量子力学第八章-自旋与全同粒子-郭华忠

a b a b c d c d
*
a 0 d 0
0 b 0 c 0 b ˆ ˆ x * c 0 b 0 c 0
| c |2 0 0 | c |2 I
得：b = c* (或c = b*)
x
2
0 c* 0 c* c 0 c 0

| c |2 1
σx 2 = I
令：c = exp[iα ] (α 为实），则
0 e i x i e 0
通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ ˆ F ( r , p) ˆ F
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为
自旋角动量 轨道角动量 异同点
与坐标、动量无关 同是角动量
3p
3p1/2 D2
58 90 Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
G E Uhlenbeck(G.E.乌伦贝克) 和 S A Goudsmit (S.A.古兹密 特 ) 1925年根据上述现象提出了电子自旋假设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的 投影只能取两个数值： S Sz 2 （2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
ˆ rp
ˆ S
不适用
满足同样的角动量对易关系
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L iL ˆ ˆ ˆ [ Lx , L y ] iLz ˆ ˆ ˆ [ L y , Lz ] iLx ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iL y
自旋角动量 ˆ S ˆ ˆ ˆ S S iS ˆ ˆ ˆ [ S x , S y ] iS z ˆ ˆ ˆ [ S y , S z ] iS x ˆ ˆ ˆ [ S z , S x ] iS y
求σy 的矩阵形式
ˆ ˆ ˆ 由 i y z x ˆ ˆ ˆ y i z x 出发
写成矩阵形式
1 得： y i 0
0 1
0 i e
e i 0
0 i ( ) e
1 ( r , t ) ( x , y , z , , t ) 2 2 ( r , t ) ( x , y , z , , t ) 2
写成列矩阵
1 ( r , t ) ( r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2 的自旋态，则波函数可分别写为：
0 x c 0 x c b 0 c* 0
由力学 量算符 厄密性
x
ˆ z Sz 2 0 1
1
0

ˆ z 0 1
1
0
ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z
首次证实原子在磁场中取向量子化的实验 斯特恩－革拉赫实验是原子物理和量子力学的基础实验之 一；它还提供了测量原子磁矩的一种方法，并为原子束和 分子束实验技术奠定了基础。
（3）讨论
设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为：
U M B MBz cos
2
求 Pauli 算符的 其他两个分量 利用反对易 a b 令 关系 ˆ x c d 1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1 σX 简化为：
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ Sx
ˆ Sy
ˆ Sz
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 S 2 Sx S y Sz 3 2 4
ˆ S2
仿照
算符的本征值是
L2
l (l 1) 2
S 2 s(s 1) 2 3 2 4
或
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x
x y y x i z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y i x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z i y
3. Pauli算符的矩阵形式
根据定义
1 (r , t ) 1 2 0
1
2
0 ( r , t ) 2
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
a Sz 2c
b d
电子自旋算符（如SZ）是作用于电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
自旋量子数 s 只有一个数值
s 1 2
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐 标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
( x, y, z, Sz , t )
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量： 规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
右乘σy
基于σ 的对易关系，可以证明 σ 各分量之间满足反对易关系:
左乘σy 我们从对易关系:
证： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x
出发 σy
2=1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y z y z y 2i x y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
最后得 SZ 的 矩阵形式
Sz
1 0 2 0 1
SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值±/2。
（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的引进
令
ˆ ˆ S 2
分量 形式
Sx x 2 S y y 2 Sz z 2
二式相加
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y 2 z y z y 2i y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0
同理可证:x, y 分量的反对易 关系亦成立. [证毕]
由对易关系和反对易关系还 可以得到关于 Pauli 算符 的如下非常有用性质：
(二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设
（四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实验
Z
（1）实验描述(1921)
S 态的H原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
N
Sபைடு நூலகம்
处于 S 态的 H原子
（2）结论
I.氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转
II.氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
e MS S c
Bohr 磁子
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e M B 2 c
(CGS )
（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
则，轨道回转磁比率为：
(O.Stern , 1888－1969)
Gerlach
（二）光谱线精细结构
3p3/2 D1
58 93 Å 58 96 Å
钠原子光谱中的一条亮黄 线 5893Å，用高分辨 率的光谱仪观测，可以看 到该谱线其实是由靠的很 近的两条谱线组成。 其他原子光谱中也可以发 现这种谱线由更细的一些 线组成的现象，称之为光 谱线的精细结构。该现象 只有考虑了电子的自旋才 能得到解释
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是±/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是1 。
即：
2 2 x 2 z 1 y
2. 反对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0 ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z 0
e i ( ) 0
这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：
0 1 x 1 0 0 i y i 0 1 0 z 0 1
从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 /2， 即有：
Sz 1 1 2
2
矩阵形式
a 1 c 0
2
a b 1 (r , t ) 1 (r , t ) c d 0 2 0 2
e 2 c
L

e 2 c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数
（六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别
a 1 1 c 0 1
同理对Φ–1/2 处理，有
b 2 0 d 2 2
b 0 d 1
a b 0 0 c d (r , t ) (r , t ) 2 2 2 2
第八章 自旋与全同粒子
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 电子的自旋 电子的自旋算符和自旋波函数 简单塞曼效应 两个角动量耦合 光谱精细结构 全同粒子的特性 全同粒子体系波函数 Pauli 原理 两电子自旋波函数
§9 氦原子（微扰法）
§1
电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验
原子 Z 向受力
磁矩与磁 场之夹角
Bz U Fz M cos z z
分析
若原子磁矩可任意取向， 则 cos 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板将 呈现连续带
但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 S 态的H原子 =0，没有轨道磁 矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
ˆ ˆ ˆ 对易关系：S S iS

ˆ 2i ˆ ˆ
分量形式：
x y y x 2i z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z 2i y