力学中的泛函分析和变分原理第十二讲
弹性力学变分原理PPT课件

fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
外荷载做功的增量: W
弹性体 应 变能增 量: V
对于弹性静力学问题,根据热力学第一定律:
W V
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微元体在某一应变状态获得的应变能增量为
V fiuidv tiuids
V
V
其中,ui为弹性体变形过程中的位移增量。
利用高斯公式得:
fiδ uidv σij n jδ uids
弹性体应变能是状态函数,故上式积分与 路径无关。
对于线性问题,可假设在变形过程中应力、 应变分量等比例增长。
* ij
:
0
tij
(0
t
1)
* ij
:
0
t
ij
(0
t
1)
v
1
σ
* ij
δε
* ij
1
tσij εijt
0
0
1 2
σij εij
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2. 余应变能、余应变能密度
对于单向拉伸问题
a
a
结论:变分运算和积分运算可以交换次序
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四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x=x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0),即
y(x)-y(x0)≤0或≥0
则称函数y(x)在x=x0处达到极大值或极小
值。极值的必要条件为
dy dx
0
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有限元基础(泛函、变分与变分法)

因此
aT K a = aT K a
= aT( Ka - P ) = 0 由 a 的任意性,就得到(1.3.6)式:
Ka — P = 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零,即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函: 而问题的解 u 使泛函取驻值,即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹(Ritz)法
选择试探函数:
其中N为已知函数,a为待定参数
代入泛函积分式,泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件: J = 0
充分条件:J = 0 且:2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理:
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数,y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分,如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时,下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的,则有如下关系:
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理:
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函,因为此泛函中u的最高 次为二次,所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件:
1.算子L是偶数(2m)阶的;
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关,所以
泛函分析在力学和工程中的应用
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泛函分析在力学和工程中的应用陆章基(复旦大学应用力学系)摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用,包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。
并介绍当前非线性分析中部分动态。
$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支,研究各类泛函空间及算子理论。
所谓泛函空间是带有某类数学结构(主要是拓扑和代数结构)的抽象集。
其元(或点)可以是数、向量、函数、张量场,甚至各种物理状态等。
根据不同拓扑和代数结构,泛函空间划分为各个类别。
力学和工程中常见的有①:(i)度量(距离)空间。
对任意两抽象元引入距离,由此自然地引入开集等拓扑结构。
从而,度量空间是一特殊拓扑空间,但尚未赋予代数结构;(ii)线性拓扑空间(拓扑向量空间。
同时带有拓扑和代数结构。
所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集),他们满足开集的基本公理。
有了拓扑后,即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。
这里所述的代数结构指的是线性结构(加法和数乘运算)。
由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。
泛函分析的空间(尤其各类函数空间)绝大部分是无限维的。
线性空间(带有线性结构的度量空间)是线性拓扑空间的一例。
但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间;(iii)线性赋范空间。
每个元(常称向量)配有番薯||x||(是普通向量长度的推广)。
线性空间配上范数后,能自然地诱导出度量和拓扑。
就这个意义而言,它是特殊的线性拓扑和度量空间。
于是,具有这两个空间中所有概念。
例如可以讨论该空间(或其子集)是否完备。
即任何柯西序列是否为收敛序列。
(iv)Banach空间。
它是完备的线性赋范空间。
完备性使该空间具有十分良好的性质。
例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。
(v)内积空间。
内积的引入使该空间更直观形象,内容格外丰富。
内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。
泛函和变分法
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四】
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式
欧拉J [ 方y 1 , 程y 2 , ,y m ]= x x 0 1 F ( x ,y 1 ,y 2 , ,y m ,y 1 ,y 2 , ,y m ) d x
F-d(F)=0, i=1,2, ,m yi dxyi
例:求解以下泛函的极值问题
J[y,z]=/2(y2z22y)zdx 0
L y = l r 【x】 y
本征值:l一 l二 l三 …
本征函数:y一【x】!! y二【x】!! y三【x】!! … 构成完备正
lr r d 交系L n ( x ) y = n( x ) y n ( x ),a b y m ( x ) y n ( x )( x ) d x = mn
任意函数 f【x】 【要求一阶导数连续、二阶导数分段连
√
泛函和变分的基本概念【四/四】
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分!!d 二J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零:d J = 0
√
最简泛函的极值问题【一/九】
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数!!不关心泛函的大小
解:
√
四】
依赖于多元函数的泛函
泛函的一般形式
J[u1(x,y)u ,2(x,y)]=DF(x,y,u1,u2,p1,p2,q1,q2)dxdy
p1= u x1,
q1= u y1,
p2= u x2,
q=u2 y
欧拉方程
F - ( F ) - ( F )= 0 , F - ( F ) - ( F )= 0 u 1 x p 1 y q 1 u 2 x p 2 y q 2
泛函变分

若自变量 x 有一增量 Δx ,则函数 y(x) 也有一增量 Δy(x) ,且可写成:
Δy = y(x + Δx) − y(x) = A(x)Δx + o(Δx)
(2.1.2-2)
其中 o(Δx)是比 Δx 高阶的无穷小量,其第一项为 Δx 的线性部分。
泛函与变分
函数
y(x)
泛函
J[y(x)]
因变量
y
因变量
J
自变量
x
自变函数
y(x)
x 的增量
Δx
y(x)的变分
δy
函数的微分
dy
泛函的变分 δJ
§2.1.3 变分的计算
泛函变分与函数的微分在形式上类似,其计算方法也相似: ◆ 微分的运算法则,同样适用于变分(这里特指泛函中被积函数的变分),相当于把微分符
∂y
∂y
∂y '
∂y
= ∂F1 δ y + ∂F1 δ y '+ ∂F2 δ y + ∂F2 δ y '
∂y
∂y
∂y '
∂y
= δ F1 + δ F2
◆ 自变函数的微分、求导与变分运算的次序可以调换,如:
(δ y) ' = δ y ' ,δ (dy) = d (δ y)
(2.1.3-2a)
证
(δ y) ' = [ y1 (x) − y(x)]' = y1 '(x) − y '(x) = δ ( y ')
这就是说:自变函数变分的导数等于函数导数的变分,即自变函数求导与求变分这两种运算的 顺序可以交换。如果自变函数是多元函数,则式中的求导应改为求偏导。
泛函分析与应用

第三页,共12页
泛函分析的研究对象
常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学描述,以 及运动轨线即微分方程解的存在性与唯一性问题,而且讨论连续运动过 程的稳定性问题,并给出自由运动或受迫运动中运动轨线的求解方法。 这种运动也只具有限多自由度,因为我们只考虑特定的系统,以及单个 特定函数作用于系统所产生的行为。
最后,还要研究泛函分析在工程技术,特别是自动控制中的应用, 包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、泛函优 化与最优控制,以及控制问题的数值计算等。
第九页,共12页
本课程的特点与学习方法
因为控制理论中几乎所有的问题,都可以用泛函分析中有关空间和 算子的术语来描述,而泛函分析严谨广博的理论体系,对所研究问题 的归属有明确的规定,同时可以向研究者提供解决问题的途径。例如 ,利用对偶空间和伴随算子的理论,可以解释控制理论中几乎所有的 对偶定理,而这些定理的发现,大多也是数学结论直接演绎的结果。
所以,本课程是针对工科研究生的一门理论基础课程,既要体现 泛函分析理论体系的严谨性,又要体现工程的可应用性。
第十页,共12页
本课程的特点与学习方法
控制理论所研究的问题,可以概括为系统分析、系统综合、 建模和优化。系统分析,包括系统的稳定性分析、能控能观性分 析、鲁棒性分析等,主要是分析用以描述系统行为的算子的特性 。传统的分析方法是实用的,但只限于某些特定的系统类型。例 如传统的频域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定常系统。 而泛函分析所提供的分析方法,有可能对包括多输入多输出的线 性时变系统、分布参数系统,以及某些类型的非线性系统进行统 一的处理,从而获得更加一般的结论。
2+弹性力学、泛函、变分等基本知识

2013-7-31 有限元法预备知识
σ
来表
7
2.1 弹性力学基本知识 [ 位 移 ]
z
z
x
x
x
E
(6)
y
y
式中,E为弹性模量。弹性体在x方 向的伸长还伴随有侧向收缩,即在y 和z方向的单位缩短可表示为:
x
z
0 x
图 1-7
y
x x y , z (7) E E
式中,μ 为泊松比。 上述两个方程可用于简单和压缩。
2013-7-31
有限元法预备知识
x y z xy yz zx 0
有 u 0,v 0,w 0,u v 0,v w 0,w u 0 x y z y z z x x y
积分得
式中,u0、v0、w0、 x、 y、 z、为积分常数,即刚体位移。
2013-7-31
有限元法预备知识
4
2.1 弹性力学基本知识 [ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和 作用方向,加上一个角码,例如, 正应力σx是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码,前一个角 码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴,后一个角码表明作用方 向沿着哪一个坐标轴。例如, 剪应力τxy是作用在垂直于x轴 的面上而沿着y轴方向作用的。
由
F 0 ,得
x
x
xy
Gx
x
Gy
yx
《泛函分析》课程教学大纲

《泛函分析》课程教学大纲课程编码:171210140课程性质:专业方向限选课程适用专业:统计学专业所需先修课数学分析高等代数实变函数论学时学分:32学时1.5学分编写单位:数学与信息科学系一、课程说明1、课程简介:泛函分析课程是数学与应用数学专业的专业课程,是数学分析的后续课程,是近代数学中的一个重要分支,在古典分析、线性代数、线性微分方程、积分方程、变分学、逼近论等的开展基础上逐渐形成。
其内容已渗透到逼近论、偏微分方程、概率论、最优化理论等各方面.近年来,在工程技术上更是获得了广泛而有效的应用.它的开展受到了数学物理方程和量子力学的推动,后来又整理、概括了经典分析和函数论的许多成果,因此学习泛函分析时需要学生掌握分析、代数、概率论、拓扑学等基本知识,是数理方程、稳定性理论等后续课程的必要基础课程.2、教学目的要求:通过泛函分析的教学,使学生了解和掌握度量空间,赋范线性空间,有界线性算子,Hilbert空间,Banach空间的基本概念和基本理论,培养学生理论思维能力,为学习数学的其它专业课打下扎实的理论基础.3、教学重点难点教学重点:离散度量空间、序列空间、有界空间、可测函数空间的性质、度量空间中极限、稠密集、可分空间的概念、用极限的形式和集合对应关系给出两个重要定理、空间的结构理论,度量收敛;完备度量空间的定义、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和判定向量组的线性相关性、三个定理的内容;有界线性算子与连续线性泛函,算子的范数,经典空间,l p的共地空间、内积空间,施瓦茨不等式,直交投影,希尔伯特空间中的规范正交系,贝塞尔不等式,帕塞瓦尔不等式,同构映射,连续线性泛函,自共朝,本章难点柯西积分定理的证明、刘维尔定理的应用.本章内容第一节复积分的概念及其简单性质1.1复变函数积分的定义1.2复变函数积分的计算问题1.3复变函数积分的基本性质第二节柯西积分定理2.1不定积分2.2柯西积分定理的推广2.3柯西积分定理推广到复围线的情形第三节柯西积分公式及其推论3.1柯西积分公式3.1解析函数的无穷可微性3.2柯西不等式与刘维尔定理3.3摩勒拉定理第四章解析函数的幕级数表示法(8学时)教学目标1、使学生掌握复级数的基本概念及其相关性质,能够深刻认识理解复级数与实级数在概念、性质、定理上的区别与联系;2、使学生理解并掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理.本章重点.1、理解并掌握复级数的基本性质;2、理解并掌握幕级数敛散性的判别,收敛域的求法以及和函数的求法;3、能够熟练掌握并运用直接展法和间接展法,将某些解析函数展成泰勒级数,牢记sin z,cosz,—匚,一匚的展式,并注意展式的可展范围; 1-Z 1 + Z4、深刻理解解析函数零点的孤立性、唯一性定理及最大模定理,并能够综合运用证明有关数学问题.本章难点事级数的和函数在其收敛圆周上的状况、解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理.本章内容第一节复级数的基本性质1.1复数项级数1.2一致收敛的复函数项级数1.3解析函数项级数第二节累级数1.1塞级数的敛散性1.2收敛半径的求法、柯西一阿达玛公式1.3基级数的解析性第三节解析函数的泰勒展式3.1泰勒定理3.2累级数的和函数在其收敛圆周上的状况3.3 一些初等函数的泰勒展式第四节解析函数零点的孤立性、唯一性定理4.1解析函数零点的孤立性4.3最大模原理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点(6学时)教学目标使学生理解并掌握解析函数的罗朗展式的概念与展法,并注意与泰勒级数进行相关性质的比拟.深刻理解并牢固掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义.为下一章残数理论的学习打下坚实的基础.本章重点1、理解并掌握解析函数的罗朗展式以及罗朗级数与泰勒级数的关系.熟练掌握解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧;5.理解并深刻认识孤立奇点的三种类型及分类方法,熟练掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义;6.了解解析函数在无穷远点处的性质.本章难点解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧.本章内容第一节解析函数的罗朗展式1.1双边塞级数1.2解析函数的罗朗展式1.3罗朗级数与泰勒级数的关系1.4解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式第二节解析函数的孤立奇点2.1孤立奇点的三种类型2.2可去奇点2.3极点2.4本质奇点第六章留数理论及其应用(6学时)教学目标1、使学生理解并掌握留数的定义及留数定理,会利用留数定理求解复积分与实积分,并知晓其内在联系与区别.深刻理解留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系;2、理解并掌握辐角原理、儒歇定理,会判定复方程根的个数及存在范围. 本章重点1、理解并掌握留数的定义及留数的求法;2、深刻理解并熟练掌握留数定理并能够灵活运用留数定理求解复积分3、了解用留数定理计算实积分的理论及基本方法;4、深刻理解并熟练掌握辐角原理、儒歇定理,会判定复方程根的个数及存在范围.本章难点留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系.本章内容第一节留数1.1留数的定义及留数定理1.2留数的求法1.3函数在无穷远点的留数1.4用留数定理计算实积分简介第二节辐角原理及其应用2.1对数留数2.2辐角原理2.3儒歇定理三、使用教材及参考书指定教材:钟玉泉编,复变函数论(第三版),高等教育出版社,2001年.参考书:[1]张锦豪、邱维元编,复变函数论,高等教育出版社,2001年.[2]钟玉泉编,复变函数学习指导书,高等教育出版社,1996年.[3]刚家泰,谭欣欣编,复变函数全程学习指导与解题能力训练,大连理工大学出版社,2001年.共辗算子,巴拿赫空间,汉恩一巴拿赫定理,一致有界性定理,逆算子定理,闭图像定理.教学难点:连续映射、空间完备性的证明、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和掌握一些判定定理、Holder不等式和Minkowski不等式的内容;有界线性算子与连续线性泛函;经典空间广〃的共辗空间,各种收敛性之间的各种联系,投影定理,斯捷克洛夫定理,汉恩一巴拿赫定理,一致有界性定理,逆算子定理,闭图像定理.5、教学手段及教学方法建议主要以教师讲授为主,适当的时候可以应用多媒体辅助教学.4、考核方式1)考核形式:考查2)开卷笔试3)期末总评成绩评定方法考试:试卷总分值100分,其中平时作业、期中考试及考勤占总评成绩的40%, 期末考查成绩占总评成绩的60%.5、学时分配表本课程的教学包括如下环节:课堂讲授,主要以教师讲授为主,要求学生课下预习;辅导或习题课,师生互动,边讲边练,解决学生学习过程中出现的一些问题;课外作业,通过对作业的批改,使学生加深巩固对所学内容的理解与掌握。
变分原理基础_讲义

变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说,在所有满足一定的约束条件的可能状态中,真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理,只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看,弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征:即与其他可能状态相比,真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ,重物的重力为P 。
用∆表示位移,当弹簧系统处于平衡状态时,求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下:∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能,第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然,真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度,求p ∏的一阶及二阶导数,得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4),得0=∆∏d d p,故知势能p∏为驻值。
根据式(5),又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁,取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件,基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩,1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩,1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩,由于1X 是任意参数,因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解,还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值,余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数,由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
泛函分析:变分法
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2020/6/9
北京师范大学网络教育-云南学习中心
5
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链
线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经 由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t),都 有一个确定的值与之对应,那么就称变量J为依赖于函 数x(t)的泛函,记为:J=J[x(t)]。
x(t) R n , J R 函数 x(t) t x
泛函 J x(t) x(t) J ; x(t)又称为泛函的宗量
说明:由于函数的值是由自变量的选取而确定的,而
4
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂 下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项 链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的 蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链 线(catenary)。
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法(calculus of variations)的诞生,是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直 平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自 较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下 滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题 (The Brachistochrone Problem)。
实变函数与泛函分析全册精品完整课件
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五大论:
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间,积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间,以 及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理(共鸣定理、开映 射定理、闭图像定理),共轭算子以及算子谱理
论.
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教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想 与方法,为今后进一步使用现代分析普遍应用的这 一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理 论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性 课程讲授的主要内容 教学目的 难易程度 考核方式
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《实变函数与泛函分析》的重要性 在20世纪初期产生并发展起来的学科,是整 个分析数学中最年轻的学科之一 从“经典理论”向“现代理论”转折的关口 是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系,加强学生对于数学思想方 法的内在联系和一致性的认识,从整体上提高学生 的数学素养
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课程难度与考核方式
内容抽象,难度较大 平时表现分+考试分数, 比例 认真学习则无须担心考核
变分原理

变分原理泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题,根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数,当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此,应变能就是泛函。
在数学分析中,讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值,是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题,请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中,求满足边界条件的任意曲线y(x)中的最短曲线。
(补充图)设P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为平面上给定的两点,y(x)为连接两点的任意曲线。
于是,这一曲线的长度为连接P1,P2两点的曲线有无数条,每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y(x)称为容许函数,问题是要从这些曲线,容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式,L [y]依赖于y(x),而y(x)是x的函数,因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数,称为泛函。
求解最短程线问题,即在满足边界条件在x=x1时,y(x1)=y1,y'(x1)= y'1在x=x2时,y(x2)=y2,y'(x1)= y'2的函数y(x)中,求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1,y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
泛函分析(变分法)
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欧拉(Euler Lonhard,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从 而确立了数学的一个新分支——变分学。
2021/4/11
北京师范大学网络教育-云南学习中心
泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的,所以将21/4/11
中心
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1 函数的定积分
1.连续时间系统:
1
J 0 x(t)dt
是泛函 吗?
q
2. 离散系统 J x2 (i) 2u2 (i) i 1
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法(calculus of variations)的诞生,是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直 平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自 较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下 滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题 (The Brachistochrone Problem)。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链
线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经 由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出
第二章 泛函与变分

总应变能为:
1 l d 2w 2 U dU EI ( 2 ) dx 0 2 0 dx
l
如此等等。只要预先给定一个函数,就能算出泛函的值
常用的泛函一般都是积分形式,最简单的泛函为
J [ y ( x)] F ( x, y, y ')dx
x0 x1
一般地,有 一个一元自变函数的泛函:
0
x1
(2 y y 2 y ' y ')dx 2 ( y y y ' y ')dx
x0 x0
x1
x1
2 J [ y ] ( y y y ' y ')dx 2 [( y ) 2 ( y ') 2 )dx
x0 x0
x1
x1
解: J [u ( x, y, z )] [( u )2 ( u ) 2 ( u ) 2 2uf ( x, y, z )]d
3.泛函的变分
一阶变分: J x Fdx
0
x1
,二阶变分: 2 J x 2 Fdx
0
x1
变分号可由积分号外移到积分号内,即积分与变分运算的次序可以调换 根据上述性质,泛函的变分运算,可转化为对其被积函数的变分运算
2 2 解: J [ y ] x ( y y ' )dx
2 x1 2 x1
在不引起混淆时,也把一次变分简称为泛函的变分
对于依赖于多个函数的泛函也可类似地给出它们的一阶变分、二次变分… 例如,泛函: J [ y ( x), z ( x)] x F ( x, y, y ', z , z ') dx
0
x1
[理学]泛函与变分原理导引
![[理学]泛函与变分原理导引](https://img.taocdn.com/s3/m/5ccf522090c69ec3d5bb759d.png)
α β
变分命题 (III)
z
函数:f(x)是变量x的实函数,即在其定义域内,任一x 值都有一个实数f(x)与之对应 泛函:Π(y)是函数y(x)的泛函,即在其定义域内,任 一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应 变分命题:寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值 变分方法:设使泛函取得极值的函数y(x)存在,通过 变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程
z
可取δy,δy’都是同级的微分量
z
当泛函的被积函数是F(x, y, y’,y”)时,函数y要 求有二阶接近度
z
可取δy,δy’, δy’’都是同级的微分量
第一类变分问题
z
设函数y(x)是下式的极值解
∏( y ) = ∫ F ( x, y, y ')dx
α β
z
且满足端点条件 y (α ) = y1 , y ( β ) = y2
z z z z
两点间的最短连线问题 最速下降线问题 短程线问题 …
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”?
y y=y(x)
O
x
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”? 问题的假设:
z z z z
z
二维平面空间,一点是坐标原点(0,0),一点在(a,b) 两点间的连接曲线是 y = y(x) 2 d y ⎛ ⎞ 曲线的弧长微元是 ds 2 = dx 2 + dy 2 或 ds = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 曲线的总弧长是
o A
泛函与变分

函数在某一点有极值的必要条件是但是,我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题 就是函数的函数,详细见后面)。
例1.1 一个简单的变分问题:最短线问题图1.1最短线问题假设经过A, B 两点距离最短的曲线方程为(X 。
) (X 1) 0显然y y(x) (X)依旧是过固定两点 A, B 的连续曲线,其对应的长度为L( )",r~(7~~~ dxx当 0,y y(x)时 L(dL() d把(,展开后有y''3.1 y'2第1章泛函和变分1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题 y f (X i ,X 2,..., X n ),其在区域R n 内任何一点 :一个足够光滑的连续函数(X i , X 2,..., X n )T 都可以作以下的Taylor 展开 f(x X) f(x)f(X )x T f(x) 4 T f x T Df(x) x o(|| x T |2)X2Xny y(x)另有一任意的连续可导函数(X ) ,(X )满足两端固定的边界条件dL()dX1 (V' .1 (y'x%dx|X i-―dx,1 y'_y' |x i1 y'2 X 0X ixy' 1 y'2dxX i X 0y'' .1 y'2y'y'y''dxylX0 ,ry'23dx 由于(对于任意的(x)都成立,根据变分引理(见,我们可以得到一泛函的极值问题(泛函简单地讲, )取到极小值,也就是说意味着y Gx C 2(因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。
下面我们来看几类比较典型的变分问题。
例1.2最速降线问题图1.2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系,以 A 为坐标原点,水平为 x 轴,向下为y 轴。
曲线的方程为y y(x), A 点坐标(X o ,y o ) (0,0) , B 点坐标(X i ,y i )。
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������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������
其中,������������������ = 2 ������������,������ + ������������,������ , ������������������ = ������������ , in ������; ������������ = ������������ , on ������������ .
用方程(6.1.10)式,试探函数用分片线性函数,可得有限元方程,这与Ritz法相
同。具体如下:
令:������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, 则有 ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)
Ritz法的可取函数是������ 0 类,即函数本身连续即可,但直接用(b)式,则需������ 1 类
函数,因������������������,������ 中包含位移的二阶导数。为使本方法也用������ 0 类函数,可用分部
积分,在(b)式中: ������������������,������ ������������ ������������ −
������ ������������
������������������ ������������ ������������ ������������ =
������
������������������,������ ������������ ������������ −
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ + ������0 =
������������
������������ − ������������������ ������������ ������������ ������������ = 0, ������������ ∈ ������������ ∈ ������ ������ ; ������������ = 0, on ������������ . (b) , ℱ ∈ ������ ∗ ,
������
������������������,������ ������������������ ������������
=
������������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ ������������������ = 0, on ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������������ ������������
������������
考虑令: ℱ ������0 =
������
������������������,������ +������������ ������������ −������������������ ������������
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ +
������������
������Π = −
������
������������������,������ + ������������ ������������������ ������������ −
������ = ������1 , ������2 , ������3 ⊤ 是表面单位外法线向量,∀������������������ ∈ ������ ∈ ������ ������ ; ������ = ������, on ������������ 由������������������ 的任意性和变分学基本引理,有 ������������������,������ + ������������ = 0, ������������ = ������������������ ������������ , in ������ on ������������
������ ������������
������������ ������������������ ������������ = 0
课 程 回 顾
最小势能原理驻值条件
������������ ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(1)
上面介绍的Ritz法或有限元法是建立在总势能泛函的基础上,有时不存在与
微分方程相对应的泛函,这时求解微分方程的近似解,要借助于微分方程的 弱形式。
对于弹性力学问题的基本方程
������
������������������,������ + ������������ = 0, in ������ (a), 其弱形式 ������������ = ������������������ ������������ , on ������������
������
������������������ ������������ ������������ ������������ = −
������
������������������ ������������,������ ������������
1 =− ������ ������ + ������������,������ ������������ = − 2 ������������ ������,������ ������ 代入(b)式,有
应变余能密度:������������ ������������������ =
������������������ ������������������ 0
最小势能原理
总势能:Π ������ =
1 ������
������ ������ ������������ −
������������
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Ritz法
使一泛函取极值的函数,满足Euler方程,或者说,Euler方程的解使泛函 取驻值。如果找到一个函数使泛函近似的取驻值,则这个函数就是Euler方 程的近似解。 构造出一组完全的基函数系������1 , ������2 , … , ������������ ,这组函数定义在积分域上,则所 有可取函数是这些基函数的线性组合。 ������������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ 6.1.8 并且有 ������ ������ Π ������������ = Π ������1 , ������2 , … , ������������ = 0, ������ = 1,2, … , ������ ������������������ ������������������ 由(6.1.9)式可确定常数������������ , 可得������的近似解������������ . 应用总势能取极值求弹性力学方程近似解的方法称为Ritz法。 近似解法—有限元法 “有限元法=Ritz法+分片插值基函数”。 1 6.1.9
������
������������������ ������������������ ������������
6.1.10
(6.1.10)即为虚功原理:内力虚功等于外力虚功。虚功原理与平衡方程和力的 边界条件等价,与本构关系无关。 3
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(3)
������
=
������
������⊤ ������������������ = ������⊤ ������ ������ ������������ ������������ ������ ������
������
������⊤ ������������������������ ������
������
1 ������ ������������������,������ + ������������������,������ ������������ = 2 ������������ ������
,������
������������������ ������������������,������ ������������
������
������������������ ������������������
������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ =