2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)
2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={0,1，−√2}，Q={y|y=cosx,x∈R}，则P∩Q=()A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {−1,1}2.设复数z满足(i−2)z=5，则复数z−=()A. i+2B. −2−iC. i−2D. 2−i3.已知向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=()A. 4B. −4C. 8D. 54.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 7105.已知圆(x−3)2+(y+4)2=4和直线y=kx相交于P，Q两点，O为坐标原点，则|OP|⋅|OQ|的值为()A. 211+k2B. 1+k2C. 4D. 216.若a,b∈R，下列命题中正确的是()A. 若a>b，则a2>b2B. 若a>|b|，则a2>b2C. 若|a|>b，则a2>b2D. 若a≠b，则a2≠b27.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)+f(x)=0.当x∈[0,2]时，f(x)=4−x2，则函数ℎ(x)=f(x)−12x+1的所有零点之和为()A. 4B. 6C. 8D. 108.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.将函数f(x)=2cos(2x+π6)的图象向左平移t(t>0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为()A. 2π3B. π6C. π2D. π310.已知cosα=−35(α∈(π2,π))，则tan(α+π4)=()A. −17B. 17C. −7D. −4311.抛物线y2=8x的焦点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，A(m,n)(n>0)为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|=8，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √512.已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)=e22(其中e为自然对数的底数)，对任意实数x，都有f′(x)>f(x)，则不等式2f(x)<e x+1的解集为()A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (1,e)D. (e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=2x+cosx在点(π6,f(π6))处的切线的斜率为________．14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：(1)b2014是数列{a n}的第________项；(2)b2k−1=________.(用k表示)15.△ABC中，已知AB=2，BC=4，∠B的平分线BD=√6，则AC边上的中线BE=______．16.已知圆锥的母线长为2，高为√3，则该圆锥的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.改革开放以来，伴随着我国经济持续增长，户均家庭教育投入(户均家庭教育投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和)也在不断提高．我国某地区2012年至2018年户均家庭教育投入(单位：千元)的数据如表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 户均家庭教育投入y3.43.84.14.95.35.76.4(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年至2018年该地区户均家庭教育投入的变化情况，并预测2019年该地区户均家庭教育投入是多少．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2，a ̂=y −−b̂t −．18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F分别是线段AD 、PB 的中点，PA =AB =1． (1)证明：EF//平面DCP ； (2)求三棱锥F −DCP 的体积．19.已知等比数列{a n}满足a3−a2=10，a1a2a3=125．(Ⅰ)求数列a n的前n项和S n；(Ⅱ)设b n=n(S n+56)，T n=b1+b2+b3+⋯+b n，求T n．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点(1,32)在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点F作互相垂直的两条直线l1、l2，其中直线l1交椭圆于P、Q两点，直线l2交直线x=4于M点，求证：直线OM平分线段PQ．21.已知函数f(x)=ln(x+1)−ax1−x(a∈R)．(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若−1<x<1时，均有f(x)≤0成立，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=|x +2a 2+1a|+|x −a|(a >0)(Ⅰ)证明：f(x)≥2√3；(Ⅱ)当a =1时，求不等式f(x)≥5的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：Q={y|y=cosx,x∈R}={y|−1≤y≤1}，则P∩Q={0,1}，故选：C根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：C解析：根据复数代数形式的运算法则，计算即可．本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题．解：复数z满足(i−2)z=5，则z=5i−2=5(−2−i)(−2)2−i2=−2−i，复数z−=−2+i．故选：C．3.答案：C解析：解：向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(−2,3)⋅(−1,2)=2+6=8．故选：C．通过向量的坐标运算，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．4.答案：D解析：本题考查古典概型的计算，是基础题．基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，由此能求出A 或B 被选中的概率．解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中， 则A 或B 被选中的概率是P =1−C 32C 52=710．故选：D ．5.答案：D解析：解：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{(x −3)2+(y +4)2=4y =kx 消去y ，整理得(k 2+1)x 2+(8k −6)x +21=0， ∴x 1+x 2=−8k+6k 2+1，x 1x 2=21k 2+1．由此可得y 1y 2=kx 1⋅kx 2=k 2x 1x 2，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2=(1+k 2)⋅21k +1=21．∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线同向，∴|OP|⋅|OQ|=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =21． 故选：D设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，将直线方程与圆的方程联解消去y ，整理得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出x 1x 2用k 表示的式子，进而得到y 1y 2用k 表示的式子，再利用向量数量积公式加以计算，可得答案．本题考查了直线与圆的关系、平面向量数量积的运算及其性质，属于中档题．同时考查了数学转化思想和整体运算思想，在直线和圆的交点问题常采用设而不求的方法，使问题迎刃而解．6.答案：B解析： ∵a >|b |，∴a >|b |≥0，根据不等式性质易知a 2>b2.7.答案：D解析：本题主要考查了函数奇偶性，周期性，对称性的运用，函数零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属于中档题．由题意，可得f(x)的周期为8，再根据f(x+4)+f(−x)=0得到f(x)的图象关于点(2,0)对称，则ℎ(x)=f(x)−12x+1的零点，即为函数y=f(x)与y=12x−1图象的交点的横坐标，作出函数大致图象，由此可得结论．解：因为f(x+4)=−f(x)，所以f(x)=−f(x−4)，所以f(x+4)=f(x−4)，即f(x)=f(x+8)，可知f(x)的周期为8，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x+4)+f(−x)=0，可得f(x)的图象关于点(2,0)对称，作出f(x)的大致图象，如图所示，则ℎ(x)=f(x)−12x+1的零点，即为函数y=f(x)与y=12x−1图象的交点的横坐标，由图可知x1+x4=4，x2+x3=4，即零点之和为2+4+4=10．故选D．8.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和平面的垂直的位置关系是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直和面面垂直的性质进行判断即可．解：根据面面垂直的判定定理得若m⊥β则α⊥β成立，即充分性成立，若α⊥β则m⊥β不一定成立，即必要性不成立，故m⊥β是α⊥β的充分不必要条件，故选：A ．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向左平移t(t >0)个单位长度，可得y =2cos(2x +2t +π6)的图象；∵所得图象对应的函数为奇函数，∴2t +π6=kπ+π2，求得t =kπ2+π6，k ∈Z ，则t 的最小值为π6， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得t 的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10.答案：A解析： 【试题解析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan(α+π4)的值． 解：∵cosα=−35，且α∈(π2,π)， ∴sinα=√1−cos 2α=45，∴tanα=sinαcosα=−43， 则tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=−17， 故选A ．11.答案：C解析：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程的运用，以及离心率的求法，化简运算能力，属于中档题．求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定义可得A的坐标，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx−ay=0平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值．解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，即双曲线的右焦点为(2,0)，双曲线x2a −y2b=1的渐近线方程分别为bx−ay=0，bx+ay=0，抛物线的准线方程为x=−2，由A(m,n)(n>0)为抛物线上一点，可得m>0，且|AF|=m+2=8，解得m=6，n=4√3，即A(6,4√3)，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx−ay=0平行，可得k AF=4√3−06−2=√3=ba，则双曲线的离心率为e=ca =√1+b2a2=√1+3=2．故选：C．12.答案：A解析：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，恰当的构造函数是关键，是较难题．令g(x)=2f(x)e x+1−1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．解：令g(x)=2f(x)e x+1−1，则g′(x)=2[f′(x)−f(x)]e x+1>0，故g(x)在R上单调递增，而g(1)=2f(1)e2−1=0，故不等式2f(x)<e x+1，即g(x)<g(1)，故x<1，故选：A．13.答案：32解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题.求出切点处的导数值即可．解：f′(x)=2−sinx，∴f′(π6)=2−12=32．答案32．14.答案：(1)5035；(2)5k(5k−1)2解析：本题考查了以三角形数为载体的数列问题；由已知三角形数得到数列{a n}的通项公式，由题意得到新数列{b n}，从一般的发现规律，得到所求．解：(1)a n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，b1=4×52=a4，b2=5×62=a5，b3=9(2×5)2=a9，b4=(2×5)×112=a10，b5=14×(3×5)2=a14，b6=(3×5)×162=a15，…b2014=(20142×5)(20142×5+1)2=a5035．(2)由(1)知b2k−1=(2k−1+12×5−1)(2k−1+12×5)2=5k(5k−1)2．故答案为(1)5035；(2)5k(5k−1)2．15.答案：√312解析：设AD =x ，利用三角形角平分线的性质，可求AC =3x ，利用余弦定理可求x 的值，即可得解AC 的值，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，即可解得BE 的值．本题考查三角形角平分线的性质，考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，考查了数形结合思想和转化思想． 解：如图，设AD =x ，∵AB =2，BC =4，∠B 的平分线BD =√6，∴由ABBC =ADDC ，可得：24=xDC ，解得：DC =2x ，则AC =AD +DC =3x ， ∵∠ABD =∠DBC ，∴cos∠ABD =cos∠DBC ， ∴由余弦定理可得：AB 2+BD 2−AD 22AB⋅BD=BD 2+BC 2−DC 22BD⋅BC，即4+6−x 22×2×√6=16+6−(2x)22×4×√6，解得：x =1，AC =3，∵BE 是AC 边上的中线，∴32+(2BE)2=2(4+16)，解得：BE =√312．故答案为√312．16.答案：163π解析：解：∵圆锥的母线长为2，高为√3， ∴该圆锥的底面半径为r =√4−3=1， 由题意，圆锥轴截面的顶角为60°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O 的半径为R ， 由勾股定理可得R 2=(√3−R)2+12， 解得R =2√33， ∴球O 的表面积为4πR 2=4π×(2√33)2=163π．故答案为：163π．通过题意，求出圆锥的底面半径，求出底面周长，然后求出该圆锥的外接球的表面积．本题考查圆锥的外接球的表面积的求法，考查圆锥及其外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．17.答案：解：(1)由所给数据计算得：t −=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，y −=17×(3.4+3.8+4.1+4.9+5.3+5.7+6.4)=4.8，故∑(7i=1t i −t −)2=9+4+1+0+1+4+9=28，∑(7i=1t i −t −)(y i −y −)=14，故b ̂=∑(7i=1t i −t −)(y i −y −)∑(7i=1t i −t −)2=1428=0.5， â=y −−b ̂t −=4.8−0.5×4=2.8， 故所求的回归方程是：y ̂=0.5t +2.8； (2)由(1)知，b =0.5>0，故2012年至2018年该地区户均家庭教育投入逐年增加， 平均每年增加0.5千元，将2019年的年份代号t =8代入(1)中的方程得： ŷ=0.5×8+2.8=6.8， 故预测该地区2019年户均家庭教育投入为6.8千元．解析：本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值以及转化思想，是一道常规题． (1)根据所给数据及公式求出回归方程的参数，求出回归方程即可； (2)代入t 的值，预测2019年该地区户均家庭教育投入即可．18.答案：(1)证明：取PC 的中点为G ，连接DG ，FG ，∵四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是线段AD ，PB ，PC 的中点， 所以DE//BC 且DE =12BC ，FG//BC 且FG =12BC ，∴DE//FG且DE=FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF//DG，∵EF⊄平面DCP，DG⊂平面DCP，∴EF//平面DCP．(2)解：由(1)知，V F−DCP=V E−DCP=V P−CDE，∴V P−CDE=13×AP×12×DE×CD=13×1×12×12×1=112．解析：本题考查直线与平面平行的判断定理，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)取PC的中点为G，连接DG，FG，证明四边形DEFG为平行四边形，然后证明EF//平面DCP；(2)由题意知V F−DCP=V E−DCP=V P−CDE，然后求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a1a2a3=125．可得a2=5，又a3−a2=10，∴a3=15∴q=a3a2=3∴a1=a2q =53∴S n=53(1−3n)1−3=56(3n−1)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n=n(S n+56)=n[56(3n−1)+56]=56n⋅3n∴T n=56(1×3+2×32+⋯+n⋅3n)设A n=1×3+2×32+⋯+n⋅3n①3A n= 1×32+⋯+(n−1)⋅3n + n⋅3n+1②②−①得2A n=−3−32−33−⋯−3n+n⋅3n+1=−3−3n+11−3+n⋅3n+1∴A n=−12×3−3n+11−3+n2⋅3n+1=2n−14⋅3n+1+34∴T n =56A n =10n −58⋅3n +58解析：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3=125.可得a 2=5，又a 3−a 2=10，a 3=15求出首项与公比及前n 项和．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n =n(S n +56)=n[56(3n −1)+56]=56n ⋅3n 利用错位相减求出前n 项和． 本题考查数列通项公式及前n 项和的求法，求和的关键是先求通项，据通项特点选择合适的方法，属于一道中档题．20.答案：解：(1)由e =c a =12得a =2c ，所以b 2=3c 2，由点(1,32)在椭圆上得14c 2+943c 2=1，解得c =1，则b =√a 2−c 2=√3， 所求椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)当直线l 1的斜率不存在时，直线OM 平分线段PQ 成立，当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1方程为y =k(x −1)，联立方程得{y =k(x −1)x 24+y 23=1，消去y 得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 因为l 1过焦点，所以Δ>0恒成立，设P(x 1,y 1)，Q(x 1,y 1)，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3， y 1+y 2=k(x 1−1)+k(x 2−1)=k(x 1+x 2−2)=−6k4k 2+3，所以PQ 的中点坐标为(4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)直线l 2方程为y =−1k (x −1)，M(4,y M )，可得M(4,−3k )， 所以直线OM 方程为y =−34k x ，(4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)满足直线OM 方程，即OM 平分线段PQ ， 综上所述，直线OM 平分线段PQ ．解析：本题考查的是直线与椭圆的位置关系，椭圆的性质和几何意义，属于中档题． (1)由e =ca =12得a =2c ，所以b 2=3c 2，由点(1,32)在椭圆上得14c 2+943c 2=1解得c =1，椭圆方程即可求得．(2)当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1方程为y =k(x −1)，联立方程得{y =k(x −1)x 24+y 23=1，又l 1过焦点，所以Δ>0恒成立，PQ 的中点坐标为(4k 24k 2+3,−3k 4k 2+3)直线l 2方程为y =−1k (x −1)，M(4,y M )，可得M(4,−3k)，所以直线OM 方程为y =−34k x ，(4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)满足直线OM 方程，即OM 平分线段PQ ． 21.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，当−1<x <0或>3时，f′(x)>0，当0<x <1或1<x <3，f′(x)<0， 所以函数f(x)的增区间为(−1,0)，(3,+∞)，减区间为(0,1)，(1,3) (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，故0<x <1时，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=a+2−√a 2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2．若0<a <1，此时0<x 1<1，对0<x <x 1，有f′(x)>0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a >1，此时−1<x 1<0，对x 1<x <0，有f′(x)<0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a =1，由(Ⅰ)知，函数f(x)在x =0处取得最大值0，符合题意， 综上实数a 的取值为1．解析：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)， 求出f′(x)=1x+1−1(1−x)=x(x−3)(x−1)(x+1)，即可求单调区间； (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，分(1)a ≤0，(2)当a >0，讨论单调性及最值即可． 本题考查了导数的综合应用，属于难题，22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33， 由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：(Ⅰ) 证明：因为a >0，所以f(x)=|x +2a 2+1a|+|x −a|≥|x +2a +1a −x +a|=3a +1a≥2√3a ×1a=2√3，当且仅当3a =1a 即a =√33时取等号;(Ⅱ)解：当a =1时，f(x)≥5即|x +3|+|x −1|≥5， 当x ≥1时，有x +3+x −1≥5，解得x ≥32， 当−3<x <1时，有x +3−x +1≥5，无解，当x≤−3时，有−x−3−x+1≥5，解得x≤−72，综上，不等式的解集为{x|x≤−72或x≥32}．解析：本题考查绝对值不等式与基本不等式．(Ⅰ)由绝对值的三角不等式及基本不等式即可求解; (Ⅱ)零点分区间讨论求解即可．。
2020年宁夏高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年宁夏高考模拟考试 文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年宁夏高考数学(文科)模拟试卷(6)
① 若 m∥ n， m⊥ β，则 n⊥β；由两平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这 个平面，可得 ① 是真命题；
|????||????| （ 2）若过点 F（ 1，0）的直线 l 与 C1 交于 A，B 两点， 与 C2 交于 M ，N 两点， 求
|????||????| 的取值范围． 五．解答题（共 1 小题） 23．已知函数 f（ x）＝ |x+1|+2|x﹣ 1|． （ 1）求不等式 f（ x）＞ x+5 的解集． （ 2）若 |x1﹣ x2|＞ 1，求证： f（ x1+x2） +f（ 2x2）＞ 3．
，则 3x+2y 的最大值是（
）
3??+ ??- 4 ≤ 0
A ．0
B．2
C． 5
D．6
8．（ 5 分） 2011 年国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为国际数学节，来源于中
国古代数学家祖冲之的圆周率． 公元 263 年，中国数学家刘徽用 “割圆术” 计算圆周率，
3927
计算到圆内接 3072 边形的面积， 得到的圆周率是
D． 6 √2
→
则 (??-
→→
??) ?(??-
→
→→
??) = ?????-
→→
??? ??-
→→
?????+
→
??2
=
→→
2cos＜??，??＞ -
→→
4cos＜??，??＞ -
2cos ＜
→→
??，??＞ + 4≤ 12，
第 6页（共 18页）
→→
→→
→→
当且仅当 ??，??同向， ??，??，反向， ??， ??反向时，取得最大值．
2020届宁夏回族自治区银川一中高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,01,2U =--，，{}012A =，，，则U C A = A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1--C ．{}01,2，D ．{}1,22．已知复数z 满足13z i =-（其中i 为虚数单位），则zz= A ．132-+ B ．13i 22-- C ．1322i + D ．1322- 3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<4．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图 所示（单位：万元），下列说法中错误的是 （注：月结余=月收入一月支出） A ．上半年的平均月收入为45万元B ．月收入的方差大于月支出的方差C ．月收入的中位数为70D ．月结余的众数为305．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于 A ．2-B ．2C ．2D 26．平面向量a r与b r 的夹角为60︒，且3a =r，b r 为单位向量，则2a b +=r rA 3B 19C ．19D ．237．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：22214x y a +=的焦距为4，则C 的离心率A ．13B ．12C ．2D ．228．等比数列{a n }中，a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，则a 3•a 9等于 A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．39．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为A ．B ．C ．D ．10．已知a b ，是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且a α⊂，b β⊂，a ∥β，b ∥α，则“a 与b 为异面直线”是“α∥β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为 A ．227B ．4715C ．7825D ．531712．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为 ．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为______．15．过点(2,2)M 的直线l 与圆22280x y x +--=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_ _ 16．（本小题第一空2分，第二空3分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分 17．（12分）已知等比数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且116,a =328S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12log n n b a =，求数列{}nn b a +的前n 项和n T .18．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，PA =PC ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且CD =2AD =4AB =4. （1）求证：BD ⊥PC ；（2）过BD 作截面与线段PC 交于点H ，使得 AP ∥平面BDH ，试确定点H 的位置，并给出证明.19．（12分）已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示.花枝长度/L cm30L <3045L ≤<45L ≥鲜花等级三级二级一级某鲜切花加工企业分别从甲、乙两个种植基地购进鲜切花A ，现从两个种植基地购进的鲜切花A 中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自甲种植基地的鲜切花A 的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A 的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.三级花加工产品 二级花加工产品 一级花加工产品销售率 252389单价/(元/件)121620由于鲜切花A 加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A ？20．（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()0,1A x 在抛物线C 上，且3AF =.（1）求抛物线C 的方程及0x 的值；（2）设点O 为坐标原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率为34的直线l 交抛物线于()11,M x y ，()()2212,N x y x x <两点，点Q 为抛物线C 上异于M 、N 的一点，若OQ OM tON =+u u u r u u u u r u u u r，求实数t 的值.21．（12分）已知函数()()ln 1xf x x ae a R =-+∈.（1）当1a =时，讨论()f x 极值点的个数； （2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C，的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数)。
宁夏银川一中2020届高三数学第一次月考(文)
银川一中2020届高三年级第一次月考测试数 学 试 卷(文)姓名_________ 班级_________ 学号____ 2020.08 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U 是实数集R ，}034|{},22|{2<+-=>-<=x x x N x x x M 或，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2．函数)1(log 2)(2--=x x x f 的定义域是( )A. ),2(+∞B. )1,31(-C. )2,1(-D. )2,(--∞3．下函数x x f 1)(=（x>1）的值域是（ ）A.()()∞+∞-，，00 B. R C. ),1(+∞ D. )1,0( 4.列函数中，在其定义域是减函数的是( ) A. 1)(2++-=x x x f B.x x f 1)(=C. ||)31()(x x f = D. )2ln()(x x f -=5．设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于原点对称，且当x >0时，32)(-=xx f ，则=-)2(f ( )A ．1B ．-1C ．41D ．411-6．区间[a,b]上( )A ．f (x)>0且| f (x)|单调递减B ．f (x)>0且| f (x)|单调递增C ．f (x)<0且| f (x)|单调递减D ．f (x)<0且| f (x)|单调递增 7. 函数)1(log )(++=x a x f a x 在区间]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a =( )A ．41B ．21C ．2D ．48. 已知角θ的终边过点P(-4k,3k) 0≠k ,则θθcos sin 2+的值是（ ） A ．52 B ．52- C ．52或52-D ．随着k 的取值不同其值不同9．已知实数b a ,满足等式ba 32=，下列五个关系式：①;0ab <<②;0<<b a ③;0b a <<④;0<<a b ⑤.b a =其中可能成立的关系式有( )A ．①②③B ．①②⑤C ．①③⑤D ．③④⑤10．已知A=),(cos )cos(sin )sin(Z k k k ∈∂∂++∂∂+ππ则A 的值构成的集合是（ ）A. {}2211--，，，B. {}11-，C. {}22011--，，，，D. {}22-， 11．函数|log |)(3x x f =在区间a [，]b 上的值域为[0，1]，则a b -的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．31D ．112．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （x+2）=f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=2－x ，则f （－2020.5）的值为( )A ．0.5B ．－1.5C ．1.5D ．1 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.当0<x<1时，2212)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系是____________________14. 函数f(x)在()∞+∞-，上是奇函数，当(]0，∞-∈x 时)1()(-=x x x f ，则当()+∞∈,0x 时，f(x)= _____________________15. 已知f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞,0)上是减函数，则不等式f(x)≤f(3)的解集是_____________________16. 若tan θ=2，则2sin2θ－3sin θcos θ= 。
2020年银川市数学高考一模试卷(及答案)
（Ⅰ）若以大学生 M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动” 的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 M 的参与“微信运动”的 400 位 微信好友中，每天走路步数在 2000 8000 的人数； （Ⅱ）若在大学生 M 该天抽取的步数在 8000 10000 的微信好友中，按男女比例分层抽
17．已知直线 ： 轴交于 两点.则
与圆 _________.
交于 两点，过 分别作 的垂线与
x 2y 2 0
18．若
x
，
y
满足约束条件
x
y
1
0
，则 z 3x 2y 的最大值为_____________．
y 0
19．若函数 f (x) x2 x 1 a ln x 在 (0, ) 上单调递增，则实数 a 的最小值是
A．
B．
C．
D．
9．已知 2a 3b 6 ，则 a ， b 不可能满足的关系是（）
A． a b ab
B． a b 4
C． a 12 b 12 2
D． a2 b2 8
10．已知复数
，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应 的生产能耗 y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方
( Ⅰ ) 讨论函数 f x 的单调区间；
( Ⅱ ) 若函数 f x 在 x 1处取得极值，对 x 0, ， f x bx 2 恒成立，求实数
宁夏银川一中2020届高三数学上学期第一次月考试题文
银川一中2020届高三年级第一次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．cos2π8-sin 2π8= A ．21B ．23 C ．22D ．21-2．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数,且}2=+y x ,则N M 的元素个数为 A ．0B ．1C ．2D ．33．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于A B ．32 C D ．124．在平面直角坐标系中, ,,,是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在弧上,角α以Ox 为始边，则下列不等式成立的是A. α<α<αtan sin coSB. α<α<αcos sin tanC. α<α<αsin cos tanD. α<α<αtan sin cos 5．下列说法错误的是A ．“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件C ．“x ∀∈R ，2560x x -+≠”的否定是“0x ∃∈R ，200560x x -+=” D ．命题：“在锐角ABC △中， sin cos A B <”为真命题 6．若,2sin )(tan x x f = 则)1(-f 的值为A ．2sin -B ．1-C ．21D ．17．若函数)x (f 与=)x (g x) 21 (的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2-的单调递增区间是A. ]2 ,2(-B. ) ,0[∞+C. )2,0[ D. ]0 ,(-∞ 8．已知函数π3()cos()π)(0)22f x x x ωωω=-+<<的图象过点5π(,2)3， 则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象 A ．向右平移2π3个单位长度 B ．向左平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 9．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．12B ．13C ．14D ．1510．设曲线x m x f cos )(=(m>0)上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===围是 A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 ．14．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x +=+，则()2log 5f =__________．15．已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间⎪⎭⎫⎝⎛-4,3ππ内单调递增, 则ω的取值范围为 .16．在锐角三角形ABC 中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC 的最小值是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
宁夏回族自治区银川一中2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷( 银川一中第三次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}13|{},1|{2<=≤=x x B x x A ，则=)(B C A RA ．}0|{<x xB ．}10|{≤≤x xC ．}01|{<≤-x xD ．}1|{-≥x x 2．若复数z 与其共轭复数z 满足i z z 312+=-，则=||zA ．2B ．3C ．2D ．5 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为A ．2x+y=0B ．20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±=4．在区间(0,4]内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立’为真命题”的概率为A ．14 B ．12 C ．13 D ．345．若向量)2,1(+=x a 与)1,1(-=b 平行，则|2+|=a bA 2B 32C ．32D 26．F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．4B ．92 C ．72 D ．37．已知n m ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是 A ．若α⊥⊥m n m ,，则α//nB ．若αα⊄n m n m ,//,//，则α//nC ．若βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥D ．若βαα//,//m ，则β//m 或β⊂m8．已知函数y =f (x )的部分图像如图，则f (x )的解析式可能是A ．()tan f x x x =+B ．()2sin f x x x =+C ．()sin f x x x =-D ．1()cos 2f x x x =- 9．已知函数41()2x x f x -=，0.30.30.3(2),(0.2),(log 2)a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 10．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.已知i是虚数单位，复数z1=3−4i.若在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，则z1·z2=()A. −25B. 25C. −7D. 73.下列函数中与函数y=12|x|的奇偶性相同且在区间(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=1x B. C. y=√|x| D. y=1x24.已知|a⃗|=1，b⃗ =(0,2)，且a⃗·b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 夹角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π25.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员人数为()A. 12B. 10C. 8D. 66.如图所示为某几何体的三视图，正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，则几何体的体积为()A. 12B. 1 C. 32D. 37.已知sin(π3−α)=13，则sin(π6−2α)=()A. −79B. 79C. ±79D. −298.已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S7=21，则a4等于()A. 1B. 2C. 3D. 69.函数f(x)=x22x−2−x的大致图象为()A. B.C. D.10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若C=30°，b=3，△ABC的面积为3√34，则c=()A. 1B. 2C. √32D. √311.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B与两焦点F1、F2构成等边三角形，则此椭圆的离心率为()A. 15B. √34C. √33D. 1212.已知f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)，且f(5)=m，f(7)=n，即f(175)=()．A. 2mnB. m+2nC. m+nD. 2m+n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x≥0x+y−3≥0x−2y≤0，则z=x+2y的取值范围是______．14.函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y=12x+2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)+ f′(3)=______．15.双曲线Γ：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．16.如图所示在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−1，S3=2a3−1．(1)求{a n}的通项公式；)，求b1+b2+⋯+b n的最大值．(2)记b n=log√2(16S n+118.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π，D为AC中点，E为2BC上一点，且∠CDE=∠ABC．(1)求证：DE⊥平面BCC1B1；(2)若AA1=AC=2AB=2，求三棱锥D−BCB1的体积．19.2017年9月13日，国际奥委会在秘鲁首都利马举行的第131次全会上，最终确定巴黎为2024年夏季奥运会举办地、洛杉矶为2028年夏季奥运会举办地．一次会议决定两届奥运会的举办地是很少见的，原因是无国家申请举办2028年奥运会．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知抛物线C：x2=2y，过点A(0,1)且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N．(1)求四边形MPNQ面积的取值范围；(2)记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．21.已知函数f(x)=e x−ax−1．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(−2,3)上为减函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−m|+|x+1|(m∈R)的最小值为4．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈(0,+∞)，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：由题意可知z2=−3−4i，再利用复数的运算法则即可得出．解：由题意可知z2=−3−4i，所以z1z2=(3−4i)(−3−4i)=−16−9=−25．故选A．3.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．因为函数y=12|x|为偶函数，故排除A，再检验其他选项的单调性即可．解：函数f(x)=12|x|=f(−x)为偶函数，故排除A，y=cosx在区间(0,+∞)上有增有减，不符合题意，故排除B；y=√|x|在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；y=1x2在区间(0,+∞)上为减函数，不符合题意，故排除D．故选C．4.答案：C解析：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，由向量夹角的公式求解即可．解：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，，又夹角的范围为[0,π]，所以夹角为π3，故选C．5.答案：D解析：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解题的关键．设抽取的女运动员人数为x，根据在分层抽样中，在各部分抽取的比例相等求得x．解：设抽取的女运动员人数为x，∵在分层抽样中，抽取的比例相等，∴856=x42⇒x=6．故选：D．6.答案：B解析：解：∵正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，可得如图的四棱锥P−ABCD．平面ABCD⊥平面PCD，由正视图和俯视图可知AD=1，CD=2，P到面ABCD的距离为32．∴四棱锥P−ABCD.的体积为V=13×S ABCD×ℎ=13×1×2×32=1．故选：B．画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7.答案：A解析：解：∵sin(π3−α)=cos[π2−(π3−α)]=cos(π6+α)=13，∴sin(π6−2α)=cos[π2−(π6−2α)]=cos[2(π6+α)]=2cos2(π6+α)−1=2×19−1=−79．故选：A．由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查等差数列前n项和的性质.属于基础题．利用S7=7a4=21，即可求出结果．解：∵数列{a n}是等差数列，且S7=21，∴7a4=21，∴a4=3．故选C．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，由函数为奇函数排除B，D，又由f(2)=1615>1，排除C，即可求解．解：因为f(−x)=(−x)22−x−2x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B，D，又f(2)=44−14=1615>1，排除C．故选A．10.答案：D解析：解：在△ABC中，由题意可得：S=12absinC，∴3√34=12×3asin30°，解得a=√3．∴c2=a2+b2−2abcosC=3+9−6√3×√32=3，解得c=√3．故选：D．利用三角形面积计算公式可得a，再利用余弦定理即可得出c．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，求得|BF1|=a是关键，属于中档题．利用椭圆的性质知|F1F2|=2c，|BF1|=a，从而可求此椭圆的离心率．解：依题意，作图如下：∵|F1F2|=2c，|BE|=√OF12+OB2=√c2+b2=a，△BF1F2为等边三角形，|BF1|=|F1F2|=2c，a=2c，∴离心率e =c a =12． 故选：D ．12.答案：D解析：因为f(x)+f(y)=f(xy)，所以f(175)=f(25×7)=f(25)+f(7)=f(5×5)+f(7)=2f(5)+f(7)=2m +n ．13.答案：[4,+∞)解析：解：x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，表示的可行域如图：目标函数z =x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由{x +y −3=0x −2y =0解得C(2,1)， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4,+∞)． 故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．14.答案：4解析：本题主要考查导数的基本运算，根据导数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题． 根据导数的几何意义，即可得到结论．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y =12x +2， ∴f(3)=12×3+2=72，f ′(3)=12， 即f(3)+f ′(3)=72+12=4， 故答案为：4．15.答案：8解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义，由焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，从而得出结果．解：其中一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，因为焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，所以实轴长为2a=8，故答案为8．16.答案：√3+1解析：本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．运用余弦定理，表示出AC，进而用三角函数表示出S△BCD．解：在△ABC中，设∠ACB=α，∠ABC=β，由余弦定理得：AC2=12+22−2×1×2cosα=5−4cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2=5−4cosα，由正弦定理得：1sinβ=ACsinα，∴AC⋅sinβ=sinα，∴CD ⋅sinβ=sinα，∵(CD ⋅cosβ)2=CD 2(1−sin 2β)=CD 2−sin 2α=5−4cosα−sin 2α=(2−cosα)2， ∵β<∠BAC ，∴β为锐角，CD ⋅cosβ=2−cosα，∴S △BCD =12⋅2⋅CD ⋅sin(π3+β)=CD ⋅sin(π3+β) =√32CD ⋅cosβ+12CD ⋅sinβ=√32⋅(2−cosα)+12sinα=√3+sin(α−π3)，当α=5π6时，(S △BCD )max =√3+1．故答案为√3+1．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，所以a4a 3=2，所以q =2．又因为S 3=2a 3−1所以a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，所以a 1=1． 所以a n =2n−1． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，所以b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，所以{b n }是首项为6，公差为−2的等差数列， 所以b 1=6，b 2=4，b 3=2，b 4=0，当n >5时b n <0， 所以当n =3或n =4时，b 1+b 2+⋯+b n 的最大值为12．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，可得a4a 3=2=q ，由S 3=2a 3−1，可得a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，解得a 1.即可得出． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，可得b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴B 1B ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥DE ， ∵∠CDE =∠ABC ，∠DCE =∠BCA ， ∴△EDC∽△ABC ，∴∠DEC =∠BAC =π2，即DE ⊥BC ，又B1B∩BC=B，∴DE⊥平面BCC1B1；(2)S△BCD=S△ABC−S△ABD=12×1×2−12×1×1=12，∵B1B⊥平面ABC，∴B1B为三棱锥B1−BCD的高，∴由等体积可得三棱锥D−BCB1的体积=13×12×2=13．解析：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定是关键．(1)证明：B1B⊥DE，DE⊥BC，即可证明DE⊥平面BCC1B1；(2)利用等体积法，求三棱锥D−BCB1的体积．19.答案：解：(1)根据题意，填写列联表如下：(2)根据表中数据，计算K2=100×(20×10−10×60)280×20×30×70≈4.762>3.841；∴能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；(3)记抽取的5人分别为A、B、c、d、e，其中A、B为教师；从这5人中任意抽取3人，所以可能的基本事件是：ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10个；其中至多1位教师有7个基本事件，为Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde；故所求的概率值是P=710．解析：本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．20.答案：解：(1)由题意可知两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0．设l1：y=kx+1(k≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则l2：y=−1kx+1(k≠0)．联立直线l1与抛物线的方程，有{y=kx+1,x2=2y,⇒x2−2kx−2=0．其中Δ=4k2+8>0，由韦达定理，有{x1+x2=2k, x1x2=−2.由上可得|PQ|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)(8+4k2)，同理|MN|=√(1+1k )(8+4k)，则四边形MPNQ面积S=12|PQ||MN|=12√(2+k2+1k2)(80+32k2+32k2)．令k2+1k2=t≥2，则S=12√(2+t)(80+32t)=√8t2+36t+40．所以，当且仅当t=2，即k=±1时，S取得最小值12，且当t→+∞时，S→+∞．故四边形MPNQ面积的范围是[12,+∞)．(2)由(1)有x1+x2=2k，y1+y2=2k2+2，所以PQ的中点E的坐标为(k,k2+1)，同理点F的坐标为(−1k ,1k2+1)．于是，直线EF的斜率为k EF=k 2+1−(1k2+1)k+1k=k2−1k2k+1k=k−1k．则直线EF的方程为：y−(k2+1)=(k−1k )(x−k)⇒y=(k−1k)x+2．所以直线EF恒过定点(0,2)．解析：本题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．属于中档题．(1)设出直线l1，l2的方程，分别与抛物线联立，利用弦长公式求出|PQ|，|MN|的长度，写出四边形MPNQ的面积，利用换元法和二次函数的性质求出四边形MPNQ面积的取值范围；(2)由(1)分别求出点E和点F的坐标，写出直线EF的方程，判定出无论k取何值，直线EF恒过的定点．21.答案：解f′(x)=e x−a，(1)若a≤0，则f′(x)=e x−a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x−a≥0，∴e x≥a，x≥ln a．因此f(x)的递增区间是[lna,+∞)．(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立．又∵−2<x<3，∴e−2<e x<e3，只需a≥e3．当a=e3时f′(x)=e x−e3在x∈(−2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(−2,3)上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．解析：(1)先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a>0的情况，从而求出单调区间；(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．从而a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立，从而f(x)在(−2,3)上为减函数，得a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．22.答案：解：(1)对于C1：x+y=4cos2θ+4sin2θ=4，即x+y=4，x⩾0,y⩾0，对于C2：x2=t2+1t2+2，y2=t2+1t2−2，即有：x2−y2=4，(2)联立C1，C2，可得P点坐标为(52,32 )，设圆心为(a,0)a>0，则：a2=(52−a)2+94，即a=1710，则圆的直角坐标方程为：(x−1710)2+y2=(1710)2转换为极坐标方程为：ρ=175cosθ．解析：本题主要考查参数方程化为直角坐标方程以及圆的极坐标方程．23.答案：解：(1)f(x)=|x −m|+|x +1|≥|(x −m)−(x +1)|=|m +1|，所以|m +1|=4，解得m =−5或m =3． (2)由题意，a +2b +3c =3．于是1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c ) =13(3+2b a +a 2b +3c a+a 3c +3c 2b +2b 3c )≥13(3+2√2b a ⋅a 2b +2√3c a ⋅a 3c +2√3c 2b ⋅2b3c )=3，当且仅当a =2b =3c 时等号成立，即a =1，b =12，c =13时等号成立， 故1a +12b +13c ≥3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题． (1)根据绝对值不等式的性质得到关于m 的方程，解出即可； (2)求出a +2b +3c =3，根据基本不等式的性质证明即可．。
【精校】2020年宁夏银川一中高考一模数学文
2020年宁夏银川一中高考一模数学文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-1，1，3}，B={1，a 2-2a}，B ⊂A ，则实数a 的不同取值个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5解析：∵B ⊂A ，∴a 2-2a=-1或a 2-2a=3.①由a 2-2a=-1得a 2-2a+1=0，解得a=1. 当a=1时，B={1，-1}，满足B ⊂A.②由a 2-2a=3得a 2-2a-3=0，解得a=-1或3， 当a=-1时，B={1，3}，满足B ⊂A ， 当a=3时，B={1，3}，满足B ⊂A. 综上，若B ⊂A ，则a=±1或a=3. 答案：B2.已知z 是纯虚数，21+-z i是实数，那么z 等于( ) A.2i B.i C.-i D.-2i解析：由题意得z=ai.(a ∈R 且a ≠0). ∴()()()()()212221112++-+++==--+z i a a iz i i i ， 则a+2=0，∴a=-2.有z=-2i. 答案：D3.已知函数()2log 0()()30⎧=⎨≤⎩＞x x x f x x ，则14⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f 的值是( ) A.9B.19C.19-D.-9 解析：因为14＞0，所以()()22221log 22311log 449--⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝===-=⎭⎣⎦=f f f f f .答案：B4.已知x 、y 满足约束条件1000+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩x y x y x 则 z=x+2y 的最大值为( )A.-2B.-1C.1D.2解析：作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论. 作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y 得1122=-+y x z ， 平移直线1122=-+y x z 由图象可知当直线1122=-+y x z 经过点A 时，直线1122=-+y x z 的截距最大，此时z 最大， 由010=⎧⎨+-=⎩x x y ，即01=⎧⎨=⎩x y ，即A(0，1)，此时z=0+2=2. 答案：D5.已知直线ax+by+c=0与圆O ：x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，且则u uuu r ur g OB OA 的值是( )A.12- B.12 C.34-D.0解析：取AB 的中点C ，连接OC ，AC=2，OA=1，∴sin s 122in ∠=∠==⎛⎫⎪⎝⎭AC AOB AOC OA ， ∴∠AOB=120°，则1121120=⨯⨯︒=-uu u u u r r g OA cos OB .答案：A6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.96π-1)π-1)π解析：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为，∴几何体的平面部分面积为6×42-π×22=96-4π，圆锥的侧面积为π×2×π，∴几何体的表面积为96-4ππ.答案：C7.已知角φ的终边经过点P(-4，3)，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则f(4π)的值为( ) A.35 B.45 C.35-D.45-解析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得cos φ和sin φ的值，再根据周期性求得ω的值，再利用诱导公式求得f(4π)的值. 由于角φ的终边经过点P(-4，3)，可得cos φ=45-，sin φ=35. 再根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π， 可得周期为2222ππ=⨯，求得ω=2， ∴f(x)=sin(2x+φ)， ∴4sin cos 425ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f . 答案：D8.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A.求数列{1n}的前10项和(n∈N*)B.求数列{12n}的前10项和(n∈N*)C.求数列{1n}的前11项和(n∈N*)D.求数列{12n}的前11项和(n∈N*)解析：经过分析本题为考查程序框图当型循环结构，按照循环体的特点先判断出数列，然后根据判断框的语句判断出计算的项数.根据题意，s=s+1n，n=n+2∴数列为{12n}又∵K≤10∴计算的是求数列{12n}的前10项和(n∈N*).答案：B9.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( )A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日解析：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日. 答案：C10.设函数f(x)=ln(1+|x|)-211+x ，则使得f(x)＞f(2x-1)成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞，13)∪(1，+∞) B.(13，1) C.(13-，13)D.(-∞，13-，)∪(13，+∞)解析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论.∵函数f(x)=ln(1+|x|)-211+x 为偶函数， 且在x ≥0时，f(x)=ln(1+x)-211+x ， 导数为f ′(x)()2120112+++＞x x x ， 即有函数f(x)在[0，+∞)单调递增，∴f(x)＞f(2x-1)等价为f(|x|)＞f(|2x-1|)， 即|x|＞|2x-1|，平方得3x 2-4x+1＜0， 解得：13＜x ＜1， 所求x 的取值范围是(13，1). 答案：B11.设F 1，F 2是双曲线22221-=x y a b(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220+=uu u r uuu r u g uu rOP OF F P (O 为坐标原点)，且|PF 12|，则双曲线的离心率为( )A.12C.12解析：取PF 2的中点A ，则22+=uu u r uuu r uu rOP OF OA ， ∵()220+=uu u r uuu r u g uu rOP OF F P ，∴220=u r g u uuu rOA F P ， ∴2⊥uu r uuu r OA F P ，∵O 是F 1F 2的中点 ∴OA ∥PF 1， ∴PF 1⊥PF 2，∵|PF 1|PF 2|，∴2a=|PF 1|-|PF 2-1)|PF 2|， ∵|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， ∴c=|PF 2|，∴1===c e a . 答案：D12.若函数f(x)=x 3-3x 在(a ，6-a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.(1)B.[1)C.[-2，1)D.(-2，1)解析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f(x)在区间(a ，6-a 2)上有最小值，所以f ′(x)先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a ＜1＜5-a 2，进而求出正确的答案.由题意可得：函数f(x)=x 3-3x ，所以f ′(x)=3x 2-3.令f ′(x)=3x 2-3=0可得，x=±1，因为函数f(x)在区间(a ，6-a 2)上有最小值，其最小值为f(1)，所以函数f(x)在区间(a ，6-a 2)内先减再增，即f ′(x)先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a ＜1＜6-a 2，且f(a)=a 3-3a ≥f(1)=-2，且6-a 2-a ＞0， 联立解得：-2≤a ＜1.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y=x 2+1x在点(1，2)处的切线方程为 . 解析：求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可. 曲线y=x 2+1x ，可得y ′=2x-21x， 切线的斜率为：k=2-1=1.切线方程为：y-2=x-1，即：x-y+1=0. 答案：x-y+1=014.已知P 是△ABC 所在平面内一点，20++=uu r uu u r uu rPB PC PA ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 .解析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点.再根据几何概型公式，将△PBC 的面积与△ABC 的面积相除可得本题的答案.以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则+=uu r uu u r uu u rPB PC PD ， ∵20++=uu r uu u r uu rPB PC PA ，∴2+=-uu r uu u r uu r PB PC PA ，得：2=-uu u r uu r PD PA ，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， 点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12， ∴S △PBC =12S △ABC . 将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为12==V V PBC ABC S P S . 答案：1215.对于数列{a n }，定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n+1-a n =2n ，则数列{a n }的前n 项和S n = . 解析：∵a n+1-a n =2n ，∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2n-1+2n-2+2n-3+…+2+1=1212--n =2n-1，∴数列{a n }的前n 项和：S n =(2+22+ (2))-n =()21212---n n=2n+1-n-2.答案：2n+1-n-216.已知抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF的值等于 .解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12=2px 1，y 22=2px 2，1228sin 23θ=++==p AB x x p p ，即有1253+=x x p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l的方程为：20⎫-=-⎪⎭p y x ，即2=-y p ，联立抛物线方程， 消去y 并整理，得 12x 2-20px+3p 2=0，则2124=p x x ，可得132=x p ，216=x p ，则312211236+==+p p AF BF p p.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分.第17~21题为必考题，每小题12分，共60分；第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x ∈R ，(其中A ＞0，ω＞0，22ππϕ-＜＜)，其部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式.解析：(1)根据图象，可得函数的最小正周期T=8，结合周期公式得ω=4π.再根据f(1)=1是函数的最大值，列式可解出φ的值，得到函数f(x)的解析式. 答案：(1)由图可知，最小正周期T=(3-1)×4=8，所以24ππω==T . 又∵当x=1时，f(x)有最大值为1，∴f(1)=sin(4π+φ)=1，得242ππϕπ+=+k ，∴取k=0，得φ=4π.所以函数的解析式为()sin 44ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x .(2)已知横坐标分别为-1、1、5的三点M 、N 、P 都在函数f(x)的图象上，求sin ∠MNP 的值. 解析：(2)由(1)的解析式，得出M 、N 、P 三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN 、PN 、PM 的长，用余弦定理算出cos ∠MNP 的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sin ∠MNP 的值.答案：(2)∵f(-1)=0，f(1)=1且()5sin 5144ππ⎛⎫=⨯+=-⎪⎝⎭f .∴三点坐标分别为M(-1，0)，N(1，1)，P(5，-1)，由两点的距离公式，得， ∴根据余弦定理，得3cos5∠==-MNP .∵∠MNP ∈(0，π)∴sin ∠MNP 是正数，得4sin 5∠==MNP .18.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，M 为AB 的中点，△PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD.(1)证明：PM⊥BC.解析：(1)取AD中点O，连接PO，OM，DM，证明BC⊥平面POM，可得PM⊥BC. 答案：(1)证明：取AD中点O，连接PO，OM，DM，由已知得PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC，∵∠DAB=60°，AB=2AD，∴△ADM是正三角形，∴OM⊥AD，OM∥BD，OM=12 BD，∴OM⊥BC∵PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，∴PM⊥BC.(2)若PD=1，求点D到平面PAB的距离.解析：(2)若PD=1，利用V P-ABD=V D-PAB，可求点D到平面PAB的距离. 答案：(2)∵PD=1，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=2，∴△ABD是直角三角形，BD⊥AD，∴∵PO=2，∴1134 -==VgP ABO ABDV S PO，设点D到平面P取AB的距离为h，由BD⊥AD，BD⊥PO，∴BD⊥平面ABD，∴BD ⊥PD ，∴△PBD 是直角三角形， ∴PB=2，在△PBD 中，PA=1，AB=PB=2， ∴△PBD 是等腰三角形，∴S △PAB =4， ∴由V P-ABD =V D-PAB ，可得41134gh ，∴h=5，∴点D 到平面PAB .19.为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入(单位：百元，范围：[15，75])的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：(1)求月收入在[35，45)内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标. 解析：(1)根据频率的定义，以及频率直方图的画法，补全即可.答案：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3(2)根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入.解析：(2)根据平均数的定义，求出平均数，并用样本估计总体即可.答案：(2)20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43(百元)即这50人的平均月收入估计为4300元.(3)若从月收入(单位：百元)在[65，75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率.解析：(3)根据古典概型概率公式，分别列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，计算即可.答案：(3)[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成.记赞成的人为a，b，不赞成的人为x，y，z任取2人的情况分别是：ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz共10种情况.其中2人都不赞成的是：xy，yz，xz共3种情况.∴2人都不赞成的概率是P=3 10.20.已知椭圆22221+=x y a b(a ＞b ＞0)的离心率e=2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程.解析：(1)由离心率求得a 和c 的关系，进而根据c2=a2-b2求得a 和b 的关系，进而根据12×2a ×2b=4求得a 和b ，则椭圆的方程可得. 答案：(1)由32==c e a ，得3a 2=4c 2. 再由c 2=a 2-b 2，解得a=2b. 由题意可知12×2a ×2b=4，即ab=2. 解方程组22=⎧⎨=⎩a b ab ，得21=⎧⎨=⎩a b .所以椭圆的方程为2214+=x y .(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(-a ，0)，点Q(0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且4=uu u rguu r OB OA ，求y 0的值. 解析：(2)由(1)可求得A 点的坐标，设出点B 的坐标和直线l 的斜率，表示出直线l 的方程与椭圆方程联立，消去y ，由韦达定理求得点B 的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k ，则直线的斜率可得.设线段AB 的中点为M ，当k=0时点B 的坐标是(2，0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，进而根据4=uu u rguu r OB OA 求得y 0；当k ≠0时，可表示出线段AB 的垂直平分线方程，令x=0得到y 0的表达式根据4=uu u rguu r OB OA 求得y 0；综合答案可得.答案：(2)由(Ⅰ)可知点A 的坐标是(-2，0). 设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).于是A 、B 两点的坐标满足方程组()22214⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y k x x y ，消去y 并整理，得(1+4k 2)x 2+16k 2x+(16k 2-4)=0，由212164214--=+k x k ，得2122814-=+k x k ，从而12414=+ky k ，所以2222228421414⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-=--+=+⎝⎭+k k AB k k 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(22814-+k k ，2214+kk). 以下分两种情况：①当k=0时，点B 的坐标是(2，0)， 线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是uu r QA =(-2，-y 0)，uu u rQB =(2，-y 0).由4=uu u rguu r OB OA ，得y 0=±. ②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414-=-+++⎛⎫⎪⎝⎭k k y x k k k . 令x=0，解得y 0=2614-+kk. 由uu r QA =(-2，-y 0)，uu u rQB =(x 1，y 1-y 0)，得()()210102222228646214141414--=---=++++⎛⎫ +⎪+⎝⎭uu r uu u r g k k k k QA QB x y y y k k k k ()()4222416151414+-==+k k k ，整理得7k 2=2，故k=7±， 所以y 0=综上，y 0=±或y 0=5±.21.已知函数f(x)=ax 3-x 2+bx(a ，b ∈R ，f ′(x)为其导函数，且x=3时f(x)有极小值-9.(1)求f(x)的单调递减区间.解析：(1)先求出函数的导数，得到方程组，求出a ，b ，从而求出函数表达式，进而求出函数的单调区间.答案：(1)由f ′(x)=3ax 2-2x+b ，因为函数在x=3时有极小值-9，所以276027939-+=⎧⎨-+=-⎩a b a b ，从而得133=-⎧=⎪⎨⎪⎩b a ，所求的f(x)=13x 3-x 2-3x ，所以f ′(x)=x 2-2x-3， 由f ′(x)＜0解得-1＜x ＜3，所以f(x)的单调递减区间为(-1，3).(2)若不等式f ′(x)＞k(xlnx-1)-6x-4(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据：ln7≈1.95，ln8≈2.08) 解析：(2)将问题转化为x+1+k x +4-klnx ＞0，记g(x)=x+1+k x+4-klnx ，通过求导得到函数的单调性，从而有g(x)≥g(k+1)=k+6-kln(k+1)，问题转化为k+6-kln(k+1)＞0，记h(x)=1+6x-ln(x+1)，通过求导得到函数h(x)的单调性，从而得到k 的最大值. 答案：(2)因为f ′(x)=x 2-2x-3，所以f ′(x)＞k(xlnx-1)-6x-4等价于 x 2+4x+1＞k(xlnx-1)，即x+1+k x+4-klnx ＞0， 记g(x)=x+1+k x+4-klnx ， 则g ′(x)=()()211+--x x k x ，由g ′(x)=0，得x=k+1，所以g(x)在(0，k+1)上单调递减，在(k+1，+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(k+1)=k+6-kln(k+1)， g(x)＞0对任意正实数x 恒成立， 等价于k+6-kln(k+1)＞0，即1+6k-ln(k+1)＞0， 记h(x)=1+6x -ln(x+1)， 则h ′(x)=2611--+x x ＜0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递减，又h(6)=2-ln7＞0，h(7)=137-ln8＜0，所以k 的最大值为6.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos 2sin αα=+⎧⎨=⎩x y (α为参数)，曲线C 2的参数方程为2cos 22sin ββ=⎧⎨=+⎩x y (β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程.解析：(1)曲线C 1的参数方程为22cos 2sin αα=+⎧⎨=⎩x y (α为参数)，利用平方关系消去参数可得曲线C 1的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线C 1极坐标方程.曲线C 2的参数方程为2cos 22sin ββ=⎧⎨=+⎩x y (β为参数)，消去参数可得：曲线C 2的普通方程，利用互化公式可得C 2极坐标方程.答案：(1)曲线C 1的参数方程为22cos 2sin αα=+⎧⎨=⎩x y (α为参数)，利用平方关系消去参数可得：曲线C 1的普通方程为(x-2)2+y 2=4，展开可得：x 2+y 2-4x=0，利用互化公式可得：ρ2-4ρcos θ=0， ∴C 1极坐标方程为ρ=4cos θ. 曲线C 2的参数方程为2cos 22sin ββ=⎧⎨=+⎩x y (β为参数)，消去参数可得：曲线C 2的普通方程为x 2+(y-2)2=4， 展开利用互化公式可得C 2极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)已知射线l 1：θ=α(0＜α＜2π)，将射线l 1顺时针旋转6π得到射线l 2；θ=α-6π，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的最大值. 解析：(2)设点P 极点坐标(ρ1，4cos α)，即ρ1=4cos α.点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α-6π))，即ρ2=4sin(α-6π).代入|OP|·|OQ|，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出. 答案：(2)设点P 极点坐标(ρ1，4cos α)，即ρ1=4cos α. 点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α-6π))，即ρ2=4sin(α-6π).则1214cos 4sin 16cos cos 622πρρααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-⎝⎭⎝-⎪=⎭g g g OP OQ 8sin 246πα⎛⎫ -⎪⎝⎭=-.∵α∈(0，2π)，∴2α-6π∈(6π-，56π)，当262ππα-=，即α=3π时，|OP|·|OQ|取最大值4.选修4-5：不等式选讲.23.设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M ，且a ，b ∈M. (1)证明：111364+＜a b . 解析：(1)由绝对值不等式的解法，运用绝对值的意义，可得1122-＜＜x ，则|a|＜12，|b|＜12，再由绝对值不等式的性质，即可得证. 答案：(1)证明：-2＜|x-1|-|x+2|＜0，可得|x-1|＜|x+2|，即有x 2-2x+1＜x 2+4x+4， 解得x ＞12-， 则x+2＞0，可得-2＜|x-1|-(x+2)，即有x ＜|x-1|，可得x-1＞x 或x-1＜-x ， 解得1122-＜＜x ， 则|a|＜12，|b|＜12， 1111111136363624⎛⎫+≤++⨯= ⎪⎝⎭＜a b a b .(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由.解析：(2)运用作差法，可得：|1-4ab|2-4|a-b|2，由平方差公式，分解因式，结合a ，b 的范围，即可得到所求大小关系. 答案：(2)|1-4ab|＞2|a-b|.理由：|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-4ab-2a+2b)(1-4ab+2a-2b) =(1-2a)(1+2b)(1+2a)(1-2b)=(1-4a 2)(1-4b 2)， 由|a|＜12，|b|＜12，可得 4a 2＜1，4b 2＜1， 则(1-4a 2)(1-4b 2)＞0， 可得|1-4ab|＞2|a-b|.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
宁夏银川一中2020届高三上学期第一次月考数学(文)试卷
银川一中2020届高三年级第一次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．cos 2π8-sin 2π8=A ．21B ．23 C ．22D ．21-2．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为 A ．0B ．1C ．2D ．33．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于A B ．32 C ．2D ．124．在平面直角坐标系中,,,,是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在弧上,角α以Ox 为始边，则下列不等式成立的是 A. α<α<αtan sin coS B. α<α<αcos sin tan C. α<α<αsin cos tan D. α<α<αtan sin cos 5．下列说法错误的是A ．“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件C ．“x ∀∈R ，2560x x -+≠”的否定是“0x ∃∈R ，200560x x -+=” D ．命题：“在锐角ABC △中， sin cos A B <”为真命题6．若,2sin )(tan x x f = 则)1(-f 的值为A ．2sin -B ．1-C ．21D ．1 7．若函数)x (f 与=)x (g x) 21 (的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2-的单调递增区间是A. ]2 ,2(-B. ) ,0[∞+C. )2,0[ D. ]0 ,(-∞8．已知函数π3()cos()π)(0)22f x x x ωωω=-++<<的图象过点5π(,2)3， 则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象 A ．向右平移2π3个单位长度 B ．向左平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 9．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．12B ．13C ．14D ．1510．设曲线x m x f cos )(=(m>0)上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为A ．B ．C ．D ．11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 ．14．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x +=+，则()2log 5f =__________．15．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x ∈R,若函数f(x)在区间⎪⎭⎫⎝⎛-4,3ππ内单调递增, 则ω的取值范围为 .16．在锐角三角形ABC 中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC 的最小值是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题 文
宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,1,3,1,2A B a a =-=-，且B A ⊆，则实数a 的不同取值个数为A ．2B ．3C ．4D ．52．已知z 是纯虚数,21iz +-是实数,那么z 等于 A ．-2iB ．2iC ．-iD ．i3．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值是 A ．9B ．－9C ．91D ．－91 4．已知x 、y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则⋅的值是A ．12- B ．12 C ．34-D ．06．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．96 B ．80＋42πC ．96＋4(2－1)πD ．96＋4(22－1)π7．已知角φ的终边经过点P(－4，3)，函数()sin()f x x ωφ=+(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为 A ．35 B ．45 C ．－35 D ．－458．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求数列}1{n的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈ C ．求数列}1{n的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈ 9．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ．2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日 D ．2日和11日 10．设函数,11)1ln()(2x x x f +-+=则使得)12()(->x f x f 成立的x 的范围是 A ．)1,31( B ．),1()31,(+∞-∞Y C ．)31,31(- D ．),31()31,(+∞--∞Y11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为 A ．2＋12 B ．2＋1 C ．3＋12 D ．3＋1 12．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2]yxO -1654321-1-21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．曲线xx y 12+=在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．已知P 是△ABC 所在平面内一点且PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 .15．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.16．已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则||||BF AF 的值等于__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω(其中 )22,0,0πϕπω<<->>A ),其部分图像如图所示.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M 、N 、P 都在函数f (x )的图像上，求sin ∠MNP 的值.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB =60°，AB =2AD ，M 为AB 的中点，△PAD 为等边三 角形，且平面PAD ⊥平ABCD .(1)证明：PM ⊥BC ；(2)若PD =1，求点D 到平面PAB 的距离. 19．（本小题满分12分）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15,75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：(1)求月收入在[35,45)内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标； (2)根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；(3)若从月收入（单位：百元）在[65,75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率．20．(本小题满分12分)已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的离心率2e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程.(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求0y 的值. 21．(本小题满分12分)已知函数)('),,()(23x f R b a bx x ax x f ∈+-=为其导函数，且3=x 时)(x f 有极小值9-. (1)求)(x f 的单调递减区间；(2)若不等式k x x x k x f (46)1ln ()('--->为正整数)对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据：ln 7≈1.95，ln 8≈2.08)请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)已知射线l 1：θ＝α(0<α<π2)，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式0|2||1|2<+--<-x x 的解集为M ，且M b a ∈, （1）证明：416131<+b a ； （2）比较|41|ab -与||2b a -的大小，并说明理由.银川一中2020届高三第一次模拟文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二．填空题：13. x-y+1=0-1； 14. 12; 15. 221--+n n ; 16. 3 三．解答题：17、解:(1)由图可知,1A =, 1分 最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===2分 又π(1)sin()14f ϕ=+=,且ππ22ϕ-<<，所以ππ3π444ϕ-<+<,πππ,.424ϕϕ+== 4分 所以π()sin(1)4f x x =+ 5分 (2)解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-,所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --, 8分 MN MP ==, 10分从而3cos 5MNP ∠==-, 11分由[]0,πMNP ∠∈,得4sin 5MNP ∠== 12分 解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-, 所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --, 8分(2,1),(4,2)NM NP =--=-u u u u r u u u r ,6NM NP ⋅=-u u u u r u u u r,NM ==u u u u r , 10分则3cos 5NM NP MNP NM NP⋅∠===-⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r 11分由[]0,πMNP ∠∈,得4sin 5MNP ∠==(12分)19.解：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3………………………2分………………………4分⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）…5分（2）200.1300.2400.3500.2600.1700.143即这50人的平均月收入估计为4300元。
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2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|40}A x x =-<，{|326}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12(z z =)A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2()f x x =B ．||()2x f x =C ．21()||f x log x = D ．()sin f x x =4．（5分）已知向量a r ，b r ，其中|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．2π D ．3π 5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁50-岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为( )A ．24B ．16C ．8D ．126．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A ．1003B ．1043C ．27D ．187．（5分）已知2sin()34πα+=，则sin 2(α= )A ．12B ．3 C ．12-D ．3-8．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．459．（5分）函数3||3()44x x f x =-的大数图象为( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，23,3c C π==，则(ABC S ∆= ) A 3B 3C 3D ．3411．（5分）已知椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的两焦点分别是1F，2F，过1F的直线交椭圆于P，Q两点，若212||||PF F F=，且112||3||PF QF=，则椭圆的离心率为() A．35B．45C．34D．32512．（5分）已知定义在R上的函数满足(2)()f x f x+=-，(0x∈，2]时，()sinf x x xπ=-，则20201()(if i==∑)A．6B．4C．2D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x，y满足约束条件2102702350x yx yx y--⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…，则23z x y=-的最小值为．14．（5分）如图，()y f x=是可导函数，直线:2l y kx=+是曲线()y f x=在3x=处的切线，令()()g x xf x=，其中()g x'是()g x的导函数，则g'（3）=．15．（5分）已知双曲线的方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5(c c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．16．（5分）如图所示，某住宅小区内有一正方形草地ABCD，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．18．（12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．19．（12分）某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：)mg 进行统计．规定：植株吸收在6mg （包括6)mg 以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株． 编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量()mg683895662775 10 6788469（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率． 参考数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++20．（12分）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N ．设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值． 21．（12分）设函数()xf x ax lnx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|40}A x x =-<，{|326}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-【解答】解：Q 3{|22},{|3}2A x xB x x =-<<=-<<，∴3(,2)2A B =-I ．故选：A ．2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12(z z =)A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -【解答】解：由题意可知22z i =-+， 所以12(2)(2)415z z i i =+-+=--=-． 故选：A ．3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2()f x x =B ．||()2x f x =C ．21()||f x log x = D ．()sin f x x =【解答】解：2()f x x =，||()2x f x =在(,0)-∞单调递减； 21()||f x log x =是偶函数，且0x <时，21()()f x log x=-是复合函数，在(,0)-∞上单调递增，所以C 正确；()sin f x x =在定义域R 上是奇函数．故选：C ．4．（5分）已知向量a r ，b r ，其中|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．2π D ．3π【解答】解：由|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r，所以()0a b a -=r r rg ，即20a b a -=r r r g ， 所以22a b a ==r r r g ，所以cos ||||a b a b θ===⨯rr g r r又[0θ∈，]π， 所以4πθ=，即a r 与b r 的夹角是4π．故选：B ．5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁50-岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为( )A ．24B ．16C ．8D ．12【解答】解：由题意20~50岁内女性有20000.19380⨯=（人)，即380X =， 所以50岁以上女性有2000373380377370250250Y =-----=（人)， 用分层抽样法在全区抽取64名居民，应在50岁以上抽取的女居民人数为2506482000⨯=（人)．故选：C ．6．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A ．1003B ．1043C ．27D ．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2， 该刍薨的体积为1104(436436)233V =++⨯⨯=，故选：B ．7．（5分）已知2sin()34πα+=，则sin 2(α= ) A ．12B ．3 C ．12-D ．3-【解答】解：由2sin()34πα+=，得3sin()4πα+=，231sin 2cos(2)[12()][12]2442sin ππααα∴=-+=--+=--⨯=．故选：A ．8．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．45【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等差数列， 则19595()92994522a a a S a +⨯⨯====， 故选：D ．9．（5分）函数3||3()44x x f x =-的大数图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意，可知：x R ∈，33||||3()3()()4444x x x x f x f x ---==-=---，∴函数()f x 为奇函数，故排除C 、D 选项；又1213138()021644f ==-<-g Q ．故只有A 选项的图象正确． 故选：A ．10．（5分）在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，23,3c C π==，则(ABC S ∆= ) A 3B 3 C 3 D ．34【解答】解：由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab +-=，即211322a a +--=，解可得1a =，则1133sin 1122ABC S ab C ∆==⨯⨯=故选：B ．11．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且112||3||PF QF =，则椭圆的离心率为( )A ．35B ．45C ．34D 【解答】解：由题意作图如右图， 1l ，2l 是椭圆的准线，设点0(Q x ，0)y ， 112||3||PF QF =Q ，∴点053(22P c x --，03)2y -； 又1||||c PF MP a =Q ，1||||cQF QA a=， 2||3||MP QA ∴=，又2053||22a MP c x c =--+Q ，20||a QA x c =+，2200533()2()22a a x c x c c ∴+=--+，解得，22056c a x c +=-，212||||PF F F =Q ，2053()222a cc x c c a ∴++=； 将22056c a x c+=-代入化简可得，223580a c ac +-=，即25()830c ca a-+=；解得，1ca=（舍去）或35c a =；故选：A ．12．（5分）已知定义在R 上的函数满足(2)()f x f x +=-，(0x ∈，2]时，()sin f x x x π=-，则20201()(i f i ==∑ )A ．6B ．4C ．2D ．0【解答】解：因为(0x ∈，2]时，()sin f x x x π=-，所以f （1）1sin 1π=-=，f （2）2sin22π=-=，因为(2)()f x f x +=-，所以(0)f f =-（2）2=-，(1)f f -=-（1）1=-， 所以(1)(0)f f f -++（1）f +（2）0=．因为(2)()f x f x +=-，将x 换为2x +，则(4)(2)f x f x +=-+，所以()(4)f x f x =+，即函数的周期为4，所以20201()505[(1)(0)i f i f f f ==⨯-++∑（1）f +（2）]0=．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…，则23z x y =-的最小值为 5- ．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…的可行域，当直线23z x y =-经过点(2,3)A 时，22335min z =⨯-⨯=-． 故答案为：5-．14．（5分）如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，其中()g x '是()g x 的导函数，则g '（3）= 0 ．【解答】解：Q 直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，f ∴（3）1=，又点(3,1)在直线l 上， 321k ∴+=，从而13k =-，f ∴'（3）13k ==-，()()g x xf x =Q ， ()()()g x f x xf x ∴'=+'则g '（3）f =（3）3f +'（3）113()03=+⨯-=故答案为：0．15．（5分）已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5(c c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为 32． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=，焦点坐标为(,0)c ±，其中22c a b =+∴一个焦点到一条渐近线的距离为225d c a b ==+，即5b c =， 因此，2223a c b c =-=，由此可得双曲线的离心率为32c e a ==故答案为：3216．（5分）如图所示，某住宅小区内有一正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ= arctan(23)- ．【解答】解：设CG x =，()FC y x y =<，则22FG x y =+，BC x y =+．Q 花坛面积为正方形草地面积的23， ∴2222()3x y x y +=+，即2240x y xy +-=． 24()10x x y y∴-+=． 解得23x y =或23xy=+（舍)． arctan(23)θ∴=-．故答案为arctan(23)．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得：1326a a a +=+ 所以28886q q +=+，即24410q q -+= 则12q =． 所以1418()22n n n a --=⨯=．（2）(7)321(4)21222n n n n n T a a a -+++⋯+-=⋯==，当3n =或4时，n T 取得最大值，且()64n max T =．18．（12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥Q 底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，1AD B B ∴⊥．1BC B B B =Q I ，AD ∴⊥平面11B BCC ．1B F ⊂Q 平面11B BCC ，1AD B F ∴⊥．-------------（3分）在矩形11B BCC 中，11C F CD ==Q ，112B C CF ==，Rt DCF Rt ∴∆≅△11FC B ．11CFD C B F ∴∠=∠．190B FD ∴∠=︒，1B F FD ∴⊥．AD FD D =Q I ，1B F ∴⊥平面ADF ．-------------（6分）（2）解：AD ⊥Q 面1B DF，AD =又1B D =，1CD =，-------------（8分） 1FD B D ⊥Q ，Rt CDF Rt ∴∆∽△1BB D ，∴11DF CDB D BB =．∴13DF ==-------------（10分）∴11111332B ADF B DF V S AD -==⨯V g ．-------------（12分） 19．（12分）某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：)mg 进行统计．规定：植株吸收在6mg （包括6)mg 以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率． 参考数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++ 【解答】解：（1）由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株； “吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株， 填写列联表如下：4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；8⋯⋯⋯分（2）样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株， 设事件A ：抽取的3株中恰有1株存活，记存活的植株为a ，死亡的植株分别为1b ，2b ，3b ，4b ；则选取的3株有以下情况：{a ，1b ，2}b ，{a ，1b ，3}b ，{a ，1b ，4}b ，{a ，2b ，3}b ，{a ，2b ，4}b ，{a ，3b ，4}b ，1{b ，2b ，3}b ，1{b ，2b ，4}b ，1{b ，3b ，4}b ，2{b ，3b ，4}b共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种； 所以63()105P A ==．12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 20．（12分）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N ．设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点(1,0)F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离， 根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线． ⋯（2分）2p =Q ，∴点M 的轨迹C 的方程：24y x =．⋯（3分）证明：（Ⅱ）设A ，B 两点坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ， 则点P 的坐标为12(2x x +，12)2y y +．由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =-，(0)k ≠， 由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k -++=． △2242(24)416160k k k =+-=+>．⋯（5分）Q 直线1l 与曲线C 于A ，B 两点，∴12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． ∴点P 的坐标为22(1k+，2)k ．⋯（6分） 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为2(12k +，2)k -．⋯（7分）当1k ≠±时，有222112k k+≠+， 此时直线PQ 的斜率2222221112PQkk k k k k k+==-+--．⋯（8分） ∴直线PQ 的方程为222(12)1ky k x k k+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=． 于是，直线PQ 恒过定点(3,0)E ，当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3,0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3,0)E ． ⋯（10分） 解：（Ⅲ）由题意得||2EF =，FPQ ∴∆的面积12||(2||)42||S EF k k +⨯⨯+…．当且仅当1k =±时，“=”成立，FPQ ∴∆面积的最小值为4．⋯（12分）21．（12分）设函数()xf x ax lnx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0，1)(1⋃，)+∞，()f x Q 在(1,)+∞上为减函数，21()0()lnx f x a lnx -∴'=-+„在(1,)+∞上恒成立， 2211111()()24a lnx lnx lnx --=--„， 令2111()()24g x lnx =--， 故当112lnx =，即2x e =时， ()g x 的最小值为14-，14a ∴--„，即14a …a ∴的最小值为14． （Ⅱ）命题“若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立”， 等价于“当[x e ∈，2]e 时，有()()min max f x f x a '+„”， 由（Ⅰ）知，当[x e ∈，2]e 时，[1lnx ∈，2]，11[2lnx ∈，1]， 221111()()()24lnx f x a a lnx lnx -'=-+=--+-， 1()4max f x a '+=， 问题等价于：“当[x e ∈，2]e 时，有1()4min f x „”， ①当14a --„，即14a …时，由（Ⅰ），()f x 在[e ，2]e 上为减函数，则2221()()24mine f x f e ae ==-+„，21142a e ∴--„， 21124a e∴-…．②当104a -<-<，即104a <<时，[x e ∈Q ，2]e ，1[2lnx ∴∈，1]，21()()lnx f x a lnx -'=-+Q ，由复合函数的单调性知()f x '在[e，2]e 上为增函数， ∴存在唯一20(,)x e e ∈，使0()0f x '=且满足：000()()min x f x f x ax lnx ==-+， 要使1()4min f x „，00111114424a x lnx ∴--<-=-„，与104a -<-<矛盾，104a ∴-<-<不合题意．综上，实数a 的取值范围为211[24e-，)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【解答】解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A的极径为12cos6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=，所以12||||ABρρ=-=[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2||3||1|x x m--++…有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足2a b c M++=，求证：111a b b c+++…．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x--+--+=厔，若不等式|2||3||1|x x m--++…有解，则满足|1|5m+„，解得64m-剟．4M∴=．（2）由（1）知正数a，b，c满足足24a b c++=，即1[()()]14a b b c+++=∴11111111 [()()]()(11)(2414444b c a ba b b ca b b c a b b c a b b c+++=++++=++++⨯= ++++++厖，当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c+=+=，即a c=，2a b+=时，取等号．∴111a b b c+++…成立．第21页（共21页）。