全国优质课-单调性与最大(小)值

《函数单调性与最值第一课时》教学设计一、教学内容解析（1）教学内容的内涵、数学思想方法、教学重点。

本节课选自人教A 版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一章第1.3节第一课时。

教材研究的函数的单调性是严格单调，是研究“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”的性质。

这一性质的直观反映了函数从左向右是持续上升还是持续下降的；它反映了的是函数图像的变化趋势。

函数的单调性不同于函数的奇偶性，单调性研究的是函数的局部性质，而奇偶性研究的是函数的整体对称性。

函数单调性的研究过程体现了一些重要的数学思想方法：1.“数形结合”的思想：先借助函数图像直观观察，再借助表格列举计算分析归纳发现增减函数的数字特征，再进一步用符号语言刻画。

2.从特殊到一般的思想：先通过学生比较熟悉的一次函数，二次函数的探究发现“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”的一般规律，再用符号语言抽象出函数单调性的定义。

3.类比的方法：得出增函数的定义后只需要类比探究就可以得出减函数的定义。

4.体现了研究概念（定义）问题的一般思路：经历情景化—去情景化—情境再现 经历情景化：先通过生活实例让学生体会到单调性在实际生活中的背景。

去情境化：通过两个具体函数的探究发现“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”这一现象，再通过探究分析这一现象的本质，从而抽象出函数单调性的定义。

情境再现：利用定义去分析问题、解决问题。

同时这一研究过程也体现了“发现问题”—“提出问题”—“分析问题”—“解决问题”这一研究问题的一般思路。

教学重点是：通过活动探究引导学生发现如何用符号化的语言：在定义域I 的某个区间D 上任意取的两个数21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >）则称函数为区间D 上的增函数（或减函数）来刻画“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”这一特征。

（2）教学内容的知识类型。

1.概念性知识：函数单调性的定义。

2.程序性知识：根据函数图像找函数的单调性区间、判断函数的单调性。

3.元认知知识：“发现问题”—“提出问题”—“分析问题”—“解决问题”这一研究问题的一般思路；从特殊到一般；类比研究的思想均属于元认知知识。

（3）教学内容的上位知识与下位知识。

1.上位知识：文字语言、图形语言、符号语言、函数的表示方法（图像法、列表法、解析法）、研究函数的基本方法是我们学习函数单调性的上位知识。

2.下位知识：单调性的证明、根据单调性画函数图像、函数的最值、利用单调性比大小是函数单调性的下位知识。

（4）思维教学资源和价值观教学资源。

本节课引入例子摘取自生活实例，再结合天气预报引发学生建立函数模型去观察图像变化趋势从而激发学生观察发现思维；再从学生熟悉的“一次函数、二次函数”入手探究发现函数变化趋势的本质从而抽象定义，既能激发学生从“特殊到一般”从“感性到理性”的思想，也能培养学生“数学抽象”这一素养。

二、教学目标设置1.通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势，并 能用文字语言描述函数的变化趋势。

2.通过老师几何画板动画演示和学生的类比探究让学生体会并理解“任意……都……”的含义。

3.通过例题1和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义.4.在两个特殊函数探究中归纳抽象出单调性的定义，从而培养学生“数学抽象”这一素养。

5.在类比增函数的探究方法探究减函数定义过程中，让学生体会“类比方法”。

6.通过生活实例引入，让学生感受数学来源于生活高于生活，体会数学的应用价值。

7.通过活动设计，问题串联，让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一般、类 比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯物观。

三、学生学情分析（1）学生已有的认知基础学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方法。

初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y 随x 的增大而增大（或减小）”来描述变量之间的依赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。

此外通过学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：如抽象概括、类比推理、数据处理等，为新知学习提供了一定的保障。

（2）达成教学目标所需要认知基础本节课目标的达成需要学生有一定的“数学抽象”能力和“有限”与“无限”的观点，需要 学生有一定的“数形结合”的思想。

（3）“已有基础”与“需要基础”之间的差异学生对两个具体数据的比较应该是清楚的，但要将具体的数据比较转化为“任意”两个数据大小的比较存在一定认知差异；学生用文字语言描述“y 随x 的增大而增大（或减小）也是没有问题的，但要将“文字语言”的描述抽象为为“符号语言”的描述还存在一定差异。

（4）教学难点及突破策略难点1：如何用符号语言刻画“y 随x 的增大而增大（或减小）”。

突破策略：通过回顾2)(x x f =图像直观感受“y 随x 的增大而增大（或减小）”；再通过“列 表法”由形入数在表中任选两对数据比较其大小第一次发现“y 随x 的增大而增大（或减小）”在解析式上的体现：如当21<时，有)2()1(f f <；再通过几何画板动画演示在x 轴上任取两个数及图像上对应的函数值12(),()f x f x ，比较其函数值的大小，引导学生体会数字表示与字母表示的区别；从而实现对“y 随x 的增大而增大（或减小）”的符号化描述。

难点2：如何理解“任意……都……” 突破策略：1. 结合学生熟悉的问题举例说明“任意……都……”的含义：如：“我班任意一位同学都是好人”，帮助学生理解其含义。

2. 在增函数定义探究中老师通过几何画板动画演示在x 轴上任取两个数及图像上对应的函数值12(),()f x f x ，比较其函数值的大小让学生观察、体会“任意……都……”的含义。

在学生类比探究减函数的定义过程中让学生自己动手用几何画板操作再次体会“任意……都……”的含义。

3. 通过概念辨析中设计的三个思考问题，帮助学生理解“任意……都……”的含义。

思考1：若定义在某区间D 上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数在区间上D 上一定是增函数吗？ 通过思考1让学生举出反例体会特殊数据的比较不能代表所有数据的比较，体会“任意”的含义。

思考2：函数在区间(1,3) 和[3,5]都是增函数，则函数在区间 (1,5]上一定也是增函数吗？ 通过思考2设计的问题让学生再次体会“任意……都……”的含义，结合分段函数的反例让学生一方面体会“任意……都……”的含义另一方面体会正因为单调性强调“任意……都……”从而导致了单调性是函数的局部性质这一特征。

思考3：反比例函数xx f 1)(=在整个定义域上是减函数吗？ 通过思考3的设计让学生结合思考2和自己比较熟悉的反比例函数对比再次体会“任意……都……”的含义 四、教学策略分析（1）教学材料分析首先从学生身边实例（最高气温随时间变化曲线图）出发，让学生通过自身对温度变化的体验和数据统计曲线图直观感受两个变量之间的变化关系。

再从学生非常熟悉的一次函数、二次函数入手通过图像语言、文字语言描述函数变化趋势；提出问题：如何用符号语言描述函数变化趋势？而在后续的“分析问题—解决问题”的过程中，以学生熟悉的二次函数2)(x x f =为载体探究其内在规律，通过几何画板动画演示如何任取两点比较自变量和函数值的大小，实现学生对“任意……都……”的理解，实现由“形”到“数”的过度。

通过三个思考的辨析加强学生对定义的理解和认识，通过例题1和学生练习让学生理解定义掌握定义，也体现了数学的应用价值。

（2）教学方法分析本节课活动设计较多，所以采用“导学案”的形式让学生开展探究式学习，同时通过幻灯片 及动画展示、学生活动展示等手段采用观察发现、启发引导、合作探究的教学方式开展教学。

（3）设计“问题串”引导学生数学思维活动分析 以学生对函数已有的认知基础为主线展开问题设计。

通过11个关键问题串联引导学生开展探究。

同时在定义辨析、示范证明过程中通过对细节的一些追问加深学生的问题的认识和理解。

（4）缩小认知差距分析通过3个探究活动、三个定义辨析、1个例题、1个练习和学生小结交流，让学生充分参与活 动体验，在老师问题设计下实施探究，体会知识的生成过程，逐步缩小认知差距。

（5）学习反馈分析通过类比探究反馈学生对“任意……都……”的理解是否清晰，通过例题1反馈学生对单调性定义的理解，通过三个思考问题的辨析反馈学生对概念的理解是否深刻，通过小结反馈学生对本节课涉及的数学知识、方法、思想的认识。

五、教学流程（一）问题1：你能结合天气预报给我的好朋友一些建议吗？生：抽1学生回答、其他学生补充。

问题2：如果把时间设为x，最高气温设为y，y是x的函数吗？生：一起回答。

问题3：若果y是x的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？生：抽1学生回答、其他学生补充。

师：那么如何研究函数这种变化趋势呢？这就是今天我们要学习的函数的单调性。

（二）问题4：画图基本步骤是：1. ，2. ，3.生：一起回顾画图基本步骤后、再学案上画图研究。

师：巡视课堂根据学生完成情况随机抽取一个学生上台展示其研究成果。

生：展示图像及研究结果，是补充纠正。

师：学生展示完后在PPT上小结研究过程：我们已经从图形语言、函数的变化趋势呢？（三）师：问题5：函数的表示方法有？生：图像法、列表法、解析法。

师：问题6：我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？探究方向1：列表探究在下表中任取一些自变量的值，比较它们的函数值大小，你能发现什么结论？xf(x),0(+∞内的所有的数都比较完吗？问题7：列表法能把),0(+∞内的所有的数都比较完呢？问题8：如何才能把)师：停顿30秒让学生思考、引导学生发现要在函数上任取两个点作比较，然后用几何画板演示为怎么任取两个点，为什么任取两,0(+∞内的所有的数都比较完。

个点就可以把)探究方向2：解析法（利用解析式研究）：师：几何画板演示探究过程.问题9：你能用符号语言描述2)(x x f =在),0(+∞y 随x 的增大而增大这一规律了吗？学生总结如何用符号语言描述y 随x 的增大而增大： 问题10：对任一函数而言，如果满足：在定义域I 的某个区间D 上任意取的两个数21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，能说明函数是上升的吗？抽象增函数的定义：问题11：我们应该如何类比探究呢？ 生：只需要在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大小即可。