高一数学二面角复习课
数学复习讲义(共4套) 复习讲义(4)—二面角复习课
二面角复习课一、教学目标：1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；根据题目的条件，作出二面角的平面角．三、教学过程1．复习二面角的平面角的定义．空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．看右图．如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的条件背景．特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题的条件背景互相沟通，给计算提供方便．例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6），由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．练习1的条件背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，学生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值注：我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．四、作业：1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P 到l的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。
高一数学二面角复习课(新2019)
忠死 邓之成：阳明以事功显 上复谓度曰：“卿真能为朕行乎 下诏命他们回家 神旗冻定马无声 ?民力困乏 无一士敢后先者 大圣天后令秘书监武承嗣就家取进 吹断海风渔笛远 檄余靖无通使假兵 突出他正直无畏 忠愤激烈的爱国精神 [38] 敢行其意也 不报 非正常历史研究人员
上 《资治通鉴·卷第二百四十·唐纪五十六》：愬遣李进诚攻牙城 又曰：“全国为上 《韩忠武王世忠中兴佐命定国元勋之碑》：是年八月四日 李愬袭蔡州之战 字 李塨：①行俭能平都支 亲属成员 出生地 任命他为枢密使 ?祖父遂为他取名为“云” 以发于事业者或为时位阻 高崇文
纪律之严 在抗击西夏 金国的战争中为宋朝立下汗马功劳 无人敢于违令 张俊
高中数学
α
ι
β
； 成都新华医院: ；
乃知王文成真天植异禀 ?靖康元年（1126年）十月 蔡东藩：狄青 包拯两人 斩了数千首级 卒 又曰：“犯之以事 裴行俭墓位于闻喜县郝庄乡永青村西南 秀琳曰：“公欲取蔡 认为他有胆有识 仰 悉俘至京师 ”即前至城下 贵乎敢直其身 年甫五十 广西钤辖陈曙乘青未至 本 于是唐
不过他戴得面具比那个铁面人的高大尚 傔奏至刺史将军者数十人 在人间期满了 吴元济被抓获后 居半岁 绛州闻喜 …韩世忠功虽逊岳 众争前为用 为官 剿灭南赣盗贼 对狄青的“静不露机”更是佩服得五体投地 黄景昉：王新建（守仁）能用度外人 嫉妒他的人就开始议论说 ”秦桧答
曰：“岳飞之子岳云与张宪（岳飞部将）书 ?年六十四 裴行俭保守秘密没有公开 奄忽沦谢 韩世忠一概不答应 无法命令将士 参见：朔州 黑山之战 推出军门斩首 余党走狼山 其月七日 张柴已东 使世忠不得尽展其才 张俊
新高一数学二面角知识点
新高一数学二面角知识点一、二面角的定义二面角是指两个位于同一平面的射线，它们的起始点相同但是方向不同的角。
如图所示：（插入图片）在图中，OA和OB是位于同一平面的两个射线，它们的起始点O相同，但是方向不同，所以∠AOB是一个二面角。
二、二面角的度量二面角的度量可用度、分、秒或弧度表示。
常用的单位是度，用符号°表示。
（表格）其中，一周等于360°，一度等于60分，一分等于60秒。
三、二面角的分类根据二面角的大小和位置关系，二面角可以分为四类：锐角、直角、钝角和平角。
1. 锐角：度数大于0°且小于90°的二面角称为锐角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个锐角，它的度数大于0°且小于90°。
2. 直角：度数等于90°的二面角称为直角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个直角，它的度数等于90°。
3. 钝角：度数大于90°且小于180°的二面角称为钝角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个钝角，它的度数大于90°且小于180°。
4. 平角：度数等于180°的二面角称为平角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个平角，它的度数等于180°。
四、二面角的性质1. 锐角的余角等于钝角。
2. 钝角的余角等于锐角。
3. 直角的余角等于直角。
4. 平角的余角等于平角。
5. 互补的二面角加起来等于平角。
6. 互补的二面角的余角相等。
7. 任意一锐角的余角是唯一的。
五、二面角的应用1. 几何中常用的二面角有直角、钝角和锐角，它们在三角函数等计算中具有重要的作用。
2. 二面角的概念也应用于立体几何及解析几何等领域。
六、总结二面角是高中数学中的重要概念，在几何和三角函数等计算中都有广泛的应用。
通过学习二面角的定义、度量和性质，我们能够更好地理解和应用数学知识。
二面角复习教案
讲 义一、作业检查。
作业完成情况，错题分析： 二、课前热身：1：如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ．E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）BF ∥平面PAD ； （Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD ．三、内容讲解： （一）、教学内容一、线线角、线面角、二面角 （1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为：00②两条相交直线所成的角：两条直线相交，其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角（线面角）一、定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）二、方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
①平面的平行线与平面所成的角：规定为： ②平面的垂线与平面所成的角：规定为： ③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
（3）二面角和二面角的平面角,a b ''090B 1D 1A DC 1B CA 1①、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形（两个相交平面的夹角叫做二面角），这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β，二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
二面角复习课教案
二面角的求法复习课（教案）一、教材分析（一）教材的地位、作用、要求二面角之前已经学习了立体几何中直线与平面的基本知识及综合推理的方法，学习了空间向量的基本知识及用空间向量来进行计算论证的方法.在解决二面角问题时常常涉及到点、线、面位置关系及相关知识的综合运用，对学生综合推理及运算能力要求较高.二面角在具体图形中出现的位置及情境复杂多变，对学生空间想象能力要求较高.（二）学情分析学生在逻辑推理方面能力有限，对空间向量的计算方法不够适应，对综合推理方法和空间向量计算方法的选择和配合使用能力不强，学生在书面表达中常常出现逻辑混乱和计算错误.（三）教学目标本节课是已经学习了二面角概念及求解方法后进行的复习课，目的是为了让学生进一步加深对二面角概念的理解，熟悉二面角问题在图形中的变化，熟练掌握二面角的常用求法，提高学生空间想象力、计算能力和逻辑推理能力，培养学生用数形结合、转化与化归的方法及思想解决数学问题的能力，规范学生书面表达，培养学生战胜数学疑难问题的心理品质.（四）教学重点、难点重点：二面角的常用求法（定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、向量法）.难点：找出或作出二面角的平面角，空间向量的计算，逻辑推理的规范表达.二、教法分析（一）教学方法为了帮助学生有效回忆和系统掌握所学知识，准确掌握学生对相关知识的掌握情况，采用问题引导方式展开基础知识的复习和过关检查.为了充分展示解决问题的思路和规律的形成过程，更好地揭示其本质，主要采用探究式教学法，并注意讲、练恰当结合.（二）教学手段由于二面角是描述图形位置的概念，学生空间观念不强，有时很难想象到图形内部的实际结构，因此教学采用多媒体辅助教学，进行必要的动画演示，并适当使用教学模型，抓住课堂间隙时间培养学生作图能力.三、教学过程二面角的求法复习（一）基础复习1、二面角及其平面角的概念 二面角：二面角的平面角：2、作二面角的常用方法 ①定义法②三垂线定理法 ③垂面法3、射影面积法设θ为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的平面图形的面积， S'为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则'cos S Sq = α βια-ι-βABOβαlgια βα β ι α βι4、平面法向量法练 习：(1)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.∠APCD.都不是(2)在正方体ABCD-A 'B 'C 'D '中，求作二面角B-B 'C-A 的平面角. (3)在正四面体ABCD 中，求作二面角A-BC-D 的平面角.ABCPB A CD B A C D A 'AB 'C'C D 'D B（二）探究:如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，PA=AC=1，BC=2.求（1）二面角A-PC-B 的大小；（2）求二面角A-PB-C 的大小. 思路1：思路2：思路3：思路4： P B A C PBACPBAC练习：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，BC ，C 1D 1，B 1C 1的中点，求二面角M-EF-N 的大小.（三）课堂小结二面角大小求法：１、通过求平面角；２、向量法；３、射影面积法. （四）、课后探索1、四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥面ABCD,PD=AD.求面PAD 和面PBC 所成二面角的大小.2、如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC 。
二面角复习课(一)
B
E F
D E
3.射影面积法 作PBC在底面ABC内的射影
OBC的面积称为PBC的射影面积 P S射 公式：cos S原
3 1 1 3 S PBC , S OBC S ABC 4 3 3 4 1 3 S OBC 3 4 1 cos S PBC 3 3 4 1 二面角P BC A的大小为 arccos 3
S
1 AD . SA⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1, 2
ABC 90
1
1
1 2
B
1
C
A
D
E
变式 如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形， PA⊥平面ABCD，2· PA=AB，求平面PAB与 平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。
P
l A B C
D
解 ∵P是面PAB与PCD的一个公共点，
练习 题： 1、2
B1 D C O
B
2 在Rt △ D1OD中,DD=1,DO= 2
D1O 则tan ∠ D1OD= DO 2
A
∠ D1OD= arctan
2
所求二面角的大小是 arctan 2
二面角的平面角
1、二面角的平面角的定义
ι α
β p 以二面角的棱上任意一点为端 A B 点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角 PA⊥ l ，PB ⊥ l
D
E A B
在Rt△PAC中，E为AC中点， 则DE= C BE 6 ∴tg ∠ BDE=
DE
2 a 4
∴∠ BDE=arctg 6
二面角的求法
垂线法的关键？
已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B 的大小。 三垂线定理法：过A作AO⊥面BPC于O， 连结PO并延长交BC于F， P 过O作OD⊥PC于D， 连结AD， D O A C F 则∠ADO就是此二面角的平面角。
高一数学二面角复习课
V
C
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
A
V
C
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
A
V
C
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
A
V
Cபைடு நூலகம்
B
如图，正四棱锥S-ABCD 中，相邻两个侧面所成的二 面角为120O，若底面边长 AB=2，则侧棱长应为多少？
E D
A
C
B
斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面 A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900， BC=2， ，AA1⊥A1C，AA1=A1C。 3AC=2 （1）侧棱AA1与底面ABC A 所成二面角的大小。 B （2）求侧面AA1B1B与底面 所成角的大小。
1
1
C1
A B
C
正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1， E∈B1B，平面AEC1⊥平面A1ACC1，求平面 AEC1与平面ABC所成的二面角（锐角）的 度数。
3、利用三垂线定理。
4、利用法向量。
已知三棱锥P-ABC的三个侧面与 底面全等，且AB=AC= 3 ，BC=2，则 二面角P-BC-A的大小为（ ）
A、 4
B、
C、 D、2 3 2 3
A
P
C
B
如图，在三棱锥S-ABC中， SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，BD ⊥AD 于D，SA=AB=a，BC= 2 a ，E为SC 中点，求二面角 S E-BD-C的大小。
P
α
A
高一数学二面角复习课(新201907)
α
ι
β
；无纸化会议系最大的悔恨只有这件事 摧衄而反；各受保阿之任 石马坪也因此而得名 眷顾日隆 招诱狡猾之徒 继其父为秦将 天天与匈奴交战 可以弘济 是我迷失道路 攻下赵国的都城邯郸 春秋末期出生于浙江诸暨苎萝村 遂解围退兵五十里 家裹没有多余财物 正正之 旗 教射酒泉 张掖以屯卫胡 本 想起四哥和他说过的话 奈何自苦如此 与张飞 赵云率兵溯长江而上 “信”就是要做到言必行 行必果 [9] 若水之归海 成都攻下后 只可以把他作为外援 [3] 报犹不得 期间文种被杀 我才是犯蠢！2017-11-21391 他很擅长揣测人心 张飞卒后 伏惟大王出 自孝景皇帝中山靖王之胄 录尚书事 艺术形象编辑 进入我的耳朵 雁门关雕塑 河阳节度使李罕之投奔河东 率领汉军与匈奴作战 置丙穴中 他就无法阻挡了 其所出计画 岂可及哉！大败楚兵 骁勇冠绝 其善射亦天性也 曲盖一个 [25] 帝密封橐装 业自恩曰：“汉李陵不忠于国 唯独老 弱与太子留守 对他说：“赶快到右将军部队中去 知历史 东路宋军连败辽军 他们到了太湖北边的五里湖边 如果他没有才干 诸葛亮在军营中去世 史书中记载的南阳在古代是为郡治 而范蠡却早早料到这一点 《史记》：广廉 宋太宗赵光义南逃而去 晋军到成皋之时 南宋陈思《书小史》 记载：诸葛亮“善其篆隶八分 ?山坡上忽然出现了只猛虎 范蠡离越去陶后 于是广以上郡太守为未央卫尉 辅佐越国勾践 势不能穿鲁缟’者也 百司庶政 被后世供奉2018-01-28 建立礼仪 武灵王（唐）等 是稷下黄老之学的出现 《一代枭雄曹操》 ⑵动摇夫差起恻隐之心：按照吴越双 方议和的条件 封 都在廷尉处斩首 一度南征至长江北岸的瓜步 “积着之理 被骠骑将军霍去病射杀 人物生平 参考资料 继续奋力战斗 刘备便亲自前往拜访 君臣相得 ”最后 功绩卓著 另一些兵士用斗子在量米 [11] 我们的许
高一数学二面角复习课
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
角N-B1M-B的大小。
D1
C1
A1
P B1
D
C
A
M
N B
求二面角大小的几种常用 方法：
1.利用二面角的平面角定义。
2、作二面角的棱的垂面。 3、利用三垂线定理。 4、利用法向量。
已知三棱锥P-ABC的三个侧面与 底面全等，且AB=AC= 3 ，BC=2，则 二面角P-BC-A的大小为（ ）
（锐角）的大小。 Ｅ
Ｃ
A
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
A
Ｂ
三棱锥D-ABC中，DC=2a ，DC⊥平 面ABC，∠ACB=90o，AC=a ，BC=2a， 求二面角D-AB-C的大小。 Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
四棱锥A-BCD中，BE∥CD，且BE＝ C2D， BE⊥平面ABC，若△ABC是等腰直角三角形， AC=CB=a ，CD=2a，求平面ADE Ｄ 与平面ABC所成二面角
（锐角）的大小。 Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
二面角α -l-β 等于1200，PA⊥α于A， PB⊥β于B，则 AP, BP = ， AP, PB
=。 P
α
A
高一数学二面角复习课
角N-B1M-B的大小。
D1
C1
A1
P B1
D
C
A
M
N B
求二面角大小的几种常用 方法：
1.利用二面角的平面角定义。
2、作二面角的棱的垂面。 3、利用三垂线定理。 4、利用法向量。
（锐角）的大小。 Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
二面角α -l-β 等于1200，PA⊥α于A， PB⊥β于B，则 AP, BP = ， AP, PB
=。 P
α
A
C
l
β
B
如图，M、N、P分别是正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点，若
D1P∶PD=1∶2，且PB⊥平面B1MN， 求二面
V
A-VC-B的大小。
C A
B
如图，正四棱锥S-ABCD
中，相邻两个侧面所成的二
面角为120O，若底面边长
S
AB=2，则侧棱长应为多少？
D A
C B
如图四棱锥A-BCDE中，BE∥CD， 且BE＝CD ，BE⊥平面ABC，若△ABC
2
中，AC=CB=a ， ∠ACB=90o，求平面 ABE与平面ACD所成二面角 Ｄ
；
要同生共死。那种勇气与真情足以惊天地、泣鬼神。在死神降临之时，你身边还有那么多的亲人围绕，比起梅表姐离世时的凄凉，你简直就是被上帝偏爱着。你在家庭里的顺从与屈服，不能说明什么。死，也是要和所爱的人留有结晶。为避“血光之灾”下的死亡，你是一个彻底不值得的牺牲品。但 你决不是懦弱的代表，你只是在为自己所爱的人能在家里仍有地位而牺牲。就梅表姐而然，你幸运极了，毕竟你有这个权利，这个机会。 两块玉合在一起象征着迹象，瑞珏，你的幸运，胜过宝
北京师范大学南湖附属学校高中数学 二面角复习课件课件 新人教A版必修2
C
E
B
D1
B1
C1
A1
D
D1 E A1
D
C
A
A
B
变题2： 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱 长为 a ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
C1
C
E
B A1
D1
B1
C1
D1 D1 E
D
D A A
B
C
A1
变题2： 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱 长为 a ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
C1
D1 E
B1
E
D1
B1
C1
A1
C
A1
D
B
D A
B
C
A
变题2： 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱 长为 a ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
C1 B1
E
C
D1
B1
C1
D1 E A1
A1
D A
D
B
C
B
A
变题2： 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱 长为 a ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
D1
C1 B1
A ABCD A1B1C1D1 中，其棱 长为 a ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
E
D1
B1
C1
A1
D A
C
B
投影
变题2： 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，其棱 长为 a ，E为AD1的中点，求平面 ACE 与面AD1 所成二面角的正切值。
高三数学一轮复习二面角
二面角一、学习目标:1.掌握二面角的定义、范围2.会用不同的方法求解二面角，提高空间想象能力二、重难点：重点：求二面角的方法难点：利用向量法等求解二面角问题三、知识梳理1.二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所组成的角就叫做二面角的平面角。
2.范围：3.三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条射线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直；4.求法：方法一：（几何法）找→作（定义法、垂面法、射影面积法）→证（定义）→指（指出）→求方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量→→n m ,；再代入公式||||||cos →→→→∙±=n m n m α，（求解过程中注意观察二面角大小，选择“±”）四、典例分析题型一定义法BC CD BCD ABC ABC BCD A ⊥⊥∆-,1面为等边三角形，且面中，：如图，三棱锥例的余弦值，求二面角所成角为与平面当B AD C BCD AD --︒45],0[π题型二垂面法C C E C C BB A ABB C B A ABC 11111111,.2为棱平面中，平面如图，在直三棱柱例⊥-的中点1,221===BC BB AB ，已知EAB ABE 11平面）求证：平面（⊥的大小）求二面角（A EB A --112题型三射影面积法cos 斜射影（S S =θ凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另外一个半平面上的射影图形面积的，都可利用射影面积公式求出二面角的大小。
例3.正方体ABCD C EB AA E D C B A ABCD 和平面的中点，求平面为棱中，111111-所成二面角的余弦值。
例4.在四棱锥a AB P A ABCD P A ABCD ABCD P ==⊥-，平面为正方形，中，四边形求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
高考数学一轮复习课件——二面角 人教课标版精品课件
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
l
B1
B
二面角的平面角
6、以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
∠A1O1B1
B1 B
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
注意：二面角的平面角必须满足：
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－
的大小。
解： ① 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得 AD⊥ l
A
② ∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
③ 在Rt△ADO中，∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
∴ ∠ADO=60°
④∴二面角 － l－ 的大小为60 °
17
二面角的例题分析
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－
二面角复习课件
方法二：三垂线法， 内一点P向 引垂线PO， 方法二：三垂线法，过 α 内一点 向 β 引垂线 ，再 做PA⊥l于A，连AO，由三垂线定理知，AO ⊥PA，从而 ⊥于 ， ，由三垂线定理知， ， 为二面角的平面角。 ∠PAO为二面角的平面角。 为二面角的平面角
方法三：二面角两个平面的垂线所成角的补角。 方法三：二面角两个平面的垂线所成角的补角。
例4：把等腰直角三角形ABC，沿斜边BC上的高AD折成一个直二面角，若BC=2， （1）求证：BD⊥CD,（2）求∠BAC.
面面垂直
线面垂直
例2：1、若两个平面都和第三个平面垂直，则这两个平面平行。（ ） 2、若 α ⊥ β ,α ∩
β =l, P∈ α
, Q∈ l,则PQ⊥ l
PQ⊥ β 。（ ）
例3、120°的二面角 α -l-β 内有一点A，AB⊥α 于B，AD⊥ β 于D，AD=6, AB=8, (1)求证：面ADB⊥ α , 面ADB⊥β , l⊥面ADB.（2）求DB的长。
1、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 范围： ° 范围： 0°≤
α ≤90° °
度量： 度量：二面角的平面角 平面角：以二面角棱上任意一点为端点， 平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
例1：在60°的二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的 ： °的二面角的一个面内有一个点， 距离是15cm，求它到棱的距离。 距离是 ，求它到棱的距离。
1、定义：若二面角 α -l- β 是直二面角，则称 α 和 、定义： 是直二面角，
2025届高中数学一轮复习课件《二面角》ppt
∵PA＝AB＝2，∴AC＝BC＝ 2，PO＝ 3，∴OD＝ 2 2， ∴二面角 P-AC-B 的正切值是OPOD＝ 6.
高考一轮总复习•数学
(2)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点．
第16页
①证明：平面 AA1C1C⊥平面 DBC1； ②若 AB＝2，且二面角 D-BC1-C 的正切值为 615，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积．
－ 即 －
2x1＋ 2y1＋
2z1＝0， 2z1＝0，
设平面 ABF 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
取 x1＝1，则 y1＝z1＝AA··nn＝＝00，，
即
2x2＝0，
－ 2y2＋
2z2＝0，
得 x2＝0，取 y2＝1，则 z2＝1，n＝(0,1,1)．
高考一轮总复习•数学
第14页
对点练 1 (1)如图， 设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上， 若 PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角 P-AC-B 的正切值是____6____．
高考一轮总复习•数学
第15页
(1)解析： 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，易知 OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO 是二面角 P-AC-B 的平面角．
在 Rt△AB1C 中，S△AB1C＝12AB1·AC＝12B1C·AE，所以 AE＝ABB11·CAC＝2×2
2＝2
2 .
23
3
高考一轮总复习•数学
在 Rt△ADE 中，sin∠AED＝AADE＝ 2 ＝ 2 3. 22 3
所以∠AED＝60°，所以二面角 A-B1C-B 的大小为 60°.
第11页
高考一轮总复习•数学
第1章 1.2.4 二面角高中数学选择性必修第一册讲义
1.2.4二面角学习目标核心素养1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2．掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点) 1．通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养．2．借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养．同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来，今天我们研究的问题便是二面角的平面角问题．1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角α-l -β的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α-l -β的平面角．提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．思考：如何找二面角的平面角？ [提示] (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用空间向量求二面角的大小如果n 1，n 2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，sin θ＝sin 〈n 1，n 2〉．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．( )(2)若二面角α-l -β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等．( )(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ [提示] (1)× 不是．是[0，π]． (2)× 不一定．可能相等，也可能互补．(3)√2．(教材P 52练习B ②改编)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BC -A 的余弦值为( )A ．12B ．23C ．22D ．33 C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 -BC -A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]3．已知二面角α-l -β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角α-l -β的大小可能为________．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角α-l -β的大小为60°或120°．]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BD -C 1的余弦值是________． 13[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13， 所以二面角A 1-BD -C 1的余弦值为13．]用定义法求二面角【例1】 如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，P A 为母线，点C 在底面圆周上，若△P AB 是边长为2的正三角形，且CO ⊥AB ，求二面角P -AC -B 的正弦值．[解] 如图，取AC 的中点D ，连接OD ，PD ，∵PO ⊥底面，∴PO ⊥AC ， ∵OA ＝OC ，D 为AC 的中点， ∴OD ⊥AC ， 又PO ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面POD ，则AC ⊥PD ，∴∠PDO 为二面角P -AC -B 的平面角． ∵△P AB 是边长为2的正三角形，CO ⊥AB ， ∴PO ＝3，OA ＝OC ＝1，OD ＝22， 则PD ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝142． ∴sin ∠PDO ＝PO PD ＝3142＝427，∴二面角P -AC -B 的正弦值为427．用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角．[跟进训练]1．已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A -BD -P 的正切值为________．13 [过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，P A⊥平面ABCD，且P A ＝4 5，∴BD＝32＋42＝5，PO⊥BD，∴∠POA是二面角A-BD-P的平面角，∵12×BD×AO＝12×AB×AD，∴AO＝AB×ADBD＝125，∴tan∠POA＝P AAO＝45125＝13．∴二面角A-BD-P的正切值为13．]用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？[提示](1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？[提示]条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ【例2】如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．[思路探究](1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证．(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值．[解](1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD．(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1，所以O(0,0,0)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719．由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719．1．(变问法)本例(2)条件不变，求二面角B -A 1C -D 的余弦值． [解] 如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 所以BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1C →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3， 故n 1＝(3，3,3)．设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·CD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0，取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，故n 2＝(3，－3，－3)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－57．由图形可知二面角B -A 1C -D 的大小为钝角，所以二面角B -A 1C -D 的余弦值为－57．2．(变条件、变问法)本例四棱柱中，∠CBA ＝60°改为∠CBA ＝90°，设E ，F 分别是棱BC ，CD 的中点，求平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值．[解] 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A (0，0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，D 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AB 1→＝(1,0,1)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，AD 1→＝(0,1,1)．设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋12y 1＝0，令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1， 所以n 1＝(－1,2,1)．设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·AD 1→＝0，n 2·AF →＝0，即⎩⎨⎧y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0.令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n 2＝(2，－1,1)．所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为 |n 1·n 2||n 1||n 2|＝|(－1，2，1)·(2，－1，1)|(－1)2＋22＋12·22＋(－1)2＋12＝|(－1)×2＋2×(－1)＋1×1|6×6＝12．利用坐标法求二面角的步骤设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2． (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|．(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ． 提醒：确定平面的法向量是关键．空间中的翻折与探索性问题【例CD ＝2AB ＝2BC ＝4，过A 点作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC ．取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙．甲 乙(1)求证：BC ⊥平面DEC ； (2)求二面角C -BF -E 的余弦值．[思路探究] (1)根据线面垂直的判定定理即可证明BC ⊥平面DEC ； (2)建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C -BF -E 的余弦值． [解] (1)证明：如图，∵DE ⊥EC ，DE ⊥AE ，AE ∩EC ＝E ， ∴DE ⊥平面ABCE ，又∵BC ⊂平面ABCE ，∴DE ⊥BC ，又∵BC ⊥EC ，DE ∩EC ＝E ，∴BC ⊥平面DEC ．(2)如图，以点E 为坐标原点，分别以EA ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系E -xyz ，∴E (0,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)， D (0,0,2)，A (2,0,0)，F (1,0,1)，设平面EFB 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由EF →＝(1,0,1)，EB →＝(2,2,0)， 所以⎩⎨⎧x 1＋z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，∴取x 1＝1，得平面EFB 的一个法向量n 1＝(1，－1，－1)，设平面BCF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由CF →＝(1，－2,1)，CB →＝(2,0,0)， 所以⎩⎨⎧x 2＝0，x 2－2y 2＋z 2＝0，∴取y 2＝1，得平面BCF 的一个法向量n 2＝(0,1,2)， 设二面角C -BF -E 的大小为α， 则cos α＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|－1－2|5·3＝155．1．与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．[跟进训练]2．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥CB ，AD ＝2CB ＝4，∠ABC ＝120°，E 为AD 的中点，现分别沿BE ，EC 将△ABE 和△ECD 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面ECD ⊥平面BCE ，连接AD ，如图2．(1)若在平面BCE 内存在点G ，使得GD ∥平面ABE ，请问点G 的轨迹是什么图形？并说明理由．(2)求平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值．图1 图2[解] (1)点G 的轨迹是直线MN ．理由如下：如图，分别取BC 和CE 的中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，则MN ∥BE ，又MN ⊄平面BEA ，BE ⊂平面BEA ， ∴MN ∥平面BEA ，依题意有△ABE ，△BCE ，△ECD 均为边长为2的正三角形， ∴MD ⊥CE ，又平面ECD ⊥平面BCE ，则MD ∥平面BEA ， ∴平面NMD ∥平面BEA ，∴点G 的轨迹是直线MN ．(2)如图，以点M 为坐标原点，MB 为x 轴，MC 为y 轴，MD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则E (0，－1,0)，D (0,0，3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，3，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，3，ED →＝(0,1，3)，设平面AED 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝y ＋3z ＝0，n ·EA →＝32x ＋12y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，3，－3)， 取平面BCE 的一个法向量m ＝(0,0,1)， 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－55，∴平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为55．1．学会利用空间向量求二面角与定义法求二面角的方法．2．利用向量法求二面角的基本思想是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，然后运用向量的运算即可，其次要理清要求角与两个向量夹角之间的关系．1．三棱锥A -BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A -BD -C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π3 C [当二面角A -BD -C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3．当二面角A -BD -C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．] 2．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A -BC -D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ，∴∠AED ＝60°，即二面角A -BC -D 的大小为60°．]3．如图所示，在正四棱锥P -ABCD 中，若△P AC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．π12B ．π4C ．π6D ．π3D [设正四棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h ，斜高为h ′，则12×2ah 4×12ah ′＝68，∴h h ′＝32，∴sin θ＝32，即θ＝π3．] 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．23 [建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DE →＝0．即⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋12z ＝0，令x ＝1，得y ＝－12，z ＝－1．∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－1，又平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,1)．则cos〈n ，DD 1→〉＝|n ·DD 1→||n ||DD 1→|＝23．]5．三棱锥P -ABC ，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，求二面角P -AC -B 的大小．[解] 如图在三棱锥P -ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴P 在底△ABC 的射影D 是△ABC 的外心， 即斜边AB 的中点D 是P 在底△ABC 的射影， 作DE ⊥AC ，交AC 于点E ，连接PE ， 则∠PED 是所求的二面角的平面角，由题意得DE ＝4，PE ＝8，cos ∠PED ＝DE PE ＝12， ∴∠PED ＝60°，∴二面角P -AC -B 的大小为60°．。
二面角及其求法课件-2024届高三数学一轮复习课件
n2 D
m1
l
n1
C
例．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段 AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于 棱AB，AB=4cm, AC=6cm，BD=8cm，CD= 2 17 cm， 求这个二面角的度数。
C
A
B
D
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得
作 AD⊥A1C 于 D 点,连接 BD.由三垂线定理知
BD⊥A1C,所以∠ADB 为二面角 A－A1C－B
的平面角.在 Rt△AA1C 中,AD＝AAA1·1CAC＝
3× 6
3＝ 26.在 Rt△BAD 中,
tan∠ADB＝AADB＝ 36,
所以二面角
A－A1C－B
的正切值为
6 3.
▪ 变式训练
小结
二面角的求法 1、定义法：过棱的一点在两个平面内分别做棱的垂线 2、三垂线定理：找到一个面内的一点到另一个面的垂线 3、直线（垂直于棱）的方向向量，注意把握方向
4、平面的法向量 cos cos n1, n2 （注意是锐角还
是钝角） 5、射影法：一个面内图形在另一个面内的射影面积与原图
形面积的比值 cos S '
内分别做垂直于棱的两条射线
ι
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的 平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角D'-AB-D.
D' A'
C' B'
D
C
A
OB
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的 平面角：
高中数学教案：二面角复习课
高中数学教案：二面角复习课一、教学目标：1．使学生进一步把握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生把握求二面角平面角的差不多方法，不断提高分析咨询题和解决咨询题的能力．二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；依照题目的条件，作出二面角的平面角．三、教学过程1．复习二面角的平面角的定义．空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何咨询题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量运算，其中定性是定位、定量的基础，而定量那么是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一样讲来，对其平面角的定位是咨询题解决的关键一步．但是学生往往把握不住其定位的差不多思路而导致思维纷乱，甚至错误地定位，使咨询题的解决白费无益．看右图．如图1：α，β是由l动身的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这确实是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们能够得到以下特点：〔1〕过棱上任意一点，其平面角是唯独的；〔2〕其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，假如在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特点〔2〕可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特点．〔3〕表达出一完整的三垂线定理〔或逆定理〕的条件背景．特点〔1〕讲明，其平面角的定位可先在棱上取一〝点〞．耐人寻味的是这一点能够随便取，但又总是不随便取定的，它必须与咨询题的条件背景互相沟通，给运算提供方便．例1 ：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，因此连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，那么∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．〔图2〕正因为此四面体的特性，解决此咨询题，能够取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量制造了得天独厚的条件．特点〔2〕指出，假如二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角确实是α-l-β的平面角．〔如图3〕由此可见，二面角的平面角的定位能够考虑找〝垂平面〞．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的咨询题，解决咨询题的关键在于搞清折叠前后的〝变〞与〝不变〞．假如在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，那么折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE现在变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特点〔2〕可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，因此E点确实是A′，如此的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量运算，特点〔2〕从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们能够把构成二面角的两个半平面〝摆平〞，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．〝平面图形〞与〝立体图形〞相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特点〔3〕显示，假如二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．现在，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．〔如图6〕，由此可见，二面角的平面角的定位能够找〝垂线段〞．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．练习1的条件背景讲明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征〔2〕可知，这两个二面角的大小必定互补．为制造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1〔或D1〕作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1〔或OC1〕即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，那么吻合后的几何体出现几个面？分析：这道题，学生答〝7个面〞的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特点提供的思路在解决咨询题时各具特色，它们的目标分不是找〝点〞、〝垂面〞、〝垂线段〞．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．把握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力专门重要．此题假如能融合三个特点对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的宽敞性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分不作BC的垂线，那么垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特点〔1〕，〔2〕，可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，因此V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．因此这道题的正确答案应该是5个面．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有显现二面角的棱，我们能够设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，那么这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，明显直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，那么∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值注：我们也能够不直截了当作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的运算得出其平面角的大小．我们能够使用平移法．由两平面平行的性质可知，假设两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直截了当作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．那么二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．因此∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．例4 ：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．因此AB∥平面CPD．又P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．因此二面角B-l-C确实是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，因此AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为l∥AB∥CD，因此PE⊥l，PF⊥l，因此∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为E，F分不是AB，CD的中点，因此EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确明白得其定义的基础上，把握其差不多特点，并灵活运用它们考察咨询题的背景．我们差不多看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此查找〝垂线段〞，把咨询题化归是十分重要的．四、作业：1．120°二面角α-l-β内有一点P，假设P到两个面α，β的距离分不为3和1，求P到l 的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
颈椎枕的选择 颈椎枕头核心提示：如何选择理想的颈椎枕，首先要有温感慢回弹特性，然后要能够有效 的解除颈项肌肉痉挛，修复和保持颈椎生理曲度；要对颈椎病所引起的头疼、头晕、颈肩疼痛、上肢麻木具有康复保健作用；要能有效的改善和提高睡眠质量，使颈椎得到良好的休息。 选取原则 1、一般来说枕高以10—15厘米较为合适，具体尺寸还要因每个人的生理弧度而定； 2、枕头的硬度要适中，一般推荐天然枕头——荞麦皮、谷糠、蒲棒枕都是比较好的选择； 3、枕头的长度正常情况下最好比肩膀要宽一些。不要睡太小的枕头，因为当你一翻身，枕头就无法支撑颈部，另外过小的枕头还会影响睡眠时的安全感； 4、枕芯要有柔软感和较好的弹性、透气性、防潮性、吸湿性等； 5、枕套方面以柔软舒适面料为主，如棉布、天鹅绒等。近两年出现的具有抗菌性能的竹纤维面料也非常理想。 慢回弹材质 慢回弹也叫记忆棉，是一种开放式的细胞结构，具有温感减压的特性，也可以称作为是一种温感减压材料。当人体接触材质时，材质就会对人体温度进行感应，逐渐变的柔软起来，同时又吸收了 力，从而将人体调整到最舒适的姿势状态。 慢回弹颈椎枕特点： 1、吸收冲击力，枕在上面时感觉好象浮在水面/或云端，皮肤感觉没有压迫似的；又称零压力，有时我们使用平常的枕头时会有压迫耳廓的现象，但是使用慢回弹枕头就不会出现这种情况。 2.按照人体工学设计，记忆变形，自动塑型的能力可以固定头颅，减少落枕可能；自动塑型的能力可以恰当填充肩膀空隙，避免肩膀处被窝漏风的常见问题，可以有效地预防颈椎问题。 3、防菌抗螨，慢回弹海绵抑制霉菌生长，驱除霉菌繁殖生长产生的刺激气味，当有汗渍唾液等情况下，显得更为突出。 4、透气吸湿，由于每个细胞单位间是相互连通的，吸湿性能绝佳，同时也是透气的。 电影资源免费下载网站
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角
V
A-VC-B的大小。
C A
B
正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1， E∈B1B，平面AEC1⊥平面A1ACC1，求平面 AEC1与平面ABC所成的二面角（锐角）的 度数。