关于正定二次型判定的教学设计(1)
二次型的正定性
05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具，它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ，以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性，它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一：顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法，当二次型的顺序主子式均 为正时，二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型，可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换，将其化为上三角 矩阵，然后查看其主子式是否均为正，若均为正，则该二次型为正定。
判定方法二：特征值法
应用三：二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中，数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时，如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大，那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性，可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说，如果二次型是正定的，那么该数值计 算过程就是稳定的；如果二次型是非正定的，那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型，其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的，因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型，其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度，它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言，其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系，这种关系可以通过数学公式进行描述。
关于正定二次型判定的教学设计
关于正定二次型判定的教学设计教学设计：正定二次型判定一、教学目标（1）掌握正定二次型的定义；（2）理解正定二次型的判定关系；（3）能够用正定二次型的判定关系来判定一个二次型是否正定。
二、教学过程（1）师生讨论：定义正定二次型首先让学生一起讨论定义正定二次型的概念，让学生提出自己的观点，有助于提高学生的动手能力。
二次型：一元二次多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f（a不等于0），如果其函数图象在所有可能取值下都不会成为负值，就称这个多项式为正定二次型。
（2）讲解：正定二次型的判定关系让学生明白，通过对二次型的某几个特征量进行判定，便可以得出其是否为正定二次型。
例如： a>0：表示此二次型一定是正定二次型。
ac-b^2>0：表示此二次型一定是正定二次型。
4af-e^2<0：表示此二次型一定是正定二次型。
f-2bc-ad<0：表示此二次型一定是正定二次型。
（3）学生实践：用正定二次型的判定关系来判定一个二次型是否正定派出一些具体的实例给学生实践，让学生根据教师提供的判定关系来判定其是否为正定二次型。
让学生完成比较复杂的正定二次型判定，以加深学生的理解能力。
三、教学评价在完成了上述教学之后，以习题检测的形式来评价学生是否能够正确理解和运用正定二次型的判定关系来判定一个二次型的正定性，以及其运用的顺畅程度，以便及时查漏补缺。
四、教学反思本次教学，较为重视学生的学习主动性，让学生提出有关正定二次型的认识，又注重实践性，给学生提出一些较为复杂的判定问题，让学生能够通过练习，运用正定二次型的判定关系来判定一个二次型是否正定。
但是这次教学也存在一些不足，如教学重心太偏理论，少了实例分析，所以今后可以在实践性方面进一步提高。
二次型及其标准形教学设计
二次型及其标准形教学设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二次型及其标准形的概念，了解二次型的标准形和规范形之间的转化过程。
2.过程与方法：通过观察、分析和讨论，理解二次型及其标准形的基本性质和特点，掌握求解二次型标准形的方法。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和探究精神，增强学生对数学的理解和应用能力。
二、教学内容1.二次型及其标准形的概念：二次型是一种具有特殊形式的多项式，其标准形是将二次型化为最简形式的过程。
2.二次型的标准形和规范形：标准形是将二次型化为最简形式的过程，规范形则是将二次型化为规范形式的过程。
3.二次型的标准形和规范形的转化：通过线性变换，将二次型化为标准形或规范形，并讨论其性质和特点。
三、教学重点与难点1.重点：二次型的标准形和规范形的概念、性质和特点；二次型的标准形和规范形的转化方法。
2.难点：如何将二次型化为最简形式或规范形式；二次型在不同基下的标准形或规范形的变化。
四、教学策略1.教学方法：采用讲解、讨论和实践相结合的教学方法，通过案例分析、小组讨论和实践活动等方式，帮助学生理解和掌握二次型及其标准形的基本概念和性质。
2.教学手段：利用多媒体教学设备和教学软件，展示二次型及其标准形的实例和转化过程，帮助学生更好地理解和掌握相关内容。
五、教学过程1.导入新课：通过展示一些二次型的实例，引导学生思考二次型的定义和特点，进而引入二次型及其标准形的概念。
2.知识讲解：详细讲解二次型及其标准形的概念、性质和特点，包括二次型的定义、标准形和规范形的概念、性质和特点等。
3.案例分析：通过分析具体的二次型实例，让学生了解如何将二次型化为最简形式或规范形式，并讨论其性质和特点。
4.小组讨论：组织学生进行小组讨论，探讨二次型在不同基下的标准形或规范形的变化，以及如何选择合适的基进行转化。
5.实践活动：设计一些实践题目，让学生亲自动手进行二次型的计算和转化，加深对二次型及其标准形的理解和掌握。
教案--第五章二次型
则
(1) 负定的充分必要条件是 且 (即负定二次型,其规范形为 )
(2) 半正定的充分必要条件是 (即半正定二次型的规范形为 )
(3) 半负定的充分必要条件是 (即 )
(4) 不定的充分必要条件是 (即 )
定义2 阶矩阵 的 个行标和列标相同的子式
称为 的一个 阶主子式.而子式
作业与
课外训练
P1423
课外阅读
资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3./special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
提问：实二次型f(x1,x2,…,xn)为正定的定义是什么？
作业与
课外训练
1.设二次型 试确定当 取何值时, 为正定二次型.
2.判别二次型 是否正定.
课外阅读资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
把方程化为标准形式
.
这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论 个变量的二次多项式的化简问题.
内容要点
一、二次型的概念
定义1含有 个变量 的二次齐次函数
称为二次型.当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时， 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.
二、二次型的矩阵
与难点
正定二次型的判断方法
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基Βιβλιοθήκη 内容及过程内容要点
二次型趣味讲解教案
二次型趣味讲解教案一、教学目标。
1. 了解二次型的定义和性质；2. 掌握二次型的标准形式和矩阵表示法；3. 能够通过变换将二次型化为标准形式；4. 能够利用二次型的性质解决实际问题。
二、教学重点。
1. 二次型的定义和性质；2. 二次型的标准形式和矩阵表示法；3. 通过变换将二次型化为标准形式。
三、教学难点。
1. 二次型的矩阵表示法；2. 利用变换将二次型化为标准形式。
四、教学过程。
1. 导入。
教师可以通过一个生动的例子引入二次型的概念，比如一个抛物线的形状，然后引出二次型的定义和一般形式。
2. 概念讲解。
首先，教师可以给学生讲解二次型的定义和性质，包括对称性、正定性、负定性和半定性等。
然后，介绍二次型的标准形式和矩阵表示法，让学生了解二次型的一般形式是什么样的，以及如何用矩阵表示二次型。
3. 案例分析。
教师可以给学生一些具体的案例，让他们通过变换将二次型化为标准形式，然后求出二次型的最值，让学生通过实际的例子来理解二次型的性质和变换的方法。
4. 练习。
在讲解完理论知识后，教师可以设计一些练习题让学生做，巩固他们对二次型的理解和掌握程度。
可以包括将二次型化为标准形式、求二次型的最值等题目。
5. 拓展。
如果时间允许，教师可以给学生介绍一些二次型在实际问题中的应用，比如在物理、经济等领域中的应用，让学生了解二次型的实际意义。
六、教学反思。
通过本节课的教学，学生能够了解二次型的定义和性质，掌握二次型的标准形式和矩阵表示法，能够通过变换将二次型化为标准形式，并且能够利用二次型的性质解决实际问题。
但是，教师需要引导学生多做一些实际问题的练习，加深他们对二次型的理解和应用能力。
同时，教师还需要关注学生的学习情况，及时发现问题并进行调整。
数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用
数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用正定二次型的判断及应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。
关键词：正定二次型正定阵顺序主子式一、正定二次型的判断: 定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明:设实二次型AXX x x x f n '=),,,(21 经线形替换X=PY 化为标准形222211nn y d y d y d f +++=)1(其中.,,2,1,n i R d i=∈由于p为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.)(?如果f是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有2222211>+++=n n y d y d y d f)2(若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f的正惯性指数等于n )(?如果f的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i=>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明：)(?由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X=使22221ny y y AX X +++=')1(对,0≠X因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(?设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X=使得221221'rp p y y y y AX X ---++=+)2(由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X（因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有1<-='A X X 这与假设矛盾.故pr =.再证nr=.如果,n r<则)2(式应化为nr y y y AX X r <+++=,22221')3(于是取 0)1,0,,0(≠'= Q X由)3(即得,0='A X X又与假设矛盾,故,p n r ==即f是正定二次型定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AXX x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nn y y y x x x f +++=)(?f的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f的正惯性指数为,n 由定理1可知f为正定二次型定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X=其中C 可逆),使得2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AXX x x x f +++=''='='=所以,E ACC ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(?矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得EACC ='，令CYX=则2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=因此,由证明4,可知f是正定二次型定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以kA 表示A的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型jki kj i ij k xx a x x x g ∑∑===1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g从而g 为正定二次型,固.0>k A)(?对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a a i -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i=经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵000111A aB =因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(?对二次型的元数n作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =?----1,11,11,111n n n n a a a a=-nn n a a ,11α于是矩阵A 可以分块写成：A ='nna A αα1则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G令1C =100G于是''=???? ?????? ??'???? ??'='-nn n nn a G G E Ga A G ACC αααα111110010再令2C =--10'1a G E n则有?''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 012112 令21C C C =dG G a nn =''-αα就有='d AC C11两边取行列式,dA C=2,则由条件,0>A 因此0>d.=??????? ?d d d 111111111所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f是正定二次型定理7、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵TT T A('=是实可逆矩阵)证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得EAC C ='则 1111)()(----'='=CCCC A令1-=CT,则T T A '=)(?若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='=令TXY=则 2222121),,,(nn y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵) 证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵, 令(1Y X T=-其中T 可逆)则 A T Y T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21又因非退化线性替换不改变正定性,则ATYT Y x x x f n ''=),,,(21是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(?ATT '是正定阵,令ATYT Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TYX=则),,,(21n y y y g AXX x x x f n '==),,,(21 是正定二次型定理9、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明:)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得ATTAT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f为正定二次型相矛盾，则ATT1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(? A的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X=则222221121),,,(nn n y y y A T Y T Y AXX x x x f λλλ+++=''='=所以f为正定二次型定理10、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(? A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.二、实二次型的正定性证明不等式例1 设)(ij t T=是一个n 阶实非退化矩阵,求证:≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=证明：若A 是正定矩阵,必有nna a a A 2211≤, 其中nn a a a ,,,2211 是A 的主对角线上的元素因为T 是实非退化矩阵,所以=nn n n n n nnnnn n t t t t t t t t t t t t t t t t t t T T 212222111211212221212111'=∑∑∑===nk knnk k nk k t t t 12122121是正定矩阵,由上述定理得)(112'∏∑==≤ni nk ki t T T =)(222121ni i ni i t t t +++∏=此即,≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=三、实二次型的正定性在极值问题中的应用例1、求三元函数y y x zyxz y x f u642),,(222-++++==的极值解：先求三个一阶偏导数,令它们为0,解方程组得驻点,再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵,A 由A 的正定性确定极值=-==+=??=+=??062042022z zU y y U x x U=-=-=321z y x得驻点)3,2,1(0--p222=??xU2=yx U2=zx U2=xy U222=??y U2=zy U2=xz U2=yz U222=??zU所以A =200020002 因为A 为正定阵,所以得极小值143*6)2(*4)1(*23)2()1()3,2,1(2220-=--+-++-+-=--=f p U参考文献：[1] 王向东《高等代数常用方法》科学出版社[2] 霍元极《高等代数》北京师范大学出版社 [3] 屠伯埙《高等代数》上海科技出版社 [4] 张盛祝《高等代数典型方法》信阳师范学院数学系Is deciding two times of judgments and the applicationAbstract: In two center, was deciding two time holds the special status, this article summarizes has been deciding in two times of so judgments methods and its in the proof inequality and the minimum problem application.Key words: Is deciding two time Is deciding The smooth principal minor。
二次型正定型的判断与性质本科毕业论文
本科毕业论文(设计)题目：二次型正定型的判断与性质学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2011级1班姓名：刘蓉指导教师：赵环环完成日期：2015年1月14日关于的二次型正定型的判断与性质教学设计摘要:在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文是关于二次型正定性的判断与性质的教学设计.总结了正定二次型的一些判断方法及性质。
，该设计的主要想法是以学生为主体,老师为主导,一同研究探讨二次型正定性的等价条件和性质，有效地提高课堂教学效果,培养学生解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
关键词：正定二次型；主子式；顺序主子式一．绪论..................................................................................(错误！未定义书签。
)二．教学设计的思路..............................................................(错误！未定义书签。
)2.1教材分析.................................................................................(错误！未定义书签。
)2.2学情分析.................................................................................(错误！未定义书签。
)2.3.1知识与技能.................................................................(错误！未定义书签。
)2.3.2过程与方法.................................................................(错误！未定义书签。
正定二次型的判定及应用数学论文
毕业论文（设计）论文（设计）题目：正定二次型的判定及应用姓名刘洁学号 11111022015院系数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级2班指导教师王永忠年月日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章引言 (3)1.1 研究背景及意义 (3)第2章二次型 (4)2.1 二次型 (4)2.3 正定二次型与正定矩阵 (4)第3章正定二次型的判定及应用 (7)3.1 正定二次型的判别方法 (7)3.2 正定二次型在实际中的应用 (15)第4章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)摘要在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。
关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式；ABSTRACTIn the quadratic form,the positive definite quadratic form has a special position.This paper has summarized some judjement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems.Key words: positive definite quadratic; positive definite matrix; principal minor determinant第1章引言1.1 研究背景及意义在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 二次型的系统研究是从18世纪开始的，柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现和证明.1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。
实二次型的分类 正定二次型
称为A的k阶顺序主子式.
定理4.5 实二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件是A 的所有顺次主子式全大于零. 例4.1 判别实二次型
f ( x1 , x2 , x3 )=x1 + 3x2 + 3x3 - 2 x1 x2
教学时间：2学时.
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结束§4 实二次型的分类 定二次型4.1实二次型的分类
定义4.1 对于实二次型f(x)=xTAx,
ⅰ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x)>0，则称f为 正定二次型； ⅱ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x) ＜0，则称f 为负定二次型； ⅲ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ≥0，则称f为半 正定二次型； ⅳ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ＜0，则称f为半 负定二次型； ⅴ）如果存在实向量x1及x2，使f(x1) ＞0，f(x2)＜0，则 称f为不定二次型.
机动目录上页下页返回结束实二次型的分类正定二次型实二次型的分类正定二次型41实二次型的分类定义41对于实二次型fxxax如果对任何的非零实向量x都有fx0则称f为正定二次型
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§4 实二次型的分类 正定二次型
教学目的：通过本节的教学使学生理解二次型正定性 概念,掌握二次型正定性的判别方法. 教学要求：理解二次型正定性概念,掌握二次型正定 性的判定定理，会判定二次型的正定性. 教学重点：二次型正定性概念和二次型正定性的判定 定理. 教学难点：二次型正定性的证明.
线性代数教案-第六章 二 次 型
第六章二次型二次型的一个重要议题就是化二次型为标准型,即通过变量的代换,将其化简为一个只含平方项的二次型.一个二次型总可与一对实对称方阵联系着,这实际上就是用一个线性变换将此方阵对角化.本章内容即以此议题为中心展开,兼及正定二次型及正定矩阵的一些基本性质.一、教学目标与基本要求：1 二次型与其标准型的矩阵关系定义6.1.1设A ,B 都是n 阶方阵.若存在满秩(可逆)方阵C ,使B AC C =T ,则称B 是A 的合同矩阵,亦称B 与A 合同.类似于矩阵的等价关系及相似关系,合同关系亦具有以下性质:(1)自反性:任意方阵与自身合同；(2)对称性:若B 与A 合同,则A 与B 合同；(3)传递性:若B 与A 合同,D 与B 合同,则D 与A 合同.定理6.1.1设A 为对称阵.若B 与A 合同,则B 亦是对称阵,且)()(A R B R =. 2化二次型为标准型上一节的讨论表明,对于任意二次型x x A f T =,总可求得一个正交阵C ,作变换y x C =,就把f 化为标准型2222211T nn y y y f λλλ+++== Λy y . 这里n λλλ,,, 21是A 的全部特征值,对角阵)diag(21n λλλ,,, =Λ. 该节主要举例化二次型为标准型还须指出,由于实对称阵的特征值是确定的,二次型经正交变换化得的标准型,在不考虑各平方项次序的意义下是唯一的.但是,所用的正交变换却不唯一,这因为在构造正交阵时,选取属于各特征值的特征向量的方式并不唯一,只要它们独立即可.用正交变换化二次型为标准型,具有保持二次型所表示的几何图形的形状不变的优点.但是,也可以用别的多种方法去寻求多种满秩(可逆)的线性变换,把二次型化为标准型.如用初等变换法,拉格朗日(Lagrange )配方法等.3 正定二次型定理6.3.1(惯性定理) 任意一个秩为r 、系数为实数的二次型)(1n x x f ,,均可化为规范型.而且,不论用何种满秩线性变换,所化得的规范型是唯一的.换言之,该二次型的正、负惯性指数是唯一确定的.定义6.3.1设有实系数二次型x x A x x f n T 1)(=,,如果对于任意的θx ≠=T 1][n x x ,, ,都有(1)0T >=x x A f ,则称f 为正定二次型,并称实对称阵A 是正定的(可记为A ＞0)；(2)0T <=x x A f ,则称f 为负定二次型,并称实对称阵A 是负定的(可记为A ＜0). 如果一个二次型既不是正定的也不是负定的,则称它是不定二次型.定理6.3.2对于实系数二次型x x A x x f n T 1)(=,,而言,下述命题等价:(1) f 是正定的.(2) f 的正惯性指数为n .(3)A 的特征值均大于零.(4)存在n 阶可逆实方阵B ,使B B A T =.定理6.3.3 对实对称阵A 而言,下述命题等价:(1) A 是正定的.(2) A 的特征值全大于零.(3)存在可逆实方阵B ,使B B A T =.(4) A 与单位阵E 合同.推论若A 是正定的,则0det >A .定理6.3.4 n 阶对称阵][ij a A =正定的充分必要条件是: A 的各阶主子式都为正,即 0det 1111>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rr r r a a a a )21(n r ,,, =. 而A 负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即0det )1(1111>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-rr r r r a a a a )21(n r ,,, =. 二、本章各节教学内容及学时分配：第一节二次型与其标准型的矩阵关系 2课时第二节化二次型为标准型 2课时第三节正定二次型2课时三、本章教学内容的重点难点：本章主要学会如何对角化一个矩阵.四、本章教学内容的深化和拓宽：指导学生对角化矩阵解决几何实际问题。
二次型教学教案模板范文
一、教学目标1. 知识与技能：掌握二次型的基本概念、性质及运算规则。
2. 过程与方法：通过实际问题引入，培养学生观察、分析、归纳和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨求实的科学态度。
二、教学重难点1. 重点：二次型的概念、性质及运算规则。
2. 难点：灵活运用二次型解决实际问题。
三、教学准备1. 教学课件2. 实际问题案例3. 练习题四、教学过程（一）导入1. 教师通过展示生活中的实际问题，如物体在重力作用下的运动轨迹、弹性力学中的应力等，引导学生思考如何用数学语言描述这些现象。
2. 提出二次型的概念，让学生了解二次型在数学和实际应用中的重要性。
（二）新授1. 讲解二次型的定义、性质及运算规则，结合实例进行说明。
2. 引导学生总结二次型的特点，如对称性、正定性等。
3. 讲解二次型的应用，如最小二乘法、线性规划等。
（三）练习1. 学生独立完成课件中的练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
（四）课堂小结1. 教师总结本节课的重点内容，强调二次型的概念、性质及运算规则。
2. 强调二次型在实际应用中的重要性，鼓励学生在生活中发现数学问题。
（五）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 结合实际生活，寻找二次型应用的例子，并进行分析。
五、教学反思1. 教师在教学中要注重引导学生思考，激发学生的兴趣。
2. 结合实际问题，让学生体会二次型在数学和实际应用中的价值。
3. 关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行教学，确保每位学生都能掌握二次型的基本知识。
六、教学评价1. 学生能够掌握二次型的概念、性质及运算规则。
2. 学生能够运用二次型解决实际问题。
3. 学生对数学的兴趣和自信心得到提高。
二次型教学教案模板范文
教学对象：高中一年级教学课时：2课时教学目标：1. 理解二次型的概念，掌握二次型的表示方法。
2. 掌握二次型的性质，包括正定性、负定性、非正定性等。
3. 能够运用二次型解决实际问题。
教学重点：1. 二次型的概念及其表示方法。
2. 二次型的性质及其判断方法。
教学难点：1. 二次型的性质及其应用。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 通过回顾平面直角坐标系中点与点的距离公式，引入二次型的概念。
2. 提出问题：如何表示一个平面图形的面积？二、教学内容1. 二次型的概念：平面直角坐标系中，点P(x,y)到点Q(x0,y0)的距离的平方，记为d² = (x - x0)² + (y - y0)²，称为二次型。
2. 二次型的表示方法：用矩阵表示二次型，设二次型为f(x,y) = ax² + bxy + cy²，其中a、b、c为常数，则f(x,y)可表示为矩阵形式：f(x,y) =(x,y)²A(x,y)²T，其中A = [a b/c; c b/c]。
3. 二次型的性质：（1）正定性：若对于所有非零向量x，有f(x,x) > 0，则称二次型f(x,x)为正定二次型；（2）负定性：若对于所有非零向量x，有f(x,x) < 0，则称二次型f(x,x)为负定二次型；（3）非正定性：若存在非零向量x，使得f(x,x) = 0，则称二次型f(x,x)为非正定二次型。
三、课堂练习1. 判断下列二次型的性质：（1）f(x,y) = 4x² - 6xy + 3y²；（2）f(x,y) = -x² - 2xy + 2y²；（3）f(x,y) = x² + y²。
四、小结1. 本节课学习了二次型的概念、表示方法及其性质。
2. 学生应掌握二次型的性质及其判断方法。
正定二次型判断方法
正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。
判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。
本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。
一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。
（1）正定二次型的值域是正实数。
（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。
（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。
对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。
根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。
即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。
根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。
2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。
2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。
正定二次型的习题课设计
Ｘ Ｘ Ｙ ｔ ｌ ㈣
教 学科研
正定二次型的习题课设计
安 彤
３ ０ ０ ２ ２ ２ ）
ｉ １ ０ ４ Ａ ：４ １ ２ １
（ 天津财经大学数学系 ， 天津
摘 要： 本 文 给 出一 个教 学 实践效 果 良好 的 习题 课 设计 。 首
先 复 习 了正 定 二 次 型 的相 关概 念 和 性 质 ， 然后 列 出 了 正 定二 次
２ ． 结论 和 性 质
例２ ． 判断二次型 ｆ ＝ ｘ ２ １ － ２ ｘ ｌ ｘ ２ — ２ ｘ Ｉ ｘ ３ ＋ ２ ｘ ２ ２ ＋ ３ ｘ ３ 是 ＿ Ｆ 定。
论 １ ． 非 退 化线 性 替 换 不 改 变 二次 型 的正 定 性 。
法一 ： 因为列任意的 ｘ ｌ ’ ｘ ２ 幽， 恒有 ｆ ＝ ｆ ｘ ． 一 ｘ ＋
必不是正定 阵； 若对于 ｎ阶矩阵 Ａ有 ， Ｉ Ａ ｌ ＞ ａ ｌ ｒ — ａ 则 Ａ必 不
足 Ｅ 定 阵
中的二次型也可以用特征值或正惯性指数来州断
』 １ —１ ０
｛
ｃ
法二 ： 二次型 ｆ 对应的矩 阵力 ， Ａ ＝Ｉ 一 １ ２ — １
ｔ ０ — １ ３
念 和十 Ｈ 关性质 、 了解重点和难点 ， 并澄清一些 常犯的错误 与疑
惑 ．
１定 义
必要条件 ， 然后 ， 通过对典型例题 的分析讲 评 ， 帮助学生梳珊解
题 的思路 、 熟悉 常用 的方法和技巧 ， 对一个具体 的问题到底该
用哪种方法判断。 另外 ， 精选迪量练习题 ， 帮助学生更好 地理解 和掌握基本 内容和基本解题方法 ， 达 到巩 ［ 壬 １ 、 悟新 提高 的 日 的 在题后要加以点评 ， 其 目的在于 帮助学生卉清重点 、 雌点 、 知识结合点和应注意的问题 。
正定二次型
22
nn
（充分性） 若ki 0 (i 1, 2, ,n), 对任意的
x 0 ( x Rn ) , 则 y P 1 x 0, 有
6.2 正定二次型
6.2.2 正定二次型的判定
f k y 2 k y2 k y 2 0，
11
22
nn
即 f 为正定二次型.
（必要性）用反证法：假设存在
解 (1) 2＞0, 2 1 5 0,
2 2
2 1 0
1 2 1 4 0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
6.2 正定二次型
6.2.2 正定二次型的判定
例6.2.2 判断下列对称矩阵的正定性
2 0
(1)
1
01 12 21,
5 2 2
. (2) 22 06 40
解 (2) ∵-5<0, 5 2 26 0, 2 6
线性代数与空间解析几何
第6章 二次型
本章主要内容
6.1 二次型及其标准形 6.2 正定二次型
6.2 正定二次型 本节主要内容
正定二次型的概念 正定二次型的判定
6.2 正定二次型
本节基本要求
了解惯性定理 理解正定、半正定、负定、半负定二次型的概念 理解正定、半正定、负定、半负定矩阵的概念 会判定二次型（实对称矩阵）正定性
5 2 2
2 6 0 80 0, ∴该矩阵为负定矩阵.
2 0 4
6.2 正定二次型
(一)小结 1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法 ： (1)定义法； (2)配方法； (3)顺次主子式判别法 ； (4)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法,可以得到负定二 次型(负定矩阵)相应的判别方法,请大家自己推导.
高等代数教案第9章二次型
k1 K =
其中
k2
， O kn
1 ,1 ≤ i ≤ r , ki = ki 1, r + 1 ≤ i ≤ n,
则 K 是可逆阵，作变换 y = Kz ，则二次型 f 可化为
f ( CKz ) = z T K T ΛKz ，
其中
λ1 λr K T ΛK = diag , ⋅⋅⋅ , , 0, ⋅⋅⋅ , 0 λ . λ 1 r
T
其中 B = C T AC 也是对称阵，由于 C 是可逆阵，则 B 与 A 的秩相等. 于是得到 定理 9.1 任意二次型经过可逆线性变换后仍是一个二次型，且秩不变.
定义 9.3 设 A 与 B 是数域 P 上的两个 n 阶矩阵，如果存在可逆阵 C ，使得
B = C T AC
则称矩阵 A 与 B 合同. 合同是矩阵的一个等价关系，不难验证，它具有反身性、对称性、传递性. 矩阵的等价、相似、 合同的关系可以表示为 等 价 相 似
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《高等代数》教案-9-第 9 章 二次型
λ1 λ2 T −1 ， C AC = C AC = O λn
其中 λ1 , λ2 , ⋅⋅⋅, λn 是 A 的特征值. 把这个结论用于二次型，则有 定理 9.2 对任意二次型 f = xT Ax ，总可以经过适当的正交变换 x = Cy ，把它化成标准形
记 P = CK ，于是原二次型 f 经过可逆线性变换 x = Pz 后化成规范型
f ( Pz ) =
λ1 2 λ z1 + ⋅⋅⋅ + r zr2 . λ1 λr
例 9.1 求一个正交变换 x = Cy 把二次型
正定二次型的判定方法
正定二次型的判定方法首先，介绍一下什么是正定二次型。
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，其中A为n阶对称矩阵。
这意味着二次型的值对于所有非零向量都是正的，反之，若存在一些非零向量使得二次型的值为负或0，则称为负定二次型或半定二次型。
接下来，我们来介绍正定二次型的判定方法，包括特征值法、配方法、主元法等。
1.特征值法：特征值法是判定二次型正定性的重要方法。
首先求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，然后判断特征值是否全部大于0。
如果全部大于0，则二次型是正定的；如果有一个特征值小于等于0，则二次型不是正定的。
2.配方法：配方法是判定二次型正定性的常用方法。
对于n阶矩阵A，通过对A进行合同变换，将A化为对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P为可逆矩阵，D为对角矩阵。
若D的对角元素d1, d2, ..., dn全大于0，则二次型是正定的。
否则，若存在一些对角元素di小于等于0，则二次型不是正定的。
3.主元法：主元法也是一种常用的判定正定二次型的方法。
将n阶对称矩阵A化为标准型，即E=T^TAT，其中E为对角矩阵，T为可逆矩阵。
对于标准型E，若E的主对角线元素全大于0，则二次型是正定的。
若存在一些主对角线元素小于等于0，则二次型不是正定的。
4.结构法：结构法是一种基于矩阵A的结构特点进行判定的方法。
对于n阶对称矩阵A，若存在n个线性无关的向量，将其拼接为矩阵B，即B=[b1,b2, ..., bn]，且满足B^TAB是对角矩阵，则二次型是正定的。
否则，二次型不是正定的。
以上是常见的几种判定正定二次型的方法，下面我们通过一个具体的例子来演示这些方法。
设二次型Q(x)=x^TAx=x1^2+4x1x2+3x2^2，其中A是2阶对称矩阵。
我们通过以上方法来判定二次型的正定性。
1.特征值法：求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，有：1-lambda, 22, 3-lambda解特征方程det(A-lambdaI)=0，得到特征值为λ1=4和λ2=0。
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证明见参考文献[4].
再回到上述例 1，我们根据定理 4 也可以看出其不正定，因为矩
阵 A 的一个 2 级顺序主子式
1 2
2 1
=- 3＜0.
4 总结
2 关于正定二次型判定定理的分析
（f x1，x2，…，xn）正定
（f x1，x2，…，xn）不正定
定理 2 n 元实二次型 （f x1，x2，…xn）正定的充分必要条件是它的
● 【参考文献】
［1］David y.线性代数及其应用[M].沈复兴,傅莺莺，等，译.人民邮电出版社, 2007. ［2］王海东.正定二次型的刻划定理及其程序[J].长春大学学报,2006,16(3):27- 30. ［3］牛滨华，孙晟，孙春岩,等.地震波的场方程矩阵和能量的正定二次型及其意 义[J].地球物理学进展,2007,22(2):353- 358. ［4］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数.第三版[M].北京： 高等教育出版社,2003.
作者简介: 高义(1980—),男,讲师,硕士,主要 研 究 方 向 为 函 数 逼 近 论 和 小 波 分析。
※基金项目: 北方民族大学科 学 研 究 项 目 资 助 （2008Y029）；北 方 民 族 大 学 教 学 研 究 重 点 项 目 资 助 （2008TR-ZD ）。
[责任编辑：曹明明]
2010 年 第 11 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○本刊重稿○
科技信息
关于正定二次型判定的教学设计
高义 （北方民族大学信息与计算科学学院 宁夏 银川 750021）
【摘 要】本文对正定二次型的定义和判定条件做了分析和讨论，给出一个经过实践有良好教学效果的教学设计. 【关键词】正定二次型；惯性指数；顺序主子式
（f c1，c2，…cn）≤0, 则可以断定二次型 （f x1，x2，…xn）不是正定的.
A=CTEC=CTC,
两边取行列式，有
A = CT C = C 2＞0.
nn
ΣΣ 推论 3 实二次型 （f x1，x2，…,xn）=
aijxixj=XTAX 正定的必要
i = 1j = 1
条件为 A ＞0.
这里，我们禁不住要问推论 3 中的必要条件是否为充分条件呢？
由此可见，A ＞0 不是 （f x1，x2，…，xn）正定的充分条件，那么再 加入怎样一些条件 （f x1，x2，…，xn）才可以正定呢？于是就很自然地引 入如下的充分必要条件.
nn
ΣΣ 定理 4 二次型 （f x1，x2，…，xn）=
aijxixj=XTAX 正定的充分必
i = 1j = 1
要条件为矩阵 A 的所有顺序主子式全大于零.
i = 1j = 1
称对称矩阵 A 正定.
定义 3 子式
a11 a12 … a1i
Pi=
a21 ┆
a22 ┆
… a2i （i=1，2，…n） ┆┆
ai1 ai2 … aii
称为矩阵 A=（ai）j nn 的顺序主子式. 定理 3 一个实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.
这可由定义 2 以及推论 1 即可说明.
440
埚（c1，c2，…cn）≠（0，0，…，0）, （f c1，c2，…cn）≤0
正惯性指数 P＜n
n
Σ 规范形不为 yi2 i=1
存在一顺序主子式 Pk≤0
矩阵 A 与单位矩阵 E 不合同
注：本文只讨论实二次型 （f x1，x2，…，xn）的正定性，对于不定的具 体情况如半正定、负定、半负定、不定的二次型未作讨论. 科
推论 2 正定矩阵的行列式大于零.
证明：设 A 是一正定矩阵，因为 A 与单位矩阵合同，所以存在可
逆矩阵 C，使
坌（c1，c2，…cn）≠（0，0，…，0）, （f c1，c2，…cn）＞0
正惯性指数 P=n
n
Σ 规范形为 yi2 i=1
所有顺序主子式 Pi＞0，i=1，2，…，n
矩阵 A 与单位矩阵 E 合同
正惯性指数等于 n.
为证明这个定理，我们需要如下引理.
引理 1[4] 非退化实线性替换保持正定性不变.
定理 2 的证明：设实二次型 （f x1，x2，…xn）经过非退化实线性替换
变成标准形
d1y12+d2y22+…+dnyn2.
(1)
由引理 1，（f x1，x2，…xn）正定当且仅当(1)是正定的，而由定理 1 知
显然，二次型 （f x1，x2，…xn）=x12+x22+…+xn2
是正定的. 不仅如此，我们可以根据定义证明如下的结论： 定理 1 实二次型
（f x1，x2，…xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2 是正定的当且仅当 di＞0，i=1，2，…n. 证明: 必要性.因为 （f x1，x2，…xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2 是正定的，所 以对于任意的一组不全为零的实数 c1，c2，…cn，都有 （f c1，c2，…cn）＞0. 于是取一组不全为零的实数：0，0，…，0，1，0，…0(这里第 i 个为 1，其 余 n- 1 个为 0)，有 （f 0，0，…，0，1，0，…0）=di＞0，i=1，2，…n. 充分性显然. 通过定义，只要我们能够找到一组不全为零的实数 c1，c2，…cn，使 得
正定二次型在实二次型中占有特殊的地位，并且在后继课程学习 中显得尤为重要，其应用也非常广泛[1,2,3].什么是正定二次型或者怎么 去判定二次型是教学或学习的关键.本文就此作一分析和讨论，给出 一个经过实践有良好教学效果的教学设计.
1 关于正定二次型定义的分析
定义 1 （f x1，x2，…xn）设是实二次型，如果对于任意一组不全为零 的实数 c1，c2，…cn，都有 （f c1，c2，…cn）＞0，则称 （f x1，x2，…xn）是正定二次 型.
我们看如下例子：
例 1 （f x1，x2，x3）=x12+x22+x32+4x1x2-4x1x3-4x2x3 . 1 2 -2
A = 2 1 - 2 =5＞0，
-2 1
但是取（0，1，1）≠（0，0，0），（f 0，1，1）=1+1- 4=- 2＜0 则上述 （f x1， x2，x3）不正定.
(1)正定当且仅当 di＞0，i=1，2，…n，即正惯性指数为 n.
推论 1 n 元实二次型 （f x1，x2，…xn）正定的充分必要条件是它的
规范形为
y12+y22+…+yn2.
3 正定二次型和其系数矩阵的关系
nn
ΣΣ 定义 2 如果实二次型 （f x1，x2，…,xn）=
aijxixj=XTAX 正定，则