力学中的泛函分析和变分原理第十二讲

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������
=
������
������⊤ ������������������ = ������⊤ ������ ������ ������������ ������������ ������ ������
������
������⊤ ������������������������ ������
������������ − ������������������ ������������ ������������ ������������ , ∀������������ ∈ ������������ ∈ ������ ������ ; ������������ = 0, on ������������
由之前的定理可知,若对于一切ℱ ∈ ������ ∗ , 均有ℱ ������0 = 0, 即弱形式(b),则有 ������0 = 0成立,即对应的基本方程(a)成立! 借助方程(b)求解微分方程(a),就是Galerkin法,本方法从微分方程出发,与
微分方程借助什么本构关系得来的无关,所以Galerkin法更具一般性。 2
������
������������������,������ ������������������ ������������
=
������������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ ������������������ = 0, on ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������������ ������������
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(1)
上面介绍的Ritz法或有限元法是建立在总势能泛函的基础上,有时不存在与
微分方程相对应的泛函,这时求解微分方程的近似解,要借助于微分方程的 弱形式。
对于弹性力学问题的基本方程
������
������������������,������ + ������������ = 0, in ������ (a), 其弱形式 ������������ = ������������������ ������������ , on ������������
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ + ������0 =
������������
������������ − ������������������ ������������ ������������ ������������ = 0, ������������ ∈ ������������ ∈ ������ ������ ; ������������ = 0, on ������������ . (b) , ℱ ∈ ������ ∗ ,
应变余能密度:������������ ������������������ =
������������������ ������������������ 0
最小势能原理
总势能:Π ������ =
1 ������
������ ������ ������������ −
������������
������������
最小势能原理:在所有变形可能的位移场中,真实的位移场使总势能泛函
取最小值。也即:
������Π = ������������ ������������ ������������ − ������������������������ ������������ ������ ������������ ������������������ ������������ −
������
������������������ ������������������
������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ =
������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
������������������ ������������������ ������������
������
������������ ������������ ������������ +
������ ������������
������������ ������������ ������������ =
积分,在(b)式中: ������������������,������ ������������ ������������ −
������ ������������
������������������ ������������ ������������ ������������ =
������
������������������,������ ������������ ������������ −
������������
考虑令: ℱ ������0 =
������
������������������,������ +������������ ������������ −������������������ ������������
������������������,������ + ������������ ������������ ������������ +
用方程(6.1.10)式,试探函数用分片线性函数,可得有限元方程,这与Ritz法相
同。具体如下:
令:������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, 则有 ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ =
������������
������Π = −
������
������������������,������ + ������������ ������������������ ������������ −
������ = ������1 , ������2 , ������3 ⊤ 是表面单位外法线向量,∀������������������ ∈ ������ ∈ ������ ������ ; ������ = ������, on ������������ 由������������������ 的任意性和变分学基本引理,有 ������������������,������ + ������������ = 0, ������������ = ������������������ ������������ , in ������ on ������������
������ ������������
������������ ������������������ ������������ = 0
课 程 回 顾
最小势能原理驻值条件
������������ ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Ritz法
使一泛函取极值的函数,满足Euler方程,或者说,Euler方程的解使泛函 取驻值。如果找到一个函数使泛函近似的取驻值,则这个函数就是Euler方 程的近似解。 构造出一组完全的基函数系������1 , ������2 , … , ������������ ,这组函数定义在积分域上,则所 有可取函数是这些基函数的线性组合。 ������������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ 6.1.8 并且有 ������ ������ Π ������������ = Π ������1 , ������2 , … , ������������ = 0, ������ = 1,2, … , ������ ������������������ ������������������ 由(6.1.9)式可确定常数������������ , 可得������的近似解������������ . 应用总势能取极值求弹性力学方程近似解的方法称为Ritz法。 近似解法—有限元法 “有限元法=Ritz法+分片插值基函数”。 1 6.1.9
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第十二讲:力学中的变分原理
授课教师:郭旭教授
大连理工大学工程力学系
课 程 回 顾
单位体积应变能及应变余能
应变能密度:������ ������������������ =
������������������ ������������������ 0
������������������ ������������������������ ������������������ ������������������������
������
������������������ ������������������ ������������
6.1.10
(6.1.10)即为虚功原理:内力虚功等于外力虚功。虚功原理与平衡方程和力的 边界条件等价,与本构关系无关。 3
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(3)
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)
Ritz法的可取函数是������ 0 类,即函数本身连续即可,但直接用(b)式,则需������ 1 类
函数,因������������������,������ 中包含位移的二阶导数。为使本方法也用������ 0 类函数,可用分部
������
1 ������ ������������������,������ + ������������������,������ ������������ = 2 ������������ ������
,来自百度文库�����
������������������ ������������������,������ ������������
������
������������������ ������������ ������������ ������������ = −
������
������������������ ������������,������ ������������
1 =− ������ ������ + ������������,������ ������������ = − 2 ������������ ������,������ ������ 代入(b)式,有
������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������
其中,������������������ = 2 ������������,������ + ������������,������ , ������������������ = ������������ , in ������; ������������ = ������������ , on ������������ .
相关文档
最新文档