人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析

人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析

一、选择题

1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( )

A ．60海里

B ．45海里

C ．3

D ．3

【答案】D

【解析】

【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案．

【详解】

解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，

故AB=2AP=60（海里），

则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．

2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75

B ．15或30

C ．75或15

D ．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：322AE = ．

sin∠AOD=

3

2

，∴∠AOD=60°；

sin∠AOE=

2

2

，∴∠AOE=45°；

∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）

A．23B．3C．33D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3，

所以BD=BA=2x，即可得33）x，

在Rt△ACD中，tan∠DAC=

(32)

32 CD x

AC

+

==，

故选A.

4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC

V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE

∠的值是（）

A．24

7

B．

7

3

C．

7

24

D．

1

3

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，

解得x=25

4

，故CE=8-

25

4

=

7

4

，

∴tan∠CBE=

7

24 CE

CB

.

故选C.

考点：锐角三角函数.

5．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．

【详解】

解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BC AC

，

所以sin∠A＝0.25.

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．

点睛：

本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．

6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）

A ．1

B ．12

C ．32

D ．33

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-33

【详解】

过点C 作CF ⊥BD 与点F ．

∵∠BAE ＝30°，

∴∠DBC ＝30°，

∵BC ＝2，

∴CF ＝1，BF 3 ，

易证△AEB ≌△CFD （AAS ）

∴AE ＝CF ＝1，

∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，

∴BE ＝33 AE ＝33

， ∴EF ＝BF ﹣BE 3 3233， 在Rt △CFE 中，

tan ∠DEC ＝323CF

EF ==， 故选C ．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

7．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，

AB Q 为直径，

90ADB ACB ∴∠=∠=︒，

AD CD =Q ，

DAC DCA ∴∠=∠，

而DCA ABD ∠=∠，

DAC ABD ∴∠=∠，

DE AB ∵⊥，

90ABD BDE ∴∠+∠=︒，

而90ADE BDE ∠+∠=︒，