哈尔滨工程大学微积分

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哈工程微积分自主考试试卷（有答案）

哈工程微积分自主考试试卷（有答案）班级：学号：姓名：装订线第1页共2页第2页共 2页高等数学A （一）自主考试参考答案及评分标准（2011.4.24）一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、解答：e 。

2、解答：dxx xxx x x x]sec)sin ln [(cos 2sin ++3、解答：1。

4、解答：π2。

5、解答：242ππ-。

二、选择题（每小题3分，共15分）：1，解答：C 2，解答：A 3、解答：B 。

4、解答：B 。

5、解答：B 。

三、计算题（每小题7分，共21分）： 1、解答：21)1(lim)1(11lim)1(11)1(011020)1ln(1lim )1ln(lim --+-+--+--+→-→===??-++=??+→→eeex x x x x xxx n xxx n e xxx n e x x n xx e x x xx xx ...........................................7分2、解答：t t f t f t f t t f dxdy ='''-''+'=)()()()(；...........................................3分)(122t f dxy d ''=。

...........................................4分3、解答：-dx x x x)1(arcsin cx x d x x d xx+==-=2)(arcsin arcsin arcsin2)(1arcsin2 ...........................................3分dx xx ?+2sin tan 1cx x x d xx dx x+=+=)tan tan (ln 21tan tan tan 121cos sintan 121++-dx xx x x x)2sin tan 1)1(arcsin (=c x x x +++)tan tan (ln 21)(arcsin2...........................................4分四、计算题（每小题8分，共32分）：1、解答：)0(f ''存在，)0(f '必存在且)(x f 在0=x 点必连续，从而)0()(lim 0f x f x =-→，即0=c ；又1)ln(1lim )0( ,)(lim)0(02=+='=++='+-→+→-xx f b xf x x ，故1=b ，且1)0(='f ；...........................................4分又axax xf x f f x x 21)12(lim )0()(lim)0(0=-+='-'=''--→→-，11lim )0()(lim )0(11-=-='-'=''+→→+++xxf x f f xx x ，故21-=a 。

哈尔滨工程大学数学上机实验

实验报告实验一：函数绘图实验1、实验目的利用数学软件绘制数学函数曲线及曲面，通过实验了解函数图形的绘制方法。

2、实验内容⑴在同一个图形中，绘制双曲线，以及的双曲线2条渐近线。

⑵在同一个图形中，绘制球面与锥面相交的曲面。

⑶自选题目：绘制一个或者多个平面图形、空间曲面图形。

3、程序设计及运行结果(1)>> x=-5:0.1:5;ezplot('x^2-y^2=1');y1=x;y2=-x;hold on;plot(xy1);hold on;plot(xy2);(2) >> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-1;f2=x.^2+y.^2-z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');(3)>> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-9;f2=x.^2+y.^2-2*z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');4、讨论与分析在本次试验中初步了解了matlab，学会了一些简单绘图，加深了对函数的理解为以后实验作个铺垫，由浅入深的了解matlab.实验二：微积分实验1、实验目的熟悉并了解使用数学软件，进行微积分问题计算的相关数学软件命令，让学生通过实验理解微积分，解决微积分计算上的问题。

全微分及其运用

哈尔滨工程大学微积分
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数在 D 内可微分.
下面我们讨论函数 z f ( x , y )在 P0 ( x0 , y0 )点的可微性、可导性和连续性的关系.
dz f x ( x0 , y0 ) 定理 1(可微的必要条件) x
要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。
了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的
概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。
重点与难点
重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概
( 0 1 1, 0 2 1 )
－理学院工科数学教学中心－
哈尔滨工程大学微积分
z f x ( x 0 1 x , y 0 y ) x f y ( x 0 , y 0 2 y ) y
为什么?
由于 f x ( x , y )在 P0 处连续, 故 f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 , y 0 ) ,
0( 0) ;
同理 f y ( x0 , y0 2 y ) f y ( x0 , y0 ) ,
0( 0).
于是，z [ f x ( x0 , y0 ) ]x [ f y ( x0 , y0 ) ]y
f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y (x y ).
[ f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 y )] [ f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )]

2-1复变函数的导数

f (z) f ( z ) g ( z ) g ( z ) f ( z ) 4. [ ] ( g ( z ) 0) 2 g( z ) g (z)
5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分，或说函数在z0处可微。若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
u i v lim . x 0 x i y y 0
哈尔滨工程大学复变函数与积分变换
当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0

k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在所以f ( z )在z 0处不可微.
为什么满足C-R方程，函数还不可微（导）？因为C-R方程只是必要条件常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数来代替是否可微
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导，所以复平面内是处处不解析的；

微积分CAP_哈尔滨工业大学_11 第十一单元_1 第二十二讲、分部积分法

分部积分法[]()()()()()()f xg x f x g x f x g x'''=+由[]d()()()()()().f xg x f x g x x f x g x C''⇒+=+⎰——分部积分公式d d()()()()()().f xg x x f x g x f x g x x''⇒=-⎰⎰d d()()()()()().g x f x f x g x f x g x=-⎰⎰或分部积分法d ln x x ⎰例1.d ln ln x x x x=-⎰1d ln x x x xx=-⋅⎰d arctan x x ⎰例2.d arctan arctan x x x x=-⎰2d 1arctan xx x x x =-+⎰ln x x x C=-+()2211d 121arctan x x x x =-++⎰()2112arctan ln x x x C=-++典型的分部积分（i ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰d ln x x ⎰例1.d arctan x x⎰例2.d d x x ⎰⎰1.，对数函数反三角函数，d d x x ⨯⨯⎰⎰2.，幂函数对数函数幂函数反三角函数，d arctan x x x ⎰例3.21d 2arctan x x =⎰22211d 221arctan x x x x x =-+⎰221111d 221arctan x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰2111222arctan arctan x x x x C =-++d cos x x x ⎰例4.d sin x x =⎰()2211d 22cos sin x x x x x =-⋅-⎰sin cos x x x C=++d d x x ⨯⨯⎰⎰3.，幂函数三角函数幂函数指数函数，21d2cos x x =⎰d sin sin x x x x=-⎰d xx e x ⎰例5.d sin xe x x ⎰例6.d sin xx e =⎰d sin cos x xe x x e =-⎰移向，得d x ⨯⎰三角函数指数函数4.，d sin cos x xe x e x x =-⎰sin cos x x e x e x =-d sin x e x x -⎰()1d 2sin sin cos xx x e x x e x e x C =-+⎰⎛⎫ ⎪⎝⎭一个方向用两次分部积分变成方程再解典型的分部积分（ii ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰()()()22d d 1113d 2cos sin nn nx x n x xax x n ≥+≥⎰⎰⎰5.，和1d cos n nI x x=⎰例1.2211d coscos n x x x-=⋅⎰21d tan cosn xx-=⎰()22d tan tan cos cos nn x x x x--=-⎰()()()122d tan sin cos sin cos cos nn x x n x x x x x --=---⎰()222d tan sin cos cos n nx x n x x x -=--⎰()()222tan cos n n n xn I I x--=---典型的分部积分()221d n n J x a x =+⎰例2.()()2222d nnxx a xa x -=-++⎰()()122222d n nxn x a x x xax --=+++⎰()()2122222d nn xx n xa x ax +=+++⎰()()()2122222212d nn n x a n x a x a x a x +⎛⎫ ⎪=+- ⎪+++⎝⎭⎰()212222n n nx nJ na J ax+=+-+()1n >11arctan x J a a⎛⎫= ⎪⎝⎭其他类型的分部积分（i ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰不同类1.函数之积2d 1arcsin x x xx-⎰例1.()221d 121arcsin xx x =---⎰2d 1arcsin x x =--⎰()2211xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝'--⎭=-222111d 1arcsin x x x xx=--+-⋅-⎰21arcsin x x x C=--++导数重2.复出现型d cos ln x x⎰例2.d cos ln cos ln x x x x=-⎰1d cos ln sin ln x x x x xx=+⋅⋅⎰d cos ln sin ln sin ln x x x x x x =+-⎰d cos ln sin ln cos ln x x x x x x =+-⎰移向，得()1d 2cos ln cos ln sin ln +x x x x x x C =+⎰含有“不可3.积函数”类型d sin cos ln x x x x x ⎛⎫+⋅⎪⎝⎭⎰例3.d d sin ln sin xx x x x =+⎰⎰22311sin ,,sin ,,,ln xx x ee x x x x x+例如d d sin sin sin ln x xx x x x x x=+-⎰⎰sin ln x x C=+规格严格工夫到家 ~不定积分~ 其他类型的分部积分含有抽象4.函数的类型()d ()()()()f x g x f x g x x ''''-⎰例4.d d ()()()()f x g x x f x g x '''=-⎰⎰d d ()()()()()()f x g x x f x g x f x g x x '''''=-+⎰⎰d d ()()()()()()f xg x x f x g x f x g x ''''=-+⎰⎰d d ()()()()()()()()f x g x x f x g x f x g x g x f x x ''''''=-+-⎰⎰()()()()f x g x f x g x C''=-+。

哈尔滨工程大学工程算法课件06常微分方程的数值求解

欧拉法得： yn 1 yn hf xn , yn 因此，局部截断误差是 o h 2 。

19
2 改进Euler法
2.1方法构造
dy f x, y ，对其从 xk 到 xk 1 进在微分方程初值问题 dx 行定积分得：
y xk 1 y xk
yk 1 是未知,待求的,未知量在 f x, y 中这是
一个方程,如f是非线性或超越函数,此方程是无法直接解出来(要依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。
21
2.3 算例
y y x 例：用改进欧拉公式求解 , h 0.2 y 0 2 解： f x, y y x h yk 1 yk f xk , yk f xk 1 , yk 1 2 h h 1 2 y 2 x x y k 1 k 1 h k h k 1 1 2 2 可以从隐式格式中解出 yk 1 问题的精确解是 y x e x x 1
16
精确解为： y x 2 x
2
可以看出误差随着计算在积累。
17
1.4 Euler法的特点和误差
迭代格式特点
1 单步方法：
yn 1 yn hf xn , yn n 0,1, 2,, N 1
2 显示格式： 3 局部截断误差为O h2
18
第六章常微分方程数值解
§6.0 引言
§6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法
§6.3 单步法的收敛性和稳定性
§6.4 线性多步法
1
§6.0 引言
1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解：
dy f x, y dx y x0 y0

复变函数--哈尔滨工程大学

易见， z x iy 一对实数 ( x , y ),
在平面上取定直角坐标系，点 P 一对实数 (x, y)
复变函数与积分变换
z x iy 平面上的点 P ( x , y )
所以复数 z x iy 可用平面上坐标为 ( x， y ) 的点 P表示 .
非零复数 z的指数表示式 :
z re
i
r

o
x
例1
哈尔滨工程大学
求下列复数的模 ,辐角及辐角主值 . 1) 1 i 2) 2i i1
例2
将下列复数化为三角表示式和指数表示式 1 )z 12 2i 2 ) z s in
课程基本介绍
研究对象复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务
研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容
复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、
保形映射，积分变换等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。
z1 z2
,(
z1 z2
)
例2 求
复变函数与积分变换
1 i 1 i
4
例3
已知 x iy ( 2 x 1 ) y i , 求 z x iy .
2
§2 复数的几何表示
哈尔滨工程大学
1. 点的表示 z x iy 复平面上的点P ( x，y )

哈尔滨工程大学本科生考试试卷

1. 已知1e ,0,()1sin ,0.xx a x f x x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩为连续函数，则a = .2. 已知函数2xy x =，则微分1d |x y == d x .3. 函数x y xe =的n 阶麦克劳林公式中，含nx 项的系数是 . 4. 已知定积分220111()cos ()d 0x c x c x ++=⎰，则常数c = .5. 心形线1cos (02)r θθπ=+≤≤的全长为 .1. 当0x +→时，与等价的无穷小量是（）. (A) 1-(B )(ln 1+ (C ) 1-(D ) 12. 设函数e ()()(1)x bf x x a x -=--有无穷间断点0x =、可去间断点1x =，则常数,a b 的值为（）.(A ) 0a =，1b = (B ) 0a =，e b = (C ) a 任意，1b =(D ) a 任意，e b =3. 设()33f x x x q =-+，其中常数()2,2q ∈-，则()f x 的零点的个数为（）.(A ) 1(B ) 2 (C ) 3 (D ) 44. 下列广义积分收敛的是（）.(A )1x +∞⎰(B )0d xxex --∞⎰(C )1311d x x-⎰(D )1+∞⎰哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010 年秋季学期）5. 下列说法正确的是（）.(A ) 已知数列{}n x 单调递增，非负函数()f x 单调递减，则数列{()}n f x 收敛 (B ) 设函数()f x 连续，且满足()m f x M ≤≤，其中,m M 为常数，则()()d ()b am b a f x x M b a -≤≤-⎰(C ) 11(1)d (1)1x x x e e x e C ααα++=+++⎰ (D ) 设函数()f x 连续，若00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，则0()f x不是()f x 的极值1. 计算极限210tan lim x x x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭.2. 已知函数()y y x =是由方程arctan x y=d d y x ，22d d y x .3. 已知函数()y y x =由参数方程2221212201e e d (1)e d t y t u u x t u u u ⎧=⎪⎨⎪=+⎩⎰⎰确定，求d d y x ，22d d yx .4. 设()22e d x t x t -Φ=⎰，求（1）()y x =Φ的单调区间；（2）()y x =Φ的凹凸区间.1. 计算积分x ⎰.2. 计算积分241xx⎰.3. 设()f x ''在[0,1]连续，且(0)1,(2)3,f f ==(2)5,f '=计算积分10(2)d .x f x x ''⎰已知抛物线22y x =-、直线y x =以及y 轴在第一象限围成了平面图形D ，求（1）D 的面积；（2）D 绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.1. 当0x >时，证明不等式：2cos xe x x ->-.2. 已知函数()f x 在[]0,1上有二阶导数，10()d 0f x x =⎰，(0)(1)0f f ==.（1）证明：存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ=；（2）证明：存在(0,1)η∈，使得22()()1f f ηηηη'''=+.3. 利用N ε-语言，证明极限2233lim212n n n n →∞+=-.微积分A(一)2010级期末试题（A 卷）参考答案及评分标准(2011年1月11日)一、填空题（每小题3分，共15分）1. 12. 23.1(1)!n - 4. 32- 5. 8二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. B2. B3. C4. D5. A三、计算题（每小题8分，共32分）1. 解答：1tan tan 00tan tan lim()lim(1)xx x x x x x x x x x x x x++-⋅-→→-=+ ……2分而22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→--=== 所以21130tan lim()x x x e x+→= ……6分2. 解答：方程两边同时对x 求导：2222y xy x yy x y x y''-+=++ 故dy y x dx x y -=+ ，即 12dy xdx x y=-+ ……4分 ()222223(1)2()2()d y x y x y x y dx x y x y '+-+-+=-=++ ……4分3. 解答：221221e d (1)ed y tu u u u u =+⎰⎰两边对t 求导：2222(1)t y t e y t e '=+，故2222(1)t y t y e t e -'=+ ……3分 22222222d (1)d (1)t y y t t t y ye t e e x x t e --'+==='+； ……3分 222222d ()(2)2d y y y y de dy e y ye x dx dx---==-=-。

工科微积分课堂上理论教学与实际应用的结合——从“一阶微分方程”一节教学谈起

关键词：微积分教学；应用实例；学习积极性
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｃａｌｃｕｌｕｓ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｅｘａｍｐｌｅｓ；ｌｅａｒｎｉｎｇｍｏｔｉｖａｔｉｏｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃａｌｃｕｌｕｓｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｕｂｌｉｃｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎｏｆａｌｌｋｉｎｄｓｏｆｐｒｆｅｏｓｓｉｏｎａｌｂａｓｉｃｍａｔｈｌｅｓｓｏｎｓ，ａｎｄｉｓｔｈｅｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆｓｔｕｄｅｎｔ
・２８１・

工科微积分课堂上理论教学与实际应用的结合
— —
从“ 一阶微分方程＂一节教学谈起
ＣｏｍｂｉｎａｉｔｏｎｏｆＴｈｅｏｒｅｉｔｃａｌＴｅａｃｈｉｎｇａｎｄＰｒａｃｔｉｃａｌＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎＣａｌｃｕｌｕｓＣｌａｓｓ：
（（￣）ＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ；＠ＨｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｈａｒｂｉｎ１５００２７，Ｃｈｉｎａ）

微积分第一章PDF

y
3 2

2

3
y [ x]
3 2
1
1 O 1 1
2 3
x

取整函数 [ x ] 的一个重要性质 :
对任何实数 x , 存在绝对不等式 [ x ] x [ x ] 1.
例如, [0.99] 0.99 [0.99] 1 为 0 0.99 1.
e x e x 解方程 y ( x 0) : 2 (e x ) 2 2 y e x 1 0, ex y x ln( y y 2 1, y 2 1)
O
y ln( x x 2 1)
y
x
y arch x ln( x x 2 1)
x x y u , u cot v , v 2 复合成函数 y cot 2 ; 函数 y arcsin u, u 2 x 2 不能复合 , 前者的定义域与
后者的值域的交集是空的, 即 arcsin(2 x 2 ) 无意义．
8. 初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所得到的有意义的函数, 称为初等函数.
1
y
x
O
1
x
y 1 x
(2) 指数函数:
y a (a 0, a 1)
x
y
1 y ( a )x
a1
y ax
1
x
O
(3) 对数函数: y log a x (a 0, a 1)
y
a1
y log a x
x
O
1
y log a 1 x
(4) 三角函数

大学物理力学习题课1 哈尔滨工程大学

根据题意：
2
at = an
c b ct / R
哈尔滨工程大学理学院孙秋华
t
R b c c
质点力学习题课 3.已知某些条件给出速度和运动方程作业2．以初速度 v0 向上抛出一小球，小球在运动过程中
受到阻力，其大小为
f kv ，k为常数，求：小球任
意时刻的速度及达到的最大高度。
哈尔滨工程大学理学院
孙秋华
质点力学习题课作业14. 质量为M=1.5kg的物体，用一根长为l=1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以 v0=500m/s的速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小为v=30m/s, 设穿透时间极短，求（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
哈尔滨工程大学理学院
孙秋华
质点力学习题课 1、力学中重要物理量的计算
作业4. 由楼窗口以水平初速度v 0射出一发子弹，求：（1）子弹在任意时刻的位置及轨迹方程；（2）子弹在任意时刻的速度、切向加速度和法向加速度；（3）任意时刻质点所在轨迹的曲率半径。
作业11. 一物体按规律x=ct2作直线运动（c为常数）。设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，求：物体由 x=0到 x=l过程中，阻力所作的功。
I p2 p1
（3）质点系的动量守恒定律
条件: F 0
f 内 F
m i v ix c 1 i m i v iy c 2 i m i v iz c 3 i
p2 p1 mi v i
哈尔滨工程大学理学院孙秋华
哈尔滨工程大学理学院
孙秋华
质点力学习题课

常微分方程1.1-1.2

例 y ( x ) 2, 通解为 y( x ) x 2 c1 x c2 ,
赵景霞
问 y( x ) x 2 c1 x是方程的特解吗？
哈尔滨工程大学
• 初值条件/Initial Value Conditions/
有 n个 n阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示
4
3
2
赵景霞
积分曲线族
2 1
1
1
2
哈尔滨工程大学
练习题
编号 1 微分方程自变量未知函数常或偏阶数是否线性
d 4s 3 s s d 4
y xy 1 ( y)2
u 2 u u 2 2 2 t x y

x
s
y
常常
4 1 2 1
2 x 5 6 无理方程：
赵景霞
x y 7 方程组： x y 1
哈尔滨工程大学
2) 超越方程（组），其含有超越函数三角方程：sin( x 5) cos x 指数方程： e x 2 x 5 特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）
常微分方程
常微分方程/ODE / 在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/ PDE/ 自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。
常微分方程
赵景霞
d2y dy b cy f ( t ) 2 dt dt
2T T 4 2 x t
哈尔滨工程大学
解热力学基本规律：1．热量总是从温度高的物体像温度低的物体传导的； 2．Newton冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。

教师的讲课艺术在微积分教学中的重要性

很难做到当堂课的知识当堂课理解消化，学的状态，表现就是逃课现象。
每个学生而当学生的接收出现问题时，就会出现厌识点有机的连接起来，我在进行多元函数体同学为他所代表的班级鼓掌，所以他们在我讲的时候微积分的授课时，将相关知识点进行对比都有集体荣誉感，这样，不仅课堂气氛活跃，而且效果出奇
教学要持续一学年，课堂教学主要以教师是有效的，学生们对相关概念的掌握是扎讲解为主，学生被动地听教师讲课，由于实的。
一
一
般我具体讲一个例题，其他的由学
生自己来做，方式有很多种，比如说我的学
牛顿一莱布尼兹公式那一节中揭晓原因。
为，学生如果ｌ００ｍｉｎ，即两节课，只是被
习题的证明方法比较抽象，技巧性较高，过程也相对复杂。
因此，学生刚开始学习这门课程时，感
那么课堂上的学习效果是极差学生们都愣了一下，然后发出会意的动地听课，一般情况下，我在教学过程中讲授一笑声。后来在我讲到牛顿一莱布尼兹公式的。
！Ｑ
Ｑ：塑
ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｌｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ

sy1-1

f
例如, 反正弦主值
微定义域积分（又如, 绝对值函数一定义域）
1
值域
O
1x
2
值
域
哈尔滨工程大学微积分（一）
2. 函数的几种特性设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性 x12 ( x)当M2 时， , x, f I , x1 x , 称为有上界 y
微积分（一）
y f 1 ( x) , x f ( D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增(减) , 其反函数且也单调递增 (减) .
sh x e e y x x ch x e e
x
x
O
奇函数
记
th x 双曲正切
y 1
说明: 给定 f ( x), x (l , l ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 则 f ( x) 2 2 偶函数奇函数
O 1
y th x x
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
注: M 为数集
*表示 M 中排除 0 的集 ; M
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
n 哈例: 有限集合 A a1 , a2 , , an a i i 1 尔滨自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n 工程 (2) 描述法： x x 所具有的特征 M 大学例: 整数集合 Z x x N 或 x N

微积分CAP_哈尔滨工业大学_13 第十三单元_1 第二十六讲、定积分的计算

/2
f (cos x)dx;
0
0
解：设x t,
2
当x 时，t=0；x 0时，t= .
2
2
/2
0 f (sin x)dx

0 /2
f
(cos
t
)d

2

t

/2
0 f (cos t )dt
定积分第二换元积分法
~定积分~
定积分第二换元积分法
n n
解：lim e lim e ln 1 ( n1)( n2) ( nn)1/n n
1 n
ln
(
n1)(
n 2 ) nn
( nn)
n
n
lim e 1 n
ln(1
1 n
)ln(1
2 n
)
ln(1
n n
)
n
e lim n
1 n
ln(1
2
n(n 1) n2 n n
1 2
例1.求
lim
n

1 n 1

n
1
2

n
1
n

.
1 n 1 1 1 n 1
2 n n n 1 n 2
n n n 1
极限计算——定积分定义1
例2.求 lim 1 n n 1 n 2 n n.
回顾：计算
lim
n

n2
1 n

1

n2
2 n
2

n2
n n

n

.