高数第八章(5)平面及其方程

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平面及其方程演示文稿

故可取n a b i jk
n a b 3 4 6 14i 9 j k
2 3 1
14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
即
14x 9 y z 15 0.
例3 求过下列三点M1(1,1,1)、M2(2,1,2)、 M 3 (3,3,1) 的平面方程. 解先求法向量n. 因为n M1M2, n M1M3,
面.方程 Ax By Cz D 0 称为平面的一般方程,
其中x、y、z 的系数就是该平面一个法线向量n
的坐标,即
n ( A, B,C).
3. 特殊的三元一次方程所表示的平面
Ax By Cz D 0. D 0, Ax By Cz 0,平面过原点. A 0, By Cz D 0, n (0, B,C )垂直
因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面Π 上一点 M0( x0 , y0 , z0 ) 和它的一个法线向量 n ( A, B,C )
为已知时，平面Π 的知条件来建立平面Π的方程.
已知平面上一点 z
M0( x0 , y0 , z0 ) 和它的一个 M0
M1M2 (3,0,1), M1M3 (4,2,0), i jk
n M1M2 M1M3 3 0 1 2i 4 j 6k, 4 2 0
所求平面方程为 2( x 1) 4( y 1) 6(z 1) 0,
化简得 x 2 y 3z 6 0.
一般地, 如果平面过不共线已知三点 A(a1, a2 , a3 ), B(b1, b2 , b3 ),C(c1, c2 , c3 ),设M ( x, y, z)是平面上任意一点.
解根据平面的点法式方程, 所求平面为 1 ( x 1) 2 ( y 1) 1 (z 2) 0,

同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程

定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程的图形是怎的？
这条定直线叫旋转曲面的轴．

8第八章空间解析几何答案

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

同济高数（第七版）--第八章

一：向量代数与空间几何定理1：设0 ≠a ，则向量b 与a 平行的充要条件为：存在唯一的实数λ，使得a bλ=。

证：充分性：已知一个向量a ，且0 ≠a ，因为规定a λ是一个向量，当0>λ，方向与a相同；当0<λ时，方向与a相反，但方向无论是相反还是相同，都成为两向量共线，即平行，故由a b λ=，所以向量b 与a平行。

必要性：已知a b //，且0 ≠a ，故设b 与a的模长相差一个λ倍关系，即a b =λ，故而b a a==λλ，即a λ的模长等于b 的模长，当b 与a 同向时，令0>λ，则a λ与a 的方向相同，则此次b与aλ同向且等模，故a bλ=；当b与a 反向时，令0<λ，则a λ与a的方向相反，则此次b与aλ仍然同向且等模，故a bλ=仍成立；故又假设存在不等于λ的实数μ满足上面所述的关系，即a b μ=（λμ≠），故a b b)(0μλ-=-=，又0 ≠a ，故μλ=，与假设矛盾，故假设不成立，所以能满足上述关系的实数唯一。

注意：①当02=x 时，而022≠⋅z y ，即),0(22,z y b ，若b a //，则⇒=b aλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====λλz z y y x x 2121210；②当022==y x 时，而02≠z ，即),0,0(2z b ，若b a //，则⇒=b aλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====z z y y x x 21212100λλλ，但是注意到无论λ=z z 21为何值，021==x x λ以及021==y y λ都恒成立，因为00⋅=λ时，λ可以取任意实数。

故就不需要约定z 1与z 2的关系，即⎪⎩⎪⎨⎧====002121y y x x λλ。

**4.向量的混合积cb ac b a ⋅⨯=)(][作用：①可以求平行六面体的体积；②可以判定a，b，c三个向量是否共面。

推导：假设有如图所示的一个平行六面体，设底面积为S ，因为底面为一个平行四边形，故b a b b a a S⨯=⋅><=,sin ，而该六面体的高θcos c h =，根据叉乘的右手规则，得b a ⨯的方向垂直于底面，如图所示，则θ即为b a z⨯=与c 所成的夹角，故该六面体的体积c b a V c z c c z z c b a h S V⋅⨯=⇒⋅=><=⨯=⋅=)(,cos cos θ，故向量的混合积等于一个以a ，b ，c三个向量为邻边的平行六面体的体积；注意到当混合积的值为零时，该平行六面体的体积就为零，也就是说a，b，c三个向量为棱不能构成平行六面体，这种情况就只有三个向量在同一个平面时才能满足，即a，b ，c 三个向量共面。

8(5)平面及其方程

第五节平面及其方程
(plane)
平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角点到平面的距离小结思考题作业
1
第八章空间解析几何与向量代数
平面及其方程
在空间内, 在空间内,确定一个平面的几何条件不共线的三点确定、是多种多样的. 是多种多样的. 如: 不共线的三点确定 P2
平面及其方程
二、平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Ax By Cz A + B +C + D= 0 r 法向量 n = ( A, B , C )
Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 =D
y + 3z − 1 = 0
| −1 × 0 + 2 × 1 − 1 × 3 | , 2 2 2 2 2 ( −1) + 2 + ( −1) ⋅ 1 + 3
1 两平面相交, 两平面相交 cosθ = 60
1 夹角 θ = arccos . 60
15
平面及其方程
( 2 ) 2 x − y + z − 1 = 0, − 4 x + 2 y − 2 z − 1 = 0
D = 0,
6 A − 3 B + 2C = 0
z
r n= (A, B,C)
•
r Q n ⊥ (4,−1,2) ∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, x 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.

高数下册知识点

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222z y x r ++= ；2）两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4）方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5）投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二）数量积，向量积1、数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六）空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念（了解）1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

高数下册知识点

高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a （a x，a y,a z），b（b x,b y,b z），则a b （a x b x,a y b y ,a z b z）, a （ a x, a y, a z）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：获—y2—z2；2）两点间的距离公式：AB J（X2 xj2（y2 y i）2（Z2 zj23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,5）投影：Prj u a a cos ，其中为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：a ba ||b cos1）a a a 24）方向余弦: COSx—,cosr—,cosr2a b a b 0 ）2向量积：c a b 、大小：|a||b sin ，方向：a, b ,c 符合右手规则1)a a 02)a// b a b 0 运算律：反交换律b a a b (三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0，绕y 轴旋转一周：f(y, Vx 2z 2)绕z 轴旋转一周：f( \ x 2y 2, z) 03、柱面：F(x,y)F (x, y) 0表示母线平行于z 轴，准线为z 0的柱面4、二次曲面22xy21)椭圆锥面：Q 22za b 2 x2) 椭球面：亍b 22 z2c2x 旋转椭球面： 2a2y 2 a2z 2 c2x2y 2 z 13) 单叶双曲面:2 a b 22c222xy z14) 双叶双曲面:2 a b 22c2 2x y z5) 椭圆抛物面:2 ab 222x y z6) 双曲抛物面（马鞍面）:a 2 b 222x y 17)椭圆柱面： 2 a b 222x y 18)双曲柱面：2 a b 229) 抛物柱面：x ay（四）空间曲线及其方程F(x,y,z) 01、般方程：G (x, y,z) 0x x(t)x a cos t 2、参数方程：y y（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y,z)消去z ，得到曲线在面xoy上的投影 G (x, y, z) 0H (x, y) 0 z 0（五）平面及其方程1、点法式方程： A(xX 。

高等数学-第8章 - (平面及其方程)

n
M1
M3
n M1 M 2 M1 M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
M2
又 M1 , 利用点法式得平面的方程
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) ( k 1 , 2 , 3)
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M1 M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A BC 0 , 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
轴。
方程
f x y , z 0,
2 2

表示 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f y , x 2 z 2 0. 同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) 0 绕
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 2x y z 0
即
例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 n P1 P0 n PP d Prj n 1 0 P0 n

高等数学平面及其方程

M0
O
y
x
2021/7/17
3
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
4
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
5
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
2021/7/17
M0 O
y
6
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
9
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)
的平面的方程． z
解先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}，n

《平面及其方程》PPT课件

则
M0M

n,
故
M0M

n＝0。
即有
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0。 (点法式)
2. 平面的一般方程
由平面的点法式方程A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0, 得 Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0。
n

—
M1M
2
—
M1M 3
点法式方程
M (x, y, z)

M3
向量共面

M2
M1

定理 1
设 R3 空间中不在同一直线上的三点
M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3(x3, y3, z3)
确定一个平面 , 则空间中点M (x, y, z) 位于平面上
(2) 通过点 M1(4, 0, 2) 和 M2 (5, 11, 7) 且平行于x 轴; (3) 通过点 A(1, 1, 1) 和 B(0, 2, 1) 且平行于a (0, 3, 1)。
解
(2) 平面 // x 轴,
即平面
//
i,
故 n i。

i
j
k
平面的法向量
规定: 1. 0 。 ( 为两平面间的夹角) 2. 若 1 // 2 , 则 0 或。
夹角的计算公式
设两平面的方程为
1 : A1x B1 y C1z D1 0, n1 ( A1, B1, C1), 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )。

《平面及方程》课件

几何图形：由点、线、面等元素组成的图形
关系：平面方程可以表示几何图形的形状、位置和尺寸
应用：平面方程在工程、科学和数学中广泛应用，如计算机图形学、机器人技术等
平面方程与向量场的关系ห้องสมุดไป่ตู้
向量场：描述空间中向量的分布和变化平面方程：描述平面的位置和方向向量场与平面方程的关系：向量场在平面上的投影就是平面方程应用：向量场与平面方程的关系可以用于求解物理问题，如流体力学、电磁学等
平行线的性质：平行线之间的距离相等
垂直线的性质：垂直线之间的角度为90度
平行线和垂直线的关系：平行线和垂直线是相互垂直的
平行线和垂直线的应用：在几何证明、计算面积等方面有广泛应用
平面方程的表示方法
点在平面上的坐标表示
平面方程：ax+by+cz=d 点的坐标：(x,y,z) 点在平面上的坐标表示：(x,y,z)满足ax+by+cz=d 特殊情况：当a=1,b=0,c=0时，平面方程简化为x=d，表示点在x轴上的坐标表示。
代入法：将已知点的坐标代入方程，求解未知参数消元法：通过消元，将方程转化为标准形式矩阵法：利用矩阵运算求解方程几何法：利用几何图形的性质求解方程
平面方程的应用
平面几何中的问题求解
平面方程的定义和性质平面方程在几何中的应用平面方程在解决几何问题中的作用平面方程在实际生活中的应用
解析几何中的问题求解
平面方程与微分几何的关系
平面方程是微分几何的基础
平面方程描述了平面上的点、线、面的位置关系
微分几何通过研究平面方程来研究曲面的性质
平面方程与微分几何在几何学、物理学等领域有广泛应用

高数同济六版课件D85平面方程

平面的截距式
截距式：Ax+By+C=0
性质：平面的截距式表示平面上任意一点到原点的距离
特点：截距式可以表示任意平面，包括平行平面和垂直平面
应用：截距式在解决立体几何问题、解析几何问题等方面有广泛应用
平面的斜率式
斜率式：平面方程的一种表示形式，用于描述平面的斜率和截距
截距：平面与x轴或y轴的交点，表示平面在坐标轴上的位置
● a. 选取已知点P(x0, y0, z0) ● b. 计算向量AP(x1, y1, z1)和向量BP(x2, y2, z2) ● c. 计算向量AP和向量BP的叉乘 ● d. 计算叉乘的结果与向量AP和向量BP的点积 ● e. 求解平面方程
● 应用：适用于求解已知点的平面方程
一般式求解
平面方程的一般式：Ax+By+Cz+D=0 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼,言简的阐述观点。
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斜率：平面与x轴或y轴的夹角，表示平面的倾斜程度
斜率式的应用：用于求解平面方程、判断平面的性质和特点等
平面的点向式
点：平面上的任意一点
点向式：平面方程的一种表示形式，由一个点和一个向量组成
向量：平面的法向量，垂直于平面
性质：点向式可以表示平面上任意一点的位置和方向
求解步骤： a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值 a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值特殊情况： a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当 A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面

高等数学第八章第5节

− 4 x + 2 y − 2z − 1 = 0 − 4 x + 2 y + 2z − 2 = 0
r n2 = {−4, 2,−2}
2 −1 1 , 两平面平行 ⇒ = = −4 2 −2 Q M (1,1,0) ∈ Π 1 M (1,1,0) ∉ Π 2
两平面平行但不重合．两平面平行但不重合．
பைடு நூலகம்
2 −1 −1 , 两平面平行 ( 3) Q = = 2 −4 2
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.
解设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
由平面过点( 6,−3, 2) 知 6 A − 3 B + 2C = 0
r Q n⊥{4,−1,2},
∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为时,平面方程为 x y z + + = 1 (a , b, c ≠ 0) a b c 此式称为平面的截距式方程截距式方程. 截距式方程分析:利用三点式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C ≠ 0 )
2 2 2
平面一般式方程的几种特殊情形： • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量

(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。

使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。

在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。

在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2．量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3．向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4．量的模：向量的大小，记为a。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。

零向量的方向是任意的。

5．量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。

零向量与如何向量都平行。

6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算1．加减法c b a =+：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．c b a =- 即c b a =-+)(3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=其满足的运算规律有：结合率、分配率。

设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么aa a 0=定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。

高等数学平面及其方程

x y z 解设平面为 1, a b c 1 1 V 1, abc 1, 3 2
由所求平面与已知平面平行得
z
o
y
x
1
（向量平行的充要条件）
a b c, 6 1 6
1
1
1 1 1 1 1 1 , 令 t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t 1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6t 6
一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．
z
n
M
M0
o
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知 n { A, B , C }, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
D A , a
D D B , C . b c
D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
例 5 求平行于平面6 x y 6 z 5 0 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
0
0
1
由点法式得，所求平面的方程为
( x 1) 2( y 1) 0
即
x 2y 1 0
解二用一般式
因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为
Ax By D 0
M 1 , M 2 在平面上 A B D 0 解得 A D, B 2 D A D 0 所求平面方程为 Dx 2 Dy D 0

高数第八章(5)平面及其方程

平面及其方程演示文稿

同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程

8第八章空间解析几何答案

同济高数（第七版）--第八章

8(5)平面及其方程

高数下册知识点

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高等数学-第8章 - (平面及其方程)

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