n维向量知识点
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定理2.2.3（替换定理）设有向量组 与向量组 如果满足条件
（1）向量组 线性无关；
（2）向量组 能由向量组 线性表示；
则必有 ，并且 中存在 个向量用 替换后得到的向量组与 等价。
推论2设有向量组 与向量组 ，如果满足条件
（1） ；
（2）向量组 能由向量组 线性表示；
则向量组 必线性相关。
推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等
定义2.4.2设 为一个空间向量，如果 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任一向量 都可由向量组 线性表示
则向量组 称为向量空间 的一个基，该基中包含的向量个数 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间，记为 。
定义2.4.3设 维向量空间 的一个基为 ，向量 在这组在这组基下的线性组合为 。则 称为向量 在基 下的坐标，记为 。
定义2.4.4设 是两个空间向量，且 ，则 ，则 称为 的向量子空间，简称钻子空间。
定理2.4.1设向量空间 是空间向量 的子空间，如果 ，则必有 。
定义2.1.3设向量 ， 为实数，则向量 称为数 与向量 的乘积，简称为数乘，记作 ，即有 。
定义2.1.4给定向量组 和向量 ，如果存在一组实数 ，使 成立，则向量 称为向量组 的一个线性组合，其中 称为这个线性组合的系数，这时也称为向量 能由向量组 线性表示。
定义2.1.5设有两个向量组 及 ，如果 组中每个向量都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示，如果向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
向量组的线性相关性
定义设向量组 ，如果存在一组不全为零的实数 ，使得等式 成立，那么向量组 称为线性相关的。否则向量组 称为线性无关。如果向量组 线性无关，且上述等式成立，则只有 。
定理2.2.1向量Baidu Nhomakorabea 线性相关的充分必要条件是向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。
定理2.2.2设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的。
定理2.2.4若向量组 线性相关，则再任意添加上 个向量的向量组 也线性相关。
定理2.2.5如果 维向量组 线性无关，则对每个向量再各添上一个分量后，得到的 维向量组 也线性无关。
推论3如果一个 维的向量组线性无关，并对向量组中每个向量的第 分量前（后）再填上任意个 个分量，则这样得到的一个 维向量组也线性无关；反言之，如果得到的 维向量组线性相关，则原来的 维向量组也线性相关。
向量组的秩
定义2.3.1设有向量组 ，如果在 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任意向量都能由向量组线性表示
则 称为向量组 的一个最大线性无关组，简称最大无关组。
性质1向量组与它的任一个最大无关组都等价。
性质2向量组的任意两个最大无关组都等价。
性质3一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相等。
维向量
维向量及其线性运算
定义2.1.1 个有顺序的数 所组成的 元有序数组 称为 维向量。一般用小写希腊字母 表示，即， 。数 称为向量 的分量（或坐标）， 称为 的第 个分量（或坐标）。
定义2.1.2设 ， 都是 维向量，则向量 称为向量 与 的和，记为 ，即有 。用负向量的概念可以定义向量的减法，即有 。
推论1等价的向量组有相同的秩。
推论2当 时， 个 维向量组 必线性相关
定理2.3.3给定 维向量组 及向量 ，则有
（1）向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是
（2）向量 能由向量组 唯一线性表示的充分必要条件是
（3）向量 能由向量组 线性表示，但表示法不唯一的充分必要条件是
向量的空间
定义2.4.1设 是 维向量的一个非空集合，如果集合 对于向量的加法和数乘两种运算封闭，即对任意的 ，都有 ，则 称为向量空间。
性质4一个向量组线性无关的充分必要条件是它的最大无关组就是向量组本身。
定义2.3.2一个向量组 的最大线性无关组所含向量个数，称为向量组的秩，记为 或 。
定理2.3.1向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。
定理2.3.2设向量组 的秩为 ，向量组 的秩为 ，如果向量组 能由向量组 线性表示，则必有 。
（1）向量组 线性无关；
（2）向量组 能由向量组 线性表示；
则必有 ，并且 中存在 个向量用 替换后得到的向量组与 等价。
推论2设有向量组 与向量组 ，如果满足条件
（1） ；
（2）向量组 能由向量组 线性表示；
则向量组 必线性相关。
推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等
定义2.4.2设 为一个空间向量，如果 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任一向量 都可由向量组 线性表示
则向量组 称为向量空间 的一个基，该基中包含的向量个数 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间，记为 。
定义2.4.3设 维向量空间 的一个基为 ，向量 在这组在这组基下的线性组合为 。则 称为向量 在基 下的坐标，记为 。
定义2.4.4设 是两个空间向量，且 ，则 ，则 称为 的向量子空间，简称钻子空间。
定理2.4.1设向量空间 是空间向量 的子空间，如果 ，则必有 。
定义2.1.3设向量 ， 为实数，则向量 称为数 与向量 的乘积，简称为数乘，记作 ，即有 。
定义2.1.4给定向量组 和向量 ，如果存在一组实数 ，使 成立，则向量 称为向量组 的一个线性组合，其中 称为这个线性组合的系数，这时也称为向量 能由向量组 线性表示。
定义2.1.5设有两个向量组 及 ，如果 组中每个向量都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示，如果向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
向量组的线性相关性
定义设向量组 ，如果存在一组不全为零的实数 ，使得等式 成立，那么向量组 称为线性相关的。否则向量组 称为线性无关。如果向量组 线性无关，且上述等式成立，则只有 。
定理2.2.1向量Baidu Nhomakorabea 线性相关的充分必要条件是向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。
定理2.2.2设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的。
定理2.2.4若向量组 线性相关，则再任意添加上 个向量的向量组 也线性相关。
定理2.2.5如果 维向量组 线性无关，则对每个向量再各添上一个分量后，得到的 维向量组 也线性无关。
推论3如果一个 维的向量组线性无关，并对向量组中每个向量的第 分量前（后）再填上任意个 个分量，则这样得到的一个 维向量组也线性无关；反言之，如果得到的 维向量组线性相关，则原来的 维向量组也线性相关。
向量组的秩
定义2.3.1设有向量组 ，如果在 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任意向量都能由向量组线性表示
则 称为向量组 的一个最大线性无关组，简称最大无关组。
性质1向量组与它的任一个最大无关组都等价。
性质2向量组的任意两个最大无关组都等价。
性质3一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相等。
维向量
维向量及其线性运算
定义2.1.1 个有顺序的数 所组成的 元有序数组 称为 维向量。一般用小写希腊字母 表示，即， 。数 称为向量 的分量（或坐标）， 称为 的第 个分量（或坐标）。
定义2.1.2设 ， 都是 维向量，则向量 称为向量 与 的和，记为 ，即有 。用负向量的概念可以定义向量的减法，即有 。
推论1等价的向量组有相同的秩。
推论2当 时， 个 维向量组 必线性相关
定理2.3.3给定 维向量组 及向量 ，则有
（1）向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是
（2）向量 能由向量组 唯一线性表示的充分必要条件是
（3）向量 能由向量组 线性表示，但表示法不唯一的充分必要条件是
向量的空间
定义2.4.1设 是 维向量的一个非空集合，如果集合 对于向量的加法和数乘两种运算封闭，即对任意的 ，都有 ，则 称为向量空间。
性质4一个向量组线性无关的充分必要条件是它的最大无关组就是向量组本身。
定义2.3.2一个向量组 的最大线性无关组所含向量个数，称为向量组的秩，记为 或 。
定理2.3.1向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。
定理2.3.2设向量组 的秩为 ，向量组 的秩为 ，如果向量组 能由向量组 线性表示，则必有 。