数列的概念与简单表示法一PPT课件

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2.1-数列的概念与简单表示法(优秀课件)

用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
通项公式，简称通项。
例如：an=n2 就是数列1，4，9，16，…的一个通项公式
注意：通项公式的主要作用是“知序号可求项”
121
如：数列{n2}的第11项是_______
②一些数列的通项公式不是唯一的；
如：数列1，-1，1，-1，…
③不是每一个数列都能写出它的通项公式。
（2）递减数列：对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0)
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
（3）常数列：各项都相等的数列
（4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想
这些数列的第n项an是什么？
一、数列的概念：
按一定次序排列的一列数叫做数列
例如：三角形数 1，3，6，10，…
正方形数 1，4，9，16，…
思考1：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？
1，2，3
1，3，2
2，1，3
2，3，1
3，1，2
3，2，1
注意：每个数列中的数都有特定的顺序，但不一定要有
特殊的规律.
一、数列的概念：
（1）写出这个数列的前4项；
（2）你能判断出这个数列哪一项最大吗？为什么？
解：（1）a1 1 4 1 2， a2 4 8 1 3
a3 9 12 1 2， a4 16 16 1 1
（2）∵an=-n2+4n-1= -(n-2)2+3
an=f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，

数列的概念及简单表示法一轮复习公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，因此
可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
(3)an
＝
0
1
n为奇数 n为偶数
或
an
＝
1＋－1n 2
或
an ＝
1＋cos nπ 2
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列条件，确定数列{an} 的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； (2)a1＝1，an＝n－n 1
·an－1 (n≥2)； (3) 已知数列 {an} 满足 an＋1＝an＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3，又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＝n－n 1an－1 (n≥2)， ∴an－1＝nn－－21an－2，…，a2＝12a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n.
题型二
由数列旳递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求
an.
思维启迪
解析
探究提升
已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差数列；当出现 an＝xan－1＋y 时，构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．

高中数学课件-第1讲数列的概念与简单表示法

第六章　数列第1讲　数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通考试要求项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.01聚焦必备知识知识梳理1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照__________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是__________，对应的函数值是________________，记为a n＝f (n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.提醒2.数列的表示法解析式法、表格法、____________.3.数列的单调性从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，__________________的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的__________________与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.提醒(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n项和公式如果数列{a n}的前n项和S n与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )夯基诊断√××√(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝____________.答案：2n －1当n＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________.答案：5n －4由a1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.02突破核心命题考点一由an与S n的关系求通项公式C(2)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n＋2－3，则a n＝_____.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.反思感悟训练1　(1)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n a n＝n·2n，则数列{a n}的通项公式为a n＝____________.(2)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n S n＋1＝－a n＋1(n∈N*)，则a10＝____________.例2　设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________.考点二由数列的递推关系求通项公式考向1累加法例3　已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_______.2累乘法反思感悟B考点三数列的性质考向 1数列的单调性D2数列的周期性答案：13数列的最值A反思感悟训练3　(1)如表，定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝( )A.1B.2C.5D.4C x12345f (x )54312C　由题意，a1＝4，a n＝f(a n－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，a7＝f(a6)＝f(1)＝5，…，则数列{a n}是以4为周期的周期数列，所以a2023＝a2020＋3＝a3＝5，故选C.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(四十)ADB4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为( )CA.760B.800C.840D.924BCD6.(2023·珠海质检)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，则该数列的前40项之和为( )A.－170B.80C.60D.230C C 由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.。

1 第1讲数列的概念与简单表示法

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第六章数列与数学归纳法
11
2．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当其前 n 项和 Sn 取最大值时，n＝________．解析：由题可知 n∈N*，令 an＝－n2＋6n＋7≥0，得 1≤n≤7(n∈N*)，所以该数列的第 7 项为零，且从第 8 项开始 an<0，则 S6＝S7 且最大．答案：6 或 7
第六章数列与数学归纳法
第1讲数列的概念与简单表示法
数学
第六章数列与数学归纳法
1
01
基础知识自主回顾
02
核心考点深度剖析
03
高效演练分层突破
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第六章数列与数学归纳法
2
知识点数列的概念和
简单表示法
等差数列
最新考纲
了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).
理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用．了解等差数列与一次函数的关系．会用数列的等差关系解决实际问题.
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第六章数列与数学归纳法
25
由数列递推式求通项公式的常用方法
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第六章数列与数学归纳法
26
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n（n1＋1），则 an＝________．解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n－1 1－n1＋n－1 2－n－1 1＋…＋ 12－13＋1－12＋2＝3－n1. 答案：3－n1
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第六章数列与数学归纳法

数列的概念与简单表示法_教学课件

数列
考纲点击热点提示
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 1.已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项. 2.以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想.
1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类
1，首项为
0.
故λann－λ2 n＝n－1，所以数列{an}的通项公式为 an＝(n－1)λn＋2n.
利用Sn，求an
已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
【思路点拨】利用数列的通项an与前n项和Sn的关系
an＝SS1n－Sn－1
【思路点拨】由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，
注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并
不唯一．
【自主探究】 (1)各项是从4开始的偶数，
所以an＝2n＋2.
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写为21,22,23,24,25，…，故所
求数列的一个通项公式可写为an＝
2n－1 2n
由此可得a100＝－1. 方法二：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an， ∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1. 【答案】 B
a 3．已知数列
n 的通项公式是an＝
2n 3n＋1
，那么这个数列是(
)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
所有等式左右两边分别相加，得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f(3)＋f(2)，

2.1 数列的概念与简单表示法(一)

∵nn1＋2＝1120， ∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
反思与感悟
在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：规律与方法
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性：数列中的数可以重复. (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征； ④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳. 3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.
熟记一些基本数列的通项公式，如： ①数列－1,1，－1,1 , …的通项公式是 an＝(－1)n. ②数列1,2,3,4，…的通项公式是 an＝n. ③数列1,3,5,7，…的通项公式是 an＝2n－1. ④数列2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n. ⑤数列1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n－1. ⑥数列1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2.
类型二数列的通项公式的应用例2 已知数列{an}的通项公式an＝2n－－11nn2＋n＋11，n∈N*. (1)写出它的第10项；
a10＝－119×10×2111＝31919.
(2)判断323是不是该数列中的项．令2n－n1＋21n＋1＝323，化简得 8n2－33n－35＝0，解得 n＝5(n＝－78舍去)．当 n＝5 时，a5＝－323≠323.所以323不是该数列中的项．

《数列的概念与简单表示法》课件(1)

1 1 1 1，，，， 2 3 4
1 2，4，， 3， 53
-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 1 1 1 ，，，
无穷多个1排列成的一列数：
1 1 1 1 ，，，，
5
1，3，6，10，· · ·
2 3
1，4，9，16，· · ·
63
定义
已知数列{an}的第一项(或前几项)，
且任一项an与它的前一项an－1(或前几
项)间的关系可以用一个公式来表示，
这个公式就叫做这个数列的递推公式.
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
4
3
2
1
8 7 6 5 4 3 2 1
你认为国王有能力满足上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的 2倍且共有 64 格子
2 1
0
2 2 18446744073709551615
3
2
1
2
3
?63 2
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..
2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ 2n ，那么这个数列是( 3n＋1 )
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列答案：A
三基能力强化
3．(教材习题改编)下列关于星星的图案个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．
1 答案：an＝ n(n＋1) 2
数列的简单表示法: 解析法、图象法 .
讲授新课

数列的概念和简单表示法ppt

递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质

2.1数列的概念与简单表示课件人教新课标

谢宾斯基三角形
解: 如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为１，3，９，27．则所求数列的前４项都是３的指数幂，指数为序号减１．所以，这个数列的一个通项公式是
an 3n1
在直角坐标系中的图象见后图．
谢宾斯基三角形
小结
1.数列的定义； 2.数列的通项公式； 3.数列和函数的关系； 4.数列的表示 5.数列的递推公式
§2.1数列的概念与简单表示法
§2.1数列的概念与简单表示法
1. 由小到大的正偶数排成一列 2，4，6，8，
2. 正整数的倒数 1, 1 , 1 , 1 , 1 L 2345
3. 1的正整数次幂：1, 1, 1, 1, …
§2.1数列的概念与简单表示法
4.三角形的石子数
1
3
6
10
15
§2.1数列的概念与简单表示法
通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪方面的性质?
归纳数列通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：（1）2，4，6，8，…
（2）1，3，5，7，…
（3）1，2，4 ，8 ，…
（4）1,
1 2
,1 3
,
1 4
,L
（5）9，99，999，9999，…
6.摆动数列：各从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
如： 1, 1 , 1 , 1 ,L(各项正负交替出现） 2 34
2，3，2，3，
下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
（1）全体自然数构成数列 0，1，2，3，
（2）19962002年某市普通高中人数（单位：万人）构成数列

第5章《数列》(第1节)ppt 省级一等奖课件

第五章数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝32，a4＝23，则
a8＝________．
解析
由已知得24pp＋＋qq24＝＝3232，，解得pq＝＝142，.
则 an＝14n＋2n，故 a8＝94.
答案
9 4
第五章数列
[关键要点点拨] 1．对数列概念的理解
(2014·安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若不等式 a2n＋Sn2n2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立，
则实数 m 的最大值为
()
1
1
A.4
B.5
C．1
D．无法确定
第五章数列
【思路导析】将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为函数的最值问题求解．【解析】因为 Sn＝12n(a1＋an)，所以原不等式可化为 a2n＋41(a1＋an)2≥ma21. 若 a1＝0，则原不等式恒成立；若 a1≠0，则有 m≤54aan12＋21aan1＋41，
第五章数列
满足条件项数有限项数无限
an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝an
其中 n∈N*
第五章数列
3.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
第五章数列
二、数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an 与它的前一项an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
第五章数列
2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．

数列的概念与简单表示法(第一课件)

(3) - 1, 1 ,( - 1 ), 1 ,- 1 , 1 ,( - 1) 2 3 4 56 7
(4)1, 2,( 3 ),2, 5,( 6 ), 7
猜猜看
观察下面数列的特点，用适当的数填空
1. 1， 2， 3， 4， 5，＿6＿，7…
2.
-1
，1 2
，
1 3
，1 4
，＿＿15
，
…
3. 1 ，1 ，1 ，1 ，__1__ ．
（3）在新的一年里，祝你十二个月月月开心，五十二个星期期期愉快，三百六十五天天天好运，八千七百六十小时时时高兴，五十二万五千六百分分分幸福，三千一百五十三万六千秒秒秒成功。
2.1数列 2.1.1 数列的概念
有人说，大自然是懂数学的。花瓣的数目
海棠（2）雏菊（13）
铁兰（3）
黄蝉（5）
根据递推公式写出数列的前几项 a1＝1，
例 5 设数列 {an}满足 an＝1＋an1－1(n>1，n∈N*). 写出这个数列的前 5 项．
解由题意可知 a1＝1， a2＝1＋a11＝1＋11＝2， a3＝1＋a12＝1＋12＝32， a4＝1＋a13＝1＋23＝53， a5＝1＋a14＝1＋35＝85.
变式训练 2 在数列{an}中，已知 a1＝2，a2＝3，
an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前 6 项．
解 a1＝2，a2＝3， a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5， a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9， a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17， a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.
有些数列没有通项公式.
例题讲解：
例4 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别

第七章第一节数列的概念与简单表示法课件(共48张PPT)

1．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{an}，令 bn＝an－a1n ，则下列说法正确的是( )
A．若数列{an}是单调递增数列，则数列{bn}也是单调递增数列 B．若数列{an}是单调递减数列，则数列{bn}也是单调递减数列 C．若 an＝3n－1，则数列{bn}有最小值 D．若 an＝1－－12 n ，则数列{bn}有最大值
3．已知 an＝nn－＋11 ，那么数列{an}是(
)
A．递减数列
B．递增数列
C．常数列
D．摆动数列
A [因 an＋1－an＝nn－＋11 －n＋n 2 ＝（n＋1）－（2 n＋2） <0，则 an＋1<an，
∴数列{an}是递减数列．]
4．(必修 5P67T2 改编)数列{an}的前几项为12 ，3，121 ，8，221 ，…，则此数列的通项公式为________．
当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
经检验 a1＝4 不适合 an＝2n＋1，
故 an＝42n＋1
由递推关系式求数列的通项公式
(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1，则 a5＝________； (2)若 a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式 an＝________； (3)已知数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________．
解析： (1)依题意得 an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2