直线MN对称
通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质
=
12+7=19
=
E
D
B
C
P29页3题
2、如下图△ABC中，AC=16cm，
DE为AB的垂直平分线， △BCE的
A
周长为26cm，求BC的长。
10cm
D E
B
C
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。 C
E
36°BD源自P31、32：11、13、19题
11、如图，在△ABC中，BC=8，AB、 AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， 则△ADE的周长等于_____。
13、如图，△ABC中，AC的垂直平 分线交AC于E，交BC于D，△ABD的 周长为20，AE=5，则△ABC的周长 是_______。
19、如图，AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 那么点E、F是否关于AD对称？若对 称，请说明理由。
A
B
D
C
证明：∵AD⊥BC BD=DC
∴AD在线段BC的垂直平分线上
∴AB=AC
∵点C在AE的垂直平分线上
E ∴AC=CE 又 AB=AC ∴AB=CE 又BD=CD ∴AB+BD=CE+CD=DE
思 考 不折叠图形如何准确地得出它的对称轴呢？
A
A'
现给出对称图形的一半你能否做出另外的部分？
A
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
P33： 23、24题
·
B
C
作图题：P33：23、24题
23、如图，A、B、C三点表示三个小区， 为了解决居民子女就近入学问题，计划 新建一所小学，要使学校到三个校区距 离相等，请你在图中确定学校的位置。
P32、33：20、22题
20、如图，P在∠AOB内，点M、N分 别是点P关于OA、OB的对称点，若 △PEF的周长为15，求MN的长。
22、在△ABC中，∠BAC=120°，若 DE、FG分别垂直平分AB、AC，△AEF 的周长为10cm，求∠EAF的度数及BC 的长。