方程的根与函数的零点ppt课件

f(a)·f(b成)<立0 ，那么函数在区间(a,b)上有零点。
二、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0， 这
个c也就是方程 f(x)=0 的根。
零点是否存在某种关系？
观察函数f(x)的图像： 1. 在区间(a,b)上___有_(有/无)零点；
y
f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）．
<
0
x 2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点； f(b)·f(c)____ 0（填有＜或＞）．
<
猜想：
若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有
3.1.1方程的根与函数的零点
预习课本 P86～88，思考并完成以下问题 (1)函数零点的定义是什么？
(2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？
(3)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三者 之间的联系是什么？
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2
兴趣导入：
解方程： 1 x2 − 2x − 3 = 0 2 x2 − 2x + 1 = 0 3 x2 − 2x + 3 = 0
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－32＞0，
∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．
[答案] B
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判断函数零点所在区间的 3 个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区 间内至少有一个零点．
0
x
ax2+bx+c=0 的根
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)即
b 2a
,0
没有交点
一、函数零点的定义：
对于函数 y f(x),把使 f (x) 0的实数 x
叫做函数 y f (x)的零点.
.
19
[法二 判定定理法] 由于 f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， 所以 f(1)·f(2)＜0，又 f(x)＝ln x＋x2－3 的图象在(1,2)上是不间 断的，所以 f(x)在(1,2)上必有零点， 又 f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
(4) f (x)＝1－log3x.
.
7
[解] (1)令x＋x 3＝0，解得 x＝－3，所以函数 f(x)＝x＋x 3的零 点是 x＝－3.
(2) 令 x2＋2x＋4＝0，由于 Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程 x2＋2x＋4＝0 无实数根， 所以函数 f(x)＝x2＋2x＋4 不存在零点． (3) 令 2x－3＝0，解得 x＝log23. 所以函数 f(x)＝2x－3 的零点是 x＝log23. (4) 令 1－log3x＝0，解得 x＝3， 所以函数 f(x)＝1－log3x 的零点是 x＝3.
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3
思考：一元二次方程 a2xb xc0(a0)
的根与二次函数 ya2xb xc(a0) 的图像有什么关系？
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
判别式
>0
0
<0
y=ax2+bx+c 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数.
方程 f (x) 0的实数根
⟺ 函数 yf(x)图象x与 轴交点的横 ⟺ 函数 yf(x)的零点
求函数的零点
[例 1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) f (x)＝x＋x 3；
(2) f (x)＝x2＋2x＋4；
(3) f (x)＝2x－3；
)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)判断函数 f(x)＝ln x＋x2－3 的零点的个数．
(1)[解析] 当 x≤0 时，由 f(x)＝x2＋2x－3＝0 得 x1＝－3，
x2＝1(舍去)； 当 x＞0 时，由 f(x)＝－2＋ln x＝0 得 x＝e2.
∴函数的零点个数为 2.
[答案] B
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(2) [解] [法一 图象法] 函数对应的方程为 ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即 为函数 y＝ln x 与 y＝3－x2 的图象交点个数． 在同一坐标系下，作出两函数的图象 (如图)． 由图象知，函数 y＝3－x2 与 y＝ln x 的 图象只有一个交点，从而 ln x＋x2－3＝0 有一个根， 即函数 y＝ln x＋x2－3 有一个零点．
0
Hale Waihona Puke xb函数零点存在定理的三个注-意2 点：
1 函数是连续的。
-4
2 定理不可逆。
3 至少- 存6 在一个零点。
判断函数零点所在的区间
[例 2] 函数 f(x)＝ln x－x2的零点所在的大致区间是
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(e，＋∞)
[解析] ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
.
8
函数零点的求法 求函数 f(x)的零点时，通常转化为解方程 f(x)＝0，若 方程 f(x)＝0 有实数根，则函数 f(x)存在零点，该方程的根 就是函数 f(x)的零点；否则，函数 f(x)不存在零点．
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9
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象 探究活动
1. f(-2)= 5 ，f(1) = -4
.
15
三、求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0，
√ 得出函数的零点。
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象
√ 与x轴交点的横坐标。
(3)定理法：函数零点存在性定理。
教材88页 例1题
求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数。
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判断函数零点的个数
[例 3] (1) f (x)＝x－2＋2＋2xln－x3，，xx＞≤00， 的零点个数为(
y
2
f(-2) f(1) < 0 (填“>”或“<”)－2 1
发现在区间(-2，1)上有零点
-1
－1 0 1 2 －1 －2
－3
2. f(2)= -3 ，f(4) = 5
－4
34x
f(2) f(4) < 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点 3
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数
.
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【总一总★成竹在胸】
➢ 一元二次方程的根及其相应
二次函数的图象与x轴交点的关系;
➢ 函数零点的概念;
➢ 函数零点与方程的根的关系.
➢函数零点存在性定理
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定理理解：判断正误 （1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 错
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。 错
（3） f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。错
y
y
y
2
a
a
-10
0b
-5
x
a 0 x 1b x