高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
第二学期高数下期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590x y z四.（8分）设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解：令=u xy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R3L ：()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：Q xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
高数2-期末试题及答案
北京理工大学珠海学院2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 2234ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 223x xy y ++.则 2u x y ∂∂∂ =分析：u x∂∂ = 22x y +, 则2u x y ∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y∂∂ 12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ， 则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =-则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Qx∂=-∂，1P y ∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此1130xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。
2020-2021某大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷合集2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷B10适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1. 微分方程x y 2='的通解为2. 设z=223x xy y ++，则x z∂∂= ; y z ∂∂= .3.改变积分顺序22(,)dx f x y dy ⎰⎰=4. 级数0!nn x n ∞=∑的和函数为5.级数211p n n∞=∑ (p>0) 当 时收敛 .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域:x 2+y 2≤2,Ddxdy ⎰⎰=A.则A =( ) .(A) π (B) 4π (C) 2π (D) 3π. 2. lim 0n n u →∞=是级数∑∞=1n n u 收敛的( )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件. 3.积分 ()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )(A)P Q y x ∂∂=∂∂ (B) P Q y x∂∂=-∂∂ (C) P Q x y ∂∂=∂∂ (D)P Q y y ∂∂=∂∂ 4. 设2z x y =，则dz =( ).(A)dx dy + (B)22xydx x dy + (C) 2x dx ydy + (D) 2x ydx dy +5. 级数21n n ∞=∑为（ ）级数(A).收敛 (B). 发散 (C).既不收敛也不发散 (D)既收敛也发散 三、解下列各题。
(共4小题，每小题10分，共40分) 1. 设2cos z x y =，求全微分dz 。
2. 求曲线23,,x t y t z t ===在点()1,1,1处的切线及法平面方程3. 将函数()x f x e =展开成x 的幂级数.4.计算二重积分D dxdy⎰⎰，其中D：00x a y b≤≤≤≤，。
四.(10分)从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形的两直角边长。
(2020年编辑)第二学期高等数学期末考试试卷及答案2
一．填空题（本题满分
1．设 ，则 ________________________．
解：
由 ，得 ，所以，
应填： ．
2．交换累次积分的顺序 ______________________．
解：
．
应填： ．
3．设 ，则 ___________________．
解：
，所以，
， ， ．
所以，
．
的特解．又微分方程 有形如
．
的特解．所以，微分方程 有形如
的特解．
应选：（D）．
三．（本题满分
设 ，其中函数 具有二阶连续的偏导数，试求 ， ．
解：
，
．
四．（本题满分
计算二重积分 ，其中 ．
解：
作极坐标变换 ，有
五．（本题满分
当轮船的前进速度为 时，推进器停止工作，已知受水的阻力与船速的平方成正比（比例系数为 ，其中 为常数，而 为船的质量）．问经过多少时间，船的速度减为原速度的一半？
（A）． ；（B）． ；
（C）． ；（D）． ．
解：
级数 是发散的（因为其通项的极限不为0）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是条件收敛的（因为 发散，而由Leibniz判别法，交错级数 收敛）．
应选：（D）．
4．设函数 是以 为周期的周期函数，它在 上的表达式为
．
由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数是关于 的偶函数，所以
．
又由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数也是关于 的奇函数，所以
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分)1、=的定义域为D= .2、二重积分的符号为。
3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为，其值为.4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素。
5、设曲面∑为介于及间的部分的外侧，则 .6、微分方程的通解为 .7、方程的通解为。
8、级数的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分)1、二元函数在处可微的充分条件是（）（A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；(C）当时,是无穷小;（D)。
2、设其中具有二阶连续导数，则等于（）（A）; （B）；(C）; （D)0 。
3、设：则三重积分等于（）（A)4；（B）；（C）;（D）。
4、球面与柱面所围成的立体体积V=（）（A）；（B);(C)；（D）。
5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则（A）; （B）；（C）；（D）。
6、下列说法中错误的是（）（A）方程是三阶微分方程；（B）方程是一阶微分方程;（C）方程是全微分方程；（D）方程是伯努利方程。
7、已知曲线经过原点,且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，则曲线的方程为（）（A）；（B)；(C)；(D)。
8、设, 则( ）（A）收敛; （B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。
三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设均为连续可微函数.，求.2、(8分）设，求。
四、求解下列问题（共计15分)。
1、计算。
（7分）2、计算,其中是由所围成的空间闭区域（8分)五、(13分）计算，其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向.六、(9分）设对任意满足方程，且存在,求。
七、（8分）求级数的收敛区间.高等数学同济版（下册）期末考试试卷（二）1、设，则。
2、。
3、设，交换积分次序后，。
4、设为可微函数，且则。
5、设L为取正向的圆周,则曲线积分。
6、设，则。
7、通解为的微分方程是。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数(二)期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B）注意: 1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分,共16分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中．1．a与b是向量，若baba+=+,则必有（）(A)⊥a b(B)0,0==a b或(C)a=b(D)⋅=a b a b2。
()(),0,1sin()limx yxyx→=( ）。
（A）不存在（B）1（C) 0（D) ∞3．二元函数),(yxfz=在),(yx处可微的充要条件是（）（A）),(yxf在),(yx处连续（B）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内存在（C）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内连续（D）当0)()(22→∆+∆yx时，yyxfxyxfzyx∆'-∆'-∆),(),(是4．对函数(,)f x y=(0,0)是(,)f x y的( )。
（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点(C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5．设平面区域D：1)1()2(22≤-+-yx，若21()dDI x yσ=+⎰⎰，32()dDI x yσ=+⎰⎰则有（）（A)21II<（B）21II=（C）21II>（D）不能比较6．设椭圆L:13422=+yx的周长为l，则()dLx y s+=⎰（）(A）0 （B）l（C) l3 (D）l47．下列结论正确的是（）（A）若11nnuu+<(1,2,)n=成立,则正项级数1nnu∞=∑收敛（B)当0lim=∞→nnu时，交错级数1(1)nnnu∞=-∑收敛(C)若级数1nnu∞=∑收敛,则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛（D）若对级数1nnu∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛8。
设∑∞=1nnnxa的收敛半径为(0)R R>，则∑∞=12nnnxa的收敛半径为（ A ）(A) （B）R(C）2R（D) 不能确定二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分）．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n的直线方程为；2。
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。
（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。
（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。
（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。
2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。
原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
高等数学下册试题及答案解析.docx
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）1、z =log a ( x2y 2 )( a 0) 的定义域为D=。
2、二重积分ln( x2y 2 )dxdy 的符号为。
|x| |y| 13 、由曲线y ln x 及直线x y e 1 ， y 1 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4L 的参数方程表示为x(t)(x),则弧长元素ds。
、设曲线y(t)5 、设曲面∑为x2y 29 介于z0 及 z 3 间的部分的外侧，则（x2y21)ds。
6、微分方程dyy tany的通解为。
dx x x7、方程y( 4) 4 y0 的通解为。
8、级数1的和为。
n1n(n1)二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）1、二元函数z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是（）（A）f ( x, y)在(x0, y0)处连续；（B）f x( x, y)，f y( x, y)在( x0, y0)的某邻域内存在；（ C）z f x (x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 ) y 当( x) 2(y) 20 时，是无穷小；（ D）lim z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y0。
22x0(x)( y) y02、设u yf ( x)xf (y), 其中 f 具有二阶连续导数，则x2u y 2 u等于（）y x x 2y 2（A）x y ；（ B）x；(C) y；(D)0。
3、设： x 2y 2z21, z0, 则三重积分I zdV 等于（）（ A ） 4 2d2 d1 3sin cos dr ；r 02 dd 1 dr ；（ B ）r 2 sin0 022 d13sin cos dr ；（ C ）dr0 02d 13sin cos dr 。
（ D ）dr0 04、球面 x 2 y 2z 2 4a 2 与柱面 x 2 y 22ax 所围成的立体体积 V=（）（A ） 4 2d2 a cos 4a2r 2dr ；（B ） 4 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（C ） 8 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（D ）2d2a cos r 4a2r 2dr 。
高数下试卷2+答案
第二学期期末考试（A ）卷答案一、单项选择题（本题共6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1．()()yx xyy x +→sin lim0,3,=（ A ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 32.设幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 处收敛，则（ C ）A.∑∞=0n nn x a 的收敛区间为（,2-2） B.∑∞=0n n a 必发散C. ∑∞=0n n a 必收敛 D. 21lim1=+∞→nn n a a3.对于级数∑∞=-0!)2(n nn ，下列说法正确的为（ D ）A. 该级数绝对收敛，其和大于1B. 该级数发散C.该级数条件收敛D. 该级数绝对收敛，其和为2-e4. 设D={}20,10),(≤≤≤≤y x y x ，则σd x D⎰⎰-21= ( B )A. πB.2π C. 3πD.π2 5.dy y x f dx x ⎰⎰11),(=（ A ）A ．dx y x f dy y ⎰⎰21),( B ．dx y x f dy y ⎰⎰2110),( C ．dx y x f dy y⎰⎰112),( D ． dx y x f dy y ⎰⎰220),(6.当],(ππ-∈x 时，x x f =)(，其傅里叶展开式为∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ,则11,b a 的值为（ C ）A. π4,011-==b a B. π2,011==b aC. 0,411=-=b a πD. 0,211=-=b a π二、填空题（每空 3 分，共18 分）1.设22ln y x z +=，则=∂∂y z 22yx y+ 2.设向量=)1,2,1(-,则向量与z 轴正向的夹角为32π3.y x z sin =，dz =ydy x ydx cos sin +4.过点)1,3,5(--M 且平行于坐标平面xoy 的平面方程为01=+z5.设L 为平面y x 0上的圆周222=+y x ，则⎰L()ds y x 22+=π246.设L 为y x 0面上从点A （1，0）到点B （2，0）的线段，则⎰L ydx +xdy = 0三、计算题（本题共4小题，每小题 6分，共 24 分）1．设),(xy x f z =，f 具有二阶连续偏导数,求y x z∂∂∂2解：y f f xz21+=∂∂………………………………3分 222122xyf f x f y x z++=∂∂∂……………………6分2.计算σd e Dy x ⎰⎰+，其中D 由1=+y x 、1=-y x 与0=x 围成.解： ⎰⎰--=xx y x dy e dx e I 1110…………………………2分⎰---=111)(dx e e e x x x ……………………4分ee 212+=…………………………………6分 3. 判断级数()∑∞=-1!1n nn n n 是否收敛，如果收敛，是绝对收敛吗？解：nn nn n n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→1lim lim1 …………………2分 11<=e……………………………………5分 ∴级数绝对收敛…………………………6分 4. 求幂级数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域. 解：()∞→→⋅+⋅=++n n n a a n n n n 212)1(211……………………………3分 当2=x 时，级数为∑∑∞=∞==⋅11122n n nn n n 发散…………………4分 当2-=x 时，级数为∑∞=-1)1(n nn 收敛………………………5分∴ 收敛域为[)2,2-……………………… ………………… 6分四、计算题（本题共4小题，每小题 7分，共28分）1．求曲线⎩⎨⎧=+=+12422y x z x 在点(0,1,-2)处的切线与法平面方程.解：方程两边求关于x 的导数：⎩⎨⎧=+=⋅+02022x x y z z x ……………2分从而得在点)2,1,0(-处的切向量为)0,2,1(-=……………3分 所以切线方程为2211+=--=z y x …………………………5分 法平面方程为02=+-z y x …………………………… 7分2.计算曲线积分()⎰+++=LL dy x dx xy y I ,2312为上半椭圆周1422=+y x()0≥y 从点)0,21(A 到点)0,21(-B .解：添加线段BA ，⎰⎰⎰+-=+++L Ddxdy dy x dx xy y 3)231(2………………3分=43π-……………………4分而⎰=+++BAdy x dx xy y 1)231(2………………………6分所以I=43π--1 …………………………………7分 3. 计算曲面积分I=zdxdy xdzdx +⎰⎰∑，∑是22y x z +=介于0=z 与4=z 之间部分的下侧.解： ⎰⎰∑=0xdzdx ……………………………………2分所以I=zdxdy ⎰⎰∑=dxdy y x Dxy⎰⎰+-)(22……………4分⎰⎰-=2320ρρϕπd d ……………………………6分π8-=………………………………………7分4．过点A(-1,0,1)的直线与已知直线l :⎩⎨⎧=+=-012y x z x 垂直且相交，求交点的坐标.解：已知直线的方向向量()2,1,1011102-=-=……………2分其参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-==12t z t y t x ……………………………………… 4分过点A 且 与垂直的平面方程为01=-+-zx y x ………………5分 将 的参数方程代入上式，解得21=t ……………………………6分 所以交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,21……………………………7分五、应用与证明题（本题共2小题，每小题6分,共12分）1.求抛物面224y x z --=位于40≤≤z 之间的那一部分的面积.解：⎰⎰++=Dd y x s σ22441………………………3分=ρρρϕπd d ⎰⎰+2020241………………………5分6)11717(-π………………………6分2.验证：以点A(1,0,0)、B(0,2,0)、C （,,y x 2）为顶点的三角形中， 当y =2-2x 时三角形ABC 取得最小面积5.证：)2,,1(),0,2,1(y x -=-=……………………………6分()22,2,4+--=x y ……………………………6分2)22(20-++=y x ……………………………6分显见当022=-+y x 即x y 22-=取得最小值，从而这时ABC ∆的面积最小，最小值为5. ……………………………6分。
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数二期末考试题
高数二期末考试题第一篇：高数二期末考试题高数是我们比较难学的一个科目，下面是小编整理的高数二期末考试题，希望对你有帮助。
一、填空。
（28分值）1、1米=（）厘米 45厘米-6厘米=（）厘米37厘米+5厘米=（）厘米23米-8米=（）米2、6个3相加，写成乘法算式是（），这个式子读作（）。
3、在下面的（）里最大能填几？（）×6＜27（）＜3×74×（）＜15 35＞7×（）4、在算式4×7=28中，4是（），7是（），28是（）。
5、先把下面的口诀补充完整，再根据口诀写出两道乘法算式。
八九（）（）二十四6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星，昨天做了58颗，今天他们大约要做（）颗。
7、一把三角板上有（）个角，其中（）个是直角。
8、算得积是18的口诀有（）和（）。
9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“＜”、“＞”、“=”。
8○6=48 36○73-37 9×7○652○2=4 43○6×7 18○9=9二、判断。
（5分值）1、9个相加的和是13。
（）2、小强身高大约是137厘米。
（）3、角都有一个顶点，两条边。
（）4、计算48+29，得数大约是70。
（）5、1米和100厘米一样长。
（）三、选择题。
（把正确答案的序号填在括号里，5分值）1、5个3相加是多少？正确的列式是（）Ａ、5+5+5=15 B、5＋3=８ C、5×3=152、用2、6、0三个数字组成的两位数有（）个。
Ａ、２ B、４Ｃ、６3、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩（）元。
A、22B、30C、204、5+5+5+4，不可以改写成算式（）。
A、5×4B、5×3+4C、4×5-15、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱（）次。
A、3次B、4次C、6次四、计算。
（26分值）1、用竖式计算。
（15分值）90-47= 59+26= 63-28=37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=2、列式计算。
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高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、设函数(1)y z xy =+，则dz =2、曲面2222223x y y z z x ++=在点(1,1,1)--处的切平面方程为____3、2112220()xx I dx x y dy -=+⎰⎰= .4、曲面积分()()222x y z dydz y dzdx z z dxdy ∑-++++⎰⎰= ，其中，∑为z 与()0z h h =>所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧. 5、幂级数()102n n n x ∞-=-∑的收敛域为 .二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、函数22z x y =+在（1,1）点沿()1,1l =--方向的方向导数为（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 最小 (D) 最大2、函数2424242,00,0x yx y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0,0)处（ ）.(A)不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在 (C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算22()()L x y dx x y dyx y+--+⎰=（ ），其中L 为222x y a +=（按逆时针方向绕行）． (A)0 (B)2π- (C) 2π (D) π 4、设(,)f x y 连续,且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰,其中D 由20,,1y y x x ===所围成,则(,)f x y =（ ）.(A) xy (B) 2xy (C) 1xy + (D) 18xy +5、设级数1n n a ∞=∑收敛，其和为S ，则级数121()n n n n a a a ∞++=+-∑收敛于（ ）.（A ）1S a + （B ）2S a + （C ）12S a a +- （D ）21S a a +- 三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、设函数(,)z z x y =由方程0ze xyz -=所确定，计算zx ∂∂，z y ∂∂.2、计算22()L x y ds +⎰，其中，L 为曲线(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-，(0,02)a t π>≤≤．3、求幂级数1nn nx∞=∑的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分) 1、求内接于半径为a 的球面的长方体的最大体积．2、计算2(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中平面区域(){}22,4,,D x y x y x y R =+≤∈．3、计算()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面5y z +=被柱面2225x y +=所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题，每小题6分，总计12分)1、计算2sin 22(1),L xdx x ydy +-⎰其中L 为sin y x =上从点(0,0)O 到点(,0)A π．2、将函数12()arctan 12xf x x-=+展开成x 的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、()()()1211ln 11y y xy dz y xy dx xy xy dy xy -⎛⎫=+++++ ⎪+⎝⎭ 2、30x y z ---=31 4、313h π 5、()1,3x ∈二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 1、C 2、A 3、B 4、D 5、B 三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对,x y 分别求偏导数，有00z z zz e yz xy xx z z e xz xy yy ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪--=∂∂⎪⎩，………………6分解得：,z z z yz z z xz z x e xy xz x y e xy yz y∂∂====∂--∂--.…………………………………………8分2、解：作图（略）. 原式=()()2220x t y t π⎡+⎣⎰………………………2分 ()()()()()2223240cos sin sin cos 22a t t t a t t t atdt a πππ⎡⎤=++-=+⎣⎦⎰.………………………8分 3、解：经计算，该级数的收敛域为()1,1x ∈-.……………………………… …………2分 其次计算该级数的和函数. 设()()23421111234(1)()()1,1nnn n n n s x nx x x x x n x x s x s x x ∞∞∞=====++++=+-=-∈-∑∑∑， … 4分()2321(1)234n n s x n x x x x ∞==+=+++∑，则()()()()()22234222211x x x s x s x dx xx xx x '⎛⎫-''==++== ⎪--⎝⎭⎰，11()1n n xs x x x∞===-∑.………7分 综上所述，()()()22212()1,1111nn x x x x s x nx x x x x ∞=-==-=∈----∑……………………………8分四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、解：作图（略）.设内接长方体在第一卦限的内接点坐标为(),,P x y z ，有如下结论：(),,P x y z 一定在球面上面，满足球面方程；其次，长方体的长宽高一定分别为2,2,2x y z .因此，可建立如下数学模型：2222max 8..,,0V xyzx y z a s t x y z =⎧++=⎨>⎩…………………………………………………………4分利用Lagrange 乘数法进行求解，构造辅助函数为：()22228L xyz x y z aλ=+++-，有：22228208208200x yz L yz x L xz y L xy z L x y z a λλλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩………………………………6分 解得唯一驻点(),,x y z ⎫=⎪⎭，因该问题一定存在最大值，故该唯一驻点一定是该问题的最大值点，最大值为3max V =.……………………………………………8分 2、解：作图（略）.原式=()()221222D x y x y xy dxdy ⎡⎤+++++⎣⎦⎰⎰=()221D x y dxdy ++⎰⎰…4分 =()22224200011121242d d πθρρρπρρπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰……………………………………………8分3、解：作图（略）. 原式=()(,xyx y z x y ∑++⎰⎰，其中，5z y =-，(){}22,25,,xy x y xy x y R ∑=+≤∈.………………………………………………………………4分 故原式=(5xyx ∑+=⎰⎰……………………………………………………………8分五、解答下列各题 (本大题共2小题，每小题6分，总计12分)1、解：作图（略）. 本题利用第二类曲线积分的定义或格林公式均可以处理. 这里利用格林公式处理. 添加辅助有向直线段:0,0AO y x π→=≤≤，从而构成封闭平面区域D .设()()()2,sin 2,,21P x y x Q x y x y ==-，显然，,P Q 在区域D 内满足格林公式.……1分=4D L AO AO DQ P d Pdx Qdy Pdx Qdy xyd x y σσ→→+⎛⎫∂∂-=-+=-+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式-………………3分 故原式=2sin 00044sin 22x D AO xyd Pdx Qdy dx xydy xdx πππσ→--+=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.………………6分2、解：因()()222324421()2211,1141t x t xf x t t t t x t==-'==-=--+-+∈-++=()()2244662201121222212,22nn nn x x x x x ∞=⎛⎫--+-+=--∈- ⎪⎝⎭∑………………………3分故()()246357012222()arctan 2012357x x f x f x dx x x x x f x ⎛⎫-'===--+-++ ⎪+⎝⎭⎰ ()22121121,42122n nn n x x n π∞+=⎛⎫=--∈- ⎪+⎝⎭∑………………………………………………………5分故()221012211()arctan21,1242122n n n n x f x x x x n π∞+=-⎛⎤==--∈- ⎥++⎝⎦∑（因为()f x 在12x =处连续，而级数在该点处收敛）.……………………………………………………………………………6分。