力学中的泛函分析和变分原理第十二讲

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fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
外荷载做功的增量: W
弹性体 应 变能增 量: V
对于弹性静力学问题,根据热力学第一定律:
W V
第21页/共83页
微元体在某一应变状态获得的应变能增量为
V fiuidv tiuids
V
V
其中,ui为弹性体变形过程中的位移增量。
利用高斯公式得:
fiδ uidv σij n jδ uids
弹性体应变能是状态函数,故上式积分与 路径无关。
对于线性问题,可假设在变形过程中应力、 应变分量等比例增长。
* ij
:
0
tij
(0
t
1)
* ij
:
0
t
ij
(0
t
1)
v
1
σ
* ij
δε
* ij
1
tσij εijt
0
0
1 2
σij εij
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2. 余应变能、余应变能密度
对于单向拉伸问题
a
a
结论:变分运算和积分运算可以交换次序
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四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x=x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0),即
y(x)-y(x0)≤0或≥0
则称函数y(x)在x=x0处达到极大值或极小
值。极值的必要条件为
dy dx
0
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有限元基础(泛函、变分与变分法)

有限元基础(泛函、变分与变分法)

因此
aT K a = aT K a
= aT( Ka - P ) = 0 由 a 的任意性,就得到(1.3.6)式:
Ka — P = 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零,即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函: 而问题的解 u 使泛函取驻值,即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹(Ritz)法
选择试探函数:
其中N为已知函数,a为待定参数
代入泛函积分式,泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件: J = 0
充分条件:J = 0 且:2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理:
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数,y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分,如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时,下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的,则有如下关系:
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理:
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函,因为此泛函中u的最高 次为二次,所以是二次泛函。

3. 泛函的极值性
条件:
1.算子L是偶数(2m)阶的;
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关,所以

泛函分析在力学和工程中的应用

泛函分析在力学和工程中的应用

泛函分析在力学和工程中的应用陆章基(复旦大学应用力学系)摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用,包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。

并介绍当前非线性分析中部分动态。

$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支,研究各类泛函空间及算子理论。

所谓泛函空间是带有某类数学结构(主要是拓扑和代数结构)的抽象集。

其元(或点)可以是数、向量、函数、张量场,甚至各种物理状态等。

根据不同拓扑和代数结构,泛函空间划分为各个类别。

力学和工程中常见的有①:(i)度量(距离)空间。

对任意两抽象元引入距离,由此自然地引入开集等拓扑结构。

从而,度量空间是一特殊拓扑空间,但尚未赋予代数结构;(ii)线性拓扑空间(拓扑向量空间。

同时带有拓扑和代数结构。

所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集),他们满足开集的基本公理。

有了拓扑后,即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。

这里所述的代数结构指的是线性结构(加法和数乘运算)。

由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。

泛函分析的空间(尤其各类函数空间)绝大部分是无限维的。

线性空间(带有线性结构的度量空间)是线性拓扑空间的一例。

但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间;(iii)线性赋范空间。

每个元(常称向量)配有番薯||x||(是普通向量长度的推广)。

线性空间配上范数后,能自然地诱导出度量和拓扑。

就这个意义而言,它是特殊的线性拓扑和度量空间。

于是,具有这两个空间中所有概念。

例如可以讨论该空间(或其子集)是否完备。

即任何柯西序列是否为收敛序列。

(iv)Banach空间。

它是完备的线性赋范空间。

完备性使该空间具有十分良好的性质。

例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。

(v)内积空间。

内积的引入使该空间更直观形象,内容格外丰富。

内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。

泛函和变分法

泛函和变分法

四】
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式
欧拉J [ 方y 1 , 程y 2 , ,y m ]= x x 0 1 F ( x ,y 1 ,y 2 , ,y m ,y 1 ,y 2 , ,y m ) d x
F-d(F)=0, i=1,2, ,m yi dxyi
例:求解以下泛函的极值问题
J[y,z]=/2(y2z22y)zdx 0
L y = l r 【x】 y
本征值:l一 l二 l三 …
本征函数:y一【x】!! y二【x】!! y三【x】!! … 构成完备正
lr r d 交系L n ( x ) y = n( x ) y n ( x ),a b y m ( x ) y n ( x )( x ) d x = mn
任意函数 f【x】 【要求一阶导数连续、二阶导数分段连

泛函和变分的基本概念【四/四】
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分!!d 二J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零:d J = 0

最简泛函的极值问题【一/九】
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数!!不关心泛函的大小
解:

四】
依赖于多元函数的泛函
泛函的一般形式
J[u1(x,y)u ,2(x,y)]=DF(x,y,u1,u2,p1,p2,q1,q2)dxdy
p1= u x1,
q1= u y1,
p2= u x2,
q=u2 y
欧拉方程
F - ( F ) - ( F )= 0 , F - ( F ) - ( F )= 0 u 1 x p 1 y q 1 u 2 x p 2 y q 2

泛函变分

泛函变分
“泛函”是函数这一概念的推广,“泛函的变分”则是“函数的微分”这一概念的推广。 ● 函数的微分 函数微分的定义:
若自变量 x 有一增量 Δx ,则函数 y(x) 也有一增量 Δy(x) ,且可写成:
Δy = y(x + Δx) − y(x) = A(x)Δx + o(Δx)
(2.1.2-2)
其中 o(Δx)是比 Δx 高阶的无穷小量,其第一项为 Δx 的线性部分。
泛函与变分
函数
y(x)
泛函
J[y(x)]
因变量
y
因变量
J
自变量
x
自变函数
y(x)
x 的增量
Δx
y(x)的变分
δy
函数的微分
dy
泛函的变分 δJ
§2.1.3 变分的计算
泛函变分与函数的微分在形式上类似,其计算方法也相似: ◆ 微分的运算法则,同样适用于变分(这里特指泛函中被积函数的变分),相当于把微分符
∂y
∂y
∂y '
∂y
= ∂F1 δ y + ∂F1 δ y '+ ∂F2 δ y + ∂F2 δ y '
∂y
∂y
∂y '
∂y
= δ F1 + δ F2
◆ 自变函数的微分、求导与变分运算的次序可以调换,如:
(δ y) ' = δ y ' ,δ (dy) = d (δ y)
(2.1.3-2a)

(δ y) ' = [ y1 (x) − y(x)]' = y1 '(x) − y '(x) = δ ( y ')
这就是说:自变函数变分的导数等于函数导数的变分,即自变函数求导与求变分这两种运算的 顺序可以交换。如果自变函数是多元函数,则式中的求导应改为求偏导。

泛函分析与应用

泛函分析与应用
数学的抽象把三维立体空间中向量的概念,推广到任意有限维 线性空间;同时把力学中简单的坐标变换,推广到一般的线性变换 ,并且由此引出矩阵对线性变换的表示,以及矩阵的运算等,这些 都是线性代数的研究内容。
第三页,共12页
泛函分析的研究对象
常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学描述,以 及运动轨线即微分方程解的存在性与唯一性问题,而且讨论连续运动过 程的稳定性问题,并给出自由运动或受迫运动中运动轨线的求解方法。 这种运动也只具有限多自由度,因为我们只考虑特定的系统,以及单个 特定函数作用于系统所产生的行为。
最后,还要研究泛函分析在工程技术,特别是自动控制中的应用, 包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、泛函优 化与最优控制,以及控制问题的数值计算等。
第九页,共12页
本课程的特点与学习方法
因为控制理论中几乎所有的问题,都可以用泛函分析中有关空间和 算子的术语来描述,而泛函分析严谨广博的理论体系,对所研究问题 的归属有明确的规定,同时可以向研究者提供解决问题的途径。例如 ,利用对偶空间和伴随算子的理论,可以解释控制理论中几乎所有的 对偶定理,而这些定理的发现,大多也是数学结论直接演绎的结果。
所以,本课程是针对工科研究生的一门理论基础课程,既要体现 泛函分析理论体系的严谨性,又要体现工程的可应用性。
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本课程的特点与学习方法
控制理论所研究的问题,可以概括为系统分析、系统综合、 建模和优化。系统分析,包括系统的稳定性分析、能控能观性分 析、鲁棒性分析等,主要是分析用以描述系统行为的算子的特性 。传统的分析方法是实用的,但只限于某些特定的系统类型。例 如传统的频域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定常系统。 而泛函分析所提供的分析方法,有可能对包括多输入多输出的线 性时变系统、分布参数系统,以及某些类型的非线性系统进行统 一的处理,从而获得更加一般的结论。

2+弹性力学、泛函、变分等基本知识

2+弹性力学、泛函、变分等基本知识
六个应力分量的总体,可以用一个列矩阵 示: x y z T σ x y z xy yz zx xy yz zx
2013-7-31 有限元法预备知识
σ
来表
7
2.1 弹性力学基本知识 [ 位 移 ]
z
z
x
x
x
E
(6)
y
y
式中,E为弹性模量。弹性体在x方 向的伸长还伴随有侧向收缩,即在y 和z方向的单位缩短可表示为:
x
z
0 x
图 1-7
y
x x y , z (7) E E
式中,μ 为泊松比。 上述两个方程可用于简单和压缩。
2013-7-31
有限元法预备知识
x y z xy yz zx 0
有 u 0,v 0,w 0,u v 0,v w 0,w u 0 x y z y z z x x y
积分得
式中,u0、v0、w0、 x、 y、 z、为积分常数,即刚体位移。
2013-7-31
有限元法预备知识
4
2.1 弹性力学基本知识 [ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和 作用方向,加上一个角码,例如, 正应力σx是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码,前一个角 码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴,后一个角码表明作用方 向沿着哪一个坐标轴。例如, 剪应力τxy是作用在垂直于x轴 的面上而沿着y轴方向作用的。

F 0 ,得
x
x
xy
Gx
x
Gy
yx

《泛函分析》课程教学大纲

《泛函分析》课程教学大纲

《泛函分析》课程教学大纲课程编码:171210140课程性质:专业方向限选课程适用专业:统计学专业所需先修课数学分析高等代数实变函数论学时学分:32学时1.5学分编写单位:数学与信息科学系一、课程说明1、课程简介:泛函分析课程是数学与应用数学专业的专业课程,是数学分析的后续课程,是近代数学中的一个重要分支,在古典分析、线性代数、线性微分方程、积分方程、变分学、逼近论等的开展基础上逐渐形成。

其内容已渗透到逼近论、偏微分方程、概率论、最优化理论等各方面.近年来,在工程技术上更是获得了广泛而有效的应用.它的开展受到了数学物理方程和量子力学的推动,后来又整理、概括了经典分析和函数论的许多成果,因此学习泛函分析时需要学生掌握分析、代数、概率论、拓扑学等基本知识,是数理方程、稳定性理论等后续课程的必要基础课程.2、教学目的要求:通过泛函分析的教学,使学生了解和掌握度量空间,赋范线性空间,有界线性算子,Hilbert空间,Banach空间的基本概念和基本理论,培养学生理论思维能力,为学习数学的其它专业课打下扎实的理论基础.3、教学重点难点教学重点:离散度量空间、序列空间、有界空间、可测函数空间的性质、度量空间中极限、稠密集、可分空间的概念、用极限的形式和集合对应关系给出两个重要定理、空间的结构理论,度量收敛;完备度量空间的定义、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和判定向量组的线性相关性、三个定理的内容;有界线性算子与连续线性泛函,算子的范数,经典空间,l p的共地空间、内积空间,施瓦茨不等式,直交投影,希尔伯特空间中的规范正交系,贝塞尔不等式,帕塞瓦尔不等式,同构映射,连续线性泛函,自共朝,本章难点柯西积分定理的证明、刘维尔定理的应用.本章内容第一节复积分的概念及其简单性质1.1复变函数积分的定义1.2复变函数积分的计算问题1.3复变函数积分的基本性质第二节柯西积分定理2.1不定积分2.2柯西积分定理的推广2.3柯西积分定理推广到复围线的情形第三节柯西积分公式及其推论3.1柯西积分公式3.1解析函数的无穷可微性3.2柯西不等式与刘维尔定理3.3摩勒拉定理第四章解析函数的幕级数表示法(8学时)教学目标1、使学生掌握复级数的基本概念及其相关性质,能够深刻认识理解复级数与实级数在概念、性质、定理上的区别与联系;2、使学生理解并掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理.本章重点.1、理解并掌握复级数的基本性质;2、理解并掌握幕级数敛散性的判别,收敛域的求法以及和函数的求法;3、能够熟练掌握并运用直接展法和间接展法,将某些解析函数展成泰勒级数,牢记sin z,cosz,—匚,一匚的展式,并注意展式的可展范围; 1-Z 1 + Z4、深刻理解解析函数零点的孤立性、唯一性定理及最大模定理,并能够综合运用证明有关数学问题.本章难点事级数的和函数在其收敛圆周上的状况、解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理.本章内容第一节复级数的基本性质1.1复数项级数1.2一致收敛的复函数项级数1.3解析函数项级数第二节累级数1.1塞级数的敛散性1.2收敛半径的求法、柯西一阿达玛公式1.3基级数的解析性第三节解析函数的泰勒展式3.1泰勒定理3.2累级数的和函数在其收敛圆周上的状况3.3 一些初等函数的泰勒展式第四节解析函数零点的孤立性、唯一性定理4.1解析函数零点的孤立性4.3最大模原理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点(6学时)教学目标使学生理解并掌握解析函数的罗朗展式的概念与展法,并注意与泰勒级数进行相关性质的比拟.深刻理解并牢固掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义.为下一章残数理论的学习打下坚实的基础.本章重点1、理解并掌握解析函数的罗朗展式以及罗朗级数与泰勒级数的关系.熟练掌握解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧;5.理解并深刻认识孤立奇点的三种类型及分类方法,熟练掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义;6.了解解析函数在无穷远点处的性质.本章难点解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧.本章内容第一节解析函数的罗朗展式1.1双边塞级数1.2解析函数的罗朗展式1.3罗朗级数与泰勒级数的关系1.4解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式第二节解析函数的孤立奇点2.1孤立奇点的三种类型2.2可去奇点2.3极点2.4本质奇点第六章留数理论及其应用(6学时)教学目标1、使学生理解并掌握留数的定义及留数定理,会利用留数定理求解复积分与实积分,并知晓其内在联系与区别.深刻理解留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系;2、理解并掌握辐角原理、儒歇定理,会判定复方程根的个数及存在范围. 本章重点1、理解并掌握留数的定义及留数的求法;2、深刻理解并熟练掌握留数定理并能够灵活运用留数定理求解复积分3、了解用留数定理计算实积分的理论及基本方法;4、深刻理解并熟练掌握辐角原理、儒歇定理,会判定复方程根的个数及存在范围.本章难点留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系.本章内容第一节留数1.1留数的定义及留数定理1.2留数的求法1.3函数在无穷远点的留数1.4用留数定理计算实积分简介第二节辐角原理及其应用2.1对数留数2.2辐角原理2.3儒歇定理三、使用教材及参考书指定教材:钟玉泉编,复变函数论(第三版),高等教育出版社,2001年.参考书:[1]张锦豪、邱维元编,复变函数论,高等教育出版社,2001年.[2]钟玉泉编,复变函数学习指导书,高等教育出版社,1996年.[3]刚家泰,谭欣欣编,复变函数全程学习指导与解题能力训练,大连理工大学出版社,2001年.共辗算子,巴拿赫空间,汉恩一巴拿赫定理,一致有界性定理,逆算子定理,闭图像定理.教学难点:连续映射、空间完备性的证明、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和掌握一些判定定理、Holder不等式和Minkowski不等式的内容;有界线性算子与连续线性泛函;经典空间广〃的共辗空间,各种收敛性之间的各种联系,投影定理,斯捷克洛夫定理,汉恩一巴拿赫定理,一致有界性定理,逆算子定理,闭图像定理.5、教学手段及教学方法建议主要以教师讲授为主,适当的时候可以应用多媒体辅助教学.4、考核方式1)考核形式:考查2)开卷笔试3)期末总评成绩评定方法考试:试卷总分值100分,其中平时作业、期中考试及考勤占总评成绩的40%, 期末考查成绩占总评成绩的60%.5、学时分配表本课程的教学包括如下环节:课堂讲授,主要以教师讲授为主,要求学生课下预习;辅导或习题课,师生互动,边讲边练,解决学生学习过程中出现的一些问题;课外作业,通过对作业的批改,使学生加深巩固对所学内容的理解与掌握。

变分原理基础_讲义

变分原理基础_讲义

变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。

概括地说,在所有满足一定的约束条件的可能状态中,真实状态应使其能量取极值或驻值。

本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理,只讨论线性平衡问题。

2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看,弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征:即与其他可能状态相比,真实状态的能量为极值或驻值。

对这一能量特征举几个简例。

例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。

弹簧的刚度系数为k ,重物的重力为P 。

用∆表示位移,当弹簧系统处于平衡状态时,求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。

现检验如下:∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能,第二项是重力P 的势能。

系统势能p ∏是位移∆的二次式。

由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。

显然,真解(1)使势能p ∏取极小值。

换一个角度,求p ∏的一阶及二阶导数,得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4),得0=∆∏d d p,故知势能p∏为驻值。

根据式(5),又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。

例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁,取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。

根据平衡条件,基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩,1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩,1X 是任意值。

式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩,由于1X 是任意参数,因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。

为了确定1X 的真解,还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值,余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数,由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。

泛函分析:变分法

泛函分析:变分法

2020/6/9
北京师范大学网络教育-云南学习中心
5
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链
线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经 由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t),都 有一个确定的值与之对应,那么就称变量J为依赖于函 数x(t)的泛函,记为:J=J[x(t)]。
x(t) R n , J R 函数 x(t) t x
泛函 J x(t) x(t) J ; x(t)又称为泛函的宗量
说明:由于函数的值是由自变量的选取而确定的,而
4
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂 下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项 链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的 蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链 线(catenary)。
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法(calculus of variations)的诞生,是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直 平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自 较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下 滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题 (The Brachistochrone Problem)。

实变函数与泛函分析全册精品完整课件

实变函数与泛函分析全册精品完整课件

University of science & Technology of China
五大论:
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间,积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间,以 及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理(共鸣定理、开映 射定理、闭图像定理),共轭算子以及算子谱理
论.
University of science & Technology of China
教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想 与方法,为今后进一步使用现代分析普遍应用的这 一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理 论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性 课程讲授的主要内容 教学目的 难易程度 考核方式
University of science & Technology of China
《实变函数与泛函分析》的重要性 在20世纪初期产生并发展起来的学科,是整 个分析数学中最年轻的学科之一 从“经典理论”向“现代理论”转折的关口 是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系,加强学生对于数学思想方 法的内在联系和一致性的认识,从整体上提高学生 的数学素养
University of science & Technology of China
课程难度与考核方式
内容抽象,难度较大 平时表现分+考试分数, 比例 认真学习则无须担心考核

变分原理

变分原理

变分原理泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。

因此泛函也称为函数的函数。

变分法的基本问题是求解泛函的极值。

对于弹性力学问题,根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。

弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数,当然应力或者应变分量是坐标的函数。

因此,应变能就是泛函。

在数学分析中,讨论函数和函数的极值。

变分法讨论泛函的极值,是极值问题的推广。

下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。

如果需要深入探讨复变函数问题,请查阅参考资料。

§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。

泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。

因此泛函也称为函数的函数。

变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。

考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中,求满足边界条件的任意曲线y(x)中的最短曲线。

(补充图)设P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为平面上给定的两点,y(x)为连接两点的任意曲线。

于是,这一曲线的长度为连接P1,P2两点的曲线有无数条,每一条曲线都有一个L值与其对应。

满足边界条件的y(x)称为容许函数,问题是要从这些曲线,容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。

根据上式,L [y]依赖于y(x),而y(x)是x的函数,因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数,称为泛函。

求解最短程线问题,即在满足边界条件在x=x1时,y(x1)=y1,y'(x1)= y'1在x=x2时,y(x2)=y2,y'(x1)= y'2的函数y(x)中,求使得泛函L [y]为极值的特定函数。

因此y(x)称为容许函数。

上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1,y(x2)=y2的极小值问题。

§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。

变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。

泛函分析(变分法)

泛函分析(变分法)
约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却 更为一般化.
欧拉(Euler Lonhard,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从 而确立了数学的一个新分支——变分学。
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泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的,所以将21/4/11
中心
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1 函数的定积分
1.连续时间系统:
1
J 0 x(t)dt
是泛函 吗?
q
2. 离散系统 J x2 (i) 2u2 (i) i 1
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法(calculus of variations)的诞生,是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直 平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自 较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下 滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题 (The Brachistochrone Problem)。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链
线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经 由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出

第二章 泛函与变分

第二章 泛函与变分

总应变能为:
1 l d 2w 2 U dU EI ( 2 ) dx 0 2 0 dx
l
如此等等。只要预先给定一个函数,就能算出泛函的值
常用的泛函一般都是积分形式,最简单的泛函为
J [ y ( x)] F ( x, y, y ')dx
x0 x1
一般地,有 一个一元自变函数的泛函:
0
x1
(2 y y 2 y ' y ')dx 2 ( y y y ' y ')dx
x0 x0
x1
x1
2 J [ y ] ( y y y ' y ')dx 2 [( y ) 2 ( y ') 2 )dx
x0 x0
x1
x1
解: J [u ( x, y, z )] [( u )2 ( u ) 2 ( u ) 2 2uf ( x, y, z )]d
3.泛函的变分
一阶变分: J x Fdx
0
x1
,二阶变分: 2 J x 2 Fdx
0
x1
变分号可由积分号外移到积分号内,即积分与变分运算的次序可以调换 根据上述性质,泛函的变分运算,可转化为对其被积函数的变分运算
2 2 解: J [ y ] x ( y y ' )dx
2 x1 2 x1
在不引起混淆时,也把一次变分简称为泛函的变分
对于依赖于多个函数的泛函也可类似地给出它们的一阶变分、二次变分… 例如,泛函: J [ y ( x), z ( x)] x F ( x, y, y ', z , z ') dx
0
x1

[理学]泛函与变分原理导引

[理学]泛函与变分原理导引
∏( y, z ) = ∫ F ( x, y, y ', z , z ')dx
α β
变分命题 (III)
z
函数:f(x)是变量x的实函数,即在其定义域内,任一x 值都有一个实数f(x)与之对应 泛函:Π(y)是函数y(x)的泛函,即在其定义域内,任 一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应 变分命题:寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值 变分方法:设使泛函取得极值的函数y(x)存在,通过 变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程
z
可取δy,δy’都是同级的微分量
z
当泛函的被积函数是F(x, y, y’,y”)时,函数y要 求有二阶接近度
z
可取δy,δy’, δy’’都是同级的微分量
第一类变分问题
z
设函数y(x)是下式的极值解
∏( y ) = ∫ F ( x, y, y ')dx
α β
z
且满足端点条件 y (α ) = y1 , y ( β ) = y2
z z z z
两点间的最短连线问题 最速下降线问题 短程线问题 …
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”?
y y=y(x)
O
x
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”? 问题的假设:
z z z z
z
二维平面空间,一点是坐标原点(0,0),一点在(a,b) 两点间的连接曲线是 y = y(x) 2 d y ⎛ ⎞ 曲线的弧长微元是 ds 2 = dx 2 + dy 2 或 ds = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 曲线的总弧长是
o A

泛函与变分

泛函与变分

函数在某一点有极值的必要条件是但是,我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题 就是函数的函数,详细见后面)。

例1.1 一个简单的变分问题:最短线问题图1.1最短线问题假设经过A, B 两点距离最短的曲线方程为(X 。

) (X 1) 0显然y y(x) (X)依旧是过固定两点 A, B 的连续曲线,其对应的长度为L( )",r~(7~~~ dxx当 0,y y(x)时 L(dL() d把(,展开后有y''3.1 y'2第1章泛函和变分1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题 y f (X i ,X 2,..., X n ),其在区域R n 内任何一点 :一个足够光滑的连续函数(X i , X 2,..., X n )T 都可以作以下的Taylor 展开 f(x X) f(x)f(X )x T f(x) 4 T f x T Df(x) x o(|| x T |2)X2Xny y(x)另有一任意的连续可导函数(X ) ,(X )满足两端固定的边界条件dL()dX1 (V' .1 (y'x%dx|X i-―dx,1 y'_y' |x i1 y'2 X 0X ixy' 1 y'2dxX i X 0y'' .1 y'2y'y'y''dxylX0 ,ry'23dx 由于(对于任意的(x)都成立,根据变分引理(见,我们可以得到一泛函的极值问题(泛函简单地讲, )取到极小值,也就是说意味着y Gx C 2(因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。

下面我们来看几类比较典型的变分问题。

例1.2最速降线问题图1.2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系,以 A 为坐标原点,水平为 x 轴,向下为y 轴。

曲线的方程为y y(x), A 点坐标(X o ,y o ) (0,0) , B 点坐标(X i ,y i )。

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������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������
其中,������������������ = 2 ������������,������ + ������������,������ , ������������������ = ������������ , in ������; ������������ = ������������ , on ������������ .
用方程(6.1.10)式,试探函数用分片线性函数,可得有限元方程,这与Ritz法相
同。具体如下:
令:������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, 则有 ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)
Ritz法的可取函数是������ 0 类,即函数本身连续即可,但直接用(b)式,则需������ 1 类
函数,因������������������,������ 中包含位移的二阶导数。为使本方法也用������ 0 类函数,可用分部
积分,在(b)式中: ������������������,������ ������������ ������������ −
������ ������������
������������������ ������������ ������������ ������������ =
������
������������������,������ ������������ ������������ −
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ + ������0 =
������������
������������ − ������������������ ������������ ������������ ������������ = 0, ������������ ∈ ������������ ∈ ������ ������ ; ������������ = 0, on ������������ . (b) , ℱ ∈ ������ ∗ ,
������
������������������,������ ������������������ ������������
=
������������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ ������������������ = 0, on ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������������ ������������
������������
考虑令: ℱ ������0 =
������
������������������,������ +������������ ������������ −������������������ ������������
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ +
������������
������Π = −
������
������������������,������ + ������������ ������������������ ������������ −
������ = ������1 , ������2 , ������3 ⊤ 是表面单位外法线向量,∀������������������ ∈ ������ ∈ ������ ������ ; ������ = ������, on ������������ 由������������������ 的任意性和变分学基本引理,有 ������������������,������ + ������������ = 0, ������������ = ������������������ ������������ , in ������ on ������������
������ ������������
������������ ������������������ ������������ = 0
课 程 回 顾
最小势能原理驻值条件
������������ ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(1)
上面介绍的Ritz法或有限元法是建立在总势能泛函的基础上,有时不存在与
微分方程相对应的泛函,这时求解微分方程的近似解,要借助于微分方程的 弱形式。
对于弹性力学问题的基本方程
������
������������������,������ + ������������ = 0, in ������ (a), 其弱形式 ������������ = ������������������ ������������ , on ������������
������
������������������ ������������ ������������ ������������ = −
������
������������������ ������������,������ ������������
1 =− ������ ������ + ������������,������ ������������ = − 2 ������������ ������,������ ������ 代入(b)式,有
应变余能密度:������������ ������������������ =
������������������ ������������������ 0
最小势能原理
总势能:Π ������ =
1 ������
������ ������ ������������ −
������������
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Ritz法
使一泛函取极值的函数,满足Euler方程,或者说,Euler方程的解使泛函 取驻值。如果找到一个函数使泛函近似的取驻值,则这个函数就是Euler方 程的近似解。 构造出一组完全的基函数系������1 , ������2 , … , ������������ ,这组函数定义在积分域上,则所 有可取函数是这些基函数的线性组合。 ������������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ 6.1.8 并且有 ������ ������ Π ������������ = Π ������1 , ������2 , … , ������������ = 0, ������ = 1,2, … , ������ ������������������ ������������������ 由(6.1.9)式可确定常数������������ , 可得������的近似解������������ . 应用总势能取极值求弹性力学方程近似解的方法称为Ritz法。 近似解法—有限元法 “有限元法=Ritz法+分片插值基函数”。 1 6.1.9
������
������������������ ������������������ ������������
6.1.10
(6.1.10)即为虚功原理:内力虚功等于外力虚功。虚功原理与平衡方程和力的 边界条件等价,与本构关系无关。 3
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(3)
������
=
������
������⊤ ������������������ = ������⊤ ������ ������ ������������ ������������ ������ ������
������
������⊤ ������������������������ ������
������
1 ������ ������������������,������ + ������������������,������ ������������ = 2 ������������ ������
,������
������������������ ������������������,������ ������������
������
������������������ ������������������
������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ =
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