第八章 使用几何形体
几何形体制作步骤
1、建立文件
2、设置渐变
3、用线性渐变填充背景
4、新建立一个图层，用椭圆选区工具并同时按shift键绘制一正圆选区
5、设置渐变，圆的渐变至少有三种色调：高光、明暗交界线、反光
6、用径向渐变，从左上角向右下角拉出渐变
7、建立新的图层，用矩形选框工具绘制一矩形选区
8、设置渐变
9、用线性渐变从左至右进行填充
10、取消选择，快捷键ctrl+D
11、绘制一椭圆选区
12、用线性渐变，从右至左反向拉出渐变效果
13、将刚才绘制的椭圆选区，向下移动（注意：一定要选择椭圆/矩形工具的前提下，才能移动选区）
14、用矩形选框工具进行加选
15、执行选择——反选，按Delete删除多余的部分
16、在新建立一图层，按绘制圆柱柱身的方法绘制一矩形，并用线性填充渐变
17、执行编辑——变换——透视，将右上角或左上角的节点向中心移动
18、绘制椭圆选区，做为圆锥的底面
19、用矩形选区进行加选
20、执行反选，并删除。
必修二新教材第八章立体几何初步知识点
《立体几何初步》核心知识点速记8.2空间几何体的三视图和直观图直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图8.3空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积3圆锥的表面积2S rl r ππ=+4圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++5球的表面积24S Rπ=6扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）（二）空间几何体的体积1柱体的体积V S h=⨯底2锥体的体积13V S h =⨯底3台体的体积1)3V S S h =++⨯下上（4球体的体积343V R π=8.4空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄.2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD 等.3基本事实：（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.符号表示为：A、B、C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α.作用：确定一个平面的依据.补充3个推论：推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面.（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A l B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭作用：判断直线是否在平面内（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：,p l p lαβαβ∈⇒=∈ 且作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系222r rl Sππ+=1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：设a、b、c 是三条直线，//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.4异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线符号表示：,,,A B l B l AB l ααα∉∈⊂∉⇒直线与直线异面.5注意点：1异面直线11a b 与所成的角的大小只由它们的相互位置来确定，与选择的位置无关，为简便一般取在两直线中的一条上；2两条异面直线所成的角:(000,90]θ∈③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点特别指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α⊄来表示a αa∩α=A a∥α8.5空间直线、平面的平行直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.共面直线ba α符号表示：//////a b a b A a b ββαβαα∈⎫⎪∈⎪⎪⇒=⎬⎪⎪⎪⎭.图解：2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.符号表示为：,//a a αβαβ⊥⊥⇒直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行，则线线平行.符号表示：////a a a bb αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题.2、定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号表示：////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭，简记为：面面平行，则线线平行作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、两个平面平行具有如下的一些性质：⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行βα//且α⊂a β//a ⇒（面面平行→线面平行）⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等8.6空间直线、平面的垂直直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一公共点P，点P 叫做垂足.2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符号表示：,,,,l a l b a b a b A l ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥ ，简记为：线线垂直，则线面垂直.注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.3、补充性质：//,a b a b αα⊥⇒⊥4、直线与平面所成的角的范围为：00[0,90]//////,a b a b P a b ββαβα⎧⎪⎪⇒⎨=⎪⎪⊂⎩ a βα平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβB α2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β,平面之间二面角范围是00[0,180]3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号表示：,,l l βααβ⊥⊂⇒⊥，简记为：线面垂直，则面面垂直.4、线面角的求法，在直线上任找一点作平面的垂线，则直线和射影所成的角就是了.直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示：//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭补充性质：(1),//a b a b αα⊥⇒⊥，(2),//a b a b αα⊥⇒⊥，(3),,//a a αβαβ⊥⊥⇒，(4),//,a a βαββ⊥⇒⊥2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示：,,,,a l a a l a βαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥ ，面面垂直，则线面垂直.图示：b a a a b αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭。
几何形的应用
几何形的应用几何形在我们日常生活中随处可见。
无论是在建筑设计、工程规划，还是在艺术创作、游戏设计等领域，几何形都发挥着重要的作用。
本文将围绕几何形的应用展开讨论，介绍一些常见几何形及其应用。
首先，我们来了解一下常见的几何形。
最基本的几何形包括点、线、面和体。
点是几何形的最基本单位，它没有大小和形状，通常用来表示一个位置。
线是由一组点连接而成的几何形，它有长度但没有宽度，可以表示路线、路径等。
面是由一组线连接而成的几何形，它有长度和宽度，可以表示二维物体。
体是由一组面连接而成的几何形，它有长度、宽度和高度，可以表示三维物体。
几何形在建筑设计中起着重要的作用。
建筑设计师需要运用几何形来规划建筑物的结构和布局。
例如，三角形是一种常见的几何形，在建筑设计中被广泛应用。
三角形具有稳定性和坚固性，可以用来构建建筑物的墙壁、天花板、楼梯等。
此外，圆形也是常见的几何形之一，在建筑设计中常被用来设计圆形的窗户、圆形的建筑物等，不仅能提供美观的外观，还能增加空间的流动感。
其他几何形，如正方形、长方形等也都有各自的应用。
在工程规划中，几何形也发挥着重要作用。
工程师需要使用几何形进行测量、布局和设计。
例如，在道路设计中，工程师通常使用矩形和圆形，根据路况和交通流量的需求，设计出最适合的道路形状和线路布局。
此外，在桥梁设计中，三角形也经常被用来增加结构的稳定性和坚固性。
几何形的运用不仅能提高工程的质量和效率，还能减少材料的浪费和资源的消耗。
几何形在艺术创作中也有广泛的应用。
艺术家可以使用几何形来创作抽象艺术作品、雕塑和建筑物等。
几何形能够给作品带来一种凌厉和规律感，使作品更富有力量和美感。
例如，梵高的《星夜》中运用了大量的圆形和弯曲线条，给人一种流动的感觉；毕加索的《断头台上的吉尔波》用立方体构成，给人一种压迫感。
几何形在艺术创作中的运用打破了传统美学的束缚，创造出了更具创意和表现力的作品。
此外，几何形还广泛应用于游戏设计中。
几何学的几何形体
几何学的几何形体几何学是数学的一个分支，研究空间中的各种几何形体，其中包括点、线、面和体等。
这些几何形体在我们的生活中无处不在，从建筑物的设计到日常物品的制造，都离不开几何学的应用。
本文将介绍一些常见的几何形体及其特征。
一、点（Point）点是几何学中最基本的元素，它只有位置，没有大小和形状。
点在几何学中通常用大写字母表示，如A、B、C等。
多个点可以通过直线或曲线连接起来，形成线段、线和多边形等几何形体。
二、线段（Line Segment）线段是由两个不同的点A和B所确定的部分。
线段具有长度和方向，但没有宽度。
线段通常用两个点的大写字母表示，如AB。
线段的长度可以通过两点间的距离来计算，即AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
三、线（Line）线是由一组无限多个点构成的集合，这些点在空间中共线。
线通常用小写字母表示，如l。
线可以用线段来表示，例如用AB表示一条通过两个点A和B的线段，或者用两个点A和B的名字来表示。
另外，线还可以用方程来表示，例如直线的方程可以写成y = kx + b的形式。
四、射线（Ray）射线是由一个起点A和一个方向确定的部分。
射线从起点A出发，并延伸到无穷远。
射线可以用起点和延伸方向上的一个点来表示，如Ray AB。
五、平面（Plane）平面是由无数个点构成的，这些点在三维空间中共面。
平面可以看作是无限多个平行和相邻的线段所围成的区域。
平面可以用大写字母表示，如平面P。
平面上的点可以通过坐标系的两个坐标值来确定。
六、多边形（Polygon）多边形是由多个线段连接而成的几何形体，它包括直线多边形和曲线多边形两种类型。
直线多边形是由直线段连接而成的，例如三角形、四边形和五边形等。
曲线多边形是由曲线段连接而成的，例如圆形和椭圆等。
七、立体（Solid）立体是一个有体积的几何形体，它包括球体、圆柱体、圆锥体和棱柱体等。
立体的表面由很多个平面组成，其中每个平面都是一个多边形。
几何形体的分解与组合
几何形体的分解与组合几何学是一门研究空间形状、大小和其它属性的学科，其中一个基本的概念是几何形体。
在几何学中，几何形体指的是由点、线、面围成的、有一定形态和结构的图形。
在学习几何形体过程中，我们会遇到分解和组合几何形体的问题。
本文将讨论几何形体的分解与组合，以及其在几何学中的应用。
一、几何形体的分解几何形体的分解是指将一个复杂的几何形体拆解成简单的几何部分。
这种分解可以使我们更好地理解形体的结构和属性。
常见的几何形体分解方法有：1. 分解为平面图形：将一个几何体展开后，可以得到一些平面图形。
例如，长方体可以被分解为6个矩形，并且这6个矩形的边长和面积可以通过分解得到。
2. 分解为基本几何体：一些几何形体可以被分解为基本几何体的组合。
例如，立方体可以被分解为6个正方形。
这种分解方法常用于计算几何形体的体积和表面积。
几何形体的分解不仅仅是理论上的操作，它也是实际生活中许多问题的解决方法。
二、几何形体的组合几何形体的组合是指将两个或多个简单的几何部分组合成一个复杂的几何形体。
通过组合，我们可以创建出新的几何形体，并且探索它们的性质。
常见的几何形体组合方法有：1. 堆叠组合：这是最简单的组合方法，即将几何形体叠放在一起。
例如，将多个立方体堆叠在一起可以构建出一个长方体。
2. 比例组合：通过调整几何形体的大小比例，可以创建出各种新的形态。
例如，通过将两个等腰三角形放置在一起，可以构成一个平行四边形。
几何形体的组合可以帮助我们理解不同形体之间的关系，并且为我们解决实际问题提供了方法。
三、几何形体的应用在生活中，几何形体的分解与组合可以应用于许多领域，以下是几个例子：1. 建筑设计：建筑设计师经常需要将复杂的建筑结构分解为简单的几何形体，以便在设计过程中更好地理解和计算各个部分的属性，并且进行合理的组合。
2. 工程制图：在工程制图中，分解与组合几何形体是绘制和描述建筑物、机械零件等的基本方法。
通过准确地分解和组合，可以为制造和装配提供准确的指导。
机械制图第8章零件图全解
公差恒 为正
45
3）公差带图：
上极限偏差 公差带
＋ 0－
+0.008 -0.008
下极限偏差
+0.024
+0.008 -0.006
0
-0.022
50 公称尺寸
例: 50±0.008
50
+0.024 +0.008
50
-0.006 -0.022
公差带图可以直观地表示出公差的大小 及公差带相对于零线的位置。
⑵ 选择主视图 安放位置：符合加工位置，轴线水平放置。
投射方向：A向 通常采用全剖视图。
⑶ 选择其它视图
用左视图表达孔、槽的分
布情况。
A
23
A
24
8.4 零件图的尺寸标注
在零件图上需标注如下内容： 1. 加工制造零件所需的全部尺寸。 2. 零件的表面结构要求。 ⒊ 零件的几何公差。
有关零件在加工、检验过程中应达到的 其他一些技术指标，如材料的热处理要求等， 通常作为技术要求写在标题栏上方的空白处。
c) 综合式
尺寸标注的三种形式
28
三、主要的尺寸应直接注出 主要尺寸指影响产品性能、工作精度
和配合的尺寸。
非主要尺寸指非配合的直径、长度、 外轮廓尺寸等。
c b
cd
正确！
错误！
29
四、避免出现封闭的尺寸链
ce d b
错误！
c
d
b
正确！
长度方向的尺寸 b、c、 e 、d 首尾相 接，构成一个封闭的尺寸链。
C向局部视图表 达上面凸台的形状。
A D
D
B－B C
视图方案一
18
第8章 几何造型解剖
1893
几何造型
武汉大学国际软件学院 涂建光
2020年10月12日3时35分
1
计算机图形学曲线和曲面183概述几何造型:
利用点、线、面、体等几何元素，经过平移、 旋转、比例等几何变换和交、叉、并等集合运 算，产生实际或想象的物体模型；
应用：飞机外形设计，机械零件的计算机辅助 设计与制造，刀具、机器人运动的模拟等等。
内环完全在外环之内
每个环既不能自相交，也不能与其它环相交
根据环的定义，在面上沿环的方向前进，左侧 总在面内，右侧总在面外
面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的 正向
面的形状由它的几何信息来表示，可以是平面 或曲面
在正则形体定义中，也不允许孤立的面存在。
2020年10月12日星期一
Computer Graphics 11
2020年10月12日星期一
Computer Graphics 5
计算机图形学
曲线和曲面
1893
形体的集合运算（并、交、差）是构造形体的 基本方法
正则造型和非正则造型（非正则造型是主流）
2020年10月12日星期一
Computer Graphics 6
计算机图形学
坐标系
曲线和曲面
1893
造型坐标系（局部坐标系）
计算机图形学
曲线和曲面
1893
体（Body）
是用面的并集来表示的
用于定义体的面形成一个封闭的边界
在正则几何造型系统中，要求体必须是正则的。
体素（voxel ）
来源：从实际形体中选择、参数轮廓线扫描产 生、代数半空间定义
2020年10月12日星期一
Computer Graphics 12
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
27
8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
人教A版数学必修第二册第八章【高中数学《必修第二册》基本立体图形知识点汇总】
高中数学《必修第二册》基本立体图形知识点汇总知识清单一．空间几何体1．空间几何体的定义只考虑物体的形状与大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．3．旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．二．常见几何体及其结构特征1．棱柱（1）棱柱的定义一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（2）棱柱的结构特征在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．（3）棱柱的分类与命名①以底面多边形的边数分类棱柱底面是几边形就称这棱柱是几棱柱．底面是三角形，四边形，五边形的棱柱分别叫三棱柱，四棱柱，五棱柱②以侧棱和底面的关系分类侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．2．棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（2）棱锥的结构特征在棱锥中，多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．（3）棱锥的分类与命名①按底面的多边形的边数分类，底面是几边形就称这棱锥是几棱锥，底面是三角形，四边形，五边形的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥，其中三棱锥又叫四面体．②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧棱都相等；各侧面都是全等的等腰三角形．3．棱台（1）棱台的定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．（2）棱台的结构特征①原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面与上底面，类似于棱柱，棱台也有侧面，侧棱，顶点．②棱台两底面是平行的相似多边形，棱台的侧面是梯形，且侧棱的延长线相交于一点．（3）棱台的分类与命名①由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台②正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形．4．圆柱（1）圆柱的定义以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱．（2）圆柱的结构特征①旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．②圆柱的侧面展开是矩形，过任意两条母线的截面是矩形．5．圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆锥．（2）圆锥的结构特征①旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论斜边旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线．②圆锥的侧面展开图是扇形，过任意两条母线的截面是等腰三角形．6．圆台（1）圆台的定义用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．（2）圆台的结构特征①圆台与圆锥、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线；②圆台的侧面展开图是扇环，过任意两条母线的截面是等腰梯形．7．球（1）球的定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球．（2）球的结构特征①半圆的圆心叫做球心；连接球心和球面上任意一点叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径；②球心到截面的距离，球的半径及截面的半径的关系：．8．简单组合体棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体．由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体．简单组合体一般是由简单几何体拼接而成或者是由简单几何体截去或挖去一部分而成．《基本立体图形》综合练习题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1．下列关于棱柱的说法中，正确的是（ ）A．棱柱的所有面都是四边形B．一个棱柱中只有两个面互相平行C．一个棱柱至少有6个顶点、9条棱 D．棱柱的侧棱长不都相等2．下列说法错误的是（ ）A．多面体至少有四个面B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形3．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．正三棱锥B．正四棱锥C．正五棱锥D．正六棱锥4．下列命题中正确的个数是（ ）①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个题型二 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征5．下列命题正确的个数是（ ）①过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面也可看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；⑤以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周所形成的曲面叫作球面．A．4B．3C．2D．16．下列结论正确的是（ ）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥7．下列命题正确命题的个数是（ ）①有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱； ②底面为正多边形的棱柱为正棱柱；③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱锥是正棱锥；④A、B为球面上相异的两点，则通过A、B的大圆有且只有一个．A．0个B．1个C．2个D．3个8．（多选）下列关于圆柱的说法中，正确的是（ ）A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱题型三 简单组合体的结构特征9．如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（ ）A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个长方体10．图中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的（ ）A．B．C．D．11．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥12．如图所示是一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 （填序号）．参考答案题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1-4 C，D，D，A题型二 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征5-8 A，D，A，ABD题型三 简单组合体的结构特征9-12 B，A，D，1、5。
几何形体组合知识点总结
几何形体组合知识点总结1. 几何形体的分类几何形体可以根据维度的不同进行分类，一般可以分为一维、二维和三维几何形体。
一维几何形体：一维几何形体是指只有长度，没有宽度和高度的几何形体。
例如线段、射线和直线等。
二维几何形体：二维几何形体是指具有长度和宽度，但没有高度的几何形体。
例如矩形、正方形、三角形、圆形等。
三维几何形体：三维几何形体是指具有长度、宽度和高度的几何形体。
例如立方体、球体、圆柱体、圆锥体等。
2. 几何形体的组合几何形体的组合是指将多个几何形体按照一定的规则进行组合或排列，形成新的几何形体。
几何形体的组合可以分为两种基本情况：组合和分解。
组合：将多个相同或不同的几何形体按照一定的规则排列组合在一起，形成新的几何形体。
分解：将一个几何形体按照一定的规则进行拆分，得到其组成部分或者其他几何形体。
3. 几何形体的组合方法几何形体的组合方法有很多种，常见的有以下几种：叠加：将多个几何形体叠加在一起，形成新的几何形体。
例如将两个三角形叠加在一起形成一个平行四边形。
拼接：将多个几何形体通过拼接的方式组合在一起，形成新的几何形体。
例如将多个长方形通过拼接组合成一个更大的长方形。
堆叠：将多个几何形体按照一定的规则进行堆叠，形成新的几何形体。
例如将多个立方体按照一定的规则进行堆叠，形成一个更大的立方体。
拆分：将一个几何形体按照一定的规则进行拆分，得到其组成部分或者其他几何形体。
4. 几何形体的组合问题在几何形体的组合过程中，会涉及到一些与组合有关的问题，解决这些问题需要运用一些几何知识和技巧。
叠加问题：计算多个几何形体叠加在一起的表面积、体积等。
解决这类问题需要计算各个部分的面积、体积并进行叠加。
拼接问题：计算多个几何形体通过拼接形成的新几何形体的大小、面积、位置等。
解决这类问题需要分析各个部分的大小、位置关系并进行拼接。
堆叠问题：计算多个几何形体按照一定规则进行堆叠后的新几何形体的大小、体积等。
解决这类问题需要考虑堆叠的规则、层数等。
第八章 学前儿童几何形体概念的发展与教育
（6）图形拼搭 教师还可提供各种大小、颜色不同的平面几何图形，让 幼儿自由拼搭自己喜欢的图画，并说出用了哪些图形、用了 多少个。这种操作活动可以在巩固幼儿认识的同时，发展其 空间想象力和创造力。
3～4岁的幼儿对平面几何图形具有较好的配对能力，并 具有一定的指认能力。他们一般能正确认识圆形、正方形和 三角形，但这种认识不是通过形状的特征进行的，而是通过 将形状与日常生活中熟悉的物体相对照的方式进行的。
（二）4～5岁的特点
4～5岁的幼儿认识几何图形的能力有了进一步的发展， 认识图形的兴趣也有所提高。
例如，教幼儿认识椭圆形时，教师发给每个幼儿一个圆 形卡片和一个椭圆形卡片，引导幼儿将两个图形叠放在一起 （见下图），进而找出二者的相同点和不同点，以使其感知 新图形的特征。
2．巩固对平面几何图形的认识 教师在教幼儿认识了平面几何图形之后，还应通过多种 形式的操作活动帮幼儿巩固对图形的认识。常用的操作活动 有如下几种。 （1）图形拼补 教师可以提供各种不完整的几何图形（见下图），让幼 儿自由选择一些图形将不完整的图形拼补完整，使其在拼补 过程中熟悉各种图形的特征。
（2）图形分类 教师可以提供各种大小不一的几何状物体或平面几何图 形，让幼儿将相同形状的物体或图形归放到一起，以巩固其 对平面几何图形特征的认识。
（3）图形涂色 教师可以提供包含有多种图形的图画，让幼儿将图画中 指定的图形涂色，以巩固认识。例如，教师提供一幅主题为 “我的家”的图画（见下图），让幼儿将图中所有的三角形 涂成红色。
第二节 学前儿童几何形体概念的教育
一、学前儿童几何形体概念的教育要求
1．小班 ① 教幼儿认识圆形、三角形和正方形，使其能说出这些 图形的名称。 ② 使幼儿能把圆形、三角形和正方形从具体物品中分离 出来，并能从周围环境中找出与这些图形相似的物体。
几何形体的认识与应用
折射定律：光线在不同介质间传播 时发生方向改变的规律
量子力学中的几何形体
量子力学中的波函数：描述微观粒子状态的函数，其形状与几何形体相关。 几何相位：量子力学中的一种相位因子，与粒子在空间中的路径和几何形体有关。 几何量子计算：利用几何形体进行量子计算的方法，可以实现更高效和稳定的量子计算。 量子纠缠与几何形体：纠缠的量子态之间存在几何关系，可以利用几何形体来描述和解释。
建筑空间布局与几何形体
机械领域的应用
机械零件：几何形体在各种机械零件中广泛应用，如圆柱、圆锥、球体等。
机械运动：几何形体在机械运动中起到关键作用，如轴承的滚动、滑块的滑动等。
机械设计：几何形体是机械设计的基础，设计师通过运用不同的几何形体组合，创造出各种机械 装置。
机械制造：几何形体在机械制造中不可或缺，从加工到装配，每个环节都涉及到几何形体的应用。
这些几何形体在 微积分中常常被 用作研究函数的 极限、连续性和 可微性的工具。
例如，球体的体 积和表面积可以 通过微积分的知 识来求解。
圆柱体和圆锥体 的体积和表面积 也可以通过微积 分的知识来求解， 这些几何形体在 解决实际问题中 也有广泛的应用。
线性代数中的几何形体
几何形体是线 性代数中的重 要概念，用于 描述空间中的 形状和结构。
几何形体的分类
平面几何形体：包括圆形、椭圆形、扇形等 立体几何形体：包括球体、圆柱体、圆锥体、长方体等 组合几何形体：由两个或多个几何形体组合而成的复杂形体 自由几何形体：不受固定规则约束的自由形态，如抽象雕塑等
人教版高中数学新教材必修第8章-立体几何初步-教辅教案
②球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截
面圆的半径 r 满足 d =
R2 -r2 ;
③球体被经过球心的平面截得的圆叫做
大圆, 被 不 经 过 球 心 的 平 面 截 得 的 圆 叫 做
小圆.
8. 2 立体图形的直观图
1. 直观图
对于立体图形,直观图是 最 常 用 的 描 述
方式. 在前面介绍各个基本立体图形时,使用
高)
正棱台
1
S 正棱台侧 = ( c′+c) h′
2
( c′、 c 为 上、 下 底 面
周长,h′为斜高)
S 表 = S 侧 + S 上底
+S 下底
2. 常见旋转体的侧面积和表面积
几何体
侧面积公式
表面积公式
圆柱
S 圆柱侧 = 2πrl ( r 为 底
S 圆柱表 = 2πr 2
圆锥
圆台
面半径,l 为母线长)
是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边
都相互平行,由这些面所围成的多面体叫做
棱柱.
两个互相平行的平面叫 做 棱 柱 的 底 面,
简称底. 除底面外的各面叫做棱柱的侧面. 相
邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. 侧棱与底
面的公共点叫做棱柱的顶点.
127
5AAeP
一般用 表 示 底 面 各 顶 点 的 字 母 表 示 棱
成的多面体叫做棱锥. 其中,多边形面叫做棱
锥的底面;有公共顶点的各个三角形面叫做
棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的
顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
2. 棱锥的分类与表示
底面是三角形、四边形、五边形……的棱
锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中
菜肴造型
第八章菜肴造型[ 教学目的 ] 通过学习，掌握菜肴造型的一般知识，能运用造型的基本原则，一般规律和方法指导烹调实践。
[ 教学重点 ] 菜肴造型原则、规律、方法、装盘与盘饰技巧。
[ 教学难点 ] 菜肴造型原则、规律。
[ 教学方法 ] 讲解与图片展示[ 教学内容 ]菜肴造型是指利用烹饪原料的可塑性及其自然形态，结合刀工刀法和一些相关技法，创造出来的具有一定可视形象的立体图形。
造型是中国烹调工艺的重要组成部分，是食用审美的重要内容，它主要包括凉菜造型和热菜造型两大部分。
一、中国菜肴造型的基本原则（一）实用性原则实用性，即食用性，有食用价值；不搞“花架子”，防止中看不中吃。
这是一条总的原则，是菜肴造型的基本前提条件。
菜肴造型，实际上是以食用为主要目的的一种特殊造型形式，它不同于其他造型工艺。
如果造型菜肴不具备食用性或者食用性不强，也就失去了造型的意义和作用，不可能有生命力和存在价值。
尤其是凉菜造型更要注意食用性，一些传统的彩色拼盘食用性差，有的根本不能食用，究其原因，一是生料多，二是使用色素，三是工艺复杂，花费太多时间，四是卫生差，于是名曰“看盘”，即只能看，饱饱眼福，不能食用。
中国传统烹饪文化，对于现代厨师来说，一定要用“扬弃”的观念来继承，不能盲目效仿。
“看盘”，在现代饮食生活中，已没有实际意义。
菜肴造型的食用性，主要体现在两个方面：1 、色香味质要符合卫生标准，调制要合理，不使用人工合成色素。
2 、造型菜肴要完全能够食用，要将审美与可食性融为一体，诱人食欲，提高食兴。
（二）技术性原则技术性，是指应当具备的知识技能和操作技巧。
烹调原料从选料到完成菜肴造型，技术性贯彻始终，并且起着关键作用。
中国菜肴造型的技术性主要体现在四个方面：1 、扎实的基本功是基础。
烹调工艺的基本功是指在制作菜肴过程中必须熟练掌握的实际操作技能。
菜肴造型技艺的基本功主要包括：（ 1 ）选料合理，因材施用，减少浪费，物尽其物。
（ 2 ）讲究刀工，刀法娴熟，切拼图形快速准确。
ArcGIS几何形体理解解析
（2）ConstructAngleBisector角平分线创建法
这种方法使用三个点，即起始点（FromPoint）、通 过点（Through Point）和终止点（ToPoint）。该方法通 过平分三点形成的夹角，并设置一个距离在平分线寻找 到一点。如果长度为负值，则沿着反方向放置点。
object.ConstructAngleBisector (from, through, to, distance, useAcuteAngle )
ArcMap几何形体
Points Multipoints Polylines Polygons
1 Line
1 Poly
线段：在曲线的起点和终点之间 2 Paths 线段集合成 paths/rings Paths/rings集合成lines/polygons 可以在任何层次上编辑
Bezier curve Ring继承至path
2、IConstructPoint接口
AO中Geometry模型的一个重要特点是它具 有一套丰富的，利用已经存在的几何对象的距离 、角度和空间关系，生成新的几何形体对象的方 法。
使用这些方法常常涉及使用角度和偏转角。 在AO编写程序时，角度使用的是弧度单位，而 长度单位使用地图投影单位。
IConstructPoint接口，可以使用多达10种方 法来创建所需要的点，下面需要介绍几种点的构 造方法：
（3）ConstructAngleIntersection构造角度 交点
通过给定的两个点和两个角度，这个方法 可以在两条射线的交点处产生一个点。两条射 线由点和角度来确定。
object.ConstructAngleIntersection (p1, angle1, p2, angle2 )
几何形体之间的关系
平行关系：两个几何形体没有公共点，也没有公共部分
垂直关系：两个几何形体有公共点，但没有公共部分
组合与分解
添加标题
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分解：将一个几何形体分解成两个或多个新的几何形体
组合：将两个或多个几何形体组合成一个新的几何形体
组合与分解的性质：保持几何形体的性质不变
组合与分解的应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
掌握几何形体之间的关系：通过练习、实验等方式掌握几何形体之间的关系
在实际中的应用：将几何形体之间的关系应用于实际生活中，如建筑设计、机械设计等
在创新中的应用：将几何形体之间的关系应用于创新设计中，如产品设计、艺术创作等
06
几何形体关系的未来发展
新技术的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
虚拟现实技术：可以让用户更加直观地感受到几何形体之间的关系
几何形体关系的应用在建筑设计中可以增强建筑的稳定性和安全性，如抗震设计、抗风设计等。
在机械设计中的应用
几何形体关系在机械设计中的应用广泛，如零件的尺寸、形状、位置等
几何形体关系在机械设计中的应用包括：零件的装配、运动分析、应力分析等
几何形体关系在机械设计中的应用还可以帮助设计师优化设计，降低成本，提高产品的竞争力
03
几何形体之间的关系
相交与相切
相交：两个几何形体的公共部分称为相交
相切：两个几何形体的公共部分称为相切
相交与相切的区别：相交是两个几何形体的公共部分，相切是两个几何形体的公共部分
相交与相切的应用：在几何学中，相交与相切是研究几何形体之间关系的重要概念
平行与垂直
平行：两条直线在同一平面内，永不相交
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（8）ConstructParallel构造平行线上的点
构造平行线上点方法是给定一条直线路径 Path，一个参考点Point及一段距离或比率，该 构造器将在平行线上构造出一个新点。
object.ConstructParallel (Segment, extension, start, distance )
IsClosed属性：说明一个曲线的起始点和 终止点是否在同一个位置（除了Polygon） QueryPoint方法：依据特定的长度或比例 来获得一个曲线对象上的某一点的位置
如果查询长度 超过了曲线本身的 长度，就需要设置 片段扩展。
Dim pCurve As ICurve Dim pOutPoint As IPoint Set pOutPoint = New Point pCurve.QueryPoint esriSegmentExtension.esriNoExtension, 2, False, pOutPoint
（7）ConstructOffset构造偏移点
给定一条路径，沿着曲线的距离或者比例， 然后进行一段水平偏移，如果Offset值为正，则 该点向右偏移；如果Offset值为负，则向左水平 偏移。 object.ConstructOffset (curve, extension, distance, asRatio, Offset )
第八章使用几何体
课程预览
ArcMap几何对象的类型
操作：用代码创建新的几何体
画几何体
Geometry是AO中使用最为广泛的对象 集之一，用户在新建、删除、编辑和进行地理 分析的时候，就是在处理一个包含几何形体的 矢量对象；
除了显示要素外，在空间选择、要素着色 制作专题图、标注编辑等很多过程中也需要 Geometry参与。 在Geometry模型中，几何形体对象被分为 两种层次，一是构成要素形状的几何图形，另 一种是组成这些形状的组成部分。
2、IConstructPoint接口
AO中Geometry模型的一个重要特点是它具 有一套丰富的，利用已经存在的几何对象的距离 、角度和空间关系，生成新的几何形体对象的方 法。
使用这些方法常常涉及使用角度和偏转角。 在AO编写程序时，角度使用的是弧度单位，而 长度单位使用地图投影单位。
IConstructPoint接口，可以使用多达10种方 法来创建所需要的点，下面需要介绍几种点的构 造方法：
IConstructCircularArc接口的一些构造器：
（1）ConstructCircle构造器
二、MultiPoint对象
MultiPoint点集对象是无序点的群集，它 用于表示具有相同属性设置的同一组点。如 一家公司不同的营业场所可以使用点集来表 示。
MultiPoint对象可以பைடு நூலகம்用Add方法来添加一 个点到它的集合中去，这个过程需要使用 IPointCollection接口来完成。
Dim pPointCollection As IPointCollection Set pPointCollection = New Multipoint pPointCollection.AddPoint pPoint
（2）ConstructAngleBisector角平分线创建法
这种方法使用三个点，即起始点（FromPoint）、通 过点（Through Point）和终止点（ToPoint）。该方法通 过平分三点形成的夹角，并设置一个距离在平分线寻找 到一点。如果长度为负值，则沿着反方向放置点。
object.ConstructAngleBisector (from, through, to, distance, useAcuteAngle )
GetSubcurve方法：复制一个曲线对象的 某个特定部分
QueryTangent和QueryNormal方法：得 到基于曲线对象上某一点的曲线的切线和法 线。
（一）片段对象
片段（Segment）是由一个起始点、一个 终止点以及定义两点之间的曲线的函数组成的 一维几何形体对象，它是一条单一的曲线对象
3 Rings (closed paths)
Line Segments
Circular arc
两点所确定的弧段
几何形体对象模型图
Geometry *
Geometry collection
Curve
Envelope
Point
*
MultiPoint
Polycurve
Segment *
Path
*
Polyline
Dim pMultiPts As IPointCollection Set pMultiPts = New MultiPoint pMultiPts.AddPoint pPoint
三、几何对象的组成部分——曲线Curve
除去点、点集和封边界对象外，几乎其他 所有的几何形体都可以看做是曲线（Curve）， Curve是具有一维视图或者二维边界形状的 几何对象，如Line、Polyline、Polygon、 CircularArc、BezierCurve、EllipticArc和 CircularArc等都是曲线的一种。 这些对象都实现了ICurve接口。
object.ConstructTangent (inCurve, p )
点与点群
点是没有尺寸的，只有一对X、Y坐标值
点群是点的集合
Point Dim pPoint As IPoint Set pPoint = New Point
pPoint.X = 300
pPoint.Y = 450
Multipoint with six points
object.ConstructAngleDistance (p, inAngle, distance )
（5）ConstructDeflection构造偏角度点
给定一个基准线段，一个偏转角度和一个 距离，该方法将沿着偏转角度和射线方向可以 一定距离设置一个新点。
object.ConstructDeflection (baseLine, distance, inAngle )
Circular arc
两点所确定的弧段
1、CircularArc对象
该对象是一个圆弧，它是圆的一部分，如果使用 CircularArc来表示一个整圆，则它的CentralAngle为2π ，且其起始点和终止点的位置是一个点。
在几何对象中，CircularArc是EllipticArc的特殊情 况。其主要属性如图：
（6）ConstructDeflectionIntersection构造偏转 角交点
这种方法使用一条线段作为基准线，从该基准线 的起始点和终点分别测量偏转角度，引出两条射线， 两条射线相交点为新点。这个方法的OnRightSide参 数可以确定点在基线的方位。
object.ConstructDeflectionIntersection (baseLine, startAngle, endAngle, OnRightSide )
ArcMap几何形体
Points Multipoints Polylines Polygons
1 Line
1 Poly
线段：在曲线的起点和终点之间 2 Paths 线段集合成 paths/rings Paths/rings集合成lines/polygons 可以在任何层次上编辑
Bezier curve Ring继承至path
ArcMap几何形体
Points Multipoints Polylines Polygons
1 Line
1 Poly
线段：在曲线的起点和终点之间 2 Paths 线段集合成 paths/rings Paths/rings集合成lines/polygons 可以在任何层次上编辑
Bezier curve Ring继承至path
如同Point对象一样，MultiPoint对象也 有众多的构造方法，这些构造方法都在 IConstructMultipoint接口中定义，它们能 够基于一个已经存在的几何对象来产生一个 点集。
1.ConstructArcPoints构造圆弧点 这个构造器通过给定的一段圆弧，返回出 该圆弧的终止点、起始点、圆心和切线的交点 等四个点对象。 object.ConstructArcPoints (a )
（1）ConstructAlong沿线创建方法
沿线创建法是基于一个曲线（Curve）上起始 点对象，通过给定距离、比例和扩展类型，沿着 曲线类创建一个新点。如果距离比曲线的长度要 长，那么点将沿着它的切线生成。
object.ConstructAlong (curve, extension, distance, asRatio )
3 Rings (closed paths)
Line Segments
Circular arc
两点所确定的弧段
ICurve接口 ICurve接口提供了操作任何一种一维形 状或二维边界形状的属性和方法，但是它并 不能用于产生一个新的曲线对象。 Length属性：返回一个曲线对象的长度
FromPoint和ToPoint：获得和设置一个 曲线的起始点和终止点 ReverseOrientation方法：改变一个曲线 的节点次序，即改变一个曲线对象的起始点 和终止点顺序
1 Line
1 Poly
线段：在曲线的起点和终点之间 2 Paths 线段集合成 paths/rings Paths/rings集合成lines/polygons 可以在任何层次上编辑
Bezier curve Ring继承至path
3 Rings (closed paths)
Line Segments
3.ConstructDivideEqual构造等分点