极值存在定理

极小点的判定条件

（一） 内点为极小值点的判定条件（求)(min x f ，D x ∈）

一、一般条件

定理1（一阶必要条件）设1

R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数，*x 是D 的内点，若*x 是)(x f 的局部极小点，则 0)(*=∇x f

定理2（二阶必要条件）设1

R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导

数，若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点，则)(*2x f ∇是半正定的。

定理3（二阶充分条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导

数，*x 为D 的内点，且0)(*=∇x f ，若)(*2x f ∇正定，则*x 为)

(x f 的严格局部极小点。

定理4（二阶充分条件）设1

R R :→n f 具有二阶连续偏导数，n x R *∈且0)(*=∇x f ，若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀，都有)(2x f ∇半正定，则*x 为)(x f 的局部极小点。

二、凸规划极值判定条件

凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。 定理5 设1

R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数，则

（1）)(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点；

（2）若)(x f 可微，且存在D x ∈*，使0)(*=∇x f ，则*x 为)

(x f 在D 上的全局极小点；

（3）若)(x f 为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。 定理6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数

C x b Qx x x f ++=T T 2

1)(，n x R ∈ 则b Q x 1

*--=为唯一的全局极小点。

（二） 边界点为极小值点的判定条件

考虑一般的非线性规划(NP)：

)(min x f

:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(

,,1 ,0)(l j x h m i x s j

i （1） 一、一般条件

定理1（K —T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP ）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微，且点*x

处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数

l m λλμμ,,,,,11 ，使下述条件成立

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==m

i m i x s x h x s x f i i i l j j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ （*）

二、凸规划极值判定条件

考虑凸规划问题：

)(min x f

s.t. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(

,,1 ,0)(l j x h m i x s j

i （2） 其中，)(x f 是可微凸函数，m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数，l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。

定理2（凸规划的极值）：若*x 是凸规划（2）的K —T 点，则*

x 为全局极小点。

注：线性函数既可视为凸函数，又可视为凹函数。

三、等式约束极值判定条件

⎩

⎨⎧== ,,1 ,0)( ..)(min l j x h t s x f j （3） 定理3：（一阶必要条件）假设

（1）*

x 为等式约束(3)的局部极小点；

（2）1n :),,1(,R R l j h f j →= 在*x 的某邻域内连续可微； （3）)(,),(),(**2*1x h x h x h l

∇∇∇ 线性无关。 则存在R ,,,**2*1∈l λλλ 使得

0)()(*1*

*

=∇-∇∑=x h x f j l

j j λ （**） 定理4（二阶充分条件）假设

（1）1n :),,1(,R R l j h f j

→= 是二阶连续可微函数； （2）存在n x R *∈与l l R ],,,[T **2*1*∈=λλλλ 使得式（**）成立；

（3）关于x 的海色矩阵),(*

*2λx L x ∇在切子空间 },,1 ,0)({T l j v x h v T j ==∇=

上正定。

则点*

x 是问题(3)的严格局部极小点。

四、线性约束的（NP ）问题极值判定条件

考虑如下线性约束的（NP ）问题

⎪⎩⎪⎨⎧=≥

..)(min d Cx b Ax t s x f （4） 定理5：在约束问题（4）中，假设

i ）x 是容许点；

ii ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''=A A A ，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'''=b b b 使得b x A '='，b x A ''>''； iii ）A '和C 的行向量线性无关（即起作用约束的梯度线性无关）；

iv ）*

p 是如下线性规划的最优解： p x f z T )(min ∇=

s.t. ⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤=≥'e p e Cp p A -0 0 （***） 其中，[]1,,1,1 =e 。

则点x 为K —T 点的充要条件是0)(*T =∇p x f 。

五、几何最优性条件

考虑不等式约束问题

⎩

⎨⎧=≥ ,,1 ,0)( ..)

(min m i x s t s x f i （5） 定理6（几何最优性条件）：设*

x 是问题（2）的一个局部极小点，

目标函数)(x f 在*x 处可微，且 1°)(x s i （I i ∈）在*x 处可微；

2°)(x s i （I i ∉）在*

x 处连续。

则在*x 处不存在容许下降方向，即不存在方向p 满足

⎪⎩⎪⎨⎧∈>∇<∇I i p x s p x f i ,0)(0)(T *T * （****）

六、线性规划问题的极值条件

最优性检验

判别数j σ：用非基变量表示的目标函数式中，各非基变量的负系数，即称为各非基变量的判别数。

1º最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解， 所有判别数0≤j σ，且人工变量为0，则该基本容许解是最优解。

2º无穷多最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本