第5章 波动的不稳定理论

y2 y1
y2 d * d d * 2 u 1 1 * dy y1 2 dy 0 （5.24） dy dy dy y u c u c*
* 因为 , 在 y1 , y2 处为零，所以（5.24）式左端第一项应为零，则（5.24）式左端第二项也应为零 。 2
Qeit (为 t 的函数)
若 i ci ＝0，A 不随 t 改变，称波动中性(稳定)； i ci >0，A 随 t 增大，称波动不稳定（增长波） ；
i ci <0，A 随时间减小，称波动稳定（衰减波） 。
∵ 波动一般解（复数解为共轭根）=增长解+衰减解=各特解的迭加
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《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
准地转大气模型，成功作出第一张数值天气预报图，从此使天气预报进入了定量化的新时代。
图 5.4 华裔美籍气象学家郭wk.baidu.com岚
世界著名气象学家郭晓岚小传
郭晓岚（1915～2006），生于河北满城，世界著名的华裔美籍气象学家。幼时家境贫寒，高小毕 业后回家参加农业劳动。1929 年暑期，考入保定第二师范。1932 年升为清华大学数学系，次年转入地 球物理系。1937 年毕业后被南京中央研究院紫金山气象研究所录用。其间，著述甚丰，获硕士学位。 1945 年与杨振宁、叶笃正等 22 人去美国芝加哥大学学习。 1948 年获芝加哥大学地球物理学博士学位。 后在麻省理工学院任高级研究员。1962 年回芝加哥大学任地球物理学教授。他学识渊博，成绩卓著， 在气象界诸多领域做出了创造性的成绩。1948 年他在博士论文《正压大气二维无辐散流的动力不稳定 性》中给出的“正压不稳定性判据”（正压大气长波不稳定的必要条件）为国际上普遍接受。1965 年 提出积云对流参数化方案，1974 年对它进行了修正，这个方案被广泛的应用，称为“郭氏积云对流参 数化方案”。 此外，他对大气动力学中的斜压动力不稳定理论、 大气环流形成和大尺度热力环流理论 、 中尺度对流动力学和涡旋动力学理论、地－气相互作用、大气辐射以及低纬和热带动力学理论等方面 都有引导性和创新性贡献。由于他在大气动力学基础研究中的卓越成就，1970 年获美国气象学会最高 荣誉奖—罗斯贝研究奖章。曾４次（1973、1979、1986、1992 年）应中国科学院邀请回国讲学或参加 学术性会议。1979 年，郭晓岚应邀在中国科学院研究生院讲学并出版研究生教材《大气动力学》，他 还兼任过台湾“中央研究院”院长。
（5.19）
设大气在 y y1 , y2 的纬向管道内流动，有齐次（刚壁）边界条件：
'
设（5.19）式的解为：
y y1
'
y y2
0
（5.20）
' ( y )eik x ct
（5.21）式代入（5.19）式并设 u c 0 ，得：
（5.21）
u 0 ，当 y
u f 时， a 0 惯性不稳定。在台风的发展中也有惯性不稳定；但惯性不稳定又使扰动随时间增 y
长，基流发生侧向混合 水平风切变减小 a 0 惯性稳定 扰动减弱。 大气中通过惯性不稳定发展的惯性重力波的源区主要有：阻塞高压东北侧；副热带高压北侧或西北 侧；低纬东风带；赤道地区。
2
uc
u c

2
y2 y1
f y dy 0 ，此积分式的几何意义： （面积和）
s1 s2 0 ，
因此 f y 必经过 f ( y ) 0 处，即 f y 在 y1 , y2 内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的 必要条件为：在 y1 , y2 内至少存在一点 yc ，使得:
2 u 0 （在 y yc 处）—Reyleigh 定理 y 2
其中 y yc 是 u u ( y ) 的拐点。
（5.28）
图 5.3 瑞利正压不稳定的基流分布
2．正压不稳定的（第二）必要条件——Fjortoft 定理

y2 y1
2 u 2 2 u dy 0 y
dv u u f u ( y0 ) y u ( y0 ) f y f ( f ) y dt y y
（5.14）
4
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北半球 f 0, y 0 ，所以气块离开平衡位置后是返回或继续远离，取决于 f
2．惯性稳定度判据 设基本气流是地转平衡， u u g const ，环境位势只有南北分布，即


0, v 0 x
（5.7）
u
1 f y
（5.8）
设气块在南北运动过程中不扰动环境位势场的分布，
0, fu x x y y

y0 y y0
(5.11)1 dy 得：
（5.12）
u ( y0 y ) u ( y0 ) f y u ( y0 ) f y
而 y0 y 处的基流速度为：
u ( y0 y ) u ( y0 )
u y y
（5.13）
将（5.12）、（ 5.13）式代入（5.11）的第 2 式得；
由于水平无辐散， 引入流函数 ’，则
（5.17）
u'
5.17 2 x 5.17 1 y
' ' ' ,v y x
（5.18）

) 并利用（5.17）3 涡度方程(习题 Cha.3-3 Cha.3-3)
2 ' 2 u ' u 0 h x y 2 x t
2
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图 5.1 大气扰动与动力不稳定的关系
§2 惯性稳定度
1．定义 地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题。表示 惯性振荡或快波的不稳定发展现象。
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2 u 0 （在 y yc 处） y 2
（5.26）
——郭晓岚判据或郭晓岚定理（流体力学中 Reyleigh 定理的推广）
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或
u a f y y y
图 5.2 惯性不稳定的基流分布
5
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4．惯性不稳定发展的能量来源 因为地转基流 u u ( y ) ，是正压大气，有效位能（APE）不能释放。所以扰动发展的能源为基本气流 的动能（即平均动能） 。
§3 正压稳定度
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第五章 波动的不稳定理论
§1 §2 §3 §4 §5
波动稳定度概念 惯性不稳定 正压不稳定 斜压不稳定 K—H 不稳定
重点：正压不稳定，斜压不稳定的概念，稳定度条件，动力不稳定与天气系统发生、发展的联系。
§1 波动稳定度的概念
1.波动稳定度的定义 定常的基本气流 u 上有小扰动产生， 若扰动继续保持为小扰动或随时间衰减,则称波动是中性的或波动 是稳定的 ；若扰动随时间增强，则称波动不稳定。
2.稳定度的表达方式 设有波动 q Qe
ik ( x ct )
Qei ( kx t )
(5.1)
2 u 2 * 2 d y 2 k * 0 2 * uc dy
（5.23）
5.22 5.23 dy ：
y1
y2
*
注意：
*
d 2 d 2 * d * d d * ，可得： dy 2 dy 2 dy dy dy
（5.29）
在 y1 , y2 内，基本气流 u 与基流绝对涡度的梯度正相关（习题 cha.5－6） 。如果要将此定理应用于 图 5.4，则要将（ 5.29）式中的 取零， u 理解为 u u c ，即 u u c 与
2 u 负相关，才可能发生正压不稳定 。 y 2
注：1950 年美国恰尼（Charney）、挪威菲约托夫特（Fjortoft）和美籍匈牙利人冯·诺伊曼（Von Neumann） 首次在世界上第一台通用电子数字计算机“埃尼阿克”（ENIAC）上通过数值积分正压涡度方程所反映的
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2 u 2 2 d y 2 k 0 dy 2 u c
设 的共轭根为 ，c 的共轭根为 c ，则有：
* *
（5.22）
∴ 若 i 0 (ci 0) ，则有波动不稳定。定义 i kci 为不稳定增长率。
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若 i 0 3．不稳定的充要条件
。 ci 0 ，则波动是稳定的（中性或衰减）
1） 必要条件：由 ci 0 导出的条件，即波动不稳定必须满足的条件。若此条件不满足，则波动一 定是稳定的。 2） 充分条件（判据） ： 由方程导出在 A 条件下， 必有 ci 0 ，则 A 条件称为不稳定的充分条件 （或 不稳定判据） 。 4．波动不稳定的天气学意义 第三章：不同尺度（类型）波动可表示不同类型的大气运动系统（主要研究系统的特征和移动） 第五章：不同类型波动的不稳定可表示不同类型的大气运动的发展状况（主要研究系统强度的变化）
定义：正压基流上，扰动形成的正压大气 Rossby 波的振幅是否随时间增长的问题。
1
正压不稳定的必要条件—郭晓岚（H.L.Kuo）定理 正压大气： u u ( y) ，采用水平无辐散和静力平衡近似，则有 p 系线性化方程组：
' u ' ' u u f v x y x t ' ' ' u v fu x y t ' ' u v 0 x y
又 * ，
2ici 1 1 ，则有： 2 * uc uc u c
2 u 2 y2 y 2 ci dy 0 2 y1 uc
对于正压不稳定， ci 0
2 2
（5.25）
所以

( 0 ，令 f y
2 u ) y 2
由气块的水平运动方程组：
（5.9）
du fv 0 dt dv fu f u dt
改写为
（5.10）
dy du fv f dt dt dv f u u dt
（5.11）


则初始位于 y y0 、并随基流作纬向移动的气块，由于某种原因穿越基流而向北运动，其经向位移 为 y 。移动后的纬向速度可由
y yc
0
（5.27）
即正压不稳定要求基本气流的绝对涡度的南北梯度，在 y1 , y2 区间内的某些地方（至少有一点）为 零，或
a 在 y1 , y2 内改变符号。 y
也可以理解为绝对涡度 a 必须在所考虑的空间内 y1 , y2 有极值（对 平面上的不可压流，等价于 基本气流有拐点）才可能发生不稳定。 令 0 ，由（5.26）式得：
k 取实数, c 可取复数。设
r i i
代入(5.1)式得
c cr ici
(5.2)
q Qe kcit eik ( x cr t ) Qeit ei ( kx rt )
其中，波动相速 cr 振幅 A Qe
kci t
(5.3)
r k
u 的符号，则有： y
0
不稳定 中性 稳定 （5.15）
f
u u f g 0 y y
0
∵
v u u ，所以惯性稳定度判据为： x y y
0
不稳定 中性 稳定 （5.16）
f
u f a 0 y
>0
3．惯性不稳定的天气学意义 大尺度运动，一般 a 0 ，所以一般情况是惯性稳定的。但在西风急流右侧，由于