9 气体动理论习题详解

习题九

一、选择题

1．用分子质量m ，总分子数N ，分子速率v 和速率分布函数()f v 表示的分子平动动能平均值为 [ ]

（A ）0

()Nf v dv ∞

?

； （B ）

20

1

()2

mv f v dv ∞?

；

（C ）20

1

()2

mv Nf v dv ∞?

；

（D ）0

1

()2

mvf v dv ∞?

。

答案：B

解：根据速率分布函数()f v 的统计意义即可得出。()f v 表示速率以v 为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而dv v Nf )(表示速率以v 为中心的dv 速率区间内的气体分子数，故本题答案为B 。

2．下列对最概然速率p v 的表述中，不正确的是 [ ]

（A ）p v 是气体分子可能具有的最大速率；

（B ）就单位速率区间而言，分子速率取p v 的概率最大； （C ）分子速率分布函数()f v 取极大值时所对应的速率就是p v ；

（D ）在相同速率间隔条件下分子处在p v 所在的那个间隔内的分子数最多。 答案：A

解：根据()f v 的统计意义和p v 的定义知，后面三个选项的说法都是对的，而只有A 不正确，气体分子可能具有的最大速率不是p v ，而可能是趋于无穷大，所以答案A 正确。

3．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 [ ]

（A ）氧气的温度比氢气的高； （B ）氢气的温度比氧气的高；

（C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。

答案：A

rms v =222222221

,16

H O H H H O O O T T T M M M T M ===，所以答案A 正确。

4．如下图所示，若在某个过程中，一定量的理想气体的

热力学能（内能）U 随压强p 的变化关系为一直线（其 延长线过U —p 图的原点），则该过程为[ ]

（A ）等温过程； （B ）等压过程； （C ）等容过程； （D ）绝热过程。 答案：C

解：由图知内能U kp =，k 为曲线斜率，而022

m i i

U RT pV M =

=，因此，V 为常数，所以本题答案为C 。

5．有A 、B 两种容积不同的容器，A 中装有单原子理想气体，B 中装有双原子理想气体，若两种气体的压强相同，则这两种气体的单位体积的热力学能（内能）A U V ?? ???和B

U V ??

???的

关系为 [ ]

（A ）A B U U V V ????< ? ?????；（B ）A B U U V V ????> ? ?????；（C ）A B

U U V V ????

= ? ?????；（D ）无法判断。

答案：A

解：理想气体状态方程PV RT ν=，内能2i

U RT ν

=(0m M

ν=)。由两式得2U i P V =，A 、

B 两种容积两种气体的压强相同，A 中，3i =；B 中，5i =，所以答案A 正确。

二、填空题

1．用分子质量m ，总分子数N ，分子速率v 和速率分布函数()f v 表示下列各量：

1）速率大于100m/s 的分子数 ；

2）分子平动动能的平均值 ；

3）多次观察某一分子速率，发现其速率大于100m/s 的概率 ；

答案： 100()f v Ndv ∞

?；

2

01()2

mv f v dv ∞

?； 100()f v dv ∞?。 解：根据速率分布函数()f v 的统计意义，()f v 表示速率以v 为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而dv v Nf )(表示速率以v 为中心的dv 速率区间内的气体

分子数，1

2

()v v f v Ndv ?表示速率在1v 到2

v 之间的分子数，

2

1

()v v f v Ndv

N

?表示速率在1v 到2v 之

间的分子数占总分子数的比例，也即某一分子速率在1v 到2v 的概率。

2．氢气在不同温度下的速率分布曲线如图所示， 则其中曲线1所示温度1T 与曲线2所示温度2T 的高低 有1T 2T （填 “大于”、“小于” 或“等于”

答案：小于。

解：根据最概然速率p v =

曲线1和曲线2都表示氢气的速率分布曲线，而曲线2所示的最概然速率大于曲线1所

示的最概然速率，因此曲线2所示的温度高于曲线1所示的温度。

3．温度为T 的热平衡态下，物质分子的每个自由度都具有的平均动能为 ；温度为T 的热平衡态下，每个分子的平均总能量 ；温度为T 的热平衡态下，

νmol(0/m M ν=为摩尔数)分子的平均总能量 ；温度为T 的热平衡态下，每个

分子的平均平动动能 。 答案：12kT ；2i kT ；2

i RT ν；kT 2

3

。

4．质量为50.0g 、温度为18.0o C 的氦气装在容积为10.0升的封闭容器内，容器以200v =m/s 的速率做匀速直线运动。若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子

热运动的动能，则平衡后氦气的温度将增加 K ；压强将增加 Pa 。 答案：6.42K ；50.6710Pa ?。

解：定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，所以

22111()0222A A

M M

U mv v N N ?=-?=-?

3223

23141020013.3102 6.0210--?=??=??J 23

23

2213.310 6.4233 1.3810U T k --????===??K

32

503

50108.2110 6.420.6710Pa 41010

m R T p MV ---?????==?=???

5．一定量的理想气体，在温度不变的情况下，当压强降低时，分子的平均碰撞次数Z 的变化情况是z （填“减小”、“增大”或“不变”），平均自由程λ的变化情况是

λ （填“减小”、“增大”或“不变”）。

答案：减小；增大。

解：分子的平均碰撞次数2z d nv

，平均自由程λ=

，式中v =根据题意，理想气体温度不变，因此v 不变。根据p nkT =，根据题意，理想气体压强降低，n 减小，所以分子的平均碰撞次数Z 减小，平均自由程λ增大。

三、计算题

1．设想每秒有2310个氧分子（质量为32原子质量单位）以-1500m s ?的速度沿着与器壁法线成45o 角的方向撞在面积为43210m -?的器壁上，求这群分子作用在器壁上的压强。

答案：41.8810Pa p =?

解：如图所示，F

p S

=

所有分子对器壁的冲量为： 2c o s F t N m v θ?=? 式中23

10N =。取1s t ?= 则2cos F N mv θ=?

42cos 45 1.8810Pa o F N mv P S S

?===?

2．设氢气的温度为300℃。求速度大小在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数N 1与速度大小在p v 到10+p v m/s 之间的分子数N 2之比。 答案：

1

2

0.78N N =。 解：2

3

2

22()4()e 2mv kT m f v v kT ππ-=

，2182 m/s p v =

= 11()N Nf v v =?，22()p N Nf v v =?

2

222

()2

2

2

11222

22()()e e 0.78()()e p p mv M v v kT RT

mv p p p p kT p

N f v v f v v v

N f v v f v v v ----?=====?

3．导体中自由电子的运动可以看成类似于气体分子的运动，所以常常称导体中的电子为电子气，设导体中共有N 个自由电子，电子气中电子的最大速率为f v （称做费米速率），

电子的速率分布函数为：2

4,0()0,f

f Av v v f v v v π?≤≤?=?>??

式中A 为常量，求：（1）用N 和f v 确定常数A ；（2）电子气中一个自由电子的平均动能。

答案：（1）3

34f A v π=

；（2）23

10

k e f m v ε=。 解：（1）由速率分布函数的归一化条件0

()1f v dv ∞

=?，有20

401f

f

v v Av dv dv π∞

+=??，

得

34

13

f Av π=，所以常数 3

34f A v π=； （2）电子气中一个自由电子的平均动能为

22252

1

233()422

5105

f

f

v v e k e e f e f

f m m v f v dv v Av dv Am v m v εππε==?===?

?

其中312

f e f m v ε=

，称做费米能级。

4．将1mol 温度为T 的水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，试求氢气和氧气的热力学能（内能）之和比水蒸气的热力学能增加了多少？（所有气体分子均视为刚性分子）。 答案：3

4

U RT ?=

。 解：1mol 理想气体的内能为2

i

U RT =

，分解前水蒸气的内能为 16

322

i U RT RT RT ===

1mol 的水蒸气可以分解为1mol 的氢气和0.5mol 的氧气，因为温度没有改变，所以分解后，氢气和氧气所具有的内能分别为

2522i U RT RT == 和 3155

2224

i U R T R T R

T ν==?= 所以分解前后内能的增量为

231553()()3244

U U U U RT RT RT RT ?=+-=+-=

5．在半径为R 的球形容器里贮有分子有效直径为d 的气体，试求该容器中最多可以容纳多少个分子，才能使气体分子间不至于相碰？

答案：2

20.47R N d

=

=。 解：为使气体分子不相碰，则必须使得分子的平均自由程不小于容器的直径，即满足

2R λ≥

由分子的平均自由程

λ=

， 可得n =≤

上式表明，为了使分子之间不相碰，容器中可容许的最大分子数密度为

max n =

因此在容积34

3

V R π=的容器中，最多可容纳的分子数N 为

2

3

max 240.473R N n V R d π=?===