计数原理与概率统计(精华)

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计数原理与概率学生

计数原理与概率排列组合1. 定义、公式排列与排列数组合与组合数定义1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

公式。

排列数公式组合数公式性质（1）（2）备注排列组合常见问题及解法一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题5. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。

{二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑6. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；三、捆绑与插空7. 8人排成一队(1)甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻四、间接法8. 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有多少种五、隔板法9. 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法（六、定序问题七、10. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢…七、排列组合综合应用11. （1）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种．（用数字作答）（2）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．（1）根据题意，先安排第一棒，再安排最后一棒，由于甲既可以传第一棒，又可以传最后一棒，因此应分类讨论，然后再逐类排出。

专题6 计数原理与概率统计

精心整理【考情报告】【考向预测】计数原理与概率统计是高中数学的一个重要学习内容,也是高考考查的必考重点内容之一.本部分考查的内容主要有:抽样方法,统计图表(样本频率分布表与直方图、茎叶图),统计数据的数字特征(平均数、方差、中位数、众数),变量间的关系、回归分析与独立性检验;;离散型,识,,考查学方法.预测几何,主1.(2013( ).A.C.2.A .203.(2013 b.若13a=7b ,则A.54.数为 .5.(2013新课标全国Ⅰ卷)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.6.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望E (X )和方差D (X ).从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列= 或写成=从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组,叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合= 或写成=①= ②=+ 即,,①++++②+++=++====[(-)-)n -)2s=离散型随机变量==p =, 7.回归分析和独立性检验(1)回归直线方程:=bx+a (也可写成y=a+bx 或=x+)一定过 .(2)独立性检验:假设有两个分类变量X 和(称为2×2列联表)为我们利用随机变量K2=来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”,这种方法称为两个分类变量的.【考点聚焦】热点一:对抽样方法的理解与应用高考对随机抽样的考查常以实际应用为背景命题,考查对分层抽样和系统抽样的理解与计算,考查样本的抽取,多以选择题、填空题的形式出现,有时也会在解答题中出现,但难度不大.某市有A、B、C三所学校共有高三理科学生1500人,且A、B、C三所学校的高三理科学生人数成等差数列,在三校学生中抽取人.),列出方程求出B,所以a+c=层抽取的2.且为整数若相邻两个个体的编号相隔.某公司研发了一款新游戏法,抽取42A.11统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以帮我们从数据中提取有用信息,并为制定决策提供依据.所以,这就决定了数字特征与统计图表在统计高考题中的地位,即数字特征与统计图表就是高考试题中的热点之一.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选取7名同学参加数学竞赛,他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班同学的平均分是85分,乙班同学成绩的中位数是83,则x+y的值为.【分析】利用平均数求出x的值,利用中位数求出y的值.【解析】由茎叶图可知甲班同学的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,又甲班同学的平均分是85,则85×7=590+x,所以x=5.乙班同学成绩的中位数是80+y=83,得y=3.故x+y=8.【答案】8【归纳拓展】1.众数、中位数、平均数都是描述数据的“集中趋势”的特征数,而标准差与方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小.方差、标准差越大,数据波动越大;方差、标准差越小,数据波动越小.2.用茎叶图表示数据有两个优点:①统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;②茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录和表示.变式训练2为备战2013年南京亚青会,对甲、乙两名运动员的成绩统计用茎叶图表示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X乙,则下列结论正确的是().A.X甲>X乙,甲比乙成绩稳定B.X甲>X乙,乙比甲成绩稳定C.X甲<X乙,甲比乙成绩稳定D.X甲<X乙,乙比甲成绩稳定热点三:独立性检验与回归分析在高考中多以选择题、填空题的形式出现,有时也以解答题的形式出现.鉴于统计案例在实际生活中的应用,预测2014年统计案别有关系,=.该①稳定,②(1)若随机地调查一位午休的走读生,其家到学校的路程(单位:里)在[2,6)的概率是多少?(2)如果把下午开始上课时间1:30作为横坐标0,然后上课时间每推迟10分钟,横坐标x增加1,并以平均每天午休人数作为纵坐标y,试根据表中的5列数据求平均每天午休人数与上课时间x之间的线性回归方程=bx+a;(3)预测下午上课时间推迟到2:20时,家距学校的路程在6里路以上的走读生中约有多少人午休.热点四:两个计数原理与排列组合高考中对于计数问题试题的考查形式不一,可以单独考查,也可以与排列、组合问题综合考查,还可以与概率问题综合考查,求解此类试题的关键是理顺计数应用问题的思路:排组分清,加乘明确;有序组合;分类相加,分步相乘.主要题型有选数字、选样品、选代表、人或物的排列或组合问题、几何计数问题等.(2013山东卷)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为().A.243B.252C.261D.279【分析】由于三位数的首位不能为零,因此可以运用分步计数原理,先排首位,然后再排十位与个位.但是这里要求的三位数是“有重复数字”,可以重复两位数字,也可以重复三位数字,故可间接考虑,先求出所有的三位数的个数,减去没有重复数字的三位数字的个数即可.【解析】由0,1,…,9这十个数字共能组成9×10×10=900个不同的三位数,其中无重复数字的三位数有-=648个,故由这十个数字能组成的有重复数字的三位数的个数为900-648=252.【答案】B【归纳拓展】1.求解计数问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”就是找出题目中的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类,2.(1)(2)(3).如在排列“63,5,)A.3r≤n,确定n==x)n=(r=a(1)(2)T r+1是展开中的第1项,而不是第项;(3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)对二项式展开式(a-b)n的通项公式还要注意符号.2.在二项式定理的应用中,“赋值法”是一种重要的思想方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法.变式训练5已知(x+)n的展开式中第五项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为().A.128B.64C.32D.16热点六:几何概型几何概型是一个新增的考点,它与古典概型一样,也是高考考查的重点内容之一.从近几年高考试题来看,主要以选择题或填空题的形式呈现,多为单独考查,有时会与线性规划、定积分等知识综合考查,难度较低.利用几何概型求概率时,关键是对试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.(2013陕西卷)如图,在矩形区域ABCD的A、C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是().A.1-B.-1C.2-D.【分析】由于是在所给矩形区域内随机地选一地点,所以它符合几何概型的两个基本特征.解答时,可先计算出矩形区域ABCD的面积,然后再计算出无信号地点的面积.从所给的几何图形中,可知直接计算出无信号地点的面积较为困难,因此可以求出有信号地点(扇形区域ADE和扇形区域CBF)的面积,然后再解之.×=率为=1-和x=±图形.型.P(B|A)=(A.B.C.D.【分析】根据条件概率公式==,P=,∴P(=.【答案】B【归纳拓展】条件概率公式揭示了条件概率P(A|B)与事件概率P(B)、P(AB)之间的关系.下列两种情况可利用条件概率公式:一种情况是已知P(B)和P(AB)时要求出P(A|B);另一种情况是已知P(B)和P(A|B)时要求出P(AB).对于后一种情况,为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式:若P(A)>0,有P(AB)=P(A)P(B|A).变式训练7如图,EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)= ;(2)P(B|A)= .热点八:随机变量的分布列、期望与方差随机变量的分布列、期望与方差是高考中的重点,年年必考,以考生比较熟悉的实际应用问题为背景,综合排列组合、概率公式、互斥事件、独立事件以及统计等基础知识,考查对随机变量的识别及概率计算的能力,考查运用概率知识解决实际问题的能力,解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用.题型主要以解答题的形式呈现,但有时也会以小题的形式出现,难度中等.(2013天津卷)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【分析】(1)根据题意任取的4张卡片与顺序无关,是一个组合计数问题,也是一个古典概型的概率计算问题.由于编号为3的卡片可以为红色的,也可以为白色的,因此在计算基本事件数时要分类讨论.(2)根据题意,在取出的4张卡片中,至少有一张有红色的,红色卡片中的编号有1、2、3、4,所以红色卡片编号的最大值设为X,可能取值也为1、2、3、4,然后根据卡片的最大值分别求出各自的概率,列出分布列,再根据数学期望的公式计算随机变量X的数学期望值.的卡片的概率为(2)P(X==,=P(X===所以随机变量的分布列是1234×+×=.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件的公式,2.求解.,成绩分为A,B,C10人.(1)(2)①②和数学期望.热点九:事件的独立性、独立重复试验与二项分布二项分布是一种重要的概率分布,在实际生活中应用广泛.对事件的独立性、独立重复试验与二项分布的考查是高考的热点之一,考查的题型既有小题也有解答题.在小题中,侧重于考查事件相互独立性的概率;在解答题中,一般会综合事件的相互独立、互斥或对立、二项分布等知识进行考查.(2013福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?【分析】(1)因为“每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响”,所以计算概率时用相互独立事件的概率公式求解.X 表示小明、小红各抽奖一次得分的和,根据题意事件“E(X)===”的情况较多,从反面入手即先求事件X>3的概率,再用对立事件的概率公式求解;(2)因为小明、小红抽奖时,要么中奖,要么不中奖,所以它们符合二项分布的特征,可以应用二项分布的期望公式及性质计算.记“这因为P,所以P,即这2.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为期望为E(2所以E=从而E==.因为E(1),即确定p(2)(3)变式训练9甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X).热点十:正态分布正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布(如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等),也是高中阶段唯一连续型随机变量的分布,这个考点虽然不是高考的重点,但在近几年新课标高考中多次出现,其中数值计算是考查的一个热点.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)= .【分析】若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则正态曲线关于x=μ对称;结合曲线的对称性和频率之和为1来求相应的概率即可.【解析】P(ξ<4)=0.8,则P(ξ>4)=0.2,又分布图象关于直线x=2对称,P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,则P(0<ξ<4)=0.6,P(0<ξ<2)=0.3.【答案】0.3【归纳拓展】正态曲线是“钟形曲线”,具有很好的对称性.正态分布问题求解的切入点是充分利用正态分布曲线的图象特征和相关量的统计意义分析思考,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用,记住正态分布的3σ法则.变式训练10假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为.(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)限时训练卷(一)一、选择题1.列和第6A.2.).A.B.C.D.3.已知x与则y与x=bx+aA.,4.在棱长为与正方体各表面的距离都大于A.D.5.已知离散型随机变量X则XA.B.2 C. D.36.游客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为、,假定他们两人的行动相互不受影响,则暑假期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为().A.B.C.D.7.设随机变量X~N(3,1),若P(X>4)=p,则P(2<X<4)等于().A.+pB.1-pC.1-2pD.-p8.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为().A.36B.30C.24D.129.设a=(cos x-sin x)d x,则二项式(x2+)6展开式中的x3项的系数为().A.-20B.20C.-160D.160二、填空题10.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.11.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为12,则抽取的学生人数是.12.13.;若t∈(2.8,2.9]数据:(1)(2)参考公式:K参考数据:1.名学生进行调查,A.C.2.A.383.小明同学根据下表记录的产量x(吨)与能耗y(吨标准煤)对应的四组数据,用最小二乘法求出了y关于x的线性回归方程=0.7x+a,据此模型预报产量为7吨时能耗为().A.5B.5.25C.5.5D.5.754.右图是2013年在某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶图,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为().A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,45.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是().A.9B.10C.18D.206.设(1+2x)10展开后为1+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1+a2等于().A.20B.200C.55D.1807.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)等于().A.0.477B.0.625C.0.954D.0.9778.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a,又n(A)表示集合的元素个数,A={x||x2+ax+3|=1,x∈R},则n(A)=4的概率为().A.B.C.D.9.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为().A.B.C10.6个城市,11.12.若(x-三、解答题13.上选偏爱,(1)(2)X1.下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程=AB该回归直线必过样本点中心(,)CD当残差平方和(y-)22.名学生,其中有A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数3.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计,得到了如图所示的频率分布直方图,如果该公司共有员工200人,则收到125条以上的大约有().A.6人B.7人C.8人D.9人4.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,、分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s1、s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有().A.>,s1<s2B.=,s1=s2C.=,s1<s2D.<,s1<s25.设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),若P(ξ>c)=a,则P(ξ>4-c)等于().A.aB.1-aC.2aD.1-2a6.2013年第12届全国运动会在沈阳举行,某校有4名大学生申请当A,B,C三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A比赛项目,则不同的安排方案共有().A.20种B.24种C.30种D.36种7.在(-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是().A.-7B.7C.-28D.288.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为().A. C.9.设a∈Z,0≤a<13,512014A.010.2,则+A.11.,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,A.12.甲袋内装有个红球和2A.f(n)且最小值为B.f(n)且最大值为C.f(n)且最小值为D.f(n)且最大值为二、填空题13.一个频率分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.6,则估计样本在[40,50),[50,60)内的数据个数之和是.14.已知Ω={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},A是曲线y=x2与y=围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为.15.将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法种数共有种(用数字作答).16.若(x2-)n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,则a1+a2+…+a n的值为.三、解答题17.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.(1)请将上面的列联表补充完整(不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关.(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加这一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.18.某品牌的汽车4S店,对最近100已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.(1)(2)(3)求η19.,得到销表示下一(1)将T(2)(3)概率(例如:20.(1)(2)21.8小时),处理完毕(A商品在每天的前6.(1)(2)22.是50的约数)只鸡一组平均分组,并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,即对该组的n只鸡逐只化验.记某一组中病鸡的只数为X.(1)若n=5,求随机变量X的概率分布和数学期望;(2)为了减少化验次数的期望值,试确定n的大小.(附:0.95≈0.590,0.910≈0.349,0.925≈0.072,0.950≈0.005)。

计数原理与概率统计

（二十）计数原理
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
（2）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
（3）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
（4）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
（二十一）概率与统计
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.
（2）了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
（3）了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.
（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
（5）借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
（6）了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
（7）了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.。

计数原理与概率的计算知识点总结

计数原理与概率的计算知识点总结计数原理和概率是概率论与数理统计中的重要概念和工具。

它们对于解决实际问题和理解随机事件的发生规律具有重要意义。

本文将就计数原理和概率的计算知识点进行总结。

一、计数原理计数原理是概率论中一类重要的数学方法，用于计算排列、组合、选择等情况下的可能性。

在实际问题中，经常需要求解一些特定场景下的排列和组合数，计数原理可提供有效的计算方法。

1. 排列计数排列是从给定的若干元素中选出若干元素按照一定顺序排列的方式。

对于n个元素中选取r个元素进行排列，排列数用P表示，计算公式为P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

2. 组合计数组合是从给定的若干元素中选出若干元素不考虑顺序的方式。

对于n个元素中选取r个元素进行组合，组合数用C表示，计算公式为C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)。

3. 二项式系数二项式系数是组合数的一种特殊情况，表示的是一个二项式展开式中各项的系数。

对于二项式系数C(n,k)，表示二项式展开式中x^n的系数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。

二、概率计算概率是描述事件发生可能性大小的数值，可用来解决实际问题中的随机性情况。

概率计算包括基本概率、条件概率和复合事件概率等内容，以下进行详细总结。

1. 基本概率基本概率是指一个事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。

设S为一个试验的样本空间，E为S中的一个事件，在试验中，事件E发生的概率记作P(E)，计算公式为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中有利结果的个数，n(S)表示样本空间S中结果的总个数。

2. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下某一事件发生的概率。

设A、B为两个事件，且P(B)>0，那么在已知B发生的条件下，事件A发生的条件概率记作P(A|B)，计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

计数原理和概率

计数原理和概率计数原理是数学中的一种基本方法和理论，用于解决计数问题。

概率是数学中的一种描述事件发生的可能性的概念。

计数原理和概率是两个相互关联且相互依存的概念，在实际问题中常常同时运用。

计数原理是研究计数问题的理论，主要包括分别计数原理和完全计数原理。

首先来看分别计数原理，分别计数原理是指计数问题中若一些事物A具有n种方式，另外一些事物B具有m种方式，则A和B一起总有n*m种方式。

这种方法常常适用于计数问题中，涉及到几个不同事物的排列组合、选择等情况。

例如，有8名学生参加比赛，其中2个名额为男生，6个名额为女生。

若所有学生均报名参赛，则根据分别计数原理可知，男生的选择方式有C(8,2)=28种，女生的选择方式有C(8,6)=28种，所以总的方式数为28*28=784种。

接下来是完全计数原理，完全计数原理是指计数问题可以按照步骤进行求解，将整个过程分解为几个相关的部分，并将每个部分的计数结果相乘得到最终结果。

这种方法常常适用于计数问题中，需要经历多个步骤或条件限制的情况。

例如，现有6个箱子，每个箱子中有5个球，将球编号为1、2、3、4、5、6、现在要从箱子中同时取出两个球，求取出的两个球的编号之和为7的方式数。

根据完全计数原理，可以将问题分解为两个步骤：首先是选取第一个球的方式数，为6种；然后是选取第二个球的方式数，由于已选取了第一个球，所以第二个球只能从剩下的球中选取，也为6种。

所以最终的结果为6*6=36种。

概率是研究事件发生可能性的理论，主要包括基本概率和条件概率。

基本概率是指在试验的所有可能结果中，其中一事件发生的可能性，即事件发生的次数除以试验的总次数。

基本概率是计算概率时的基础，常通过计数原理来求解。

例如，将一颗骰子掷出，掷出的结果是1-6中的一个数。

那么掷出1的概率就是1/6，掷出2的概率也是1/6，依此类推。

条件概率是指在给定其中一条件下，其中一事件发生的概率。

条件概率的计算可以通过计数原理和基本概率结合起来。

概率与统计简述、计数原理及排列与组合

排列有序，组合无序 ;可用特值法来验证有无顺序
②互异性
我们学习的排列是不同元素的排列即同一个元素是不允许重复的排列
③线排性
高中阶段学习的排列是：线排线排是排成一列的意思，而非一圈
(1)《选修2-3》P：11～12 n元集有2n个子集法1.分步乘法计数原理： N=2×2×2×……×2=2n
共n个2
析：①同色的2小球交换位置不影响结果，无序 ②不同色的2小球交换位置影响结果，有序 ③官方术语是：不尽相异元素的排列
解：N 9! 1260 2!3!4!
不尽相异元素的全排列公式
已知n个元素中，有m1个元素相同，又有m2个元素相同
……又有mk个元素相同(m1+m2+…+mk≤n)
则这n个元素所有的排列数为：
CM1
C n1 N M
CM2
C n2 N M
L
CMM
C nM N M
CNn
析： “一把抓”与“两把抓”……
(6)现有A、B、C、D、E、F、G、H共有8位同学，按前3后5排成的两列照相，则不同的排列数为_____
解：N A88 40320
(7)(2006年江苏)今有2个红球、3个黄球、4个白球同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_____种不同的方法（用数字作答）
用何法？！
计数原理型
排列组合型
十大题型
三、计数原理：
1.分类加法计数原理：完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同
的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类方式中有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理：

概率统计计数原理

第十章概率统计10.1 计数原理1、分类计数原理(加法原理)2019年连淮扬镇铁路开通之后，从连云港到扬州可以乘火车，也可以乘汽车，若一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘这些交通工具从从连云港到扬州共有多少种方法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从连云港到扬州，所以，共有3+2=5种不同的走法。

分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，…，在第n类办法中有 m n种不同的方法,无论通过哪类的哪种方法，都可以独立完成这件事情那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+m n种不同的方法。

例1 书架上有不同的数学书10本，不同的语文书11本，不同的英语书9本，现从中任取1本，问：有多少种不同的选法？解从书架上任取1本书可能是数学书、语文书、英语书，有三类取法：第一类，取出一本数学书，可以从10本书中任取一本，有 m1=10种取法；第二类，取出一本语文书，可以从11本书中任取一本，有 m2=11种取法；第三类，取出一本英语书，可以从9本书中任取一本，有 m3=9种取法；只需在书架上任取一本，即可完成任务，根据分类计数原理，不同的取法共有N=m1+m2+m3=10+11+9=30（种）例2 在某批电器产品中，国有电器有97件，进口电器有23件，从中任取一种质检，共有多少种不同的取法？解该批电器可以分为国产和进口两类，从中任取1件即完成任务，从国产电器中抽取1件有97种取法，从进口电器中抽取1件有23种取法，所以不同的取法共有N=97+23=120（种）问题解决在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？2、分步计数原理某人决定从连云港坐火车到扬州，再于次日从扬州乘汽车到镇江，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，他从连云港到镇江共有多少种不同的走法？分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，从连云港到镇江需乘一次火车再接着乘一次汽车就可以了，共有6种不同走法。

计数原理-概率统计知识梳理(三)

知识梳理（三）计数原理、概率统计两个计数原理1．分类加法计数原理如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，…在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝_________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝______________种不同的方法．3．分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类计数原理与_______有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与_______有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．排列与组合1．排列(1)排列的定义：从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个_______．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用_______表示．(3)排列数公式：A m n ＝____________________________．(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个_______，A n n ＝______________＝n ！．排列数公式写成阶乘的形式为A m n ＝______________，这里规定0！＝_______．2．组合(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个_______．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用_______表示．(3)组合数的计算公式：C m n ＝_______＝n ！m ！(n －m )！＝_____________________，C 0n ＝_______．(4)组合数的性质：①C m n ＝_______；②C m n ＋1＝C mn ＋_______．二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝______________________________(n ∈N *)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数______(r ＝0，1，2，…，n )叫做二项式系数．式中的C r n a n -r b r叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝__________．2．二项展开式形式上的特点(1)项数为______．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为______．(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．(4)二项式的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n -1n ，C nn ．3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝______．(2)增减性与最大值：二项式系数C rn ，当r ________时，二项式系数是递增的；当r _________时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间一项______的二项式系数最大．当n 是奇数时，那么其展开式中间两项__________和_________的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于______，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C nn ＝______．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝______．统计与概率初步1．抽样掌握随机抽样方法：简单随机抽样，分层抽样2．总体估计（1）作频率分布直方图的方法①先制作频率分布表，然后作直角坐标系；②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的______，这样得出一系列的矩形．③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征对于一组数据：x 1，x 2，…，x n ．①平均数：x ＝__________________.②样本方差、标准差方程差s 2＝______________________________；标准差s ＝s 2．3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1.(2)必然事件的概率P (Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P (Ø)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝____________.②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝____________.4.古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝______.离散型随机变量及其分布列1.条件概率(1)条件概率：设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.(2)性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝________________.(3)乘法公式：P (AB )＝________________.(4)全概率公式：若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，…，A n 满足：①任意两个事件均互斥,即A i A j ＝⌀，i ，j ＝1，2，…，n ，i ≠j ；②A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω；③P (A i )>0，i ＝1，2，3，…，n ．则对Ω中的任意事件B ,都有B ＝BA 1∪BA 2∪…∪BA n ,且P (B )=i ＝1nP (BA i )=________________.2．事件的独立性(1)一般地，若事件A ，B 满足________________，则称事件A ，B 独立．(2)两个事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝______________．(3)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率P (A 1A 2…A n )＝_______________．(4)若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B －也相互独立．A －与B 相互独立，A －与B －相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.3．离散型随机变量的概率分布(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表X x 1x 2…x i …x n P p 1p 2…p i …p n称为随机变量X 的概率分布列，具有性质：①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝________．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(3)均值称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，记为E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ．它反映了随机变量取值的________水平．(4)方差与标准差(x i －μ)2(μ＝E (X ))描述了x i (i ＝1，2，…，n )相对于均值μ的偏离程度，随机变量X 的方差，记为D (X )或σ2．即D (X )＝σ2＝________________________________．方差也可用公式D (X )＝ni =1x 2i p i －μ2计算，随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差D (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ＝D (X )．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越________，随机变量偏离于均值的平均程度就越小.(5)均值与方差的性质①E (aX ＋b )＝________________；②D (aX ＋b )＝_______________(a ，b 为常数)．均值与方差的关系：D (X )＝E (X 2)－________．4．两点分布如果随机变量X 的概率分布为：X 10P p q其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布.两点分布的数学期望与方差：E (X )＝________，D (X )＝________.5．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝r }发生的概率：P (X ＝r )＝______________(r ＝0,1,2，…，l )，其中l ＝min{n ，M }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r N －MC nN，记为H (r ；n ，M ，N ).超几何分布的数学期望：E (X )＝________．二项分布和正态分布1．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝_______________(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.2．正态分布(1)正态分布：如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．P (x )＝12πσe (x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)的图象称为正态曲线．μ和σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差.(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1；②曲线是单峰的，它关于直线________对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.线性回归分析与独立性检验一．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.1.相关关系：(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为______相关；点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为______相关.(2)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有_______相关关系.2.线性回归方程：(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最_____的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为^y＝^bx＋^a，则^b＝∑ni＝1(x i－x－)(y i－y－)∑ni＝1(x i－x－)2＝∑ni＝1x i y i－n x－·y－∑ni＝1x i2－n x－2，^a＝________，其中，^b是回归方程的斜率，^a是在y轴上的截距，回归直线一定过样本点的中心________．3.线性回归分析：(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中(－x，－y)称为样本点的中心.(3)相关系数当r>0时，表明两个变量________相关；当r<0时，表明两个变量________相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越________.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R2＝1－n∑i=1(y i－y^)2n∑i=1(y i－y－)2，其中n∑i=1(y i－^y i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越______.二．独立性检验1.利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.2.列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为y1y2总计x1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d则随机变量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越________.利用K2进行独立性检验临界值表：P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习附解析

高中数学《计数原理与概率统计》知识点归纳一、选择题1．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126【答案】A 【解析】【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D 【解析】【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。

【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r共线，即630m n -=，即2n m =，满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，所以向量p u r 与q r 共线的概率为313612P ==，故选D 。

【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（）A．314B．27C．928D．1928【答案】A【解析】【分析】列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.【详解】根据题意一共有：乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；离艮、离兑；艮兑，28种情况.满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.故632814 p==.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A．35B．925C．1625D．25【答案】B【解析】PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为25π-16π925π25=,故选B.5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180【答案】B 【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =，所以符合要求的组队方案数为110种考点：排列、组合的实际应用6．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（）A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】B 【解析】【分析】五边形ABEFD 的面积52S =，阴影Ω的面积为12，得到概率. 【详解】不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222S =+=，阴影Ω的面积为12，故所求概率为1121522P ==+，故选：B．【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．8．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（）A ．110B ．15C ．25D ．12【答案】C 【解析】【分析】从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．【详解】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82205m p n ===．故选：C ．【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.9．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（） A ．18B ．35C ．58D ．78【答案】C 【解析】【分析】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果.设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200A 表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}，即图中的阴影部分，面积为S ′＝125，代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008S S === 故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．10．在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（） A ．16B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果. 【详解】由20x x -<得01x <<，所以所求概率为1012(2)4-=--，选D.(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A⨯=种．故选D.12．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．413B．21313C．926D．31326【答案】A 【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB ADBD AD BD =+-⋅︒=，所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆= ⎪⎝⎭. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．13．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B 【解析】【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积．【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2．曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰．故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个【答案】C 【解析】由题意得，0a ≠，a 的选择一共有14C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模)精华汇编专题11计数原理与概率统计

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题11计数原理与概率统计真题汇总1．【2022年北京卷08】若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1 x+a0，则a0+a2+a4=（）A．40B．41C．−40D．−412．【2020年北京卷03】在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为（）．A．−5B．5C．−10D．10)4展开式中常数项为__________．3．【2021年北京11】(x3−1x4．【2016年北京理科10】在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）5．【2015年北京理科09】在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）6．【2014年北京理科13】把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．7．【2013年北京理科12】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．8．【2022年北京卷18】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）9．【2021年北京18】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)． 10．【2020年北京卷18】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为p 0，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p 1，试比较p 0与p 1的大小．（结论不要求证明）11．【2019年北京理科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000] （1000，2000]大于2000仅使用A 18人 9人 3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．12．【2018年北京理科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，D ξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．13．【2017年北京理科17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）14．【2016年北京理科16】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）15．【2015年北京理科16】A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）16．【2014年北京理科16】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x的大小（只需写出结论）．17．【2013年北京理科16】如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）模拟好题1．为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（）)6A．300B．450C．480D．6002．二项式(x−1x的展开式中x4的系数与x6的系数之比为（）A．6B．-6C．15D．-153．有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A．152B．827C．413D．17524．若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）A．0.6B．0.375C．0.36D．0.2165．下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%.其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．②③D．②③④6．在(x+√x)5的展开式中，x3的系数是_________．（用数字作答）7．在(√x−1x)6的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）8．若(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=________．9．在(x2−1x)5的展开式中，x4的系数为___________.（用数字作答）10．二项式(1+x)n(n∈N∗)的展开式中x2的系数为21，则n=__________.11．某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．12．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取1 0位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.13．2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有10 位密切接触者，将这10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“ k合1 检测法”. “ k合1 检测法” 是将k个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为p(0<p<1)，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.(1)现对10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率f(p)的表达式;(2)若对10 个样本采用“5合1检测法” 进行核酸检测. 用p表示以下结论:①求某个混合样本呈阳性的概率;②设总检测次数为X，求X的分布列和数学期望E(X).14．某家电专卖店试销A､B､C三种新型空调，销售情况如下表所示：(1)从前三周随机选一周，若A型空调销售量比B型空调多，求A型空调销售量比C型空调多的概率；(2)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列和数学期望；(3)直接写出一组A4,B4,C4的值，使得表中每行数据的方差相等．15．为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表(1)根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；(2)已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.16．某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：注：年返修率=年返修台数年生产台数(1)从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；(3)记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为s12,s22,s32.若s32≤max {s12,s22}，其中max{s12,s22}表示s12,s22这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.（只需写出结论）17．北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50,60)的概率；(2)从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，.（结论不初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1,μ2，当m满足什么条件时，μ0≥μ1+μ22要求证明）18．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为A、B、C、D、E五个等级，分别对应的分数为5、4、3、2、1．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为X，求X的分布列（频率当作概率使用）．19．某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望;(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为s12,s22，比较s12,s22的大小.（请直接写出结论）20．2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为μ1，其中男生的乒乓球平均分的估计值为μ2，试比较μ1与μ2的大小.（结论不需要证明）。

专题6计数原理与概率统计ppt课件

Tr+1= Cnran-rbr,r=0,1,2,…,n,其中 Cnr叫做二项式系数
名师诊断
专案突破
对点集训
决胜高考
二
对称性
与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,即
=Cn0
, = Cnn Cn1
, C n1 n
项
…, = Cnk Cnnk,….
式系
最大值
n
当n为偶数时,中间的一项的二项式系数 Cn2 取得最大值;当n为奇
0.1
.
【解析】由所有频率之和为1,可知道a=0.1,由频率公式可知所求件数为20.
【答案】20
名师诊断
专案突破
对点集训
决胜高考
5.(2012浙江慈溪模拟)现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目, 要求每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数为 ( )
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
名师诊断
专案突破
对点集训
决胜高考
Y的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润,故花店一天应购进17枝玫瑰花.
(ⅰ)甲、乙中参加项目有一个只有一人的,则有2·C13 A33=36种;
(ⅱ)甲、乙都是参加项目有两人的,则有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC13
C12
A
3 3
=36种.
将上面所有情况相加即得答案.

高中数学总复习选修2之计数原理与概率统计

15
考点四
命题规律
或填空题． ●例 4
排列组合综合应用题
高Hale Waihona Puke 中这类问题以选择题或填空题形式出现．在本考点和前面 3 个考点中，高考通常会有一道选择题 (1)12名同学合影，站成前排 4人后排 8 人，现摄 )
2 2 (C) C 8 A6 ． 2 2． (D)C 8 A5
影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(
8
【解析】 (1)分二步：首尾必须播放公益广告的有A种；中 4 间4个为不同的商业广告有A种，故有 A 2 ＝48种不同的播 A 2 4 放方式． 5 2 (2)不同排法的种数为 A5 A6＝3600． (3)B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的 1 5 排法只是5个元素全排列数的一半，即 A 5＝60种． 2 [答案] (1)48 (2)3600 (3)B 【点评】①含有特殊元素或特殊位置的排列问题，其解题对策：一是用直接法，即先排特殊元素或特殊位置；二是用排除法，即先不考虑元素或位置的特殊性，再排除不和条件的排列． ②元素相邻的排列问题，其解题对策是用“捆绑法”． ③元素相间的排列问题，第一类是不相邻问题可用 “插空法”，先把其它元素排列好，然后把特殊元素插排在它们之间或两端的空档中；第二类是元素之间相间固定个数的元素问题可用“捆绑法”，先选好元素放入两个元素之间，把它们“捆绑”在一起，再和其它元素排列． 9
m1×m2×…×mn种不同的方法．
3
3．排列数公式： Am ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n
n! n ＝．An ＝n· (n－1)· (n－2)· …· 3· 2· 1＝n！． ( n m )!

概率与统计第1讲计数原理与概率

第1讲计数原理与概率[考情分析]1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用．考点一排列与组合问题核心提炼解决排列、组合问题的一般过程(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口 A B C志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法有()A．14种B．11种C．8种D．5种(2)(2022·衡阳模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()A ．192B ．240C ．120D ．288规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．跟踪演练1 (1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( )A ．144种B ．336种C ．672种D ．1 008种(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )A ．12B ．14C ．16D ．18考点二二项式定理核心提炼1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项公式即得所求．2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1－y x (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)． (2)已知⎝⎛⎭⎫x ＋a x 4n 的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为________，展开式中的常数项为________．易错提醒二项式(a ＋b )n 的通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k (k ＝0,1,2，…，n )，它表示的是二项式的展开式的第k ＋1项，而不是第k 项；其中C k n 是二项式展开式的第k ＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k ＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x )8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6等于( )A ．－448B ．－112C ．112D ．448(2)(多选)已知(1－2x )2 023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 023x 2 023，则( )A ．展开式中各项系数和为1B ．展开式中所有项的二项式系数和为22 023C ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 023＝－2D ．a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02322 023＝0 考点三概率核心提炼1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数. 2．条件概率公式设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). 3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )．例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23(2)(多选)(2022·临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2，A 3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B 表示取出的球是红球的事件，则( )A ．A 1，A 2，A 3两两互斥B ．P (B |A 2)＝25C ．P (B )＝12D ．B 与A 1相互独立 (3)(2022·益阳调研)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )A.827B.1627C.3281D.4081 规律方法求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．跟踪演练3 (1)某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为( )A.13B.49C.34D.916(2)(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者被评为“智答能手”．设甲被评为“智答能手”为事件A ，乙被评为“智答能手”为事件B ，若P (B |A )＝P (B )，则下列结论正确的是( )A ．P (A |B )＝P (A )B ．P (B |A )＝115C ．甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为1645D ．甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为4445。