上海中考数学各区二模卷填空18题
2023年上海市青浦区九年级中考二模数学试卷(含答案解析)
2023年上海市青浦区九年级中考二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题平面直角坐标系xOy 内，点P 在第二象限的概率为____．12．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度．13．已知点2()1,M -和点N 都在抛物线22y x x c =-+上，如果MN x ∥轴，那么点N 的坐标为____．14．已知点G 为ABC 的重心，AB a=，AC b = ，那么= AG __．（用a 、b 表示）15．如图，图中反映轿车剩余油量q (升)与行驶路径s (千米)的函数关系，那么q 与s 的函数解析式为____．16．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为____分米．17．如图3，在平面直角坐标系xOy 内，已知点(3,1)G -，(1,3)A -，(4,0)B -，如果C 是以线段AB 为直径的圆，那么点G 与C 的最短距离为____．三、解答题18．如图，在Rt ABC △中，90610C BC AB ∠=︒==，，，点D 是边AB 的中点，点M 在边AC 上，将ADM △沿DM 所在的直线翻折，点A 落在点E 处，如果EC AB ，那么CE =____．111 (1)求边AB的长；(2)已知点D在AB边上，且13ADBD=，连接22．某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示.已知参加乒乓球运动的人数有题.(1)求参加篮球和足球运动的总人数；(2)学校为本次活动购买了一些体育器材，数每人一只配备的，购买篮球的费用是单价比足球的单价便宜10元多少人？23．如图，在平行四边形ABCDBD于点F，且2AB BF BD=⋅(1)求证：点F 在边AB 的垂直平分线上；(2)求证：AD AE BE BD = ．24．如图，已知抛物线214y x bx c =-++为点A ．(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)将该抛物线向右平移m 个单位(0m >求m 的值；(3)在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为于点F ，求点C 到直线GF 的距离．25．如图，半圆O 的直径10AB =点D 是弧AC 上一点．(1)若点D 是弧AB 的中点，求tan DOC ∠(2)连接BD 交半径OC 于点E ，交CH 于点①用含m 的代数式表示线段CF 的长；②分别以点O 为圆心OE 为半径、点C m 取值范围．参考答案：故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键．6．D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于y x =-，当x =-二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项B.对于4y x =+，当2x =-时，2y =三象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项1【点睛】本题考查了中线的性质，15．1508q s =-+【分析】根据图象，通过待定系数法，即可解答．【详解】解：根据图象，可得函数与坐标轴的交点为设函数解析式为q ks b =+，将()050，，()4000，代入函数解析式得：解得1850k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故q 与s 的函数解析式为18q =-故答案为：1508q s =-+．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，熟练运用待定系数法是解题的关键．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．17．2【分析】首先根据题意画图，可求得直线据两点间距离公式，即可求解．【详解】解：根据题意画图如下：=设直线AB的解析式为y kx【详解】解：如图，过点D 作EC 的垂线段，交EC 于点F ，过点90610BC AB ︒==，，，226810+=，是边AB 的中点，152AD BD AB ===，ADM 沿DM 所在的直线翻折，点A 落在点E 处，5DA DC ==，在Rt ACH 中，45C ∠=︒．∴45HAC C ∠=∠=︒，即AH CH =．在Rt ABH △中，1tan 2AH B BH ==．∴2BH AH =．设AH x =，那么CH x =，2BH x =．∵AH BC ⊥，∴90DGC AHC ∠=∠=︒．∴DG AH ∥，即BD BG AB BH =．由13AD BD =得34BD AB =．∵8BH =，∴34BG BH =，即6BG =．∴6BG CG ==，即DG 是线段BC 的垂直平分线．∴BD CD =，∴BCD B ∠=∠．原抛物线21(2)44y x =--+向右平移132∴1742G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2502F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1702P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4GP PF ==，∴GPF 是等腰直角三角形，GFP ∠在Rt MOF △中，OMF OFM ∠=∠=∴192CM OM OC =-=．∵点D 是弧AB 的中点，AB 是直径，∴OD AB ⊥．∴90CHB DOB ∠=∠=︒，∴OD CH ∥，∴DOC OCH ∠=∠．过点O 作OM BC ⊥，垂足为点M ．由垂径定理，在Rt BOM △中，34BM OM OB ==，，在Rt BCH △中，sin CH BC OBC =⋅∠=）HG OC ∥交BD 于点G .,,HGB OEB GHB EOB =∠∠=∠,HGB OEB ∽1855BH BO ==，1825m =．HG OC∥,,CEF HGF ECF FHG =∠∠=∠,CEF HGF ∽CE GH=，51825CF m CF m -=-．6001201257m m-=-．o OE m ==，6001201257c m r CF m -==-，d OC =当两圆内切时，60012051257m m m --=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．答案第17页，共17页。
2024年上海市中考数学徐汇区二模卷和参考答案
2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2024.4（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．下列实数中，有理数是（A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6． 2．下列单项式中，与单项式322b a 是同类项的是（A ）4ab −； （B ）232b a ； （C ）233a b ； （D ）c b a 222−． 3．已知一次函数b kx y +=的图像经过第一、二、四象限，那么直线k bx y +=经过 （A ）第二、三、四象限； （B ）第一、二、三象限； （C ）第一、二、四象限； （D ）第一、三、四象限．4．如表1，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 （A ）甲； （B ）乙； （C ）丙； （D ）丁． 5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，如果添加一个条件使得□ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是 （A ）︒=∠+∠90ADO DAO ； （B ）ACD DAC ∠=∠； （C ）BAC DAC ∠=∠； （D ）ABC DAB ∠=∠． 6．如图，一个半径为cm 9的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了︒120，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是 （A ）π5 cm ； （B ）π6 cm ； （C ）π7cm ； （D ）π8cm ．表1 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差统计表BOACD（第5题图）（第6题图）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程012=−−x x 的根是___▲___． 8．不等式组⎩⎨⎧>−−>−1)3(23,312x x x 的解集是___▲___．9．方程组⎩⎨⎧=−=+02,522y x y x 的解是____▲____．10．关于x 的一元二次方程012=−−mx x 根的情况是：原方程__▲___实数根．11．如果二次函数1422+−=x x y 的图像的一部分是上升的，那么x 的取值范围是▲_．12．如果反比例函数xy 4−=的图像经过点)2,(t t A −，那么t 的值是____▲_____． 13．如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是__▲__．14．小杰沿着坡比4.2:1=i 的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是▲米． 15．某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查， 每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有__▲__人．16．如图，梯形ABCD 中，AD BC //，CD AB =，AC 平分BAD ∠，如果AB AD 2=，a AB=，b AD =，那么AC 是_▲_（用向量a 、b 表示）． 17．如图，在ABC ∆中，6==AC AB ，4=BC ． 已知点D 是边AC 的中点，将ABC ∆沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ，那么AE 的长是_▲__． 18．如图，点A 是函数)0(8<−=x x y 图像上一点，联结OA 交函数)0(1<−=x xy 图像于 点B ，点C 是x 轴负半轴上一点，且AO AC =，联结BC ，那么ABC ∆的面积是_▲_．（第16题图）D AB C（第17题图）AB C （第15题图1）不管询问 管理（第15题图2） 25℅ 从来 不管 严格 管理稍加 询问三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分）计算：212218−+−−π．20．（本题满分10分）解方程：21416222+=−−−+x x x x ． 21．（本题满分10分）如图，⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，联结AB 、21O O 、2AO ，已知48=AB ，5021=O O ，302=AO ．（1）求⊙1O 的半径长；（2）试判断以21O O 为直径的⊙P 是否经过点B ，并说明理由． 22．（本题满分10分）A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 23．（本题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，点E 、G 、H 、F 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AF AE =，CH CG =，AE CG ≠． （1）求证：GH EF //； （2）分别联结EG 、FH ，求证：四边形EGHF 是等腰梯形．（第23题图）E A B C DFGH （第21题图）AB1O 2O24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(442>+−=a ax ax y 与x 轴交于点)0,1(A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点),0(m M ，联结BC ，过点M 作BC MG ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．① 当23=m 时，且□GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标； ② 当0≥m 时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得□GDMN 是矩形，求m 的值．25．（本题满分14分）如图，在扇形OAB 中， 26==OB OA ，︒=∠90AOB ，点C 、D 是弧AB 上的动点（点C 在点D 的上方，点C 不与点A 重合，点D 不与点B 重合），且︒=∠45COD ． （1）①请直接写出弧AC 、弧CD 和弧BD 之间的数量关系；②分别联结AC 、CD 和BD ，试比较BD AC +和CD 的大小关系，并证明你的结论； （2）联结AB 分别交OC 、OD 于点M 、N ．①当点C 在弧AB 上运动过程中， BM AN ⋅的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求BM AN ⋅的值；②当5=MN 时，求圆心角DOB ∠的正切值．（第25题图）BA CDO2023学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．1=x ； 8．2>x ； 9．⎩⎨⎧==1,2y x 或⎩⎨⎧−=−=1,2y x ； 10．有两个不相等的；11．1≥x ； 12．2±； 13．21； 14．50； 15．400；16．b a21+； 17．171710； 18．228−．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：原式21)12(22−+−−=1122++−=2=．20．解：去分母，得216)2(2−=−+x x ；化简，得01032=−+x x ； 解得 51−=x ，22=x ； 经检验，2=x 是原方程的增根；所以，原方程的根是5−=x ．21．解：（1）联结1AO ，设21O O 与AB 的交点为C ． ∵⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，∴2421==AB AC ，AB O O ⊥21； 在2ACO Rt ∆中，︒=∠902ACO ，∴182430222222=−=−=AC AO CO ；∴3218502211=−=−=CO O O CO ；在1ACO Rt ∆中，︒=∠901ACO ， ∴402432222211=+=+=AC CO AO ；即⊙1O 的半径长为40．（2）以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．∵535030212==O O AO ，53301822==AO CO ； ∴22212AO CO O O AO =，又A O O C AO 212∠=∠； ∴21O AO ∆∽2ACO ∆；∴︒=∠=∠90221ACO AO O ； 取21O O 的中点P ，联结AP 、BP ．∴1PO AP =； 又21O O 垂直平分AB ，1PO AP BP ==； ∴以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．22．解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷； ∴送完另4名学生的时间是：)(42)(45315分钟分钟>=⨯：∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地． （2）方案不唯一．如：先将4名学生用车送达比赛场地，另外4名学生同时步行前往比赛场地， 汽车到比赛场地后返回到与另外4名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用 这种方案送这8名学生到达比赛场地共需时间约为4.40分钟）．理由如下：先将4名学生用车送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷ 此时另外4名学生步行路程是：25,125,05=⨯(千米)；设汽车与另外4名学生相遇所用时间为t 小时．则25.115605−=+t t ；解得5211=t （小时）13165=（分钟）； 从相遇处返回比赛场地所需的时间也是13165（分钟）；所以，送这8名学生到达比赛场地共需时间为：4.4021316515≈⨯+（分钟）； 又424.40<；所以，用这种方案送这8名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23．证明：（1）联结BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD BC AD AB ===；又AF AE =，CH CG =，∴AD AF AB AE =，CDCHCB CG =； ∴BD EF //，BD GH //； ∴GH EF //．（2）∵BD EF //，∴AB AEBD EF =； ∵BD GH //，∴BCCGBD GH =；又AE CG ≠，∴GH EF ≠； 又GH EF //，∴四边形EGHF 是梯形； ∵AF AD AE AB −=−,即DF BE =； 又CH CD CG BC −=−，即DH BG =； ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B ∠=∠； ∴DHF BGE ∆≅∆；∴FH EG =； ∴梯形EGHF 是等腰梯形．24．解：（1）由题意，得044=+−a a ；解得34=a ；∴抛物线的表达式为4316342+−=x x y ； ∵抛物线的对称轴是直线2=x ，∴点)0,3(B ． （2）①由题意，得)4,0(C 、)23,0(M ，∴25=CM ； ∵四边形GDMN 是平行四边形，∴NM GD //； 又点N 在y 轴上，∴OD NM ⊥；∴OD GD ⊥； 在BOC Rt ∆中。
2024届上海市静安区初三二模数学试卷(含答案)
2024届上海市静安区初三二模数学试卷（满分150 分，100 分钟完成）2024.04一、选择题：（本大题共 6 题，每题4 分，满分24 分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1．下列各数中，是无理数的为（ ）A B C 0πD ．172．下列运算正确的是（ ）A ．231a a a−÷=B a=C ．()325aa =D ．336a a a+=3．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰梯形C ．正方形D ．正三角形 4．一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（ ）第5题图A ．AOB AOD ∠=∠ B ．ABO ADO ∠=∠C ．BAO DAO ∠=∠D ．ABC BCD ∠=∠6．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等； ②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（ ） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题二、填空题：（本大题共 12 题，每题4 分，满分48 分） [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：1−=______． 8．函数()11f x x =+的定义域是______．11．如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有实数根，那么a 的取值范围是______．12．反比例函数21m y x+=（其中m 为任意实数）的图像在第______象限．13．将一枚硬币连续抛两次，两次都是正面朝上的概率是______．14．一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次12"3，1次12"1，3次12"7，4次12"5，那么这10个数据的中位数是______．15．在ABC △中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，设,DE a DF b ==，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90°．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是______．第16题图17．如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，那么r 的取值范围是______．18．如图，矩形ABCD 中，8,17AB BC ==，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形111AB C D ，使点D 在直线11B C 上，那么线段1BB 的长度是______．第18题图三、解答题：（本大题共 7 题，满分78 分）9．方程(x − 0 的根为______．10．如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．先化简，再求值：22424412x x xx x x x−+÷−−++−，其中x=．20．（本题满分10分）解不等式组3043326xxx−≥⎧⎪⎨+>−⎪⎩，并写出它的整数解．21．（本题满分10分）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB CD∥．第21题图（1）求证：AC BD=；（2）如果弦AB长为8，它与劣弧AB组成的弓形高为2，求CD的长．某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A （1，10.0）、B （2，11.0）、C （3，12.4）、D （4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为9y x =+．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．23．（本题满分12分）己知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，联结AC ．（1）求证：2AD AE AC =⋅；（2）联结BE 和BF ，求证：BE BF =．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点A （0，3）和点B （3，0），横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．25．（本题满分14分）如图1，ABC △中，已知6,9,AB BC B ==∠为锐角，1cos 3ABC ∠=． （1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，联结PQ ，如果BPQ △是等腰三角形，求AP 的长．参考答案一、选择题1.B2. A3. C4. C5. D6. A 二、填空题7.1 8. 1x ≠− 9. 2x = 10. 60 11. 1a ≤且0a ≠ 12. 一、三 13.1414.12"515.22b a − 16.1,02⎛⎫−⎪⎝⎭17.r >518.三、解答题19.化简为12x −，代入后值为22−20.13x −<≤，整数解0,1,2,3x =21.（1）证明略 （2）1022.（1） 1.28.8y x =+（2）0.0125；应选 1.28.8y x =+；14.8 23.（1）证明略 （2）证明略 24.（1）215322y x x =−+ （2）13（3）1744,39P ⎛⎫⎪⎝⎭25.（1）9（2）17124y x x ⎛⎫=−≤< ⎪⎝⎭ （3）32或3。
2022年上海市黄浦区中考数学二模试卷及答案解析
2022年上海市黄浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. √8B. √12C. √6D. √0.22. 将抛物线y =(x −2)2+1向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是( ) A. (2,−2)B. (2,4)C. (5,1)D. (−1,1)3. 关于x 的一元二次方程kx 2−4x +1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A. k >4B. k <4C. k <4且k ≠0D. k ≤4且k ≠04. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A. 方差B. 众数C. 平均数D. 频数5. 已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是( ) A. 4B. 5C. 10D. 156. 已知⊙O 的半径OA 长为3，点B 在线段OA 上，且OB =2，如果⊙B 与⊙O 有公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围是( )A. r ≥1B. r ≤5C. 1<r <5D. 1≤r ≤5二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：a(a +1)=______．8. 函数：y =√x −2的自变量的取值范围是______． 9. 方程组{x +2y =3x 2−y 2=0的解是______ ．10. 一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为______．11. 如果抛物线y =(m +1)x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是______ ． 12. 观察反比例函数y =2x 的图象，当0<x <1时，y 的取值范围是______ ． 13. 从29,√2，π这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为______ ． 14. 某传送带与地面所成斜坡的坡度i =1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．15. 如图，点G 是△ABC 的重心，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______ ．16. 如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB=CD=2√3，∠AMC= 120°，那么OM的长为______ ．17. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，将△ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为______ ．18. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC=60°，BC=3AD.将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么CEBE的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
2023年上海市16区数学中考二模专题汇编5 图形的平移、旋转、翻折、新定义(18题)含详解
专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形二、填空题5．（2023·上海黄浦A的对应点是点6．（2023·上海静安处，点A落在点7．（2023·上海金山·统考二模）已知线段AC上，如果点E关于直线8．（2023·上海闵行三角形为特征三角形．9．（2023·上海浦东新·于点F．如果2AD AB=10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线“月牙线”，抛物线1C和抛物线=，那么抛物线果BD CD11．（2023·上海宝山·统考二模）13．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，80A ∠=︒，如果将菱形ABCD 绕着点D 逆时针旋转后，点A 恰好落在菱形ABCD 的初始边AB 上的点E 处，那么点E 到直线BD 的距离为___________．14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、BA 的中点，连接DE ．将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，点D 、E 的对应点分别是点1D 、1E ．如果点1E 落在线段AC 上，那么线段1CD =____．三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点()1,0A 、点()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在线段BC 上，设点P 的横坐标为m ．(1)求直线BC 的表达式；(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．17．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()2,7A -，与x 轴交于点B 、()5,0C ．(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCE 沿直线BE 翻折，如果点C 的对应点F 恰好落在抛物线的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是抛物线上位于第四象限内的点，当CPQ 为等边三角形时，求直线BQ 的表达式．18．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线2y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线()21(0)y x t t =-->的顶点为B ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；(2)将线段OB 绕点B 顺时针旋转90︒，点O 落在点C 处，如果点C 在抛物线上，求点C 的坐标；(3)设抛物线的对称轴与直线2y x =-+交于点D ，且点D 位于x 轴上方，如果45BOD ∠=︒，求t 的值．专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆【答案】D【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的对称轴．【详解】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称轴，圆的对称轴条数最多，故选：D．【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，解题的关键是掌握轴对称的概念．2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】A选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B选项：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C选项：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D选项：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，会根据定义判断轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．二、填空题在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．116OG BG BC ===⨯=在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．∴11622OG BG BC ===⨯【答案】20【分析】根据旋转可得根据AA B '∠【详解】解：∵∴180ACB ∠=∵将ABC 绕点∴30B A C BAC ∠=∠=''︒，∴(11802CAA CA A ''∠=∠=︒∴AA B CA A B A C '''''∠=∠-∠故答案为：20︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．A 的对应点是点1A ，点B 的对应点是点1B ），如果点1A 坐标是()20-，，那么点1B 的坐标是________．【答案】()12，【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加3，那么让点B 的横坐标减3，纵坐标加3即为点1B 的坐标．【详解】解：∵()13A -，平移后对应点1A 的坐标为()20-，，∴A 点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，∴B 点的平移方法与A 点的平移方法是相同的，∴()41B -，平移后的坐标是：()4313--+，即()12，．故答案为：()12，．【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．6．（2023·上海静安·统考二模）如图，在ABC 中，AB AC =，将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，如果BE BF =，那么DBC ∠的大小是______．【答案】108︒/108度【分析】设A x ∠=，由AB AC =，BE BF =得ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，再由旋转的性质得DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，从而有CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，利用三角形的内角和定理构造方程即可求解．【详解】解：设A x ∠=，∵AB AC =，BE BF =，∴ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，∵将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，∴DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，∵180BEC C CBE ABC C A ∠∠∠∠∠∠++=++=︒，∴CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．8．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角三角形为特征三角形．问题解决：如图，在ABC 中，【答案】253【分析】由题意可分：,A B βα∠=∠=，过点∴A ADC ∠=∠，∵4tan 3A =，∴4tan 3ADC ∠=，∵ABC 是特征三角形，即∴2ABE ABC ∠=∠，∴BC 平分ABE ∠，【答案】35【分析】通过证明AEF △得出边之间的关系，即可求解．【详解】解：∵2=AD AB ∴设,2AB a AD a ==，【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，以及解直角三角形的方法和步骤．10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线则tan tan DAC ∠=∠∴t n a CD DAC AC ∠==∴165CD =∴1695BD =-=；作DE AB ⊥于E ，则∵AD AD =，∴Rt △∵，90ACB ∠=︒，设BD x =，则CD DE =【答案】3372-【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出出90DBE ∠=︒，在Rt【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，180ADE DEA ∠=︒-∠-∠由旋转、菱形的性质可知，∴80DEA A ∠=∠=︒，ABD ∠∴180ADE DEA ∠=︒-∠-∠【答案】355【分析】根据勾股定理求得AB ，根据旋转的性质得出根据相似三角形的性质即可求解．设旋转角为α，∴11ABE CBD ∠=∠，旋转，∴115,1BE BE BD BD ====，三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点(1)求直线BC 的表达式；(2)如果以P 为顶点的新抛物线经过原点，且与①求新抛物线的表达式（用含②过点P 向x 轴作垂线，交原抛物线于点【答案】(1)3y x =-+(2)①()2233m y x m m m-=--+，【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点式即可；（2）①先求出()3P m m -+，，设新抛物线解析式为抛物线解析式，再根据点P 在线段称时，当四边形AEDP 关于PE 【详解】（1）解：把()1,0A 、B ∴13a c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为24y x x =-+在243y x x =-+中，令0x =，则∴()0,3C ；设直线BC 的解析式为y kx b =+∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y x =-+（2）解：①∵点P 在线段BC【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，求一次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023·上海松江·统考二模）如图，(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)24(3)97OF =或95OF =．【分析】（1）如图：连接,OC O C '，先根据圆的性质和对称的性质说明OAO ' 是等边三角形，明60COO BOC '∠=∠=︒即可证明结论；（2）设圆O 的半径为2a ，则2O A OA a '==，如图：作ON AD ⊥于N ；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得,30120ODA OAD AOD ︒︒∠=∠=∠=，然后解直角三角形可得()232O D a '=-、EF OE ==∵点O '恰好落在半圆O 上，∴OO OA '=，∵点O '与点O 关于直线AC 对称∴AO OA CO CO ==='',O AC '∠∵,30OA OD OAD =∠=︒，∴,30120ODA OAD AOD ︒∠=∠=∠=在Rt AON △中，sin 30ON OA =⋅︒∵ON AD ⊥，∴FN FM=∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ⨯==⨯ ，又∵AFD S DF S OF = ，∴FN FM =，∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ∆∆⨯==⨯，又∵AFD OFA S DF S OF ∆∆=，(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点式．【答案】(1)245y x x =--，顶点坐标为：(2)点E 的坐标为()2,3；(3)直线BQ 的函数表达式为【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）先求解抛物线与x 轴交于轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为2233FH FB BH =-=，（3）连接CF ，证明FCB 于点K ，可得点K 的坐标为【详解】（1）解：∵抛物线∵抛物线与x 轴交于(1,0B -∴6BC =，抛物线的对称轴为直线设抛物线的对称轴与x 轴交于点由翻折得6CB FB ==，由勾股定理，得FH FB =∴点F 的坐标为()2,33，∴60FBH ∠=︒，∴CP CQ =，CB CF =，∠∴FCP BCQ ∠=∠，∴BCQ FCP ≌，∴CBQ CFH ∠=∠，∵BCF △为等边三角形，∴30CFH CBQ ∠=︒=∠，设BP 与x 轴相交于点K ，∴3tan 303OK OB =︒= ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；∵旋转，∴,90OB OC OBC =∠=∴BEO OBC BDC ∠=∠=∠∴90OBE CBD ∠=︒-∠由2y x =-+，令0y =，得∴2OA OH ==，AH =∴OAH △是等腰直角三角形∵BD y ∥轴，。
中考数学二模第18题精选练习25题
中考数学二模第 18 题精选练习 25 题题1：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，sin B＝，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B 分别与点A1、B1 对应，边A1B1 分别交边AB、BC 于点D、E，如果点E 是边A1B1 的中点，那么＝．题2：定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP、OQ 的比例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点．已知点M、N 为圆O 的一对反演点，且点M、N 到圆心O 的距离分别为4 和9，那么圆O 上任意一点到点M、N 的距离之＝．题3：一个正多边形的对称轴共有10 条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．题4：如图，在△ABC 中，已知AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转30°，记点C 的对应点为点D，AD、BC 的延长线相交于点E．如果线段DE 的长，那么边AB 的长为．题5：如图，点M 的坐标为（3，2），动点P 从点O 出发，沿y 轴以每秒1 个单位的速度向上移动，且过点P 的直线l：y＝﹣x+b 也随之移动，若点M 关于l 的对称点落在坐标轴上，设点P 的移动时间为t，则t 的值是．题6：如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC 绕着点C 旋转，点A、B 的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于．题7：如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝2，D为边AC 上一点（点D与点A、C 不重合）．将△AB D 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，连接CE．如果CE∥AB，那么AD：CD＝．题8：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知，0），B（0，6），M（0，2）．点Q 在直线AB 上，把△BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ．如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是．题9：如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，点E 在边AD 上且AE＝4，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A、B 的对应点A1、B1 与点C 在同一直线上，A1B1 与边AD 交于点G，如果DG ＝3，那么BF 的长为．题10：如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC 绕点 B 旋转得到△DBE，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F，那么CF 的长为．题11：如图，矩形ABCD，AD＝a，将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF，顶点A、D、C 分别与点E、F、G 对应（点D 与点F 不重合）．如果点D、E、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是．（用含a 的代数式表示）题12：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝6，cos B＝，先将△ACB 绕着顶点C 顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB（′点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B 和△AA′B′相似，那么A′C 的长是．题13：如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E，交边AD 于点F，已知AD＝5，AE＝2，AF＝4．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是．题14：如图，点M 的坐标为（3，2），点P 从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y＝﹣x 平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是．题15：我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1 个单位秒的速度向点C 运动，动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2 个单位/秒的速度向点运动，P、Q 两点分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为．题16：如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AB 上，且DE⊥AD，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，连接AF 交BC 于点G，如，那的值等于．题17：在直角梯形ABCD 中，点E 在线段AD 上，将△ABE 沿BE 翻折，点A 恰巧落在对角线BD 上点P 处，那么PD＝．题18：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点P、Q 分别在边BC、AC 上，PQ∥AB，把△PCQ 绕点P 旋转得到△PDE（点C、Q 分别与点D、E 对应），点D 落在线段PQ 上，若AD 平分∠BAC，则CP 的长为．题19：如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，如果把△BCD 沿直线CD翻折，使得点B 落在同一平面内的B′处，联结AB′，那么AB′的长为．题20：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D 是AB 的中点，P 是直线BC 上一点，把△BDP 沿PD 所在的直线翻折后，点B 落在点Q 处，如果QD⊥BC，那么点P 和点B 间的距离等于．题21：如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED，连接CE，那么线段CE 的长等于．题22：如图，已知平行四边形ABCD 中，AC＝BC，∠ACB＝45°，将三角形ABC 沿着AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE，那的值为．题23：如图，将△ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′．当α+β＝90°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“双旋三角形”．如果等边△ABC 的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是（用含a 的代数式表示）．题24：如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 翻折到点E 处，如果DE：AC＝1：3，那么AD：AB＝．题25：如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D 在边AB 上，且∠BDC＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D1，那么线段DD1 的长为．参考答案一．填空题（共 25 小题）1．【分析】设 AC ＝3x ，AB ＝5x ，可求 BC ＝4x ，由旋转的性质可得 CB 1＝BC ＝4x ，A 1B 1＝5x ，∠ACB ＝ ∠A 1CB 1，由题意可证△CEB 1∽△DEB ，可得 ，即可求解．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，sin ＝ ，∴设 AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴BC ＝＝4x ，∵将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ，∴CB 1＝BC ＝4x ，A 1B 1＝5x ，∠ACB ＝∠A 1CB 1，∵点 E 是 A 1B 1 的中点，∴CE ＝A 1B 1＝2.5x ＝B 1E ，∴BE ＝BC ﹣CE ＝1.5x ，∵∠B ＝∠B 1，∠CEB 1＝∠BED∴△CEB 1∽△DEB＝2．【分析】分三种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：由题意⊙O 的半径 r 2＝4×9＝36，∵r ＞0，∴r ＝6，当点 A 在 NO 的延长线上时，AM ＝6+4＝10，AN ＝6+9＝15，∴＝＝，当点 A ″是 ON 与⊙O 的交点时，A ″M ＝2，A ″N ＝3，∴＝，当点 A ′是⊙O 上异与 A ，A ″两点时，易证△OA ′M ∽△ONA ′，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ 故答案为：综上所述＝．故答案为．3．【分析】根据轴对称图形的性质得到这个正多边形是正十边形，求出正十边形的中心角，作AC 平分∠OAB 交OB 于C，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵正多边形的对称轴共有10 条，∴这个正多边形是正十边形，设这个正十边形的中心为O，则OA＝OB＝4，∠AOB＝＝36°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝72°，作AC 平分∠OAB 交OB 于C，则∠OAC＝∠O，∠ACB＝∠B，∴OC＝CA＝AB，△ABC∽△OAB，∴＝，即AB2＝4×（4﹣AB），解得﹣2，AB2＝﹣2﹣2（舍去），∴AB＝2﹣2，故答案为﹣2．4．【分析】作DF⊥BE 于F，CH⊥AD 于H，由题意，可得AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝30°，可得∠DCE＝30°，∠E＝45°，根据，可得，即+1，在Rt△CHE中，CH＝HE＝，AH＝，根据AD＝AH+HE﹣DE，可求出AD 的长，进而得出，AH＝，E＝AB 的长．【解答】解：如图，作DF⊥BE 于F，CH⊥AD 于H，∵将△ABC 绕着点A 逆时针旋转30°，记点C 的对应点为点D，AD、BC 的延长线相交于点E，∴AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DCE＝30°，∠E＝45°，∵DE＝，∴DF＝EF＝1，CF＝，∴CE＝+1，∴CH＝HE＝∴AD＝AH+HE﹣D ，∴AB＝．故答案为：．5．【分析】找出点M 关于直线l 在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F 的坐标，然后分别求出ME、MF 中点坐标，最后分别求出时间t 的值．【解答】解：如图，过点M 作MF⊥直线l，交y 轴于点F，交x 轴于点E，则点E、F 为点M 在坐标轴上的对称点．过点M 作MD⊥x 轴于点D，则OD＝3，MD＝2．由直线l：y＝﹣x+b 可知∠PDO＝∠OPD＝45°，∴∠MED＝∠OEF＝45°，则△MDE 与△OEF 均为等腰直角三角形，∴DE＝MD＝2，OE＝OF＝1，∴E（1，0），F（0，﹣1）．∵M（3，2），F（0，﹣1），∴线段MF 中点坐标为，）．直线y＝﹣x+b 过点（，），则＝﹣+b，解得：b＝2，∴t＝2．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME 中点坐标为（2，1）．直线y＝﹣x+b 过点（2，1），则1＝﹣2+b，解得：b＝3，∴t＝3．故点M 关于l 的对称点，当t＝2 时，落在y 轴上，当t＝3 时，落在x 轴上．故答案为2 或3．6．【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8，由等腰三角形的性质可得AF＝A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF 的长，即可求AA'的长．【解答】解：如图，过点C 作CF⊥AA'于点F，∵旋转∴AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8∵CF⊥AA'，∴AF＝A'F在Rt△AFC 中，AC2＝AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2＝B'F2+CF2，∴B'C2﹣AC2＝B'F2﹣AF2，∴64﹣25＝（5+AF）2﹣AF2，∴AF＝∴AA'＝故答案为7．【分析】作辅助线，构建平行线和直角三角形，先根据勾股定理计算AG 的长，证明△BCH∽△ABG，列比例式可得BH＝4，CH＝2，根据勾股定理计算EH 的长，从而得CE 的长，最后根据平行线分线段成比例定理得＝．【解答】解：如图，过A 作AG⊥BC 于G，过B 作BH⊥CE，交EC 的延长线于H，延长BD 和CE 交于点F，∵AC＝AB＝5，∴BG＝CG＝＝＝2 ，∵FH∥AB，∴∠ABG＝∠BCH，∵∠H＝∠AGB＝90°，∴△BCH∽△ABG，∴＝，∴＝＝，∴BH＝4，CH＝2，由折叠得：AB＝BE＝5，∴EH＝＝＝3，CE＝3﹣2＝1，∵FH∥AB，∴∠F＝∠ABD＝∠EBD，∴EF＝BE＝5，∴FC＝5+1＝6，∵FC∥AB，∴＝，故答案为：5：6．8．【分析】先求出，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，tan∠BAO＝，得出∠BAO＝60°，AB＝2OA＝4，分∠PQB＝120°或∠PQB＝60°两种情况，（1）当∠PQB＝120°时，又分两种情况：①延长PQ 交OB 于点N，则∠BQN＝60°，QN⊥BM，由折叠得出BM＝MP＝4，求出BM＝2，由勾股定理得出NP＝＝2 ，ON＝OM+NM＝4，即可得出P 点的坐标；②QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，即可得出P 点的坐标；（2）当∠PQB＝60°时，Q 点与A 点重合，OP＝AP﹣OA＝2，即可得出P 点的坐标；综上情况即可P 点的坐标．【解答】解，0），B（0，6），M（0，2），∴OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，∴tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝4，∵直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，∴∠PQB＝120°或∠PQB＝60°，（1）当∠PQB＝120°时，分两种情况：①如图1 所示：延长PQ 交OB 于点N，则∠BQN＝60°，∴∠QNB＝90°，即QN⊥BM，由折叠得：BM＝MP＝4，∠BQM＝∠PQM，∵∠PQB＝120°，∴∠BQM＝∠PQM＝120°，∴∠BQN＝∠MQN＝60°，∵QN⊥BM，∴BN＝NM＝BM＝2，在Rt△PNM 中＝＝2，ON＝OM+NM＝4，∴P 点的坐标为，4）；②如图2 所示：QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，∴P 点的坐标为：（0，﹣2）；（2）当∠PQB＝60°时，如图3 所示：Q 点与A 点重合，由折叠得，OP＝AP﹣OA＝4 ﹣2＝2，∴P 点的坐标为，0）；综上所述：P 点的坐标为：（2 ，4）或（0，﹣2）或（﹣2 ，0）．9．【分析】由DG＝3，CD＝6 可知△CDG 的三角函数关系，由△CDG 分别与△A'EG，△B'FC 相似，可求得CG，CB'，由勾股定理△CFB'可求得BF 长度．【解答】解：∵△CDG∽△A'EG，A'E＝4∴A'G＝2∴B'G＝4由勾股定理可知CG'＝则CB'＝由△CDG∽△CFB'设BF＝x∴解得x＝故答案10．【分析】由题意，可得，所以CD＝4，在Rt△FCD 中，∠DCF＝90°，tan D＝，，可得CF＝3．【解答】解：∵如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．∴AB＝，∵将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE，点A 的对应点D 落在射线BC 上，直线AC 交DE 于点F，∴BD＝AB＝10，∠D＝∠A，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4，在Rt△FCD 中，∠DCF＝90°，∴tan D＝，，∴CF＝3．故答案为：3．11．【分析】连接BD，证明Rt△EDB≌Rt△CBD，可得DE＝BC＝AD＝a，因为EF＝AD＝a，根据DF ＝DE+EF 即可得出DF 的长．【解答】解：如图，连接BD，∵将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF，且D、E、F 在同一条直线上，∴∠DEB＝∠C＝90°，BE＝AB＝CD，∵DB＝BD，∴Rt△EDB≌Rt△CBD（HL），∴DE＝BC＝AD＝a，∵EF＝AD＝a，∴DF＝DE+EF＝a+a＝2a．故答案为：2a．12．【分析】由题意当点A′在线段BC 上且AA′平分∠BAC 时，△AA′B 和△AA′B′相似，作A′H⊥AB 于H．证明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出，设A′C＝A′H＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：由题意当点A′在线段BC 上且AA′平分∠BAC 时，△AA′B 和△AA′B′相似，作A′H⊥AB 于H．在Rt△ABC 中＝，AB＝6，∴BC＝4，AC＝＝2，∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′，∴△AA′H≌△AA′C（AAS），∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x，在Rt△A′BH 中）2，∴x＝3﹣5，∴A′C＝3﹣5，故答案为﹣5．13．【分析】连接EF，知EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G 是AF 的中点，据此可得AF＝2，OG＝AE＝1，继而求得OF＝＝，OD＝＝，最后根据两圆的位置关系可得答案．【解答】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC＝90°，则EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G 是AF 的中点，∴GF＝AF＝2，∴OG 是△AEF 的中位数，∴OG＝AE＝1，∴OF＝＝，OD＝＝，∵圆D 与圆O 有两个公共点，∴﹣＜r＜+，故答案为﹣＜r＜+．14．【分析】找出点M 关于直线l 在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F 的坐标，然后分别求出ME、MF 中点坐标，最后分别求出时间t 的值．【解答】解：设直线l：y＝﹣x+b．如图，过点M 作MF⊥直线l，交y 轴于点F，交x 轴于点E，则点E、F 为点M 在坐标轴上的对称点．过点M 作MD⊥x 轴于点D，则OD＝3，MD＝2．由直线l：y＝﹣x+b 可知∠PDO＝∠OPD＝45°，∴∠MED＝∠OEF＝45°，则△MDE 与△OEF 均为等腰直角三角形，∴DE＝MD＝2，OE＝OF＝1，∴E（1，0），F（0，﹣1）．∵M（3，2），F（0，﹣1），∴线段MF 中点坐标为，）．直线y＝﹣x+b 过点，），则+b，解得：b＝2，∴t＝2．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME 中点坐标为（2，1）．直线y＝﹣x+b 过点（2，1），则1＝﹣2+b，解得：b＝3，∴t＝3．故点M 关于l 的对称点，当t＝2 时，落在y 轴上，当t＝3 时，落在x 轴上．故答案为：2 或3（答一个即可）．15．【分析】先以C 为原点，以AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，由题意知0≤t≤6，求得t＝0及t＝6 时M 的坐标，得到直线M1M2 的解析式为y＝﹣2x+8．过点M2 作M2N⊥x 轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，M1M2＝3，线段PQ 中点M 所经过的路径长为个单位长度．【解答】解：以C 为原点，以AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系：依题意，可知0≤t≤6，当t＝0 时，点M1 的坐标为（4，0）；当t＝6 时，点M2 的坐标为（1，6），设直线M1M2 的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线M1M2 的解析式为y＝﹣2x+8．设动点运动的时间为t 秒，则有点Q（0，2t），P（8﹣t，0），∴在运动过程中，线段PQ 中点M3 的坐标为，t），把代入y＝﹣2x+8，得+8＝t，∴点M3 在M1M2 直线上，过点M2 作M2N⊥x 轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，∴M1M2＝3，∴线段PQ 中点M 所经过的路径长为个单位长度．故答案为．16．【分析】连接FC，证明△EDB≌△FDC，可得ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，FC＝BE，即FC∥AB，所以△CFG∽△BAG，可，所以AF，因为DE⊥AD，DE＝DF，所以AE＝AF，进而可得的值．【解答】解：如图，连接FC，∵将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，∴BD＝CD，ED＝FD，∵∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，FC＝BE，∴FC∥AB，∴△CFG∽△BAG，∴，∴FG＝AF，∵DE⊥AD，DE＝DF，∴AE＝AF，∴＝．故答案为．17．【分析】过点C 作CF⊥AB 于点F，则四边形AFCD 为矩形，根据矩形的性质可得出BF＝5，结合cos∠ABC＝，可得出CF 的长度，进而可得出AD 的长度，在Rt△BAD 中利用勾股定理可求出BD 的长度，由折叠的性质可得出BP＝BA＝12，再由PD＝BD﹣BP 即可求出PD 的长度．【解答】解：过点C 作CF⊥AB 于点F，则四边形AFCD 为矩形，如图所示．∵AB＝12，DC＝7，∴BF＝5．又，∴BC＝13，CF＝＝12．∵AD＝CF＝12，AB＝12，∴BD＝＝12．∵△ABE 沿BE 翻折得到△PBE，∴BP＝BA＝12，∴PD＝BD﹣BP＝12﹣12．故答案为﹣12．18．【分析】连接AD，根据PQ∥AB 可知∠ADQ＝∠DAB，再由点D 在∠BAC 的平分线上，得出∠DAQ ＝∠DAB，故∠ADQ＝∠DAQ，AQ＝DQ．在Rt△CPQ 中根据勾股定理可知，AQ＝12﹣4x，故可得出x 的值，进而得出结论；【解答】解：连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ＝∠DAB．∵点D 在∠BAC 的平分线上，∴∠DAQ＝∠DAB，∴∠ADQ＝∠DAQ，∴AQ＝DQ．在Rt△ABC 中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CBA，∴CP：CQ＝BC：AC＝3：4，设PC＝3x，CQ＝4x，在Rt△CPQ 中，PQ＝5x，∵PD＝PC＝3x，∴DQ＝2x．∵AQ＝4﹣4x，∴4﹣4x＝2x，解得，∴CP＝3x＝2；故答案为2．19．【分析】如图，作AE⊥BC 于E，DK⊥BC 于K，连接BB′交CD 于H．只要证明∠AB′B＝90°，求出AB、BB′，理由勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作AE⊥BC 于E，DK⊥BC 于K，连接BB′交CD 于H．∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝EC＝4，在Rt△ABE 中＝，∴AE＝6，AB＝＝2，∵DK∥AE，BD＝AD，∴BK＝EK＝2，∴DK＝AE＝3，在Rt△CDK 中＝3，∵B、B′关于CD 对称，∴BB′⊥CD，BH＝HB′∵S△BDC＝•BC•DK＝•CD•BH，∴BH＝，∴BB′＝，∵BD＝AD＝DB′，∴∠AB′B＝90°，∴AB′＝，故答案．20．【分析】在Rt△ACB 中，根据勾股定理可求AB 的长，根据折叠的性质可得QD＝BD，QP＝BP，根据三角形中位线定理可得AC，BD＝AB，BE＝BC，再在Rt△QEP 中，根据勾股定理可求QP，继而可求得答案．【解答】解：在Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝＝10，由折叠的性质可得QD＝BD，QP＝BP，又∵QD⊥BC，∴DQ∥AC，∵D 是AB 的中点，∴DE＝AC＝3，BD＝AB＝5，BE＝BC＝4，①当点P 在DE 右侧时，∴QE＝5﹣3＝2，在Rt△QEP 中，QP2＝（4﹣BP）2+QE2，即QP2＝（4﹣QP）2+22，解得QP＝2.5，则BP＝2.5．②当点P 在DE 左侧时，同①知，BP＝10故答案为：2.5 或10．21．【分析】如图连接BE 交AD 于O，作AH⊥BC 于H．首先证明AD 垂直平分线段BE，△BCE 是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE 中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接BE 交AD 于O，作AH⊥BC 于H．在Rt△ABC 中，∵AC＝8，AB＝6，∴BC＝＝10，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝5，∵BC•AH＝AB•AC，∴AH＝，∵AE＝AB，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE＝DB＝DC，∴点D 在BE 使得垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段BE，∵AD•BO＝BD•AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE 中，EC＝＝，故答案为．22．【分析】依据△ACF 和△DEF 都是等腰直角三角形，设EF＝DF＝1，则，设AF＝CF＝x，则AC＝EC＝1+x，在Rt△ACF 中，依据AF2+CF2＝AC2，可得x2+x2＝（x+1）2，解得，即可得到AC＝2+ ，进而得＝＝．【解答】解：如图，设AD 与CE 交于点F，由折叠可得，∠ACE＝∠ACB＝45°，而∠DAC＝∠ACB＝45°，∴∠AFC＝90°，∠EFD＝90°，AF＝CF，由折叠可得，CE＝AD，∴EF＝DF，∴△ACF 和△DEF 都是等腰直角三角形，设EF＝DF＝1，则，设AF＝CF＝x，则AC＝EC＝1+x，∵Rt△ACF 中，AF2+CF2＝AC2，∴x2+x2＝（x+1）2，解得或（舍去），∴AC＝2+，∴＝＝．故答案为．23．【分析】首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△A B′C′是顶角为150°的等腰三角形，其中AB′＝AC′＝a．过C′作C′D⊥AB′于D，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC′＝a，然后根据S△AB′C′＝AB′•C′D 即可求解．【解答】解：∵等边△ABC 的边长为a，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°．∵将△ABC 的边AB 绕着点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，∴AB′＝AB＝a，∠B′AB＝α，∵边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，∴AC′＝AC＝a，∠CAC′＝β，∴∠B′AC′＝∠B′AB+∠BAC+∠CAC′＝α+60°+β＝60°+90°＝150°．如图，过C′作C′D⊥AB′于D，则∠D＝90°，∠DAC′＝30°，∴C′D＝AC′＝a，∴S△AB′C′＝AB′•C′D＝a•a＝a2．故答案a2．24．【分析】根据翻折的性质可得∠BCA＝∠ECA，再根据矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC＝∠BCA，从而得到∠ECA＝∠DAC，设AD 与CE 相交于F，根据等角对等边的性质可得AF＝CF，再求出DF＝EF，从而得到△ACF 和△DEF 相似，根据相似三角形对应边成比例求＝＝＝，设DF＝x，则AF＝FC＝3x，在Rt△CDF 中，利用勾股定理列式求出CD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．【解答】解：∵矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，∴∠BCA＝∠ECA，AE＝AB＝CD，EC＝BC＝AD，∵矩形ABCD 的对边AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠ECA＝∠DAC，设AD 与CE 相交于F，则AF＝CF，∴AD﹣AF＝CE﹣CF，即DF＝EF，∴＝，又∵∠AFC＝∠DFE，∴△ACF∽△DEF，∴＝＝＝，设DF＝x，则AF＝FC＝3x，在Rt△CDF 中＝2x，又∵BC＝AD＝AF+DF＝4x，∴＝＝．故答案．25．【分析】作AE⊥BC 于E．根据等腰三角形三线合一的性质得出BC＝3，利用勾股定理求出AE＝4．根据三角形的面积得出＝，那么AD＝．再根据旋转的性质可知AD＝AD1，∠CAD＝∠BAD1，那么△ABC∽△ADD1，利用相似三角形的性质可求出DD1．【解答】解：如图，作AE⊥BC 于E．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝EC＝BC＝3，∴AE＝＝4．∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴CD＝＝＝，∴AD＝．∵△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D1，∴AD＝AD1，∠CAD＝∠BAD1，∵AB＝AC，∴△ABC∽△ADD1，∴，∴＝，∴DD1＝．故答案为．31。
2024届上海闵行区初三二模数学试卷及答案
2023学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．4．本次考试不能用计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中，有理数是（A ）3π-；（B ）1-；（C；（D．2．下列运算正确的是（A ）2a a a +=；（B ）2a a a = ；（C ）()3328a a =；（D ）()326a a -=．3．下列函数中，y 的值随着x 的值增大而增大的是（A ）1y x=；（B ）2y x =-+；（C ）2y x =-；（D ）1y x=-．4．某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166，160，160，150，134，130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（A ）150，150；（B ）155，155；（C ）150，160；（D ）150，155．5．在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AB ＝5，AC ＝12，以点A ，点B ，点C 为圆心的⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（A ）点B 在⊙A 上；（B ）⊙A 与⊙B 内切；（C ）⊙A 与⊙C 有两个公共点；（D ）直线BC 与⊙A 相切．6．在矩形ABCD 中，AB<BC ，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，联结DE 、DF 、EF ，AB=a ，BE=CF=b ，DE=c ，∠BEF =∠DFC ，以下两个结论：①()()222a b a b c ++-=；②a b +>．其中判断正确的是（A ）①②都正确；（B ）①②都错误；（C ）①正确，②错误；（D ）①错误，②正确．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：124=▲．A BCDE F（第6题图）8．单项式22xy 的次数是▲．9．不等式组2620x x <⎧⎨->⎩的解集是▲．10．计算：3(2)5(23)a b a b -++=r r r r▲．11．分式方程2111x x x =--的解是▲．12．已知关于x 的方程220x x m ++=没有实数根，那么m 的取值范围是▲．13．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何?”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两?”根据题意，设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，那么可列方程组为▲．14．某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：A 畅谈交流心得；B外出郊游骑行；C 开展运动比赛；D 互赠书签贺卡．根据问卷数据绘制统计图如下，扇形统计图中表示D 的扇形圆心角的度数为▲．为▲．16．已知二次函数的解析式为21y x bx =++，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b 的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率是▲．17．如图，在△ABC 中，BC 、AC 上的中线AE 、BD 相交于点F ，如果∠BAE =∠C ，那么AFAC的值为▲．18．在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB ＝6，sin C ＝35，D 为边AB 上一动点，将DA 绕点D 旋转，使点A 落在边AC 上的点E 处，过点E 作EF ⊥DE 交边BC 于点F ，联结DF ，当△DEF 是等腰三角形时，线段CF 的长为▲．EBCAFD（第17题图）CBA（第18题图）项目人数16A 016B C D846128DCBA（第15题图）40％ABCD三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）112024|2|2- ++⎛⎫-⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）先化简，再求值：22111121a a a a a a a -+++÷--+，其中a =21．（本题满分10分，每小题5分）如图，在△ABC 中,点D 在边BC 上，点G 在边AB 上，点E 、F 在边AC 上，GD //AC ，∠DGF=∠DEF ，∠B=∠GFE ．（1）求证：四边形EDGF 是平行四边形；（2）求证：GF CDAB AC=．BA CDE F G（第21题图）22.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．时间x8时11时14时17时20时y 1自西向东交通量（辆/分钟）1016222834y 2自东向西交通量（辆/分钟）2522191613（1）请用一次函数分别表示y 1与x 、y 2与x 之间的函数关系．（不写定义域）（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为12v y y =+总，车流量大的方向交通量为m v ，经查阅资料得：当23m v v 总≥，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．可变车道可变车道（第22题图1）（第22题图2）23．（满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义．．．．．．．：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1,展示了一种用尺规作⊙O的内接正六边形的方法．①在⊙O上任取一点A，以A为圆心、AO为半径作弧，在⊙O上截得一点B；②以B为圆心，AO为半径作弧，在⊙O上截得一点C；再如此从点C逐次截得点D、E、F；③顺次联结AB、BC、CD、DE、EF、FA．（1）根据正多边形的定义．．．．．．．．．，我们只需要证明▲，▲．（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形．活动二：如图2,展示了一种用尺规作⊙O的内接正五边形的方法．①作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF；②取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N；③以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截，得交点B．如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次联结AB、BC、CD、DE、EA，那么五边形ABCDE是正五边形．（2）已知⊙O的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．(参考数据：sin22.5︒=cos22.5︒=sin36︒=cos36︒=sin72︒=．)ABCDEP M O N QF（第23题图1）（第23题图2）AB CDEF.O24．（满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴相交于A （1-，0）、B 两点，且与y 轴交于点C （0，2-）．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D 是x 正半轴上一点，∠ADC=2∠ACO ，且四边形AQCD 是菱形，请直接写出点D 和点Q 的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E 是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t ，且四边形ACBE 是凹四边形（线段AE 与线段BC 不相交），求t 的取值范围．yxO（第24题图）25．（满分14分，其中第（1）小题9分，第（2）小题5分）如图，OB 是⊙O 的半径，弦AB 垂直于弦BC ，点M 是弦BC 的中点，过点M 作OB 的平行线，交⊙O 于点E 和点F ．（1）如图1，当AB =BC 时．①求∠ABO 的度数；②联结OE ，求证：30OEF ∠=︒；（2）如图2，联结OE ，当AB BC ≤时，tan ∠OEF =x ，ABy BC=，求y 关于x 的函数关系式并直接写出定义域．A B CMOEFA BCMOEF（第25题图1）（第25题图2）（备用图）2023学年第二学期初中数学学科质量调研参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．C ；3．C ；4．D ；5．D ；6．A ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2；8．三；9．23x <<；10．1612a b +；11．1x =-；12．1m >；13．52192516.x y x y +=⎧⎨+=⎩，；14．90；15．2；16．23；17；18．257．三、解答题（本大题共8题，满分78分）19．解：原式122=-++-3=+20．解：（1）原式()211111(1)a a a a a a ++=+÷---()21111(1)1a a a a a a +-=+--+111aa a =+--11a a +=-．把a =11a a +-得，原式=3=+．21．证明：（1）∵GD ∥AC ，∴∠DGF+∠GFE =180°．∵∠DGF =∠DEF ，∴∠DEF+∠GFE =180°，∴GF ∥DE ，∴四边形EFGD 是平行四边形（2）∵GF ∥DE ，∴∠GFE =∠DEC ．∵∠B =∠GFE ，∴∠B =∠DEC ．∵∠C =∠C ，∴△DCE ∽△ACB ，∴DE CDAB AC=．∵四边形EFGD 是平行四边形，∴GF=DE ．∴GF CDAB AC=．22．解：（1）设()11110y k x b k =+≠，把8x =，110y =；11x =，116y =分别代入得：11118101116k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得1126k b =⎧⎨=-⎩，．∴1y 与x 的函数关系式为126y x =-．设()22220y k x b k =+≠，把8x =，225y =；11x =，222y =分别代入得：22228251122k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得22133k b =-⎧⎨=⎩，．∴2y 与x 的函数关系式为233y x =-+．（2）1227v y y x =+=+总，情况1：当123y v 总≥时，即()226273x x -+≥，解得18x ≥．情况2：当223y v 总≥时，即()233273x x -++≥，解得9x ≤．故8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，可变车道行车方向在9时到18时之间由自东向西变为自西向东均可以．23.（1）∠A =∠B =∠C =∠D =∠E =∠F ，AB =BC =CD =DE =EF =FA ．（2）证明：联结OB ，作OH ⊥AB ，垂足为点H ．由题意知：OP =2，12OM OP =，AF PQ ⊥，MN MA =，AN =AB =BC =CD =DE ．∴90MOA ∠=︒，Rt △AMO中，AM =．∵112122OM OP ==⨯=，OA =OP =2，∴AM =．∴MN MA =，1ON MN MO =--．∵AF PQ ⊥，∴90NOA ∠=︒，Rt △ANO中，AN ===∴AN AB ==∵OA=OB ，OH ⊥AB，∴12AH AB ==，2AOB AOH ∠=∠．∴Rt △AHO 中，∠AHO =90°，2sin 2AH AOH AO ∠===．∵sin 36︒=∴∠AOH =36°，∠AOB =2∠AOH =72°．∵AB =BC =CD =DE ，∴∠AOB =∠BOC =∠COD =∠DOE =72°．∵∠AOB +∠BOC +∠COD +∠DOE +∠EOA =360°，∴∠AOE =72°．∴∠AOB =∠BOC =∠COD =∠DOE =∠EOA =72°，∴AB =BC =CD =DE =EA ．∵∠AOB =72°，OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA ．∵∠AOB +∠OAB +∠OBA =180°．∴∠OAB =∠OBA =54°．同理可得：∠OBC =∠OCB =54°，∴∠ABC =108°，同理可得：∠BCD =108°，∠CDE =108°，∠DEA =108°，∠EAB =108°，∴∠ABC =∠BCD =∠CDE =∠DEA =∠EAB ．∵AB =BC =CD =DE =EA ，∴五边形ABCDE 是正五边形．24.解：（1）∵抛物线212y x bx c =++经过点A (1-，0)，C (0，2-)，∴1022b c c ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩，．，解得322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，．∴抛物线的表达式为213222y x x =--．（2）D (32，0)，Q (52-，2-)．（3）∵抛物线的表达式为213222y x x =--，∴对称轴为32x =，B (4，0)．分两种情况讨论：设抛物线的对称轴32x =与直线BC 交点为F ，与直线AC 交点为G ．（i ）当点E 在直线32x =上且位于点D 与点F 之间（点E 不与点D 、F 重合）时，四边形ACBE 为凹四边形．∵B (4，0)，C (0，2-)，∴直线BC 的表达式为：122y x =-，∴点F 的坐标为(32，54-)．∴54-<t <0．（ii ）当点E 在直线32x =上且位于点G 下方时，四边形ACBE 为凹四边形．∵A (1-，0)，C (0，2-)，∴直线AC 的表达式为：22y x =--，∴点G 的坐标为(32，5-)．∴t <5-．综上所述，54-<t <0或t <5-．25.解：（1）①联结OA ，OC ．∵AB=BC ，∴∠AOB =∠BOC ．∵OA =OB =OC ，∴∠BAO =∠ABO ，∠OBC =∠OCB ．∵180AOB OAB OBA ∠+∠+∠=︒，180COB OCB OBC ∠+∠+∠=︒．∴∠ABO =∠CBO ．∵AB BC ⊥，∴∠ABC ＝90°．∴∠ABO ＝45°．②设OC 与EF 交于点P ．∵∠OBC ＝∠ABO ＝45°，∴∠BOC ＝90°．∵EF ∥OB ，∴∠OPE ＝90°．∵点M 是弦BC 的中点，EF ∥OB ，∴12OP OC =．∴12OP OE =．∵Rt △OPE 中，∠OPE =90°，∴∠OEF ＝30°．（2）过点M 作MG OB ⊥于点G ，过点O 作OH EF ⊥于点H ．在Rt △OEH 中，∠OHE =90°，tan OH OEF x HE∠==．设HE =a ，则OH =ax，OE ===．∵点M 是弦BC 的中点，OM 经过圆心，∴OM BC ⊥．在Rt △OMB 中，∠OMB =90°，MG OB ⊥于点G ．∴∠BOM +∠OBM =∠OBM ＋∠GMB =90°，∴∠BOM =∠GMB ，∠OGM =∠BGM ，情况（i ）图情况（ii）图∴△OGM ∽△MGB ，∴OG GM GM GB=，2GM OG GB =g ．∵EF ∥OB ，MG OB ⊥，OH EF ⊥，∴设GM OH ax ==，设OG =t ，则GB OB OG t =-=-．∴()()2ax t t =，2220t a x -+=．解得，t =．∴AB OM OG y BC BM GM ====AB ≤BC ，∴舍去较大值）∴0y x ⎛=< ⎝⎭．。
2023年上海市普陀区中考二模数学卷含答案
九年级第二学期数学自适应练习一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下2℃记作2-℃，那么3℃表示（）A.零上3℃B.零下3℃C.零上5℃D.零下5℃2.下列算式中，计算结果为6a 的是（）A.33a a +B.23a a ⋅ C.()32a D.122a a ÷3.已知函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（）A.0k <B.图像一定经过点(1,)kC.图像是双曲线D.y 的值随x 的值增大而减小4.某城市30天的空气质量状况统计如下：（）A.平均数B.众数C.中位数D.方差5.如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（）A.矩形B.正方形C.等腰梯形D.直角梯形6.如图，ABC 中，60BAC ∠=︒，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，2AO =，下面结论中不一定正确的是()A.120BOC ∠=︒ B.30BAO ∠=︒C.3OB = D.点O 到直线BC 的距离是1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.因式分解：24x -=__________．8.已知()23f x x =-，那么(3)f =________．9.方程x =的根是_______．10.如果关于x 的方程230x x m -+=有两个相等的实数根，那么m =__________．11.近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y 关于镜片焦距x 的函数解析式是________．12.一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为________．13.不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中红色球有m 个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是15，那么m =________．14.学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校20名初三学生进行调查，其中有2名学生是乘私家车上学，如图是收集数据后绘制的扇形图．如果该校初三年级有200名学生，那么骑自行车上学的学生大约有________人．15.如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =________米．16.如图，AD BC ∥，AC 、BD 交于点O ，2BO OD =，设AD a = ，AB b =，那么向量OC 用向量a 、b表示为________．17.在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =，以点E 为圆心、AE 为半径作E (如图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F ．如果F 与E 外切，那么CF 的长是________．18.在ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB =，4AC =，D 为AB 中点（如图），E 为射线CA 上一点，将ADE V 沿着DE 翻折得到A DE ' ，点A 的对应点为A '，如果90EA C '∠=︒，那么AE =________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：2121(2023)184π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．20.解不等式组：632,22(1)511,x x x x +⎧-≤⎪⎨⎪+<+⎩并把解集在数轴上表示出来．21.如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，DE AC ∥，4cos 5C =，10AC =，2BE AE =．（1）求BD 的长；（2）求BDE 的面积．22.购物节期间，A 、B 两家网店分别推出了促销活动，A 店活动：当购买的商品总金额在200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的金额打a 折，A 店购物的实付总金额y (元)与商品总金额x (元)之间的函数关系如图所示；B 店活动：所有商品直接打七折．（1）当A 店购买的商品总金额超过200元时，求出y 与x 之间的函数解析式；（2）A 店推出的促销活动中：=a ________；（3）某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现A 店的单价要比B 店的单价贵1元，如果购买相同数量的优盘，在A 800元，而在B 店的实付总金额是819元．请求出A 店这种型号优盘的单价．23.已知：如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AE BD ⊥，垂足为点F ，AB DC BF BD ⋅=⋅．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）过点O 作OG AC ⊥交AD 于点G ，求证：2EC DG =．24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线22y ax x c =-+（0a ≠）与x 轴交于点()1,0A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）将直线BC 绕点B 顺时针旋转，交y 轴于点E ．此时旋转角EBC ∠等于ABD ∠．①求点E 的坐标；②二次函数2221y x bx b =++-的图象始终有一部分落在ECB 的内部，求实数b 的取值范围．25.如图，半圆O 的直径4AB =，点C 是 AB 上一点（不与点A 、B 重合），点D 是 BC 的中点，分别连接AC 、BD ．（1）当AC 是圆O 的内接正六边形的一边时，求BD 的长；（2）设AC x =，BD y =，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长AC 、BD 相交于点P ，连接PO ．PO 是PAB 的中腰线，求AC 的长．九年级第二学期数学自适应练习一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】【1题答案】A 【2题答案】C 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】C二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【7题答案】(+2)(-2)x x 【8题答案】3【9题答案】2x =【10题答案】94【11题答案】100y x =【12题答案】8【13题答案】2【14题答案】30【15题答案】13【16题答案】2433b a+【17题答案】4116【18题答案】32或6三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【19题答案】16-【20题答案】32x -<≤【21题答案】（1）16BD =（2）32【22题答案】（1）()3802005y x x =+>（2）6（3）40元【24题答案】（1）2=23y x x --，()1,4D -（2）①()0,1E ；②4b -<<【25题答案】（1）2BD =（2）y =()04x <<（3）AC 的长为1或3。
上海市2024年普陀区中考数学二模试卷
一、选择题1. 上海市2024年普陀区中考数学二模试卷是同类二次根式的是（ ）A.B.C.D.2. 下列运算正确的是（ ） A . +=a a a 342B . −=a a 32C . ⋅=a a a 332D . ÷=a a a 323. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A . =x 02B . −=x 102C . −+=x x 2202D . −+=x x 21024. 已知正比例函数=y kx （k 是常数，≠k 0）的图像经过点A （2,6），那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（ ） A . −−1,3)(B . −1,3)(C .（6,2）D . −6,2)(5. 已知ABC 中，AH 为边BC 上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断ABC 是等腰三角形的是（ ） A . BH =HCB . ∠BAH =∠CAHC . ∠B =∠HACD . ABHAHCSS=6. 如图1，在ABC 中，∠ACB =90°，G 是ABC 的重心，点D 在边BC 上，⊥DG GC ，如果BD =5，CD =3，那么BCCG的值是（ ） A.B.C.D.二、填空题7. 计算：=a332)(________________9. 不等式组⎩−>⎨⎧+>x x 120360的解集是______________10. 已知反比例函数=−xy k 1的图像位于第二、四象限，那么k 的取值范围是_______________ 11. 已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是_______________度12. 现有四张分别是等边三角形、菱形、直角梯形、等腰梯形的纸片，从这四张纸片中任意抽取一张恰好是轴对称图形的概率是_______________13. 已知直线=+y x 24与直线y =1相交于点A ，那么点A 的横坐标是________________14. 在直角坐标平面内，将点A 先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到点B ，如果点A 和点B 恰好关于原点对称，那么点B 的坐标是_______________15. 学校为了解本校九年级学生阅读课外书籍的情况，对九年级全体学生进行“最喜欢阅读的课外书籍类型”的问卷调查（每人只选一个类型），如图2是收集数据后绘制的扇形图，如果喜欢阅读漫画类书籍所在扇形的圆心角是72°，喜欢阅读小说类书籍的学生有72人，那么该校九年级喜欢阅读科技类书籍的学生有__________________人16. 如图3，梯形ABCD 中，AD //BC ，过点A 作AE //DC 分别交BD 、BC 于点F 、E ，=BC BE 32，设 ,AD a AB b ==，那么向量FE 用向量,a b 表示为______________17. 已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 在直线BC 上（点E 在点F 的左侧），∠EAF =45°，如果BE =1，那么CF 的长是______________18. 如图4，在ABC 中，AB =AC =5，=B 5cos 4，分别以点B 、C 为圆心，1为半径长作,B C ，D 为边BC 上一点，将ABD 和B 沿着AD 翻折得到'AB D 和'B ，点B 的对应点为点B '，AB '与边BC 相交，如果'B 与C 外切，那么BD =________________三、解答题19. 计算：⎝⎭⎪−++⎛⎫−4281221220. 解方程：−++=x x x x9326221. 如图5，在ABC 中，∠B =2∠C ，点D 在边BC 上，AB =AD =13，BC =23. （1）求BD 的长； （2）求tanC 的值.22. 甲外卖平台的外卖员小张看到乙外卖平台外卖员小王的月工资收入比自己高，于是想跳槽去乙外卖平台工作，如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小张来决策是否需要跳槽到乙外卖平台，并说明理由.信息一：甲、乙两个外卖平台的税前月工资收入计算方式相同，如下：税前月工资收入=（每日底薪+每单提成⨯日均送单数）⨯月送单天数—当月违规扣款 （其中这两个外卖平台每个月的月送单天数均相同） 信息二：乙外卖平台外卖员小王的月工资单如下表：信息三：如图6-1，随机抽取了小张在甲外卖平台若干天的日均送单数绘制成条形图；如图6-2，根据小张在一年中每月的违规送单数绘制成条形图23. 已知：如图7，四边形ABCD 中，AB //CD ，点E 在边AD 上，CE 与BA 的延长线交于点F ，=AB EDFA AE. （1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）联结FD ，分别延长FD 、BC 交于点G ，如果=⋅FC FD FG 2，求证：⋅=⋅AD CG BF CD .24. 在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线=−+≠y a x m n a 02)()(与x 轴交于点A 、B ，抛物线的顶点P 在第一象限，且∠APB =90°.（1）当点P 的坐标为（4,3）时，求这个抛物线的表达式；（2）抛物线=−+≠y a x m n a 02)()(表达式中有三个待定系数，求待定系数a 与n 之间的数量关系； （3）以点P 为圆心，P A 为半径作P ，P 与直线=+y x n 2相交于点M 、N ，当点P 在直线=y x 21上时，用含a 的代数式表示MN 的长.25. 如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC （AD <BC ），∠A =90°，BC =CD =6，将梯形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转，使点B 与点D 重合，此时点A 、D 的对应点分别是点E 、F . （1）当点F 正好落在AD 的延长线上时，求∠BCD 的度数； （2）联结AE ，设==AD x AE y ,. ①求y 关于x 的函数解析式；②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形，设∠BCF 是一个正多边形的中心角，联结BD ，请说明以线段BD 、AE 为边的正多边形是双同正多边形的理由，当这两个正多边形的面积比是4:5时，求双同正多边形的边数.一、选择题1. D2. C3. B4. A5. C6. 参考答案D二、填空题7. a 968. =x 3 9. −<<x 221 10. k <1 11. 150 12. 43 13. −2314.（2,3） 15. 27 16. 42a b +33 17. 38或5818. −44三、解答题 19.1020. =x 6 21.（1）10 （2）3222. 不需要 23.（1）证明略 （2）证明略 24.（1）=−−+y x 34312)( （2）+=an 10（3）=−aMN 2 25.（1）60°（2）①=y②十二条边。
2020上海初三数学二模1-18题汇总(答案)
20崇明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A ．12； B ．0.3； C ．8； D ．6．2．如果a b >，那么下列结论中一定成立的是（ ）A ．22a b ->-；B ．22a b +>+；C ．2ab b >；D ．22a b >．3．已知一次函数(3)62y m x m =-++，如果y 随自变量x 的增大而减小，那么m 的取值范围为（ ）A ．3m <；B ．3m >；C ．3m <-；D ．3m >-.4．下列说法正确的是（ ）A ．了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合全面调查；B ．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为23S =甲,24S =乙,说明乙的跳高成绩比甲稳定；C ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5；D ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生． 5．如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是32，那么它是（ ） A ．等边三角形；B ．正六边形；C ．正八边形；D ．正十二边形．6．下列命题正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是平行四边形；B ．对角线相等的四边形是矩形；C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：32(3)a = ． 8．因式分解：39a a -= ． 9．方程2x x +=的解为 ．10．如果方程260x x m -+=没有实数根，那么m 的取值范围是 ．11．分别写有数字3、1-、13、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．12．将抛物线22y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线的解析式为 ．13．已知点G 是ABC △的重心，如果AB a =，AC b =，那么向量AG 用向量a 和b 表示为．14．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，那么扇形图中表示C 的圆心角的度数为 度．15．某品牌旗舰店将某商品按进价提高40%后标价，在一次促销活动中，按标价的8折销售，售价为2240元，那么这种商品的进价为 元．16．如图，在ABC △中，AB AC =，30A =︒∠，直线a b ∥，点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果1145=︒∠，那么2∠的度数是 ．20崇明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ；二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 69a 8．(3)(3)a a a +-； 9．2x =； 10．9m ＞； 11．25； 12．2(3)4y x =-+； 13．1133a b +； 14．36；15．2000； 16．40°； 17．3； 18．12．（第14题图1） （第16题图）ABCDEab12（第14题图2）成绩等级扇形统计图AB C D25%成绩等级频数分布表 成绩等级频 数 A 24 B 10 CxD 220奉贤一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列计算中，结果等于2m a 的是（）（A ）m m a a +； （B ）2m a a ×； （C ）()m m a ； （D ）2()m a ． 2．下列等式成立的是（）（A ）233（）=； （B ）233（）-=-； （C ）333=； （D ）233（-）=-． 3．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的值可以是（） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．4．甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数x (秒)及方差S 2(秒2)如表1所示. 如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（） 表1：（A ）甲； （B ）乙； （C ）丙； （D ）丁．5．四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相平分．添加下列条件，一定能判定四边形ABCD 为菱形的是（）（A ）ABD BDC ∠=∠； （B ）ABD BAC ∠=∠； （C ）ABD CBD ∠=∠； （D ）ABD BCA ∠=∠．6．如果线段AM 和线段AN 分别是△ABC 边BC 上的中线和高，那么下列判断正确的是（） （A ）AM AN >； （B ）AM AN ≥； （C ）AM AN <； （D ）AM AN ≤． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3293a b a ÷= ．8．如果代数式23x-在实数范围内有意义，那么实数x 的取值范围是 ． 9．方程14x +=的解是 ．10．二元一次方程x +2y ＝3的正整数解是 ．11．从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M 的横坐标和纵坐标，那么点M 在双曲线4y x=上的概率是 . 12．如果函数)(0k kx y ≠=的图像经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）13．据国家统计局数据，2019年全年国内生产总值接近100万亿，比2018年增长6.1%．假设2020年全年国内生产总值的年增长率保持不变，那么2020年的全年国内生产总值将达到 万亿．14．已知平行四边形ABCD ，E 是边AB 的中点．设AB a =，BC b =，那么DE ＝ ．（结果用a 、b 表示）．15．某校计划为全体1200名学生提供以下五种在线学习的方式：在线听课、在线答题、在线讨论、在线甲 乙 丙 丁 x 7 7 7.5 7.5 S 2 2.1 1.921.8图3D AB C 图2 A B P A 在线听课 B 在线答题 C 在线讨论 D 在线答疑 E 在线阅读 图1 E 10% A 20% D B 25% C 15%抽取的学生最感兴趣的学习方式的扇形图 答疑和在线阅读．为了解学生需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成扇形统计图（如图1）．由这个统计图可知，全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为 人．16．如图2，一艘轮船由西向东航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B 处，测得灯塔P 在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 海里．17. 在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12．如果分别以A 、C 为圆心的两圆外切，且圆A 与直线BC 相交，点D 在圆A 外，那么圆C 的半径长r 的取值范围是 ．18．如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将△BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是 度．1．D ； 2．A ； 3．A ； 4．B ； 5．C ； 6．B . 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 3ab ；8. 3x ¹； 9. 15x =； 10. 11x y =⎧⎨=⎩；11．13； 12. 减小； 13．106.1； 14．12a b - ； 15．360；16．40； 17．18r <<；18．125．[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．下列各数中，无理数是 A ．12-；B ．16；C ．237； D ．2π． 2．直线1y x =-+不经过 A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限．3．如果关于x 的方程x 2﹣4x +m ＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为 A ．4m ≤；B ．4m <；C ．4m ≥；D ．4m >.4．如图为某队员射击10次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是 A ．8，7.5；B ．8，7；C ．7，7.5；D ．7，7．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列说法中，错误．．的是 A ．∠ABC =90°； B ．AC=BD ；C ．OA=OB ；D ．OA=AB ．6．已知在△ABC 中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如下表），那 么交点O 是△ABC 的 A ．外心；B ．内切圆的圆心；C ．重心；D ．中心．示意图 作图步骤（1）分别以点B 、C 为圆心，大于12BC 长为半径作圆弧，两弧分别交于点M 、N ，联结MN 交BC 于点D ；（2）分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径作圆 弧，两弧分别交于点P 、Q ，联结PQ 交AC 于点E ；（3）联结AD 、BE ，相交于点O二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．计算：23)a （= .8．计算：2(13)-= ． 9．方程21x -=的解为 ．10．函数1x y x+=的定义域为 . 11．如果抛物线2(1)9y k x =-+在y 轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是 ．AC D第5题图 B O 第4题图 A C D B E M NP QO12. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 ．13．某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为 0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是180人，那么该校初三共有 位学生．14．某公司市场营销部的个人月收入y （元）与其每月的销售量x （件）成一次函数关系，其图像如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的销售量为0时，他的收入是 元． 15．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=BD=BC ，如果∠C =50°，那么∠ABD 的度数是 ．16．如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，DE ∥AB ，已知ED a =uu u r r ，BC b =uu u r r，那么用a r 、b r 表示AD u u u r= ．17．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10，点E 在正方形内部，且AE ⊥BE ，cot ∠BAE =2，如果以E 为圆心，r 为半径的⊙E 与以CD 为直径的圆相交，那么r 的取值范围为 ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =6，BC =8，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE ∥AC ，BD =52，把△BDE 绕着点B 旋转得到△BD ’E ’（点D 、E 分别与点D ’、E ’对应），如果点A 、D ’、E ’在同一直线上，那么AE ’的长为 ．ACD第17题图BEC 第18题图A BDE第14题图 xO 13000 y100 200 8000CABD E第16题图AC D第15题图 B 第13题图视力3.954.25 4.55 4.855.15 5.45 组距 频率1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．6a 8．31-9．x =1 10．1x ≥-且0x ≠ 11．1k <12．1413．36014．3000 15．20° 16．122a b +r r17．355355r -<<+ 18．3524或524【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列正整数中，属于素数的是 （A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）8．2．下列方程没有实数根的是（A ）20x =；（B ）20x x +=； （C ）210x x ++=； （D ）210x x +-=．3．一次函数21y x =-+的图像不经过 （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限；（D ）第四象限．4．某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克。
2024年中考数学二模试卷(上海卷)(全解全析)
2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。
2024年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析
2024年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．．2．（4分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝2x2B．C．y＝﹣2x D．y＝2x+14．（4分）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（）A．中位数B．标准差C．平均数D．众数．5．（4分）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（）A．B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD6．（4分）下列命题是假命题的是（）A．对边之和相等的平行四边形是菱形B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2＝．8．（4分）截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为．9．（4分）函数的定义域为．10．（4分）方程的解是．11．（4分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．12．（4分）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为．13．（4分）在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是．14．（4分）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有_____名．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么＝．16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么的值为．17．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，将△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且CE∥AB，那么∠CAE的余弦值为．18．（4分）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求∠D的正弦值．22．（10分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动商店优惠方式甲所购商品按原价打八折乙所购商品按原价每满300元减80元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）；（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．23．（12分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且∠ABD＝∠EBF＝∠C．（1）求证：；（2）联结EF，与BD交于点G，如果BG＝EG，求证：四边形BEDF为等腰梯形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．①当CF＝DF时，求CD的长；②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．25．（14分）已知在△ABC中，CA＝CB，AB＝6，cos∠CAB＝，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．（1）当AD＝4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作⊙E，延长CE，交⊙E 于点C′．①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；②联结AC′、OC，如果AC′与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．2024年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．【解答】解：A、＝，故不符合题意；B、＝＝，故不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、＝＝5，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．2．【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、函数y＝2x2中，当x＜0时y随x的增大而减小，不符合题意；B、函数y＝﹣中，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；C、函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，不符合题意；D、函数y＝2x+1中，y随x的增大而增大，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．4．【分析】利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．【解答】解：根据给出的数据可得，中位数根据能够较好的反映他们收入平均水平．故选：A．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．5．【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．【解答】解：A、∵OB⊥AC，∴＝，故不符合题意；B、∵＝，∴∠AOB＝∠COB，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC，∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∵BD＜BC+CD＝2CD，∴AC＜2CD，故符合题意；D、∵OB＝OC，BC＝DC，∴OC⊥BD，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、∵平行四边形的对边相等，∴对边之和相等舒，邻边线段，∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；B、根据菱形的面积公式可知：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；C、一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据负整数指数幂法则进行解题即可．【解答】解：2﹣2＝．故答案为：．【点评】本题考查负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：45000＝4.5×104．故答案为：4.5×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】方程两边平方得出x﹣1＝9，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边平方，得x﹣1＝9，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．故答案为：x＝10．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11．【分析】设，则原方程转化为y﹣＝2，再方程两边都乘3y即可．【解答】解：，设，则原方程转化为：y﹣＝2，方程两边都乘3y，得3y2﹣1＝6y，即3y2﹣6y﹣1＝0．故答案为：3y2﹣6y﹣1＝0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．12．【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m的值．【解答】解：二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+m，∵二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，∴（0﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数是素数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：123112132212333132共有6种等可能的结果，其中这个两位数是素数的结果有：13，23，31，共3种，∴这个两位数是素数的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．【分析】总人数乘以样本中步行人数所占比例即可．【解答】解：估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有300×（1﹣12%﹣32%﹣26%）＝90（名），故答案为：90．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．15．【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．【解答】解：在△ABC中，，，则＝﹣＝﹣．∵BD＝2AD，点E是AC的中点，∴＝＝，＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查向量的知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】通过证明△BAE∽△CAF，可得．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．17．【分析】由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝D＝x°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．【解答】解：由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝∠D＝x°，由△ADC中，∠ACB＝90°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用旋转的性质．18．【分析】当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，由△AOM∽△ABH，得到OM：BH＝AO：AB，即可求出OM＝3.2，当⊙O′与AB、AC分别有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是得到当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝10，∴HB＝HC＝BC＝×16＝8，∴AH＝＝6，设O是△ABC的重心，∴AO＝AH＝4，当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，∴OM⊥AB，∴∠AMO＝∠AHB＝90°，∵∠OAM＝∠BAH，∴△AOM∽△ABH，∴OM：BH＝AO：AB，∴OM＝8＝4：10，∴OM＝3.2，∴重心圆的半径r＝3.2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，如图，过作AK⊥BC于K，∵∵AB＝AC＝10，∴KB＝KC＝BC＝×16＝8，∴AK＝＝6，设O′是△ABC的重心，∴AO′＝AH＝4，∴KO′＝6﹣4＝2，∴BO′＝＝2，当⊙O′与AB、AC有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴重心圆的半径r＝3.2或4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，故答案为：r＝3.2或4＜r＜2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的重心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：原式＝2+（﹣+3）﹣2+＝2﹣＝4．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．20．【分析】把②变形为（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，可得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，∴x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，∴原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和．【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用因式分解法“降次“，把二元二次方程组变形为两个二元一次方程组．21．【分析】（1）过O点作OE⊥BC，如图，先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝8，AD∥BC，再利用垂径定理得到BE＝CE＝4，接着利用勾股定理计算出OE＝3，然后利用平行四边形的面积公式求解；（2）先证明四边形OECF为矩形得到CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，所以DF＝1，再利用勾股定理计算出CD，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：（1）过O点作OE⊥BC，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝3+5＝8，AD∥BC，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝4，在Rt△OEC中，OE＝＝＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝8×3＝24；（2）∵OF∥CE，OE⊥CE，CF⊥OF，∴四边形OECF为矩形，∴CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1，在Rt△CDF中，CD＝＝＝，∴sin D＝＝＝．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形．22．【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式；（2）根据题意可知300≤x＜500，然后按活动价列出等式，解方程即可；（3）分当300≤x＜600和600≤x＜900两种情况列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.8x，∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x；（2）若x＜300，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，∴300≤x＜500，∴0.8x＝x﹣80，解得x＝400；（3）当300≤x＜600时，x﹣80＜0.8x，解得x＜400，∴300≤x＜400；当600≤x＜900时，x﹣160＜0.8x，解得x＜800，∴600≤x＜800，综上所述，x的取值范围为300≤x＜400或600≤x＜800．【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式．23．【分析】（1）由AD∥BC，BD⊥AD，得∠ADB＝∠DBC＝90°，而∠ABD＝∠EBF＝∠C，可推导出∠ABE＝∠DBF，∠A＝∠BDF，进而证明△ABE∽△DBF，则＝；（2）将＝，变形为＝，因为∠ABD＝∠EBF，所以△ABD∽△EBF，得∠ADB＝∠EFB，再证明△BGF∽△EGD，得＝＝＝1，则BF＝ED，FG＝DG，所以∠GDF＝∠GFD，由∠BGE ＝2∠GEB＝2∠GFD，证明∠GEB＝∠GFD，则BE∥DF，所以四边形BEDF为等腰梯形．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠EBF＝∠C，∴∠ABD﹣∠DBE＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠A+∠ABD＝90°，∠BDF+∠C＝90°，∴∠A＝∠BDF，∴△ABE∽△DBF，∴＝．（2）证明：联结EF，与BD交于点G，∵＝，∴＝，∵∠ABD＝∠EBF，∴△ABD∽△EBF，∴∠ADB＝∠EFB，∵∠BGF＝∠EGD，∠GFB＝∠GDE，BG＝EG，∴△BGF∽△EGD，∠GBE＝∠GEB，∴＝＝＝1，∴BF＝ED，FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD，∵∠BGE＝∠GBE+∠GEB＝2∠GEB，∠BGE＝∠GDF+∠GFD＝2∠GFD，∴2∠GEB＝2∠GFD，∴∠GEB＝∠GFD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF为等腰梯形．【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ABE∽△DBF及△ABD∽△EBF是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，即可求解；②证明△EMD∽△FNA，得到DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6），设点F（m，﹣m2+2m+6），由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2），则点D（0，6﹣m），①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，解得：m＝0（舍去）或5，则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5；②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，联立上式和AF的表达式得：﹣x+6＝﹣（m﹣6）（x+2），解得：x＝＝DM，由点F的坐标得，AN＝m+2，∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍，则DE：AF＝1：3过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴，则△EMD∽△FNA，则DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），解得：m＝﹣4（舍去）或4，即点F（4，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中．25．【分析】（1）借助垂径定理，利用cos A表示出AO和BO，通过比较AO和BO的大小确定点与圆的位置关系；（2）①需要紧扣∠CDE＝∠A，结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出CD、AD，从而求解；②当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，证明出∠C′AD＝∠C′DA，在Rt△C′NC中，cos∠C'CN＝＝，得到，解得，则；当AC′∥OC，延长OE交AC′延长线于点F，由AC′∥OC，得到，解得或5（舍去），则CE＝4k＝．【解答】解：（1）点B在⊙O内；理由如下：过点O作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH过圆心，OH⊥AD，∴，∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，在Rt△AOH中，，∴，∵AB＝6，∴，∵OB＜AO，∴点B在⊙O内；（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，如图2，∵AC＝BC，CM⊥AB，∴，在Rt△ACM中，，∴AC＝5，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ODA，又∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CAB＝∠CDE，∵，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，，设DE＝3k，CD＝5k，则，∴AD＝5﹣k，①两圆的交点记为P、Q，连接PE，PO，如图3，⊙O与⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即OE⊥PQ，∵PQ经过OE的中点，∴PQ垂直平分OE，∴PE＝PO，即CE＝AO，，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，∴，∵，∴，解得，∴；②由于点A在直线AB上，∴AC′不可能与OB平行，则当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，如图4，∵AC＝CB，∴∠CAB+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵AC′∥CB，∴∠C′AD＝∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵DE⊥CC′，CE＝C′E，∴DC′＝DC，∴∠CDE＝∠C′DE，∵∠C′DA+∠C′DE+∠CDE＝180°，∴∠C′DA＝180°﹣2∠CDE，∵∠CAB＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDA，∵C′N⊥AD，∴，∴，在Rt△C′NC中，，∴，∴，∴；当AC∥OC，延长OE交AC延长线于点F，如图5，∵AC′∥OC，∴，∴OE＝EF，∴，DE＝3k，∴，∴，∴，∵AC′∥OC，∴，∴，解得或5（舍去），∴，综上：或．【点评】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形，并灵活运用勾股定理是解答本题的关键。
2023届上海闵行区中考数学二模试卷及答案
闵行区2022学年第二学期九年级学业质量调研数 学 试 卷本次练习不可以使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．代数式24xy 的次数是（A ）1； （B ）2； （C ）3；（D ）4．2．上海某区3月20日至3月26日的气温（°C ）如下表：那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（A ）13，13；（B ）13，15；（C ）8，15；（D ）8，13．3．一次函数b kx y +=（k ≠0）的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是 （A ）1+=x y ； （B ）1y x =−； （C ）1y x =−+；（D ）1y x =−−．4．下列命题是真命题的是（A ）平行四边形的邻边相等；（B ）平行四边形的对角线互相平分；（C ）平行四边形内角都相等；（D ）平行四边形是轴对称图形．5．在平面直角坐标系中，如果把抛物线22=x y 向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是 （A ）开口方向相同；（B ）对称轴相同；（C ）顶点的横坐标相同；（D ）顶点的纵坐标相同．6．如图,在△ABC 中，∠ACB = 90°．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线CP ,那么下列作法一定正确的是（A ） （B ）（C ）（D ）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：a a 3+2= ▲ ． 8．因式分解：224x y −= ▲．9．已知关于x 的方程0=+4+2m x x 有两个相等的实数根，那么m 的值为 ▲．10．方程x x =2+的解是 ▲．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC = 2AD ，如果AD a =，AB b =，那么AC= ▲ （用a和b 线性组合表示）．P AC BAC BPAC BP ACBP12．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计分析，并将调查数据整理成下面的条形图，那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有 ▲名．13．为开展“学习二十大，奋进新征程”主题宣讲活动，某学校从甲、乙、丙三位宣讲员中随机抽取两人参加，恰好选中甲、丙两人的概率为 ▲ ． 14．如果正六边形的半径长为2，那么它的面积为 ▲ ．15．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，那么可列方程为 ▲ ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线y = 2x 上，点A 的横坐标为1，点P是x 轴正半轴上一点，点B 在反比例函数(0)ky x x=>图像上，联结AP 、PB 和OB ． 如果四边形OAPB 是矩形，那么k 的值是 ▲ ．17．如图，在菱形ABCD 中，AB = 6，∠A = 80°，如果将菱形ABCD 绕着点D 逆时针旋转后，点A 恰好落在菱形ABCD 的初始边AB 上的点E 处，那么点E 到直线BD 的距离为 ▲ ．18．阅读理解：如果一个三角形中有两个内角α、β满足290+=︒αβ，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AB = 25，4tan 3A =，如果△ABC 是特征三角形，那么线段AC 的长为▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）C （第12题图）A BC（第18题图）（第17题图）ABDC19．（本题满分10分）计算：11214−−⨯+20．（本题满分10分）解不等式组253 2.x x x −≥−⎧⎨<+⎩；，并把解集在数轴上表示出来；21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 2，BC = 4，点D 为AB 的中点，过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ． （1）求线段CD 的长；（2）求CD DE的值．0 －4 －3 －2 －1 1 222．（本题共2小题，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，在修建公路AD 时，需要挖掘一段隧道BC ，已知点A 、B 、C 、D 在同一直线上，CE ⊥AD ，∠ABE = 143°，BE = 1500米； （1）求隧道两端B 、C 之间的距离（精确到个位）；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．（2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B 、C 两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在扇形AOB 中，点C 、D 在AB 上，AD =CB ，点F 、E 分别在半径OA 、OB 上，OF = OE ，联结DE 、CF ． （1）求证：DE = CF ；（2）设点P 为CD 的中点，联结CD 、EF 、PO ，线段PO 交CD 于点M 、交EF 于点N ．如果PO //DE ，求证：四边形MNED 是矩形．（第22题图）AOB (第23题图)EDF C24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =−++经过点A （3，0）、B （0，3），与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）设点D 在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），联结CD ． ①如果CD 与线段AB 交于点E ，且 BE = 2AE ，求∠ACD 的正切值；②如果CD 与y 轴交于点F ，以CF 为半径的⊙C ，与以DB 为半径的⊙D 外切， 求点D 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 1，以BC 为边作△DBC （点D 、A 在直线BC 的异侧），且满足BD = BC ，∠BCD =∠ABC + 45°．（1）求证：∠A =∠ABD ；（2）设点E 为边BC 的中点，联结DE 并延长交边AB 于点F ，当△BEF 为直角三角形时，求边AC 的长；（3）设AB = x ，CD = y ，求y 关于xx（第24题图）x（备用图）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．B ； 3．A ；4．B ； 5．D ； 6．C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5a ； 8．(2)(2)x y x y −+； 9．4； 10．x =2； 11．a b2+；12．500；13．31；14．； 15．103(5)=30x x +−； 16．-8； 17．3； 18．325．三、解答题（本大题共8题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=11−……………………………（2分+2分+2分+2分）=0．…………………………………………………………… （2分）20.（本题满分10分）解：由（1）得 3x ≥−； ……………………………………………………………（3分）（2）得1x <． ……………………………………………………………………（3分） 所以不等式组的解集为31x −≤<．…………………………………………………（2分 ）数轴表示略．…………………………………………………………………………（2分 ）21．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）在△ABC 中，90ACB ∠=°，2AC =，4BC =，∴ AB === ………………………………………（2分）∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点．∴12CD AB =． …………………………（2分）∴ CD ………………………………………………………………………（1分）（2）∵D 为AB 的中点，∴12BD AB =． 又∵12CD AB =，∴CD BD =．……………………………………………………（1分） ∴DBC DCB ∠=∠．∵BE CE ⊥，∴90BEC ∠=︒． ∵90ACB ∠=︒，∴ACB BEC ∠=∠．∴ ACB BEC △∽△ ．……………………………………………………（2分） ∴CE CBCB AB =，4CE =．∴CE ，DE CE CD =−= …………………………………（1分） ∴53CD DE =．………………………………………（1分） （其他解法参照酌情给分）22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）解：（1）由题意可得：180********CBE ABE ︒∠=︒︒︒=−∠−=．……………………（1分）∵ CE AD ⊥，∴90BCE ∠=︒．在Rt △BCE 中，90BCE ∠=︒，cos BCCBE BE∠=，………………………………………（1分）∵BE=150，cos 1500cos3715000.80=1200BC BE CBE =⋅∠=⋅≈︒⨯．………………（2分）（2）设原计划单向开挖每天挖x 米．………………………………………………（1分）()120012002120x x−=+％， ……………………………………………（2分）解得100x =． ………………………………………………（1分）经检验100x =是原方程的解，且符合题意． ………………………………………（1分） 答：隧道两端B 、C 之间的距离为1200米，原计划单向开挖每天挖100米． ……（1分）23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）（1）证明：∵AD =CB ；∴AD −CD =CB −CD ； ∴AC =BD ；…………………………………（1分）∴AOC BOD ∠=∠． …………………………………（1分） 在△ODE 和△OCF 中，OE OF BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ODE ≌△OCF ． …………………………………（3分） ∴DE =CF ．…………………………………（1分）（2）证明：∵点P 为CD 的中点，OP 为半径，∴OP ⊥CD 于M ， …………………………………（1分） ∴∠OMD =90︒． ∵PO //DE ，∴∠OMD +∠MDE=180︒． ∴∠MDE =90︒． …………………………………（1分） ∵OC =OD ，OP ⊥CD ， ∴∠COP =∠DOP ． …………………………………（1分） ∵AOC BOD ∠=∠，∴∠COP +∠AOC =∠DOP +∠BOD ，∴∠AOP =∠BOP ，即∠FON =∠EON ．……………………（1分） ∵OF =OE ， ∴ON ⊥EF ．∴∠ENP =90︒． …………………………………（1分） ∵∠OMD =90︒，∠MDE =90︒，∴四边形MNED 是矩形．…………………………………（1分） （其他解法参照酌情给分）24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）解：（1） ∵抛物线2y x mx n =−++经过A （3，0）、B （0，3）．∴9303m n n −++=⎧⎨=⎩，．∴2m =， 3n =，…………………………………………………………（1分）∴该抛物线的表达式为223y x x =−++． ………………………………（1分）当y =0时，2230x x −++=， 解得1213x x =−=，．…………………………………………………（1分）∵点C 在x 轴的负半轴，∴C （-1，0）． ……………………………………………………………（1分）∴该抛物线的表达式为223y x x =−++，C （-1，0）．（2）①过点E 作EH ∥OB 交OA 于点H ，∴ ∠CHE =∠COB =90°．∵EH ∥OB ， ∴AE AH EHAB OA OB==． ………………………………………………（1分）∵BE =2AE ， ∴13AE AB =．∴23AH EH OA OB ==．…………………………………………（1分）∵A （3，0）、B （0，3），∴OA = OB =3，∴AH =1，EH =1， ………………………………………………………（1分）∴CH =3．在Rt △CEH 中，∠CHE = 90°，1tan 3EH ACD CH ∠==．…………………（1分）∴∠ACD 的正切值是13．（3）设点D 的坐标为（x ，223x x −++），其中1x >．过点D 作DP ⊥y 轴，垂足为点P ． ∵∠DPO =∠POC =90°， ∴DP //x 轴，∴CO FODP FP=． ∵⊙C 与⊙D 外切，∴CF BD CD +=，…………………（1分） 又CF FD CD +=，∴BD =FD ．…………………（1分） 又∵DP ⊥y 轴，∴BP =FP ．由DP =x ，CO =1，FP =22x x −，FO =232(2)x x −− 得2212432x x x x x−++=−，…………………（1分）整理得22350x x −−=，解得52x =或1x =−，经检验，只有52x =符合题意．∴点D 的坐标为（52，74）．…………………（1分） （其他解法参照酌情给分）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）∵BD=BC ，∴∠BDC =∠BCD ．………………………………………………………（1分） ∵∠BCD =∠ABC +45°， ∴∠BDC =∠ABC +45°．∵180BDC BCD CBD ∠+∠+∠=︒， ∴∠C BD =90°-2∠ABC ．∴∠ABD =∠C BD+∠ABC=90°-∠ABC ．………………………………（1分） ∵∠ACB ＝90°， ∴∠A +∠ABC ＝90°，∴∠A=90°-∠ABC ．………………………………………………………（1分） ∴∠A =∠ABD ． …………………………………………………………（1分） （2）设∠ABC =θ1︒当∠BFE ＝90°时，∵∠BFE ＝90°，∴∠ABD +∠FDB ＝90°．∵90ABD θ∠=︒−，∴∠FDB ＝θ．∵∠ABC =θ，∴∠FDB =∠ABC ．∵∠EFB =∠BFD ，∴△FBE ∽△FDB ．∴EF BEFB BD=．………………………………………………………………（1分） ∵点E 为边BC 的中点，∴12BE BC =． ∵BD=BC ，∴EF BE FB BD =12=．…………………………………………………（1分）在Rt △BEF 中，∠EFB = 90°，1tan 2EF ABC FB ∠==． ∴在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，11tan 122AC BC ABC =⋅∠=⨯=．………………………………………………（1分）2︒当∠BEF ＝90°时，则∠BED ＝90°．在Rt△BDE中，∠DEB= 90°，由勾股定理，得DE=．……………………（1分）∵90BEF ACB∠=∠=︒，∴EF AC∥，∴90EFB BACθ∠=∠=︒−．∴EFB ABD∠=∠，∴1DF BD==．………………………………………（1分）∴1EF DF DE=−=−．∵EF AC∥，∴12EF BEAC BC==．∴2AC=．………………………………………………………………（1分）综上所述：边AC的长为12或2（3）过点C作CH∥AB，交BD于点H．∵CH∥AB，∴,CHD ABD BCH ABC∠=∠∠=∠．∵A ABD∠=∠，∴CHD A∠=∠．∵CH∥AB，且AC与BD不平行，∴四边形ABHC是梯形．∵A ABD∠=∠，∴四边形ABHC是等腰梯形．∴BH=AC．由45BCD ABC BCH ABC BCD DCH BCH∠=∠+︒∠=∠∠=∠+∠，，，∴45DCH∠=︒．……………………………………………………………（1分）过点D作DG CH⊥于点G．∴2sin452DG CD y=⋅=，sin sinCHD A∠=由1yx=．……………………………（1分）∴(y xx=1＜．……………………………（1分+1分）第11 页共11 页。
2023年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析
2023年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列实数中，比3大的有理数是（）A．|﹣3|B．πC．D．2．（4分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（）A．y2+3y﹣1＝0B．y2﹣3y﹣1＝0C．y2﹣3y+1＝0D．y2+3y+1＝0 3．（4分）如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果⊙O半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点4．（4分）下列命题中，假命题的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的矩形是正方形5．（4分）某抖音卖货小店专门营销一类货品，以八种型号销售，一段时间内的销售数据如表所示：货品型号A B C D E F G H 销售数据（件）245138731如果每件货品销售利润都相同，该小店决定多进一些D型号货品，那么影响店主决策的统计量是（）A．平均数B．中位数C．标准差D．众数6．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么a +b +c 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．t二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：2x •（﹣3xy 2）＝．8．（4分）函数的定义域是．9．（4分）已知，那么＝．10．（4分）如果关于x 的方程x 2﹣4x +2c ＝0有实数根，那么实数c 的取值范围是．11．（4分）不等式组的正整数解是．12．（4分）已知线段a ＝3，b ＝4，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c 的长度，那么a ，b ，c 不能组成三角形的概率是．13．（4分）为了解某区九年级3000名学生中“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区体测中心随机调查了其中的200名学生，结果仅有45名学生未获满分，那么估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为．14．（4分）已知点A （﹣4，m ）在反比例函数的图象上，点A 关于y 轴的对称点A 1恰好在直线上，那么k 的值为．15．（4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，对角线AC 与BD 交于点O ，设，，那么＝．（结果用、表示）16．（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知BD ＝16，，如果点E 是边AB 的中点，那么OE ＝．17．（4分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，已知∠CEA ＝45°，DE ＝7，，那么cot ∠ABD 的值为．18．（4分）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线AC翻折，点B的对应点为M，CM交AD于点N，如果∠B＝76°，∠ACM＝∠DCM+10°，且NC＝m，那么平行四边形ABCD 的周长为．（参考数据：cos76°≈0.24，tan76°≈4）三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：21．（10分）已知点A（﹣2，m）在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B．（1）当点B在直线y＝﹣2x+b上时，求直线y＝﹣2x+b的表达式；（2）当线段AB被直线y＝﹣2x+b分成两部分，且这两部分长度的比为3：2时，求b 的值．22．（10分）为了测量某建筑物的高度BE，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为i＝1：2.4的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为30°，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物BE的高度与AD的长．（参考数据：）23．（12分）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，CE与DF交于点G．已知AE+AF＝AB．（1）求证：CE⊥DF；（2）以点G为圆心，GD为半径的圆与线段DF交于点H，点P为线段BH的中点，联结CP，如图2所示，求证：∠BCP+∠DCE＝∠ECP．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP＝2∠OBE，请直接写出直线BP的表达式．25．（14分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，垂足为点G．（1）求证：△BCD∽△BFE；（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当BC＝8，AF＝2时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．2023年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】根据|﹣3|＝3，π＞3，＝3＞3，＞3，即可得出比3大的数．【解答】解：∵|﹣3|＝3，π＞3，＝3＞3，＞3，∴各数中，比3大的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2．【分析】由设出的y，将方程左边两项代换，得到关于y的方程，整理后即可得到结果．【解答】解：设，方程化为y﹣＝3，整理得：y2﹣3y﹣1＝0．故选：B．【点评】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：若⊙O半径为5，那么到圆心O距离为7的点在圆外．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．4．【分析】根据菱形、等腰梯形、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项说法是假命题，符合题意；C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、对角线平分一组对角的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的D型号就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、标准差的意义．6．【分析】根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到C（4，2）关于对称轴对称的点为（1，2），故当x＝1时可求得y值为2，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝，∴C（4，2）对称点坐标为（1，2），∴当x＝1时，y＝2，即a+b+c＝2，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，2）在其图象上是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．【解答】解：2x•（﹣3xy2）＝﹣6x2y2．故答案为：﹣6x2y2．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．8．【分析】让x+2为非负数列式求值即可．【解答】解：由题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】考查二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．9．【分析】将x的值代入解析式求值．【解答】解：由题意得，＝．故答案为：．【点评】本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．10．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式Δ≥0列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8c≥0，解得：c≤2．∴实数c的取值范围是：c≤2．故答案为：c≤2．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．11．【分析】先解不等组，再找出正整数解．【解答】解：解第一个不等式得：x＞2，解第二个不等式得：x≤4，所以不等式组的解集为：2＜x≤4，所以x的正整数解为：3、4，故答案为：3、4．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．12．【分析】由三角形的三边关系得1＜c＜7，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：由三角形的三边关系得：b﹣a＜c＜b+a，即4﹣3＜c＜4+3，∴1＜c＜7，∴a，b，c不能组成三角形的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．【分析】根据200名学生，结果仅有45名学生未获满分求得九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数所占总数的百分比，即可得到结论．【解答】解：3000×＝2325（名），答：估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为2325名．故答案为：2325名．【点评】本题考查了用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．【分析】由点A与点A1关于y轴的对称，可得到A1（4，m），代入即可求得m 的值，从而求得A（﹣4，2），进而即可求出k的值．【解答】解：∵点A与点A1关于y轴的对称，点A（﹣4，m），∴A1（4，m），∵点A1恰好在直线上，∴m＝2，∴A（﹣4，2），∵点A（﹣4，m）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣4×2＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，掌握方程思想是解题的关键．15．【分析】由AB∥CD，即可证得△AOD∽△OBC，又由AD＝BC，即可求得与，即可求得．【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，∴△AOD∽△OBC，∴，∴，，∴＝+＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质，掌握数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的是解题的关键．16．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝8，根据三角函数的定义得到OA＝6，根据勾股定理得到AB＝＝10，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝8，∵，∴OC＝6，∴OA＝6，∴AB＝＝10，∵点E是边AB的中点，∴OE＝AB＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．17．【分析】作OF⊥CD于F，连接OD，根据勾股定理求出OF，再求出DF，再用勾股定理求出圆的半径，作DH⊥OB，再利用勾股定理求出DH、EH，用三角函数解答即可．【解答】解：作OF⊥CD于F，连接OD，∵∠CEA＝45°，∴∠OEF＝45°，∵OE＝3，∴OF＝EF＝3，∵DE＝7，∴DF＝4，∴OD＝＝5，∴OB＝5，BE＝5+3，作DH⊥OB于H，∴△DEH为等腰直角三角形，∵DE＝7，∴EH＝DH＝，∴BH＝5+3﹣＝5﹣，∴cot∠ABD＝＝＝．故答案为：＝．【点评】本题考查了三角函数的应用，正确的辅助线及勾股定理的运用是解题关键．18．【分析】首先利用平行四边形的性质可说明AN＝CD＝CN＝m，再利用等腰三角形的性质可得DN＝0.48m，进而解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠MCA＝∠BCA，∠BCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠MCA，AN＝CN＝m，∵∠ACM＝∠DCM+10°，∴∠BCA＝∠DCM+10°，∵∠B＝76°，∠B+∠BCD＝180°，∴∠DCM+2（∠DCM+10°）＝180°﹣76°＝104°，∴∠DCM＝28°，∴∠CND＝180°﹣∠D﹣∠DCN＝180°﹣76°﹣28°＝76°，∴CD＝CN＝m，在等腰△NCD中，，∴DN＝0.48m，∴AD＝1.48m，∴平行四边形ABCD的周长＝2（0.48m+1.48m）＝4.96m．故答案为：4.96m．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握各知识是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．【分析】根据实数的混合运算法则，先计算分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：＝2+﹣1×＝＝1﹣．【点评】本题主要考查实数的混合运算、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的混合运算法则、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根是解决本题的关键．20．【分析】先将x2﹣9y2＝0左边因式分解，得出x+3y＝0或x﹣3y＝0．然后分类讨论即可．【解答】解：由x2﹣9y2＝0得，（x+3y）（x﹣3y）＝0，∴x+3y＝0或x﹣3y＝0，当x+3y＝0时，x＝﹣3y，把x＝﹣3y代入x+y＝2得，﹣3y+y＝2，∴y＝﹣1，∴x＝﹣3y＝3，∴，当x﹣3y＝0时，x＝3y，把x＝3y代入x+y＝2得，3y+y＝2，∴y＝，∴，∴，综上所述原方程组的解为或．【点评】本题考查二先二次方程组的解法，关键将x²﹣9y²＝0左边因式分解，转化为二元一次方程求解．21．【分析】（1）由反比例函数解析式求得点A的坐标，然后根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得；（2）当线段AB被直线y＝﹣2x+b分成两部分，且这两部分长度的比为3：2时，且交点为D，分两种情况：或＝计算即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在双曲线上，∴m＝﹣＝2，∴A（﹣2，2），将点A向右平移5个单位得到点B，则B（3，2），∵点B在直线y＝﹣2x+b上，∴2＝﹣2×3+b，∴b＝8，∴直线y＝﹣2x+b的表达式为y＝﹣2x+8；（2）设直线y＝﹣2x+b交AB于D，①当时，即：＝，∴D（1，2），代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2×1+b，∴b＝4；②当＝时，即：＝，∴D（0，2），代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2×0+b，∴b＝2；故b的值为4或2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的变化﹣平移，分类讨论思想的运用是解题的关键．22．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G，根据题意可得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°，先利用三角形的外角性质进行计算可得∠EDC＝∠DEC＝30°，从而可得CD＝CE＝100米，再在Rt△ECG 中，利用含30度角的直角三角形的性质求出EG，CG的长，再在Rt△CGB中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出EB的长，最后根据斜坡AD的坡比为i＝1：2.4，可求出AF的长，再在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G，由题意得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°，∵∠ECG是△ECD的一个外角，∴∠DEC＝∠ECG﹣∠EDC＝30°，∴∠EDC＝∠DEC＝30°，∴CD＝CE＝100米，在Rt△ECG中，CG＝EC＝50（米），∴EG＝CG＝50（米），在Rt△CGB中，BG＝CG•tan45°＝50（米），∴DF＝BG＝50米，∴EB＝EG+BG＝50+50≈136.6（米），∵斜坡AD的坡比为i＝1：2.4，∴＝，∴AF＝2.4DF＝120（米），在Rt△ADF中，AD＝＝＝130（米），∴建筑物BE的高度约为136.6米，AD的长为130米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB＝AD＝CD，∠A＝∠EDC＝90°由AE+AF ＝AB，AE+DE＝AD，得到AF＝DE，即可证明△DAF≌△CDE，得到∠DCE＝∠ADF，由余角的性质得到∠DGC＝90°，因此CE⊥DF；（2）由等腰三角形的性质，得到∠DCE＝∠HCE，∠BCP＝∠HCP，得到∠BCP+∠DCE ＝∠HCP+∠HCE，因此∠BCP+∠DCE＝∠ECP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠A＝∠EDC＝90°，∵AE+AF＝AB，AE+DE＝AD，∴AF＝DE，∵△DAF≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠ADF，∵∠ADF+∠CDG＝90°，∴∠DCE+∠CDG＝90°，∴∠DGC＝180°﹣（∠DCE+∠CDG）＝90°，∴CE⊥DF；（2）由（1）知CE⊥DH，∵GD＝GH，∴CE垂直平分DH，∴CD＝CH，∴∠DCE＝∠HCE，∵CD＝BC，∴CH＝BC，∵P为线段BH的中点，∴∠BCP＝∠HCP，∴∠BCP+∠DCE＝∠HCP+∠HCE，∴∠BCP+∠DCE＝∠ECP．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由正方形的性质证明△DAF≌△CDE，由等腰三角形的性质得到∠DCE＝∠HCE，∠BCP＝∠HCP．24．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，得出，解方程求出t的值即可；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由题意可知C（0，6），∵OB＝OC＝6，∴B（6，0），∴36a+12+6＝0，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+6；（2）由（1）知抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6，故令y＝0得：0＝﹣x2+2x+6，解得：x＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．即OA＝2，记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，在△OCA中，GN∥CO，故由三角形中位线定理可得：GN＝3，ON＝1，故在Rt△BGN中，tan∠GBN＝，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，在Rt△BDT中，tan∠DBT＝＝，∵tan∠DBT＝tan∠GBN，∴，解得：t1＝﹣，t2＝6（舍），∴D（﹣，）；（3）①当点P在x轴上方时，在y轴上取点G（0，2），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，∵E（0，﹣2），∴OE＝OG＝GH＝2，设MH＝x，则MG＝，在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，∴（+2）2+62＝（x+6）2，解得：x＝，故MG＝＝，∴OM＝OG+MG＝2+＝，∴点M（0，），将点B（6，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，，解得：，∴直线BP的表达式为：y＝﹣x+；②当点P在x轴下方时，作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，﹣），求得直线BN的解析式为y＝x﹣，综上所述，直线BP的表达式为y＝﹣x+或y＝x﹣．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．25．【分析】（1）可证得∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠ADC，∠BFE+∠ADC＝90°，从而∠BFE＝∠BCD，进而证得结论；（2）延长CM交⊙A于N，可得出∠CME+∠CEM＝90°，∠CEM+∠BCD＝90°，从而∠BCD＝∠CME，进而得出∠CME＝∠AFM，从而得出AM＝AF，进一步得出结果；（3）设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，可得出r2+82＝（r+a）2；由△BCD∽△BFE得出，从而得出，从而求得，进一步得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠BCD+∠ADC＝90°，∵EF⊥CD，∴∠BFE+∠ADC＝90°，∴∠BFE＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BFE；（2）解：如图，延长CM交⊙A于N，∵∠ACB＝90°，∴∠CME+∠CEM＝90°，∵∠CGE＝90°，∴∠CEM+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CME，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BFE＝∠CME，∵∠AFM＝∠BFE，∴∠CME＝∠AFM，∴AM＝AF，∵AN＝AD，∴DF＝MN，∵AC＝AD，∴＝＝；（3）解：⊙A与⊙B外切，理由如下：设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，r2+82＝（r+a）2；①∵△BCD∽△BFE，∴，∵DF＝AD﹣AF＝r﹣2，∴BF＝DF+BD＝a+r﹣2，∴，②由①②得，，∴BE＝BD＝CE＝4，AB＝10，∴AD+BD＝AB，∴⊙A与⊙B外切．【点评】本题考查了圆的有关的性质，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是设未知数，找出相等关系列出方程（组）。
2022年上海市普陀区中考数学二模试卷及答案解析
2022年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 多边形的外角和等于( )A. 360°B. 270°C. 180°D. 90°2. 在平面直角坐标系中，直线y=x+1不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，直线l1//l2，如果∠l=25°，∠2=20°，那么∠3的度数是( )A. 55°B. 45°C. 40°D. 35°4. 已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且b⃗ 与a⃗的方向相反，那么下列结论中正确的是( )A. a⃗=2b⃗B. a⃗=−2b⃗C. b⃗ =2a⃗D. b⃗ =−2a⃗5. 如图，已知直线l1//l2//l3，它们依次交直线l4、l5于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是( )A. ACAE =CDEFB. ABCD=CDEFC. ACAE=BDBFD. ACEC=DFBD6. 顺次联结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是( )A. 菱形B. 矩形C. 梯形D. 正方形二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 已知f(x)=x3−1，那么f(2)=______．8. 已知正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而______.(填“增大”或“减小”)9. 在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有______(填序号)．10. 如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为______．11. 正十边形的中心角等于______ 度．12. 菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为______．13. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=5，BC=12，那么CD=______．14. 如图，线段AD与BC相交于点G，AB//CD，ABCD =12，设GB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，GA⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，那么向量CD⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a⃗、b⃗ 表示是______．15. 已知在等边△ABC中，AB=2，如果以点C为圆心的圆与边AB有且只有一个公共点，那么⊙C的半径是______．16. 已知两圆的半径长分别为2和5，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是______．17. 如图，▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB：S四边形FEDC的值为______．18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F.如果∠DAB=∠BAF，那么BF=______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 计算：2713+|2−√3|−(√5−√2)0+2cos30°．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。
2023年上海市杨浦区中考数学二模试卷及答案解析
2023年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列单项式中，xy2的同类项是（）A．x3y2B．x2y C．2xy2D．2x2y32．（4分）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 3．（4分）下列检测中，适宜采用普查方式的是（）A．检测一批充电宝的使用寿命B．检测一批电灯的使用寿命C．检测一批家用汽车的抗撞击能力D．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量4．（4分）下列函数中，y的值随自变量x的值增大而增大的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（）A．1B．3C．5D．76．（4分）下列命题中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）﹣|﹣2|＝．8．（4分）分解因式：a2﹣4a＝．9．（4分）方程的解是．10．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．11．（4分）如果抛物线y＝ax2﹣3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是．12．（4分）如果关于x的二次三项式x2﹣5x+k在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是．13．（4分）在△ABC中，点D是AC的中点，，，那么＝（用、表示）．14．（4分）某校初三（1）班40名同学的体育成绩如表所示，则这40名同学成绩的中位数是．成绩（分）252627282930人数256812715．（4分）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝．（用科学记数法表示）16．（4分）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知AC⊥CD，坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D 到AB的距离DH的值为米．17．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为．18．（4分）如图，已知在扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径OA＝8，点P在弧AB上，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，那么线段CD的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简再求值：，其中．20．（10分）解不等式组并求出它的正整数解．21．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，m），B （n，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）过点A作直线AC，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接BC，如果CD＝2AD，求线段BC的长．22．（10分）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB，小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为14°，已知小树的高为1.75米．（1）求直径AB的长；（2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度MN约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：tan76°＝4，）23．（12分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处．（1）如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形；（2）延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果CE2＝DE•DC，求证：四边形ABCF是矩形．24．（12分）已知抛物线C1：y＝ax2+b与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C1的表达式；（2）把抛物线C1沿射线CA方向平移得到抛物线C2，此时点A、C分别平移到点D、E 处，且都在直线AC上，设点F在抛物线C1上，如果△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN⊥EM，交直线BF于点N，求tan∠ENM的值．25．（14分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点H，点E在直径AB上（与A、B不重合），EH＝AH，连接CE并延长与⊙O交于点F．（1）如图1，当点E与点O重合时，求∠AOC的度数；（2）连接AF交弦CD于点P，如果，求的值；（3）当四边形ACOF是梯形时，且AB＝6，求AE的长．2023年上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）即可作出判断．【解答】解：A．x3y2与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；B．x2y与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；C．2xy2与xy2所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意；D．2x2y3与﹣3xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．2．【分析】根据＝判断A选项；根据＝•（a≥0，b≥0）判断B选项；根据＝|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．【解答】解：A、原式＝，故该选项不符合题意；B、原式＝×＝2×3，故该选项符合题意；C、原式＝＝92，故该选项不符合题意；D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握＝•（a≥0，b≥0）是解题的关键．3．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【解答】解：A、检测一批充电宝的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；B、检测一批电灯的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；C、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意适；D、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适宜全面调查，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质，可以写出各个选项中的函数，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．【解答】解：在函数y＝中，y随x的增大而增大，故选项A符合题意；在函数y＝﹣中，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意；在函数y＝中，在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；在函数y＝﹣中，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键明确正比例函数的性质和反比例函数的性质，能够根据函数解析式，写出y随x的变化如何变化．5．【分析】本题直接告诉了大圆的半径及两圆位置关系，圆心距，求小圆半径的取值范围，据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P 表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．【解答】解：因为两圆相交，圆心距P满足：R﹣r＜P＜R+r，即3＜P＜7，满足条件的圆心距只有B，故选：B．【点评】本题考查了由数量关系及两圆位置关系求小圆半径取值范围的方法．6．【分析】利用平行四边形的判定方法、菱形、矩形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、菱形及正方形的判定方法，难度不大．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解|﹣2|，然后根据相反数的性质得出结果．【解答】解：﹣|﹣2|表示﹣2的绝对值的相反数，|﹣2|＝2，所以﹣|﹣2|＝﹣2．【点评】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．8．【分析】由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．故答案为：a（a﹣4）．【点评】主要考查提公因式法分解因式，是基础题．9．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：x＝x2，解方程的：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，方程的左边＝右边＝0，∴x＝0为原方程的根当x2＝1时，原方程不成立，故舍去．故答案为：x＝0．【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，最后把解得的x的值代入原方程进行检验．10．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．【分析】由于顶点是抛物线y＝ax2﹣3的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定a的范围．【解答】解：∵顶点是抛物线y＝ax2﹣3的最高点，∴a＜0．故答案为：a＜0．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．12．【分析】关于x的二次三项式x2﹣5x+k在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣5x+k＝0无实数根，由此可解．【解答】解：关于x的二次三项式x2﹣5x+k在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣5x+k＝0无实数根，∴Δ＝（﹣5）2﹣4k＝25﹣4k＜0，∴k＞．故答案为：k＞．【点评】本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，属于比较简单的问题．13．【分析】在△ABC中，首先由三角形法则求得＝+；然后利用中点的性质求得＝（+）；最后在△ABD中，利用三角形法则求得答案．【解答】解：在△ABC中，∵，，∴＝+＝+．∵点D是AC的中点，∴＝＝（+）．∴＝﹣＝（+）﹣＝（﹣）．故答案为：（﹣）．【点评】本题主要考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则．14．【分析】根据中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是28分，28分，它们的平均数是28分，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28分．故答案为：28分．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．【解答】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1016，故答案为：2×1016．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．16．【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．【解答】解：如图：延长CD交AB于E，∵i＝1：2.4，∴tan∠CAB＝＝，∴＝，∵AC＝7.2，∴CE＝3，∵CD＝0.4，∴DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，∴∠EDH＝∠CAB，∵tan∠CAB＝，∴cos∠EDA＝cos∠CAB＝，∴DH＝DE×cos∠EDA＝2.6×＝2.4（米）．答：点D到AB的距离DH的值为2.4米．故答案为：2.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．17．【分析】连接CF，DF，得到△CFD是等边三角形，得到∠FCD＝60°，根据正五边形的内角和得到∠BCD＝108°，求得∠BCF＝48°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD＝60°，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD＝108°，∴∠BCF＝48°，∴的长＝＝π，故答案为：π．【点评】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．【分析】先判断出点P，C，O，D四点均在同一个圆，即⊙E上，进而求出DH＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接PO，取PO的中点E，连接CE，DE，在Rt△PCO和Rt△PDO中，点E是斜边PO的中点，∴CE＝DE＝PE＝OE＝PO＝4，根据圆的定义可知，点P，C，O，D四点均在同一个圆，即⊙E上，又∵∠COD＝60°，∴∠CED＝120°，∴∠CDE＝∠DCE＝30°，过点H作EH⊥CD，垂足为点H，由垂径定理得，CH＝DH＝CD，在Rt△DEH中，EH＝DE＝2，DH＝2，∴CD＝2DH＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，四点共圆的方法，判断出点P，C，O，D四点均在同一个圆，即⊙E上，是解本题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后把a 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝时，原式＝＝2﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解：解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞，所以不等式组的解集为＜x≤，则不等式组的正整数解为1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；（2）由相似三角形的性质和勾股定理即可求解．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，m），B（n，2），∴m＝2n＝4，解得m＝4，n＝2，∴A（1，4），B（2，2），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，∴，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+6；（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，∴AE∥CF，∴△AED∽△CFD，∴，∵CD＝2AD，∴CF＝2AE＝2，∴点C（﹣2，﹣2），∴BC＝＝4．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．22．【分析】（1）由∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，得∠C＝76°，利用锐角三角形的正切值即可求解；（2）过点O作OH⊥MN，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，在Rt△ODM中，利用勾股定理即可求得MD的值，从而可求解．【解答】解：（1）∵小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为14°，∴∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，∵tan C＝，BC＝1.75米，∴tan76°＝，∴AB＝1.75•tan76°＝7（米），答：直径AB的长为7米；（2）过点O作OD⊥MN于D，并延长OD交⊙O于H，连接OM，如图：∴MD＝DN，DH＝2.8米，∵⊙O的直径为7米，∴OM＝OH＝3.5米∴OD＝OH﹣DH＝0.7米，在Rt△ODM中，MD＝＝＝1，4＝1.4×2.4＝3.36（米），∴MN＝2MD＝2×3.36＝6.72≈6.7（米）．答：水面的宽度MN约为6.7米．【点评】本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理并能应用．23．【分析】（1）由折叠得：∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠DEB＝90°，从而可得BE是DC的垂直平分线，进而可得DB＝BC，再利用等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠C，从而可得∠BDE＝∠C＝∠ADB，然后利用平行线的性质可得∠ADC+∠C＝180°，从而可得∠BDE+∠C+∠ADB＝180°，进而可得∠BDE＝∠C＝∠ADB＝60°，最后利用等边三角形的判定，即可解答；（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据垂直定义可得∠DHB＝∠DHC＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABC＝90°，从而可得四边形ABHD是矩形，进而可得AD＝BH，AB＝DH，再利用折叠的性质可得：∠A＝∠DEB＝90°，AB＝BE，从而可得∠BEC＝90°，DH＝BE，然后利用AAS证明△BCE≌△DCH，从而可得DC＝BC，CE＝CH，再证明8字模型相似三角形△FDE∽△BCE，从而可得＝，最后根据已知可得＝，的性质可得AF＝BC，进而可得四边形ABCF是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答．【解答】证明：（1）由折叠得：∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠DEB＝90°，∵点E是腰CD的中点，∴BE是DC的垂直平分线，∴DB＝BC，∴∠BDE＝∠C，∴∠BDE＝∠C＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∴∠BDE+∠C+∠ADB＝180°，∴∠BDE＝∠C＝∠ADB＝60°，∴△BCD是等边三角形；（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∴∠DHB＝∠DHC＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AD＝BH，AB＝DH，由折叠得：∠A＝∠DEB＝90°，AB＝BE，∴∠BEC＝180°﹣∠DEB＝90°，DH＝BE，∵∠BEC＝∠DHC＝90°，∠BCE＝∠DCH，∴△BCE≌△DCH（AAS），∴DC＝BC，CE＝CH，∵AD∥BC，∴∠DFE＝∠EBC，∠FDE＝∠ECB，∴△FDE∽△BCE，∴＝，∵CE2＝DE•DC，∴＝，∴＝，∴DF＝CE，∴CH＝DF，∴AD+DF＝BH+CH，∴AF＝BC，∴四边形ABCF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABCF是矩形．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，直角梯形，翻折变换（折叠问题），根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式；（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y＝x+2，根据题意求得EF＝4，求得EF∥y轴，设F（m，﹣m2+2），则E（m，m+2），从而得出（m+2）﹣（﹣m2+2）＝4，解方程即可求得F的坐标；（3）先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据△EGN∽△EMC，对应边成比例即可求得tan∠ENM＝＝2．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+b经过点A（﹣2，0）和C（0，2），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2；（2）如图1，∵A（﹣2，0），C（0，2），∴AC＝＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+c，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，由平移得DE＝AC＝2，∴EF＝DE＝4，设F（m，﹣m2+2），则E（m，m+2），∴（m+2）﹣（﹣m2+2）＝4，解得m＝2（舍）或m＝﹣4，∴F（﹣4，﹣6）；（3）如图2，∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2，令y＝0，则0＝﹣x2+2，解得x＝2或﹣2，∴B（2，0），∵点A（﹣2，0）和C（0，2），∴∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，∴BC⊥AC，∵DF⊥AC，∴DF∥BC，∵DF＝DE＝BC＝AC，∴四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，∴EG＝BC＝AC＝2，∵EN⊥EM，∴∠MEN＝90°，∵∠CEG＝90°，∴∠CEM＝∠NEG，∴△ENG∽△EMC，∴，∵F（﹣4，﹣6），EF＝4，∴E（﹣4，﹣2），∵C（0，2），∴EC＝＝4，∴＝＝2，∴tan∠ENM＝＝2．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）如图1，连接AC、AD、OD，根据垂径定理推出CH＝DH，结合EH＝AH，CD⊥AO即可推出四边形ACOD是菱形，根据菱形的性质推出△OAC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解；（2）结合图形，利用SAS证明△ECH≌△ADH，根据全等三角形的性质得出CE＝AD，∠C＝∠D，进而推出CE∥AD，△APD∽△FPC，根据相似三角形的性质得出＝，结合题意求解即可；（3）结合（2）得出，∠D＝∠DCE，根据梯形的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质推出∠FOE＝90°，解直角三角形得出AF＝3，根据∠OCF＝∠AFC，∠CEO＝∠FEA，推出△CEO∽△FEA，根据相似三角形的性质得到＝＝，结合OA＝OE+AE＝3求解即可．【解答】解：（1）如图1，连接AC、AD、OD，∵CD⊥AB，垂足为点H，∴CH＝DH，∵EH＝AH，∴四边形ACOD是平行四边形，∵CD⊥AO，∴四边形ACOD是菱形，∴AC＝OC，∵OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）如图，∵EH＝AH，CH＝DH，∠AHD＝∠EHC＝90°，∴△ECH≌△ADH（SAS），∴CE＝AD，∠C＝∠D，∴CE∥AD，∴△APD∽△FPC，∴＝，∵＝，设CE＝4a，则AD＝4a，EF＝3a，∴CF＝CE+EF＝7a，∴＝＝＝；（3）如图，当OC∥AF时，连接AD，由（2）知，△ECH≌△ADH，∴∠D＝∠DCE，在梯形ACOF中，OC∥AF，∴∠OCF＝∠AFC，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∴∠OCF＝∠AFC＝∠OFC，∵∠D＝∠AFC，∴∠DCE＝∠OFC，∴CD∥OF，∴∠FOE＝∠CHE，∵CD⊥AB，∴∠CHE＝90°，∴∠FOE＝90°，在Rt△AOF中，OA＝OF＝AB＝3，∴AF＝＝3，∵∠OCF＝∠AFC，∠CEO＝∠FEA，∴△CEO∽△FEA，∴＝，∴＝＝，设OE＝x，则AE＝2x，∴OA＝x+2x＝3，∴x＝3﹣，∴AE＝2x＝6﹣3；如图，当AC∥OF时，【点评】此题是圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的性质等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键。
2024年上海市宝山区中考数学二模试卷及答案解析
2024年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x≥1B．x≥0C．x＞1D．x＞02．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则实数m的值为（）A．B．﹣4C．D．43．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝2x2+1B．y＝﹣2x2+1C．y＝x+1D．y＝﹣x+14．（4分）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQI）：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）a6÷a2＝．8．（4分）因式分解：m2﹣3m＝．9．（4分）不等式的解集是．10．（4分）方程的解是．11．（4分）我国天文学家算出了仙女星系“体重”．仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例．计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量．把数据11400亿用科学记数法表示应是．12．（4分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为只．13．（4分）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为尺．14．（4分）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝米．15．（4分）如图，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果，那么＝．16．（4分）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳名观众．17．（4分）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为．18．（4分）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE 沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象交于点C（2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且CD＝3，求△ABD的面积．22．（10分）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长AC＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A离地高度AB＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF ＝36.9°，夏至正午太阳光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin17.5°≈0.3，cos17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；sin36.9°≈0.6，cos36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；sin82.4°≈0.99，cos82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5．23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，联结AC、DO，延长DO交AC于点F．（1）求证：AF2＝OF•DF；（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的长．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2x+4经过点P（0，4），顶点为A．（1）求直线PA的表达式；（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C．如果，求tan∠PBC的值．25．（14分）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．（1）如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．2024年上海市宝山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2．【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到Δ＝0，建立关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴12﹣4×1×（﹣m）＝0，解得，故选：A．【点评】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时Δ＞0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．3．【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质分别进行判断可以得解．【解答】解：由题意，对于A选项，y＝2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故A错误．对于B选项，y＝﹣2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，故B错误．对于C选项，y＝x+1是一次函数，k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，故C错误．对于D选项，y＝﹣x+1是一次函数，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质及一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解其增减性是关键4．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果有1种，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，∴两次都是“正面朝上”的概率＝，故选：B．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】这组数据的平均数受极端数值117影响，众数偏离大多数据，方差是反应数据的集中趋势的统计量，据此可得答案．【解答】解：这组数据的平均数为＝，中位数为33，众数为26，方差是反应数据的集中趋势的统计量，所以能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数，故选：B．【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的意义．6．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，，∴＝，设AC＝x，BC＝2x，∴AB＝＝x＝5，∴x＝，∴AC＝，BC＝2，过点C作CD⊥AB于点D，∴CD＝＝2，∵⊙C与线段AB有两个交点，∴2＜R≤，故选：A．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．【解答】解：a6÷a2＝a4．故答案为：a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．8．【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【分析】根据不等式的性质：先分母，再移项，合并同类项即可．【解答】解：去分母，得x﹣1≤0．移项，得x≤1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质，能求一元一次不等式的解集．10．【分析】首先将两边同时平方得2﹣x＝x2，再解这个整式方程求出x，然后再进行检验即可得出原方程的解．【解答】解：对于方程，两边同时平方得：2﹣x＝x2，移项得：x2+x﹣2＝0，∴（x﹣1）（x+2）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，由x﹣1＝0，解得：x＝1，由x+2＝0，解得：x＝﹣2，经检验得：x＝1为增根，x＝﹣2是原方程的根．∴方程的解是x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：11400亿＝1140000000000＝1.14×1012，故答案为：1.14×1012．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】先求出调查中使用寿命超过了2500小时的灯泡占比，再用占比乘总数，即可求解．【解答】解：（28÷50）×1000＝560（只）故答案为：560．【点评】本题考查了用样本估计总体，理清题目的数量关系并仔细计算是解题关键．13．【分析】设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可．【解答】解：设木长为x尺，根据题意得：（x+4.5）＝x﹣1，解得x＝6.5，答：木长6.5尺．故答案为：6.5．【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键．14．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点M、N分别为AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AC＝2MN＝2×3＝6（米），故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．15．【分析】连接BD，先由正六边形的性质可得AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，进而求出∠ABD＝∠BDE＝90°，则可证明AB∥DE，得到AB＝ED，则＝＝﹣＝﹣．【解答】解：如图所示，连接BD，由题意得，AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∴∠ABD+∠BDE＝180°，∴AB∥DE，∴＝，∵，∴＝＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等．16．【分析】设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．利用垂径定理，勾股定理求出半径，再求出矩形ABCD的面积，可得结论．【解答】解：设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．设OE＝OJ＝r米，∵OH⊥EF，∴EH＝FH＝EF＝4（米），在Rt△OEH中，OE2＝EH2+OH2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝5，∴矩形ABCD的面积＝5×10＝50（平方米），∵每平方米最多可以坐3名观众，∴观演区可容纳150名观众．故答案为：150．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．【分析】设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，由△HLM∽△ALB，得＝＝，则HL＝m，AL＝m，由IG∥AB，得＝＝，则IH＝m，求得LI＝m，再证明△AKD∽△HKC，得＝＝1，则AK＝m，求得LK＝m，即可由△QLI ∽△PLK，求得＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，∵正方形ABCD、正方形CEFG和正方形GHMN的一边在同一条直线上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5+3+2＝10，HC＝3+2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴＝＝，∴HL＝AH＝AH＝m，AL＝AH＝AH＝m，∵IG∥AB，∴＝＝＝，∴IH＝AH＝m，∴LI＝m﹣m＝m，∵AD∥HC，∴△AKD∽△HKC，∴＝＝＝1，∴AK＝HK＝AH＝m，∴LK＝m﹣m＝m，∵IQ∥KP，∴△QLI∽△PLK，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设AH＝m，求得HL＝m，AL＝m，IH＝m，AK＝m是解题的关键．18．【分析】分两种情况讨论：点D落在BC延长线上时，由折叠得AF＝AD＝AB，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，得BH＝HF＝4，CF＝3，由菱形的性质得∠DCF＝∠B，可得，设CG＝4y，则CE＝5y，由勾股定理得EG＝3y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，而FG＝FC﹣CG＝3﹣4y，在Rt△EFG中由勾股定理得（3﹣4y）2+（3y）2＝（5﹣5y）2解方程求出y的值即可解决问题；点D 落在DC延长线上时，推导出DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，利用cos D＝cos B＝，即，求得DE＝4，再利用CE＝CD﹣DE即可得解．【解答】解：点D落在BC延长线上时，如图1，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，点D与点F重合，如图1，由折叠得，AF＝AD＝AB＝5，∴BH＝AH，∵，∴BH＝4，∴BF＝2BH＝8，∴FC＝AF﹣AC＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，∴∠DCF＝∠B，，设CG＝4y，则CE＝5y，FG＝CF﹣CG＝3﹣4y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，在Rt△CEG中，由勾股定理得，在Rt△FEG中，由勾股定理得EG2+FG2＝EF2，∴（3y）2+（3﹣4y）2＝（5﹣5y）2，解得，∴；当点D落在DC的延长线上时，如图2，由折叠的性质得：DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，由菱形的性质得：∠B＝∠D，∴cos D＝cos B＝，即，∴DE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝5﹣4＝1，综上，CE的长为或1．故答案为：或1．【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），菱形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】先根据有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值进行计算，再根据幂的乘方，分母有理化进行计算，再根据实数的加减法法则进行计算即可．【解答】解：8﹣（﹣1）﹣1﹣|﹣3|＝（23）﹣﹣（3﹣）＝22﹣﹣3+2＝4﹣（+1）﹣3+2＝4﹣﹣1﹣3+2＝．【点评】本题考查了分数指数幂，负整数指数幂，分母有理化，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．20．【分析】通过方程两边都乘以最简公分母2x（x+1），将原方程化为整式方程再求解、检验．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1），得3×2x＝x+1+2x2+2x，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得x＝1或x＝，检验：当x＝1时，最简公分母2x（x+1）＝2×1×（1+1）≠0；当x＝时，最简公分母2x（x+1）＝2××（+1）≠0，∴原方程的解是x＝1或x＝．【点评】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用其求解方法进行变式、计算和检验．21．【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）分两种情况求面积，①当D点坐标为（﹣1，5）时，②当D点坐标为（5，5）时，分别计算出△ABD的面积即可．【解答】解：（1）∵点C（2，m）在直线y＝x+3图象上，∴m＝2+3＝5，∴C（2，5），∵C（2，5）在反比例函数图象上，∴k＝10，∴反比例函数解析式为：y＝．（2）∵C（2，5），点D在直线l上，CD＝3，l∥x轴，∴D（5，5）或（﹣1，5），∵y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，3），①当D点坐标为（﹣1，5）时，S△ABD＝S梯形OEDA﹣S△DEB﹣S△AOB＝﹣﹣＝，②当D点坐标为（5，5）时，S△ABD＝S△ACD﹣S△BCD＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．22．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，根据正切的定义求出AH，进而求出BH，根据正切的定义分别求出DG、EG，计算即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，则四边形HBGC为矩形，∴BF＝CG，在Rt△AHC中，AC＝6米，∠ACH＝17.5°，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH≈6×0.3＝1.8（米），∴BH＝AB﹣AH＝5﹣1.8＝3.2（米），在Rt△CDG中，CG＝3.2米，∠CDG＝36.9°，∵tan∠CDG＝，∴DG＝≈≈4.27（米），在Rt△CEG中，CG＝3.2米，∠CEG＝82.4°，∵tan∠CEG＝，∴EG＝≈≈0.43（米），则DE＝DG﹣EG＝4.27﹣0.43≈3.8（米），答：DE的长约为3.8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．【分析】（1）连接AD，由垂径定理得＝，则∠OAF＝∠OAD，由OA＝OD，得∠ADF＝∠OAD，所以∠OAF＝∠ADF，而∠OFA＝∠AFD，即可证明△OFA∽△AFD，得＝，则AF2＝OF•DF；（2）由OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，得DE＝CE＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，由OE2+DE2＝OD2，得（OD﹣2）2+42＝OD2，求得OD＝5，OE＝3，所以AE＝8，则AD＝＝4，根据相似三角形的性质得＝＝，则AF＝OF，由AF2＝OF•DF，得（OF）2＝OF（OF+5），求得OF＝．【解答】（1）证明：连接AD，∵直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，∴＝，∴∠OAF＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ADF＝∠OAD，∴∠OAF＝∠ADF，∵∠OFA＝∠AFD，∴△OFA∽△AFD，∴＝，∴AF2＝OF•DF．（2）解：∵OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，∴DE＝CE＝CD＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，∵∠AED＝90°，∴OE2+DE2＝OD2，∴（OD﹣2）2+42＝OD2，解得OD＝5，∴OA＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，∴AE＝OA+OE＝5+3＝8，∴AD＝＝＝4，∵△OFA∽△AFD，∴＝＝，∴AF＝OF，∵AF2＝OF•DF，∴（OF）2＝OF（OF+5），解得OF＝或OF＝0（不符合题意，舍去），∴OF的长是．【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（3）求出点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），由，求出m＝2，进而求解．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点A（，4﹣），设直线PA的表达式为：y＝kx+4，将点A的坐标代入上式得：4﹣＝k×+4，解得：k＝﹣1，即直线PA的表达式为：y＝﹣x+4；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式得：＝a（﹣4）2﹣2（﹣4）+4，解得：a＝（舍去）或﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+4；（3）由直线PA的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45°，点A（﹣2，6），设将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移m个单位，则相当于向左、向上个平移了m个单位，则平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m，当x＝0时，y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m＝﹣m2﹣m+4，即点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），则PC＝m2+m+4，而AB＝m＝2m＝PC＝m2+m+4，解得：m＝2，则点C（0，0），即点C、O重合，由点A的坐标（﹣2，6）得到点B（﹣4，8），在△PBC中，CP＝4，BC＝，PB＝4，过点P作PH⊥BC于点H，则S△PBC＝PC×|x B|＝BC×PH，即4×4＝×PH，则PH＝，则sin∠PBC＝＝＝，则tan∠PBC＝．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．25．【分析】（1）①设AC与DE的交点为M，通过推导出AC、EO互相垂直平分，证明四边形ADCE是菱形；②先求出菱形ADCE的内角为60°，再推导出CF＝2FG，即可推导出EB＝6FG，可得＝；（2）当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H点，过点E作EN⊥AB交于N点，设GD＝4m，则MO＝5m，EG＝4m，ED＝8m，先求出cos∠EAD＝，即可分别求出AN＝4×＝，ND＝4﹣＝，EN＝，ED＝8m＝，得到m＝，则MO＝，AM＝，再求AC＝；当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4．【解答】（1）证明：①如图1，设AC与DE的交点为M，由折叠可EM＝MO，∵E、D点关于AC对称，∴EO⊥AC，∵EO是圆O的半径，∴AM＝CM，∴AC、EO互相垂直平分，∴四边形ADCE是菱形；②解：∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAC＝∠CAO＝∠ECA＝∠ACO，∵AM⊥MO，MO＝AO，∴∠MAO＝30°，∴∠AOM＝∠MOC＝60°，∵DO＝BO，∴∠OEB＝∠OBE＝30°，∴∠EGO＝90°，∵∠FCG＝30°，∴CF＝2FG，∵∠CEF＝∠ECF＝30°，∴EF＝FC＝2FG，∵EG＝GB，∴EB＝6FG，∴＝；（2）解：如图2，当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H 点，过点E作EN⊥AB交于N点，由对称可知，AE＝AD，∵AO＝5，OD＝1，∴AE＝AD＝4，∵ED∥MO，∴＝，设GD＝4m，则MO＝5m，∵E、D点关于AC对称，∴EG＝4m，∴ED＝8m，∵AH＝HE＝2，∴cos∠EAD＝，∴AN＝4×＝，∴ND＝4﹣＝，EN＝，∴ED＝8m＝，∴m＝，∴MO＝，∴AM＝，∴AC＝；如图3，当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4；综上所述：AC的长为4或．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握折叠的性质，垂径定理，直角三角形的性质是解题的关键。
2022年上海市杨浦区中考数学二模试题及答案解析
2022年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各式中，运算结果是分数的是( ) A. sin30°B. (π2)0C. (12)−1D. √342. 下列方程中，二元一次方程的是( ) A. xy =1B. x 2−1=0C. x −y =1D. x +1y =13. 在一次引体向上的测试中，如果小明等5位同学引体向上的次数分别为：6、8、9、8、9，那么关于这组数据的说法，正确的是( )A. 平均数是8.5B. 中位数是9C. 众数是8.5D. 方差是1.24. 一次函数y =−x +2的图象不经过的象限是( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列命题中，正确的是( ) A. 正多边形都是中心对称图形B. 正六边形的边长等于其外接圆的半径C. 边数大于3的正多边形的对角线长都相等D. 各边相等的圆外切多边形是正多边形6. 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AD//BC ，AC =BD ，那么下列条件中不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A. AD =BCB. AB =CDC. ∠DAB =∠ABCD. ∠DAB =∠DCB二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：a 8÷a 4=______．8. 不等式组{3−x <02x −12<0的解集是______．9. 方程√2x +3=x 的解为______．10. 如果关于x 的方程x 2−3x +k =0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是______ ．11. 如果某种商品每8千克的售价为32元，那么这种商品m 千克的售价为______元．12. 正比例函数y =kx 中，如果函数值y 随着自变量x 的增大而增大，那么k 的取值范围是______．13. 在不透明的盒子中装有10个黑色棋子和15个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______．14. 为了了解全区近4800名初三学生数学学习状况，从中随机抽取500名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：(每组数据可含最低值，不含最高值)根据上表信息，由此样本请你估计全区此次成绩在70～80分的人数大约是______． 15. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，BD =2AD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用m ⃗⃗ 、n ⃗ 表示)．16. 某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______ 米.17. 新定义：在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，如果DE⏜上的所有点都在△ABC 的内部或边上，那么DE ⏜称为△ABC 的中内弧．已知在Rt △ABC 中，∠A =90°,AB =AC =2√2，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，如果DE ⏜是△ABC 的中内弧，那么DE ⏜长度的最大值等于______．18. 已知钝角△ABC 内接于⊙O ，AB =BC ，将△ABC 沿AO 所在直线翻折，得到△AB′C′，联结BB′、CC′，如果BB′：CC′=4：3，那么tan ∠BAC 的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
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A 1
N
M C
B
A
B 1
18．(2010宝山区)如图4，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 都在直线l 上，⊙A 的半径为1cm ，⊙B
的半径为2cm ，圆心距AB =6cm. 现⊙A 沿直线l 以每秒1cm 的速度向右移动，设运动时间为t 秒，写出两圆相交时，t 的取值范围： ▲ ．9753<<<<t t 或
18．(2010奉贤区)在Rt △ABC 中，∠C =90º ，BC =4 ，AC =3，将△ABC 绕着点B 旋转后点A 落在直线BC 上的点A '，点C 落在点C '处，那么A A '的值为 ； 10或310
17. (2010虹口区)如图2，把矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在
AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长
为 24 .
18. (2010虹口区)已知平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，在直线BA 上截取
2BF AF =，EF 交BD 于点G ，则
GB GD
= ．25或2
3
18.如图4，在ABC ∆中，∠ACB =︒
90,AC =4,BC =3,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转至C B A 11∆的位置，其中B 1C ⊥AB ,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段MN 的长为 0.8 .
E
P
G
H
B
A C
D 图2
a
b
c
图1
18．（2010金山区二模卷）如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4， ∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是 1 ．
18．（2010静安区二模卷）如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，
那么图中阴影部分的周长为 ．
37
C /
D C
A
图2。