不等式恒成立问题经典例题
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f (a) f x 下限x D
f x下限 0x D
不等式 f (a) f x 在区间D上恒成立 f (a) f x min x D 或
不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。
(6k )2 4k (k 8) 0
解得:0<k≤1 综上所述: 0 ≤ k≤1
k>0
易错题
1.函数 f ( x) log 1 ( x2 kx 2) 的定义域为R,
2
求实数k的取值范围.
2
(2 2, 2 2)
2.函数 f ( x) log 1 ( x kx 2) 的值域为R,
若1-m≠0即m≠1时， 令
2
f ( x) (1 m) x (m 1) x 3, x 2,2
1 m 0 f (2) 6m 9 0
由题意得：
1 m 0 1 1 11 或 f ( ) m 0 2 4 4
所以
3 11 m 2
练习4、若对于任意
a 1
或
f a a 2 a 2 0
所以 3 a 1
不等式恒成立问题的解题原理： 不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f x min 0x D 或
不等式 f x 0 在区间D上恒成立 不等式
f xmax 0x D 或 f x上限 0x D f a f x 在区间D上恒成立 f (a) f xmax x D 或 f (a) f x上限x D
所以
a 5
例2：不等式x² -2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a 的范围。
解：原不等式可化为：
x 2 2ax a 2 0
2 f ( x ) x 2ax a 2, x 1, 令
f x 的图像开口向上，且对称轴为
xa
由题意得：
a 1 f 1 a 3 0
x 2 ，不等式 (1 m) x2 (m 1) x 3 0
2 ，不等式 (1 m ) x (m 1) x 3 0 m 2
恒成立，求实数m的取值范围 恒成立，求实数x的取值范围 练习5、若对于任意
1 x 0, ，不等式 2
x 2 ax 1 0 恒成
2
求实数k的取值范围.
(, 2 2] [2 2, )
例1：不等式
x 2 ax 4 0 当 x (1,2) 时恒
2
成立，求a的范围。
解： 令
f ( x) x ax 4, x (1,2)
由题意得：
f 1 a 5 0 f 2 2a 8 0
解:要使函数f(x)有意义,则必有
kx 6kx (k 8) 0
2
因为函数f(x)的定义域为R,所以 2 kx 6kx (k 8) 0 对一切 x R 恒成立. ①当k=0,不等式8>0对一切 x R 恒成立.
2
②当k≠0时,不等式 kx 6kx (k 8) 0对一切 x R 恒成立,则必有
由题意得：
a 1 a 0 0 2 2 2 或 2 或 a a f (0) 1 0 f ( ) 0 2 4
5 所以 a 2
a 1 2 2 1 1 5 f( ) a 0 2 2 4
xm
或
m 1 f (1) 2 0
由题意得： m0 或 f (0) 2m 1 0
1 所以 m 2
f (m) m2 2m 1 0
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2 x 1 m( x 2 1) 恒成立，求实数x的取值范围 练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x 2 px 1 2 x p 恒成 立，求实数x的取值范围 练习3、若对于任意 练习4、若对于任意
立，求实数a的取值范围
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围
2 x 1 m( x 2 1)
2 m ( x 1) 2x 1 0 解：原不等式可化为：
令
f (m) m( x2 1) 2x 1, m 2,2
f (2) 2 x2 2 x 3 0 f (2) 2 x2 2 x 1 0
，不等式(1 m) x2 (m 1) x 3 0 m 2
恒成立，求实数x的取值范围
解： 原不等式可化为： ( x x)m x x 3 0
2 2
令
f (m) (x2 x)m x2 x 3, m 2,2
由题意得：
f (2) x 3x 3 0
2
来自百度文库
p 1 0
由题意得：
f (2) x2 4 x 3 0 f (2) x2 1 0
所以
x 1
或
x3
练习3、若对于任意
x 2 ，不等式 (1 m) x2 (m 1) x 3 0
恒成立，求实数m的取值范围
解：若1-m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
2
f (2) x 2 x 3 0
所以
1 13 1 13 x 2 2
练习5、若对于任意
1 x 0, ，不等式 2
x 2 ax 1 0 恒成
立，求实数a的取值范围 解：令
f ( x) x ax 1,
2
1 x 0, 2
由题意得：
所以
1 7 1 3 x 2 2
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x 2
px 1 2x p
恒成
立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x2 ( p 2) x 令
f ( p) ( x 1) p x 2x 1, p 2,2
所以
3 17 x 2
5 17 或 x 2
例2、若对于任意
x 0,1
，不等式
x 2 2mx 2m 1 0
恒成立，求实数m的取值范围 解 : 令
f ( x) x2 2mx 2m 1, x 0,1
f ( x) 的图像开口向上，且对称轴为
0 m 1
2 例1、若对于任意 a 1 ，不等式x (a 4) x 2a 0 恒成 立，求实数x的取值范围
解：令 f (a) ( x 2)a x 4x, a 1,1
2
由题意得：
f 1 x 2 5x 2 0 f 1 x 2 3x 2 0
例题选讲
恒成立问题
2 ( a 2 ) x 2(a 2) x 4 0 例1.不等式
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。 变式1.不等式(a 2 4) x 2 (a 2) x 1 0 的解为空集 ，求a的取值范围。
变式2.若函数 f ( x) kx 2 6kx ( k 8) 的定义 域为R,求实数k的取值范围.
f x下限 0x D
不等式 f (a) f x 在区间D上恒成立 f (a) f x min x D 或
不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。
(6k )2 4k (k 8) 0
解得:0<k≤1 综上所述: 0 ≤ k≤1
k>0
易错题
1.函数 f ( x) log 1 ( x2 kx 2) 的定义域为R,
2
求实数k的取值范围.
2
(2 2, 2 2)
2.函数 f ( x) log 1 ( x kx 2) 的值域为R,
若1-m≠0即m≠1时， 令
2
f ( x) (1 m) x (m 1) x 3, x 2,2
1 m 0 f (2) 6m 9 0
由题意得：
1 m 0 1 1 11 或 f ( ) m 0 2 4 4
所以
3 11 m 2
练习4、若对于任意
a 1
或
f a a 2 a 2 0
所以 3 a 1
不等式恒成立问题的解题原理： 不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f x min 0x D 或
不等式 f x 0 在区间D上恒成立 不等式
f xmax 0x D 或 f x上限 0x D f a f x 在区间D上恒成立 f (a) f xmax x D 或 f (a) f x上限x D
所以
a 5
例2：不等式x² -2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a 的范围。
解：原不等式可化为：
x 2 2ax a 2 0
2 f ( x ) x 2ax a 2, x 1, 令
f x 的图像开口向上，且对称轴为
xa
由题意得：
a 1 f 1 a 3 0
x 2 ，不等式 (1 m) x2 (m 1) x 3 0
2 ，不等式 (1 m ) x (m 1) x 3 0 m 2
恒成立，求实数m的取值范围 恒成立，求实数x的取值范围 练习5、若对于任意
1 x 0, ，不等式 2
x 2 ax 1 0 恒成
2
求实数k的取值范围.
(, 2 2] [2 2, )
例1：不等式
x 2 ax 4 0 当 x (1,2) 时恒
2
成立，求a的范围。
解： 令
f ( x) x ax 4, x (1,2)
由题意得：
f 1 a 5 0 f 2 2a 8 0
解:要使函数f(x)有意义,则必有
kx 6kx (k 8) 0
2
因为函数f(x)的定义域为R,所以 2 kx 6kx (k 8) 0 对一切 x R 恒成立. ①当k=0,不等式8>0对一切 x R 恒成立.
2
②当k≠0时,不等式 kx 6kx (k 8) 0对一切 x R 恒成立,则必有
由题意得：
a 1 a 0 0 2 2 2 或 2 或 a a f (0) 1 0 f ( ) 0 2 4
5 所以 a 2
a 1 2 2 1 1 5 f( ) a 0 2 2 4
xm
或
m 1 f (1) 2 0
由题意得： m0 或 f (0) 2m 1 0
1 所以 m 2
f (m) m2 2m 1 0
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2 x 1 m( x 2 1) 恒成立，求实数x的取值范围 练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x 2 px 1 2 x p 恒成 立，求实数x的取值范围 练习3、若对于任意 练习4、若对于任意
立，求实数a的取值范围
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围
2 x 1 m( x 2 1)
2 m ( x 1) 2x 1 0 解：原不等式可化为：
令
f (m) m( x2 1) 2x 1, m 2,2
f (2) 2 x2 2 x 3 0 f (2) 2 x2 2 x 1 0
，不等式(1 m) x2 (m 1) x 3 0 m 2
恒成立，求实数x的取值范围
解： 原不等式可化为： ( x x)m x x 3 0
2 2
令
f (m) (x2 x)m x2 x 3, m 2,2
由题意得：
f (2) x 3x 3 0
2
来自百度文库
p 1 0
由题意得：
f (2) x2 4 x 3 0 f (2) x2 1 0
所以
x 1
或
x3
练习3、若对于任意
x 2 ，不等式 (1 m) x2 (m 1) x 3 0
恒成立，求实数m的取值范围
解：若1-m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
2
f (2) x 2 x 3 0
所以
1 13 1 13 x 2 2
练习5、若对于任意
1 x 0, ，不等式 2
x 2 ax 1 0 恒成
立，求实数a的取值范围 解：令
f ( x) x ax 1,
2
1 x 0, 2
由题意得：
所以
1 7 1 3 x 2 2
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x 2
px 1 2x p
恒成
立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x2 ( p 2) x 令
f ( p) ( x 1) p x 2x 1, p 2,2
所以
3 17 x 2
5 17 或 x 2
例2、若对于任意
x 0,1
，不等式
x 2 2mx 2m 1 0
恒成立，求实数m的取值范围 解 : 令
f ( x) x2 2mx 2m 1, x 0,1
f ( x) 的图像开口向上，且对称轴为
0 m 1
2 例1、若对于任意 a 1 ，不等式x (a 4) x 2a 0 恒成 立，求实数x的取值范围
解：令 f (a) ( x 2)a x 4x, a 1,1
2
由题意得：
f 1 x 2 5x 2 0 f 1 x 2 3x 2 0
例题选讲
恒成立问题
2 ( a 2 ) x 2(a 2) x 4 0 例1.不等式
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。 变式1.不等式(a 2 4) x 2 (a 2) x 1 0 的解为空集 ，求a的取值范围。
变式2.若函数 f ( x) kx 2 6kx ( k 8) 的定义 域为R,求实数k的取值范围.