电路-第9章 网络图论基础
电路原理清华大学课件2017网络图论基础共55页文档
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
电路原理清华大学课件2017 网络图论基础
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是
图论基础知识
end;
end;
end;
End； 15
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以 只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if not Visited（I) then dfs(i);
Begin
访问顶点i；Visited[i]:=true;顶点i入队q；
while 队列q非空 do
begin
从队列q中取出队首元素v；
for j:=1 to n do
begin
if (not Visited[j]) and (a[v,j]=1) then
begin
时间：O（n*n）
访问顶点j；Visited[j]:=true;顶点j入队q
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图， 右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构 成的一个子图。
7
图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
8
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
11
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 图的宽（广）度优先遍历：类似于树的按层次遍历。从图中某个顶点V0出 发，访问此顶点，然后依次访问与V0邻接的、未被访问过的所有顶点，然 后再分别从这些顶点出发进行广度优先遍历，直到图中所有被访问过的顶 点的相邻顶点都被访问到。若此时图中还有顶点尚未被访问，则另选图中 一个未被访问过的顶点作为起点，重复上述过程，直到图中所有顶点都被 访问到为止。
图论基础知识
图论基本知识对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。
我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。
进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。
本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。
个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。
对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。
图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。
集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。
根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。
如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。
以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。
记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。
图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。
电力网络理论讲课图论基础
只考虑电网络中各元件之间的连接关系时， 可将网络中的每一个元件用一条线段表示，称 为边，元件的端点用顶点表示，这样便构成了 电网络图，以下简称网络图或图。图的组成元 素称为图元，边和顶点是最基本的图元。
一个实际系统抽象为图后，物理对象以边 的形式出现，因此边是实体图元；顶点的作用 是将边连接成图，所以顶点是连接图元。
e5 = v4v4 则 G = (V, E) 是一个图。
v1 e1 v4 e5
e2
e4
v2
e3
v3
相关概念: （1） 若边e = uv , 此时称 u 和v 是 e 的端点; 并称 u 和 v 相邻，u (或v)与 e 相关联。若两条 边有一个共同的端点，则称这两条边相邻。 （2）特殊点、边 孤立点：不与任何边相关联的点； 环：两端点重合的边； 重边：连接两个相同顶点的边的条数，叫 做边的重数。重数大于1的边称为重边。
符号说明: 图G 的顶点集也记为V(G), 边集也记 为E(G)。图G 的顶点数（或阶数）和边数可分 别用符号 n(G) (或 |V(G)| ) 和 m(G)表示。 例1 设 V ={v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，
则 G = (V, E) 是一个4阶图。
每一条线段称作图的边（Edge），每一 个节点称作图的顶点（Vertex）。
图的基本概念
一．图的定义
定义1 一个图 G 定义为一个有序对(V, E)， 记为G = (V, E)，其中 （1）V是一个非空集合，称为顶点集或点 集，其元素称为顶点或点； （2）E是由V中的点组成的无序点对构成的 集合，称为边集，其元素称为边，且同一点 对在 E 中可出现多次。
定义4 子图和补图：设G 和H为两个图，若 V(H) V(G) , E(H) E(G) ,且H中边的重数 不超过G中对应边的重数，则称H 是G 的子 图. 记为H G 。有时又称G是H的母图。 当H G ，但H ≠ G时，则记为H G ， 且称H为G的真子图。G的生成子图是指满 足V(H) = V(G)的子图H。
网络图论集网络方程
0 1 0 0 0
[Yb
]
0 0
0 0
3 0
0 2
0 0
0 0 0 0 1
0
0
0
0
[Us ] 0 [Is ] 0
1
0
0
1
Yn AYbAT
3 1 0
1 5 1
0 1 2
•
In
•
A Is AYb
•
Us
2 0
1
•
•
Yn Un In
1
4
2 35
12
七、含互感电路分析
Ib Bf T Il
•
•
•
[Bf ZbBf T ]Il [Bf Us Bf Zb Is ]
•
•
Zl Il Usl
1 1 0 1 0 0
[Bf
]
0
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
其中： Zl Bf ZbBf T
（回路阻抗矩阵）
•
•
•
Usl Bf Us Bf Zb Is
（回路电压源列向量）
(nxb) (bx1)
•
•
••
五、 节点电压方程 (Ib Yb Ub Yb Us Is )
•
•
Y n
Un
In
(nxn) (nx1) (nx1)
u1 = un2 – un1
-i1u+2 =i4u–ni26 = 0 iu1 +3 =i2+uni23 –=un03
其中：1
[
A]
1
0
I•Y100n n10A1 I•As100YbA100AYbT10U•1s
1
网络图论
主讲 骆建
第三章 电路方程法 （网络分析的一般方法）
（电路分析方法之二）
主讲
开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
骆建
1
2
第三章
网络分析的一般方法
3.1 网络图论的基本概念 3.2 有向图的矩阵表示
了解支路电流分析法 重点掌握回路（电流）分析法 重点掌握节点（电压）分析法
3.3 KCL与KVL方程的矩阵表示 3.4 支路电流分析法 3.5 节点电压分析法 3.6 回路电流分析法
6
支路j属于网孔i ，方向与i一致 支路j属于网孔i ，方向与i相反 支路j不属于网孔i
Bf = 1L F
(b-n+1) 单位矩阵 树支对应的 子矩阵
2、内网孔是一组独立回路
31 32
3-2-5 有向图矩阵间的关系 1.A与Bf（或M)的关系 要求:各矩阵序号相同的列对应同一支路 则： ABfT=0 支 节 1 A= 2 3 或
支 节 1 1 1 Aa= 2 -1 3 0 4 0
2 0 -1 1 0
3 0 0 1 -1 1 1 -1 0
4 -1 0 0 1 2 0 -1 1
5 0 1 0 -1 3 0 0 1
6 1 0 -1 0 4 -1 0 0 5 6 0 1 1 0 0 -1
Aa={aij}n b
节点数 支路数
aij
Ub=AT Un
1 1 0 0 0 -1 -1 2 0 1 0 -1 -1 0 3 0 0 1 1 1 1
• 独立、完备的节点电压变量Un 。
39
u2 u4 0 u6 0 u1 = 0 u3 u5 和
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
4 保留4支路，图不连通的。
电网络 - 第一章网络理论基础(3)
全部非零大子式 2 2 （ A 的 非零大子式） ( 1 )
所有大子式
B与C 的对应大子式的乘积
②
1
①
2
5 4
④ ③
3 6
支 节 1 A= 2 3
{1，5，3，6} {2，3，6}
6
{1，2，6}
{3，4，5}
§ 1-9 图的矩阵表示及其性质
有向图拓扑性质的描述 ：
（1）关联矩阵(Incidence Matrix) （2）回路矩阵(Loop Matrix)
（3）割集矩阵(Cutset Matrix) （4）连通图的主要关联矩阵的关系
(1)关联矩阵A
•元件的图
i1 i2
1 2
1
2
3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图
1
2
双口元件的图
•网络的图
网络拓扑 i1
连接性质 抽象
i1 i = 0
i1
i2 +
-
i3
i2
i3
支路 电路图 无 向 图
i2
i3 抽象图
抽象
抽象
L uS R1 R2 C 抽象
有 向 图
(1)图的基本概念(名词和定义)
1 2 3 7 5 6 8 4
2
3
1
7
2 8
5 9
5 回路
不是回路
(4) 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： 1)连通； •余树或补树：G中对应树T的余 2)包含G的所有节点； 子图称为余树或补树(Cotree). 3)不包含回路。
1网络图论
A
C
• D
B
欧拉得出了一般结论， 欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必 充分条件是奇次顶点 奇次顶点（ 要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数 为奇数）的数目为0或 。 为奇数）的数目为 或2。显然右图不满足此条件 因此，七桥问题的答案是否定的。 ，因此，七桥问题的答案是否定的。 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地， 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段 表示桥。图论中， 表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用 点和连接于点与点之间的线段来表示，因此， 点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图 就是一些点与线段的集合。 就是一些点与线段的集合。
m＝l＝b-(nt-1) =b-n。 ＝＝ 。
b＝nt ＝ 3。 ＝ 。 m＝l＝b-(nt-1) =1。 ＝＝ 。
增加虚线部分： 增加虚线部分： b＝8 ， nt ＝ 7 。 ＝ m＝l＝b-(nt-1) =2。 ＝＝ 。
§1-3 割 集
割集(cut set) ： 割集
任一连通图G中 符合下列两个条件的支路集 任一连通图 中，符合下列两个条件的支路集 叫做图G的割集 的割集。 叫做图 的割集。 (1) 该支路集中的所有支路被移去 但所有节 该支路集中的所有支路被移去(但所有节 点予以保留)后 原连通图留下的图形将是两个 两个彼 点予以保留 后，原连通图留下的图形将是两个彼 此分离而又各自连通的子图（含孤立节点） 此分离而又各自连通的子图（含孤立节点）； (2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余 该支路集中，当保留任一支路， 的所有支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连 的所有支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连 通的。 通的。
基本概念 树支(tree branch)：树中的支路叫做树支。 树支 ：树中的支路叫做树支。
电路分析基础[第九章网络图论基础]课程复习
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第九章网络图论基础9．2．1 网络图论的基本概念(1)图：由“点(节点)”和“线(支路)”组成的图形称为图，通常用符号G 来表示。
(2)子图：图的一部分(允许孤立的节点，不允许孤立的支路)。
(3)有向图：若图G的每条支路都标有一个方向，则称为有向图，否则称为无向图。
(4)连通图：若图中的任意两个节点之间均至少存在一条由支路构成的路径，则称为连通图，否则称为非连通图，孤立的节点也是连通图。
(5)数、树枝、连枝：不包含回路，但包含图的所有节点的连通的子图为树；组成树的支路为树枝；其余支路为连枝。
(6)回路：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。
(7)基本回路：只含一个连枝的回路，也称单连枝回路。
(8)割集：割集是一组支路的集合，如果把这些支路全部移走(保留支路的两个端点)，则此图变成两个分离的部分，而少移去任一条支路，图仍是连通的。
(9)基本割集：只含一个树枝的割集，也称单树枝割集。
9．2．2 图的矩阵表示图的支路与节点、支路与回路、支路与割集的关联性质均可以用相应的矩阵来描述。
一、关联矩阵A关联矩阵A又称为节点支路关联矩阵，它反映的是节点与支路的关联情况。
设一有向图的节点数为n，支路数为b，则节点与支路的关联情况可以用一个n×b的矩阵来表示，记为Aa ，称为图的增广关联矩阵，Aa的每一行对应一个节点，每一列对应一个支路，其第i行第j列的元素aij定义为：由于Aa 的行不是彼此独立的，即Aa中的任一行都能从其他(n-1)行导出，因此，若由矩阵Aa中任意划出一行，剩下的(n-1)×b阶矩阵称为降阶关联矩阵，用A表示，又称为关联矩阵。
被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。
二、回路矩阵B对于任一个具有n个节点，b条支路、c个回路的有向图，回路与支路的关联情况可以用一个(c×b)阶矩阵来描述，记为Ba ，Ba的每一行对应一个回路，每一列对应一个支路，其第i行第j列的元素bij定义为：若从矩阵Ba中取出独立回路所组成的(b-n+1)×b阶矩阵称为独立回路矩阵，简称回路矩阵。
网络拓扑知识：网络拓扑的图论基础
网络拓扑知识：网络拓扑的图论基础网络拓扑图论基础网络拓扑，是指网络中各个节点（如服务器、路由器、交换机等）之间的连接关系和组成形式。
在网络建设和维护中，网络拓扑是一个重要的考虑因素。
图论是研究图形的学科，网络拓扑中的图像所表达的特征和特点也与图论有着密切的联系。
图是一种由节点和边构成的数学模型，常用于描述复杂的关系。
在图中，节点表示图中的个体，如人、物、场所等，在网络拓扑中，节点可以表示计算机、路由器、交换机等网络设备。
边表示这些个体之间的关系，如人与人之间的亲属关系、产品与产品之间的运输关系等，在网络拓扑中，边可以表示网络设备之间的连接方式和互联方式。
在图中，节点也可称为顶点，边也可称为线。
所以，一个图就是一个由顶点和边组成的集合，常用G（V，E）表示。
其中，G表示图，V表示顶点（vertex），E表示边（edge）。
图形常用非正式的语言来描述，如用不同的颜色、粗细、箭头、名称等来表示不同的节点和边。
以下是一个简单的例子：图中用圆形表示节点，用线连接两个节点表示这两个节点之间存在着一定的关系。
这张图就是一个无向图，即边没有方向性，任意两个节点之间都是相互连通的。
无向图中的节点可以分为度数为奇数和偶数的两种，满足每个节点的度数都是偶数的图称为欧拉图，任何欧拉图都可以通过从某个节点出发，沿着边，依次经过每个节点，回到出发节点形成闭合回路。
如果存在两个度数为奇数的节点，就是半欧拉图（或叫半欧拉回路），半欧拉图中可以从一个度数为奇数的节点出发，经过所有边恰好一次，到达另一个度数为奇数的节点。
若没有度数为奇数的节点，则没有欧拉通路或半欧拉通路的连通无向图为欧拉图。
有向图的边是带有方向性的，顶点之间的方向性是不同的，所以在有向图中，节点之间的关系是单向的。
因为有向图中边的方向性，定义节点的入度指向该节点的边的数量，而出度指从该节点出发的边的数量。
一个图中所有节点的出入度之和相等，则称其为欧拉图；如果每个节点的出度等于入度，则称为正则图；只有一个节点入度与出度之差为1，所有其他节点入度与出度相等，则该图为半欧拉图。
电路分析基础各章节小结
“电路分析基础”教材各章小结第一章小结：1.电路理论的研究对象是实际电路的理想化模型，它是由理想电路元件组成。
理想电路元件是从实际电路器件中抽象出来的，可以用数学公式精确定义。
2.电流和电压是电路中最基本的物理量，分别定义为电流tqidd=，方向为正电荷运动的方向。
电压qwudd=，方向为电位降低的方向。
3.参考方向是人为假设的电流或电压数值为正的方向，电路理论中涉及的电流或电压都是对应于假设的参考方向的代数量。
当一个元件或一段电路上电流和电压参考方向一致时，称为关联参考方向。
4.功率是电路分析中常用的物理量。
当支路电流和电压为关联参考方向时，ui p=；当电流和电压为非关联参考方向时，uip-=。
计算结果0>p表示支路吸收（消耗）功率；计算结果<p表示支路提供（产生）功率。
5.电路元件可分为有源和无源元件；线性和非线性元件；时变和非时变元件。
电路元件的电压-电流关系表明该元件电压和电流必须遵守的规律，又称为元件的约束关系。
（1）线性非时变电阻元件的电压-电流关系满足欧姆定律。
当电压和电流为关联参考方向时，表示为u=Ri；当电压和电流为非关联参考方向时，表示为u=－Ri。
电阻元件的伏安特性曲线是u-i平面上通过原点的一条直线。
特别地，R→∞称为开路；R＝0称为短路。
（2）独立电源有两种电压源的电压按给定的时间函数u S(t)变化，电流由其外电路确定。
特别地，直流电压源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于i轴且u轴坐标为U S的直线。
电流源的电流按给定的时间函数i S(t)变化，电压由其外电路确决定。
特别地，直流电流源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于u轴且i轴坐标为I S的直线。
（3）受控电源受控电源不能单独作为电路的激励，又称为非独立电源，受控电源的输出电压或电流受到电路中某部分的电压或电流的控制。
有四种类型：VCVS、VCCS、CCVS和CCCS。
6.基尔霍夫定律表明电路中支路电流、支路电压的拓扑约束关系，它与组成支路的元件性质无关。
电路分析-图论基础学习
图论基础学习
电路分析
图论基础学习
• 什么是电路的拓扑图？
➢ 我们在应用基尔霍夫定律解决电路问题时，知道例析 KCL和KVL方程只与电路的结构有关，而与元件的性质 无关，因此，研究这种约束关系时可只考虑电路的结 构，不考虑元件的性质。这样，将电路图中每个支路 用线段(与线段的长短、曲直无关)代替，可得到一个 线段与节点组成的图形，称为电路的拓扑图，简称 “图”，图-a的拓扑图如图-b所示。
➢ 右图的节点3就是孤立节点。 ➢ 右图中如果删除节点2，得到的
新图就只有节点1、节点4、节 点3和线段1-4了！
电路分析
图论基础学习
• 图的基本概念-什么是子图？
• 如果一个图的每个节点和每条支路都是另一个 图的节点和支路，那么这个图就是另一个图的 子图。
是
的子图
是
的子图
是
的子图
电路分析
图论基础学习
• 图的基本概念-什么是路劲？
• 从某个节点开始，经过不同支路及节点，到达 另一个节点的支路序列，我们就把这个序列叫 做路劲。
• 上图从节点1到节点3的路 径如下：
① ﹛ a﹜ ② ﹛ b, c﹜ ③ ﹛ d, f﹜ ④ ﹛ b, e, f﹜ ⑤ ﹛ d, e, c﹜
电路分析
图论基础学习
• 图的基本概念-连通图和非连通图？
• 如果一个图中，任意连点之间至少有一条路径， 我们就把这个图叫连通图，否则就叫非连通图。
• 这个图是连通图 • 这个图是连通图 • 这个图是非连通图
电路分析
图论基础学习
• 树的基本概念
➢ 树是一种特殊的图，是指 联通所有的节点，但不含回 路的图。右图中都是树，我 们可以理解到树是连通图， 它包括所有的节点，但不包 括回路。树是图的子图。
电路网络基础
ic c
b ib
ib
b
rbe
ic c
ib
e
三极管
e
电流控制的电流源
4. 电路分析基础
(1) 电流的参考方向和电压的参考极性 ①电流的参考方向
实际问题中往往难以事先判断电流的真实方向
电流方向 AB？
电流方向 BA？
A IR B
+
R
+
_ E1
E2_
解决方法：引入参考方向(reference direction)
电流源可以看作是恒流源与内阻的并联组合.
电压源与电流源特性比较
a
+
RS
+U
US_
_
+
IS
RS U
_
b
恒压源与内阻的串联 恒流源与内阻的并联
内阻越小越好
内阻越大越好
当内阻远小于负载时， 当内阻远大于负载时，
可视为恒压源
可视为恒流源
2. 电压源与电流源的等效变换
I
I
+
RS
+
U
US_
_
+
IS
RS' U
_
等效变换的原则：对外输出的电压、电流相等
电压源对外的: U U S IRS
电流源对外的:
U I IS RS
I US U RS
U (IS I )RS
电压源对外的: U U S IRS
电流源对外的:
I
IS
U RS
U S IRS IS RS IRS
US U RS RS
I
IS
U RS
可任意选定
电流参考方向
CAD01-图论
U b ATU n
0.5 0 1 0.5 0.5 0.5
T
I b GbU b GbU sb I sb
0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
T
30
（2） 基本回路分析
VAR KVL
U b Rb I b Rb I sb U sb
BU b 0
T
KCL
所有节点和支路属于另 一图G，为图G的子图
7
1.1 网络图
1.1.1 网络的图
连通图
图中任意二节 点之间至少有 一条由图中的 支路联成的路 径，则称之为 连通图，否则 称为非连通图。
非连通图
8
1.1 网络图
1.1.2 树、树支和连支
树-连通图G的一个树为 图G的一个子图，树必 须是连通的、含图G的 所有节点、无回路，树 是图G中所有节点和连 接这些节点所需的最少 支路的集合。 树支和连支-图G中，对 于某确定的树，凡属于 这树的支路为树支，不 属于此树的支路为 0 1 0 0 A 0 1 0 0 1 1
28
解
⑵ 计算节点电导矩阵
3 1 1 Gn AGb AT 1 3 1 1 1 3
⑶ 计算节点电导矩 阵的逆矩阵
1
2 3 I5 5
I l1
Il 2
4
I3
12
1.1 网络图
1.1.4 基本割集
割集-移去最少支路将连通图分为两个互不连接的子图时所 移去的支路的集合。 基本割集-含且仅含一条树支的割集。 基本性质 对有n+1个结点、b条支路的连通图G，给定一个树T， 则有n条树支路和b-n条连支路； ⑴ 任意割集至少应有一条树支； ⑵ 连通图G的基本割集数为b。
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网络图论图论是数学的一个分支，是富有
趣味和应用极为广泛的一门学科。
(1)图
图(a)电路，如果用抽象线段表示支
路则得到图(b)所示的拓扑图，它描
述了电路的点和线的连接关系，称
为电路的图。
定义：图G 是描述电路结点支路连
接关系的拓扑图，它是支路和结点
的集合。
1）支路总是连接于两个结点上。
2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。
移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结
点与电路的支路和结点一一对应。
9.1 网络图论的基本概念
(3)有向图：标示了参考方向
的图
(2)子图：图G1中的所有支路
和结点都是图G
中的支路和结点，则称G1
是G 的一个子图。
子图示例
9.1 网络图论的基本概念
(4)连通图
图中任何两结点之间存在由支路
构成的路径，则称为连通图。
连通图和非连通图示例
9.1 网络图论的基本概念(5)回路
从某个结点出发，经过一些支路
(一条支路仅经过一次)和一些结
点(每个结点仅经过一次)又回到
出发点所经闭合路径。
树和非树示例
(6)树
G1是G 的一个子图，且
满足以下三个条件：
A 、是连通的；
B 、包含G 中所有结点；
C 、不包含回路。
G1称为G 的一棵树。
9.1 网络图论的基本概念
(7)树支、树支数
构成树的支路称为树支。
树支数为：
割集示例
(8)连支、连支数
不属于树的支路称为连支。
连支数为：
(9)割集、割集方向
移走某些支路，图分成了两个分离的
部分，则这些支路的集合称为割集。
割集的方向：从一部分指向另一部分
的方向。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL
和KVL方程的矩阵形式
(1)增广矩阵
描述图中结点和支路关联情况的矩阵。
矩阵元素：
增广矩阵为n
×b 阶矩阵。
图9.2.1图的增广矩阵：
9.2.1 关联矩阵A
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
(2)关联矩阵A
增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一
个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结
点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、
6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流
入1号结点，支路6流出1号结点。
增广矩阵中只有n-1行是独立的，删除任一行，即得
到关联矩阵A:（(n-1)×b阶矩阵）
思考：如何由A画出有向图？
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.2 回路矩阵B
描述独立回与与支路的关联矩阵称为回路矩阵。
独立回路：
一个电路回路很多，如果回路的KVL方程相互独立，则称这些回路是独立的。
独立回路的个数及选取方法：
连接n个结点至少需要n-1条支路，所以树支集合是连接n个结点最少支路的集合，少一条则是非连通，多一条则构成回路。
所以，选独立回路可以选单连支路回路，即所谓的基本回路。
只有一根连支，其它都是树支，称为单连支回路，或称基本回路。
独立回路个数：b-n+1,即等于连支数。
独立回路选取方法：对较简单电路通过观察选取，平面电路选网孔；对复杂电路选
基本回路作为独立回路。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
回路矩阵是l=(b-n+1)xb阶矩阵，其元素：
右图所示B矩阵：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
如果以1、2、3为树支，以基本回路为独立回
路，并且以连支作为回路的正方向，支路的
排列顺序选树支后连支，则：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.3 割集矩阵Q
割集是支路的集合，移走割集中的所有支路，将使图分成两个部分，从其中一
部分指向另一部分的方向即为割集的方向，每个割集只有两个可能的方向，任
意假定一个方向为割集的方向，即为该割集的正方向。
割集矩阵是描述割集与支路的关联矩阵，A矩阵是Q的特例。
独立割集与树支数一样，即n-1。
Q是(n-1)xb阶矩阵，其元素：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
单树支割集（基本割集）
通常可以用闭合曲线割这个图，与曲线相交的支路即为
一个割集。
一个图有很多割集，但独立的割集只有n-1
个，如何获取独立割集呢？
一般选单树支割集为独立割集。
割集中只一条支路是树
支，其它支路均为连的割集称为单树支割集，或称为基
本割集。
图示电路，选1、2、3为树支，并以树支方向作为割集
方向，并选树支后连支排列，则Q矩阵：
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
如图所示，以4号结点作为参考结点，KCL方程为：
写成矩阵形式：
即：——A矩阵表示的KCL方程。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL
和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
同样，以4号结点作为参考结点，以结点电压表示支路电压：
写成矩阵形式：
即：——A矩阵表示的KVL方程。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
如图所示，以1、2、3为
树支，以基本回路列KVL：
写成矩阵形式：
即：——B矩阵表示的KVL方程。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
同样，以1、2、3为树支，以基本回路回路电流来表示
支路电流：
写成矩阵形式：
即：——B矩阵表示的KCL方程。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式
9.2.4 矩阵形式的KCL和KVL方程
如图所示，以1、2、3为
树支，对基本割集列KCL：
写成矩阵形式：
即：——Q矩阵表示的KCL方程。