第6次习题课资料

第一部分：常数项级数的基本概念和结论无穷级数∑+∞=1nnu的部分和数列{}n S定义：∑==niinuS1(1)级数收敛与发散的定义（2）收敛级数的和的定义(3)级数的基本性质●数乘运算：若∑+∞=1nnu收敛，则∑+∞=1nnau也收敛，∑+∞=1nnau∑+∞==1nnua●加法运算：若∑+∞=1nnu和∑+∞=1nnv收敛，则它们的和级数∑+∞=+1)(nnnvu也收敛，且∑+∞=+1) (nnnvu+=∑+∞=1nnu∑+∞=1nnu●改变级数的有限项的值，不影响级数的收敛性。

(4)收敛的必要条件(5)几何级数与p级数以及它们的收敛(6)正项（非负）级数收敛性的判别法● 部分和级数判别法: 若{}n S 单调上升且有界，则∑+∞=1n nu收敛● 比较判别法: 两个正项级数之间比较，若n n v u ≤≤0则(1)∑+∞=1n nv收敛 ∑+∞=⇒1n nu收敛; (2)∑+∞=1n nu发散 ∑+∞=⇒1n nv发散应用1: 级数∑+∞=1n n u 和∑∞=11n pn 的比较。

若l n u pn n =∞→1lim ，则 （1）当1,0>≥p l 时，∑+∞=1n nu收敛（2）当1,0≤∞≤<p l 时，∑+∞=1n nu发散应用2: 级数∑+∞=1n n u 和∑∞=1n na的比较。

若()l u nn n =∞→1lim ，则(1)当10<≤l 时，∑+∞=1n nu收敛(2)当1>l 时，∑+∞=1n nu发散1=l ，∑+∞=1n n u 不定应用3: 级数∑+∞=1n n u 和∑∞=1n n a 的比较。

若l u u nn n =+∞→1lim，则(1)当10<≤l 时，∑+∞=1n nu收敛(2)当1>l 时，∑+∞=1n nu发散(3)当1=l 时，∑+∞=1n nu不定(7)交错级数与莱布尼茨定理一般项正负交替出现的级数称为交错级数。

通常可写作0,)1(1≥-∑+∞=n n n nu u （首项为负），或0,)1(11≥-∑+∞=+n n n n u u （首项为正）。

进一步，若n u 单调下降趋向于0，则交错级数∑+∞=-1)1(n nnu称作Leibniz 级数.(8)任意项级数的绝对收敛与条件收敛 级数∑+∞=1n nu称为绝对收敛，如果∑+∞=1n nu收敛。

级数∑+∞=1n nu称为条件收敛，如果级数∑+∞=1n nu收敛，但∑+∞=1n nu发散。

第二部分：级数例题1. 设级数∑∞=1n nu收敛，则如下级数[ ]必收敛. [D]（A ）∑∞=-1)1(n n n n u。

（B ）∑∞=12n nu。

（C ）∑∞=-12)(n n nu u。

（D ）∑∞=++11)(n n nu u。

思考：举出三个收敛级数∑∞=1n nu的例子，分别使得上述级数(A),(B),(C)发散。

2. 设级数∑∞=1n nu绝对收敛，且 2111=-∑∞=-n n n u ）（，5112=∑∞=-n n u，则该级数的和为=∑∞=1n nu. [8]3. 设,10n a n << 则下列级数[ ]必收敛. [ D ] (A)∑∞=1n n a ; (B)∑∞=-1)1(n n na ; (C)∑∞=1n n a ; (D)∑∞=12ln n n n a思考：同例1的思考, 举出三个收敛级数∑∞=1n nu的例子，分别使得上述级数(A),(B),(C)发散。

4. 设常数0≠λ，0>n a ，级数∑∞=1n na 收敛，则级数∑∞=λ-121n n na n n )tan ()([ ]. （A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性与λ有关。

[A]5. 设正项级数∑∞=1n na收敛, 则 [ ] [ D ](A) 极限n n n a a 1lim+∞→小于1; (B) 极限nn n a a1lim +∞→小于等于1;(C) 若极限n n n a a 1lim+∞→存在, 其值小于1; (D) 若极限nn n a a1lim +∞→存在, 其值小于等于1;6. 设参数0≠a ，则∑∞=+122)sin(n a n π收敛性的结论是 [ ] [ B ]（A ） 绝对收敛.（B ）条件收敛.（C ）发散.（D ）与参数a 取值有关。

提示：则)sin()1()sin(2222n a n a n n πππ-+-=+7.(正常数项级数收敛的收敛性，与一般项的无穷小阶的关系) 设,1)1(lim ,0,01=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡->>∞→nn p n na e n p a 若级数∑∞=1n na收敛, 则p 的取值范围是 .解: 由假设1)1(lim 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞→n np n a e n 可知 11lim1=-∞→p nn na 。

由级数∑∞=1n na的收敛性可知0→n a （+∞→n ）。

因此必有011→-p n （+∞→n ）。

故2>p 。

8.判断∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln 1n n n 的收敛性.级数收敛。

因为231~11ln 1n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+9. 判断∑∞=1!n nn nn a 的收敛性.解: 记级数的一般项为n u , 则nnn n n n n n an n a n n a u u )1(/!)1/()!1(1)1(11+=++=+++。

于是 ea u u nn n =+∞→1lim。

因此，当e a <时, 级数绝对收敛; 当e a >时,级数发散;而当e a =时, 由于nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11单调上升趋于e ，故有 n n u u >+1，1≥∀n 。

因此级数发散.10. 设正项数列n a 单调减，且级数∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=+1)11(n nn a 是否收敛？证明结论。

[收敛] 11. 讨论级数∑∞=-+-2)1()1(n nn n 的收敛性.解: 记nn n a )1(1-+=，则0→n a ，所考虑的级数∑∞=-2)1(n n na 是交错项级数。

由于na 不单调，故不能直接应用Leibniz 定理. 需另外解法。

考虑加括号级数()∑∞=-+2212n n n a a.经简单计算得 )1222(12223212++-+--=+-n n n n a a n n 。

因此加括号级数()∑∞=-+2212n n n a a收敛。

再利用条件0lim =∞→n n a 可知原级数收敛. 易证，级数∑∞=2n n a 发散.于是原级数条件收敛. 证毕。

12. 讨论级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1)1(1ln n pnn 的收敛性 )0(>p . 解: 记n n n n n pnn b a c a b n a -=+=-=),1ln(,)1(，则原级数可写作 ∑∑+∞=+∞=-=11)(n n n nn c ab 。

注意级数∑+∞+1n n a 是Leibniz 型级数收敛，条件收敛。

因此级数∑+∞=1n nb收敛，当且仅当∑+∞=1n nc收敛。

注意到 0)1ln(>+-=-=n n n n n a a b a c ，即级数∑+∞=1n nc是正项级数，且12)1ln(22222→+-==nn n n n p n a a a a c n c ，当∞→n 时. 于是我们得到如下结论：(1) 当1>p 时，∑∞=1n nc（绝对）收敛,且∑∞=1n na也绝对收敛, 故原级数∑∑+∞=+∞=-=11)(n n n nn c ab 也绝对收敛.(2) 当121≤<p 时,∑∞=1n nc绝对收敛,∑∞=1n na条件收敛, 故∑∞=1n nb条件收敛.(3) 当210≤<p 时,∑∞=1n nc发散,∑∞=1n na收敛, 故∑∞=1n nb发散.注：对原级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1)1(1ln n pnn 的不能直接应用Leibniz 定理。

13. 常数项级数和微分方程设函数)(x y y =是初值问题⎩⎨⎧=+='1)0(y yx y 的解, 讨论级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛1111n n n y 的收敛性. 解: 对方程y x y +='两边求导得，'.1''y y += 于是 1)0(=y ， 1)0(='y ，2)0(=''y 。

由Taylor 公式得⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛2211111no n n n y 。

于是级数 ()[]()∑∑∞=∞==--1111121n n n n n o y 收敛。

因此原级数绝对收敛.14. （常数项级数和积分估值）设⎰=4tan πxdx a nn ,0>p , 讨论级数∑∞=1n p nna 的收敛性. 解: 对积分⎰40tan πxdx n作换元 x t tan =, 则⎰⎰+==<102401tan 0t t xdx a nnn π111+=<⎰n dt t n 。

于是 110+<<p p n n n a .因此，当0>p 时, 原级数收敛. 解答完毕。

15. 考虑两条抛物线n nx y 12+=和11)1(2+++=n x n y 。

记它们交点的横坐标的绝对值为n a 。

（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S 。

（2）求级数∑∞=1n nna S 之和。

解: (1)令 n nx 12+11)1(2+++=n x n 得 )1(1+=n n x 。

于是 )1(1+=n n a n 。

所求面积为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎰-dx n x n n nx S nn a a n 11)1(12230223411)1(12n a a dx n x n n nx n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+⎰。

(2) 34)1(13411=+=∑∑∞=∞=n n n n n n a S 。

解答完毕。

16. 讨论级数 ∑∞=++-11)1(n n xn （x ≠n -）的收敛性。

解： 级数∑∞=++-11)1(n n xn （x ≠n -）当n 充分大（即0>+x n ）时是交错级数，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+x n 1单调减少趋于零，所以∑∞=++-11)1(n n xn （x ≠n -）收敛；又由于x n n +-+1)1(～n 1)(∞→n ,∑∞=11n n发散，所以级数∑∞=++-11)1(n n xn （x ≠n -）条件收敛。

解答完毕。

17. 讨论级数∑∞=+-11sin )1(n n n x 的收敛性。

解：当0=x 时∑∞=+-11sin )1(n n n x 的一般项都为零，所以级数绝对收敛。