资产组合选择译文
马克维茨资产组合理论
本科学生毕业论文（设计）题目（中文）：Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用（英文）：The Application of Markowitz Asset PortfolioTheory to A Share Market in China姓名孙先哲学号200805001221院（系）数学与计算科学系专业、年级数学与应用数学专业2008级指导教师杨建奇2012年4月30日目录摘要 (I)Abstract .......................................................... I I 1 绪论.. (1)1.1 Markowitz资产组合理论介绍 (1)1.1.1 Markowitz资产组合理论的研究对象 (1)1.1.2 Markowitz资产组合理论的意义 (1)1.1.3 Markowitz经典资产组合理论模型 (2)1.1.4对Markowitz资产组合理论的评价 (3)1.2 国内外研究状况 (3)1.3 本文结构及内容 (4)2 Markowitz资产组合理论与中国证券市场 (4)2.1 Markowitz资产组合理论运用于中国证券市场的可能性 (4)2.2实例研究 (4)2.2.1数据采集 (4)2.2.2 求解有效组合 (6)2.2.3 研究结论 (9)3 简化Markowitz资产组合理论用于我国普通股民投资 (9)3.1 简化的前提 (9)3.2 举例分析 (10)3.2.1数据的采集 (10)3.2.2 在风险已确定的情况下求收益率最高的组合 (11)3.2.3 在确定收益率的情况下求最低风险的组合 (12)4 结束语 (13)参考文献 (14)附录 (15)致谢 (17)Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用摘要Markowitz资产组合理论研究的是多种资产的组合问题。
根据这个理论，我们可以在方差一定的情况下研究预期收益最大的投资组合问题；也可以研究预期收益一定情况下方差最小的投资组合问题。
外文翻译---Markowitz投资组合选择模型
英文原文：10The Markowitz Investment Portfolio Selection ModelThe first nine chapters of this book presented the basic probability theory with which any student of insurance and investments should be familiar. In this final chapter, we discuss an important application of the basic theory: the Nobel Prize winning investment portfolio selection model due to Harry Markowitz. This material is not discussed in other probability texts of this level; however, it is a nice application of the basic theory and it is very accessible.The Markowitz portfolio selection model has a profound effect on the investment industry. Indeed, the popularity of index funds (mutual funds that track the performance of an index such as the S&P 500 and do not attempt to “beat the market”) can be traced to a surprising consequence of the Markowitz model: that every investor, regardless of risk tolerance, should hold the same portfolio of risky securities. This result has called into question the conventional wisdom that it is possible to beat the market with the “right” investment manager and in so doing has revolutionized the investment industry.Our presentation of the Markowitz model is organized in the following way. We begin by considering portfolios of two securities. An important example of a portfolio of this type is one consisting of a stock mutual fund and a bond mutual fund. Seen from this perspective, the portfolio selection problem with two securities is equivalent to the problem of asset allocation between stocks and bonds. We then consider portfolios of two risky securities and a risk-free asset, the prototype being a portfolio of a stock mutual fund, a bond mutual fund, and a money-market fund. Finally, we consider portfolio selection when an unlimited number of securities is available for inclusion in the portfolio.We conclude this chapter by briefly discussing an important consequence of the Markowitz model, namely, the Nobel Prize winning capital asset pricing model due to William Sharpe. The CAPM, as it is referred to, gives a formula for the fair return on a risky security when the overall market is in equilibrium. Like the Markowitz model, the CAPM has had a profound influence on portfolio management practice.10.1 Portfolios of Two SecuritiesIn this section, we consider portfolios consisting of only two securities, 1S and 2S . These two securities could be a stock mutual fund and a bond mutual fund, in which case the portfolio selection problem amounts to asset allocation, or they could be something else. Our objective is to determine the “best mix” of 1S and 2S in the portfolio.Portfolio Opportunity SetLet's begin by describing the set of possible portfolios that can be constructed from 1S and 2S . Suppose that the current value of our portfolio is d dollars and let 1d and 2d be the dollar amounts invested in 1S and 2S , respectively. Let 1R and 2R be the simple returns on 1S and 2S over a future time period that begins now and ends at a fixed future point in time and let R be the corresponding simple return for the portfolio. Then, if no changes are made to the portfolio mix during the time period under consideration,()()()2211111R d R d R d +++=+.Hence, the return on the portfolio over the given time period is()211R x xR R -+=, where d d x 1= is the fraction of the portfolio currently invested in 1S . Consequently, by varying x , we can change the return characteristics of the portfolio.Now if 1S and 2S are risky securities, as we will assume throughout this section, then 1R , 2R , and R are all random variables. Suppose that 1R and 2R are both normally distributed and their joint distribution has a bivariate normal distribution. This may appear to be a strong assumption. However, data on stock price returns suggest that, as a first approximation, it is not unreasonable. Then, from the properties of the normal distribution, it follows that R is normally distributed and that the distributions of 1R , 2R , and R are completely characterized by theirrespective means and standard deviations. Hence, since R is a linear combination of 1R and 2R , the set of possible investment portfolios consisting of 1S and 2S can be described by a curve in the μσ- plane.To see this more clearly, note that from the identity ()211R x xR R -+= and the properties of means and variances, we have()211R R R x x μμμ-+=, ()()222222211112R R R R R x x x x σσρσσσ-+-+=, where ρ is the correlation between 1R and 2R , Eliminating x from these two equations by substituting ()()212R R R R x μμμμ--=, which we obtain from theequation for R μ, into the equation for 2R σ, we obtain()()()()()()()222222222211212*********R R R R R R R R R R R R R R R R R RR σμμμμσρσμμμμμμσμμμμσ--+---+--=, which describes a curve in the R R μσ plane as claimed.Notice that R σ and R μ change with x , while 1R σ, 1R μ, 2R σ, 2R μ, ρ remain fixed. To emphasize the fact that R σ and R μ are variables, let’s drop thesubscript R from now on. Then, the preceding equation for 2R σ can be written as()20202σμμσ+-=A , where A , 0μ, 20σ are parameters depending only on 1S and 2S with 0>A and 020≥σ. Indeed,(){}22222112121R R R R R R A σσρσσμμ+--= ()()(){}21212112122R R R R R R σσρσσμμ-+--=0>(the inequality holding since 11≤≤-ρ), and()()()212121121222220R R R R R R σσρσσρσσσ-+--=(again since 11≤≤-ρ). Further,()()()212112212121122220R R R R R R R R R R R R σσρσσσμσρσμμσμμ-+-++-=.Consequently, the possible portfolios lie on the curve()20202σμμσ+-=A ,0≥σ， which we recognize as being the right half of a hyperbola with vertex at ()00,μσ. (Figure 10.1).Notice that the hyperbola ()20202σμμσ+-=A describes a trade-off between risk (as measured by σ) and reward (as measured by μ). Indeed, along the upper branch of the hyperbola, it is clear that to obtain a greater reward, we must invest in a portfolio with greater risk; in other words, “no pain, no gain.” The portfolios on the lower branch ofthe hyperbola, while theoretically possible, will never be selected risk level σ, the portfolio on the upper branch with standard deviation σ will always have higher expected return (i.e., higher reward) than the portfolio on the lower branch with standard deviation σ and, hence, will always be preferred to the portfolio on the lower branch. Consequently, the only portfolios that need be considered further areFIGURE10.1 Set of Possible Portfolios consisting of 1S and 2Sthe ones on the upper branch. These portfolios are referred to as efficient portfolios. In general, an efficient portfolio is one that provides the highest reward for a given level of risk.Determining the Optimal PortfolioNow let’s consider which portfolio in the efficient set is best. To do this, we need to consider the investor’s tolerance for risk. Since different investors in general have different risk tolerances, we should expect each investor to have a different optimal portfolio. We will soon see that this is indeed the case.Let’s consider one particular investor and let’s suppose that this investor is able to assign a number ()R F U to each possible investment return distribution R F with the following properties:1.()()b a R R F U F U > if and only if the investor prefers the investment with return a R to the investment with return b R .2. ()()b a R R F U F U = if and only if the investor is indifferent to choosing between theinvestment with return a R and the investment with return b R .The functional U , which maps distribution functions to the real numbers, is called a utility functional. Note that different investors in general have different utility functionals.There are many different forms of utility functionals. For simplicity, we assume that every investor has a utility functional of the form()2σμk F U R -=,where 0>k is a number that measures the investor’s level of risk aversion and is unique to each investor. (Here, μ and σ represent the mean and standard deviation of the return distribution R F .) There are good theoretical reasons for assuming a utility functional of this form. However, in the interest of brevity, we omit the details. Note that in assuming a utility functional of this form, we are implicitly assuming that among portfolios with the same expected return, less risk is preferable.The portfolio optimization problem for an investor with risk tolerance level kcan then be stated as follows:Maximize:2σμk U -= Subject to: ()20202σμμσ+-=A . This is a simple constrained optimization problem that can be solved by substituting the condition into the objective function and then using standard optimization techniques from single variable calculus. Alternatively, this optimization problem can be solved using the Lagrange multiplier method from multivariable calculus.Graphically, the maximum value of U is the number u such that the parabolau k =-2σμ is tangent to the hyperbola ()20202σμμσ+-=A . (See Figure 10.2.The optimal portfolio in this figure is denoted by O .) Clearly, the optimal portfolio depends on the value of k , which specifies the investor’s level of risk aversion.Carrying out the details of the optimization, we find that when 1S and 2S are both risky securities (i.e.01≠R σ and 02≠R σ), the risk-reward coordinates of theoptimal portfolio O are 20241*σσ+=Ak, kA 21*0+=μμ. Since ()211R R x x μμμ-+=, it follows that the portion of the portfolio that should beFIGURE10.2 Portfolio with Greatest Utilityinvested in 1S is212*R R R x μμμμ--=. Comment We have assumed that short selling without margin posting is possible (i.e., we have assumed that x can assume any real value, including values outside the interval[0,1]). In the more realistic case, where short selling is restricted, the optimal portfolio may differ from the one just determined.EXAMPLE 1: The return on a bond fund has expected value 5% and standard deviation 12%, while the return on a stock fund has expected value 10% and standard deviation 20%. The correlation betwee n the returns is 0.60. Suppose that an investor’sutility functional is of the form 21001σμ-=U . Determine the investor’s optimal allocation between stocks and bonds assuming short selling without margin posting is possible.It is customary in problems of this type to assume that the utility functional is calibrated using percentages. Hence, if 1R ,2R represent the returns on the bond and stock funds, respectively, then()()56.3121001521=-=R F U , ()()61210011022=-=R F U . Note that such a calibration can always be achieved by proper selection of k . From the formulas that have been developed, the expected return on the optimal portfolio iskA 21*0+=μμ, where 1001=k ,()()()212112212121122220R R R R R R R R R R R R σσρσσσμσρσμμσμμ-+-++-=()()()()()()()()()()()()201240.0220121210201260.010*******+-++-= 875.21=and()()(){}21212112122R R R R R R A σσρσσμμ-+--= ()()()()(){}201240.022*********+--= 24.10=. Hence, the portion of the portfolio that should be invested in bonds is212*R R R x μμμμ--= 105107578125.26--= 3515625.3-=.Thus, for a portfolio of $1000, it is optimal to sell short $33351.56 worth of bonds andinvest $4351.56 in stocks.■ Special Cases of the Portfolio Opportunity SetWe conclude this section by high lighting the form of the portfolio opportunity set in some special cases. Throughout, we assume that 1S and 2S are securities such that21R R μμ< and 21R R σσ<. (The situation where 21R R μμ< and 21R R σσ> is not interesting since then 2S is always preferable to 1S .) We also assume that no short positions are allowed. Assets Are Perfectly Positively Correlated Suppose that 1=ρ (i.e. 1R and 2R are perfectly positively correlated). Then the set of possible portfolios is a straight line, as illustrated in Figure 10.3a.Assets Are Perfectly Negatively Correlated Suppose that 1-=ρ (i.e, 1R and 2R are perfectly negatively correlated). Then the set of possible portfolios is as illustrated in Figure 10.3b. Note that, in this case, it is possible to construct a perfectly hedged portfolio (i.e., portfolio with 0=σ).Assets Are Uncorrelated Suppose that 0=ρ. Then the portfolio opportunity set has the form illustrated in Figure 10.3c. From this picture, it is clear that starting from a portfolio consisting only of the low-risk security 1S , it is possible to decrease risk and increase expected return simultaneously by adding a portion of the high-risk security 2S to the portfolio. Hence, even investors with a low level of risk tolerance should have a portion of their portfolios invested in the high-risk security 2S . (See also the discussion on the standard deviation of a sum in §8.3.3.)One of the Assets Is Risk Free Suppose that 1S is a risk-free asset (i.e., 01=R σ) a.b.c.d. One of the Assets Is Risk FreeFIGURE 10.3 Special Cases of the Portfolio Opportunity Setμ 0μ μand put f R r =1μ, the risk-free rate of return. Further, let S denote 2S and write S σ, S μ in place of 2R σ, 2R μ. Then the efficient set is given by σσμμ⋅-+=Sf S f r r , 0>σ. This is a line in risk-reward space with slope ()S f S r σμ- and μ-intercept f r (see Figure 10.3d).10.2 Portfolios of Two Risky Securities and a Risk-Free Asset Suppose now that we are to construct a portfolio from two risky securities and a risk-free asset. This corresponds to the problem of allocating assets among stocks, bonds, and short-term money-market securities. Let 1R , 2R denote the returns on the risky securities and suppose that 21R R μμ< and 21R R σσ<. Further, let f r denote the risk-free rate.The Efficient SetFrom our discussion in §10.1, we know that the portfolios consisting only of the two risky securities 1S , 2S must lie on a hyperbola of the type illustrated in Figure 10.4. We claim that when a risk-free asset is also available, the efficient set consists of the portfolios on the tangent line through (0,f r ) (Figure 10.5). Note that f r in this figure is the μ-intercept of the tangent line through T .FIGURE 10.4Portfolio Opportunity Set for Two SecuritiesFIGURE 10.5Efficient Set as a Tangent LineFIGURE 10.6Portfolios Containing the Tangency Portfolio Dominate All OthersTo see why this is so, consider a portfolio P consisting only of 1S and 2S and let T be the tangency portfolio (i.e., the portfolio which is on both the hyperbola and the tangent line). From our discussion in §10.1, we know that every portfolio consisting of the risky portfolio P and the risk-free asset lies on the straight line through P and (0,f r ), and every portfolio consisting of the tangency portfolio T and the risk-free asset lies on the tangent line through T and (0,f r ) (Figure 10.6). Hence, from Figure 10.6, it is clear that every portfolio consisting of P and the risk-free asset is dominated by a portfolio consisting of T and the risk-free asset. Indeed, for any given risk level σ', there is a portfolio on the line through T and (0,f r ) with greater μ than the corresponding portfolio on the line through P and (0,f r ). Hence, given a choice between holding P as the risky part of our portfolio and holding T as the risky part, we should always choose T .Consequently, the efficient portfolios lie on the line through (0,f r ) and T as claimed. Note, in particular, that the efficient portfolios all have the same risky part T ; the only difference among them is the portion allocated to the risk-free asset. This surprising result, which provides a theoretical justification for the use of index mutual funds by every investor, is known as the mutual fund separation theorem. In view of this separation theorem, the portfolio selection problem is reduced to determining the fraction of an investor’s portfolio that should be invested in the risk -free asset. This is a straightforward problem when the utility functional has the form 2σμk U -=(Figure 10.7). The investor’s optimal portfolio in this figure is denoted by O . Details are left to the reader.Determining the Tangency PortfolioThe tangency portfolio T has the property of being the portfolio on the hyperbola for which the ratioσμf r - is maximal. (Convince yourself that this is so.) Hence, one method of determining the coordinates of T is to solve the following optimization problem:Maximize:σμθf r -= Subject to: ()20202σμμσ+-=A . We will determine the coordinates of T in a slightly different way, which is more easily adapted when the number of risky securities is greater than two.Recall that the efficient portfolios are the ones with the least risk (i.e., smallest σ) for a given level of expected return μ. Hence, the efficient set, which we already know is the line through (0,f r ) and T , can be determined by solving the following collection of optimization problems (one for each μ):Minimize: ()R VarFIGURE 10.7 Optimal Portfolio for a Given Utility FunctionalSubject to: []μ=R E .Let 1y , 2y , 3y be the amounts allocated to 1S , 2S , and the risk-free asset, respectively. Then the return on such a portfolio isf r y R y R y R 32211++=,and so()2222211221212y y y y R Var σσσ++=and[]32211y r y y R E f ++=μμ,where []j j R E =μ, ()j j R Var =2σ, and ()j i j i R R Cov ,=σ. Note that ()R Var does not contain any terms in 3y ! Consequently, the optimization problem can be written asMinimize: 2222211221212y y y y σσσψ++= Subject to: μμμ=++32211y r y y f ,1321=++y y y .Note that the conditions in the optimization are equivalent to the conditions()()f f f r y r y r -=-+-μμμ2211,1321=++y y y .(Substitute 1321=++y y y into the first condition.) Since the only place that 3y now occurs is in the condition 1321=++y y y , this means that we can solve the general optimization problem by first solving the simpler problemMinimize: ψSubject to: ()()f f f r y r y r -=-+-μμμ2211and then determining 3y by 2131y y y --=. Indeed, ψ will still be minimized because the required 1y , 2y will be the same in both optimization problems.The simpler optimization problem can be solved using the Lagrange multipliermethod. In general, we will haveg ∇=∇τψ and 0=g ,where ()()()f f f r y r y r g ---+-=μμμ2211 and τ is the Lagrange multiplier. The letter λ is generally reserved in investment theory for the reward-to-variability ratio ()2σμf r - and, hence, will not be used to represent a Lagrange multiplier here. Performing the required differentiation, we obtain ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ff r r y y 2121221212212μμτσσσσ, or equivalently, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ff r r z z 212122121221μμσσσσ, where112y z τ=, 222y z τ=.Note that the Lagrange multiplier τ will depend in general on μ.Now the tangency portfolio T lies on the efficient set and has the property that 03=y (i.e., no portion of the tangency portfolio is invested in the risk-free asset). Hence, the values of 1y and 2y for the tangency portfolio are given by2111z z z y +=, 2122z z z y +=, where (1z ,2z ) is the unique solution of the preceding matrix equation. Indeed, since T lies on the efficient set, we must have (1y ,2y )=2τ(1z ,2z ), and since 11321=-=+y y y , we must have ()2112z z +=τ. The risk-reward coordinates (T R σ,T R μ) for the tangency portfolio are then determined using the equations2211μμμy y TR +=, 22221221212122σσσσy y y y TR ++=, where 1y , 2y are the fractions just calculated.中文译文：第十章：Markowitz 投资组合选择模型这本书前面九个章节提出了保险和投资任一名学生应该熟悉的基本的概率理论。
投资学--投资组合的选择
E(rc)=y E(rP) +(1-y)rf= 3%+y(9%-3%) = 3+6y
整个资产组合C旳原则差为：
σC=yσp=21y
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资本配置线旳形成
根据σC=yσp=21y，有y=c/21，将y代入 E(rc)=3+6y 得到 E(rc)=3+(9-3)/21σc
从式中可看出，此资产组合旳期望收益率 是原则差旳线性函数。 能够画出有关E(rc)和σc旳几何图形
假如A和B两个企业旳股票旳有关系数ρ=1 ，（1）求出该 投资者全部投资组合旳收益与风险。（2）并在直角坐标 系中画出收益与风险旳关系图。（用描点法画图）
E(rP)= x1E(rA)+ x2E(rB)= 0.25x1 + 0.18x2
P=x1A+x2B = 0.08x1 + 0.04x2
x1 =0.5
N I3
B（股票）
A（债券)
I2点是适合投资者风险偏好旳最大效用旳风险资产组 合
29
总结：最优资本配置旳拟定
E(rp)=9%
(rf)=3% F
0
p
21%
30
三种资产旳最优资产组合 ——股票+债券+国库券
假如投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一 是债券A，一是股票B；一种是年收益率为5%旳无风险 短期国库券。有关数据如下：
他指出，投资者首先在风险资产和无风险资产这两种资 产之间进行选择，他还得出：多种风险资产在风险资产 组合中旳百分比与风险资产组合占全部投资旳百分比无 关。即投资者旳投资决策涉及两个决策，资产配置和证 券旳选择。
16
二、最优资本配置决策
投资者首先面临旳最基本旳决策 资本配置决策：在投资组合中，决定风险
资产组合习题解答
第二章1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择：资产1市场条件收益% 概率 好 16 1/4 一般 12 1/2 差8 1/4资产2市场条件收益 概率 好 4 1/4 一般 6 1/2 差8 1/4资产3市场条件收益 概率 好 20 1/4 一般 14 1/2 差8 1/4资产4市场条件收益 概率 好 16 1/3 一般 12 1/3 差81/3解答：111116%*12%*8%*12%424E =++= 10.028σ==同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033σ= 2、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。
证券A证券B证券C时间价格股利价格股利价格股利1 6578 333 610682 7598368210883 3598 0.72543688 1.35 1240.404 4558 2382821228 5 256838641358 6 590.725 639781.35 61418 0.42 7260839261658A. 计算每个公司每月的收益率。
B. 计算每个公司的平均收益率。
C. 计算每个公司收益率的标准差。
D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。
E. 计算下列组合的平均收益率和标准差：1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3C解答：A 、1.2%2.94%7.93%A B C R R R === C 、4.295%4.176%7.446%A B C σσσ=== D 、()()()0.140.2750.77A B A C B C ρρρ===- E 、3、已知：期望收益标准差证券1 10% 5% 证券24%2%在P P R σ-_空间中，标出两种证券所有组合的点。
假设ρ=1 ，-1，0。
对于每一个相关系数，哪个组合能够获得最小的Pσ？假设不允许卖空，Pσ最小值是多少？解答：设证券1比重为w122222(1,2)1112111,212(1)2(1)w w w w σσσρσσ=+-+-1ρ= m i n 2%σ= 10w = 21w = 1ρ=- m i n 0σ= 12/7w = 25/7w =0ρ= m i n 1.86%σ= 14/29w = 225/29w =4、分析师提供了以下的信息。
第二讲 资产组合选择理论
第二讲 资产组合选择理论本讲主要讲述以下内容： 收益与风险的度量标准的Markowitz 均值—方差模型 推广的风险---收益组合选择模型 § 1.2 收益与风险的度量1. 资产收益（Return,Income,Yield ）度量投资在某项资产上的收益(Return,Income)就是资产价格在一定时间上的绝对改变量，收益率(Yield)是资产价格的变化率。
这里资产指的是一切负债工具、普通股股票、期权、期货、优先股、房地产、收藏品等。
常见资产价格过程：无风险资产（银行存款，短期债券）的价格离散时间 n f n r P P )1(0+=，T n ,...,2,1=连续时间 ⎰=tduu t e P P 0)(0λ，],0[T t ∈；其中)(t λ为t 时刻的利息力（定义为tt t tt t P P tP P P t t '∆-→∆==∆+0lim)(λ）特别，利息强度为常数即λλ=)(t 时，t t e P P λ0=； 当n t =时，n f n n r P e P P )1(00+==λ，所以)1ln(f r +=λ 风险资产（股票，长期债券）的价格Black-Scholes 模型：)(t t t dW dt S dS σμ+= 解上述方程可得：tW t t eS S σσμ+-=)(0221其中t W 是概率空间),,(P F Ω上的标准Brown 运动（即t W 是零初值平稳的独立增量过程，且具有正态分布),0(~t N W t ）。
股票价格模型的其他形式：带Possion 跳的几何Brown 运动模型、随机波动率模型、分式几何Brown 运动模型、一般的指数半鞅模型） 离散时间风险证券价格)1),...(1)(1(210n t t t T R R R S S +++=其中，T t t t t n ==,...,,0210是],0[T 的n 等分点，i t R 表示时间区间],[1i i t t -上的利息率，通常假设 n t t t R R R ,...,21是独立同分布随机变量。
资产组合选择
最大化几何平均收益率：考虑某位投资者为将来某一目的进行投资，如20年后退休，一个合理的标准是选择期末财富期望值最高的组合。Latane证明了这样的组合是具有最高几何平均收益率的组合。选择期望几何平均收益率最高的组合成为组合选择的一个标准，此标准既不需要效用函数的形式，也不考虑证券收益率的分布特征。
1
2
第三节其他组合选择模型
Geometric Mean Returns
如果收益率是正态分布，等价于
安全第一：此模型认为投资者使用简单的关注坏结果的决策规则。已经提出的有三种不同的安全第一标准。
第一种由Roy提出，认为最优组合应该是收益率低于某一特定水平的可能性最小的组合：
面对资本配置线所给出的可行的投资机会集合，投资者必须在其中选择出一个最优的资产组合，这选择需要基于投资者对风险与收益之间权衡关系的偏好。这种偏好反映投资者的风险厌恶程度，用其效用函数来表示。从直观图形上，我们可以使用无差异曲线工具来说明。在期望收益-标准差平面上，无差异曲线是从左下到右上的曲线，由效用值相同的所有资产组合构成。无差异曲线向左上方平移，表示效用值增加。风险厌恶程度高的投资者，其无差异曲线越陡。
03
实际上投资者的借款的成本会超过其贷出的利率7%，假设借入的利率为9%，则资本配置线将在P点处弯曲。
04
第一节风险资产与无风险资产的资本配置
The Opportunity Set with Differential Borrowing and Lending Rates
第一节风险资产与无风险资产的资本配置
可行的投资机会：期望收益-标准差所有组合的直线
3
1
2
4
由y份风险资产和（1-y）份无风险资产组成的整个资产组合C的收益率为：
固定资产分类的各种语言翻译
固定资产分类的各种语言翻译固定资产分类是从不同的角度对固定资产所作的归类。
按其经济用途：生产用固定资产、非生产用固定资产；按其使用情况：使用中固定资产，未使用固定资产，不需用固定资产，封存固定资产；按其综合（结合经济用途和使用情况）分类：生产用固定资产、非生产用固定资产、租出固定资产、未使用固定资产、不需用固定资产、封存固定资产和土地等7类。
当然各企业的后勤部门还可根据本企业的具体情况，具体规定各类固定资产目录。
下面小编简单介绍一下固定资产分类的各种语言翻译。
中文：固定资产分类繁体字：固定資產分類英文：Classification of fixed assets德语：Einstufung von Anlagevermögen法语：Classification des immobilisations俄语：классификацияосновныхфондов西班牙语：Categoría de activos fijos日语：固定資産の分類韩语：고정자산분류葡萄牙语：Classificação DOS ativos fixos意大利语：Classificazione delle immobilizzazioni越南语：Phân loại tài sản cốđịnh希腊语：Ταξινόμησητωνπάγιωνπεριουσιακώνστοιχείων匈牙利语：Az állóeszközök besorolása瑞典语：Klassificering av anläggningstillgångar斯洛文尼亚语：Razvrstitev osnovnih sredstev荷兰语：Classificatie van vaste activa捷克语：Klasif ikace dlouhodobých aktiv罗马尼亚语：Clasificarea mijloacelor fixe丹麦语：Klassificering af anlægsaktiver芬兰语：Kiinteiden varojen luokitus爱沙尼亚语：Põhivara liigitus保加利亚语：Класификациянадълготрайнитеактиви波兰语：Klasyfikacja środków trwałych注：以上资料均为百度翻译提供，排名不分先后！以上就是对固定资产分类的各种语言翻译的详细讲解了，希望能帮助到大家。
资产组合理论
可以为正数，也可以为负数。 其中xi可以为正数，也可以为负数。 这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解， 这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解，即：
对上式求偏导， (i=1， ……， 对上式求偏导，可以得到最优资产组合的权数xi(i=1，2，……， N)， N)，然后根据单个资产的收益和风险来计算出最优资产组合的 收益和风险。 收益和风险。
一、资产组合理论概述 资产组合理论概述
在马克维兹的理论模型中， 在马克维兹的理论模型中，以均值来代表证券 资产组合的预期收益， 资产组合的预期收益，以方差来代表证券资产 组合收益的变动性，即风险， 组合收益的变动性，即风险，投资者可以根据 原有单个资产的均值和方差， 原有单个资产的均值和方差，对证券资产组合 的收益和风险进行简化的分析。 的收益和风险进行简化的分析。 马克维兹认为所有的投资者均是风险厌恶者， 马克维兹认为所有的投资者均是风险厌恶者， 投资者的投资目标是在均值— 投资者的投资目标是在均值—方差空间中寻找 效用最大化的一点， 效用最大化的一点，并确定了投资者风险资产 组合的有效边界。 组合的有效边界。 他认为通过投资分散化， 他认为通过投资分散化，可以在不改变投资组 合预期收益的情况下降低风险， 合预期收益的情况下降低风险，也可以在不改 变投资组合风险的情况下增加收益。 变投资组合风险的情况下增加收益。
二、资产组合理论的基本模型 资产组合理论的基本模型
(二)马克维兹资产组合理论的基本模型 二 马克维兹资产组合理论的基本模型 允许约束条件变化的均值— 2、允许约束条件变化的均值—方差模型 纳入无风险资产的均值— (3) 纳入无风险资产的均值—方差模型
其中， 是无风险资产的收益率。 其中，rj是无风险资产的收益率。
Markowitz-Modern Portfolio Theory投资组合选择
投资组合选择亨利·马克维茨兰德公司投资组合的选择过程可以分为两个阶段：第一，具备敏锐的观察和丰富的经验，不断选择，直至找到你认为在未来会有良好表现的证券。
第二，依据对投资未来表现的看法，最终确定投资组合。
本文主要讨论分析第二阶段。
我们知道，投资者会选择那些可以或者应该得到最大限度的预期贴现率，或者预期回报的投资。
不管是作为一个需要解释的假说，或者是作为使投资者行为带来最大利润的引导，这个原则都是不被认同的。
我们接下来将会说明的是，投资者确实（或者应该）考虑某个表现良好的金融产品的预期收益以及某个不良资产的收益变动。
这条规则既可以作为投资行为的座右铭/标准/准则，也是投资行为的一种假设。
我们将依据资产组合收益的预期方差来阐明对投资组合的偏好与组合之间的几何关系。
投资组合选择的一种原则是投资者必须（或者应该）使未来收益的现值（或资本化值）最大1。
由于未来的不确定性，我们的现值必须得到预期的收益。
这种类型的规则变化是可预知的。
在希克斯之后，预期收益的概念中涵括了风险津贴2。
换句话说就是，我们可以假设一个利率，在这个利率上我们可以估计不同风险的一些证券能带来的收益。
“投资者必须使收益的贴现值最大化”，这一假说必须放弃。
如果我们忽视市场的不完全性，那么上述规则意味着，没有任何多元化投资组合比非多元化投资组合更具备低风险高收益的条件。
资产多样化不仅是可见的，也是明智的；如果一个行为规则，不论作为假说或者准则，都不能揭示多样化的优越性，就必须被抛弃。
*本文建立在作者在考尔斯委员会进行经济研究期间所做的工作基础上，得到了社会科学研究委员会的财政资助。
1. 参见,例如,J.B.威廉姆斯,投资价值理论(剑桥,马塞诸塞州:哈佛大学出版社,1938),55-75页。
2. J. R. 希克斯,价值和资本(纽约:牛津大学出版社,1939),126页。
希克斯将这个规则应用在一个厂商而不是一个投资组合。
上述规则并未表明以下几点：第一，预期收益是如何形成的；第二，不同的证券的贴现率是相同的还是不同的；第三，这些贴现率是如何决定的，或者说，是如何随时间变动的3。
托宾的资产组合理论
托宾的资产组合选择理论不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里托宾获奖是因为他对金融市场及其与支出决策. 就业. 生产和物价的关系进行的分析. 托宾的研究成为中心经济理论中实物和金融状况的结合方面的—次重大突破.(一)托宾的资产组合理论资产组合理论的核心是如何减少投资风险，其理论的中心思想可以用一句话来概括："不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里。
"资产就是人们通常所说的财富，财富可以以不同形式存在，例如实物资产(机器、设备、房屋、土地、汽车等)也可是金融资产(现金、存款、股票、债券等)。
不同的资产在流动性、收益性、安全，性等方面是有差异的，托宾认为，人们会根据收益和风险的选择来安排其资产组合。
货币在不存在通胀的情况下是最安全的资产，且流动性最好，但没有利息收入，收益性较差；若购买股票、债券等有价证券会有收益，因为这时可以得到利息、股息、红利及证券价格上涨带来的资产升值，但同时又要承担亏损的风险。
现实中的普遍规律是，收益越大的资产风险也就越大，因此必须要考虑资产选择的安全性。
总的来讲，人们首先要考虑资产的收益性和安全性，当收益相同时，人们则选择流动性较好的资产。
因此，当利率上升时，为得到更多的利息收入，人们会减少手中持有的货币，而当人们认为投资债券、股票的预期收益较高时，就会增加对股票、债券的购买，减少货币的持有。
当我们将收入一部分购买股票，一部分存入银行，一部分购买债券，一部分用于汽车首付时，实际上就是在进行资产组合，这样组合的目的就是为了能尽量降低风险、获取最大收益。
在投资债券股票时也存在组合问题。
例如在投资债券时，债券有不同的期限，期限短的可以较早收回本息，但收益率低，期限长的收益率高，但占用资金较长，流动性差，因此人们应根据自己对资产的安排进行选择。
当然，债券的二级市场提高了其流动性，当购买了债券却急需用钱时，可以在二级市场上将其出售，变为现金，所以说一个发达、完善的二级流通市场对一级市场是相当重要的，否则人们在购买债券时就会顾虑重重。
《投资学》第四章 投资组合的选择
举例
• 令2D=10，2E=15，ρDE=-0.5代入上式，有
wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]
=(21.123)/(37.246)=0.567
wE=1-0.567=0.433 • 这个最小化方差的资产组合的方差为
• 2min=(0.567210)+(0.433215)
•
+(20.5670.433-6.123)=3.02
• 该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。
• 这一组合的期望收益为：
• E(rp)= 0.56710%+0.43320%=14.33%
14
15
托宾的收益风险理论
托宾(James Tobin)是著名的经济学家，1955-56年，发 现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产 的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，而实际上 投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资 产和现金的。
一、确定最优风险资产组合 ——证券选择决策
确定最优风险资产组合:决定每种风险资
产占风险资产组合的比例，从而达到投资效 用最大化。
（非系统风险可以通过多种风险资产的组合来降低，因此投 资者会根据资产的期望收益与方差情况，来选择组合中的风 险资产，并考虑自己的风险厌恶程度）
12
补充：最小方差的风险资产组合的 比例推导
28
总结：最优风险资产组合的确定
• E(r)
–
•
I1
B（股票）
•
I2
•
N I3
•
A（债券)
I2点是适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产组
资产组合理论
第i项资产的
投资组合权数
3、证券组合风险的计算
收益率的协方差(Covariance)： 衡量组合中一种资产相对于其它资产的风险，
记作Cov(RA, RB)或σAB
协方差>0，该资产与其它资产的收益率正相关 协方差<0，该资产与其它资产的收益率负相关
AB pi RAi ERA RBi ERB
能得到的所有证券组合的集合。 （三）有效组合的决定
有效边界上的所有组合都是有 效组合。
ρAB取不同值时投资组合的机会集
收益 E(Rp)
20
ρ= -1ρ= 0ρ= -0.51410 B
A
ρ= 0.5 ρ= 1
10
15
风险 σp
1
（三）多种资产组合的有效集
三种资产组合的收益-风险的1,000对 可能组合之模拟
标准差 σ
15% 10%
相关系数 ρAB +0.5
组合 wA wB E(RP) σP
1 0.0 1.0 10.0% 10.0%
2 0.2 0.8 12.0% 9.8%
3 0.4 0.6 14.0% 10.4%
4
5
0.6 0.8
0.4 0.2
16.0% 18.0%
11.5% 13.1%
6 1.0 0.0 20.0% 15.0%
（二）单项资产的收益和风险
1、单项资产的收益 单项资产的预期收益率 (expected return)
n
ER 或 R Ri pi i 1
2、单项资产的风险 单项资产收益率的方差(variance)/标准差 (standard deviation)
n
2或Var(R) pi Ri ER2 i 1
第4章_最优资产组合选择
– 静态预期收益与方差——对收益和波动没有 预测（例如：金融分析、会计信息、宏观经 济变量在制定投资决策时不发挥任何作用）
一些需要思考的重要问题
• 证券分析能提高资产组合的业绩么？ • 分析师的观点怎么介入证券选择？
（二）风险厌恶与资产配置
分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下 方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最 小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的 效率边界（Efficient Frontier）。
三、一个无风险资产与两个风险资产的组合
假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-
E2
rS
2 B
E
rB
E
rS
E rS E rB 2
S ,B S B
• 情形一， S,B 1 此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们
容易得到：
2 P
w S
(1
w) B 2
p w S (1 w) B , 如果0 w 1
水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有：
U 0, U 0
•
在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲
线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无
差异曲线的效用水平。
•
给定投资者的效用函数 U U (, 程可以分为两个阶段：
•
首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协
资产组合选择模型
金融工程学第10章资产组合选择模型概述⏹现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的《投资组合选择》为标志⏹该理论基本假设（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。
（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。
（4）投资者希望持有有效资产组合。
10.1 组合的可行集⏹可行集与有效集⏹可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。
⏹有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。
每一个组合代表一个点。
⏹有效集（Efficient set）：又称为有效边界（Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。
益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系⏹注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1⏹因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。
⏹其他所有的可能情况，在这两个边界之中。
组合的风险－收益二维表示.收益r p风险σp两种完全正相关资产的可行集两种资产完全正相关，即ρ()(1)w w w σσσ+-＝命题行集是一条直线。
⏹证明：由资产组合的计算公式可得减少到了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。
两种资产完全负相关，即ρ12σ命题条直线，其截距相同，斜率异号。
证明：σσ两种不完全相关的风险资产组合的可行集构成的可行集rσ(,)1212121212121111ρρρρρρ>>-由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。
随着的增大，弯曲程度增加；当＝－时，呈现折线状，也就是弯曲度最大；当＝时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越大越弯曲。
(1952 JF) Portfolio Selection_Markowitz 资产组合理论经典文章
Portfolio SelectionHarry MarkowitzThe Journal of Finance,Vol.7,No.1.(Mar.,1952),pp.77-91.Stable URL:/sici?sici=0022-1082%28195203%297%3A1%3C77%3APS%3E2.0.CO%3B2-1The Journal of Finance is currently published by American Finance Association.Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of JSTOR's Terms and Conditions of Use,available at/about/terms.html.JSTOR's Terms and Conditions of Use provides,in part,that unless you have obtained prior permission,you may not download an entire issue of a journal or multiple copies of articles,and you may use content in the JSTOR archive only for your personal,non-commercial use.Please contact the publisher regarding any further use of this work.Publisher contact information may be obtained at/journals/afina.html.Each copy of any part of a JSTOR transmission must contain the same copyright notice that appears on the screen or printed page of such transmission.The JSTOR Archive is a trusted digital repository providing for long-term preservation and access to leading academic journals and scholarly literature from around the world.The Archive is supported by libraries,scholarly societies,publishers, and foundations.It is an initiative of JSTOR,a not-for-profit organization with a mission to help the scholarly community take advantage of advances in technology.For more information regarding JSTOR,please contact support@.Mon Sep301:12:502007。
大学教育-证券投资学-第八章 资产组合理论
第八章 资产组合理论
17
一、无风险资产
概念：
– 所谓的无风险资产，是指投资于该资产的收益率是
确定的、没有风险的。 – 通常，我们认为国债没有信用风险。投资于零息国 债，并持有到期，其收益率是确定的。
含义：
– 既然无风险资产的收益率是确定的，因此其收益率
允许无风险借入情况下的资产组合
– 无风险借入投资于一项风险资产
组合的可行区域是一条延长线，参见前例 – 无风险借入投资于多项风险资产 将多项风险资产看成一个组合，然后再与无风险资产进行 组合。
第八章 资产组合理论
23
无风险借入对有效边界的影响
无风险借入投资于一项风险资产
– 有效边界就是可行区域
借入资金投资于风险资产。
允许无风险借贷对有效边界的影响：
– 无风险借入与一项风险资产的组合
有效边界就是可行区域，是一条从无风险收益率经过风险 收益率的射线 有效边界是从无风险收益率经过切点的射线
– 无风险借入与多项风险资产的组合
对最优组合选择的影响
– 参见图8.4
第八章 资产组合理论 25
无风险借贷对有效边界的影响
的标准差为零。 – 由此可以推出，一项无风险资产的收益率与一项风 险资产的收益率之间的协方差为零。 – 由于无风险资产的收益率是确定的，与任何风险资 产的收益率无关，因此它们之间的相关系数为零。
第八章 资产组合理论 18
二、允许无风险贷出
无风险贷出
– 所谓无风险贷出，是指投资者对无风险资产的投资。
第二讲资产组合选择理论
第⼆讲资产组合选择理论第⼆讲资产组合选择理论本讲主要讲述以下内容：收益与风险的度量标准的Markowitz 均值—⽅差模型推⼴的风险---收益组合选择模型 § 1.2 收益与风险的度量1. 资产收益（Return,Income,Yield ）度量投资在某项资产上的收益(Return,Income)就是资产价格在⼀定时间上的绝对改变量，收益率(Yield)是资产价格的变化率。
这⾥资产指的是⼀切负债⼯具、普通股股票、期权、期货、优先股、房地产、收藏品等。
常见资产价格过程：⽆风险资产（银⾏存款，短期债券）的价格离散时间 n f n r P P )1(0+=，T n ,...,2,1=连续时间 ?=tduu t e P P 0)(0λ，],0[T t ∈；其中)(t λ为t 时刻的利息⼒（定义为tt t tt t P P tP P P t t '?-→?==?+0lim)(λ）特别，利息强度为常数即λλ=)(t 时，t t e P P λ0=；当n t =时，n f n n r P e P P )1(00+==λ，所以)1ln(f r +=λ风险资产（股票，长期债券）的价格Black-Scholes 模型：)(t t t dW dt S dS σµ+= 解上述⽅程可得：tW t t eS S σσµ+-=)(0221其中t W 是概率空间),,(P F Ω上的标准Brown 运动（即t W 是零初值平稳的独⽴增量过程，且具有正态分布),0(~t N W t ）。
股票价格模型的其他形式：带Possion 跳的⼏何Brown 运动模型、随机波动率模型、分式⼏何Brown 运动模型、⼀般的指数半鞅模型）离散时间风险证券价格)1),...(1)(1(210n t t t T R R R S S +++=其中，T t t t t n ==,...,,0210是],0[T 的n 等分点，i t R 表⽰时间区间],[1i i t t -上的利息率，通常假设 n t t t R R R ,...,21是独⽴同分布随机变量。
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资产组合选择Harry Markowitz资产组合选择过程可以分为两个阶段。
第一个阶段是从观察和经验形成对可供出售的证券未来表现的信任，第二个阶段是从对未来表现的有关信任形成资产组合选择。
本文关注的是第二个阶段。
我们首先考虑投资者使用（或者应当使用）最大化折现期望或预期回报的准则，这一准则不足以作为立论的前提假设和引领投资者行为的最大化原则。
接下来，我们考虑投资者使用（或者应当使用）追求期望回报，回避回报方差的准则。
这一准则作为投资者行为最大化原则和前提假设具有许多优点。
我们用几何方法表示了信任和资产组合选择之间依照―期望回报——回报方差‖准则形成的关系。
资产组合选择的一种准则是投资者使用（或者应当使用）最大化未来回报的折现（或资本化）价值1。
既然未来是不可确定的，我们所折现的必然是―期望‖或―预期‖回报。
也可以讨论该种准则的变化后形式，我们按照Hicks 的方法，让―预期‖回报包含一个风险补偿2。
或者，我们可以让资本化特定证券回报的比率随着风险而变化。
投资者采取（或者应当采取）最大化折现回报的假设（或最大化原则）必须被抛弃。
如果我们忽略市场的不完善，前面的准则不能说明存在一个优于所有非分散化组合的分散化资产组合。
分散化既是可以观察到的，也是可以认识的，一个不能得出分散化优越性的行为准则不能作为前提假设和最大化原则。
上述准则不能说明分散化这个结果。
无论预期回报如何形成，无论是否对不同证券使用相同的或不同的折现率，也无论这些折现率是如何确定的或者如何随时间而变化3，假设必然得出投资者将他的所有资金投入到具有最大折现价值的证券上。
如果两个或多个证券具有同样的价值，那么其中的任何一个或者组合当中的任何一个都与其它的同样好。
我们能看到这样的分析：假设有N种证券，ri t为在t 时间投资于证券i 的每一美元的预期回报（不管其如何确定），di t为第i 个证券在时间t 内折现为现值的比率，Xi为投资于证券i 的相对数量。
我们排除卖空的可能，因此，对所有的i 有Xi≥0。
资产组合的折现预期回报为：是第i 个证券的折现回报，因此，，这里Ri独立于Xi。
因为对所有的i 有Xi≥0 并且，所以R 是以非负的Xi为权数的Ri的加权平均。
为了最大化R，我们对Ri最大的i 取Xi =1。
如果某些R a a，a=1，… ，K 最大，那么只要满足都可以最大化R。
无论如何分散化的资产组合不能优于所有的非分散化组合4。
这将方便去考察静态模型。
我们不说第i 个证券回报的时间序列（ri 1，ri 2，… ，rin，… ），而说第i 个证券的―回报流‖（ri ）。
资产组合整体的回报流是。
在动态情况下，如果投资者希望最大化资产组合―期望‖回报，他会将所有的资金投入具有最大期望回报的证券。
这有一个准则可以同时满足投资者应当分散化投资和应当最大化期望回报。
该准则是说投资者采用（或者应当采用）将其资金分散在所有提供最大期望回报的证券上面。
大数法则确保资产组合的真实收益几乎与期望收益相同5。
该法则是期望回报—回报方差准则（下面即将表述）的特例，它假设存在最大期望回报和最小方差的资产组合，这一组合正好适合投资者。
将大数法则用于资产组合的假设是不能接受的。
证券回报的关联性太强，分散化就不能抵消所有的方差。
具有最大期望回报的资产组合不一定具有最小方差。
存在一个投资者可以在控制方差来获得期望回报，或者在放弃期望回报来减少方差的率。
我们已经看到期望回报或预期回报准则是不合适的。
让我们考察期望回报-回报方差（E-V）准则。
首先，必须给出一些数理统计的基本概念和结果，接下来我们揭示E-V 准则的含义，随后我们讨论其合理性。
在我们的描述中我们力图避免复杂的数学表述和证明，严格而且一般性的术语需要花费一定的代价。
由此形成的主要局限有：（1）我们并非从分析n 种证券的情况，而是以几何方式分析3 到4 种证券得到结果；（2）我们假设静态的概率信念。
在一般情况下，我们必须认识到各种证券收益的概率分布是时间的函数。
作者力图在将来展示一般性的数学处理，以消除这些局限。
我们需要下列数理统计学的基本概念和结论。
Y 是随机变量，i.e,即其值是偶然性确定的变量。
为简化，设Y 可以取有限个值。
Y= y1的概率为p1，Y= y2的概率为p2等等。
Y 的期望值（均值）定义为：Y 的方差定义为：V是Y 的其期望值的平均平方偏差。
V 一般用于测度分散程度，其他与V有关的测度分散程度的是标准差和方差系数 。
假设我们有一列随机变量R1，R2，… ，Rn ，如果R 是Ri的加权和（线性组合）：那么R 也是随机变量。
（例如，R1为占1 个单位的数，R2为占另一个单位的数，R 为这些数的和。
在这种情况下，n = 2，a1 = a2 = 1）。
知道期望值和加权和（R）的方差与R1，R2，… ，Rn 的概率分布的关系对于我们来说非常重要。
下面我们给出这些关系，读者可参考标准教科书的证明6。
加权和的期望值是期望值的加权和。
即。
加权和的方差并不简单，为了表述它，我们必须定义―协方差‖。
R1和R2的协方差为：即R1与其均值的差乘以R2与其均值的差的期望值。
一般地，我们定义Ri和Rj 的协方差为：σi j可以用熟悉的相关系数（ρi j）来表示。
Ri和Rj的协方差等于它们的相关系数乘以Ri的标准差再乘以Rj的标准差。
加权和的方差为：如果我们运用Ri的方差为σi 的事实，那么Ri为第i 个证券的回报，μi为Ri的期望值；σi j为Ri和Rj的协方差（因此σi i 为Ri的方差），Xi为分配到第i 个证券上的投资者资产的比例。
资产组合整体的收益（R）为:将Ri（以及R）作为随机变量7，Xi不是随机变量，由投资者决定。
因为Xi是比例，我们有∑Xi=1。
在我们的分析中，我们将不排除Xi的负值（即卖空）的可能，因此对所有的i，Xi≥0。
资产组合整体的回报（R）是随机变量的加权和（投资者可以选择权数）。
从我们对加权和的讨论可以看出资产组合整体的期望回报E 是：方差是：对固定的主观概率（μi， σi j），投资者所选择E 和V 的各种组合决定于选择资产组合的X1，X2，… ，XN。
假设所有可行（E，V）组合集如图1 所示。
E-V 准则得出投资者将（或者应当）希望选择这些组合中最有效率的一个，也就是给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大。
给定μi和σi j时，计算有效资产组合和有效（E，V）组合集的技术是存在的。
在这里我们不给出这些技术。
但是，我们用几何方法列举当N（可选证券数）较小时有效表面的性质。
有效表面的计算可能会有实际的用途。
或许存在着通过将统计技术和专家判断相结合形成合理的概率信任？（μi， σi j）的方法，我们将利用这些信任？计算可行的有效组合（E，V）。
投资者在被告知哪些（E，V）组合是可行的之后，能够声明他所希望获得的组合。
我们能够找到符合这种愿望组合的资产组合。
在按照上述方式将有效表面运用于实践时，必须至少满足两个条件。
首先，投资者必须依照E—V矩阵采取行动。
其次，我们必须达到合理的μi和σi j。
我们随后将回到这些主题上来。
让我们考虑三只证券的例子。
在三只证券的情况下，我们的模型减少为：（1）∑==31iiiX Eμ（2）j i i j ij X X V ∑∑===3131σ （3）∑==311i i X（4）0≥i X 对i=1,2,3从（3）我们得到3’） X3 = 1 – X1 – X2如果将（3’）代入（1）和（2），我们得到E 和V 的用X1 和 X2表示的函数形式。
例如，我们发现：1’） E = μ3 + X1（μ1- μ3 ）+ X2 （μ2- μ3 ）在这里，精确的公式并非十分重要（V 在下面给出）。
我们可以简化写做： a ） E = E （X1，X2）b ） V = V （X1，X2）c ） 01,0,02121≥--≥≥X X X X利用关系式（a ）、（b ）、（c ），我们用二维几何来表示。
资产组合可行集合由所有满足约束（c ）和（3’）（或等价地（3）和（4））的组合构成。
X1和X2的可行组合由图2 中的三角形acb 来表示。
X2轴左边的任何点都是不可行的，因为不满足01≥X 的条件。
X1轴下边的任何点都是不可行的，因为不满足02≥X 的条件。
直线（0121≥--X X ）上方的任何点都是不可行的，因为不满足01213≥--=X X X 的条件。
我们将给定期望回报时所有点（资产组合）构成的集合定义为―等均值‖线。
同样，将给定回报方差时所有点构成的集合定义为―等方差‖线。
考察 E 和V 的公式，我们知道等均值线和等方差线的形状。
具体而言，通常等均值线是一簇平行直线；等方差线是一簇同心椭圆（参见图2）。
例如，如果32μμ≠，方程1’可以写做熟悉的形式X2 = a + bX1，具体而言（1）是：132313232X E X μμμμμμμ-----=因此E = E0时，等均值线的斜率为-（μ1 - μ3）/（μ2 - μ3），截距为（E0 - μ3）/（μ2 - μ3）。
如果我们改变E ，截距会改变但是等均值线的斜率不会改变。
这就确定了等均值线构成一簇平行直线的结论。
同样地，通过简单地应用几何分析，我们也可以确定等方差线的形状构成是一簇同心椭圆。
曲线簇的―中心‖是最小化V 的点，我们将该点标记为X ，将它的期望回报和方差标记为E 和V 。
偏离X 越远时，方差会增加，更精确地讲，如果一条等方差线C1较另一条C2更接近X ，那么C1的方差就小于C2的方差。
利用前述几何工具，我们来求解有效集合。
等方差椭圆簇的中心X 可能落在可行集之内或之外。
图4 显示了一个X 落在可行集之内的例子，在这种情况下X 是有效的。
不存在V 小于X 的其它资产组合；因此不存在具有更小的V （E 相同或更大时）或者在V 相同或更小时具有更大的E 的资产组合。
不存在期望回报E 小于有效E 的点（组合），因为我们有E > E 和V < V 。
？考虑给定期望回报 E 的所有点，即所有在E 的等均值线上的点。
等均值线上V 取最小值的点是等均值线与一条等方差线相切的点，我们称该点为)(^E X 。
我们让E 变动，)(^E X 的轨迹构成一条曲线。
代数推导（我们在此略去）显示该曲线为一条直线，我们称之为临界线（critical line ）L 。
临界线通过X ，因为该点在所有满足E （X1，X2）= E 的点中使得 V 最小。
从X 沿着L 的任何方向，V 都将递增。
在临界线上从X 到临界线通过可行集边界点的线段构成有效集的一部分，有效集的其余部分（在所显示的情况下）是ab 直线上从d 到b 的线段。
b 是可行的E 最大的点。
在图3 中，X 位于可行域之外，但是临界线与可行域相交。