内蒙古赤峰二中高中数学不等式的性质(2)教案新人教B版必修5

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人教课标版(B版)高中数学必修5参考教案-不等式的性质

3.1.2不等式的性质教学目标：掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论.进一步巩固不等式性质定理，并能应用性质解决有关问题.教学重点：不等式的性质及证明教学过程1、复习：b>baa⇔->aba=b⇔-=aba<b<-⇔2、不等式的性质及证明定理1：a>b⇔b<a定理2：a>b,b>c⇒a>c(或c<b,b<a⇒c<a)(传递性)说明：（1）相等关系的第一条性质是“自反性”；任何一个数量都等于它自身，即a＝a。

不等关系“>”、“<”没有自反性，但“非常格”不等关系“≥”、“≤”具有自反性。

（2）相等关系的第二条性质是“对称性”：a＝b必须且只需b＝a。

不等关系“>”、“<”没有对称性（例如a＞b不是必须且只需b＞a）；不等关系“≠”与非常格不等关系“≥”、“≤”具有对称性，其中“≥”、“≤”显然同时具有反对称性。

（3）相等关系的第三条性质是“传递性”：如果a＝b，且b＝c，那么a＝c。

不等关系“>”、“<” 与非常格不等关系≥”、“≤”也有些传递性，但不等关系“≠”没有传递性（例如2≠3，且3≠2，但2=2）定理3：a>b⇒a+c>b+c(或a<b⇒a+c<b+c)定理3说明：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.推论1：a+b>c⇒a>c-b(移项法则)也就是说：不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d显然，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向定理4、若a>b,且c>0，那么ac>bc；若a>b,且c<0，那么ac<bc.推论1、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd显然，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，即两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，还可以得到：推论2、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)推论3、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)例1.适当增加不等式条件使下列命题成立：（1）若a>b ，则ac≤bc ；（2）若ac 2>bc 2，则a 2>b 2；（3）若a>b ，则lg(a+1)>lg(b+1)；（4）若a>b ，c>d ，则d a >cb ．（1）c≤0 解析：乘以负数不等号方向才会改变（2）b≥0解析：∵ac 2>bc 2 ∴a>b 但只有均正时，才有a 2>b 2（3）b>－1解析：∵a>b ∴a+1>lb+1但作为真数，还需为正，∴需要b>－1（4）b>0，d>0解析：同向同正具有可除性例2.设f(x)=ax 2+bx 且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．解析：解一：∵f(－1)=a-b ，f(1)=a+b ∴a=21[f(1)+f(-1)]，b=21[f(1)－f(-1)]∴f(-2)=4a －2b=3f(-1)+f(1)，∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。

高中数学不等式的性质教案新人教B版必修5

不等式的性质教材分析这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．教学目标1. 通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2. 理解并掌握比较两个实数大小的方法．3. 引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．任务分析这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．教学设计一、问题情境教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．1. 公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km ／h，用不等式表达即为v≤40km／h．2. 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？x·［80000－2000（x－25）］≥200000．3. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．二、建立模型1. 教师精讲，分析我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．一般地，设ａ，ｂ∈R，则ａ＞ｂａ－ｂ＞0，ａ＝ｂａ－ｂ＝0，ａ＜ｂａ－ｂ＜0．由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．2. 通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来．用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质：定理1 如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．定理2 如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．定理3 如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．定理4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．3. 定理1～4的证明关于定理1～4的证明要注意：（1）定理为什么要证明？（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．4. 考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5定理5 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．三、解释应用［例题］1. 已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．［练习］1. 判断下列命题的真假，并说明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．四、拓展延伸1. 如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．2. 如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？3. 如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）点评这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进而点出教学的主题———不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质．通过对不等式的证明，使学生理解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力．就整个教学设计的效果看，这种设计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果比较理想．此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维能力．总之，这是一篇成功的教学设计案例，美中不足的是，对文初创设的现实情景利用的力度稍欠缺．。

人教B版高中数学必修五内蒙古赤峰二中教案等差数列

2.2 等差数列(2)教学目标1．明确等差中的概念．2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式3．培养学生的应用意识．教学重点:等差数列的性质教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教学方法:讲练相结合,分析法.一知识回顾1. 等差数列的通项公式:广义通项公式:2. 等差数列的递推公式:3.已知等差数列} {na中(1)3,341=-=aa则=6a(2)85=a,5321=++aaa则=d(3)352=+aa则=+43aa(4)358713=+aa则=+7624aa4.已知}{na是公差为d的等差数列,则}2{na是等差数列吗?}5{na呢?5.已知}{na是公差为d的等差数列,(1)从这个数列中抽出第1,3,5,7,9…项构成等差数列吗?(2) 从这个数列中抽出第1,4,7,10,13…项构成等差数列吗?(3) 从这个数列中抽出第3,6,9,12,15…项构成等差数列吗? 二新课:1.等差数列}{na的性质:(1)*,,,Nqpnm∈若qpnm+=+则:qpnmaaaa+=+(2)}{nka k为常数,也是等差数列.(3)下标成等差数列的项也成等差数列.(4)}{na,}{nb是等差数列,则}{nnqbpa+也是等差数列.2.等差中项在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。

由定义,实数a,b 的等差中项2b a A +=.三.例题分析1.求下列各组数的等差中项.(1) 2和21 (2)52和732.证明：如果{n a }是等差数列,则b kn a n +=，反子亦然。

3.已知等差数列{n a }中(1)1253=+a a , 2594=+a a 求1a ,d(2)40171553=+++a a a a 求128a a+(3)3321=++a a a ,7432=++a a a 求654a a a ++的值. 4.三个数成等差数列,其和为9,平方和为35,求此数列. 5.若222,,cb a 成等差数列.求证:b a ac c b +++1,1,1也成等差数列.四:作业A.1. 已知{n a }为等差数列(1)133421=+a a 求3916a a +的值(2)75433625147=++++a a a a a求2822a a +的值2. 已知三数成等差数列,首末两项的积为中项的5倍,后两项的和为第一项的8倍,求此三数3.已知等差数列}{n a 满足,p a m =,m a p =,求pm a +【探究】有固定项的数列}{n a 的前n 项和为：22n S n n =+，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均数是79(1)数列}{n a 的通项公式(2)求这个数列的项数，抽取的是第几项？课题：2.3 等差数列前n 项和（1）教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较简单应用等差数列前n 项和公式求和。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.1.2 不等式的性质》

绝对值三角不等式教学目标：知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义及推导方法，会进行简单的应用。

过程与方法：充分运用观察、类比、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式进行推理和证明。

情感、态度与价值观：体验不等式的美感，提高推理能力。

能运用所学的知识，正确地解决实际问题。

教学重点：绝对值三角不等式的含义和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

授课类型：新授课课时安排：3课时教具：多媒体辅助教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是证明不等式，另一类是解不等式。

本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a ，如果，如果，如果几何意义：a 表示数轴上，坐标为a 的点A 到原点的距离，如下图：2．任意两个实数b a ,在数轴上的对应点分别为A ，B ，则b a -的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的距离，即线段AB 的长度，如下图：结合以上复习回顾及思考，我们一起来研究b a b a b a -+,,, 之间有什么关系呢？二、讲解新课：探究：用恰当的方法在数轴上把b a b a +,,表示出来，你能发现它们之间的关系（b a ,是实数） ①0a b ⋅>时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++b a a b +b a ②0a b ⋅<时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++ ③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++ 综上,得定理1：如果b a ,是实数，则b a b a +≤+，当且仅当0≥ab 时，等号成立。

探究：若把b a ,换为向量，，情形又怎样呢？为了更好的理解定理1，我们再用代数推理的角度给予证明：证明：注意：定理1的推广形式：推广1：b a b a b a +≤+≤-（注意取等条件）根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。

高一数学《不等式的基本性质(2)》教学案

不等式的基本性质(2)【教学目标】1．学生在掌握上节课不等式的基本性质的基础上，学会用作差法比较两个实数或代数式的大小，掌握带参数的一元一次不等式的解法。

2．学生通过本节课的学习初步了解不等式的实际应用和不等式的重要地位和作用，渗透分类讨论的数学思想。

3．体会反证法的证题思想和证题方法。

【教学过程】一．情景创设生活中大家都明白这样一个道理“如果向一杯糖水中加糖，则会使糖水更甜”。

如果我们将这个实际问题转化为数学问题就是：若a 克糖水中含有b 克糖（a>b>0），若再加m （m>0）克糖，则糖水更甜了，为什么？分析：起初的糖水浓度为a b ，加m 克糖后的糖水浓度为ma mb ++，故只要证明a b m a m b >++即可，那么该怎么证明呢？二．复习回顾两个实数a 与b 的大小判断方法00<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a要比较两个实数或代数式的大小，只要考察它们的差的符号即可。

三．新课讲解例1 ab m a m b m b a >++>>>:,0,0试证明已知。

师生合作利用作差法予以证明。

（证明过程略）从本题的结论揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵，激发学生学习兴趣，体会数学学习与现实生活的密切联系。

同时教师也启发学生得出比较两个实数或代数式的一般步骤是：作差→变形→定号。

练习：（1）比较的大小与)4)(2()5)(3(-+-+a a a a 。

（2）已知1)1(,02422+++≠x x x x 与比较的大小。

例2 比较2)1(+a 与12+-a a 的值的大小。

注意：作差变形后需要按a 的取值进行讨论。

练习：（1）比较3x 与12+-x x 的大小。

（2）.1,0,的大小与比较且已知yx y y x ≠>例3 解关于x 的不等式.)2(m x x m +>+说明：本例是求解含有字母系数的一元一次不等式，应结合不等式的性质，引导学生明确为什么要进行分类讨论，怎样分类。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.1.2 不等式的性质》1

不等式的基本性质教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．教学过程：一、不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．二、数运算性质与大小顺序之间的关系b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0．三、不等式的性质1：（对称性）如果a>b ，那么bb ；即 a>bbb ，b>c ，那么a>c ．即 a>b ，b>ca>c ．说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：a c a b b c <⇒<<,．3：（加法）若a>b ，则ac>bc ，即a>bac>bc ．推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边．推论2：（加法法则）a>b ，c>dac>bd ．：4：（乘法）若a>b ，c>0，则ac>bc ；若a>b ，cb ，c>0ac>bc ；a>b ，c0acb>0，c>d>0ac>bc推论2：（乘方法则）a>b>0n n b a >nN,且n>15：（开方法则）若,0>>b a 则n n b a >)1,>∈n N n 且．即 .0n n b a b a >⇒>>小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．四、应用举例例1．已知0,0a b c >><，求证：c c ad >．证明：例2．设3612,208<<<<b a ，求ba b a b a ,2,-+的取值范围．解：由56203612208<+<⇒⎩⎨⎧<<<<b a b a ；242723612-<-<-⇒<<b b ，且128<<a ，4264-<-<-∴b a ．由35921211361208<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<b a b a ．例3．设bx ax x f +=2)(，2)1(1≤-≤-f 且4)1(2≤≤f ．求的取值范围．解：(1),(1),(2)42f a b f a b f a b -=-=+=+．设)1()1()2(nf mf f +-=-，即42()()()()a b m a b n a b m n a n m b +=-++=++-．4123m n m n m n =+=⎧⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩．(2)(1)3(1)f f f ∴=-+．由2)1(1≤-≤-f 得，63(1)12f ≤≤．5(2)(1)3(1)14f f f ∴≤=-+≤．小结：1．应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．2．根据不等式的性质，同向不等式可以相加，同向且两边均为正数的不等式可以相乘；同向不等式不能相减和相除，异向不等式的相减或相除应转化继同向不等式后用相加或相乘来3．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的，如果是有等号的还应注意两端能否取得等号．五、课堂练习：学案六、作业：学案。

高中数学不等式的性质教案北师大必修5

不等式的性质（2）教案教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞b⇔b＜a和a＞b，b＞c⇒a＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论，即“a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)b<a；b<a⇒a>b即：a>b⇒证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若a>b ，则a 1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小”与“a-b 与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0 根据两个正数的和仍是正数，得 (a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：cb ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c 证明：∵a>b ， ∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c 点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d ∵a －b ＞0，d －c ＞0 ∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)故a －c ＞b －d思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d 又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ） ∴a －c ＞b －d 四、课堂练习：1判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ； (2)如果a ＞b ，那么cac分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真答案：(1)真因为推理符号定理3(2)假2，3(初中)可知，当c ＜0时，ca ＜c即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负2回答下列问题：（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0⇒2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论(2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定a ＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝33求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b 证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b 4已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c证明：∵dc b a =∴ddc b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且db ＞1 ∴dbd c b a =--＞1∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法六、课后作业：1．如果R b a ∈,，求不等式bab a 11,>>同时成立的条件．解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a2．已知R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab∵abc cabc ab c b a ++=++111 0<abc 且0<++bc ac ab∴0111>++cb a3．已知||||,0b a ab >> 比较a1与b 1的大小．解：a 1b 1aba b -=当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b1当0,0<即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 4．如果0,>b a 求证：a b ab>⇔>1证：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a <0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>ab七、板书设计（略）八、课后记：。

人教版高中必修5(B版)3.1.2不等式的性质教学设计

人教版高中必修5(B版)3.1.2不等式的性质教学设计一、教学目标1.了解不等式概念，掌握不等式的解法及其性质。

2.掌握不等式的基本运算及其推导，理解不等式性质在数学中的应用。

3.培养学生的思维能力，促进学生的逻辑思维和综合分析能力的发展。

4.增强学生学习数学的兴趣，提高数学运算能力。

二、教学内容及课时安排教学内容：本节课以“不等式的性质”为线索，重点分析了“不等式的基本运算、不等式的性质及其推导，以及不等式在数学中的应用”。

课时安排：本节课的教学安排为2.5课时，具体分配如下：一、性质的认识 0.5课时教学目标：引入不等式概念，让学生初步认识不等式的性质。

二、不等式的解法及其性质 1课时教学目标：学习不等式的解法及其性质，培养学生的逻辑思维和综合分析能力。

三、不等式的基本运算及其推导 0.5课时教学目标：培养学生运用不等式的基本运算，理解不等式推导及其运算过程。

四、不等式性质在数学中的应用 0.5课时教学目标：启发学生了解不等式在数学中的应用，提高数学运算能力。

三、教学重点1.不等式的性质及其推导；2.不等式的基本运算及其推导；3.不等式性质在数学中的应用；四、教学方法教学方法：本节课采用多种教学方法，包括经验诱导法、抽象暴力法和实例演示法等。

布置练习：在教学过程中，充分发挥学生的主观能动性，结合实际问题，布置练习，在课外完成，并在下一节课上进行讲评和备课复习。

五、教学建议本节课的教学建议如下：1.加强课前预习；2.强化课内口头表达和笔头演算；3.考虑教学过程中对实例进行详细讲解；4.布置课外习题，在课后进行讲评，加强学生的自主学习能力。

六、教学反思本节课的教学反思如下：1.教学过程中，有少数学生不能熟练地进行不等式的运算；2.学生对不等式的性质掌握不够充分，需要多做练习；3.下一步，应该加强对不等式的推导及其应用的讲解和演示，帮助学生更好地掌握不等式的概念和性质。

内蒙古赤峰二中高一数学新人教B版必修5教案2.5《等比数列的前n项和》(1)

2.5等比数列的前n 项和（1）教学目标1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题. 教学重点 1. 等比数列的前n 项和公式； 2. 等比数列的前n 项和公式推导. 教学难点灵活应用公式解决有关问题.教学方法启发引导式教学法教学过程 (I)复习回顾 (1) 定义： (2) 等比数列通项公式： (3) 等差数列前n 项和的推导思想： (4) 在等比数列{}na 中，公比为q ，则1kk a q a+-=II ）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？一．等比数列求和公式 1．公式推导已知等比数列{}na ，公比为q ，求前n 项和n na a a S+++=Λ21。

分析：先用q n a ,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？2．公式与公式说明1(1)(1)1n n a q S q q -=≠-（1）公式推导方法：错位相减法特点：在等式两端同时乘以公比q 后两式相减。

（2）1=q 时，)1(1==q na S n（3）另一种表示形式q q a a S n n --=11总结：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(1)1(11q na q qq a S n n 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(111q na q qqa a S n n注意：每一种形式都要区别公比1≠q 和1=q 两种情况。

二．例题讲解例1．课本63页例1例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？例3．求等比数列Λ,83,43,23从第7项到第15项的和。

例4．已知等比数列{}na 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，126=n S ，求公比q 与项数n 。

例5 在等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，若3221a S =+，4321a S =+，求公比q 。

人教版高中必修5(B版)3.1.2不等式的性质课程设计

人教版高中必修5(B版)3.1.2不等式的性质课程设计一、教学目标1.掌握不等式的性质，包括可加性、可乘性、保号性、倒置性等。

2.能够通过不等式的性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

4.提高学生的数学素养和解决问题的能力。

二、教学内容1.不等式的性质2.不等式性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点3.1 教学重点1.熟练掌握不等式的可加性、可乘性、保号性、倒置性等性质。

2.通过实例讲解，强化学生理解和掌握程度。

3.2 教学难点1.把握不等式性质在实际问题中的应用方法。

2.分析问题的能力，建立数学模型。

四、教学方法1.探究式教学法。

通过引导学生自己发现不等式性质的规律和特点，提高学生的学习兴趣。

2.案例式教学法。

通过应用实例，激发学生学习数学的兴趣和充分应用不等式性质的能力。

五、教学过程5.1 自主学习1.给学生提供一份关于不等式性质的复习资料。

2.要求学生认真阅读并理解此部分内容，并自己思考和总结此部分内容的重点和难点。

5.2 深入讲解1.介绍不等式的可加性、可乘性、保号性、倒置性等性质。

2.通过具体的数学例子说明上述不等式性质的应用方法。

5.3 解题实践1.提供一些不等式实例，让学生用刚才所学的知识来解决问题。

2.针对学生不会的难点进行细心的耐心的讲解。

六、教学评估1.给学生一道与不等式的性质相关的综合应用题，考查学生对所学知识的理解和应用能力。

2.考试合格分数线85分。

七、教学资源1.教师所编写的课件。

2.关于不等式性质的练习册、测评材料等。

八、教学总结本堂课集中讲解了不等式的性质，学生们通过举一反三的例子，更好地理解和掌握了不等式的性质，建立数学模型的能力有了提高，更好地满足了提高素质的需求。

同时，为学生今后走向更高的学术、职业道路打下了坚实的基础。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.1.2 不等式的性质》85

②推论2a>b，c>d⇒____________
③推论2的推广
a>b,c>d，…，m>n⇒a＋c＋…＋m>b＋d＋…＋n
4性质4
a>b，c>0⇒__________；
a>b，cb>0，c>d>0⇒__________
②推论1的推广
a>b>0，c>d>0，…，m>n>0⇒ac…m>bd…n
③推论2a>b>0⇒________n∈N＋，n>1．
1.利用不等式性质证明不等式
2.利用不等式性质求取值范围
课件展示
板
书
设
计
题目
1证明不等式2求取值范围
④推论3a>b>0⇒____________n∈N＋，n>1．
学生回忆、口答
教师运用多媒体展示问题及答案
新
知
探
究
1. 利用不等式性质证明不等式
例1：
跟踪练习1：
2.利用不等式性质求取值范围
例2：已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a＋b，a－b、的取值范围．
跟踪练习2：已知－ <β<α< ，求2α－β的取值范围．
探究：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
求3a－2b的取值范围．
师生共同分析条件和结论，适当讨论交流，得出方法
鼓励学生上台展示
教师点评
师生共同分析条件
学生板演
师生共同分析找出问题所在
运用多媒体展示例题及证明过程
课件展示证明过程。
课件展示解题过程。
课件展示解题过程。
课件展示错解

人教版高中必修5(B版)3.1.2不等式的性质课程设计 (2)

人教版高中必修5(B版)3.1.2不等式的性质课程设计课程目标•了解不等式的定义和表示方法•掌握不等式的基本性质•学会利用不等式解决实际问题课程内容1. 不等式的基本概念•不等式的定义•不等式的表示方法2. 不等式的基本性质•不等式的传递性质•不等式的对称性质•不等式的加减乘除性质3. 不等式的解法•不等式的加减法解法•不等式的乘除法解法•不等式的绝对值解法4. 应用实例•求解简单线性不等式•解决双曲线问题•解决整数问题课程设计课前准备在课前，老师应该将本课内容的教学目标以及主要概念、性质、解法及相关实例讲清楚，让学生提前了解本课的内容。

第一步：理论授课老师可以先通过讲解的方式，简单介绍不等式的基本概念和定义。

之后，在此基础上，逐一讲解不等式的基本性质、解法以及一些应用实例，为后续的课程展开做理论准备。

第二步：实例分析为了帮助学生更好地理解课堂内容，老师可以拟定一些具体的应用实例，并在课堂上对这些实例进行深入的分析。

通过实际应用，让学生深入了解不等式的性质和解题方法。

第三步：课堂练习在对课堂内容进行了深入的讲解和分析之后，老师可以在课堂上设置一些习题，让学生进行相关的练习。

这样一方面可以帮助学生巩固所学知识，另一方面也可以帮助老师了解学生对知识点的掌握情况。

第四步：课后作业在课堂练习之后，老师可以布置一些相关的课后作业，让学生进一步巩固和深入理解不等式的相关知识。

同时，也可以通过作业的形式，了解学生对于本节课的掌握情况。

总结本堂课主要是介绍了不等式的基本概念、性质、解法及应用实例，希望通过学生的学习，能够更加深入的了解数学不等式的相关知识听从。

在今后学习中，同学们可以通过课堂上讲解的知识点，更好地了解不等式的相关知识，进一步挖掘数学中隐含的规律和秘密。

人教新课标版数学高二B必修5学案不等式的性质

3.1.2不等式的性质明目标、知重点 1.掌握不等式的性质.2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.(2)传递性：如果a>b，且b>c，则a>c.(3)加法法则：如果a>b，则a＋c>b＋c.推论1：(移项法则)不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：如果a>b，c>d，则a＋c>b＋d.即：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．(4)乘法法则：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，c<0，则ac<bc；推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2：如果a>b>0，则a n>b n(n∈N＋，n>1)．推论3：如果a>b>0，则na>nb(n∈N＋，n>1)．在初中我们学习了不等式的三条性质，事实上，不等式还具有其他一些性质，本节我们一起研究．探究点一不等式的性质思考1初中已经学习过不等式的一些性质，请同学们回忆初中不等式的基本性质有哪些？答(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a>b⇒a±c>b±c.(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若a>b，c>0⇒ac>bc.(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若a>b，c<0⇒ac<bc.思考2从实数的基本性质出发，如何证明下列常用的不等式的基本性质？(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；(3)a >b ，c >0⇒ac >bc .答 (1)a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒a －b ＋b －c >0⇒a －c >0⇒a >c ；(2)(a ＋c )－(b ＋c )＝a －b >0⇒a ＋c >b ＋c ；(3)a >b ，c >0⇒a －b >0，c >0⇒(a －b )c ＝ac －bc >0⇒ac >bc .思考3 我们把“如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b ”称为不等式的对称性，如何证明？答因为a >b ，所以a －b >0，不等式两边同乘以－1，得－a ＋b <0，即b －a <0，所以b <a ；同理可证如果b <a ，那么a >b .思考4 我们把“如果a >b ，且b >c ，则a >c ”称为不等式的传递性，想一想如何证明？答 a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒(a －b )＋(b －c )>0⇒a －c >0⇒a >c .思考5 我们把“不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边”称为不等式的移项法则，如何用不等式表示出移项法则并证明？答移项法则为a ＋b >c ⇒a >c －b .证明：a ＋b >c ⇒a ＋b ＋(－b )>c ＋(－b )⇒a >c －b .思考6 如何用不等式表示“两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向”？想一想如何证明表示出的不等式？答如果a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d .证明：因为a >b ，所以a ＋c >b ＋c ，又因为c >d ，所以b ＋c >b ＋d ，根据不等式的传递性得 a ＋c >b ＋d .探究点二不等式性质的应用例1 应用不等式的性质，证明下列不等式：(1)已知a >b ，ab >0，求证：1a <1b； (2)已知a >b ，c <d ，求证：a －c >b －d ；(3)已知a >b >0,0<c <d ，求证：a c >b d. 证明 (1)因为ab >0，所以1ab>0. 又因为a >b ，所以a ·1ab >b ·1ab ，即1b >1a ，因此1a <1b. (2)因为a >b ，c <d ，所以a >b ，－c >－d .根据性质3的推论2，得a ＋(－c )>b ＋(－d )，即a －c >b －d .(3)因为0<c <d ，根据(1)的结论，得1c >1d >0. 又因为a >b >0，所以a ·1c >b ·1d .因此a c >b d. 反思与感悟利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化．跟踪训练1 已知a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >e b －d. 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴0<1a －c <1b －d ，又∵e <0，∴e a －c >e b －d. 跟踪训练2 下列命题中正确的个数是( )(1)若a >b ，b ≠0，则a b>1； (2)若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ；(3)若a >b ，且ac >bd ，则c >d .A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 (1)若a ＝2，b ＝－1，则不符合；(2)取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错．(3)当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b答案 C解析由a ＋b >0知a >－b ，∴－a 0，∴a >－b >b >－a .2．已知a >b ，不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1a成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析由题意可令a ＝1，b ＝－1，此时①不对，②不对，③a －b ＝2，此时有1a －b <1a，故③不对．故选A.3．已知a ，b ，c ，d ∈R 且ab >0，－c a >－d b，则( ) A ．bc <adB ．bc >ad C.a c >b dD.a c 0，∴在－c a >－d b两侧乘ab 不变号，即－bc >－ad ，即bc <ad .4．若α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，那么2α－β3的范围是________________．答案 (－π6，π) 解析 α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)，β∈(0，π2)， ∴－β3∈(－π6，0)，∴－π6<2α－β3<π.1．不等式的性质(1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．2．在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正．一、基础过关1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2.∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2.∴x 2>ax >a 2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >ab 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >ab 2 D.a b >ab 2>a答案 D解析取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a .3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是() A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ，∴ac 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2 答案 A解析由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，⎩⎨⎧a >0b >c ⇒ab >ac .5．已知a 、b 为非零实数，且a 0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于(2)，∵a 0，∴1ab 2<1a 2b，故成立；对于(3)，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1，故不成立． 6．如果a 、b 、c 满足c ac(2)c (b －a )>0 (3)cb 2<ab 2(4)ac (a －c )<0答案 (3)解析 c 0，c <0，而b 的取值不确定，当b ＝0时，(3)不成立．7．已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ；证明因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc .又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .二、能力提升8．若a <0，－1a >abC ．ab >b >ab 2D ．ab >ab 2>a 答案 D解析 ∵－1ab 2>a .9．如果－1<a 0，∴a ab a 2>b 2>0，∴1b <1a<00，则a >b ； (2)若a >b >0且c >d >0，则 a d > b c ； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b； (4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .解 (1) ⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，但推不出a >b ，故(1)错． (2) ⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b c >0⇒ a d > b c成立，故(2)对． (3)错．例如，当a ＝1，b ＝－1时，不成立．(4)错．例如，当a ＝c ＝1，b ＝d ＝－2时，不成立．12．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，(1)求证：ac ＞bd .(2)试比较a d 与b c的大小． (1)证明因为a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，所以ac ＞bc ，bc ＞bd ，所以ac ＞bd ，(2)解因为a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，所以a d ＞b d ＞0，b d ＞b c＞0，所以a d ＞b c＞0，所示a d ＞b c. 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝ax 2－c ，－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解 ∵f (x )＝ax 2－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －c ，f (2)＝4a －c ，∴⎩⎨⎧ a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝13f (2)－43f (1).∴f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)，又∵－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，∴53≤－53f (1)≤203，① －83≤83f (2)≤403.② 把①②的两边分别相加，得－1≤83f (2)－53f (1)≤20，即－1≤f (3)≤20.。

高中数学备课精选 3.1.2《不等式的性质》学案新人教B版必修5

高中数学备课精选 3.1.2《不等式的性质》学案新人教B版必修5自主学习1．用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的关系，含有这些不等号的式子叫做．2．数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数．3．a≥b的含有是；若a>b，则a≥b是命题；若a≥b，则a=b是命题．4．比较两个实数大小的依据是：a-b>0⇔；a-b=0⇔；a-b<0⇔．5．作差比较两个代数式的大小过程中，变形的方法常有和．合作探究在初中我们学习了不等式的三条性质。

事实上，不等式还具有下面的一些重要性质：性质1 如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b 。

（对称性）性质2 如果a>b , 且b>c , 则a>c 。

（传递性）证明：这个性质也可表示为c<b , b<a ⇒c<a 。

性质3 如果a>b ,则a+c>b+c 。

证明：性质3表明什么？由性质3很容易得出推论1 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。

（移项法则）推论2 如果a>b ,c>d ,则a+c>b+d 。

证明：同向不等式：由推论2可以推广为更一般的结论：性质4 如果a>b ,c>0 ,则ac>bc ；如果a>b ,c<0 ,则ac<bc 。

证明：推论1如果a>b>0 ,c>d>0 ,则ac>b d 。

证明：很明显，这个推论可以推广为更一般的结论：推论2 如果a>b>0 ,则)1,(>∈>+n N n b a n n 。

证明：推论3 若果a>b>0 ，则n n b a >()1,>∈+n N n 。

证明：例应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知a>b ,ab>0 ,求证：b a 11< ；（2）已知a>b ，c<d ,求证：a-c>b-d ；（3）已知a>b>0 ,0<c<d ,求证：d bc a> 。

人教B版高中数学必修五内蒙古赤峰二中教案不等式的性质

课题：不等式的性质（1）教学目的：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号课时安排：1课时教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系问题1.a 克水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?问题2.课本80页问题3二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R ．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．三、讲解范例：例1比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小【练习】已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小【变式】在上一题中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?【结论】用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差--变形--判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要【解决问题1】已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a b的大小例2．已知x>y ，且y≠0，比较y x与1的大小例3．比较231-和10的大小例4．设0>a 且1≠a ，0>t ，比较t a log 21与21log +t a 的大小四、课堂练习：1在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3 －2 ）2 （6 －1）2；（3）251- 561-；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b五、小结：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论六、课后作业：A ：P83页B 组：1 B ：1．已知142=+y x 比较22y x +与201的大小2．比较2sin 与sin2的大小(0<<2)C.设0>a 且1≠a ，比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小【探究】设数列{a n }是首项为1的正项数列，且（n+1）a n+12-na n 2+a n+1a n =0(1) 求数列{a n }的通项公式(2) 若数列{b n }满足b n ＝（2n 2-21n ）a n ，求数列{|b n |}的前n 项和。

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教学目的：
1．理解实际生活中的不等关系
2．理解同向不等式，异向不等式概念；
3．理解不等式的性质1-4及其证明
4．通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯
教学重点：掌握不等式性质，注意每个性质的条件。

教学难点：性质的证明
教学方法:
引导启发结合法--即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用
教学过程：
一、复习引入：
1．实数的序关系与差运算关系：
0>-⇔>b a b a
0=-⇔=b a b a
0<-⇔<b a b a
二、讲解新课：
1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式。

例如：a>b ，c>d ，是同向不等式
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式
2．不等式的性质：
性质1：a b b a >⇔<，a b b a <⇔>．
性质2：
c
a c
b b a >⇔>>, 性质3：如果a b >，那么a
c b c +>+．
性质4：,0a b c ac bc >>⇒>
,0a b c ac bc ><⇒<
性质5：如果
0a b >>且0c d >>那么0ac bd >>
三、讲解范例：例1 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．
例2．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：d b e c
a e ->-
例3．若R b a ∈,，求不等式
b a b a 11,>>同时成立的条件例4．已知2()f x ax
c =-，且4(1)1f -≤≤-，
1(2)5f -≤≤，求(3)f 的取值范围
四．课堂练习：
P82 练习1.2. 1判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；
(2)如果a ＞b ，那么c a ＞c b
2回答下列问题：
（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；
(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明
3已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且d c b a =
，求证：a ＋d ＞b ＋c
五、作业：
A ：1、P83 A 组：1.
2 、B 组：2
B ：3、||||,0b a ab >> 比较a 1与b
1
的大小
4、若0
,0<<>>d c b a 求证：d
b c a ->-ππααsin sin log log C.设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0,1x x >≠，试比较()f x 与()g x 的大小。