高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版

第1届I M O

1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：?

(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cos2x +

b cos x +

c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当

a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，

??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点；

?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；

??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

第2届IMO

1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

2.? 寻找使下式成立的实数x：

4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9

3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：

tan ? = 4nh/(an2 - a).

4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。

a.求XY中点的轨迹；

b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。

6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。

??? (a).? 求证：V1不等于 V2；

??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。

第3届IMO

1.? 设a、b是常数，解方程组

x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2

并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？

2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：

a2 + b2 + c2>= 4√3 A.

并求出等号何时成立。

3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。

4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,

BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5.? 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = ?,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是

b tan(?/2) <=

c < b.

又问上式何时等号成立。

6.?三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p 上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？

第4届IMO

1.? 找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。

2.? 试找出满足下列不等式的所有实数 x：

√(3-x)- √(x+1) > 1/2.

3.? 正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点 x沿着正方形ABCD 的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。

4.? 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。

5.? 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。

6.? 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。

7.? 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；

反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。

第5届IMO

1.? 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）：

√(x2-p)+2√(x2-1) = x.

2.? 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX 是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。

3.? 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是

?a1 >= a2 >= ... >= a n，

求证：所有边长都相等。

4.? 设 y是一个参数，试找出方程组 x i+ x i+2= y x i+1(i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ... , x5。

5.? 求证

cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

6.? 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？

第6届IMO

1.?? (a)? 求所有正整数 n 使得? 2n - 1 能被 7整除；

?? (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。

2.? 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：

a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.

3.? 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆