线性卷积与圆周卷积

信号、系统与信号处理实验Ⅱ
实验报告
实验名称：线性卷积与圆周卷积的计算
一、 实验目的
（1） 通过编程、上机调试程序，进一步掌握使用计算机解决问题的能力
（2） 掌握线性卷积和圆周卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系
二、 实验内容与要求
1. 线性卷积
当系统输入序列为x(n),系统的单位冲击响应为h(n)，输出序列为y （n ），则线性时不变系统输入、输出间的关系为：
Y （n ）=h （n ）*x （n ）
2. 圆周卷积
设两个有限长序列1()x n 和2()x n ，均为N 点，其N 点的DFT 分别为1()X k 和2()X k ，如果312()()()X k X k X k =⋅，则
1
3120()[()()]()N N m x n x
m x n m R n -==-∑ 1
120()(())N N m x m x n m -==-∑
1()x n =○
N 2()x n 01n N ≤≤- 已知两个有限长序列：
()()2(1)3(2)4(3)5(4)x n n n n n n δδδδδ=+-+-+-+-
()()2(1)(2)2(3)h n n n n n δδδδ=+-+-+-
（1） 实验前，预先笔算好这两个序列的线性卷积及下列几种情况的圆周卷积 ①()x n ⑤()h n ②()x n ⑥()h n ③()x n ⑨()h n ④()x n ⑩()h n
（2）编制一个计算两个序列线性卷积的通用程序，计算()()x n h n *。

（3）编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下的两个序列的圆周卷积。

（4）上机调试并记录实验结果
（5）将实验结果和预先笔算的结果比较，验证其正确性。

三、实验程序与结果
函数circonv
function yc=circonv(x1,x2,N)
if length(x1)>N
error;
end
if length(x2)>N
error;
end
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];
n=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-n,N)+1);
H=zeros(N,N);
for n=1:1:N
H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N);
end
yc=x1*H';
函数cirshiftd
function y=cirshiftd(x,m,N)
if length(x)>N
error('x的长度必须小于N');
end
x=[x,zeros(1,N-length(x))];
n=[0:1:N-1];
y=x(mod(n-m,N)+1);
①x(n)⑤y(n)
clear all
xn=[1 2 3 4 5];
hn=[1 2 1 2];
N1=length(xn);
N2=length(hn);
y1n=conv(xn, hn);
ycn=circonv(xn, hn, 5);
ny1=[0:1:length(y1n)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1, y1n);
subplot(2,1,2);
stem(ny2, ycn);
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];
hn=[1 2 1 2];
yln=conv(xn,hn);
ycn=circonv(xn,hn,6); ny1=[0:1:length(yln)-1]; ny2=[0:1:length(ycn)-1]; subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积'); subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');
③x(n)⑨y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];
hn=[1 2 1 2];
yln=conv(xn,hn);
ycn=circonv(xn,hn,9); ny1=[0:1:length(yln)-1]; ny2=[0:1:length(ycn)-1]; subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积'); subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');
④x(n)⑩y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];
hn=[1 2 1 2];
yln=conv(xn,hn);
ycn=circonv(xn,hn,10); ny1=[0:1:length(yln)-1]; ny2=[0:1:length(ycn)-1]; subplot(2,1,1);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');
四、实验问题解答与体会
①圆周卷积与线性卷积的关系：
若有x1(n)与x2（n）两个分别为N1与N2的有限长序列，则它们的线性卷积y1（n）为N1+N2-1的有限长序列，而它们的N点圆周卷积y2（n）则有以下两种情况：1，当N<N1+N2-1时，y2（n）是由y1（n）的前N点和后（N1+N2-1-N）点圆周移位后的叠加而成；N> N1+N2-1时，y2（n）的前N1+N2-1的点刚好是y1（n）的全部非零序列，而剩下的N-(N1+N2-1)个点上的序列则是补充的零。

②线性卷积运算步骤：
求x1(n)与x2（n）的线性卷积：对x1(m)或x2（m）先进行镜像移位x1（-m），对移位后的序列再进行从左至右的依次平移x(n-m),当n=0,1,2.…N-1时，分别将x(n-m)与x2（m）相乘，并在m=0,1,2.…N-1的区间求和，便得到y（n）
③圆周卷积运算步骤：
圆周卷积过程中，求和变量为m，n为参变量，先将x2(m)周期化，形成x2((m))N,再反转形成x2((-m))N,取主值序列则得到x2((-m))NRN(m),通常称之为x2(m)的圆周反转。

对x2(m)圆周反转序列圆周右移n,形成x2((n-m))NRN(m),当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。

通过本次实验，我掌握了线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证了两者之间的关系，同时，通过上机调试程序，进一步增强了我使用计算机解决问题的能力。

虽然对于一些细节还是没能做到通透，但是，在理论课上，不解的几个问题，都有了真切的认识。