n维向量知识点
第一节 n维向量
定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩.
定义２ 设有两个向量组
A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . 若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价．
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
对方程组A的各个方程做线性运算所得到的 一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等 价的方程组一定同解.
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地,矩阵A1 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
若记A 1 , 2 , , m )和B b1 , b2 , , bs ).B （ （ 能由A线性表示，即对每个向量b j ( j 1, 2, , s )存 在数k1 j , k2 j , kmj , 使
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
3-1.n维向量
除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：
(1' ) 0α = O , kO = O(其中0为数零, k为任意数 ); ( 2' )若kα = O , 则或者k = 0, 或者α = O;
( 3' )向量方程 α + x = β有唯一解 x = β − α .
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + µb λ , µ ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间 解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + µ 1b x 2 = λ 2 a + µ 2 b， 则有 x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( µ 1 + µ 2 )b ∈ V ,
证 设x ∈ V1，则 x可由 a1 ,L , am 线性表示 .
线性表示， 因a1 ,L, a m 可由b1 ,L, bs 线性表示，故 x可由b1 ,L, bs 线性表示， 所以x ∈ V2 . 线性表示，
这就是说， 这就是说，若 x ∈ V1，则x ∈ V2， 因此V1 ⊂ V2 .
类似地可证 : 若x ∈ V2 , 则x ∈ V1 ,
向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 满足下列八条运算规则： 算，满足下列八条运算规则： (1)加法交换律 α + β = β + α;
( 2)加法结合律
(α + β ) + γ = α + ( β + γ );
( 3)对任一个向量 α , 有α + O = α ;
(完整版)n维向量及其线性相关剖析
0 0
- 11 14
1 1 - 1 - 6
0 0 1 9
-111 142 93
线性代数
17
练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为
向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是,
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
线性代数
14
6
3
2
例1
向 量
9
能
否
由
向
量
组1
3,2
5,
6
6
4
3
6 9
线 性 表 示 。
15
设
向
量可
由
向
量
组1，
2，
线
3
性
表
示
为
：
x11 x22 x33
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
线性代数
1
本讲内容：
1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性
线性代数
2
一、n维向量的概念：
定义1 n 个 有 次 序 的 数a1, a2 , , an 所 组 成 的 数 组 称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
线性代数
7
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
(-
)
2
2
(- )
机身的水平转角 (0 2 )
(完整版)2.3n维向量的概念
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
第二章 n维向量
2
k m
2
m m
1 1 0
0
向量组 1 , 2 , , m 线性相关
.
性质2: 两个向量线性相关 的充要条件是它们的 各对应分量成比例.
证明 : 设两个向量 比例系数为 k,则
1 , 2的各对应分量成比例
,
2
k 1
第二章
n 维向量
§1. n维向量 的概念 §2.向量组的线性相关性 §3.向量组的秩 §4.向量空间
§ 1. n维向量的概念
定义1：n个有顺序的数 a 1 , a 2 , , a n 组成的有 序数组记为 ( a , a , , a ) ，称为n维向量. 数 a ( i 1, 2 , n ) 叫做它的第i个分量. 用小写希腊字母，，，…来表示n 维向量，即 ( a , a , , a ) .
注意:
1. 两个向量只有维数相等,才有相等或不 相等的概念. 例:维数不等的零向量是不相等的. 2. 两个向量只有维数相等,才可能进行加法 或减法运算. 思考:为什么向量不定义向量间的乘除法?
§2.向量组的线性相关性
1 , 2 , , m , 都是n维向量，如果 设 存在一组数 k 1 , k 2 , , k，使得 m
即
k , 1不全为零
k 1 ( 1) 2 0
, 1 , 2 线性相关
.
k1 , k 2 ,
反之 , 设 1 , 2 线性相关 使得
, 按定义 , 有不全为零的数
2
k 1 1 k 2
k2 k1
0,
不妨设 k 1 0 , 则 1
2 , 证毕
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
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线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
n维向量空间
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
§ 3-1n维向量
(6)k ( l ) ( kl) (7)k l k l (8)k k k
（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 注： 使得
o （2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得 ( ) o （3） 0 0; ( 1) ; 0 0. （4）如果 0, 则 0或 0
例 设 （2,0， 1,3）, (1,7,4,2) , (0,1,0,1) .
T T T
(1)求2 3 ; (2)若有x, 满足3 5 2 x 0, 求x.
解
(1)2 3 2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
注：它们的区别 只是写法上的不 同.
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如：
T
(3) (1) (a1 ,,an )T ; (4) (1) (a1 b ( 2)( ) ( ) ( 3) 0 (4) 0 (5)1
§ 3.1
n维向量及其线性运算
一、n维向量 二、n维向量的线性运算
一、 n 维向量
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量，
第i个数a i 称为第i个分量 .
或
a1 a2 a ... a n aT a1 , a2 ,..., an
线性代数2.2n维向量
06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意 标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个 新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当 这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和 标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例 如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像 处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大 小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个 标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如 果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则 两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反 。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直 关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且 该向量组可以生成整个向量空间，则 该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、 向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵 形式，便于求解。
第二章n维向量
解：
A
1
2
3 4
1 2 2 1
1 1 3 3
1 3 2 1
1 2 2 1
2
1
3 5
0 0 0
1 1 1 2
1 1 0 2
1 0 0 0
2
1
1
2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
A 0
0 0
1 1 2
1 0 2
0 0 0
1
1
2
0
0 0
1 0 0
解：设k11 k22 k33 O 即 (k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 O
1,2 ,3
k1
线性无关，
k2 k3 0
k1 k3 1, 2
0 ,
3k1线性k2无关0.
k2 k3 0
例3：设向量组 1,2 , ,m 线性无关，且
1 2 m
k2 km 0
01 1
k1
k3
km
0
系数行 1
列式为
0
1 (m 1)(1)m1 0
(m 1)
k1 km1 0
11 0
向量组 1, 2 , ， m线性无关。
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 , ,r (II ) : 1, 2 , , s
也线性无关。 用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
证明：
1 a11 a12
A
2 m
a21 am1
a22
am2
线性代数-3n维向量
α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量 维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量 维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量 分量的个数称为向量的维数 其中 ai (i=1,2…n)是实数 称为分量 分量的个数称为向量的维数 是实数 称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 设 1.相等 相等 2.加法 加法 3.数乘 数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组 必含有相同个数的向量 必含有相同个数的向量; 推论 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关 维向量组必然线性相关. 推论 任意 个 维向量组必然线性相关 二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩 设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组 设一个向量组的某一部分组是线性无关的 并且从该向量组 中的其余向量中任取一个添进去 所得的新的向量组线性相关 所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关 则称该部分组为一个极大线性无关组 则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组
第3章 n维向量
第三章 n 维向量一、n 维向量的概念与运算 （一）n 维向量的概念n 个数n a a a ,...,,21构成的有序数组称为n 维向量，记作()n a a a ,...,,21或()Tn a a a ,...,,21分别称为n 维行向量或n维列向量，也就是n ⨯1或1⨯n 的矩阵，数i a 称为向量的第i 个分量（二）n 维向量的运算如果,),...,,(21T n a a a =αT n b b b ),...,,(21=β 1.加法 T n n b a b a b a ),...,,(2211+++=+βα 2.数乘 T n ka ka ka k ),...,,(21=α3.内积 αββαβαT T n n b a b a b a ==+++=...),(22114.若0),(=βα，则βα,正交 ★22221...),(n T a a a +++==αααα★22221...n a a a +++=α 00),(=⇔==αααααT二、线性组合与线性表出1.线性组合若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组由s 个n 维向量s ααα,...,,21及s 个常数s k k k ,...,,21所构成的向量s s k k k ααα+++...2211称为向量组s ααα,...,,21的一个线性组合，其中s k k k ,...,,21称为组合系数2.线性表出如n 维向量β能表示成向量s ααα,...,,21的线性组合βααα=+++s s k k k ...2211则称β可由s ααα,...,,21线性表出，或说β是s ααα,...,,21的线性组合3.向量组等价如果向量组（1）s ααα,...,,21的每个向量都可以有向量组（2）t βββ,...,,21线性表出，则称向量组（1）可由向量组（2）线性表出； 如果两个向量组可以互相线性表出，则称两个向量等价①等价向量组具有传递性、对称性及反身性，但向量个数可以不一样，线性相关也可以不一样 ②任一向量组和它的极大无关组等价 ③向量组的任意两个极大相关组等价④两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同⑤等价的向量组具有相同的秩，★但秩相同的向量组不一定等价★⑥如果向量组（1）可由向量组（2）线性表出，⇒=)2()1(r r 向量组（1）（2）等价★单向线性表出+秩相同三、向量组的线性相关与线性无关 （一）线性相关与线性无关的概念1.线性相关对于n 维向量s ααα,...,,21，如存在一组不全为0的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα，则称此向量组s ααα,...,,21线性相关2.线性无关对于n 维向量s ααα,...,,21，如果0...2211=+++s s k k k ααα必有0...21====s k k k ，则称此向量组s ααα,...,,21线性无关；或者说如存在一组数s k k k ,...,,21不全为0，必有0...2211≠+++s s k k k ααα，称此向量组s ααα,...,,21线性无关（二）线性相关与线性无关的充分必要条件1.线性相关的充分必要条件向量组s ααα,...,,21线性相关★⇔齐次方程组0...),...,,(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s s x x x ααα有非零解★s r s ),...,,(21ααα⇔（秩小于向量个数）★⇔存在某i α可由其他1-s 个向量线性表出★n n 个维向量线性相关0,...,,21=⇔s ααα ★n n 个1+维向量一定线性相关★2.线性无关的充分必要条件 向量组s ααα,...,,21线性无关★⇔齐次方程组0...),...,,(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s s x x x ααα只有零解★s r s =⇔),...,,(21ααα（秩等于向量个数）★★⇔每一个向量i α都不能用其他1-s 个向量线性表出★3.几个重要结论（1）阶梯形向量组一定线性无关（2）★若向量组s ααα,...,,21线性无关，则它的任一个部分分组ti i i ααα,...,,21必然线性无关★（3）★若向量组s ααα,...,,21线性无关，则它的任一个延伸组⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡s s βαβαβα，，，...2211必然线性无关★ （4）★两两正交、非零的向量组必然线性无关★四、线性相关性与线性表出的关系（1）向量组s ααα,...,,21线性相关的充要条件是s α可以用其余1-s 个向量组表示，存在即可，不需要全部 （2）若向量组s ααα,...,,21线性无关，而向量组βααα，s ,...,,21线性相关，则β可由s ααα,...,,21线性表出，且表示法唯一★（3）若向量组s ααα,...,,21可由向量组t βββ,...,,21线性表出，且t s 大于 s ααα,...,,21⇒线性相关★ ★（4）若向量组s ααα,...,,21可由向量组t βββ,...,,21线性表出，且s ααα,...,,21线性无关t s ≤⇒★五、向量组的秩与矩阵的秩（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念1.极大线性无关组在向量组s ααα,...,,21中，如存在一个部分组ti i i ααα,...,,21线性无关，且在添加进组任一向量jα（如果还有的话），向量组j i i i tαααα，,...,,21一定线性相关，则称ti i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21的一个极大线性无关组①只由一个零向量构成的向量组不存在极大的线性无关组，规定它的秩为0，一个线性无关组的极大线性无关组就是该向量自身②一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的；但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大线性无关组中所含向量的个数都是r ，即个数r 是由原向量唯一确定的2.向量组的秩（引入了向量组的秩）（第二章通过等价的矩阵引入矩阵的秩）向量组s ααα,...,,21的极大线性无关组中所含向量的个数r ，称为该该向量的秩，记为r r s =),...,,(21ααα3.矩阵的秩矩阵A 中非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作)(A r矩阵A 中的秩r A r =)(⇔A 中有r 阶子式不为0，r +1阶子式（若还有）全为0 矩阵A 中的秩r A r ≥)(⇔A 中有r 阶子式不为0 矩阵A 中的秩r A r )(⇔A 中有r 阶子式全为0（二）向量组的秩与矩阵的秩的关系①A A r =)(的行秩（矩阵A 的行向量的秩）=A 的列秩（矩阵A 的列向量的秩）；求向量的极大线性无关组和向量组的秩时，可通过对矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵来实现（行列变换可混用） ②经初等变换矩阵，向量组的秩均不变；③若向量组（1）可由向量组（2）线性表出，则)2()1(r r ≤;特别地，等价的向量组有相同的秩；但秩相同不一定等价六、矩阵秩的重要公式)()(.1T A r A r = ★)()()(.2B r A r B A r +≤+ ★0),()(.3≠=k A r kA r★))(),(min()(.4B r A r AB r = ))()()()(B r AB r A r AB r ≤≤，A 如.5可逆，)()(B r AB r =；如B 可逆，)()(A r AB r =★A .6是n m ⨯矩阵，B 是p n ⨯矩阵，如0=AB ，则n B r A r ≤+)()(★B 每列都是方程解，方程解的个数为)(A r n -七、施密特正交化（前提条件是线性无关）若s ααα,...,,21线性无关，则可构造s βββ,...,,21使其两两正交，且i β是s ααα,...,,21的线性组合，再把i β单位化。
第2章向量
说明 1.只有当两个向量是同型向量时，才能进行加、减法运算. a1 a1 a a 2 2 2.向量 称为向量 的负向量，记为- . an an
1 2 0 -2 -1 1 例2 设 = ， = ， = 0 3 -1 2 1 -1 (1)求2 -3 (2)设2 - +2 - =q ，求 .
,s 线性相关.
例3
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , 1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
2 2 3 , 3 3 1 , 试证1 , 2 , 3线性无关 .
证
x1 1 x2 2 x3 3 q 即 x （ x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) q , 1 1 2）
k1 k2 k3 0
所以，有唯一一种表示方法：
01 0 2 03 q
2.定义6
给定向量组A : 1 , 2 , 全为零的数k1 , k2 , , ks使 k s s q k11 k2 2 , s , 如果存在不
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意 1. 若 1 , 2 , , n 线性无关 , 则只有当
给定 向量组 A : 1 , 2 , k1，k2， ，ks，表达式 k11 k2 2 ks s 称为向量组的一个 线性组合 ， k1，k2， ，ks 称为这个线性组合的组合系数. 给定向量组A : 1 , 2 , 组实数k1，k2， ，ks，使 , s，和向量 对于任何一 , s，对于任何一组实数
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
第九章 n维向量
第九章 n 维向量第一节 n 维向量的概念一、n 维向量定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量。
这n 个数称为向量的n 个分量，第i 个数i a 称为第i 个分量。
记n 维列向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α n 维行向量为()n T a a a ,,,21 =α例如，三维向量的全体所组成的集合 {}R z y x z y x r R T ∈==,,),,(3在几何中表达空间的点集，称为三维向量空间。
类似地，n 维向量的全体所组成的集合{}R x x x x x x r R n T n n ∈==,,,),,,(2121 ，叫做n 维向量空间。
第二节 向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性若干个同维数的行向量（或者列向量）所组成的集合叫做向量组例如一个n m ⨯矩阵A=n m ij a ⨯)(有n 个m 维列向量，称n ααα,,,21 为矩阵A 的列向量组 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α （n j ,,2,1 =）反之，n 个m 维列向量n ααα,,,21 构成一个n m ⨯矩阵AA= （n ααα,,,21 ）前两章中常把线性方程组写成矩阵形式b Ax =现把方程组写成向量形式βααα=++m m x x x 2211可见方程组与增广矩阵（)βA 的列向量组m ααα,,,21 ，β之间也有一一对应关系。
定义2 给定向量组A ：m ααα,,,21 ，对于任何一组实数，称向量m m k k k ααα ++2211为向量组A 的一个线性组合，m k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数。
定义3 给定向量组A ：m ααα,,,21 和向量β，如果存在一组数m λλλ,,,21 ，使得 β=m m αλαλαλ ++2211则称向量β是向量组A 的线性组合，称向量β可以由向量组A 线性表示向量β可以由向量组A 线性表示，也就是方程组βααα=++m m x x x 2211有解。
2.3 n维向量
a12
, 2
a22
,
a1n
a2n
an1
, n
an2
ann
1,2 ,,n 线性相关 Dn 1 2 n 0
线性无关 Dn 0. 推论3 有m个n维向量 1,2,,m ,
m n 1,2,,m 线性相关.
1,2,,m 线性无关 m n
20
例2 判断下列向量是否线性相关:
且1 ,2 , s 线性无关
表示法唯一.
25
小结
基本概念： 线性组合、线性相关与线性无关
基本定理：
可以用 1 ,2 ,
线性表示
线性方程组
,n
x11 x22
（1）有解
xnn
表示法唯一
方程组(1)有唯一解
齐次线性方程组
向量组 1 ,2 , ,s 线性相关 x11 x22 xss o
有非零解
n个n维向量
1,2 ,,n 线性相关 Dn 1 2
n 0
26
有m个n维向量 1,2,,m
m n 1,2,,m 线性相关.
无关增维仍无关 部分相关则整体相关
向量组 1 ,2 , s
1 ,2 , 中至s 少有一个
线性相关
向量是其余向量的线性组合
1 ,2 , s 线性无关
1 ,2 , s , 线性相关
例如(1,2,, n)
n维向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
3
n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
T (a1,a2,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如： a1
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定义2.3.2一个向量组 的最大线性无关组所含向量个数，称为向量组的秩，记为 或 。
定理2.3.1向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。
定理2.3.2设向量组 的秩为 ，向量组 的秩为 ，如果向量组 能由向量组 线性表示，则必有 。
推论1等价的向量组有相同的秩。
推论2当 时， 个 维向量组 必线性相关
定理2.3.3给定 维向量组 及向量 ，则有
（1）向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是
（2）向量 能由向量组 唯一线性表示的充分必要条件是
（3）向量 能由向量组 线性表示，但表示法不唯一的充分必要条件是
向量的空间
定义2.4.1设 是 维向量的一个非空集合，如果集合 对于向量的加法和数乘两种运算封闭，即对任意的 ，都有 ，则 称为向量空间。
定义2.4.2设 为一个空间向量，如果 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任一向量 都可由向量组 线性表示
则向量组 称为向量空间 的一个基，该基中包含的向量个数 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间，记为 。
定义2.4.3设 维向量空间 的一个基为 ，向量 在这组在这组基下的线性组合为 。则 称为向量 在基 下的坐标，记为 。
定理2.2.3（替换定理）设有向量组 与向量组 如果满足条件
（1）向量组 线性无关；（2）量组 能由向量组 线性表示；则必有 ，并且 中存在 个向量用 替换后得到的向量组与 等价。
推论2设有向量组 与向量组 ，如果满足条件
（1） ；
（2）向量组 能由向量组 线性表示；
则向量组 必线性相关。
推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等
向量组的线性相关性
定义设向量组 ，如果存在一组不全为零的实数 ，使得等式 成立，那么向量组 称为线性相关的。否则向量组 称为线性无关。如果向量组 线性无关，且上述等式成立，则只有 。
定理2.2.1向量组 线性相关的充分必要条件是向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。
定理2.2.2设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的。
维向量
维向量及其线性运算
定义2.1.1 个有顺序的数 所组成的 元有序数组 称为 维向量。一般用小写希腊字母 表示，即， 。数 称为向量 的分量（或坐标）， 称为 的第 个分量（或坐标）。
定义2.1.2设 ， 都是 维向量，则向量 称为向量 与 的和，记为 ，即有 。用负向量的概念可以定义向量的减法，即有 。
定义2.1.3设向量 ， 为实数，则向量 称为数 与向量 的乘积，简称为数乘，记作 ，即有 。
定义2.1.4给定向量组 和向量 ，如果存在一组实数 ，使 成立，则向量 称为向量组 的一个线性组合，其中 称为这个线性组合的系数，这时也称为向量 能由向量组 线性表示。
定义2.1.5设有两个向量组 及 ，如果 组中每个向量都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示，如果向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
向量组的秩
定义2.3.1设有向量组 ，如果在 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任意向量都能由向量组线性表示
则 称为向量组 的一个最大线性无关组，简称最大无关组。
性质1向量组与它的任一个最大无关组都等价。
性质2向量组的任意两个最大无关组都等价。
性质3一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相等。
定义2.4.4设 是两个空间向量，且 ，则 ，则 称为 的向量子空间，简称钻子空间。
定理2.4.1设向量空间 是空间向量 的子空间，如果 ，则必有 。
定理2.2.4若向量组 线性相关，则再任意添加上 个向量的向量组 也线性相关。
定理2.2.5如果 维向量组 线性无关，则对每个向量再各添上一个分量后，得到的 维向量组 也线性无关。
推论3如果一个 维的向量组线性无关，并对向量组中每个向量的第 分量前（后）再填上任意个 个分量，则这样得到的一个 维向量组也线性无关；反言之，如果得到的 维向量组线性相关，则原来的 维向量组也线性相关。