2020年冀教版九年级数学上学期第25章 图形的相似单元检测卷及答案
冀教版九年级上《第25章图形的相似》单元检测试题(有答案)
2018-2019学年度第一学期冀教版九年级数学上册第25_章_图形的相似_单元检测试题考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足a b =cd，改写成比例式错误的是（ ） A.a c =d b B.c a =b d C.d a =b c D.a b =cd 2.已知△A B C ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3，则下列结论正确的是（ ）A.A B 是A ′B ′的3倍B.A ′B ′是A B 的3倍C.∠A 是∠A ′的3倍D.∠A ′是∠A的3倍 3.下列各组中两个图形不一定相似的是（ ）A.有一个角是35∘的两个等腰三角形B.两个等腰直角三角形C.有一个角是120∘的两个等腰三角形D.两个等边三角形4.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）A.2，5，10，25B.4，7，4，7C.2，12，12，4D. 2， 5，2 5，5 25.如图，在△A B C 中，∠B A C =90∘，A D ⊥B C ，垂足为D ，D E ⊥A B ，垂足为E ，则图中与△A D E 相似的三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46.已知：如图，△A B C 中，A D ⊥B C 于D，下列条件： (1)∠B +∠D A C =90∘；(2)∠B =∠D A C ；(3)C D A D =A C A B ；(4)AB 2=B D ⋅BC ． 其中一定能够判定△A B C是直角三角形的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个7.如图，A D // B E // C F，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C，D，E，F，A BB C=2，D E=6，则E F的值为（）A.4B.6C.9D.128.小明拿1米的竹竿立于地面，测其影长为1.2米，同一时刻测得一棵树在太阳光下的影长为7.2米，则这棵树的高为（）A.7.2米B.8.64米C.6米D.6.48米9.如图，在△A B C中，两条中线B E，C D相交于点O，则S△D O E:S△B C E=()A.1:3B.1:4C.1:6D.2:310.两个相似三角形的对应边分别是15cm和25cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A.75cm，115cmB.60cm，100cmC.85cm，125cmD.45cm，85cm二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.在△A B C和△A1B1C1中，∠A=∠A1，A B A1B1=A CA1C1���可得出△A B C________△A1B1C1，理由是________．12.在比例尺为1:10000的地图上，皖西中学的周长为18cm，则实际周长为________．13.如图，在△A B C中，D E // B C，若A D=3，D B=5，D E=3.3，那么B C=________．14.在太阳光下，同一时刻物体的身高与影长成正比例，已知某同学的身高为1.7m ，影长为2m ，同一时刻该同学测得教学楼的影长为20m ，则该教学楼的实际高度为________m ．15.如图，在梯形A B C D 中A B // C D ，对角线A C 、B D 交于点O ，若C D =2，A B =5，则S △B O C :S △A D C =________．16.如图，D 、E 两点分别在A C 、A B 上，且D E 与B C不平行，请填上一个你认为合适的条件：________，使得△A D E ∽△A B C．17.两个相似多边形对应边的比为1，那么周长的比为________，面积的比为________．18.已知△A D E ∽△A B C ，且相似比为25，若D E =4cm ，则B C的长为________． 19.如图，线段A B 两个端点的坐标分别是A (6, 4)，B (8, 2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段A B 缩小为原来的12后得到线段C D ，则端点C 的坐标为________．20.如图，P 是等腰梯形A B C D 上底A D 上一点，若∠A =∠B P C ，则图中与△A B P相似的所有三角形是________（不再添加其他辅助线）．三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.如图，已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为(3, 1)，(2, −1)．(1)在y 轴的左侧以O 为位似中心作△O A B 的位似△O C D ，使新图与原图的相似比为2:1；(2)分别写出A 、B 的对应点C 、D 的坐标．22.如图，△A D E ∽△A B C ，A D =3cm ，D B =2cm ，D E =2.4cm ，∠A =50∘，∠B =60∘求(1)∠A E D 的大小；(2)求B C 的长度．23.如图，在△A B C 中，已知∠B A C =90∘，A D ⊥B C 于D ，E 是A B 上一点，A F ⊥C E 于F ，A D 交C E 于G 点，(1)求证：A C 2=C E ⋅C F ；(2)若∠B =38∘，求∠C F D的度数．24.如图所示，在距树18米的地面上平放一面镜子E ，人退后到距镜子2.1米的D 处，在镜子里恰巧看见树顶，若人眼C 距地面1.4米．(1)求树高；(2)△A B E 和△C D E是位似图形吗？若是，请指出位似中心；若不是，请说明理由．25.如图，在△A B C 中，A B =8cm ，A C =16cm ，点P 从点B 开始沿B A 边向点A以每秒2cm 的速度移动，点Q 从点A 开始沿A C 边向点C 以每秒4cm 的速度移动．如果P 、Q 分别从B 、A 同时出发，经过几秒钟△A P Q与△A B C相似？试说明理由．的边长A B=3cm，B C=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿A B方向以1cm/s的26.如图，已知矩形A B C D速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿D A方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：相似？若存在，求t的值．是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△A C D答案1.D2.A3.A4.C5.D6.D7.C8.C9.C10.B11.∽两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似12.1800m13.8.814.1715.5:716.∠1=∠B 或∠2=∠C 或A D A B =A EA C17.1:31:918.10cm19.(3, 2)20.△P C B 、△D P C21.解：(1)如图所示：；(2)如图所示：C (−4, 2)，D (−6, −2)．22.解：(1)∵∠A =50∘，∠B =60∘，∴∠C =180∘−∠A −∠B =180∘−50∘−60∘=70∘，∵△A D E ∽△A B C， ∴∠A E D =∠C =70∘；(2)∵△A D E ∽△A B C， ∴D E B C =A DA B ，∵A D =3cm ，D B =2cm ，D E =2.4cm ，∴A B =A D +B D =3+2=5cm ，∴35=2.4B C ，∴B C =4．23.解：(1)∵A D ⊥B C ，∴∠C F A =90∘，∵∠B A C =90∘，∴∠C F A =∠B A C， ∵∠A C F =∠F C A ，∴△C A F ∽△C E A ，∴A C C E =C FC A ，∴C A 2=C E ⋅C F ；(2)∵∠C A B =∠C D A ，∠A C D =∠B C A ， ∴△C A D ∽△C B A ，∴C A C B =C DC A ，∴C A 2=C B ×C D ，同理可得：C A 2=C F ×C E ，∴C D ⋅B C =C F ⋅C E ，∴C F B C =C DC E ，∵∠D C F =∠E C B ，∴△C D F ∽△C E B ，∴∠C F D =∠B ，∵∠B =38∘，∴∠C F D =38∘．24.树高为12米；(2)△A B E 和△C D E不是位似图形．理由如下：∵点E 的对应点为E ，B 点的对应点为D ，A 点的对应点为C ， 而A C 不经过点E ，∴△A B E 和△C D E 不是位似图形．25.解：设经过t 秒两三角形相似，则A P =A B −B P =8−2t ，A Q =4t ，①A P 与A B 是对应边时，∵△A P Q 与△A B C 相似，∴A P A B =A QA C ，即8−2t =4t ，解得t =2，②A P 与A C 是对应边时，∵△A P Q 与△A B C 相似，∴A P A C =A QA B ，即8−2t =4t ，解得t =4，综上所述，经过45或2秒钟，△A P Q 与△A B C 相似．26.存在，t 为2.4；1.5．。
冀教版九年级上册数学第25章 图形的相似 含答案
冀教版九年级上册数学第25章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图所示的测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，叙述错误的是（）A.可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B.只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C.可以利用△ABC∽△ EDB ，来计算旗杆的高 D.需要测量出 AB、 BC和 DB的长，才能计算出旗杆的高2、已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A. =B. =C. =D. =3、在△ABC与△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（）．A.50°；B.60°；C.70°；D.80°．4、如图，点E是正方形的边上的一点，且，延长交的延长线于点F，则和四边形的面积比为（）A. B. C. D.5、勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.如图，点将线段分成两部分，且，如果，那么称点为线段的黄金分割点.若是线段的黄金分割点，，则分割后较短线段长为（）A. B. C. D.6、如图，中，，且AD：：2，则与的面积之比是A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB交AB于点D，若CA=4，则CB的长是（）A.2 +2B. +1C. ﹣1D. 2 ﹣28、若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（）A.9：1B.6：1C.3：1D. ：19、下列数中，能与6，9，10组成比例的数是（）A.1B.74C.5.4D.1.510、如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：1.2，点B的坐标为（﹣3，2），则点E的坐标是（）A.（3.6，2.4）B.（﹣3，2.4）C.（﹣3.6，2）D.（﹣3.6，2.4）11、如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度4的地方（即同时使OA＝4OD，OB＝4OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3，则AB的长是（）A.12B.9C.8D.612、已知=，那么的值为（）A. B. C. D.13、如图，是斜边上的高，，，点是上的动点，以为圆心作半径为的圆，若该圆与重叠部分的面积为，则的最小值为（）A. B. C. D.14、如图，在△ABC中，AC=10，AB=8，直线l分别与AB，AC交于M，N两点，且l∥BC，若S△AMN ：S△ABC=4：9，则AM+AN的长为（）A.10B.12C.14D.1615、如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'。
2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第25章 图形的相似》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第25章图形的相似》单元测试卷一．选择题1．如果4x﹣5y＝0，那么的值是（）A．B．C．D．42．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm4．等边三角形OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知△OAB边长为6，且△OAB 与△OA′B′关点O成位似图形，且位似比为1：2，则点A′的坐标可能是（）A．（﹣6，6）B．（6，6）C．（﹣3，﹣3）D．（6，﹣6）5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中，不能判定DE∥AC的条件是（）A．B．C．D．6．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（）cm．A．16B．16或28C．36D．16或367．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（）A．B．C．﹣1D．﹣18．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．＝B．＝C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB 9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A．2B．C．3D．10．下列说法正确的是（）A．x2＝mx的根为x＝mB．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1C．任意两个菱形都相似D．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积二．填空题11．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，此时点A1的坐标为．12．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是．13．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为．14．如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部10m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6m，则树的高度是．15．如图，平行四边形ABCD中，E为AD延长线上的一点，且BC＝2DE，BE交DC于点F．若CF＝2，则DF的长为．16．已知2x＝5y（且x≠0），则＝．17．已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边长分别为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为9，那么△DEF的周长是．18．已知点P是线段AB上的一点，且AP2＝AB•PB，如果AB＝2，那么AP＝．19．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n与直线l1、l2、l3分别交于点A、D、F，直线n 与直线l1、l2、l3分别交于B，C，E．若＝，则＝．20．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是．三．解答题21．在一张比例尺为1：20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．22．已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，求a+b﹣c的值．23．如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设＝，AD＝12，求线段BD的长．25．20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD（顶点是网格线的交点）和点O，按要求在网格内画出下列图形．（1）以D为旋转中心，将四边形ABCD逆时针旋转90°，得到四边形A1B1C1D1；（2）以O为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，使放大前后的面积之比为1：4，得到四边形A2B2C2D2．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵4x﹣5y＝0，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝；故选：C．2．解：∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，＝＝，所以B选项的结论错误；∴＝＝，所以A选项的结论错误；＝＝，所以C选项的结论正确；＝（）2＝，所以D选项的结论错误．故选：C．3．解：如图所示，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，设屏幕上的图形高是xcm，则＝，解得：x＝21．答：屏幕上图形的高度为21cm，故选：A．4．解：作AC⊥OB于C，∵△OAB为等边三角形，AC⊥OB，∴OC＝OB＝3，∴AC＝＝3，∴点A的坐标为（3，3），∵△OAB与△OA′B′关点O成位似图形，且位似比为1：2，∴点A′的坐标为（3×2，3×2）或（﹣3×2，﹣3×2），即（6，6）或（﹣6，﹣6），故选：B．5．解：A、∵，不能判定DE∥AC，选项符合题意；B、∵，∴DE∥AC，选项不符合题意；C、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；D、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；故选：A．6．解：∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，故选：D．7．解：在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝1，OA＝2，由勾股定理得：OB＝＝，∵BC＝AB，AB＝1，∴BC＝1，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1，即OP＝﹣1，∵OP的中点是D，∴OD＝OP＝×（﹣1）＝，即点D表示的数是，故选：A．8．解：A、根据两边成比例夹角相等，可以证明三角形相似，本选项不符合题意．B、无法判断三角形相似，本选项符合题意．C、根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．D、根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．故选：B．9．解：如图：连接BE，，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．10．解：A、x2＝mx的根为x＝m或x＝0，选项错误，不符合题意；B、若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝﹣1，选项错误，不符合题意；C、角不相等，所以任意两个菱形不一定相似，选项错误．不符合题意；D、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，选项正确，符合题意；故选：D．二．填空题11．解：如图，△A1B1C1为所作；点A1的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．12．解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，∴这两个多边形的面积比是52：22，即这两个多边形的面积比是25：4，故答案为：25：4．13．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为：1：3．故答案为：1：3．14．解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE＝AC：DE，即4：10＝1.6：DE，∴DE＝4m，故答案为：4m．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AE，∴△BCF∽△EDF，∴，∴＝，∴DF＝1，故答案为：1．16．解：∵2x＝5y（且x≠0），∴y＝x，∴＝＝；故答案为：．17．解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：，解得：x＝24，y＝15；∴△ABC和△DEF的相似比为1：3，周长比也是1：3；∵△ABC的周长＝5+7+8＝20，∴△DEF的周长为60，故答案为：60．18．解：设AP＝x，则PB＝2﹣x，由题意，x2＝2（2﹣x），解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃）故答案为：﹣1．19．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∴，故答案为：．20．解：图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△A′B′C′如图所示：S＝×4×2＝4，△A′B′C′故答案为4．三．解答题21．解：地图与该地区的实际图形相似，相似比就是比例尺为1：20，周长的比就是相似比，设实际周长是xcm，则24：x＝1：20，解得：x＝480，面积的比等于相似比的平方，设实际面积是ycm2，则20：y＝（1：20）2，解得y＝8000，答：这个区域的实际周长480cm，面积8000cm2．22．解：由题意设a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+3b﹣2c＝15，∴2k+9k﹣8k＝15，∴k＝5，∴a＝10，b＝15，c＝20，∴a+b﹣c＝10+15﹣20＝5．23．解：如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF＝，∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（×）：（1×）＝．故答案为：．24．证明：（1）∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）∵EF∥AB，∴＝＝，∵DE∥AC，∴＝＝，∵AD＝12，∴＝，∴BD＝6．25．解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，21.6km/h＝21.6×＝6m/s，∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴，∴＝，∴x＝30，∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．26．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；27．解：（1）如图，四边形A1B1C1D1为所作；（2）如图，四边形A2B2C2D2为所作．。
(完整)冀教版数学九年级上册第二十五章图形的相似单元质量检测卷
第二十五章 图形的相似(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(第1~6小题,每小题2分,第7~16小题,每小题3分,共42分) 1.下列四条线段中,不是成比例线段的是 ( )A.a =3,b =6,c =2,d =4B.a =4,b =6,c =5,d =10C.a =1,b =√2,c =√6,d =√3D.a =2,b =√5,c =√15,d =2√32.ΔABC ∽ΔA'B'C',∠A =45°,∠B =100°,则∠C'等于 ( ) A.45° B.100° C.55° D.35°3.若yx =34,则x+y x的值为 ( )A.1B.47 C.54 D.744.在ΔABC 和ΔA 1B 1C 1中,下列四个命题:(1)若AB =A 1B 1,AC =A 1C 1,∠A =∠A 1,则ΔABC ≌ΔA 1B 1C 1;(2)若AB =A 1B 1,AC =A 1C 1,∠B =∠B 1,则ΔABC ≌ΔA 1B 1C 1;(3)若∠A =∠A 1,∠C =∠C 1,则ΔABC ∽ΔA 1B 1C 1;(4)若AC ∶A 1C 1=CB ∶C 1B 1,∠C =∠C 1,则ΔABC ∽ΔA 1B 1C 1.其中是真命题的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个5.ΔABC 与ΔA'B'C'是位似图形,且ΔABC 与ΔA'B'C'的位似比是1∶2,已知ΔABC 的面积是3,则ΔA'B'C'的面积是 ( )A.3B.6C.9D.126.如图所示,在▱ABCD 中,点E 是边AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F ,则EF ∶FC 等于( )A.3∶2B.3∶1C.1∶1D.1∶27.如图所示,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 分别交l 1,l 2,l 3于点A ,B ,C ;直线DF 分别交l 1,l 2,l 3于点D ,E ,F.AC 与DF 相交于点H ,且AH =2,HB =1,BC =5,则DEEF 的值为 ( )A.12B.2C.25D.358.如图所示,ΔABC 中,DE ∥BC ,DE 分别交边AB ,AC 于D ,E 两点,若AD ∶DB =2∶3,则ΔADE 与四边形BCED 的面积比为 ( ) A.2∶3 B.4∶9 C.4∶5 D.4∶219.如图所示,在▱ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE ,BD ,且AE ,BD 交于点F ,S ΔDEF ∶S ΔABF =4∶25,则DE ∶EC 等于 ( ) A.2∶5 B.2∶3 C.3∶5 D.3∶210.如图所示,要使ΔACD ∽ΔBCA ,下列各式中必须成立的是 ( ) A.AC CD =ABBCB.CD AD =BCACC.CD 2=AD ·DB D.AC 2=CD ·CB11.如图所示,ΔABC中,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是()A.ADDB =DEBCB.BFBC=EFADC.AEEC =BFFCD.EFAB=DEBC12.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是()13.如图所示,下列条件不能判定ΔADB∽ΔABC的是()A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD·ACD.ADAB =ABBC(第14题图)14.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()A.√5-12B.√5+12C.√5-1D.√5+115.如图所示,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则BFEF的值是()A.√2-1B.2+√2C.√2+1D.√216.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=6 cm,AC=12 cm,动点D从点A出发到点B停止,动点E从点C出发到点A停止,点D运动的速度为1 cm/s,点E运动的速度为2 cm/s,如果两点同时开始运动,那么以点A,D,E为顶点的三角形与ΔABC相似时的运动时间为()A.3 s或4.8 sB.3 sC.4.5 sD.4.5 s或4.8 s二、填空题(每小题3分,共12分)17.如图所示,在▱ABCD中,E在AB上,CE,BD交于F,若AE∶BE=4∶3,且BF=2,则DF=.18.图所示,在ΔABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则OB=.OD19.为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2 m的标杆,现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,那么树AB的高度为.20.如图所示,在RtΔABC中,AB=BC,∠B=90°,AC=10√2.四边形BDEF是ΔABC的内接正方形(点D,E,F在三角形的边上),则此正方形的面积是.三、解答题(共66分)21.(9分)如图所示,已知在ΔABC与ΔDEF中,∠C=54°,∠A=47°,∠F=54°,∠E=79°.求证ΔABC∽ΔDEF.22.(10分)如图所示,点C,D在线段AB上,ΔPCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,ΔACP∽ΔPDB?(2)当ΔACP∽ΔPDB时,求∠APB的度数.23.(10分)如图所示,在边长均为1的小正方形网格纸中,ΔOAB的顶点O,A,B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.(1)以O为位似中心,将ΔOAB放大,使得放大后的ΔOA1B1与ΔOAB对应线段的比为2∶1,画出ΔOA1B1(所画ΔOA1B1与ΔOAB在原点两侧);(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式.24.(11分)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B. (1)求证AC·CD=CP·BP;(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.25.(12分)小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一幢楼下,发现对面墙上有这幢楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图所示,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这幢楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同,此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2 m,CE=0.8 m,CA=30 m(点A,E,C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7 m,请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m)26.(14分)如图所示,在ΔABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒4 cm的速度向点B运动,同时点Q从C点出发,沿CA方向以每秒3 cm的速度向点A运动,设运动时间为x秒.(1)当x为何值时,BP=CQ?(2)当x为何值时,PQ∥BC?(3)ΔAPQ能否与ΔCQB相似?若能,求出x的值;若不能,请说明理由.【答案与解析】1.B(解析:A选项中,满足ab =cd=12,所以四条线段a,b,c,d是成比例线段;C选项中,满足ad=b c =√3所以四条线段a,d,b,c是成比例线段;D选项中,满足ad=bc=√3所以四条线段a,d,b,c是成比例线段.故选B.)2.D(解析:ΔABC∽ΔA'B'C',则∠A=∠A'=45°,∠B=∠B'=100°,根据三角形的内角和定理得到∠C'=180°-∠A'-∠B'=180°-45°-100°=35°.故选D.)3.D(解析:∵yx =34,∴设y=3k,x=4k,∴x+yx=4k+3k4k=74.故选D.)4.B(解析:(1)若AB=A1B1,AC=A1C1,∠A=∠A1,能用SAS定理判定ΔABC≌ΔA1B1C1,正确;(2)若AB=A1B1,AC=A1C1,∠B=∠B1,不能判定ΔABC≌ΔA1B1C1,错误;(3)若∠A=∠A1,∠C=∠C1,能判定ΔABC∽ΔA1B1C1,正确;(4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1,能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定ΔABC ∽ΔA 1B 1C 1,正确.故选B.)5.D(解析:∵ΔABC 与ΔA'B'C'是位似图形,且ΔABC 与ΔA'B'C'的位似比是1∶2,ΔABC 的面积是3,∴ΔABC 与ΔA'B'C'的面积比为1∶4,则ΔA'B'C'的面积是12.故选D.)6.D(解析:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD BC ,∴ΔDEF ∽ΔBCF ,∴DEBC =EFFC ,∵点E 是边AD 的中点,∴AE =DE =12AD ,∴EF FC =12.故选D.)7.D(解析:∵AH =2,HB =1,∴AB =3,∵l 1∥l 2∥l 3,∴DE EF=AB BC=35.故选D.)8.D(解析:∵在ΔABC 中,DE ∥BC ,AD ∶DB =2∶3,∴ΔABC ∽ΔADE ,AD ∶AB =2∶5,∴ΔADE 与ΔABC 的面积比是(AD AB )2=425,∴ΔADE 与四边形BCED 的面积比为4∶21.故选D.)9.B(解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB CD ,∴∠EAB =∠DEF ,∠AFB =∠DFE ,∴ΔDEF ∽ΔBAF ,∵S ΔDEF ∶S ΔABF =4∶25,∴DE ∶AB =2∶5,∵AB =CD ,∴DE ∶EC =2∶3.故选B.)10.D(解析:∵∠C =∠C ,∴要使ΔACD ∽ΔBCA ,则两边必须满足ACBC =CDAC ,即AC 2=CD ·CB ,故选D.)11.C(解析:∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴四边形DEFB 是平行四边形,∴DE =BF ,BD =EF ,∵DE ∥BC ,∴AD BD =AE EC ,AD AB =AE AC =DE BC =BF BC ,∵EF ∥AB ,∴EF AB =CE AC ,CE AE =CF BF ,∴AE EC =BFFC .故选C.)12.B(解析:设小正方形的边长为1,那么已知三角形的三边长分别为√2,2√2,√10,所以三边之比为1∶2∶√5,A 中三角形的三边长分别为2,√10,3√2,所以三边之比为√2∶√5∶3,故本选项错误;B 中三角形的三边长分别为2,4,2√5,所以三边之比为1∶2∶√5,故本选项正确;C 中三角形的三边长分别为2,3,√13,所以三边之比为2∶3∶√13,故本选项错误;D 中三角形的三边长分别为√5,√13,4,所以三边之比为√5∶√13∶4,故本选项错误.故选B.) 13.D(解析:∵∠ABD =∠ACB ,∠A =∠A ,∴ΔABC ∽ΔADB ,故A 不符合题意;∵∠ADB =∠ABC ,∠A =∠A ,∴ΔABC ∽ΔADB ,故B 不符合题意;∵AB 2=AD ·AC ,∴AC AB =ABAD ,又∠A =∠A ,∴ΔABC ∽ΔADB ,故C 不符合题意;AD AB =ABBC 不能判定ΔADB ∽ΔABC ,故D 符合题意.故选D.)14.C(解析:由题意知∠A =∠DBC =36°,∠C 为公共角,∴ΔABC ∽ΔBDC ,且AD =BD =BC.设BD =x ,则BC =x ,CD =2-x.∵BCDC =ACBC ,∴x2-x =2x ,整理得x 2+2x-4=0,解方程得x =-1±√5,∵x 为正数,∴x =-1+√5.故选C.)15.C(解析:如图所示,作FG ⊥AB 于点G ,∵∠DAB =90°,∴AE ∥FG ,∴BF EF=BG GA,∵AC ⊥BC ,∴∠ACB =90°,又∵BE 是∠ABC 的平分线,∴FG =FC ,∵BF =BF ,∴Rt ΔBGF ≌Rt ΔBCF ,∴CB =GB ,∵AC =BC ,∴∠CBA =45°,∴AB =√2BC ,∴BFEF =BGGA =√2BC -BC =√2+1.故选C.)16.A(解析:有两种情形:①当ΔADE ∽ΔABC 时,AD AE=AB AC,即612=t 12-2t,解得t =3;②当ΔAED ∽ΔABC 时,ADAE =ACAB ,即126=t12-2t ,解得t =4.8.故选A .) 17.143(解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,AB =CD ,∵AE ∶BE =4∶3,∴BE ∶AB =3∶7,∴BE ∶CD =3∶7.∵AB ∥CD ,∴BF ∶DF =BE ∶CD =3∶7,即2∶DF =3∶7,∴DF =143.故填143.)18.2(解析:如图所示,连接ED ,由BD ,CE 分别是边AC ,AB 上的中线可知ED 是ΔABC 的中位线,因此可得ED =12BC ,ED ∥BC ,由ED ∥BC 可证得ΔOED ∽ΔOCB ,因此可得OB OD=BC ED=2.故填2.)19.3 m(解析:如图所示,过E 作EH ⊥AB 于H ,交CD 于G ,则CG =CD-EF =0.2 m,EG =FD =4 m,EH =BF =BD +DF =24 m,易得ΔCEG ∽ΔAEH ,则有CG AH=EG EH ,即0.2AH=424,∴AH =1.2m,∴AB =AH +BH =AH +EF =3 m,即树的高度为3 m .故填3 m .)20.25(解析:∵在Rt ΔABC 中,AB 2+BC 2=AC 2,∵AB =BC ,AC =10√2,∴2AB 2=200,∴AB =BC =10,设EF =x ,则AF =10-x ,∵EF ∥BC ,∴ΔAFE ∽ΔABC ,∴EF BC =AF AB ,即x 10=10-x 10,∴x =5,∴EF =5,∴此正方形的面积为5×5=25.故填25.)21.证明:在ΔABC 中,∠B =180°-∠A-∠C =79°,在ΔDEF 中,∠D =180°-∠E-∠F =47°,在ΔABC 和ΔDEF 中,{∠B =∠E ,∠A =∠D ,∴ΔABC ∽ΔDEF.22.解:(1)当CD 2=AC ·DB 时,ΔACP ∽ΔPDB.理由如下:∵ΔPCD 是等边三角形,∴∠PCD =∠PDC =60°,∴∠ACP =∠PDB =120°,若CD 2=AC ·DB ,由PC =PD =CD 可得PC ·PD =AC ·DB ,即PCBD =AC PD,∴ΔACP ∽ΔPDB. (2)当ΔACP ∽ΔPDB 时,∠APC =∠PBD ,∵∠PDB =120°,∴∠DPB +∠DBP =60°,∴∠APC +∠BPD =60°,∴∠APB =∠CPD +∠APC +∠BPD =120°,即∠APB 的度数为120°.23.解:(1)如图所示,ΔOA 1B 1为所求作的三角形.(2)由(1)可得点A 1,B 1的坐标分别为A 1(4,0),B 1(2,-4),故设线段A 1B 1所在直线的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),∴{0=4k +b ,-4=2k +b ,解得{k =2,b =-8.故线段A 1B 1所在直线的函数关系式为y =2x-8.24.(1)证明:∵AB =AC ,∴∠B =∠C.∵∠APD =∠B ,∴∠APD =∠B =∠C.∵∠APC =∠BAP +∠B ,∠APC =∠APD +∠DPC ,∴∠BAP =∠DPC ,∴ΔABP ∽ΔPCD ,∴BP CD=AB CP,∴AB ·CD =CP ·BP ,∵AB =AC ,∴AC ·CD =CP ·BP. (2)解:∵PD ∥AB ,∴∠APD =∠BAP.由(1)知∠APD =∠C ,∴∠BAP =∠C.∵∠B =∠B ,∴ΔBAP ∽ΔBCA ,∴BA BC=BPBA.∵AB =10,BC =12,∴1012=BP10,∴BP =253.11 / 1125.解:如图所示,过点D 作DG ⊥AB ,分别交AB ,EF 于点G ,H ,则EH =AG =CD =1.2 m,DH =CE =0.8 m,DG =CA =30 m .由EF ∥AB ,易知ΔFHD ∽ΔBGD ,所以FH BG =DH DG .由题意知FH =EF-EH =1.7-1.2=0.5(m).所以0.5BG =0.830,解得BG =18.75m .所以AB =BG +AG =18.75+1.2=19.95≈20.0(m).所以楼高AB 约为20.0 m .26.解:(1)依题意可得BP =(20-4x ) cm,CQ =3x cm .当BP =CQ 时,即20-4x =3x ,解得x =207.答:当x =207秒时,BP =CQ. (2)AP =4x cm,AB =20 cm,AQ =(30-3x ) cm,AC =30 cm,所以当PQ ∥BC 时,有AP AB=AQ AC ,即4x 20=30-3x 30,解得x =103.答:当x =103秒时,PQ ∥BC. (3)能.①当ΔAPQ ∽ΔCQB 时,有AP CQ =AQ CB ,即4x 3x =30-3x 20,解得x =109;②当ΔAPQ ∽ΔCBQ 时,有AP CB =AQ CQ ,即4x 20=30-3x 3x ,解得x =5或x =-10(舍去).答:当x =109秒或x =5秒时,ΔAPQ 与ΔCQB 相似.。
冀教版九年级数学上册第二十五章 图形的相似单元测试题(含答案)
第二十五章 图形的相似一、选择题(每小题4分，共24分)1．已知线段a ＝3 cm ，b ＝12 cm ，若线段c 是a ，b 的比例中项，则c 的值为( ) A ．2 cm B ．4 cm C ．6 cm D ．±6 cm2．如图1，在△ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F ，若AE ∶DF ＝2∶3，则BF ∶BC 的值是( )A.23B.35C.12D.25图1 图23．如图2，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 为CD 边的两个三等分点，连接AF ，BE 交于点G ，则S △EFG ∶S △ABG 的值为( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶1图34．图3是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ＝40 cm ，当点O 沿AD 滑动时，雨伞开闭．若AB ＝3AE ，AD ＝3AO ，此时B ，D 两点间的距离为( ) A ．60 cm B ．80 cm C ．100 cm D ．120 cm5．在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)6．如图4所示，在长为8 cm ，宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2图4二、填空题(每小题4分，共28分)7．已知a b ＝57，则a a ＋b ＝________，aa －b＝________.8．一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 长为20米，一个主持人现在站在A 处，那么他应至少再走____________米才最理想．9．如图5，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝12，△ABC 的面积是48，那么这个正方形的边长是________．图610.如图6，在四边形ABCD 中，DE ∥BC 交AB 于点E ，点F 在AB 上，请你再添加一个条件________________(不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB ∽△ADE . 11．已知四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，AB A 1B 1＝14，BC ＝2 cm ，C 1D 1＝16 cm ，则B 1C 1＝________cm ，CD ＝________cm. 12．如图7，△AOB 三个顶点的坐标分别为A (8，0)，O (0，0)，B (8，－6)，M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为________．图7 图8 .如图8，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3 m 宽的亮区．已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE ＝7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________． 三、解答题(共48分)BD 上，且ABAE ＝BC ED ＝ACAD.14．(10分)如图9，在四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点F ，点E 在(1)∠1与∠2相等吗？为什么？(2)判断△ABE 与△ACD 是否相似，并说明理由．图915．(10分)如图10，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求AC AF的值．图1016．(14分)如图11，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm，他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，则蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？图1117．(14分)猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形．已知在△ABC中，AC＝40，BC＝30，∠C＝90°.(1)如图12①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；(2)如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求出此正方形的边长；(3)如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求出此正方形的边长；(4)猜想：如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，则此正方形的边长是多少？图12答案1．C 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C7.512 －52 8.(30－10 5)9．4.810．答案不唯一，如∠A ＝∠BFC . 11．8 4 12.52或15213．2.4 m14．解：(1)∠1与∠2相等．理由如下： 在△ABC 和△AED 中， ∵AB AE ＝BC ED ＝ACAD，∴△ABC ∽△AED ， ∴∠BAC ＝∠EAD ，∴∠1＝∠2.(2)△ABE 与△ACD 相似．理由如下： 由AB AE ＝AC AD ，得AB AC ＝AE AD . 在△ABE 和△ACD 中， ∵AB AC ＝AEAD，∠1＝∠2， ∴△ABE ∽△ACD .15．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB .∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD ∶AC ＝AC ∶AB ，∴AC 2＝AB ·AD .(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°， ∴CE ＝EB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA . ∵∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠ECA ， ∴CE ∥AD .(3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE ， ∴AD ∶CE ＝AF ∶CF .∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝3.∵AD ＝4，∴43＝AF CF ，∴AC AF ＝74.16. 解：如图，过点作OE ⊥AB ，垂足为E ，延长EO ，交CD 于点F .AB ＝20 cm ，OF ＝15 cm ，CD ＝4 cm.∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ，∴△OAB ∽△ODC ， ∴CD AB ＝OF OE ，即520＝15OE， 解得OE ＝60.答：蜡烛应放在距离纸筒60 cm 的地方．17．解：(1)如图(a)，作CN ⊥AB 分别交GF ，AB 于点M ，N .在Rt △ABC 中，∵AC ＝40，BC ＝30，∠C ＝90°，∴AB ＝50，CN ＝24. 由GF ∥AB ，得△CGF ∽△CAB ，∴CM CN ＝GF AB. 设此正方形的边长为x ，则24－x 24＝x50，解得x ＝60037，即此正方形的边长为60037.(2)作CN ⊥AB 交GF 于点M ，交AB 于点N ，如图(b)． 易证△CGF ∽△CAB ，则CM CN ＝GFAB.设小正方形的边长为x ， 则24－x 24＝2x 50，解得x ＝60049， 即此正方形的边长为60049.(3)如图(c)，作CN ⊥AB 交GF 于点M ，交AB 于点N . ∵GF ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ， ∴CM CN ＝GF AB. 设每个正方形的边长为x ， 则24－x 24＝3x 50，解得x ＝60061. 即此正方形的边长为60061.(4)如图(d)，设每个正方形的边长为x ，同理得到 24－x 24＝nx 50，则x ＝60012n ＋25，即此正方形的边长为60012n ＋25.。
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似单元综合培优提升训练题(附答案详解)
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似单元综合培优提升训练题（附答案详解）1．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 所在位置应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）A ．KB ．HC ．GD ．F2．如图，△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，且顶点的坐标分别是A （5，2），B （4，3），C （3，3），A '（8，3），B '（6，5），C '（4，5），则位似中心的坐标是（ ）A ．(2，1)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，1)3．如图，已知////AB CD EF ，:1:2BD DF =，那么下列结论正确的是（ ）．A ．:1:3AC AE =B ．:1:3CE EA =C ．:1:2CD EF =D ．:1:2AB CD =4．如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AD ，AC 与EB 分别交于点M ，N ，则下列结论正确的是（ ）A ．EM ：AE=2：B ．MN ：EM=：C ．AM ：MN=：D ．MN ：DC=：25．下列各组线段的长度成比例的是（ ）A ．6cm 、2cm 、1cm 、4cmB ．4cm 、5cm 、6cm 、7cmC ．3cm 、4cm 、5cm 、6cmD ．6cm 、3cm 、8cm 、4cm6．如图，在△ABC 中，∠A=90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB=CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A ．25B ．5C ．45D ．107．已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上， 则球拍击球的高度h 应为 ( )A ．0.9mB ．1.8mC ．2.7mD ．6m8．如图，在▱ABCD 中，AB ＝1，AC ＝42，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ．若AC ⊥AB ，则FD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69．如图，AD DF FB ==，////DE FG BC ，且把三角形ABC 分成面积为1S ，2S ，3S 三部分，则123::S S S =（ ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．1:3:5D ．无法确定10．如图，矩形ABCD ，AB 8=，AD 14=，点M ，N 分别为边AD 和边BC 上的两点，且MN //AB ，点E 是点A 关于MN 所在的直线的对称点，取CD 的中点F ，连接EF ，NF ，分别将EDF 沿着EF 所在的直线折叠，将CNF 沿着NF 所在的直线折叠，点D 和点C 恰好重合于EN 上的点G.以下结论中：EF NF ⊥①；MNE CNE ②∠∠=；MNE ③∽DEF ；④四边形MNCD 是正方形；AM 5.=⑤其中正确的结论是( )A ．①②B ．①④C ．①③⑤D ．①④⑤11．如图，在ABC 中， 10AB AC cm ==， F 为AB 上一点，2AF =，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2/cm s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以1/cm s 的速度匀速运动，设运动时间为05()()t s t <<，连接DE 交CF 于点G ，若2CG FG =，则t 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．412．已知3x=5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．3x =5yB ．5x =3y C ．x y =35D ．3x =5y 13．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的动点，且DE∥BC，当DE 把△ABC 的面积分成1：3的两部分时，DEBC的值为______.14．现有一个测试距离为5m 的视力表，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m 的视力表，则图中的21b b = ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4．点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，BQ 的长度为_____．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2，当AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．17．如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，AC 、BD 相交于点O ，如果,162cm S AOB =三角形COB DOC COD S S cm S 三角形三角形三角形：则,92==____________18．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，若△ADE 的面积为1，则△ABC 的面积等于______．OA BD C19．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，若△AEF ∽△ABC ，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）20．已知线段MN 的长为2厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长是________厘米．21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A(10，0),C(0，4),点P 是边OA 上一点，若△OPC 与△ABP 相似，则满足条件的点P 有____________________ (用坐标表示)22．如图，菱形ABCD 的边AD 在x 轴上，顶点(0,2)C ，点B 在第一象限.将COD ∆沿y 轴翻折，点D 落在x 轴上的D 处，CD '交AB 于点E ，且:3:5AE BE =.若(0)ky k x=≠图象经过点B ，则k 的值为__________.23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D边BC上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，CD的长为_____．24．△ABC中边AB上有一点D，如果AC2＝AD•AB，∠A＝65°，∠B＝40°，则∠BCD ＝_____．25．如图，已知直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．①求证：△PBC∽△MPA．②是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∠CFE=∠AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.27．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90，点D 在BC 延长线上，连接AD ，过B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接CE .（1）求证： CF =CD ；（2）求证：DA DE DB DC ⋅=⋅；（3）探究线段AE ，BE ，CE 之间满足的等量关系，并说明理由.28．如图,方形ABCD 的AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，DF 切半圆于点E ，交AB 的延长线于点F ，BF=4． (1)求：cos ∠F 的值； (2)BE 的长．29．在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；（2）如图2，当5AB =，且10AF FD ⋅=时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，求ABBC出的值．30．如图，以点O 为位似中心，在网格内将△ABC 放大2倍得到△A′B′C′，若A 点坐标为（﹣1，1）．请写出A′点的坐标．31．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，点C 、E 是⊙O 上的两点，CE=CB ，BCD CAE ∠=∠，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE=CF (3)若BD=1,2CD =,求直径AB 的长.32．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，联结AE ，作BF AE ⊥，垂足为H ，交CD 于点F ，作CG AE ∥，交BF 于点G ．求证：（1）CG BH =； （2）2FC BF GF =⋅；（3）22FC GF AB GB=． 33．将一副三角板与（其中，，，）如图摆放，中所对直角边与斜边恰好重合．以为直径的圆经过点，且与交于点，分别连接，．（1）求证：平分；（2）求的值．34．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点A 出发沿AB 边想向点B 以2/cm s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4/cm s 的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后PBQ和ABC相似？35．如图，在△ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，连接AD交线段PQ于点E，且CP QECD BD，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．参考答案1．B【解析】试题分析：根据题意得：AB=4，AC=6，DE=2，则DM=3，即点M所在的位置就是点H所在的位置.考点：三角形相似的判定.2．A【解析】【分析】根据位似中心的概念结合图形画图即可得到结论．【详解】根据位似变换的性质和图形可知，位似中心坐标是（2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．3．A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，∴AC：CE=1：3，CE：EA=2：3．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．D【解析】试题分析：∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE=AE=AB，∠AED=∠EAB=108°，∴∠ADE=∠AEM=36°，∴△AME∽△AED，∴，∴AE2=AD•AM，∵AE=DE=DM，∴DM2=AD•AM，设AE=DE=DM=2，∴22=AM（AM+2），∴AM=﹣1，（负值设去），∴EM=BN=AM=﹣1，AD=+1，∵BE=AD，∴MN=BE﹣ME﹣BN=3﹣，∴MN：CD=：2，故选D．考点：正多边形和圆．5．D【解析】试题解析：A.6×1≠2×4，故本选项错误；B.4×7≠5×6，故本选项错误；C.3×6≠4×5，故本选项错误；D.6×4=3×8，故本选项正确；故选D ．点睛：判断成比例线段，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．6．A【解析】【分析】利用D 为AB 的中点，DE//BC ，证明DE 是中位线，求得ADE ∆的面积，利用相似三角形的性质求解ABC ∆的面积，由勾股定理可得答案．【详解】解：//,DE BC D 是AB 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，1,,,ADE DEF S S ADE ABC AE CE ∆∆∴==∆∆=∽21(),4ADE ABC S AD S AB ∆∆∴== 4,ABC S ∆∴=,AB CE =2,AC AB ∴=90,A ∠=︒14,2AB AC ∴•= 124,2AB AB ∴•= 0,AB ＞2,4,AB AC ∴==BC ∴=故选A ．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．C【解析】【分析】发现图形中的相似三角形，并利用相似三角形的性质定理解题【详解】 很容易可以发现图中的两个直角三角形相似，由性质定理得直角边对应成比例，即h 0.91055=+，解得h=2.7m ，故答案选C. 【点睛】熟练掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键.8．C【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出△ADF ∽△EBF ，得出BE AD =BF DF ，再根据勾股定理求出BO 的长，进而得出答案．【详解】解：∵在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∴BO=DO,AO=OC,AD ∥BC ，∴△ADF ∽△EBF ， ∴BE AD =BF DF，∵，∴，∵AB=1，AC ⊥AB ，∴，∴BD=6，∵E 是BC 的中点，∴BEAD=BFDF=12，∴BF=2， FD=4.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.9．C【解析】【分析】首先根据已知的平行线段，可判定△ADE∽△AFG∽△ABC，进而可由它们的相似比求得面积比，从而得到S1、S2、S3的比例关系．【详解】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=AD2：（2AD）2：（3AD）2=1：4：9；设S△ADE=1，则S△AFG=4，S△ABC=9，∴S1=S△ADE=1，S2=S△AFG-S△ADE=3，S3=S△ABC-S△AFG=5，即S1：S2：S3=1：3：5.故选C．【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．B【解析】【分析】由折叠的性质得到∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，根据平角的定义得到EF⊥NF；故①正确；连接AN，根据轴对称的性质得到∠ANM＝∠ENM，推出∠MNE≠∠CNE；故②错误；根据余角的性质得到∠DFE≠∠NEM，推出△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，根据相似三角形的性质得到CN＝8，推出四边形MNCD是正方形；故④正确；根据线段的和差得到AM＝6，故⑤错误．【详解】∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，∴∠GFN+∠CFN＝90°，∴∠NFE＝90°，∴EF⊥NF；故①正确；连接AN，∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点，∴∠ANM＝∠ENM，∴∠ANB＝∠CNE，而四边形ABNM不是正方形，∴∠ANB≠∠ANM，∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，∴∠DFE≠∠NEM，∴△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，∴BN＝AM＝14-x2，∴CN＝14﹣BN＝14+x2，∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠CFN，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DEF∽△CFN，∴DF DE CN CF，∵F是CD的在中点，∴CF＝DF＝4，∴4x14x42=+，∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去），∴DE＝2，CN＝8，∴CD＝CN，∴四边形MNCD是正方形；故④正确；∵CN＝DM＝8，∴AM＝6，故⑤错误，故选B．【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，正方形的判定，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．B【解析】【分析】过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则DF=10-2-t=8-t，证明△DFG∽△HCG，可求出CH，再证明△ADE∽△CHE，由比例线段可求出t的值．【详解】解：过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则BD=t，AE=2t，DF=10-2-t=8-t，∵DF∥CH，∴△DFG∽△HCG，∴1==2DF FGCH CG，∴CH=2DF=16-2t ，同理△ADE ∽△CHE ， ∴=AD AE CH CE， ∴102=162102t t t t ---， 解得t=2，t=253（舍去）． 故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．B【解析】【分析】直接利用比例的性质得出x ，y 之间关系进而得出答案．【详解】A. 由53x y =得15xy =，故本选项错误； B. 由53x y =得35x y =，故本选项正确； C. 由35x y =得53x y =，故本选项错误； D. 由35x y =得53x y =，故本选项错误. 故选B.【点睛】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．13．12【解析】【分析】由已知中△ABC 中,DE ∥BC,根据相似三角形判定的引理可得△ADE~△ABC, 又由DE 把△ABC 的面积分成1：3的两部分时,可得ADE S : ABC S =1: 4或ADE S : ABC S =3: 4, 根据相似三角形面积之比等于相似比的平方, 可得答案. 【详解】 解：由题意得：在△ABC 中,DE∥BC ，可得△ADE~△ABC ，DE 把△ABC 的面积分成1：3的两部分，∴ADE S: ABC S =1: 4或ADE S : ABC S =3: 4， 可得DE BC =12或DE BC =32, 故答案为:12或3. 【点睛】 本题考查的知识点是相似三角形的性质, 熟练掌握相似三角形中对应线之比等于相似比, 对应面积之比等于相似比的平面是解答本题的关键.14．35【解析】试题解析：如图，依题意得△OAB ∽△OCD∴AB OB CD OD= ∴2135b b =．考点：相似三角形的应用．15．2013【解析】【分析】根据勾股定理求出AC ，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD ＝∠BDQ ，得到QB ＝QD ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，∴AC 3，∵PQ ∥AB ，∴∠ABD ＝∠BDQ ，又∠ABD ＝∠QBD ，∴∠QBD ＝∠BDQ ，∴QB ＝QD ，∴QP ＝2QB ，∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ， ∴CQ PQ CB AB=， ∴4245BQ BQ -=， 解得，BQ ＝2013． 故答案为：2013． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．3或【解析】试题分析：根据Rt △ACD 的勾股定理可得：AD:AC=AC:AB 时，则AB=3，当CD ：AC=AC ：AB ，则考点：三角形相似的判定．17．3:4【解析】试题分析：由AB//DC 可得△COD ∽△AOB ，由,162cm S AOB =三角形29cm S COD =三角形可得DO 与BO 的比，再根据三角形DOC 与三角形COB 的高相等即可得到结果.∵AB//DC∴△COD ∽△AOB∵,162cm S AOB =三角形29cm S COD =三角形∴DO:BO=3:4∴:COD S 三角形.4:3=COB S 三角形考点：相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式点评：相似三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意. 18．4【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得DE ∥BC ，DE=12BC ，从而证出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：∵D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=12BC ∴△ADE ∽△ABC ∴214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ∵△ADE 的面积为1∴△ABC 的面积为4故答案为：4．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．19．EF∥BC【解析】【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【详解】当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为：EF∥BC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．20．)1【解析】【分析】较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是（2-x）cm．根据黄金分割的定义即可列方程求解．【详解】较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(2−x)cm.则x2=2(2−x)，解得x=)1或1(舍去).故较长的线段MP的长是)1厘米.【点睛】本题考查的是黄金比例，解题的关键清楚黄金比例概念.21．（2，0），（5，0），（8，0）.【解析】试题分析：设P（x,0）则OP=x，AP=10-x.若△OCP∽△APB时，由对应边成比例可求出x的值；若△OCP∽△ABP时，由对应边成比例可求出x的值.试题解析：设P（x,0）则OP=x，AP=10-x.若△OCP∽△APB时，则OC PA OP AB=即：4104x x-=解得：12x =，28x =.若△OCP ∽△ABP 时，则OC OP AB AP= 即：4410x x=- 解得：x=5所以点P 的坐标分别为（2，0），（5，0），（8，，0）.考点: 相似三角形的性质.22．203【解析】【分析】 由菱形ABCD 的性质，结合:3:5AE BE =，设3,AD m '=利用三角形相似的性质表示菱形的边长，结合对折的性质表示OD ，利用勾股定理求解m 的值，过B 作BG AD ⊥于G ，求解矩形矩形GBCO 的面积即可得到答案．【详解】解： 菱形,ABCD,//,AD AB CD BC AD BC ∴===,AD E BCE '∴∆∆∽:3:5AE BE =3,5AE AD BE BC '∴== 设3,AD m '= 则5,BC CD AD m ===8,DD m '∴= 由对折可得：14,2OD OD DD m ''=== ()0,2,C由勾股定理得：()()222542,m m =+2,3m ∴= （负根舍去）， 过B 作BG AD ⊥于G ，菱形,ABCD 90,AOC ∠=︒90,BCO ∴∠=︒∴ 四边形GBCO 为矩形，∴矩形GBCO 的面积22052,33=⨯⨯= 200,.3k k ∴=＞ 故答案为：20.3【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，反比例函数系数k 的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．23．3或247. 【解析】【分析】依据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB ＝90°或∠BDE ＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长．【详解】分两种情况：①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3；②若∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，∴△AEF∽△EBD，∴AFED＝EFBD，设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，∴6xx-＝8xx-，解得x＝247，∴CD＝247，综上所述，CD的长为3或24 7.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论. 24．35°【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理和性质即可求出答案．【详解】∵∠A＝65°，∠B＝40°，∴∠BCA＝180°﹣40°﹣65°＝75°，∵AC2＝AD•AB，∴AC AB AD AC又∠A＝∠A，∴△ADC∽△ABC，∴∠ACD＝∠B＝40°，∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝75°﹣40°＝35°，故答案为：35°【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．25．（1）C（-4，0）；（2）①证明见解析，②存在．使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【解析】【分析】（1）根据B点坐标求得直线解析式，再求得A点坐标，然后根据A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC=BA，则∠BCP=∠MAP，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC，从而证得两个三角形相似；②首先求得B的坐标，当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标；当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．【详解】（1）解：∵直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），∴b=3，∴直线的解析式为y=-34x+3，令y=0，得到x=4，∴A（4，0），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（-4，0）；（2）①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∴∠PMA=∠BPC，又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，∴∠BCP=∠MAP，∴△PBC∽△MPA；②解：存在．由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，∴POBO=BOAO，即PO3=34，∴PO=94，即：P1（-94，0）．当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°，∴∠PAM+∠MPA=90°，∵∠BPM=∠BAC，∴∠BPM+∠APM=90°，∴BP⊥AC．∵过点B只有一条直线与AC垂直，∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【点睛】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26．解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则：解得∴此抛物线的解析式为（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.∵抛物线的解析式可变形为∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.设直线AC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为当x=4时，∴点E的坐标为（4，4），∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）设直线FC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.当y=6时，则有解得x=8.∴AM=8,MN=AM—MN=4∴AN=MN∵FN⊥AM∴∠ANF=∠MNF又NF=NF∴△ANF≌△MNF∴∠CFE=∠AFE（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）∴∵又A的坐标为（0，6），则，又DF=6，若△AFP∽△DEF∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，又由（2）可知∠DFC=∠AFE∴∠PAF=∠DFC若△AFP1∽△FCD则,即,解得P1A=8.∴O P1=8－6=2∴P1的坐标为（0，－2）若△AFP2∽△FDC则,即,解得P2A=.∴O P2=－6=.∴P2的坐标为（0，－）所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.【解析】解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则：……………………………………1分解得…………………………………2分∴此抛物线的解析式为……………3分（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.∵抛物线的解析式可变形为∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.设直线AC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为…………………………………4分当x=4时，∴点E的坐标为（4，4），∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）设直线FC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为………………………………5分∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.当y=6时，则有解得x=8.∴AM=8,MN=AM—MN=4∴AN=MN∵FN⊥AM∴∠ANF=∠MNF又NF=NF∴△ANF≌△MNF∴∠CFE=∠AFE……………………………………………………6分（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）∴∵又A的坐标为（0，6），则，…………………7分又DF=6，若△AFP∽△DEF∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，又由（2）可知∠DFC=∠AFE∴∠PAF=∠DFC若△AFP1∽△FCD则,即,解得P1A=8.∴O P1=8－6=2∴P1的坐标为（0，－2）…………………………………………………8分若△AFP2∽△FDC则,即,解得P2A=.∴O P2=－6=.∴P2的坐标为（0，－）………………………………………………9分所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.27．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）AE，BE，CE之间满足的等量关系BE AE2CE-=【解析】试题分析：（1）由垂直的定义得到∠ACB=90°，根据全等三角形的判定定理ASA可证明△BCF≌△ACD，然后根据全等三角形的性质可证明；（2）根据相似三角形的判定证得△BED∽△ACD，然后根据相似三角形的性质可证明；（3）在BE上截取BG=AE，连接CG，然后根据三角形全等的判定可证明△GCE是等腰直角三角形，由此可得到结果.试题解析：（1）证明：∵∠BCA=∠ACD = 90°∴∠FBC+∠D=∠CAD +∠D = 90°∴∠FBC =∠CAD∵AC=BC∴△BCF≌△ACD（ASA）∴CF=CD（2）证明：∵∠FBC =∠CAD∠D=∠D∴△BED∽△ACD∴BD：AD=ED：CD⋅=⋅∴DA DE DB DC（3）AE，BE，CE之间满足的等量关系BE AE2CE-=理由：在BE上截取BG=AE，连接CG，∵∠FBC =∠CAD BC=AC∴△BCG≌△ACE∴GC=EC 且∠BCG=∠ACE∴∠GCE=∠ACD= 90°∴△GCE为等腰直角三角形∴GC2CE∴BE AE GE2CE-==点睛：此题主要考查三角形的相关性质，解题时灵活应用三角形全等的判定与性质和相似三角形的判定与性质，即可证明，然后结合等腰直角三角形的性质即可得到结论.28．（1）45；（2）125【解析】【分析】（1）解答此题的关键是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根据此数值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F．（2）由△BEF∽△EAF，和设BE=k，则AE=2k，即可求得BE．【详解】解：(1)连结OE.∵DF切半圆于E，∴∠OEF=90°，在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAF=90°，∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F为公共角，∴△OEF∽△DAF.∴12 EF OE OEAF DA AB===即AF=2EF.∵DF切半圆O于E，∴EF2=FB·FA=BF·2EF，∴EF=2BF=8，AF=2EF=16.∴AB=AF－BF=12，FO=AB+BF=×12+4=10.在Rt△OEF中，cos∠F=84105 EFFO==(2)连结AE，∵DF切半圆于E，∴∠EAF=∠BEF.∵∠F=∠F，∴△BEF∽△EAF.∴.81162 BE EFEA AF===设BE=k(k＞0)，则AE=2k，∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB=90°. 在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，（2k）2+k2=122,∴125.【点睛】此题涉及的知识点较多，由相似形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，综合性较强．29．（1）15°；（2）；（3）35【解析】【分析】 （1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到30AFB ∠=︒，再由折叠的性质可得到15CBE ∠=°；（2）由三等角证得FAB EDF ∆∆∽，从而得2DE =，3EF CE ==，再由勾股定理求出DE ，则BC AD ==（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，可证得NFG BFA ∆∆∽．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴90A ∠=︒，//AD BC由折叠的性质可知BF=BC=2AB ，12CBE CBF ∠=∠， ∴30AFB ∠=︒，∴30FBC AFB ∠=∠=°，∴15CBE ∠=°（2）由题意可得90A D ∠=∠=︒， 90AFB DFE ∠+∠=︒，90FED DFE ∠+∠=°∴AFB DEF ∠=∠∴FAB EDF ∆∆∽ ∴AF AB DE DF=， ∴1025AF DF DE AB === ∴3EF CE ==，由勾股定理得DF =，∴AF ==∴35BC AD AF FD ==+=； （3）过点N 作NG BF ⊥于点G ．∴90NGF A ∠=∠=°又∵BFA NFG ∠=∠∴NFG BFA ∆∆∽．∴NG FG NF AB FA BF==． ∵NF AN FD =+，即111222NF AD BC BF === ∴12NG FG NF AB FA BF ===， 又∵BM 平分ABF ∠，90NG BF A ⊥∠=︒，，∴NG=AN ，∴12NG AN AB ==， ∴111222FG BF BG BC AB FA AN NF AB BC --===++ 整理得：35AB BC =．【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．30．（2，﹣2）【解析】【分析】根据A 点坐标确定直角坐标系，然后在网格内作出位似图形，进而可得A′点的坐标.【详解】解：如图，在网格内将△ABC放大2倍得到△A′B′C′，则A′点的坐标为（2，－2）.【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确作出位似图形是解题关键．31．（1）见解析；（2）见解析；（3）1【解析】【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD＋∠ABC＝90°，可得出∠OCD＝90°，即结论得证；（2）证明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，再求出AB长即可.【详解】（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ABC＝90°，∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＋∠BCD＝90°，∴∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB＝CF，又∵CB＝CE，∴CE＝CF；（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△DCB∽△DAC，∴CD AD AC BD CD BC==，∴1=∴DA＝2，∴AB＝AD−BD＝2−1＝1，【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．32．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，再利用同角的余角相等求出∠BAH=∠CBG，再利用“角角边”证明△ABH和△BCG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=BH；（2）利用两组角对应相等，两三角形相似求出△BCF和△CGF相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证． （3）易证△BGC ∽△BFC ，可推出2BC BG BF =⋅，再用等量代换得到2AB BG BF =⋅，结合（2）的结论即可得证.【详解】（1）∵BF AE ⊥，CG AE ∥，∴CG BF ⊥．∴90∠+∠=︒CBG BCG∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC=90°，∴90∠+∠=︒CBG ABH ，∴BAH CBG ∠=∠，在ABH 和BCG 中，∵90∠=∠=AHB BGC ，BAH CBG ∠=∠，AB BC =.∴ABH ≌BCG （AAS ），∴CG BH =.（2）∵BFC CFG ∠=∠，90BCF CGF ∠=∠=︒，∴BCF ∽CGF △，∴FC GF BF FC=，即2FC BF GF =⋅， （3）∵∠BGC=∠BCF=90°，∠CBG=∠FBC ，∴△BGC ∽△BFC∴BG BC BC BF=即2BC BG BF =⋅， ∵AB BC =，∴2AB BG BF =⋅．∴22⋅==⋅FC GF BF GF AB BG BF BG. 【点睛】本题考查正方形中的相似三角形，利用正方形的性质得到相似的条件是解决本题的关键. 33．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出，进而求出．试题解析：（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）如图，设AB与CE交于点M．∵EC平分∠AEB，∴．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，∴∠BAD=30°，∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，∴tan∠BAE=，∴AE=BE，∴=．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴，∴．考点：相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义.34．经过0.8秒或2秒后PBQ 和ABC 相似．【解析】【分析】设经过x 秒后PBQ 和ABC 相似．2AP xcm =，4BQ xcm =，分两种情况：①BP 与BC 边是对应边，②BP 与AB 边是对应边进行讨论即可.【详解】解：设经过x 秒后PBQ 和ABC 相似．则2AP xcm =，4BQ xcm =，∵8AB cm =，16BC cm =，∴()82BP x cm =-，①BP 与BC 边是对应边，则BP BQ BC AB =， 即824168x x -=， 解得0.8x =， ②BP 与AB 边是对应边，则BP BQ AB BC =， 即824816x x -=， 解得2x =．综上所述，经过0.8秒或2秒后PBQ 和ABC 相似．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.35．(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得出,QE AE PE AE BD AD CD AD ，等量代换得到PE QE CD BD ，推出CPPE CD CD，于是得出结论； （2）根据平行线的性质得到∠PFC ＝∠FCG ，根据角平分线的性质得到∠PCF ＝∠FCG ，等量代换得到∠PFC ＝∠FCG ，根据等腰三角形的性质得到PF=PC ，得到PF=PE ，由已知条件得到AP=CP ，推出四边形AECF 是平行四边形，再证得∠ECF ＝90°，于是得出结论.【详解】（1）证明：∵PQ ∥BC ，∴△AQE ∽△ABD ，△AEP ∽△ADC ， ∴,QE AE PE AE BD AD CD AD ， ∴PE QE CD BD ， ∵CP QE CD BD ， ∴CP PE CD CD ， ∴PC ＝PE ；（2）∵PF ∥DG ，∴∠PFC ＝∠FCG ，∵CF 平分∠PCG ，∴∠PCF ＝∠FCG ，∴∠PFC ＝∠FCG ，∴PF ＝PC ，∴PF ＝PE ，∵P 是边AC 的中点，∴AP ＝CP ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵PQ ∥CD ，∴∠PEC ＝∠DCE ，∴∠PCE ＝∠DCE ，∴1()902PCE PCF PCD PCG，∴∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质以及矩形的判定，还涉及了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定等知识点，属于综合题，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键.。
【易错题】冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》单元检测试卷附答案解析.doc
【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第25章图形的相似 单元检测试卷1•已知一棵树的影t 是30m,同一时刻一根t<1.5m 的标杆的影长为3m,则这棵树的高度是（CD 2•如图，△ ABC 中，AD 丄BC 于D , 下列条件：® ZB+ZDAC=90°；②ZB 二ZDAC ；③ ——3•线段MN 长为1cm,点P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长是（5.如图，Ii 〃l2〃b ，其中h 与12、12与b 间的距离相等，则下列结论：①B82DE ；②厶ADE^AABC ；③箔= 工・其中正确的有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个6•如图，小东用长为2.4m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此吋，竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为（） 一、单选题 （共10题；共30分）A. 15mB. 60mC. 20mAC ~AB （4）AB 2=BD*BC ・其中一定能够判定AABC 是直角三角形的有（A. 1B. 2C. 3A.Q 2 c.逻zl 或上逻 2 2D ・不能确定 4•如图,五边形ABCDE 与五边形A8UDE 是位似图形，O 为位似中心, OD = | OD\ 则 A® : AB 为()B. 3 ： 2C. 1 ： 2D. 2 ：1A. 10mB. 9mC. 8mD. 7mA. 75cm, 115cmB. 60cm, 100cm C・ 85cm, 125cm D. 45cm, 85cm7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是（）8•如图，DE 是ZkABC 的屮位线，M 是DE 的屮点，CM 的延长线交AB 于点N,则NM : MC 等于（）9•如图，在△ABC 中，点D 、E 分另I 」在4B 、AC 上，DE//BC,若AD = 4, DB = 2,则芥的值为（ ）10. （2017・贵港）如图，在正方形ABCD 中，0是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与 B, C 重合），CN 丄DM, CN 与AB 交于点N,连接OM, ON, MN.下列五个结论：①△ CNB£Z\DMC ；②ZkCON 今△DOM ；（3）A OMN^AOAD ；④AN 2+CM 2=MN 2；⑤若 AB=2,贝lj S A OMN 的最小值是-，其中正 2 确结论的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共10题；共33分）11 •如图，在厶ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 〃BC, AD = 10, BD = 5, AE = 6,则CE 的长为 ________12. ____________________________________________________________________________________________________ 在某天的同一时刻，高为1.5m 的小明的影长为，烟囱的影长为20m ，则这座烟囱的高为 ____________________ m .13. 如图，在2XABC 中，DE 〃BC,—=-，则空二AB 3 BC14. 为了测暈校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时 刻，测得身高l ・6m 的小明在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m,则此树的高度 是 m.A. 1 ： 2B. 1 ： 3C. 1 ： 4D. 1 ： 5D. 2A415.如图，在RtA ABC 中，AB=BC, ZB=90°, AC=10V2.四边形BDEF 是厶ABC 的内接正方形（点D 、E 、F 在三角形的边上）.则此正方形的面积是 ____________ ・16. _______________________________________________________________________________________ —个三角形的各边长扩大为原來的9倍，这个三角形的面枳也扩大为原來的9倍. __________________________ （判断对错）17. 如图，将AABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到AEBD,点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上，边DE 交边AB 于点F, A BDC^AABC.己知BC= V10 , AC=5,那么△ DBF 的面积等于 __________________ .如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO 的边OC 、OA,分别在x 轴、丫轴上，点E 在边BC 上,将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处,若028, CF=4,则点E 的坐标 ________________ •19.正方形CEDF 的顶点D 、E 、F 分别在△ ABC 的边AB 、BC 、AC ±.（1）如图，若tanB=2,贝畔的值为 __________则tanB 的值为 _________20.如图，在四边形 ABCD 屮，AD 〃BC, ZBCD=90°, ZABC=45°, AD=CD, CE 平分ZACB 交 AB 于点 E,在 BC 上截収BF 二AE,连接AF 交CE 于点G,连接DG 交AC 于点H,过点A 作AN 丄BC,垂足为N, AN 交CE 于点M.则下列结论：①CM 二AF ； ②CE 丄AF ； ABF^ADAH ； ④GD 平分ZAGC,其中正确的序号是 _______ •21. 如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC 边上的高AH=80米.某单位要沿着边BC 修一座 底面是矩形DEFG 的大楼，D 、G 分别在边AB 、AC ±,若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积.22. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ,在近岸取点Q 和S ,使点P 、Q 、 S共线且直线三、解答题（共7题; 共57分）B E H F C（2）将AABC 绕点D 旋转得到△A8U,连接BB ，、CC.若沿=普PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R .如果测得QS=45m , ST=90m , QR=60m ,求河的宽度PQ •匚--------- \ ----- a23.如图，在正三角形ABC中，D, E分别在AC, AB ±,且鈴=扌24.已A ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上.(1) 如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形FFPN，,且使正方形EFPN的而积最大(不谢画法，但要保留画图痕迹)；(2) 若正三角形ABC的边长为3+2^3 ，则(1)中画出的正方形E卡PN，的边长.AE=EB.求证：A AED<^ACBD.25.如图，设ABCD 是正方形，P 是CD 边的屮点，点Q 在BC 边上，且DAPQ=90°, AQ 与BP 相交于点T,则 豊的值为多少?26.如图，已知在AABC 中，DE/7BC, EF 〃AB, AE=2CE, AB=6, BC=9.求:(1) 求BF 和BD 的长度.(2) 四边形BDEF 的周长.27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形 零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB, AC 上.(2) 如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1,此时， 这个矩形零件的两条边长又分別为多少？请你计算.(3) 如果原题屮所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这 个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?D答案解析部分一、 单选题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】D5. 【答案】A6. 【答案】B7. 【答案】A8. 【答案】B9. 【答案】B10. 【答案】D二、 填空题11. 【答案】312. 【答案】3013. 【答案】|14. 【答案】4.815. 【答案】2516. 【答案】x17. 【答案】聲1618. 【答案】(-10, 3)19. 【答案】；3 420. 【答案】①②③④三、 解答题21. 【答案】解答：由己知得，DG 〃BCA AADG^AABC ,VAH1BC・・・AH 丄DG 于点 M,且 AM=AH-MH=80-40=40 (m) 3 AMxBC / 、 ---------------- =50 (m), AH・・ S 矩形 DEFG 二DE X DG=2000 (m?).22. 【答案】解答：根据题意得出：QR 〃ST , 则厶 PQR^APST ,DG~BC~即DG =故PQ QRPQ + QS 一ST 'V QS=45m, ST=90m, QR=60m,.PQ 60** PO + 45 = 90 J解得：PQ=90 (m),・•・河的宽度为90米.23. 【答案】证明：•「△ABC为正三角形，ZA=ZC=60°, BC=AB,VAE=BE,ACB=2AE,..AD 1・花=亍・・.CD=2AD,.AD AE 1..—=—=-,CD CB 2而ZA=ZC,AAED^ACBD.24. 【答案】解：(1)如图①，正方形EFPN即为所求.(2)设正方形FFPN伯勺边长为X,V A ABC为正三角形，.•.AE=BF = —x.3・.・E'F'+AE'+BF'=AB,.•.x+^x+^x=3+2V3，3 3・••解得：X=3,故答案为：3.E E9F F 图①25. 【答案】解：|26. 【答案】解：(1) VAE=2CE,.CE _1* * AE _ 2，TEF〃AB#AE BF 2■ ■ ~~ , 一* 9 AC ~ BC ~ 3r・.• BC=9,ABF=6,VDE//BC・B D CE1•• ,AB AC 3VAB=6,・・.BD=2；(2)・.・EF〃AB, DE〃BC・・・四边形BDEF是平行四边形，ABD=EF=2, DE二BF=6,・•・四边形BDEF的周长2 (2+6) =16.27. 【答案】(1)解：如图1,设正方形的边长为xmm,则PN=PQ=ED=x, AAE=AD-ED=80-x,J PN || BC ,・•・△ APN〜△ ABC ,PN AE口口X 転二乔’即面80-X80解得x=48.加工成的正方形零件的边长是48mm(2)解：如图2,J PN || BC ,/. “APN 〜卜ABC ,•••这个矩形零件的两条边长分别为于mm,于mm圈3设PN=x(mm),矩形PQMN 的面积为S (mm 2), 由条件可得卜APN ~\ABC ,.PN _ AE • • — , BC AD即缶80—PQ =80 '解得： 2 PQ = 80--X •y 3则 s = PN ^PQ = %(80 - -%) = --X 2 + 80% = - -(% - 60)2 + 2400 ,3332 故 S 的最大值为 2400mm 2 ,此时 PN = 60mm , PQ = 80 —才 x 60 = 40(?nm)【易错题解析】冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元检测试卷1.已知一棵树的影长是30m,同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m,则这棵树的高度是（）・A. 15mB. 60mC. 20mD. 10 m【答案】A【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】设这棵树的高度为xm,根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的1.5x30• >x= ------------- =15•••这棵树的高度是15m.PN _ AE BC ~ AD2x _ 80-X 120 — 80解得:一.单选题（共10题; 共30分）240故选A.【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.又因为题中没强调MP 是长的一段还是短的一段，所以MP 的长也可以为1 - 故选C.【分析】根据黃金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可.2•如图，A ABC 中，AD 丄BC 于D ,CD下列条件：®ZB +ZDAC =90；②ZB =ZDAC ：③-AC AB④AB 〈BD ・BC ・其中一定能够判定AABC 是直角三角形的有（A. 1B. 2C. 3则 A® : AB 为()【答案】B【考点】相似三角形的判定与性质【解析】解答：（1）ZB+ZDAC=90°,该条件无法判定AABC 是直角三角形；（2） TZB 二ZDACZBAD+ZB=90°, AZBAD+ZDAC=90°,即ZBAC=90°,故该条件可以判定△ ABC 是直角三角形;ADAC .= —,该条件无法判定AABC 是直角三角形；（4） VAB 2=BD >BC ABVZB=ZB ,竺.5C~BD~ ABA AABD^ACBA・・・ZBAC=90°,故该条件可以判定△ ABC 是直角三角形； 故选B分析：对题干屮给出的条件逐一验证，证明ZBAC=90°即可解题.3.线段MN 长为lcm,点P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长是（A.d2D.不能确定【答案】黄金分割【解析】 【解答】解:l-x设MP 二X,则PN=1 - X,根据题意得产 11—X1解得，X 二上逻或速>1 （不2 2合题意, 舍去），4•如图，五边形ABCDE与五边形A8C/DE是位似图形，0为位似中心，0D =【解析】【解答】解：位似图形上任意一对对应点，至0位似屮心的距离之比都等于相似比.・・・A'B'： AB=OD Z： 0D=2： 1.故答案为：D.【分析】Ftl题，根据0D与0D，的数量关系，可以得出两个图形的位似比。
冀教版数学九年级上册第二十五章-图形的相似-学情评估卷(含答案)
第二十五章 学情评估卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知b 2＝a5，则下列变形不正确的是( )A.a b ＝52B ．2a ＝5bC.b a ＝25D ．5a ＝2b2．如图，a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E 和点B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝2.4，则BF 的长为( )A ．5B ．5.6C ．6D ．6.5(第2题) (第3题) 3．大自然是美的设计师，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点(AP >PB )，如果AP 的长度为10 cm ，那么AB 的长度是( )A ．(5 5＋5)cm B ．(15－5 5)cm C ．(5 5－5)cmD ．(15＋5 5)cm4．如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC ∶EC ＝2∶3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为( )A ．4B ．9C ．12D ．13.5(第4题) (第5题)5．如图是老师画出的△ABC ，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC 不一定相似的是( )6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶DB ＝2∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为( )A ．2∶3B ．4∶9C ．4∶25D ．4∶21(第6题) (第7题)7．凸透镜成像的原理如图所示，AD ∥l ∥BC .若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB 的距离之比为5∶4，则物体被缩小到原来的( )A.45 B.25 C.49 D.598．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，2)，B (4，1)，以原点O 为位似中心，位似比为2，把△OAB 放大，则点A 的对应点A ′的坐标是( )A ．(1，1) B ．(4，4)或(8，2) C ．(4，4)D ．(4，4)或(－4，－4)(第8题) (第9题)9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF ＝3，则下列结论：①AF DF ＝12；②S △BCE＝27；③S △ABE ＝12；④△AEF ∽△ACD .其中一定正确的是( )A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②10．如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，D 是AB 上一点，且AD ＝2，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转到图②的位置，则图②中BD CE的值为( )3A.35 B.45 C.43 D.34二、填空题(本大题共3小题，共有5个空，每空3分，共15分)11.若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是________．(第11题) (第12题)12．如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点E 在AD 上，连接CE ，交BD 于点F ，且△DEF ∽△DB A.(1)BD 与CE 是否垂直？________(填“是”或“否”)．(2)若AB ＝1，∠CBD ＝30°，则EFCF的值为________．13.如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是线段BC 上一动点，若点D 从点B 开始向点C 运动．(1)当BD ＝2时，CE ＝________；(2)设P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是______．三、解答题(本大题共4小题，共45分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(8分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且2a ＝3b ＝4c .(1)求a ＋2b 3c的值；(2)若△ABC 的周长为81，求三边a ，b ，c的长．15．(12分)如图，在△ABC中，点D是边AB上一点．(1)当∠ACD＝∠B时，①求证：△ABC∽△ACD；②若AD＝1，BD＝3，求AC的长．(2)若AB＝2AC＝2AD，CD＝2，求BC的长．16．(12分)如图①，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点在地面上，经测量得到AB＝CD ＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．发现：连接AC，则AC与EF有何位置关系？并说明理由．探究：若EF＝32 cm，利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？517．(13分)如图①，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，点P 从点A 出发，沿折线AB －BC 以每秒1个单位长度的速度运动，设点P 的运动时间为t s (0<t <14)．(1)求AC 的长．(2)如图②，当点P 在BC 上时，过点P 作AC 的垂线，垂足为D .①求证：△ABC ∽△PDC ；②当∠BAP ＝45°时，求PD 的长．(3)设点P 移动的路程为x ，当0<x ≤6及6<x <14时，分别求点P 到直线AC 的距离．(用含x 的式子表示)(4)过点P 作PQ ⊥AP ，交AC 于点Q .当CQ ＝54时，请直接写出t的值．答案一、选择题12345678910答案速查DCABCCADDB二、填空题11．87° 12.(1)是 (2)13 13.(1)83 (2)2三、解答题14．解：(1)令2a ＝3b ＝4c ＝1k，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，∴a ＋2b 3c＝2k ＋6k 12k ＝23.(2)∵△ABC 的周长为81，∴由(1)易知a ＋b ＋c ＝2k ＋3k ＋4k ＝9k ＝81，解得k ＝9，∴a ＝18，b ＝27，c ＝36.15．(1)①证明：∵∠A ＝∠A ，∠B ＝∠ACD ，∴△ABC ∽△ACD .②解：∵AD ＝1，BD ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝1＋3＝4.∵△ABC ∽△ACD ，∴ACAD ＝ABAC ，∴AC ＝AB ·AD ＝4×1＝2.(2)解：∵AB ＝2AC ＝2AD ，∴AB AC ＝ACAD ＝ 2.∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD ，∴BCCD ＝ABAC ＝2，∴BC ＝2CD ＝2×2＝2 2.16. 解：发现：AC ∥EF ，理由如下：如图，∵立杆AB ，CD 相交于点O ，∴∠AOC ＝∠EOF .7又∵OA OE ＝OC OF ＝5134＝32，∴△AOC ∽△EOF ，∴∠OAC ＝∠OEF ，∴AC ∥EF .探究：如图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点O 作ON ⊥EF 于点N ，∵OE ＝OF ＝34 cm ，∴△OEF 是等腰三角形，∴∠OEF ＝∠OFE ＝12(180°－∠EOF )．∵ON ⊥EF ，EF ＝32 cm ，∴EN ＝FN ＝12EF ＝16 cm.在Rt △OEN 中，根据勾股定理，可得ON ＝OE 2－EN 2＝342－162＝30(cm)，∵ON ⊥EF ，AM ⊥BD ，∴∠ONE ＝∠AMB ＝90°.∵OA ＝OC ，AB ＝CD ，∴OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝12(180°－∠BOD )，∴∠OBD ＝∠OEF ，∴△ABM ∽△OEN ，∴OE AB ＝ON AM ，即34136＝30AM，解得AM ＝120 cm.∴利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于120 cm 时，连衣裙才不会拖在地面上．17．(1)解：∵∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10.(2)①证明：∵PD ⊥AC ，∴∠CDP ＝∠B ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△PDC .②解：∵∠BAP ＝45°，∠B ＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴BP ＝AB ＝6，∴CP ＝2.∵△ABC ∽△PDC ，∴PD AB ＝CPAC ，∴PD6＝210，∴PD ＝1.2.(3)解：当0<x ≤6时，作PD ⊥AC 于点D ，如图①，∵∠ADP ＝∠B ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△ADP ∽△ABC ，∴APAC ＝PD BC ，∴x 10＝PD 8，∴PD ＝45x . 当6<x <14时，作PD ⊥AC 于点D ，如图②，∵∠CDP ＝∠B ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△PDC ∽△ABC ，∴PD AB ＝CP AC ，∴PD6＝6＋8－x 10，∴PD ＝425－35x .综上所述，当0＜x ≤6时，点P 到AC 的距离为45x ；当6＜x ＜14时，点P 到AC 的距离为425－35x .(4)解：t 的值为214或19－312或19＋312.点拨：当0<x ≤6时，如图③，∵PQ ⊥AP ，∴∠APQ ＝∠B ＝90°.∵∠A ＝∠A ，9∴△APQ ∽△ABC .∴AP AB ＝AQ AC ，即AP 6＝10－5410，∴AP ＝214，∴t ＝214.当6<x <14时，过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，如图④，∵∠CHQ ＝∠B ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△CHQ ∽△CBA ，∴CH CB ＝QH AB ＝CQ AC ，∴CH 8＝QH 6＝5410＝18，∴CH ＝1，QH ＝34.∵∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠QPH ＋∠APB ＝90°，∴∠BAP ＝∠QPH .∵∠B ＝∠PHQ ＝90°，∴△ABP ∽△PHQ ，∴ABPH ＝BPQH ，∴68－BP －1＝BP 34，∴BP ＝7－312或BP ＝7＋312，∴t ＝(6＋7－312)÷1＝19－312或t ＝(6＋7＋312)÷1＝19＋312.综上，t 的值为214或19－312或19＋312.。
第25章 图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)
第25章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( ).A.一种B.两种C.三种D.四种2、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y 轴上，D、E分别是AB，OA中点．过点D的双曲线与BC交于点G．连接DC，F在DC上，且DF：FC=3:1,连接DE，EF．若△DEF的面积为6，则k的值为（）．A. B. C.6 D.103、下列命题错误的是（）A.相似三角形周长之比等于对应高之比B.两个等腰直角三角形一定相似 C.各有一个角等于91°的两个等腰三角形相似 D.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似4、如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，CE、BA的延长线交于点F，下列结论错误的是（）A. ＝B.C.D.5、已知△ABC∽△A′B′C′且，则为（）A.1：2B.2：1C.1：4D.4：16、在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则树的高度为（）A.4.8mB.6.4mC.9.6mD.10m7、若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.１∶8、如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为（）A.1B.2C.3D.49、线段a、b、c、d是成比例线段，a=4、b=2、c=2，则d的长为（）A.1B.2C.3D.410、如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（）A.4B.8C.-4D.-811、如图，P点的坐标为（3，2），过P点的直线分别交x轴和y轴的正半轴于A，B 两点，作轴于M点，作轴于N点，若的面积与的面积的比为，则直线的解析式为（）A. B. C. D.12、对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到的新图形上的对应点P1，Q1，下列变换中不一定保证PQ=P1Q1的是（）A.平移B.旋转C.翻折D.位似13、如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，错误的是（）A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.D.14、如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( )A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC15、如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EFD=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边AB的中点重合.将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段AC与线段EF相交于点Q，射线ED与射线BC相交于点P，线段ED与AC交于点M.若AQ=4，PB=18，则MQ的长为（）A. B.5 C.4 D.二、填空题(共10题，共计30分)16、美是一种感觉，当人体下半身身长与身高的比值越接近（约为0.618）时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________ cm．17、黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为________（结果带有根号）18、如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为________.19、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB 交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是________．20、如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，D 为 AC 上的一点，AD=3CD，AE⊥AB 交 BD 延长线于 E，记△EAD，△DBC 的面积分别为 S1， S2，则 S1:S2=________.21、如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线（x＞0）正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为：________.22、已知点是线段的黄金分割点，且线段的长为厘米，则最短线段的长是________厘米．23、如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为________ ．24、在中，D、E分别在AB.AC的反向延长线上，，若，，则________.25、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3， l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1， l2， l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知，且x+y-z=2，求x、y、z的值.27、如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．28、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，过点E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD=2：3，EF＝6，求CD的长．29、如图，△ACC′是由△ABB′经过位似变换得到的（1）求出△ACC′与△ABB′的相似比，并指出它们的位似中心；（2）△AEE′是△ABB′的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由；（3）如果相似比为3，那么△ABB′的位似图形是什么？30、如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、D4、C5、C6、C7、B9、A10、D11、D12、D13、D14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。
冀教版九年级数学上册 第25章 图形的相似 单元评估检测试卷(有答案)
26.【答案】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BDE=∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，
∴ ，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴ ，
∴ ，
∴BE•DC=AB•DE．
27.【答案】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AB=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=10，
∵FG∥ED，
∴ = = ，
∴DG=4，
∴CG=6．
21.【答案】解：∵△OBD∽△OAC，
∴ = = ，
∴ = ，解得OA=6，
∴AB=OA+OB=4+6=10
22.【答案】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，
理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，
∴ = = ，
∴ = = ，
解得：EF= ．
23.【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，
（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．
23.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
24.已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习能力达标测试卷B卷(附答案详解)
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习能力达标测试卷B 卷（附答案详解）1．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：4，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．14B ．19C ．116D ．1252．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC ＝2：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为（ ）A ．3：2B ．2：3C ．9：4D ．4：93．如图，▱ABCD ，BE ：AE ＝4：1．若△AEF 的面积为2cm 2，则△ADF 的面积为（ ）cm 2A ．8B ．10C ．18D ．324．若:3:4a b =，且14a b +=，则2a b -的值是（ ）A ．4B ．2C ．20D ．145．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠D ＝∠B B ．∠E ＝∠C C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC = 6．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =3，AD =4，BC =33P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记P A =x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝m ，BD ：DC ＝n ，则（ ）A ．若 m ＞1，n ＞1，则 2S △AEF ＞S △ABDB ．若 m ＞1，n ＜1，则 2S △AEF ＜S △ABDC ．若 m ＜1，n ＜1，则 2S △AEF ＜S △ABD D ．若 m ＜1，n ＞1，则 2S △AEF ＜S △ABD8．如图，已知每个小正方形的边长均为1，ABC ∆与DEF ∆的顶点都在小正方形的顶点上，那么DEF ∆与ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝9，DB ＝3，CE ＝2，则AC 的长为A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，如果4cm a =，5cm b =，那么______cm c =．11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABO 与A B O '''是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P 的坐标为_____12．有一支夹子如图所示，AB=2BC ，BD=2BE ，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ 为6cm ，如果想用夹子的尖端A 、D 两点夹住P 、Q 两点，那么手握的地方EC 至少要张开________cm ．13．在比例尺为1：50000的宝应交通地图上，某条道路的实际长度为5km ，则这条道路在地图上的长度为_____cm14．如图，已知矩形ABCD ，AB ：BC ＝1：2，P 为线段AB 上的一点，以BP 为边作矩形EFBP ，使点F 在线段CB 的延长线上，矩形ABCD ∽矩形EFBP ，设EF ＝a ，AB ＝b ，当EP 平分∠AEC 时，则a b＝_____．15．已知ABC △中，4AB =，3AC =，把ABC △绕点A 旋转某个角度后，使得点B 落在点1B 处，点C 落在点1C 处，这时，若12BB =，则1CC 的长度为______．16．两个相似三角形周长的差是4，对应中线的比是4：5，那么较大三角形的周长是_____．17．如图，矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，若点D 的对应点D ′，连接D ′B ，以下结论中：①D ′B 的最小值为3；②当DE ＝52时，△ABD ′是等腰三角形；③当DE ＝2是，△ABD ′是直角三角形；④△ABD ′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）18．如图，要使AEF 和ACB 相似，已具备条件________，还需补充的条件是________，或________，或________．19．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，如果DE BC ∥，3△ADE S =，18BCD S =△，求EBD S =△______．20．已知：如图，在ABC 中，点D ．E 分别在AB ，AC 上，DE //BC ，点F 在边AB 上，2BC BF BA =⋅，CF 与DE 相交于点G ．()1求证：DF AB BC DG ⋅=⋅()2当点E 为AC 的中点时，求证：2EG AF DG DF=．21．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．（1）求证：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求GFBC的值．②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．22．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，23DBBC=，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：写出APPD的值．参考小昊思考问题的方法，解决问题：（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，3 2DB BC =，点E在AC上，且32AEEC=．求APPD的值；（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，3 2DB BC =，点E在AC上，且72AEEC=，直接写出APPD的值．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点时停止运动．点P也同时停止．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t(t＞0)秒．(1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点)，①当t＝_____时PQ∥BC②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(2)伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求此时的t的值和AE的长；②当l经过点B时，求t的值．24．已知正方形ABCD，过C的直线分别交AD、AB的延长线于点E、F，且AE=15，AF=10，求正方形ABCD的边长.25．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？26．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB 方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．三个顶点的坐标分别为A(–2，1)，B(–1，4)，C(–3，27．在平面直角坐标系中，ABC2).(1)写出点C 关于点B 成中心对称点1C 的坐标;(2)以原点O 为位似中心，位似比为2:1，在y 轴的左侧画出ABC ∆C 放大后的222A B C ∆，并直接写出点2C 的坐标.参考答案1．D【解析】【分析】由已知条件易求得BE：BC＝1：5，由DE∥AC可证△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，可得DE：AC的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（15）2＝125.故选：D．【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键.2．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC=2：1，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC=2：1，∴22213 DEBA==+，∴249DEF BAF S DE S BA （）==． 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．B【解析】【分析】证明△DFC ∽△EF A ，得DF CD EF AE =，根据已知得15AE AE AB CD ==，所以DF EF=5，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AB ＝CD ，∴△DFC ∽△EF A ，∴DF CD EF AE=． ∵BE ：AE ＝4：1，∴15AE AE AB CD ==，∴DF EF =5，∴ADF AEF S S =5．∵△AEF 的面积为2cm 2，∴△ADF 的面积为10cm 2．故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．A【解析】【分析】根据比例的性质得到34b a =，结合14a b +=求得,a b 的值，代入求值即可．【详解】解：由a ：b ＝3：4:3:4a b =知34b a =，所以43a b =．所以由14a b +=得到：4143aa +=， 解得6a =． 所以8b =．所以22684a b -=⨯-=． 故选：A ． 【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若a cb d=，则ad bc =． 5．D 【解析】 【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE ＝∠BAC ，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可． 【详解】解：A 和B 符合有两组角对应相等的两个三角形相似；C 、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；D 、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似． 故选：D ． 【点睛】考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 6．D 【解析】 【分析】分两种情况：（1）当点P 在AB 上移动时，点D 到直线P A 的距离不变，恒为4；（2）当点P 在BC 上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△P AB ∽△ADE ，即可得出y 12x=（3＜x ≤6），据此判断出y 关于x 的函数大致图象是哪个即可． 【详解】根据题意，分两种情况讨论：（1）当点P 在AB 上移动时，点D 到直线P A 的距离为：y =DA =4（0≤x ≤3），即点D 到P A的距离为AD的长度，是定值4；（2）当点P 在BC 上移动时．△ADP 的面积不变，为13462ADPS=⨯⨯= 又∵12ADP S xy =∴y 12x=（3＜x ≤6）．综上，纵观各选项，只有D 选项图形符合．故选D ． 【点睛】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P 的位置分两种情况讨论． 7．D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，得出2221AEF ABC S AE m S AB m ∆∆⎛⎫== ⎪+⎝⎭，1ABD ABC S BD n S BD DC n ∆∆==++，从而建立等式关系，得出211AEF ABDS m n Sm n +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，然后再逐一分析四个选项，即可得出正确答案 . 【详解】解：∵EF ∥BC ，若AE ：EB ＝m ，BD ：DC=n ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴=1EF AE AE mBC AB AE BE m ==++， ∴2221AEF ABC S AE m S AB m ∆∆⎛⎫== ⎪+⎝⎭，∴1ABD ABC S BD nS BD DC n ∆∆==++， ∴211AEF ABDS m n Sm n +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭∴当m=1，n=1，即当E 为AB 中点，D 为BC 中点时，12AEF ABDSS=， A.当m ＞1，n ＞1时，S △AEF 与S △ABD 同时增大，则12AEF ABDS S>或12AEF ABDS S<，即2AEFABDS S<或2AEF S＞ABDS，故A 错误；B.当m ＞1，n ＜1，S △AEF 增大而S △ABD 减小，则12AEF ABDS S>，即2AEFABDS S>，故B 错误；C.m ＜1，n ＜1，S △AEF 与S △ABD 同时减小，则12AEF ABDSS>或12AEF ABDS S<，即2AEFABDS S>或2AEFS＜ABDS，故C 错误；D.m ＜1，n ＞1，S △AEF 减小而S △ABD 增大，则12AEF ABDS S<，即2AEFS ＜ABDS，故D 正确 .故选D . 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键 . 8．B 【解析】【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】2,BC AC===A.∵ED EF ==DF=1，∴ED EF DF AB BC AC≠≠，∴△DEF与△ABC不相似；B. ∵EF==DF=1，∴DE EF DF AB BC AC==，∴△DEF与△ABC相似；C.∵DE=3,EF=DF，∴DE EF DF AB BC AC≠≠，∴△DEF与△ABC不相似；D. ∵EF==，DF=2，∴DE EF DF AB BC AC≠≠，∴△DEF与△ABC不相似.故选B.【点睛】此题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题关键在于掌握判定定理. 9．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解.【详解】∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∴AD AE AB AC=即92 93ACAC-=+解得AC=8故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到对于线段成比例.10．【解析】 【分析】根据比例中项的概念，得c 2=ab ，再利用比例的基本性质计算得到c 的值． 【详解】解：∵线段c 是线段a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab ，又∵a=4cm ，b=5cm ， ∴c 2=ab=20，解得c =±又∵c 为线段的长度，c ∴=-舍去；∴c =.故答案为:c =. 【点睛】此题考查了比例中项的定义，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算. 11．(3,2)- 【解析】 【分析】根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，连接B B '并延长，A A '并延长，B B '与A A '的交点即为位似中心P 点，根据相似三角形性质求解. 【详解】根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，连接B B '并延长，A A '并延长，B B '与A A '的交点即为位似中心P 点，由图可知B '、B 、P 在一条直线上，则P 点横坐标为-3， 由图可得ABO 和A B O '''的位似比为3162OB O B ''==，2BB '=，所以12PB PB PB PB BB ''==+， 解得PB=2， 所以P 点纵坐标为， 即P 点坐标为(3,2)-.故答案为：(3,2)- 【点睛】本题主要考查图形的位似变换.找出相似比是关键. 12．3 【解析】 【分析】首先从题目中整理出相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求解． 【详解】解：2AB BC =∵，2BD BE =，ADB CEB ∴∆∆∽，∴AD ABEC BC= ， 当6AD PQ cm ==时， ∴621EC = ， 解得：EC=3（cm ）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．13．10 【解析】 【分析】直接利用比例线段的性质求出这条道路的图上距离． 【详解】解：∵在比例尺为1：50000的宝应交通地图上，某条道路的实际长度为5km ， ∴这条道路在地图上的长度为50000010.50000cmcm =故答案为：10 【点睛】此题主要考查了比例线段，正确理解比例线段的意义是解题关键．14．2． 【解析】 【分析】设AB 与CE 交于点G ，根据等腰三角形三线合一的性质可表示出PG ，进而得到BG ，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式，变形求解即可． 【详解】解：如图，AB 与CE 交于点G ， ∵EP 平分∠AEC ，EP ⊥AG ， ∴∠AEP=∠GEP ，∠APE=∠GPE=90° ∴∠EAP=∠EGP ∴EA=EG∴AP ＝PG ＝b ﹣a ，BG ＝a ﹣（b ﹣a ）＝2a ﹣b ， ∵PE ∥CF ， ∴2PEPG b aBC BG a b， ∵矩形ABCD ∽矩形EFBP ，∴PE EF aBC AB b ，∴2a b a b a b，整理得：222b a =，∵a ＞0，b ＞0， ∴2a b =， 故答案是：22．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似图形的性质以及平行线分线段成比例定理，根据三线合一表示出PG 、BG 的长是解答此题的关键． 15．32【解析】 【分析】根据旋转的性质可以得到△BB′A 和△CC′A 是顶角相等的两个等腰三角形，因而△BB′A ∽△CC′A ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得． 【详解】解：由题意可知，AB=A B′，AC=A C′，∠BA B′=∠CA C′,''AB AB AC AC∴=, ∴△BB′A ∽△CC′A34CC AC BB AB ''∴==， 3332442CC BB ''∴==⨯=. 故答案是：32.【点睛】本题主要是运用旋转的性质，利用相似三角形的性质求解，得到△BB′A ∽△CC′A 是解决本题的关键．16．20【解析】【分析】利用相似三角形的对应周长比等于相似比，对应中线比等于相似比即可得出．【详解】解：令较大的三角形的周长为x．小三角形的周长为x﹣4，由两个相似三角形对应中线的比为4：5得，4：5＝（x﹣4）：x，解之得x＝20．故答案为20．【点睛】此题考查相似三角形的性质．解题关键在于能灵活运用相似三角形的周长比等于相似比．17．①②④【解析】【分析】当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，此时D′B＝AB﹣AD＝3，得出①正确；过D′作MN⊥AB交AB于点N，交CD于点M，设AN＝x，则EM＝x﹣2.5，证出∠ED′M＝∠D′AN，因此△EMD′∽△D′NA，得出对应边成比例ED EMAD D N='''，求出x＝4，得出AN＝BN，因此AD′＝D′B，得出②正确；当DE＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E、D′、B在一条直线上，作EF⊥AB于点F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③不正确；当AD′＝D′B时，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出④正确．【详解】当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，如图1所示：此时D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，∴①正确；过D′作MN ⊥AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，如图2所示： 设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，∵∠AD′N ＝∠DAD′，∠ED′M ＝180°﹣∠AD′E ﹣∠AD′N ＝180°﹣90°﹣∠AD′N ＝90°﹣∠AD′N ，∴∠ED′M ＝90°﹣∠DAD′， ∵∠D′AN ＝90°﹣∠DAD′， ∴∠ED′M ＝∠D′AN ， ∵MN ⊥AB ， ∴∠EMD′＝∠AND′， ∴△EMD′∽△D′NA ，∴ED EMAD D N='''， 即，2.55=解得：x ＝4， ∴AN ＝BN ， ∴AD′＝D′B ，即△ABD′是等腰三角形， ∴②正确；当DE ＝2时，假设△ABD′是直角三角形， 则E 、D′、B 在一条直线上， 作EF ⊥AB 于点F ，如图3所示：D′B ==∵2 ∴③不正确；当AD′＝D′B 时，52+52≠82， ∴△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，D′B∴AD′≠D′B ，∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，∴④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键．18．EAF CAB ∠∠=AEF C ∠∠= AFE B ∠∠= AE AF AC AB= 【解析】【分析】根据三角形判定定理：两角对应相等两三角形相似、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．已知一个角相等，只要满足另外任何一个角对应相等或者所夹相等角的两边对应成比例即可．【详解】解：由图示可知∠EAF=∠CAB要使△AEF 和△ACB 相似根据三角形相似的判定定理，需要补充条件是EAF CAB ∠∠=，或∠AEF=∠C ，AE AF AC ABAFE B ∠∠==或． 故答案为(1). EAF CAB ∠∠= (2). AEF C ∠∠= (3). AFE B ∠∠= (4). AE AF AC AB= 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，定理为：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似．19．6【解析】【分析】 由同高三角形面积比等于底边之比可得AED EBD S AE =S BE ，ABD BCD S AD =S CD，在根据平行线分线段成比例得到AE AD =BE CD ，建立方程即可求解. 【详解】∵DE ∥BC∴AE AD =BE CD∵AED EBD S AE =SBE ，ABD BCD S AD =S CD ∴AED ABD EBD BCD S S =S S ，设EBD S =x ，则33=18+x x ， 解方程得6x =或9-（舍去）故答案为：6.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，由同高三角形面积比等于底边之比建立方程是解决本题的关键.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2BC BF BA =⋅，可判断BAC BCF ∽,再由DE∥BC 可判断BCF DGF ∽,所以DGF BAC ∽,然后利用相似三角形的性质即可得到结论;(2)作AH∥BC 交CF 的延长线于H,如图,易得AH∥DE,由点E 为AC 的中点得AH=2EG,再利用AH∥DG 可判定AHF DGF ∽,则根据相似三角形的性质得AH AF DG DF=,然后利用等线段代换即可得到结论.【详解】证明：()1∵2BC BF BA =⋅，∴BC:BF BA:BC =，而ABC CBF ∠∠=，∴BAC BCF ∽，∵DE //BC ，∴BCF DGF ∽，∴DGF BAC ∽，∴DF:BC DG:BA =，∴DF AB BC DG ⋅=⋅； ()2作AH //BC 交CF 的延长线于H ，如图，∵DE //BC ，∴AH //DE ，∵点E 为AC 的中点，∴AH 2EG =，∵AH //DG ，∴AHF DGF ∽，∴AH AF DG DF=， ∴2EG AF DG DF =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要通过相似比得到线段之间的关系.21．（1）详见解析；（2）；②2． 【解析】【分析】（1）证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）①取DE 的中点H ，连接GH 、FH ，根据三角形中位线定理得到GH ∥BE ，GH ＝12BE ，得到GH ＝FH ，GH ⊥FH ，根据勾股定理计算，得到答案；②作AM ⊥BE 于M ，AN ⊥CD 于N ，证明△BAE ≌△BAC ，得到∠BAE ＝∠BAC ＝135°，证明△ODA ∽△OAE ，根据相似三角形的性质求出OD •OE ，根据三角形的面积公式就是，得到答案．【详解】（1）证明：∵∠DAB ＝∠EAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠CAD ，在△BAE 和△DAC 中， AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△DAC （SAS ），∴∠ABE ＝∠ADC ，∵∠BAD ＝90°，∴∠DOB ＝90°，即BE ⊥DC ；（2）①取DE 的中点H ，连接GH 、FH ，∵点G 是BD 的中点，∴GH ∥BE ，GH ＝12BE ， 同理，FH ∥CD ，FH ＝12CD ， ∵BE ＝CD ．BE ⊥DC ，∴GH ＝FH ，GH ⊥FH ，∴△HGF 为等腰直角三角形，∴GF ＝2GH ，∵GH ＝12BE ， ∴22GF BE =， ∵BE ＝BC ，∴2GF BC =； ②作AM ⊥BE 于M ，AN ⊥CD 于N ，在△BAE 和△BAC 中，BE BC AE AC AB AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△BAC （SSS ），∴∠BAE ＝∠BAC ＝135°，∴∠DAE ＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD +∠OAE ＝45°，∵△BAE ≌△DAC ，∴AM ＝AN ，又AM ⊥BE ，AN ⊥CD ，∴OA 平分∠BOC ，∴∠BOA ＝∠COA ＝45°，∴∠DOA ＝∠EOA ＝135°，∴∠ODA +∠OAD ＝45°，∴∠OAE ＝∠ODA ，∴△ODA ∽△OAE ， ∴OD OA OA OE=，即OD •OE ＝OA 2＝4， ∴△DOE 的面积＝12×OD •OE ＝2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．3=2AP PD ；（1）=1AP PD ；（2）7=3AP PD 【解析】【分析】如图2，过点C 作CF ∥AD ，交BE 的延长线于点F ，易证△AEP ≌△CEF ，根据全等三角形的性质可得AP=FC ，又因PD ∥FC ，可得△BDP ∽△BCF ，由相似三角形的性质可得PD BD FC CD =，由此即可求得AP PD的值．（1）如图3，过A 作AF ∥BC ，交BP 延长线于点F ，可得△AFE ∽△CBE ，根据相似三角形的性质可得32AF AE BC EC ==,设AF ＝3x ，BC ＝2x ，由32DB BC =可得BD ＝3x ，所以AF ＝BD ＝3x ，再证明△AFP ∽△DBP ，即可得1AP AF PD BD==；（3）如图4，过C 作CF ∥AP 交PB 于F ，可得△BCF ∽△BDP ，根据相似三角形的性质可得23BC CF BD PD ==，设CF ＝2x ，PD ＝3x ，再证明△ECF ∽△EAP ，可得27EC CF AE AP ==，所以AP ＝7x ，AD ＝4x ，即可求得7=3AP PD ． 【详解】解：如图2，过点C 作CF ∥AD ，交BE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠APF ，∠FCE ＝∠EAP ，∵BE 为AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∴△AEP ≌△CEF ，∴AP ＝FC ，∵PD ∥FC ，∴△BPD ≌△BFC ，∴＝， ∴＝，（1）如图3，过A 作AF ∥BC ，交BP 延长线于点F ，∴△AFE ∽△CBE ，∴， ∵， ∴，设AF ＝3x ，BC ＝2x ，∵，∴AF＝BD＝3x，∵AF∥BD，∴△AFP∽△DBP，∴＝＝1；（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，∴△BCF∽△BDP，∴，设CF＝2x，PD＝3x，∵CF∥AP，∴△ECF∽△EAP，∴，∴AP＝7x，AD＝4x，∴7=3 APPD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造出相似三角形是解决问题的关键.23．(1)①154秒；②S△APQ＝﹣225t+125t(0＜t≤6)；(2)①t＝3，AE＝6；②t＝5．【解析】【分析】(1)①因为PQ∥BC，利用平行线分线段成比例，可得AQ APAB AC，找到关于t的方程，求解即可；②过P作PE⊥AB于E，利用∠BAC的正弦，可以求出PE的长，最后找到S与t的(2)①因为l为PQ的垂直平分线且过点A，所以AP=AQ，由此可以求出t的值，延长QP交CD于M，容易得到△APQ和△CPM相似，找到相似比可求出AE的长；②当l经过B时，可得BQ=BP=AP，过P作PG⊥AB于G，利用三线合一可得AG=BG，利用PG∥BC，可转化出P也为AC的中点，进而可求出AP的值，最后可找到t的值.【详解】解：(1)①由题意得：BQ＝AP＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，AQ＝6﹣t，∵PQ∥BC，∴AQ AP AB AC=，∴6610t t-=，t＝154，则当t＝154秒时，PQ∥BC，故答案为154秒；②如图1，过P作PE⊥AB于E，sin∠BAC＝PE BC AP AC=，∴810PEt=，PE＝45t，∴S△APQ＝12AQ•PE＝12(6﹣t)45t＝﹣225t+125t(0＜t≤6)；(2)①如图2，延长CD交QP于M，∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，∴AQ＝AP，即6﹣t＝t，∴t＝3，∴AQ＝AP＝3，CP＝10﹣3＝7，∵AQ∥CD，∴△AQP∽△CMP，∴AP AQ PC CM=，∴37=3CM，CM＝7，∴DM＝7﹣6＝1，∵AQ∥DM，∴△AQE∽△DME，∴AQ AEDM ED=＝31，∵AE+DE＝8，∴AE＝6；②如图3，连接PB，过P作PG⊥AB于G，则PG∥BC，∵线段PQ的垂直平分线l经过点B，∴PB＝BQ＝t＝AP，∴AG＝BG，∴AP＝PC＝12AC＝5，∴t＝5．【点睛】本题主要考察几何问题中的动点问题，合理分析与图形的正确构造是解题的关键. 24．6.【解析】【分析】如图，根据题意易证△FBC∽△FAE，利用三角形相似比=，列方程即可求解.【详解】如图，∵BC∥AE，∴△FBC∽△FAE，∴=，设正方形的边长为x，则=,解得x=6，即正方形的边长为6.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据正方形的性质得到三角形相似. 25．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是48mm（2）2400mm2【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质PQ ∥BC ，根据相似三角形的性质得到比例关系式，代入数据求解即可； （2）设PQ ＝x 根据比例式得到2803PN x =-，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）设边长为xmm ，∵矩形为正方形，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥PQ ， ∴,PQ AH BC AD= ∴80,12080PQ PQ -= 解得PQ ＝48；答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm ；（2）设PQ ＝x∵,PQ AH BC AD= ∴80,12080x PN -= ∴2803PN x =-， ∴S 四边形PQMN ()222228080602400333x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭， 当PQ ＝60时，S 四边形PQMN 的最大值＝2400mm 2．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．26．（1）t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）存在时间t为5013或8013秒时，使得△BDE与△ABC相似．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，DFAG＝BDAB∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF6＝1010t解得DF＝35（10﹣t）∵S△BDE＝12BE•DF＝7.5∴35（10﹣t）•t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，∴BE AB ＝BD BC 即10t ＝1016t -， 解得t ＝5013， ②当BD ＝DE 时，△BDE 与△BAC ，BE BC ＝BD AB 即16t ＝1010t -， 解得t ＝8013． 答：存在时间t 为5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．27．（1）点1C 的坐标(1,6)；（2）图见解析；2C 的坐标(6,4)-【解析】【分析】（1）根据对称点的方法很容易可写出C 1的坐标.（2）首先根据位似中心画出位似图形，在写坐标即可.【详解】解：（1）点1C 的坐标(1,6)；（2）222A B C ∆如图所示点2C 的坐标(6,4)-【点睛】本题主要考查位似图形的画法，关键在于位似中心，这是直角坐标系的必考题，必须熟练掌握.。
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习基础达标测试卷A卷(附答案详解)
冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习基础达标测试卷A 卷（附答案详解）1．若13m n =，则m n n +=（ ） A ．13 B ．32 C ．43 D ．232．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD ∥BC ，35BE AE =，CD =16，则DE 的长为（ ）A ．3B ．6C ．485D ．103．由23x y =不能推出的比例是 （ ） A ．23x y = B ．53x y y +=C ．13x y y +=D ．2233x y +=+(y -3)4．已知线段1a =，5c =，线段b 是线段a 、c 的比例中项，线段b 的值为（ ） A ．2.5 B ．5 C ． 2.5± D ．5±5．如图，90ACB ∠=︒,AC BC =,45DCE ∠=︒，如果3,4AD BE ==，则BC 的长是( )．A ．5B ．52C ．62D ．76．已知3x=4y ，则+-x y x y的值为( ) A ．17 B ．73 C ．7 D ．477．一个多边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．308．如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD 与地面AF 平行，当小明的视线恰好沿BC 经过旗杆顶部点E 时，测量出此时他所在的位置点A 与旗杆底部点F 的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF 的高度为（ ）A ．10米B ．11.7米C ．102米D ．(52+1.7)米 9．如图，'''A B C 是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若'''A B C 的面积与ABC 的面积比是4：9，则'OB ：OB 为( )A ．2：3B ．3：2C ．4：5D ．4：910．如图，直线123////l l l ，若2AB =，3BC =，1DE =，则EF 的值为（ ）A ．23B ．32C ．6D ．1611．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 、F 是AB 、BC 的中点，连接EC 交DB 、DF 于G 、H ，则::EG GH HC =________．12．（2011?黑河）如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=3，ED=4，则AB 的长为（）．13．若::3:5:6x y z =，且323y z =+，则2x y z ++的值为_________．14．已知x：y=1：2，则（x+y）：y=_____．15．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．16．如图，把两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC中点，AG=1，BG=2，则CH 的长为_________．17．如图，ABC与'''A B C关于原点O位似，且相似比为1:1.5，若点A的坐标为()1,3，则其对应点'A的坐标为________．18．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，如果S△AOB=2S△AOD，AB=10，那么CD的长是_____．19．已知线段AB＝1cm，点C是线段AB的黄金分割点(AC＜BC)，则AC的长为______cm．20．如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．则BM MG的值是_____．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣43x+403与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y=34x相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．22．如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于点G．设AD=5，AB=15，AC=12，GF=6．（1）求AE的长；（2）求点A到DE的距离AG的长．23．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE=a，CF=b．（1）如图1，当2时，求b的值；（2）当a=4时，如图2，求出b的值；（3）如图3，请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．24．如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE //BC ，AD CE =，DB 1cm =，AE 4cm =．（1）求CE 的长；（2）若ABC 的面积为29cm ，求ADE 的面积．25．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AB 50=，AC 30=，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t 0)>．（1）D ，F 两点间的距离是________；()2射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值；若不能，说明理由；()3当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； ()4连接PG ，当PG //AB 时，请直接写出t 的值．26．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的C 1处，点D 落在点D 1处，C 1D 1交线段AE 于点G ．(1)求证：△BC 1F ∽△AGC 1；(2)若C 1是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝9，求AG 的长．27．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC=∠A ．（1）求证：△BDC ∽△ABC ；（2）如果BC=6， AC=3，求CD 的长．28．如图1，点E 是等边△ABC 的边BC 上一点，以AE 为边作等边△AEF ，EF 交AC 于D ．（1）连接CF ，求证：2AE AB AD =⨯；（2）如图2，作EH ׀׀AF 交AB 于点H.①求证：EB EH EC ED=； ②若EH=2，ED=4，直接写出BE 的长为 _________.参考答案1．C【解析】【分析】根据合分比性质求解.【详解】13m n = ∴1+34==33m n n +. 故选C.【点睛】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟记比例的性质.2．D【解析】【分析】由AD ∥BC 可得△CBE ∽△AED ，根据相似三角形的对应边成比例可得BE ：AE=CE ：ED=3：5，由此即可求出答案.【详解】∵AD ∥BC ，∴△CBE ∽△AED ，∴BE ：AE=CE ：ED=3：5，∵CD=16．CE+ED=CD ，∴DE=568⨯=10，故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 3．C【解析】 解：∵x y =23，∴3x =2y ．A ．23x y = ，得到3x =2y ； B ．53x y y += ，得到3x +3y =5y ，即3x =2y ； C ．13x y y += ，得到3x +3y =y ，即3x =－2y ； D ．2233x y +=+，得到3x +6=2y +6，∴3x =2y ． 故选C ．4．B【解析】【分析】根据比例中项的定义得到b 2=ac ，然后把a=1，c=5代入后求算术平方根即可．【详解】∵线段b 是线段a 、c 的比例中项，∴b 2=ac ，即b 2=1×5，解得∴线段b ．故选B ．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b=c ：d （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．5．C【解析】分析：由于△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，设DE =x ，则AB =7+x ，可以得出△ACE ∽△CDE ∽△BDC ，根据相似三角形的性质，列出关于x 方程，解出x ，再计算BC 的长．详解：设DE =x ，则AB =7+x ．∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠DCE =∠CAE =∠DBC =45°∴△ACE ∽△CDE ∽△BDC ，设CD =a ，CE =b ，则有以下等式：x ：b =b ：3+x ，x ：a =a ：4+x ，x ：a =b ：AC ，整理得：b 2=x （x +3），a 2=x （x +4），x •AC =ab ，x 2（x +3）（x +4）=a 2b 2=x 2•AC 2=2272x x +（）， 解得：x =5；∴AB =12，∴AC =BC故选C ．点睛：本题主要考查了三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质，以及列方程求解的能力．6．C【解析】∵34x y =， ∴43x y =. ∴4(1)733743(1)3y x y x y y ++==⨯=--. 故选C.7．B【解析】【分析】找到最短边和最长边,利用相似图形之间的比例,列式计算即可解题.【详解】解：设这个多边形的最长边为x,则2:6=6：x,解得：x=18,故选B.【点睛】本题主要考查了相似图形的性质——对应边成比例,属于简单题,列出比例式是解题关键.8．B【解析】【分析】延长BD交EF于H，如图，利用四边形ABHF为矩形得到AF=BH=10，HF=AB=1.7，再利用△BCD为等腰直角三角形，可判断△BHE为等腰直角三角形，所以EH=BH=10，然后计算EH+HF即可．【详解】延长BD交EF于H，如图，∵BD∥AF，EF⊥AF，∴BH⊥EF，易得四边形ABHF为矩形，∴AF=BH=10，HF=AB=1.7，∵△BCD为等腰直角三角形，∴∠CBD=45°，∴△BHE为等腰直角三角形，∴EH=BH=10，∴EF=EH+HF=10+1.7=11.7．答：旗杆EF的高度为11.7m．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．也考查了等腰直角三角形的性质．9．A【解析】分析：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．详解：由位似变换的性质可知，A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，∴△A ′B ′C ′∽△ABC ．∵△A 'B 'C '与△ABC 的面积的比4：9，∴△A 'B 'C '与△ABC 的相似比为2：3，∴OB '：OB =2：3.故选A ．点睛：本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．10．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.【详解】∵直线123l //l //l ，∴AB ：BC=DE ：EF ，∴EF=BC DE AB ⨯=312⨯=32， 故选B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理·：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.11．5:4:6【解析】【分析】过点G 作GP ∥BC 交DF 于P ，设GH=2a ，则由平行线的性质可得23GH PG PG DG HC CF BF BD ==== ，设GH=2a ，则HC=3a ，进而即可得出结论． 【详解】过点G 作GP ∥BC 交DF 于P ，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，AB//CD，∴BG：DG=BE：CD=EG：GC，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴BG：DG=BE：CD=1：2，∴DG：DB=2：3，又∵GP//BC，∴23 GH PG PG DGHC CF BF BD====，设GH=2a，则HC=3a，可得EG=52 a，∴EG：GH：HC=5：4：6，故答案为：5：4：6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及正方形的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关定理是解题的关键.12．【解析】可证明△ABE∽△ADB，则，则AB2=AD?AE，由AE=3，ED=4，再求AB就容易了．解：∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACE，∴∠ACE=∠ADB（圆周角定理），∴△ABE∽△ADB，则，即AB2=AD?AE，∵AE=3，ED=4，∴AD=7，∴AB=．13．19【解析】【分析】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3可求出k的值，进而求出x、y、z的值即可求得答案. 【详解】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1，所以x=3，y=5，z=6，所以x+2y+z=3+10+6=19，故答案为19.【点睛】：本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．熟练掌握比例的性质是解题关键. 14．3：2．【解析】【分析】首先根据已知条件x：y=1：2，得出y=2x，然后代入所求式子即可．【详解】∵x：y=1：2，∴y=2x，∴（x+y）：y=3x：2x=3：2．故答案是3：2．【点睛】解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．15．①③【解析】试题解析：∵①中的三角形的三边分别是：2210；②中的三角形的三边分别是：3③中的三角形的三边分别是：2，④中的三角形的三边分别是：3，；∵①与③中的三角形的三边的比为：1∴①与③相似．故答案为：①③．点睛：相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．16．9 4【解析】试题解析：∵∠BFH是△CFH的外角，∴∠BFH=∠C+∠CHF,即∠BFG+∠GFH=∠C+∠CHF,∵∠GFH=∠C=45°，∴∠GFB=∠CHF，又∵∠B=∠C=45°，∴△BFG∽△CHF∴BF BG CH CF.∵AG=1，BG=2，∴AB=3,∴BC=∵点F为BC中点，∴BF=CF=2∴CH=·94BF CF BG = 17．()1.5, 4.5--【解析】【分析】根据题意，易得O ′A ′=1.5OA ，又由点A 的坐标为（1，3），可得答案．【详解】根据题意，△ABC 与△A ′B ′C ′关于原点O 位似，且相似比为1：1.5，则O ′A ′=1.5OA ，又由点A 的坐标为（1，3），则A ′的坐标为（﹣1.5，﹣4.5）．故答案为（﹣1.5，﹣4.5）．【点睛】本题考查了位似的性质，要借助位似中心及位似比来解题．18．5【解析】根据三角形的面积关系，由S △AOB =2S △AOD ，可知OD ：OB=1：2，然后根据平行线的性质，由AB∥CD，可得△AOB∽△COD，然后根据相似三角形的性质，可得CD DO AB BO =，即1102CD =，求得CD=5， 故答案为5．1935【解析】分析：由黄金分割的定义结合AC<BC 可得BC 2=AC·AB ，设AC=x ，则BC=1-x ，则由此可得：2(1)x x -=，解此方程即可求得AC 的长.详解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC<BC ，∴BC 2=AC·AB ，设AC=x ，由AB=1可得BC=1-x ，∴2(1)x x -=，解得：123322x x -+==（不合题意，舍去），∴AC=2.故答案为：352.点睛：知道：“若点C是AB的黄金分割点，且AC<BC，则BC2=AC·AB”是解答本题的关键.20．3 8【解析】【分析】作EH⊥AF，令AB=3，BF=2，BE=EF=CF=1，由正方形的性质和已知条件可求得MN，BM 的值，即可解题．【详解】：作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，2213AB BF+=∵S△ABF=12AF•BN=12AB•BF，∴613，NF=23413，∴AN=AF-NF=913 13，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=313 13,213，BN∥EH，∴， AN MN AH EH=，解得：，∴BM=BN-MN=11，MG=BG-BM=11， ∴38BM MG =； 故答案是：38． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质以及正方形的性质，求出AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．21．（1）C （325，245），8，10；（2）t 的值为324或1s 时，△OPQ 与△OBC 相似；（3）t=78s 时，PC ⊥BQ ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，方程组、两点间距离公式即可解决问题；（2）分两种情形①当OPOC ＝OQOB 时，△OPQ ∽△OCB ，②当OPOB ＝OQOC 时，△OPQ ∽△OBC ，构建方程即可解决问题；（3）如图作PH ⊥OC 于H ．首先证明∠OCB ＝90°，推出∠PCH ＝∠CBQ 时，PC ⊥BQ ．由PH ∥BC ，可得OPOB ＝PHBC ＝OHOC ，可得5t10＝PH6＝OH8，推出PH ＝3t ，OH ＝4t ，根据tan ∠PCH ＝tan ∠CBQ ，构建方程即可解决问题.【详解】（1）对于直线y=﹣43x+403，令x=0，得到y=403， ∴A （0，403）， 令y=0，则x=10，∴B （10，0），由3444033 y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得325245xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴C（325，245）．∴OC=223224()()55+=8，BC=223224(10)()55-+=10．（2）①当OP OQOC OB=时，△OPQ∽△OCB，∴584810t t-=，∴t=3241．②当OP OQOB OC=时，△OPQ∽△OBC，∴584108t t-=，∴t=1，综上所述，t的值为3241或1s时，△OPQ与△OBC相似．（3）如图作PH⊥OC于H．∵OC=8，BC=6，OB=10，∴OC2+BC2=OB2，∴∠OCB=90°，∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90°， ∴PH ∥BC ， ∴OP PH OH OB BC OC==， ∴51068t PH OH ==， ∴PH=3t ，OH=4t ，∴tan ∠PCH=tan ∠CBQ ， ∴34846t t t =-， ∴t=78或0（舍弃）， ∴t=78s 时，PC ⊥BQ ． 【点睛】本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的是思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．22．（1）AE=4；（2）AG=3．【解析】分析：（1）证明△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解； （2）证明△ADG ∽△ABE ，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．本题解析：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴,AD AE AB AC =,即51512AE =， 解得AE=4；(2)∵DE ∥BC ，∴△ADG ∽△ABF ， ∴AD AG AB AF =,设AG=x,则51512AE =， 解得：AG=3.23．（1）（2）8（3）32【解析】 【分析】（1）先判断出∠ACF=∠ACE ，再判断出∠CAF=∠CAE ，进而判断出△ACF ≌△ACE ，即可得出结论；（2）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，判断出∠CAF=∠AEC ，进而判断出△ACF ∽△ECA ，即可得出结论；（3）（2）已证．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCF=∠DCE=90°∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACF=∠ACE ，∵AC 是边长为4的正方形的对角线，∴∠CAD=45°，AC=42， ∵a=CE=42，∴AC=CE ，∴∠CAE=∠BEA ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠BEA ，∴∠CAE=∠DAE=12∠CAD=22.5°， ∵∠EAF=45°， ∴∠CAF=∠EAF ﹣∠CAE=22.5°=∠CAE ， 在△ACF 和△ACE 中， ACF ACE AC ACCAF CAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ，∴△ACF ≌△ACE ，∴b=CF=CE=42，（2）∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠BCD=90°，∠ACB=45°， ∴∠ACF=180°， ∴∠AFC+∠CAF=45°， ∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF ）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°， ∴∠CAF=∠AEC ，∵∠ACF=∠ACE=135°， ∴△ACF ∽△ECA ，∴AC CF EC AC=， ∴EC×CF=AC 2=2AB 2=32 ∴ab=32，∵a=4，∴b=8；（3）ab=32，理由：（2）已证．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断△ACF ∽△ECA ，也是本题的难点．24．（1）2cm ；（2）24cm ；【解析】【分析】（1）设CE=xcm ，根据平行线分线段成比例定理得AD AE BD EC=，代入可得结论； （2）根据平行得相似，则面积比等于相似比的平方，可得结论．【详解】解：（1）设CE xcm =，则m AD xc =，∵//DE BC ，∴AD AE BD EC=， ∵1DB cm =，4AE cm =， ∴41x x =， 24x =，2x =±，∴2CE =，（2）∵//BC DE ，∴ADE ABC ∽， ∴22ADE 22ABC S AE 44S AC (42)9===+， ∵ABC 的面积为29cm ，∴ADE 的面积为24cm ． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 平行线分线段成比例，比较基础，难度不大.25．（1）25；（2）能, t=178；（3）21441或172；（4）2t 13=；39 t 743= 【解析】【分析】（1）由中位线定理即可求出DF 的长；（2）连接DF ，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，由四边形CDEF 为矩形，QK 把矩形CDEF 分为面积相等的两部分，根据△HBF ∽△CBA ，对应边的比相等，就可以求得t 的值；（3）①当点P 在EF 上（267≤t≤5）时根据△PQE ∽△BCA ，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t 的值；②当点P 在FC 上（5≤t≤767）时，PB=PF+BF 就可以得到； （4）当PG ∥AB 时四边形PHQG 是矩形，由此可以直接写出t ．【详解】(1)连接DF ，则DF 是△ABC 的中位线∴1252DF AB ==． （2）能．t=178 如图1，连接DF ，过点F 作FH AB ⊥于点H ，∵D ，F 是AC ，BC 的中点，∴DE //BC ，EF//AC ，四边形CDEF 为矩形，∴QK 过DF 的中点O 时，即过矩形CDEF 的中点，QK 把矩形CDEF 分为面积相等的两部分，此时QH OF 12.5==．由BF 20=，HBF CBA ∽，得HB 16=．故QH HB 12.5161t 7448++===． ()3①当点P 在EF 上62t 57⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭时，如图2，QB 4t =，DE EP 7t +=，由PQE BCA ∽，得7t 20254t 5030--=． ∴21t 441=；②当点P 在FC 上65t 77⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭时， 如图3，已知QB 4t =，从而QB 4t PB 5t 4cos B 5∠===， 由PF 7t 35=-，BF 20=，得5t 7t 3520=-+．解得1t 72=；（4）如图4，2t 13=；如图5，39t 743=． 判断PG //AB 可分为以下几种情形：当60t 27<≤时，点P 下行，点G 上行，可知其中存在PG //AB 的时刻， 如图4；此后，点G 继续上行到点F 时，t 4=，而点P 却在下行到点E 再沿EF 上行，发现点P 在EF 上运动时不存在PG //AB ；65t 77≤≤当时，点P ，G 均在FC 上，也不存在PG //AB ；由于点P 比点G 先到达点C 并继续沿CD 下行，所以在67t 87<<中存在PG //AB 的时刻，如图5，8t 10≤≤时，点P ，G 均在CD 上，不存在PG //AB .【点睛】本题考查了矩形与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与相似三角形的判定与性质.26．（1）证明见解析；（2）94. 【解析】【分析】（1）根据题意和图形可以找出△BC 1F ∽△AGC 1的条件，从而可以解答本题；（2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AG 的长．【详解】证明：（1）由题意可知∠A ＝∠B ＝∠GC 1F ＝90°，∴∠BFC 1+∠BC 1F ＝90°，∠AC 1G +∠BC 1F ＝90°，∴∠BFC 1＝∠AC 1G ，∴△BC 1F ∽△AGC 1．（2）∵C 1是AB 的中点，AB ＝6，∴AC 1＝BC 1＝3．∵∠B ＝90°，∴BF 2+32＝（9﹣BF ）2，∴BF ＝4，由（1）得△AGC 1∽△BC 1'F ， ∴1AG BC =1AC BF， ∴3AG =34， 解得，AG ＝94． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．27．（1）详见解析；（2）CD=2.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．【详解】证明：（1）∵∠DBC=∠A ，∠C=∠C ，∴△BDC ∽△ABC ；（2）∵△BDC ∽△ABC ，∴BC CD AC BC= ，， ∴CD=2．【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.28．（1）证明见解析（2）见解析（3【解析】分析：（1）由等边三角形的性质，根据两角对应相等的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例；（2）①根据相似三角形的对应边成比例证明即可；②可证EA=EH+ED=6, 作AM⊥BC 于M ，然后根据勾股定理求解.详解：（1）∵△ABC,△AEF 都是等边三角形，∴AB=AC，∠AEF=∠C=600，又∵∠EAD=∠CAE，,∴AED ∆∽ACE ∆ , ∴AD AE AE AC= ∵AB=AC ∴2.AE AB AD =⨯（2）①∵EH∥AF , ∴∠AEH=∠EAF=60°=∠B 方法1：∵AEH ∆∽ABE ∆ ∴EH EA EB AB= 又EDC ∆∽AEB ∆ , ∴ED EA EC AB= ∴EH ED EB EC =，即EB EH EC ED =②可证EA=EH+ED=6, 作AM⊥BC 于M ，可设BE=2x,EC=4x,则EM=x, AM =,由勾股定理得x =,BE =点睛：本题综合考查了相似三角形的性质与判定，用到的知识点有等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，题目的综合性较强难度较大，是一道不错的中考题．。
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第二十五章测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分) 1．下列长度的各组线段成比例的是( )A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，5cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm 2．若m ＋n n ＝52，则m n 等于( )A.52B.23C.25D.323．如图，可以判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A ．∠A ＝∠B ′＝∠C ′ B.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠C ′ C.AB A ′B ′＝AC A ′C ′且∠A ＝∠A ′D ．以上条件都不对4．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：15．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，AE ＝2，则AC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．86．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩短后得到CD，则点C的坐标为()A．(2，1) B．(2，0)C．(3，3) D．(3，1)7．若线段AB＝5cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长为()A.5－52 B.35－52C.5－52或35－52 D.35－52或5＋528．如图，小东用长3.2 m的竹竿BE做测量工具测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿BE，使竹竿BE、旗杆CD顶端的影子恰好落在地面的同一点A处．此时，竹竿BE与点A相距8 m，与旗杆CD相距22 m，则旗杆CD的高度为()A．12 m B．10 mC．8 m D．7 m9．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是()10．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的()A.19 B.29 C.13 D.4911．如图，在△ABC中，点D, E分别是边AC, AB的中点，BD与CE相交于点O, 连接DE.下列结论：①OEOB＝ODOC；②DEBC＝12；③S△DOES△BOC＝12；④S△DOE S△DBE＝13，其中正确的有()A．1个B．2 个C．3 个D．4个12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于()A．2 B．2.4C．2.5 D．2.2513．如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是()A．6米B．8米C．18米D．24米14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC等于()A．9∶4 B．9∶2C．3∶4 D．3∶215．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F 在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F 到BC的距离为()A．1 B．2C．12 2－6 D．6 2－616．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝13S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分，共9分)17．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知ABAC＝13，则EFDE＝________.18．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC＝________．19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分) 20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，并求出△A2B2C2的面积．22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD.(1)求证：△ABC～△ACD；(2)若AD＝2，AB＝5，求AC的长．23．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．24．如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFHD白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点H，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果点E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？26．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E是CD的中点，求证：Q是CF的中点；(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A7．C8．A 点拨：∵BE ∥CD ，∴△AEB ∽△ADC ，∴AE AD ＝BE CD ，即88＋22＝3.2CD ， 解得CD ＝12 m ．故旗杆CD 的高度为12 m ．故选A.9．D 10.C11．B 点拨：∵点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC 且DE BC ＝12，②正确； ∴∠ODE ＝∠OBC ，∠OED ＝∠OCB ，∴△ODE ∽△OBC ，∴OE OC ＝OD OB ＝DE BC ＝12，①错误； S △DOE S △BOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝14，③错误；∵S △DOE S △BOE ＝12OD ·h 12OB ·h ＝OD OB ＝12， ∴S △DOE S △DBE＝13，④正确．故选B. 12．B13．B 点拨：由题意知，∠APB ＝∠CPD .又∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ，∴AB CD ＝BP PD .∵AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，∴CD ＝AB ·PD BP ＝1.2×121.8＝8(米)．故选B.14．D 点拨：方法1：∵∠ACB ＝90°，∠ADC ＝90°，又∠A 是公共角，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD .∴AC AB ＝AD AC ，∴AC 2＝AD ·AB .∵∠ACB ＝90°，∠BDC ＝90°，又∠B 是公共角，∴Rt △ABC ∽Rt △CBD ，∴BC BD ＝AB BC ，∴BC 2＝BD ·AB .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD ＝94. ∴AC ∶BC ＝3∶2.方法2：易证△ACD ∽△CBD ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2. 又∵CD ⊥AB ，∴S △ACD S △CBD ＝12AD ·CD 12BD ·CD ＝AD BD ＝94， ∴AC BC ＝32. 15．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，延长GF 交BC 于点H .∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴AD ：AB ＝AG :AC .又∵∠BAC ＝∠DAG ，∴△ADG ∽△ABC .∴∠ADG ＝∠B .∴DG ∥BC .∴AN ⊥DG .∵四边形DEFG 是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝12BC＝6.∴AM＝AB2－BM2＝12 2.∵ANAM＝DGBC，即AN12 2＝612，∴AN＝6 2.∴MN＝AM－AN＝6 2.∴FH＝MN－GF＝6 2－6.故选D.16．D点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴EM是AB边上的中线．∴EM＝12AB.∵点D，点N分别是BC，AC的中点，∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝12AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确；由DN∥AB，易证△CDN∽△CBA.∴S△CNDS△CAB＝⎝⎛⎭⎪⎫DNAB2＝14.∴S△CND＝13S四边形ABDN.②正确；如图，连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，∴DM＝12AC，DM∥AC，∴四边形AMDN是平行四边形．∴∠AMD＝∠AND.易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，∴∠EMD＝∠DNF.∵FN是AC边上的中线，∴FN＝12AC.∴DM＝FN.又∵EM＝DN，∴△DEM≌△FDN.∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确；∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°，∴DE⊥DF.④正确．故选D.二、17.218.1∶319.60 17三、20.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C2就是所要画的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E，F.∵A (－1，2)，B (2，1)，C (4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2:1， ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)．∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.22．(1)证明：∵∠ABC ＝∠ACD ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD .(2)解：由(1)知△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC .∵AD ＝2，AB ＝5，∴AC 2＝5AC， ∴AC ＝10(负值舍去)．23．解：由题意可得DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC .所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB＝DE BC . 因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ，所以1616＋DB ＝2050. 所以DB ＝24 m.答：这条河的宽度为24 m.24．解：如图，过点A 作AN ⊥BC 交HF 于点M ，交BC 于点N .∵∠BAC ＝90°，∴∠BNA ＝∠BAC ，BC ＝AB 2＋AC 2＝20(cm)．又∵∠B ＝∠B ，∴△ABN ∽△CBA ，∴AN AC ＝ABBC ，∴AN ＝AC ×AB BC ＝485(cm)．∵四边形EFHD 是矩形，∴HF ∥ED ，∴∠AHF ＝∠B ，∠AFM ＝∠C ，∴△AHF ∽△ABC ，∴AM AN ＝HFBC .设EF ＝x ，则MN ＝x ，由截出的矩形的长与宽的比为2∶1，可知HF ＝2x ，∴485－x485＝2x20，解得x ＝24049，∴2x ＝48049.故所截矩形的长为48049cm ，宽为24049cm.25．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t .因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF .所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FCCD ，所以12－2t12＝4t24，解得t ＝3，即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD ；②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝ECCD ，所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2， 即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD .因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．26．(1)证明：由AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，得△ADE ≌△DCF .(2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°.所以∠QEC ＋∠AED ＝90°.又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°，所以∠QEC ＝∠EAD .因为∠C ＝∠ADE ＝90°，所以△ECQ ∽△ADE .所以CQ DE ＝EC AD .因为E 是CD 的中点，CD ＝AD ，所以EC ＝DE ＝12AD . 所以EC AD ＝12. 因为DE ＝CF ，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12， 即Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ECQ ∽△ADE ，所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ CE ＝QE AE .因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△ECQ ∽△AEQ .所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE .所以S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2. 所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2.在Rt △AEQ 中， 由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，S1 S3＋S2S3＝1，即S1＋S2＝S3.所以1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。