高二数学 抛物线的简单几何性质学案
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
《抛物线的简单几何性质》 学历案
《抛物线的简单几何性质》学历案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程。
2、理解并掌握抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。
3、能够运用抛物线的几何性质解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）抛物线的几何性质。
（2）利用几何性质求抛物线的方程和解决相关问题。
2、难点（1）抛物线的几何性质的应用。
（2）与抛物线相关的综合问题。
三、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：（1）焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（2）焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（3）焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（4）焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
四、新课导入我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么抛物线还有哪些重要的几何性质呢？这些性质又能帮助我们解决哪些问题呢？让我们一起来探究吧。
五、抛物线的几何性质1、范围以抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）为例，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于抛物线上任意一点 M（x，y），有\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧（包括 x 轴）。
同理，对于抛物线 y²＝－2px（p ＞ 0），有\（x ＼leq 0\），即抛物线在 x 轴的左侧（包括 x 轴）。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。
而因为，且，所以。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。
【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p 2.直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ . 3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ∈k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；∈k ≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有 公共点． Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有 公共点．Δ＜0∈直线与抛物线∈ 公共点．【小试牛刀】1．抛物线关于顶点对称．()2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．() 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．() 4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()5．抛物线y＝－18x2的准线方程为x＝132．()【经典例题】题型一抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．[跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是∈OAB 的重心，求∈OAB的周长．题型二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA∈OB.题型三中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．题型四 抛物线的综合应用例4 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值．【当堂达标】1．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．184．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当∈AOB的面积等于10时，求k的值．9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA∈OB，求实数m的值．10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【参考答案】【自主学习】x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p2 x 轴 y 轴 (0,0) 1 x 1＋x 2＋p 相离 相切 相交 一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有 【小试牛刀】 × √ √ √ × 【经典例题】例1 (1)y 2＝3x 或y 2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .](2)[解] 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ， 设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∈BCD ＝30°，在Rt∈ACE 中，∈|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∈2|AE |＝|AC |，∈4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∈BD ∈FG ，∈43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x .[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA |＝|OB |可知AB ∈x 轴，垂足为点M ， 又焦点F 是∈OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |. 因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)．故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24；所以m ＝26或m ＝－26，所以A (3,26)，B (3，－26)，所以|OA |＝|OB |＝33，所以∈OAB 的周长为233＋4 6. 例2 解 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x＝14，∈y ＝1，∈直线l 与C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．∈当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；∈当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ∈当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点．[跟踪训练]2 [证明] 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∈直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∈可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∈OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∈OA →∈OB →，即OA ∈OB .例3 解 由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ∈x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∈(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∈y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∈k AB ＝4. ∈AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y＝k (x －4)＋1.联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标．由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∈k ＝4.∈AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 例4 解 方法一 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. 所以当t ＝23时，d 有最小值43.方法二 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∈Δ＝16＋12m ＝0，∈m ＝－43. 故最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 【当堂达标】1.D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎨⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y 2∈⎩⎨⎧ y 2＝16x ，x ＝2∈⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．] 2. C 解析 设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∈2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∈抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3.A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]4.B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∈点A 的坐标为(1，±2)，故选B.]5. B 解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.6. 8解析 因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7.158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∈|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∈y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 8.解 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋1，消去x 整理得ky 2＋y －k ＝0，Δ＝1＋4k 2>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∈S ∈OAB ＝S ∈OAN ＋S ∈OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∈S ∈AOB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.9.解 由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意．(2)因为OA ∈OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－8，经检验符合题意．10.[解] 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∈x 1＋x 2＝6－p .∈ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∈x 1＋x 2＝3p ，代入∈式得3p ＝6－p ，∈p ＝32.∈所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
学案8：2.3.2抛物线的简单几何性质
2.3.2抛物线的简单几何性质学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断．学习重点：会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．学习难点：直线与抛物线的位置关系的应用．学习过程 自学导引1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p⎛⎫p ⎛⎫p2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为度．名师点睛1．抛物线与双曲线的区别(1)抛物线的几何性质和双曲线的几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．2．抛物线的焦点弦如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)|AB|＝2(x0＋p2)(焦点弦长与中点关系)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p；(4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝2p sin2α；如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2.3．直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的形式，(1)若a＝0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点. 例题解析例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M （2，），求它的标准方程.例2斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.例3 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于A ,B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 已知抛物线的方程为y 2=4x ，直线l 过定点P （-2,1） ，斜率为k , k 为何值时，直线l 与抛物线 y 2=4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？拓展训练1、已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．2、抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．3、求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．4、已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.5、已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满足OA⊥OB，求证：(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线AB经过一个定点．6、如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．参考答案学习过程自学导引1．抛物线的几何性质试一试： 通径的长度为2p .例题解析例1解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是例2【解析】由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的斜率为1，所以可以求出直线l 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A ,B 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB ｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.如图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由抛物线的定义可知|AF |等于点A 到准线的距离|AA ’|设|AA ’|=d A ,而d A =x 1+1，于是|AF|= d A =x 1+1.同理|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1，于是得|AB |=|AF |+|BF |= x 1+x 2+2由此可见，只要求出点AB 的横坐标之和x 1+x 2,就可以求出|AB |.解：由题意得，p =2,，焦点F (1，0),准线l :x =-1.如图，设设A （x 1，y 1），B （x 2，-22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x =12p=y2），A,B到准线的距离分别为d A, d B.由抛物线的定义可知|AF|= d A=x1+1，|BF|=|BB’|= d B=x2+1，于是AB=|AF|+|BF|=x1+x2+2，由已知得抛物线的焦点为F(1，0),所以直线AB的方程为y=x-1.①将①代入方程y2=4x，得（x-1）2=4x化简得x2-6x+1=0由求根公式得x1, x2=3-,于是|AB|= x1+ x2=8.所以，线段AB的长是8.例3【解析】我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐+标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为过点A的坐标为（，y0）,则直线OA的方程为抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D的纵坐标为22y px, (1)=22yp2py x(y), (2)y=≠2px. (3)=-因为点F 的坐标为（，0），所以直线AF 的方程为联立(1)(5)，可得点B 的纵坐标为由(4)(6)可知，DB ∥x 轴. 当y 2=p 2时，结论显然成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 【解析】用解析法解决这个问题，只要讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.由方程组2p y . (4)y =-2p022022022py py (x ), (5)y p y p .=--≠其中2p y . (6)y =-()12 ,y k x .-=+解：由题意设直线的方程为l ()2124y k x ,y x ,⎧-=+⎪⎨=⎪⎩()*()244210-++=可得ky y k ()101k ,y .==当时由方程得21144y y x,x .===把代入得114,(,).这时直线与抛物线只有一个公共点l ()()2201621k , k k .≠∆=-+-当时方程的判别式为211021012,k k ,k ,k .︒∆=+-==-=由即解得或拓展训练1、解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.规律方法 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，需要确定对称轴和开口方向以及一个待定系数p ，即先定型，再定量，必要时结合图形．2、解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，112,k ,k ,,.,.=-=*于是当或时方程①只有一个解从而方程组（）只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点l 212021012,k k ,k .︒∆>+-<-<<由即解得1102,k k ,,.,.-<<≠于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点l 112,k ,k ,,.,.<->于是当或时方程 没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点l ,综上我们可得1102k ,k ,k .=-==当或或时，直线与抛物线只有一个公共点l 1102k k ,.-<<≠当，且时直线与抛物线有两个公共点l 112k ,k ,,.<->当或时直线与抛物线没有公共点l∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.3、解 (1)若直线斜率不存在，则过P (0,1)的直线方程为x ＝0.直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线斜率存在，设为k ，则过P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消元得：k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，①当k ＝0时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．②当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0.∴k ＝12，∴直线方程为：y ＝12x ＋1.综上所述：所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.4、解 设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×－22＝22303. 5、解 (1)因为AB 斜率不为0，设直线AB 方程为my ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋by 2＝2px 消去x ，得y 2－2pmy ＋2pb ＝0. 由Δ＝(－2pm )2－8pb >0， 又∵y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pb ， 又∵OA ⊥OB ， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0， ∴b 2＋2pb ＝0，∴b ＋2p ＝0，∴b ＝－2p . ∴y 1y 2＝－4p 2，x 1·x 2＝b 2＝4p 2所以A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p 2和－4p 2； (2)AB 方程为my ＝x －2p ，所以AB 过定点(2p,0). 6、证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∵AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ， 得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y Cx B －x C＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C ＝k 8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.所以直线BC 的斜率为定值．。
高二数学《抛物线的简单几何性质》学案(第课时)
§2。
3。
2抛物线的简单几何性质（第1课时)[自学目标］：1．掌握抛物线的图形和简单几何性质［重点］：抛物线的简单几何性质的应用[难点］：运用抛物线的定义解决问题［教材助读］：抛物线的几何性质：［1．范围：因为p＞0,由方程()022>y可知,这条抛物线上的点M=ppx的坐标（x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向和无限延伸．2．对称性：以－y代y,方程()022>y不变，所以这条抛物线关于px=p对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的．3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做．在方程()022>ypx=p中，当y=0时，x=0,因此抛物线()022>y的顶点就是．=ppx4．离心率：抛物线上的点M与和它到的比，叫做抛物线的离心率，用e表示,由抛物线的定义可知，e= 。
源：]()022>=p px y x yO F l()022>-=p px y x yO F l()022>=p py x()022>-=p py x[预习自测］1、求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点(5,4)M -, 。
②顶点在原点,焦点是(0,5)F , 。
③顶点在原点，准线是4x = 。
④焦点是(0,8)F - ，准线是8y =, 。
2、若抛物线过点（1,2),则抛物线的标准方程为: 。
x yO F l x yOF l3、有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米,当水面下降1米时，水面宽是多少米？待课堂上与老师和同学探究解决.［合作探究展示点评］探究一：抛物线的定义与性质的应用例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M ，(2,求它的标准方程探究二：实际应用例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
2.7 抛物线的简单几何性质-王后雄学案
2.7 抛物线的简单几何性质教材知识检索考点知识清单1．已知抛物线的标准方程为),0(22>=p px y 则抛物线上的点（x ，y ）的横坐标的取值范围是 ① ． 2．抛物线的对称轴叫做 ② ，抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的 ③ ，其值为 ④ .3．在抛物线)0(22>=p px y 中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ⑤ ，连接这两点的线段叫做抛物线的⑥ ，它的长为 ⑦ .要点核心解读一、抛物线的几何性质以抛物线)0(22>=p px y 为例．1．范围：抛物线在y 轴的右侧向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性：抛物线关于x 轴对称． 3．顶点：坐标原点是抛物线的顶点． 4．离心率：抛物线的离心率e=1．[注意] (1)上述抛物线的几何性质，我们是以>=p px y （22)0为例来研究 的，也就是通过这个方程来研究其几何性质，对于其他方程也具有同样的性质，事实上，抛物线的几何性质是不依赖于抛物线方程的，而坐标系、方程等不过是我们研究其几何性质的一个工具而已．同样的，对于前面的椭圆和双曲线的几何性质的研究也是如此．(2)抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线．它没有对称中心，因此抛物线叫做无心圆锥曲线，而椭圆和双曲线则称为有心圆锥曲线．(3)通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径，通径长为2p.这便是标准方程中2p 的一种几何意义．而p 的几何意义则是焦点到准线的距离.抛物线的几何性质与椭圆：双曲线几何性质的不同之处二、抛物线的焦点弦如图2 -7 -1，AB 是抛物线)0(22>=p px y 过焦点F 的一条弦．设AB y x B y x A ),,(),(2211、的中点),,(00y x M 过A 、M 、B 分别向抛物线的准线L 作垂线，垂足分别为⋅111B M A 、、则根据抛物线的定义，有|,||||,|||11BB BF AA AF ==故.||||||||||11BB AA BF AF AB +=+=又||1MM 是梯形B B AA 11的中位线；.||2||||||111MM BB AA AB =+=∴故有下列结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线L 相切；)2(2||)2(0px AB +=（焦点弦长与中点关系）； ;||)3(21p x x AB ++=;2||,2||)4(21p x BF p x AF +=+= (5)若直线AB 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且其倾斜角为p ，则,sin 2||2θpAB =θθcos 1||,cos 1||+=-=pBF p AF[注意] 上述性质(5)推导如下：如图2 -7 -1所示，设x M ⊥2轴于x BB A ⊥22,轴于,2B 则由抛物线的定义可知，+=+===p p F A N A AA AF ||||||||221,cos .||θAF即,cos 1||,)cos 1(||θθ-=∴=-pAF p AF同理可得θcos 1||+=pBF=-=++-=+=∴θθθ2cos 12cos 1cos 1||||||p p p BF AF AB ⋅θ2sin 2p三、抛物线的过定点弦问题[例题]过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为,21y y 、求证.221p y y -=[解析] 因为当直线斜率为零时，直线与抛物线仅有一个交点，故可设其直线方程为,2pmy x += 代入px y 22=得),(22--+=P my p y 即.,0222122p y y p pmy y -=∴=--[探究] 对上述例题进行联想、引中和改造，可以得到综合性强、形式新颖的命题，多思考、多训练，可提高思维的广阔性与灵活性，培养探索创新能力，变式1：设抛物线px y 22=上两个动点A ．B 的纵坐标分别为,21y y 、且满足,22p y y l -=求证：直线AB 经过焦点．证明：设A 、B 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 直线AB 的方程为程y=k （x 一a ）． 显然.,0a kyx k +=∴=/ 将其代入.022,222=--=pa y kpky px y 21,y y 是此方程的两实根，.221pa y y -=∴又,2,2221p pa p y y -=-∴-=即⋅=2p a 故直线AB 经过焦点F ．变式2：设M(a ，O)是抛物线px y 22=对称轴上的一个定点，过M 的直线交抛物线于A ，B 两点，其纵坐标分别为,21y y 求证：21y y 为定值．证明：因为直线AB 与抛物线交于两点，因此可设直线AB 的方程为,a my x +=将其代入px y 22=中，消去x ，得--pmy y 22,02=pa 则21,y y 是此方程的两实根，由韦达定理，知=21y y ,2pa -其为定值，变式3：设抛物线px y 22=上两个动点A 、B 分别为),,(l l y x ),,(22y x 且满足n n y y (21=为常数），问直线AB 是否恒过某一定点？解：当21x x =/时，,221y y pk AB +=直线AB 的方程为⋅-⋅+=-)(21211x x y y py y ①将p y x 2211=代入①，化简整理，得2121212y y y y y y pxy +++= AB n y y ∴=,21 的方程为),2(221pnx y y p y ++=即直线AB 过定点⋅-)0,2(pn当21x x =时，结论仍然成立（实际上当n>0时1,y 与2y 号，点A 和点B 在对称轴的同侧，且,21x x =/ 所以当21x x =时，必有n <0）．故当n n y y (21=为常数）时，直线AB 恒过定点⋅-)0,2(pn[结论] 由以上的探究可知21y y “为定值”的充要条件是“直线AB 恒过x 轴上一定点”，事实上，若 21k k 和分别为直线OA 和OB 的斜率，则21k k 也有类似的结论，而对于,21x x 则只有当直线AB 过x 轴上一定点时，才有21x x 为定值，反过来却不行，对于抛物线其他形式的标准方程也有类似的结论，请同学们继续对它们进行探究，注意这些结论还有着广泛的应用， 四、抛物线的光学性质[例题] 汽车的前灯射出的是一束平行的光柱，在制造时，是把车灯的反射面造成抛物面，而把光源放在抛物面的焦点处，你能用所学的知识来解释这种现象吗？[探究] 显然车灯的这束光柱是平行于抛物面的对称轴，因此，我们只需考虑自焦点处发出的光线被反射面反射后是否与抛物面的对称轴平行，由光学知识知，光线反射时，入射角等于反射角，即入射光线与法线（即过反射点且与过反射点和反射面相切的平面垂直的直线）的夹角等于反射光线与法线的夹 角．我们作出车灯的轴截面 (如图2 -7 -2)，于是只需要考虑自焦点F 发出的光线与法线（即过P 点且与过P 点的抛物线的切线垂直的直线）的夹角1ϕ是否等于过P 点且与对称轴平行的直线与法线所成的夹角,2ϕ而,32ϕϕ=因此只要看1ϕ是否等于,3ϕ即看｜FP ｜是否等于｜FM ｜？设抛物线的方程为P p px y ),0(22>=点坐标为=/000)(,(y y x ),0过P 点的抛物线的切线方程为 k x x k y y )(00-=-（为切线斜率）． 由两方程及,2200py x =得.0)2(22002=-+-ky py py ky (*) 要使直线)(00x x k y y -=-与抛物线相切，也就是使关于y 的一元二次方程有两个相等的实根，即=--=∆)2(442002ky py k p ,0即.0)(20=-ky p 由此可得0y pk =∴ 法线PM 的方程为),(000x x p yy y --=-∴ 法线PM 与x 轴的交点为⋅+=∴+2||),0,(00px FM p x M 又由抛物线的定义可知,2||0p x FP += ,,|,|||2131ϕϕϕϕ=∴=∴=∴FM FP 即法线PM 平分PQ FPQ ∴∠,为其反射光线．由此得到：自抛物面的焦点发出的光线被抛物面反射后，其反射光线与抛物面的对称轴平行；反过来，与对称轴平行的光线投射到抛物面上，经抛物面反射后通过焦点．利用这个光学性质可以制作雷达的接收器以及太阳灶等，椭圆和双曲线也有类似的光学性质，我们可以用类似的方法对它们加以研究． [结论] 在旋转的抛物面的焦点发出的光线投射到曲面上，经曲面反射后，都与抛物面的对称轴平行；反过来，与曲面的对称轴平行的光线投射到曲面上，经曲面反射后，都经过焦点．类似地有：在旋转的椭圆面的一个焦点发出的光线投射到曲面上，经过曲面反射后，都经过另一个焦点，在旋转的双曲面的一个焦点发出的光线投射到曲面上，经过曲面反射后，会使光线散开，而且这些光线就好像是另一个焦点发出的一样．典例分类剖析考点1 抛物线的几何性质 命题规律1．探求抛物线的有关几何性质．2．给出抛物线的某些几何性质，探求抛物线方程等．[例1] 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(l ，-2)，求抛物线方程． [解析] 由于抛物线以坐标轴为对称轴，而抛物线的对称轴只有一条，因此可能是以x 轴为对称轴，也可能是以y 轴为对称轴．即使以x 轴为对称轴，开口方向可能向右，也可能向左 ，这样讨论起来就比较复杂，但此时若设其方程为,2mx y =就避免了不必要的讨论． [答案] (1)当抛物线的焦点在x 轴上时，设其方程为.2mx y =将M(l ，-2)代入，得.4=m(2) 当抛物线的焦点在y 轴上时，设其方程为⋅=ny x 2将M （1，-2）代入，得⋅-=∴-=y x n 21.212故所求的抛物线方程为⋅-=⋅=y x x y 21.422[点拨] 利用抛物线性质求抛物线的标准方程仍然是用待定系数法求解，不同的地方是：题目需要利用抛物线的性质来叙述有关条件而已，只要我们熟练地掌握了这些性质，也就能顺利地解题． 母题迁移 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点);32,4(P (2)顶点在原点，准线是.4-=y 考点2抛物线的焦点弦 命题规律1．求抛物线焦点弦的弦长．2．与抛物线的焦点弦有关的证明问题． 3.与抛物线焦点弦有关的综合问题．[例2] (1)如图2-7 -3，设抛物线的焦点为F ，AB 为过F 的弦，L 为准线，l M ⊥1于l BB A ⊥11, 于M B ,1为11B A 的中点，求证：MF ⊥AB.(2)已知抛物线)0(22>=p px y 的一条焦点弦AB 被焦点F 分成m ，n 两部分，求证：nm 11+为定值．[答案] (1)过F 作FN ⊥AB 交准线L 于N ，连接AN ，BN.在N AA Rt 1∆与Rt △AFN 中，|||,|||1AN AF AA = 为公共边，,1AFN Rt N AA Rt ∆≅∆∴.||||1FN N A =∴同理|,|||1FN N B =|,|||11N B N A =∴即N 为11B A 的中点，从而N 与M 重合，.AB MF ⊥∴(2)如图2-7 -4所示，设弦AB 与X 轴正向所成的角为θ，则p AA AF ==||||1AF P F A +=+||2==∴||,cos |AF m θ,cos 1θ-p 同理θcos 1||+=pBFpp p n m 2cos 1cos 111=++-=+∴θθ为定值． [点拨] 解决抛物线的焦点弦问题，要注意抛物线的定义的运用，充分利用图形的形象直观以及平面几何知识来分析解决问题.在解答题中，不要直接运用抛物线焦半径公式=||AF ,cos 1||,cos 1θθ+=-pBF p 最好要推导一下（如本例的解析）．母题迁移 2．(1)求抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦长的最小值．(2)（2010年山东高考题）已知抛物线),0(22>=p px y 过其焦点且斜率为l 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．1.=x A 1.-=x B2.=x C 2.-=x D 考点3 抛物线的过定点弦 命题规律1．若抛物线的弦所在的直线过定点，探求有关量（如弦的两端点的纵坐标之和）是否为定值．2．由给出的有关量为定值，探求直线是否过定点． 3．利用过定点弦的有关结论分析解决问题．[例3] 已知A ，B 是抛物线x y 162=上的两点，且OA OB ，OP 垂直AB 于P ，求P 点的轨迹方程． [答案]∴-=⋅,10B oA k k 直线AB 过定点Q （a ，0），故设直线AB 的方程为),,(),(11y x A a x k y -=),(22y x B 则=1x ⋅=16,1622221y x y 显然,,0a kyx k +=∴=/将其代入,162x y =得,016162=--a y ky ,1621a y y -=∴,11616.21222110-=-===⋅∴ay y x y x y k k oBA∴ a=16，即直线AB 过定点Q(16，0)．又OP ⊥PQ, ∴ P 点在以OQ 为直径的圆上， 故所求的轨迹方程为⋅=/=+-)0(64)8(22x y x[点拨] 本例中利用结论直线AB 过定点Q(16，0)，进而得到所求轨迹为以oQ 为直径的圆，从而简便了解题过程，需要注意的是：不能直接利用前面所推导出的结论，而应像本例解答过程一样，先推导，再用其结论．母题迁移 3．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x 轴，那么A 、D 、C 三点是否共线？[例4] 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，作倾斜角为p 的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S （O 为原点），若S 的最小值为8，求此时的抛物线方程．[答案] 如图2 -7 -5．设),,(11y x A ),,(22y x B 直线AB 的方程为,2pmy x +=代入-=22,2y px y 得 .,022212p y y p pmy -=∴=-又 .221||.22110p y p S S S BFOAF AOB ⋅+⋅=+=∆∆∆|)||(|4||212y y p y +=⋅=⋅≥2||24221p y y p当且仅当p y y ==||||21时等号成立，故⋅=22minp s 由题意有.4,822=∴=p p 故所求的抛物线方程为.82x y =[点拨] 本例中，利用结论”“221p y y -=从而简化解题过程． 母题迁移 4．在平面直角坐标系xOy 中，过定点C(O ，p)作直线与抛物线)0(22>=p py x 相交于A 、B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点D 的对称点，求△AN B 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线L ，使得L 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出L 的方程；若不存在，说明理由． 考点4 直线与抛物线命题规律1．求直线与抛物线的交点坐标． 2．求直线被抛物线截得的弦长． 3．有关抛物线的中点弦问题．[例5] 抛物线x y 82=上有一点P(2，4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接△PQR ，使得△PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在直线的方程．[解析] P 点恰好在焦点F(2，0)的正上方，因为F 为△PQR 的重心，所以QR 的中点为M （2，-2），将该问题转化为已知QR 的中点求弦所在直线方程的问题．[答案]抛物线x y 82=的焦点为F(2，0)．∵ F 为△PQR 的重心， ∴QR 的中点为M （2，-2），如图2-7 -6所示． 设),,(),(2211y x R y x Q则有⎩⎨⎧==②①,8,8222121x y x y①一②，得).(8212221x x y y -=-又,421-=+y y∵ 直线QR 的斜率为.2488212121-=-=+=--=y y x x y y k∴ QR 所在直线的方程为),2(22--=+x y 即.022=-+y x[点拨] 点差法是解决有关抛物线中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．母题迁移 5．过点Q(4，1)作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．考点5抛物线的综合应用.命题规律1．抛物线与其他数学知识的综合问题． 2．抛物线在实际问题中的应用．[例6] 一颗彗星沿一条以地球为焦点的抛物线轨道运行（设彗星、地球都是质点），当彗星离地球d 万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为,30o 求此彗星运行时离地球最短的距离. [答案] 以抛物线的顶点为原点，顶点与焦点的连线为x 轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为),0(22>=p px y 焦点为),0,2(p F 彗星位于),(00y x P 处，直线PF 的方程为=y ),2(33px -解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得,23470p x ±==+=2||0p x PF ,)324(p ±即,)324(d p =±得.232d p ±=所以彗星与地球的最短距离为d 432+万公里或d 432-万公里（P 点在F 点的左边或右边时，所求距离取值不同）．[点拨] 解决抛物线的实际应用问题，首先要确定问题中是否建立了抛物线的模型，若没有，则应充分利用抛物线的定义建立抛物线模型，利用抛物线的知识分析解决问题．对于建立抛物线模型问题，要利用抛物线知识解题，首先要分析问题 中是否已经建立了直角坐标系（若没有，则应先建系，再求解），只有建立直角坐标系，才能利用代数方法解决有关问题．母题迁移 6．已知探照灯的轴截面是抛物线,2x y 图2 -7 -7表示的是平行于对称轴y=0的光线于抛物线上的点P ，Q 处的反射情况，设点P 的纵坐标为a （a>0），问：a 取何值时，从入射点P 到反射点Q 的光线路程PQ 最短.优化分层测训学业水平测试1．关于抛物线的命题，下列说法不正确的是( )．A ．必有一个顶点B ．必有一个焦点C ．必有一个对称中心D ．必有一条对称轴2．顶点在原点，焦点为)0,23(F 的抛物线的标准方程是( )．x y A 232=⋅ x y B 32=⋅ x y C 62=⋅ x y D 62-=⋅3．抛物线y x 42-=与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则=||AB （ ）2.A 4.B 6.C 8.D4．焦点为F （0，-1），准线为y=l 的抛物线的标准方程是5．过点M(2，4)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有____条．6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴.高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项） 1．设A 、B 是抛物线y x 42=上两点，0为原点，若|,|||OB OA =且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于( )．30.A 45.B 60.C o D 90.2．（2011年全国高考题）已知直线L 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，L 与C 交于A ，B 两点， ｜AB ｜=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36 D ．483．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于,),(211x B y x A （、),2y 如果,621=+x x 那么｜AB ｜等于( )．8.A 10.B 6.C 4.D4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是( )．cm A 25.11. cm B 625.5. cm C 20. cm D 10.5．若Q(O ，4)，P 为12+=x y 上任一点．，则｜PQ ｜的最小值为( )．23.A 210.B 211.C 3.D6．（2011年湖北高考题）将两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )．0.=n A 1.=n B 2.=n C 3.≥n D7．（2011年山东高考题）设),(00y x M 为抛物线y x C 8:2=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、 ｜FM ｜为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( )．)2,0(⋅A ]2,0[⋅B ),2(+∞⋅C ),2[+∞⋅D8．（2009年北京高考题）点P 在直线1:-=x y l 上，若存在过P 的直线交抛物线2x y =于A ，B 两点，且 ｜PA ｜=｜AB ｜，则称点P 为“A 点”．那么下列结论中正确的是( )．A ．直线L 上的所有点都是“A 点”B ．直线L 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线L 上的所有点都不是“A 点”D ．直线L 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”二、填空题（本大题共4小题，每小题5（分，共20分，答案须填在题中横线上）9．过定点P(O ，2)作直线L ，使L 与曲线x y 42=有且仅有一个公共点，这样的直线L 共有10.在抛物线x y 162=内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程为11.（2010年重庆高考题）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点A 、B 满足,3=则弦AB 的中点到准线的距离为12.（2009年海南、宁夏高考题）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(l ，0)，直线L 与抛物线、C相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，2)，则直线L 的方程为三、解答题（本大题共4小趣，每小题'10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.设直线b x y +=2与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，已知弦AB 长为,53求6的值．14.如图2-7 -8，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分．灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反射镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离是多少？15.（2011年湖南高考题）已知平面内一动点P 到点F(l ，O)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线,,2l l l 设1l 与轨迹C 相交于点2,,l B A 与轨迹C 相交于点D ，E ，求=⋅的最小值．16.（2011年广东高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线L:x= -2交x 轴于点A ．设P 是L 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO= ∠AOP. (1)当点P 在L 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T(l ，-1)．设H 是E 上动点，求｜HO ｜+｜HT ｜的最小值，并给出此时点H 的坐标；(3)过点T(l ，-1)且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．单元知识整合二、内容提要1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质2．曲线与方程(1)曲线与方程：如果曲线C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2).圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e ；当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e=l 时，圆锥曲线是抛物线． 3．直线与圆锥曲线的位置关系：直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交，设直线L 的方程为,0=++C By Ax 圆锥曲线D 的方程为⎩⎨⎧==++,0),(,0y x f C By Ax 可得（消去 y ）++bx ax 2⋅=(*)0c(1)当0=/a 时，若关于x 的方程(*)的判别式△>O ，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若A<O ，则直线与圆锥曲线没有交点；若A=O ，则直线与圆锥曲线相切．(2)当a=0,时，若方程（女）有解，则直线与圆锥曲线有一个交点． 三、注意问题1.曲线与方程的学习应以学习过的曲线为主，注重体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想.2．本章研究几何图形时，大量采用了坐标法，所以在解答问题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征．同时在解决实际问题时，要注意选择适当的坐标系，使问题变得简单.3.(1)在由椭圆的标准方程写出椭圆的性质（如长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标等）时，要分清焦点在x 轴上还是在y 轴上，不要弄错．(2)在解决有关直线与椭圆位置关系的问题时，如要设出过定点的直线方程，要注意讨论斜率不存在的情况．(3)在双曲线的定义中，要注意2e >2a 的条件，若21F F 、分别为双曲线的左、右（或下、上）焦点，⇔=-a PF PF 2||||||21=-||||21PF PF ||||,221PF PF a -±=---=||||221PF PF h a 2a 分别对应双曲线的左、右（或下、上）两支．(4)要注意双曲线的焦点的确定与椭圆的不同，它是看2x 项、2y 项的系数的正负，如已知双曲线,0369422=+-y x 求它的焦点坐标，经常出现写错的情况，其原因就是焦点的位置判断错了，本题正确答案应为⋅±)13,0((5)解决直线与圆锥曲线的交点问题时，出现漏解现象．用代数方法解时，忽视消元后一元二次方程的二次项系数是否为零的讨论．用数形结合法解时，忽视特殊情况的讨论，如与双曲线渐近线平行，与抛物线的对称轴平行等特殊情况．(6)解决直线与圆锥曲线的相交问题时，忽视△>0的条件． (7)在求出轨迹方程时，常常容易忽视题设条件中变量的限制．(8)根据问题的条件，抛物线方程可能是,22px y =也可能是,22px y -=任何一种情况都不要漏掉， 要由定“性”和定“量”两个方面来确定抛物线的方程．定“性”，即确定开口方向，便于设抛物线的方程，定“量”，即求所 设方程中的参变量p ．4．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)在求轨迹时，若所求执迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．5．直线与圆锥曲线的位置关系：(1)有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算．6．五点重视：(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的简化功能；(3)重视根与系数关系在解题中“设而不求”的意义；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一；(5)重视设点法，参数及利用参数方程在解题中的作用．新典考题分析[例1] (1)设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为,60则||为( )．421.p A 221.p B p C 613. p D 3613. (2)双曲线)0,0,(1:221>>=-b a by a x C 的左准线为L ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为L ，焦点为;2F 1C 与2C 的一个交点为M ，则||||||||21121MF MF MF F F -等于( )．1.-A 1.B 21.-C 21.D (3)已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点),,(111y x P ),(),,(333222y x P y x P 在抛物线上，且,2312x x x +=则有( )．||||||.321FP FP FP A =+ 232221||||||.FP FP FP B =+ ||||||2.312FP FP FP C += ||||||.3122FP FP FP D ⋅=[解析] (1)（利用圆锥曲线的第二定义）过A 作AD ⊥x 轴于D ，令,m FD =则=∴⋅==+=||,2,2p m m m p m FA ⋅=++p p p p 221)3()2(22故选B ．(2)由抛物线的定义可知||2MF 为M 到双曲线左准线的距离，由双曲线的第二定义可知-∴=||||.||||12121MF F F MF e MF =-=||||||2||||21221MF MF MF ac cMF MF .1||||||||22221-=-=-MF MF MF MF a 故选A ．(3)由抛物线定义，得),2,()2()2(232p x p x p x l +++=+即.||||||2312FP FP FP +=故选C ． [答案] (1)B(2)A(3)C[点拨] 圆锥曲线的定义是解决有关圆锥曲线问题的关键，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决，总之，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，灵活巧妙地使用圆锥曲线的定义，往往能迅速解决一些相关问题．[例2] 已知Q 点是双曲线)0.(12222>=-b a by a x 上异于两顶点的一动点，21F F 、是双曲线的左、右焦点，从2F 向21QF F ∠的角平分线作垂线,2P F 垂足为P ，求P 点的轨迹方程．[答案] 如图2 -1所示，连接OP ，延长P F 2交1QF 于点A ．则由角平分线的性质，知.||||2Q F AQ = 由三角形中位线性质，知.||21||1A F OP =|)||(|21||1QA QF OP -=∴|).||(|2121QF QF -=当点Q 在双曲线的左支上时，应为-<=||21||2QF OP |),|1QF 即P a a OP ∴=⨯=,221||点的轨迹方程为=+22y x ).0(2=/y a[点拨] 本例中，利用双曲线的第一定义使问题得到简捷的解法因此我们必须熟练地掌握圆锥曲线的定义，并灵活地运用它．[例3] 已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为21,2F F 、为左、右焦点.P 为双曲线上一点，且==∠∆.21,6021F PF S PF F ,312求双曲线的标准方程．[解析] 要求双曲线的标准方程，可设出方程122=-by a x ).0,0(>>b a 关键是求a 、b 的值，在21F PF ∆中，可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组，从而求出a 、b ．[答案] 如图2-2，设双曲线方程为⋅>>=-)0,0(12222b a by a x.2,2a c ace =∴==由双曲线的定义知=-||||||21PF PF ,2c a =在21F PF ∆中，由余弦定理，得-+=222221||||||PF PF F F l 22121|)||(|60cos ||||2PF PF PF PF -=⋅⋅ -+1(||||221PF PF ),60cos o 即.||||42122PF PF c c ⋅+= ①又,31221=∆F PF S 所以,31206sin ||||2121=⋅⋅o PF PF 即.48||||21=⋅PF PF ② 由①、②得，,4,162==c c 则.12,2222=-==a c b a所以所求双曲线的标准方程为.112422=-y x [点拨] 遇到过椭圆、双曲线的两焦点与曲线上任一点组成的三角形时，常用定义与解三角形知识解决相关问题，本题要注意整体代换的运算技巧．[例4] (1)（2009年福建高考题）过抛物线>=p px y (22O)的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p=(2)（2009年海南、宁夏高考题）双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为( )． 32.A 2.C 3.B 1.D(3)（2009年山东高考题）设斜率为2的直线L 过抛物线)0(2=/=a ax y 的焦点F ，且和y 轴交于点A ．若△OAF(O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为( )．x y A 42±=⋅ x y B 82±=⋅ x y C 42=⋅ x y D 82=⋅[解析] (1)设点A 、B 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为45的直线方程为,2p x y -=把2py x +=代入px y 22=得，2122,8||,02y y AB p py y -∴==-- ∴=,24,)24(4)(221221=-+y y y y -∴2)2(p .2,0,32)(42=∴>-=-⨯p p x p(2)双曲线1.12422=-y x 的一条渐近线为==c x y ,3,4124=+其一焦点坐标为(4，0)， 由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.32)3(1342=+故选A ．(3) 不论a 值正负，抛物线的焦点坐标都是),0,4(a 故直线L 的方程为),4(2ax y -=令0=x 得,2a y -=故△OAF 的面积为.8,416|2||4|212±=∴==-⨯⨯a a a a 故选B ．[答案] (1)2 (2)A (3)B[前沿考向] 新课标的《考试大纲》对本章知识的要求有所降低，因而在新课标的高考中也有所降低(如本例仅涉及椭圆的基本性质).因此我们必须熟练掌握圆锥曲线的基本知识．[例5] (1)（2009年浙江高考题）过双曲线=-2222by a x )0,0(1>>b a 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若,21=则双曲线的离心率是( )．2.A3.B 5.C 10.D(2)（2009年山东高考题）设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．45.A 5.B 25.C 5.D(3)（2009年江苏高考题）如图2-3在平面直角坐标系xOy 中，2121,,,B B A A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 [解析] (1)双曲线的两条渐近线为,x aby ±=又过右顶点A 的直线方程为,a x y +-=分别联立方程，求得B ，C 两点的横坐标分别为),(,:22b a b a a x b a a x C B =/-=+=由21=得，),(21B C B x x a x -=-即。
高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
高中数学 2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质 学案
2。
4.2抛物线的简单几何性质(一)教学目标1。
知识与技能：（1）通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
（2）熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题.2。
过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质,理解并会用抛物线的相关性质解决问题。
3。
情感、态度与价值观：（1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点重点：抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.(三）教学过程活动一：创设情景、引入课题(5分钟）问题1:前面两节课，说一说所学习过的内容？1、抛物线的定义？2、四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线22(0)=>有那些的几何性质？通过它的形状，你能y px p从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊?活动二：师生交流、进入新知，（20分钟)一、抛物线的简单几何性质1．范围：0x≥,y R∈2．对称性:抛物线关于x轴对称。
3．顶点:坐标原点（0，0）4．离心率:=1e问题3：说出当e满足下列条件时,曲线是什么图形？（1）当0＜e＜1时，（2)当e＞1时，（3)当e=1时。
5。
焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离（即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．6。
由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),若A（x1，y1)、B(x2,y2），则有|AB｜=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴时,抛物线的通径|AB｜=2p练习：完成下列表格例3:已知:抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-，求它的标准方程，并用描点法画出图形．问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-的抛物线有几条？求出它的标准方程。
抛物线的简单几何性质(第二课时)学案-高二上学期数学人教A版选择性
第2课时抛物线的简单几何性质学习目标1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题．知识梳理抛物线四种形式的标准方程及其性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=1合作探究学习目标一求抛物线的对称轴例1.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．思考：你还有其它的证明方法吗？学习目标二 和抛物线有关的轨迹方程例2. 如图，已知定点B (a,−ℎ), BC ⊥x 轴于点C , M 是线段OB 上任意一点, MD ⊥x 轴于点D , ME ⊥BC 于点E , OE 与MD 相交于点P ，求P 点的轨迹方程。
★例3. 已知动圆经过定点D (1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程.(2)设过点P (1,2)的直线l 1 ,l 2分别与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 1 ,l 2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB 的斜率为定值. 巩固练习1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．182.动点P(x ，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x ＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是（ ） A.椭圆C.双曲线的一支3.已知动圆M 经过点A(3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）2＝12x 2＝－12x 2＝12y 2＝12y4.设A ，B 是抛物线x2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°5.若直线x －y ＝2与抛物线y2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________.6.已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________.7．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值． ★8.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x 于A,B 两点,试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P,使△PAB 的面积最大,并求出这个最大面积.第2课时 抛物线的简单几何性质 参考答案例题3解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1.又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.自我评价 1.A 2.D 3.A 4.D 5.(4,2) 6.x y 42=7.【答案】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24.∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b.∴|AB|＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4. 8.解:由{y =2x -4.y 2=4x,解得{x =4,y =4或{x =1,y =−2.∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3√5.(方法1)设P(x 0,y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点,d 为点P 到直线AB 的距离,则有d=|2x 0-y 0-4|√5=1√5|y 022-y 0-4|=12√5|(y 0-1)2-9|.∵-2<y 0<4,∴(y 0-1)2-9<0.∴d=12√5[9-(y 0-1)2]. 从而当y 0=1时,d max =92√5,S max =12×92√5×3√5=274.因此,当点P 的坐标为(14,1)时,△PAB 的面积取得最大值,最大面积为274. (方法2)由{y =2x -4,y 2=4x,解得{x =4,y =4或{x =1,y =−2.∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3√5.设点P 的坐标为(4t 2,4t),∵点P(4t 2,4t)在抛物线AOB 这段曲线上,∴-2<4t<4,得-12<t<1.由题意得点P(4t 2,4t)到直线AB 的距离2√5=√5(t -14)2-98|.∵当t ∈(-12,1)时,2(t -14)2−98<0,∴d=√5[98-2(t -14)2],∴当t=14时,d max =√5×98=2√5.(方法3)设y=2x+m 是抛物线y 2{y =2x +m,y 2=4x,消去x,并整理,得y 2-2y+2m=0.∵Δ=4-8m=0,∴m=12.此时,方程为y 2-2y+1=0,解得y=1,x=14,∴P (14,1).此时点P 到直线y=2x-4的距离d 最大(在抛物线AOB 这段曲线上). ∴d max =|2×14-1-4|√5=2√5,∴S △PAB 的最大值为12×3√5×2√5=274.。
抛物线的简单几何性质导学案
2017级人教版数学选修2-1 编号：1 编制时间： 2018/10/11 编制人:2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一 抛物线的范围思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？ 梳理 抛物线y 2＝2px (p >0)中，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，＋∞). 抛物线y 2＝－2px (p >0)中，x ∈(－∞，0]，y ∈(－∞，＋∞). 抛物线x 2＝2py (p >0)中，x ∈(－∞，＋∞)，y ∈[0，＋∞). 抛物线x 2＝－2py (p >0)中，x ∈(－∞，＋∞)，y ∈(－∞，0]. 知识点二 四种形式的抛物线的几何性质知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2解的个数，即二次方程k x＋2(kb－p)x＋b＝0解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点.类型一依据抛物线的几何性质求标准方程例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x＋y＝4相交于A，B两点，|AB|＝23，求抛物线方程.类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________.(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y ＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.类型三 抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1，0)，求|PF ||P A |的最小值.跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列.(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q .(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点.1.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A.－43 B.－1 C.－34 D.－122.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B.3 C. 5 D.923.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝_______ _.4.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.5.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.。
【教学案例】《抛物线的简单几何性质》教学案例
《抛物线的简单几何性质》教学案例（一）教学题目：《抛物线的简单几何性质》第一课时（二）授课类型：新授课（三）教学目标：知识与技能：1、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
2、掌握抛物线的几何性质、范围、对称性、顶点、离心率，能根据给出条件求抛物线的标准方程，了解抛物线的通径及画法。
过程与方法：经历由抛物线的标准方程推导抛物线的性质，培养学生数形结合及方程的思想。
情感、态度与价值观：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用，培养学生的应用意识，进而培养学生乐于学习数学的兴趣。
（四）教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
（五）教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用。
（六）教学方法：采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。
（七）课时分配：1课时（八）教学媒体：多媒体课件（九）学情分析：我授课的学生大部分数学基础不太好,尤其理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐，所以在教学中注重双基的训练。
（十）教学步骤：教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、导入1、抛物线的定义：平面内与一个点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F→焦点，直线L→准线。
2、抛物线的标准方程。
图形标准方程焦点坐标准线方程3、唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。
问题1：如果测得酒杯口宽4cm，杯深8cm，试求抛物线方程。
解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P=41则所求的抛物线方程为：yx212=问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。
老师展示结论。
提出问题，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。
展示解题过程。
抛物线的定义及标准方程由学生口述。
学案10：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质教材新知入门答辩一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？问题3：抛物线有渐近线吗？新知自解1.抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径|PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝p2－x0|PF|＝y0＋p2|PF|＝p2－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2归纳领悟1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．4．抛物线的离心率e＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支．热点考向考点一求抛物线的标准方程及其几何性质例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．一点通用待定系数法求抛物线方程的步骤：题组集训1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．考点二 抛物线几何性质的应用例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．一点通 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质． 题组集训3．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．424．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．考点三 与焦点弦有关的问题例3 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．一点通 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算． 题组集训5．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D.256．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 方法小结1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．参考答案教材新知 入门答辩问题1：提示：一个焦点．问题2：提示：不对． 问题3：提示：没有． 热点考向考点一 求抛物线的标准方程及其几何性质 例1 解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. 题组集训 1．【答案】C【解析】依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 2．【答案】y 2＝5x【解析】线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0， 与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .考点二 抛物线几何性质的应用例2 解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p . 题组集训 3．【答案】C【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－ 3＋p 216＝－p 2，解得p ＝4.4．解：如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上．根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x . 考点三 与焦点弦有关的问题例3 解：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， ∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． 题组集训 5．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －2，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 6．解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .。
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2.4.2抛物线的简单几何性质
【学习目标】
掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．
【自主学习】
根据抛物线的标准方程)0(22>=p px y ，研究它的几何性质：
1．范围
2．对称性
3．顶点
4．离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e= ． 注意：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.
【自主检测】
画出抛物线 28x y =的草图，并求其顶点坐标、焦点坐标、准线方程 、 对称轴 、 离心率 ．
【典型例题】
例1 已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并画出草图．
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,
M-的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
例2已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
【课堂检测】
1．抛物线210
=的焦点到准线的距离是．
y x
2.抛物线28
y x
=上一点P 到顶点的距离等于它到准线的距离，点P 坐标是．
3．已知M为抛物线x
2=上一动点，F为抛物线的焦点，定点()1,3P，
y4
则|
|MF
MP+的最小值为．
|
|
【总结提升】类比椭圆、双曲线的几何性质，推导抛物线的几何性质，需注意抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.。