一元二次方程根与系数关系及应用题(讲义及答案)

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）

一、知识点睛

1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ⋅=_________，

这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________．

2．一元二次方程应用题的常见类型有：

①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；

1人患了流感，经过两轮传染．

经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”．

3．应用题的处理流程：

① 理解题意，辨析类型；

② 梳理信息，建立数学模型；

③ 求解，结果验证．

二、精讲精练

1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12

x x ⋅的值分别是（ ）

A ．7，4

B ．72-，2

C ．72，2

D ．7

2，-2

2. 若x 1=23-是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则

该方程的另一个根x 2=_________，a =________．

3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范

围是____________________．

4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是25，

则m =________．

5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设

平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）

A ．2289(1)256x -=

B ．2256(1)289x -=

C ．289(12)256x -=

D ．256(12)289

x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将

达到8 840元/米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________．

7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则

每轮传染中平均一个人传染了________________个人．

8. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列

各式的值．

（1）12

1

1x x +； （2）22

12x x +．

解：由原方程知

a =_____，

b =_____，

c =_____，

2Δ4 0

b ac

_____=-=

=∵

∴12x x += ，12x x ⋅= ．

（1）原式=

=

=

9. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该方程的两个根，且2212121

8x x x x +=-，求实数m 的值．

10.如图，在一块长92 m，宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水

渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？

60m

92m

11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？

【分析】

售价/元成本/元利润/元销量/件解：

12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售

200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？

【分析】

售价/元成本/元利润/元销量/件解：

13.我市高新技术开发区的某公司，用320万元购得某种产品的

生产技术后，进一步投入资金880万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？

（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）

【分析】

售价/元成本/元利润/元销量/万件其他成本/万元解：

三、回顾与思考

________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

【参考答案】

一、知识点睛

1. b

c

a a ，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．

2. ①增长率型；②面积型；③经济型．

二、精讲精练

1．D 2．23+，-4 3．12a <≤ 4．2±

5．A 6．6000(1+x )2=8840 7．10

8．解：由原方程知：

a =2，

b =4，

c =-3，

()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=＞∵

∴122x x +=-，123

2x x ⋅=-．

（1）原式12

122433

2

x x x x +-===-； （2）7

9．5m = 10．水渠应挖1m 宽．

11． 售价/元 成本/元 利润/元 销量/件

50 30

50-x 30+2x

（1）2x ，()50x -

（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 12． 售价/元 成本/元 利润/元 销量/件

10 8 2 200

x 8 x -8 10

2001005.x --⨯

每件售价定为12元时，才能使每天的利润达到640元．