第7章 受约束的回归模型

受约束样本回归模型的残差平方和RSSR
ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ( β β ) X X( β β ) * * * *
于是
e *e* e e
(*)
Xe 0
e'e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 受约束与无约束模型都有相同的TSS
由（*）式
参数稳定性的检验步骤： （1）分别以两连续时间序列作为两个样本 进行回归，得到相应的残差平方： RSS1与 RSS2 （2）将两序列并为一个大样本后进行回归， 得到大样本下的残差平方和RSSR
（3）计算F统计量的值，与临界值比较： 若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为发 生了结构变化，参数是非稳定的。 该检验也被称为邹氏参数稳定性检验 （Chow test for parameter stability）。
四、非线性约束
也可对模型参数施加非线性约束,如对模型
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型:
1 Y 0 1 X 1 X 2 k X k * 1
该模型必须采用非线性最小二乘法 （nonlinear least squares）进行估计。
1 2
因此，在1+2=1的约束条件下:
ˆ ˆ 1 1 2 z ~ N ( 0 ,1) ˆ ˆ
~ ~2 Lβ ，

ˆ ， ˆ Lβ
2
如果比值很小，说明两似然函数值差距较大， 则应拒绝约束条件为真的假设；
如果比值接近于１，说明两似然函数值很接近， 应接受约束条件为真的假设。 具体检验时，由于大样本下：
~ ~2 ˆ , ˆ 2 )] ~ 2 (h) LR 2[ln L(β , ) ln L(β
• 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
一、模型参数的线性约束
例如对模型:
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
(*)
施加约束:
1 2 1
k 1 k
得:
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
第7章 受约束的回归模型
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量
三、参数的稳定性
四、非线性约束
说 明
• 在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如：
——需求函数的0阶齐次性条件（参数和为零） ——生产函数的1阶齐次性条件（参数和为1）
• 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
讨论： 如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异较 大，计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显 著性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性 进行检验。 注意，kU - kR恰为约束条件的个数。
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
(**)
可见，用前n1个样本估计可得前k个参数 的估计，而是用后n2个样本测算的预测误差 X2( - )
如果参数没有发生变化，则=0，矩阵式简化为
Y1 X1 μ 1 Y X β μ 2 2 2
(***)
记RSS1与RSS2为在两时间段上分别回归后所得的 残差平方和，容易验证， 于是
RSSU RSS1 RSS2
[ RSSR ( RSS1 RSS2 )] / k F ~ F[k , n1 n2 2(k 1)] ( RSS1 RSS2 ) /[n1 n2 2(k 1)]
这里：KU - KR=n2 RSSU=RSS1
邹氏预测检验步骤：
第一步，在两时间段的合成大样本下做OLS回归， 得受约束模型的残差平方和RSSR ；
第二步，对前一时间段的n1个子样做OLS回归，得 残差平方和RSS1 ； 第三步，计算检验的F统计量，做出判断： 给定显著性水平 ，查 F 分布表，得临界值 F(n2, n1-k-1)，如果 F>F(n2, n1-k-1) ，则拒绝原 假设，认为预测期发生了结构变化。
Y 0 1 X 1 k X k 1
Y 0 1 X 1 k X k 2
合并两个时间序列为( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )， 则可写出如下无约束回归模型
Y1 X1 Y 2 0 0 β μ 1 X 2 α μ 2
然而，对所考查的具体问题能否施加约束？ 需进一步进行相应的检验。常用的检验有：F检 验、x2检验与t检验。
F检验 在同一样本下，记无约束样本回归模型为:
ˆ e Y Xβ
受约束样本回归模型为: ˆ * e* Y Xβ 于是:
ˆ * Xβ ˆ e Xβ ˆ * e X(β ˆ * β ˆ) e* Y Xβ
RSSU / 2 ~ 2 (n kU 1)
RSSR / 2 ~ 2 (n k R 1)
(RSSR RSSU ) / 2 ~ 2 (kU k R )
于是：
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) F ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
从而
RSSR ≥ RSSU
ESSR ≤ ESSU
这意味着，通常情况下，对模型施加约 束条件会降低模型的解释能力。 但是，如果约束条件为真，则受约束回 归模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， RSSR 与 RSSU的差异变小。
可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性 根据数理统计学的知识：
H0： j=0
j=1,2,…,k
这里：受约束回归模型为
Y 0 *
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) (TSS ESSR RSSU ) / k F RSSU /(n kU 1) RSSU /(n k 1) (TSS RSSU ) / k ESSU / k RSSU /(n k 1) RSSU /(n k 1)
（***）式与（**）式
Y1 X1 Y 2 X2 0 β μ 1 I n2 γ μ 2
分别可看成受约束与无约束回归模型
于是有如下F检验：
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) ( RSSR RSS1 ) / n2 F RSSU /(n kU 1) RSS1 /(n1 k 1)
(*)
如果=，表示没有发生结构变化，因此可针对 如下假设进行检验： H0: =
Y1 X 1 μ 1 Y X β μ 2 2 2
(*)式施加上述约束后变换为受约束回归模型
（**）
因此，检验的F统计量为：
( RSSR RSSU ) / k F ~ F[k , n1 n2 2(k 1)] RSSU /[n1 n2 2(k 1)]
h是约束条件的个数。因此：通过LR统计量的2 分布特性来进行判断。
２、沃尔德检验（Wald test, W）
沃尔德检验中，只须估计无约束模型。如对
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
在所有古典假设都成立的条件下，容易证明
ˆ ˆ ~ N ( , 2 ˆ ˆ ) 1 2 1 2 ຫໍສະໝຸດ 这里，运用了ESSR ＝0。
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y 0 1 X 1 k X k
Y 0 1 X 1 k X k k 1 X k 1 k q X k q
(*) (**)
(*)式可看成是（**）式的受约束回归：
(**)
* * 或: Y * 0 1 X 1* 3 X 3 k 1 X k 1
ˆ , ˆ , ˆ ,, ˆ 如果对（**）式回归得出: 0 1 3 k 1
则由约束条件可得：
ˆ 1 ˆ 2 1
ˆ ˆ k k 1
三、参数的稳定性
建立模型时往往希望模型的参数是稳定的，即 所谓的结构不变，这将提高模型的预测与分析功 能。如何检验？ 1、邹氏参数稳定性检验
假设需要建立的模型为
Y 0 1 X 1 k X k
在 两 个 连 续 的 时 间 序 列 （ 1,2,… ， n1 ） 与 （ n1+1,… ， n1+n2）中，相应的模型分别为：
Y1 X1β μ 1 Y2 X 2α μ X 2 (α β) μ γ μ 2 X 2β 2 X 2β 2
其中， γ X 2 (α β)
(*)
如果 =0，则 = ，表明参数在估计期与 预测期相同 (*)的矩阵式：
Y1 X1 Y 2 X2 0 β μ 1 I n2 γ μ 2
2、邹氏预测检验
上述参数稳定性检验要求n2>k。 如果出现n2<k ，则往往进行如下的邹氏预 测检验（Chow test for predictive failure）。 邹氏预测检验的基本思想:
先用前一时间段n1个样本估计原模型，再用 估计出的参数进行后一时间段n2个样本的预测。
如果预测误差较大，则说明参数发生了 变化，否则说明参数是稳定的。 分别以、 表示第一与第二时间段的参数， 则:
Ｆ统计量的另一个等价式
2 2 ( RU RR )/q F 2 (1 RU ) /(n (k q 1))