信息光学导论第二章9页word
光信息处理(信息光学)

光信息处理(信息光学)复习提纲第一章线性系统分析1.空间频率的定义是什么?如何理解空间频率的标量性和矢量性?2.空间频率分量的定义及表达式?3.平面波的表达式和球面波的表达式?4.相干照明下物函数复振幅的表示式及物理意义?5.非相干照明下物光强分布的表示式及物理意义?6.线性系统的定义7.线性系统的脉冲响应的表示式及其作用8.何谓线性不变系统9.卷积的物理意义10.线性不变系统的传递函数及其意义11.线性不变系统的本征函数第二章标量衍射理论1.衍射的定义2.惠更斯-菲涅耳原理3.衍射的基尔霍夫公式及其线性表示4.菲涅耳衍射公式及其近似条件5.菲涅耳衍射与傅立叶变换的关系6.会聚球面波照明下的菲涅耳衍射7.夫琅和费衍射公式8.夫琅和费衍射的条件及范围9.夫琅和费衍射与傅立叶变换的关系10.矩形孔的夫琅和费衍射11.圆孔的夫琅和费衍射(贝塞尔函数的计算方面不做要求)12.透镜的位相变换函数13.透镜焦距的判别14.物体位于透镜各个部位的变换作用15.几种典型的傅立叶变换光路第三章光学成象系统的传递函数1.透镜的脉冲响应2.相干传递函数与光瞳函数的关系3.会求几种光瞳的截止频率4.强度脉冲响应的定义5.非相干照明系统的物象关系6.光学传递函数的公式及求解方法7.会求几种情况的光学传递函数及截止频率第五章光学全息1.试列出全息照相与普通照相的区别2.简述全息照相的基本原理3.试画出拍摄三维全息的光路图4.基元全息图的分类5.结合试验谈谈做全息实验应注意什么(没做过实验,只谈一些理论性的注意方面)6.全息照相为什么要防震,有那些防震措施,其依据是什么7.如何检测全息系统是否合格8.全息照相的基本公式9.全息中的物像公式及解题(重点)复 习第一章 线性系统分析1.空间频率的定义是什么?如何理解空间频率的标量性和矢量性?时间量 空间量22v T πωπ==22K f ππλ== 时间角频率 空间角频率其中:v ----时间频率 其中:f ---空间频率T----时间周期 λ-----空间周期 物理意义:由图1.7.3知:(设光在z x ,平面内传播,0=y )cos xd λα=, 又 ∵ 1x xf d =联立得:cos x f αλ=讨论:① 当090,,<γβα时0,,>z y x f f f ,表示k沿正方向传播;②标量性,当α↗时,αcos ↘→x f ↘→x d ↗当α↘时,αcos ↗→x f ↗→x d ↘ ③标量性与矢量性的联系条纹密x d ↘→x f ↗→α↘→θ↗x x f d 1=λαcos =x f 条纹疏x d ↗→x f ↘→α↗→θ↘2.空间频率分量的定义及表达式?{}γβαcos ,cos ,cos k k ={}z y x r ,,=)cos cos cos (γβαz y x k r k ++=⋅代入复振幅表达式:()()()[]γβαμcos cos cos ex p ,,,,0z y x jk z y x z y x U ++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j z y x λγλβλαπμcos cos cos 2exp ,,0 ()()[]z f y f x f j z y x z y ++=λπμ2ex p ,,0式中:λαcos =x f ,λβcos =yf ,λγcos =z f3.平面波的表达式和球面波的表达式?平面波()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j z y x U λγλβλαπμcos cos cos 2exp ,,0 ()()[]z f y f x f j z y x U z y x ++=πμ2ex p ,,0球面波()1,,jkr a U x y z e γ=()21212212121221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=z y x z z y x r近轴时()1,,U x y z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=1221021exp z y x jkz r a()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≈1221102exp exp z y x jkjkz z a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12202exp z y x jkU若球面波中心不在坐标原点,上式改为:()1,,U x y z ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=1202002exp z y y x x jk U4.相干照明下物函数复振幅的表示式及物理意义?设()y x f ,为一物函数的复振幅,其傅氏变换对为 ()()(),exp 2x y x y F f f f x y j f x f y dxdyπ∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰⎰ ()()(),exp 2x yxyxyf x y F f f j f x f y df dfπ∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰可见:物函数()y x f ,可以看作由无数振幅不同()x y x y F f f df df 方向不同()cos ,cos xyf f αλβλ==的平面波相干迭加而成。
信息光学课后习题解答_苏显渝主编
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k 2 2 ( x0 y0 ) U0 ( x0 , y0 ) A0 P( x0 , y0 ) exp j 2f
x 0 y0 k 2 2 exp j ( x y A0 circ( ) 0 ) 2f 0 D1 / 2
2 2
将此式代入菲涅耳衍射公式
0 x1
0 1.5 计算下列一维卷积
x 1 (1) ( 2 x 3) rect( ) 2 x 1 x 1 ( 2) rect( ) rect( ) 2 2
其它
( 3) comb ( x ) rect( x )
解(1)
(1) ( 2 x 3) rect( x 1 1 3 x 1 ) ( x ) rect( ) 2 2 2 2
x y0
2 x 0 y0 e xp( jkf ) exp ( jkf ) D 1 circ( )dx0 dy0 A0 U (0,0, f ) A0 D1 / 2 j f j f 4 2 2 2 D1 I 0 106 I (0,0, z ) A0 4 f
f ( x ) cos2 x 的响应
试计算各自对输入函数 g1 ( x ) 和 g2 ( x ) 解: H1 ( ) rect( )
H 2 ( )
1 rect( ) 3 3
1 F ( ) ( 1) ( 1) 2 1 G1 ( ) H 1 ( ) ( 1) ( 1) 2 1 rect( ) ( 1) ( 1) 0 2
n
0
n
n为奇数
2 ( x 2n )
1.4 计算下面两个函数的一维卷积
10-信息光学2
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#2 Review of Linear Systems and Fourier Transforms1Systemsp1 ( x1 , y1 )Imaging SystemS{ p1 ( x1 , y1 )} = p 2 ( x2 , y 2 )S{ }A system accepts an input signal and produces an output signal. Mathematically, a system can be described using an operator S{ } that maps a set of input functions onto a set of output functions. For imaging systems, the inputs and outputs are generally two dimensional complex-valued functions.2Examples of linear and nonlinear systemsLinear System Multiply by 5S{ p( x1 , y1 ) + q ( x1 , y1 )} = 5 p ( x1 , y1 ) + 5q( x1 , y1 )Linear since the input signals interact independentlySquareNonlinear SystemS{ p ( x1 , y1 ) + q ( x1 , y1 )} = p 2 ( x1 , y1 ) + q 2 ( x1 , y1 ) + 2 p ( x1 , y1 )q ( x1 , y1 )Not linear since the input signals interact with one another in this 3 term.Linear systems satisfy superposition and scaling propertiesSuppose we have a signal that can be composed of a sum of “elementary” functions. Response to an individual elementary function: Response to an input signal composed of these scaled elementary functions (inputted at the same time into the system):S{ap ( x1 , y1 ) + bq ( x1 , y1 )} = aS{ p ( x1 , y1 )} + bS{q ( x1 , y1 )}where a, b are constants (can be complex-valued)4Properties of Linear SystemsThe system treats each of the elementary functions p(x1,y1) and q(x1,y1) independently.S{ap ( x1 , y1 ) + bq ( x1 , y1 )} = aS{ p ( x1 , y1 )} + bS{q ( x1 , y1 )}Notice that the output depends on p and q independently.5Fourier transform is linear?Here, we write a square wave as a sum of sine waves.6Shift TheoremThe Fourier transform of a shifted function, g(t-a)F {g (t a )} = eProof:∞ i 2πfaG( f )F {g (t a )} =∞∫ g (t a) exp(i 2πft )dt∞Change variables: u=t-aF {g (t a )} = exp(i 2πfa ) ∫ g (u ) exp(i 2πfu )du= exp(i 2πfa )G ( f )7∞The Fourier Transform of a sum of two functions F(ω) f(t)F {af (t ) + bg (t )} = aF { f (t )} + bF {g (t )}g(t) t G(ω)ωtωF(ω) + G(ω)Also, constants factor out.f(t)+g(t)tω8Fourier transform is linear.A signal can also be decomposed into a sum of sinusoids.F {g }F 1{G}Real spaceFourier TransformFrequency spaceF {g } = G ( f x , f y ) = ∫ ∫ g ( x, y ) exp j 2π ( f x x + f y y ) dx dy∞ ∞[]Inverse Fourier TransformF1{G} = g ( x, y ) = ∫ ∫∞ G ( f x , f y )exp[ j 2π ( f x x + f y y )] df x df y∞9Signal Decomposition Using SinusoidsInverse Fourier TransformF1{G} = g ( x, y ) = ∫ ∫∞ G( f X , fY ) exp[ j 2π ( f X x + fY y )] df X∞dfYsignalweighting function for spatial frequencies fx and fyElementary function with spatial frequencies fx and fy Physically, we can think of this as elementary functions with different angles and different spatial periods10Similarity Theorem ExamplesFrequencyDomainWide in fx,Narrow in fyNarrow in fx,Wide in fyAmplitude PhaseCircular aperture Airy functionA function with circular symmetry can be described by the radialθg=,(g)ryf 1xf 1θL+ +。
信息光学第二章
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U PaPexp jφP
称为单色光场中点的复振幅,它包含了点光振动的振幅和初位相, 仅仅是位置坐标的复值函数,与时间无关
光强可用复振幅表示成 I P U P UU *
4
亥姆霍兹方程
在仅涉及满足叠加原理的线性运算(加、减、积分和微分等)时, 可用复指数函数替代表示光振动的余弦函数形式。在运算的任何一 个阶段对复指数函数取实部,与直接用余弦函数进行运算在同一个 阶段得到的结果是相同的
15
例题
已知一平面波的复振幅表达式为
U x, y, z Aexp j4x 3y 4z
试计算其波长以及沿各方向的空间频率并给出在 z 5mm 的垂直于 z
轴的平面上的复振幅分布( 0.3,1.0 )。
解:由于 2f x 4,
2f y 3,
2f z 4
所以
( 2 )2 cos2 cos2 cos2 42 32 42 41 2 0.98
信息光学
标量衍射理论
1
一 什么是标量衍射理论?
衍射:按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直 线光路的任何偏离”
光的标量衍射理论的条件 (1)衍射孔径比波长大很多, (2)观察点离衍射孔不太靠近;
经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的,1818年菲涅耳 引入干涉的概念补充了惠更斯原理,1882年基尔霍夫利用格林定 理,采用球面波作为求解波动方程的格林函数,导出了严格的标 量衍射公式
A( f x , f y , z) U (x, y, z) exp[ j (xf x yf y )]dxdy
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传 播的平面波,因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱
同时有逆变换为
光学信息第二章1-2
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a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]} z1 2z1
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z1 2z1
• 说明:分母中 r 直接用z1替代,而指数项中 r 由 于波长λ极小,k 2 很大,上式中第二项不能 省略
coscos平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入理解这个概念的物理含义是很重要的首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况考虑cosexpcos复振幅在xy平面上周期分布的空间周期可以用相位差的两相邻等相位线的间距x表示则有x方向的空间频率用表示单位因此y方向的空间频率cos传播方向余弦为cos0的单色平面波在xy平面上的复振幅分布可用xy方向的空间频率来表示
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布,但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布, 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f x 不再和单色平面波 , fy) 述。但空间频率 exp j2 ( f x x 也就不再对应沿某一 f y y) 有关, 方向传播的平面波。
U ( x, y ) A exp j 2 ( f x x f y y )
• 代表了一个传播方向余弦为 (cos , cos ) 的单色平面波。 • 我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分 cos 布,可以类似地定义沿z方向的空间频率 f z 有 U ( x, y, z ) a exp j 2 ( f x x f y y f z z ) • 由 cos2 cos2 cos2 1 有 f 2 f 2 f 2 1 x y z 2
2.2
信息光学教案第二章
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§ 2. 基尔霍夫衍射理论 b.基尔霍夫衍射公式
5.相干光场在观察屏的表述 当观察屏足够远,衍射区相对小时,可得:
cos( n r ) 1 cos( n r0 ) 1
Q
此时:
( x x0 )2 ( y y0 )2 12 r z [1 ] 2 z ( x x0 )2 ( y y0 )2 [( x x0 )2 ( y y0 )2 ] 2 z{ 1 } 2 4 2z 8z
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 b.基尔霍夫衍射公式
xx0 yy0 x 2 y 2 x0 y0 r z [1 ] 2 2 2 2z 2z z
5.相干光场在观察屏的表述 2 2
2 2 2
(2)当 z x0 y0
时
Q
xx0 yy0 r z [1 ] 2 z
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 a.惠更斯-菲涅耳原理
K(
0, K K max ):倾斜因子 K ( ) , K 0 2
分析:1.从定性到定量,但仍然基于子波假设。 2.倾斜因子实际上是未知量。
U ( p1 )K ( θ ) dU( p ) exp( jkr )dS r U ( p1 ) K ( θ ) U ( p ) exp( jkr ) dS s r
5.相干光场在观察屏的表述
2 2 2 z ( x x ) ( y y ) (1) 0 0 时
当
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z [1 ] 2 2z
Q
称为旁轴近似条件
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 b.基尔霍夫衍射公式
5.相干光场在观察屏的表述
信息光学第二章2
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• 这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似。在这一 近似条件下,脉冲响应可进一步简化为
h ( x 0 , y0 ; x , y ) exp( jkz ) k k exp j ( x 2 y 2 ) exp j ( xx0 yy0 ) j z 2z z
2 2 0 0 0 0
代入 有:
U ( x, y)
U ( x , y )h( x-x , y-y )dx dy
0 0 0 0 0 0
0
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp( jkz ) U ( x, y) U 0 ( x0 , y0 )exp jk dx0 dy0 j z 2z
入射光
Q
2.2 基尔霍夫衍射理论
1. 惠更斯-菲涅尔原理
光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子 波源,这些子波源是相干的,则在波继续传播的空 间上任一点处的光振动,都可看做是这些子波源各 自发出的子波在该点相干叠加的结果。 其数学表达式为:
U ( Q ) c U 0 ( p ) k ( )
1/ 2
• 旁轴近似下
1 x x 0 2 1 y y0 2 r z 1 2 z 2 z
• 脉冲响应可近似为
h x x 0 , y y0 exp jkz j z
2 2 k exp j x - x 0 y - y0 2z
1 a0e U (Q) j r0
jkr0
cos(n, r ) - cos(n, r0 ) e jkr ds 2 r
基尔霍夫衍射公式
光电信息导论2

玻尔模型:原子的电子轨道 并非连续分布,而是具有不 连续性。电子只能在这些特 定的轨道之间发生跃迁。这 是量子力学的结果。 因此跃迁所发射的光谱是分 立的谱线而非连续谱线。
孤立氢原子:分立能级
1.2 晶体能带理论
分子:几个原子通过各自最外层 电子的成键,紧密结合在一起。
更准确的 E~k图
E~k能带结构
全满的价带电子无法导电(动量角度):价带电子无法 导电的另一种原因,如左下图。整个系统中,全满的价 带电子分布在E~k图上,左右对称;即既有正向运动的 电子,也有反向运动的电子;所有电子的动量的代数和 为零。因此,价带的电子虽然是运动的,但其无法沿某 一个固定方向传递能量,亦即无法导电。
8
6
3×1 10
4
{
300 30
3 300 30 MHz
3 300 30
}
}
7
波 长
频 率
}
}
kHz
GHz 10 10 10 10 10 δ/cm
-1 5
4
3
2
1
能量单位:电子伏特(eV)
Since the energies related to atoms and photons are very small, (EGREEN LIGHT = 3.57 × 10−19 J), we have defined a new unit of energy called “electron Volt” or “eV” One eV is the energy acquired by an electron when accelerated by a 1.0 V potential difference.
信息光学(傅里叶光学)Chap2-1
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1
1
其它
其他频率 分量全通
H(f)
-1/4
0 1/4 -1
f
H(f) = 1-2rect(2f)
线性不变系统 例
H(f) = 1-2rect(2f)
脉冲响应: h( x)
-1
x H ( f ) d ( x) sinc 2
h(x)
x -2 0 2
线性不变系统 H(f) = 1-2rnc50 f sinc( f )
只要知道各个脉冲响应函数, 系统的输出即为脉冲响应函数 的线性组合. 问题是如何求对任意点的脉冲d 响应h(x,
y; xh)
§2-1 线性系统简介
脉冲响应函数h(x, y ; x h )的求法:
对一般系统而言, 脉冲响应函数的形式可能是点 点不同的
例如,
{d(x)}= h (x)=1 {d(x-1)}= h (x;1)= exp(-j2px) h (x;1) h (x-1)=1
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h) 则此线性系统称为空间不变系统或位移 不变系统.
线性不变系统的脉冲响应:
h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)
观察点 输入脉冲 坐标 坐标 二个坐标的 相对间距
线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化.
§2-2 线性不变系统: 例
•低通滤波器: 允许通过的频率有一上限—截止频率 例2.1中的传递函数的性质:在|频率| < b的区间 内信号能无畸变地通过,此外全部阻塞. 这种系统的作用 是低通滤波器. • 高通滤波器: 允许通过的频率有一下限 • 带通滤波器: 只通过某特定频带内的频率分量 • 其它滤波器: 位相滤波器, 匹配滤波器等等
信息光学导论_chapter 2

01
1 4
eikr01 U eikr01 U r n n r01 S 01
dS
称为基尔霍夫积分定理。 称为 基尔霍夫积分定理。
关于基尔霍夫积分定理的几点说明: 1.物理意义:衍射光场中任意点P0的 复振幅分布U(P0)可以用包围该点的 任意封闭曲面S上的各点的波动边界 值U和 U n 求得。
标量衍射理论的发展(简介):
惠更斯原理(1678) (几何作图法)
惠更斯-菲涅耳原理(1818)
(引入干涉的思想)
基尔霍夫公式(1882)
(应用格林定理)
本章从基尔霍夫衍射公式开始,讨论两类 典型的衍射,即夫琅和费衍射和菲涅耳衍射, 并用空间频谱的观点来分析衍射现象。
本章重点
1.空域与频域的基尔霍夫衍射公式 2.经简化后的两类典型的衍射 3.一些典型孔径的夫琅和费衍射 4. 泰保效应和采用会聚球面波照明孔径时形成 的衍射
三.菲涅耳—基尔霍夫衍射公式
对孔径采取具体的照明方式后 采取具体的照明方式后, , 基尔霍夫衍射公 式会有更具体的形式。 式会有更具体的形式 。 设孔径由P 设孔径由 P2点处的单色点光源照明 点处的单色点光源照明: :
eikr21 U (P 1) A r21
由于 r01、r21 从而
课后思考
1.基尔霍夫边界条件具有不自洽性,如何改善? 1. 基尔霍夫边界条件具有不自洽性,如何改善? 2.当一束截面很大的平行光遇到一个小小的墨 2.当一束截面很大的平行光遇到一个小小的墨 点时,有人认为它无关大局,其影响可以忽略, 后场基本上还是一束平行光。这个看法对吗? 为什么?
第二讲 衍射规律的频域表达式
1 1 ,则 k 、 r01 r21
信息光学 第二章
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二 惠更斯-菲涅耳原理 目的:以子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述。 Z Q R S Z/ 研究方法:单色点光源S发出的球面波波面为,波面半径为R, 光波传播空间内任意一点P的振动应是波面上发出的所有子波 在该点振动的相干叠加。 r
P
三
基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫的贡献:1.给出了倾斜因子 K 2.给出了常数C的具体形式
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp( jkz) U ( x, y ) U 0 ( x0 , y0 ) exp[ jk ]dx0 dy0 jkz 2z
其中Σ 0为物函数所在的范围。透过透镜后的场分布为:
x2 y2 ( x, y) U 1 ( x, y) P( x, y) exp( jk U1 ) 2f
方法:将光场当作标量处理,只考虑电场的一个横向分量的标量 振幅,而假定其它分量也可以用同样的方法处理,忽略电 磁场矢量间的耦合特性,称之为标量衍射理论。
标量衍射理论适用条件: (1)衍射孔径比波长大得多 (2)观察平面远离孔径平面 主要研究问题: 研究光源S发出的球面波照明无限大的不透明屏上的孔, 计算孔径右边空间衍射场中某点P的场值--小孔衍射问题
2 2 x0 y0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 t ( x0 , y0 ) exp[ jk ] exp[ jk ]dx0 dy0 2( p d 0 ) 2d 0 0
总结分析过程: (1)求球面波在物前表面上的场分布; (2)根据物的透过率函数求出物后表面 即输入面的出射光场分布; (3)求出输入平面到达透镜前表面的复 振幅分布U1(x/,y/) (4)求出透镜后的复振幅分布U/1(x/,y/) (5)应用菲涅耳衍射公式求出共轭面上 光场分布U(x,y)
信息光学原理第2章

2.1 光波的数学描述
2.1.5 复振幅分布的空间频谱(角谱)
利用傅里叶变换对位于单色光场中的xy平面上的复振幅分布进
行傅里叶分析,有
U x, y A fx, fy exp j2 fxx fy y dfxdfy
A fx, fy U x, yexp j2 fxx fy y dxdy
几何光学 (光与宏观物质的作用)
信息光学原理(电子工业出版社) 苏显渝 吕乃光 陈家壁
信息光学是光学和信息科学相结合的新的学科分支。 它研究以光为载体的信息的获取、信息的交换和处 理、信息的传递和传输,是信息科学的一个分支。 信息光学采用线性系统理论、傅里叶分析方法分析 各种光学现象。
第二章
标量衍射理论
cos2 cos2 cos2 1
2.1 光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波,在xy 平面上的复振幅为:
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
u x, y, z,t a x, y, zcos 2t x, y, z
其中,v是光波的时间频率;a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动
的振幅和初相位。根据欧拉公式,可将该波函数表示为复指数函数 取实部的形式:
u x, y, z, t Re a x, y, z e j2tx,y,z
参考文献:
(1) W. Lauterborn, T.Kurz, M.Wiesenfeldt, Coherent optics, 北京:世界图书出版社,1998。
信息光学资料导论第二章
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第二章信息光学的数学基础◆引言在这一节,我们将以简明的格式,全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质,着重从光学眼光看待那些公式和数学定理,给出相应的光学显示或光学模拟,这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关,其意义就不仅仅限于光学领域了。
2.1傅里叶变换◆傅里叶级数首先.让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式,这里,)(x g 称为原函数,n G 称为博里叶系数或频谱值,它是傅里叶分量nf x i e2π的幅值.◆频谱的概念频谱的概念,广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。
因此,傅立叶分析也称频谱分析。
频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。
相位型频谱用的较少,通常提到的频谱大都指振幅型频谱。
为了更深刻的理解不同形式的频谱概念,以实例来进一步说明。
对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大.)(x g 是周期性函数 则:上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为),()(md x g x g +=),2,1,( ±±=m ++-+=)52cos(52)32cos(32)2cos(221)(000x p x f x f x g ππππππ这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。
周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量.透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:再回到光栅装置.由光栅方程,在近轴条件下因此透镜后焦面上频率为当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的.故傅立叶变换能达到分频的目的。
◆傅里叶变换在现实世界中,不存在严格意义下的周期函数,非周期变化是更为普遍的现象.从数学眼光看,非周期函数可看作周期∞→d 的函数.据此,可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式.结果如下,上式(*******)称为傅里叶变换,下式******)称为博里叶逆变换.对于二维情形,傅里叶变换和逆变换的积分式为简单地表示为,5,3,1,dd d f =xf i n x f i xf i x f i x p i x f i x f i n e G e e e e e e xg 25252323222 )(51)(31)(121)(000000ππππππππππ∑=++++-++=--- ,sin λθn d =),2,1,0( ±±=n ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λf xnf f '==0从光学眼光看),(y x g 代表一波前函数,线性相因子)(2y f x f i y x e+π代表—平面波成分,(y x f f ,)代表一空间频率,对应一特定方向的平面波.于是,积分式(******)表明,任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加.对于非周期函数,空间频率(y x f f ,)的取值不是离散的,而是连续的,存在于(∞∞-,).因此,在(y x f f ,)一(y y x x df f df f ++,)频率间隔中,平面波成分的振幅系数dA 表示为这给出了谱函数G(y x f f ,)的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数,即振幅的谱密度函数,简称频谱。
信息光学绪论
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通讯系统 信息 线性性 一维时间信号 V(t) I(t)
V1(t)
光学系统 二维空间分布信息 U(x,y) I(x,y)
U1(x,y) U2(x,y)
V2(t)
放大器
光学系统
非线性 性
非线性电子学元件 二极管, 二极管,真空管
非线性光学元件 照相底片
三、高等物理光学课程内容( 高等物理光学课程内容(
物理系, 物理系,光信息科学与技术专业)
1. 数学基础 傅里叶变换 线性系统分析理论 2. 物理基础 光的干涉 衍射 3. 课程内容概述 以光的物理本性为基础,发展为研究光的变换特性。例如, 以光的物理本性为基础,发展为研究光的变换特性。例如,夫琅和费 衍射看成光学傅里叶变换,菲涅耳衍射看成光学分数傅里叶变换。 衍射看成光学傅里叶变换,菲涅耳衍射看成光学分数傅里叶变换。 用傅里叶分析和线性系统理论分析光波的传播、衍射、成像等现象, 用傅里叶分析和线性系统理论分析光波的传播、衍射、成像等现象, 用频谱语言分析光学信息, 用频谱语言分析光学信息,用光学传递函数给出光学系统设计和 评价理论。 评价理论。 用改变频谱的手段处理光学系统的光信息 —光信息处理 光信息处理 波前再现—全息照相 信息存储,信息显示, 特征识别—有用信 全息照相, (波前再现 全息照相,信息存储,信息显示, 特征识别 有用信 息的提取和增强, 图像的消模糊,光计算, 息的提取和增强, 图像的消模糊,光计算, ) 广义分数阶Fourier Fourier变换 二元光学 广义分数阶Fourier变换 小波变换 光学神经网络是 光学信息技术的最新发展 4. 要求 物理概念要清楚 认真完成作业并按时上交 提倡主动创新学习
固体( (He种类 :气体 (He-Ne, CO2, N2) 固体(红宝石 钕玻璃 YAG YVO3) 半导体 (纵向发射 面发射 列阵 千瓦级)光纤激光器 千瓦级) 准分子 (XeF 功率水平 激光应用 KrF) KrF) X激光 自由电子激光 强激光10 强激光1021w/cm2
信息光学实验讲义二
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信息光学实验讲义(二)指导教师:刘厚通安徽工业大学数理学院实验三全息光栅的制作引言光栅是一种重要的分光元件,在实际中被广泛应用。
许多光学元件, 例如单色仪、摄谱仪、光谱仪等都用光栅作分光元件;与刻划光栅相比, 全息光栅具有杂散光少、分辨率高、适用光谱范围宽、有效孔径大、生产效率高, 成本低廉等突出优点。
实验目的1、了解全息光栅的原理;2、掌握制作全息光栅的常用光路和调整方法;3、掌握制作全息光栅的方法。
基本原理(1)全息光栅当参考光波和物光波都是点光源且与全息干板对称放置时可以在干板上形成平行直条纹图形,这便是全息光栅。
采用线性曝光可以得到正弦振幅型全息光栅。
从光的波动性出发,以光自身的干涉进行成像,并且利用全息照相的办法成像制作全息光栅,这是本节的内容。
(2)光栅制作原理与光栅频率的控制用全息方法制作光栅, 实际上就是拍摄一张相干的两束平行光波产生的干涉条纹的照相底片,当波长为λ的两束平行光以夹角 交迭时, 在其干涉场中放置一块全息干版, 经曝光、显影、定影、漂白等处理, 就得到一块全息光栅。
相邻干涉条纹之间的距离即为光栅的空间周期d (实验中常称为光栅常数) 。
如图2-1所示:图2-1全息光栅制作原理示意图有多种光路可以制作全息光栅。
其共同特点是①将入射细光束分束后形成两个点光源,经准直后形成两束平面波;②采用对称光路,可方便地得到等光程。
如图2-2和图2-3所示。
Ⅰ图 2-2 全息光栅制作实验光路图MSPL1L2L1234567891011121314151617SPML350150100270200150L1L2图 2-3 全息光栅制作实验光路图图2-2采用马赫-曾德干涉仪光路,它是由两块分束镜(半反半透镜)和两块全反射镜组成,四个反射面接近互相平行,中心光路构成一个平行四边形。
从激光器出射的光束经过扩束镜及准直镜,形成一束宽度合适的平行光束。
这束平行光射入分束板之后分为两束。
一束由分束板反射后达反射镜,经过其再次反射并透过另一个分束镜,这是第一束光;另一束透过分束镜,经反射镜及分束镜两次反射后射出,这是第二束光。
信息光学2

f ( x , y ) ∗ g ( x , y )= ∫ ∫− ∞ g (ξ ,η ) f ( x − ξ , y − η ) dξ dη
两个复函数f(x,y),g(x,y)的互相关: 的互相关: 两个复函数 的互相关
∞
= ∫∫ g (ξ ,η ) f * (ξ − x,η − y )dξdη f ( x, y )★g ( x, y ) ∞
e ff ( x, y ) ≤ e ff (0,0)
1-5 傅立叶变换的基本概念 - 傅立叶分析是广泛应用于物理学和各工程学科的重要数学工具。 傅立叶分析是广泛应用于物理学和各工程学科的重要数学工具。 1.二维傅立叶变换的定义 二维傅立叶变换的定义 复函数f(x,y)的傅立叶变换定义为: 的傅立叶变换定义为: 复函数 的傅立叶变换定义为
证明: 证明:
f ( x )★ g ( x ) = f ( − x ) ∗ g ( x )
*
= g ( x) ∗ f * (− x) = g * ( − x )★ f * ( − x )
2.自相关 自相关 当f(x,y)=g(x,y)时,互相关称为函数的自相关: = 时 互相关称为函数的自相关:
e ff ( x, y ) = ∫∫ f * (ξ ,η ) f ( x + ξ , y + η )dξdη
4.虚、实、奇、偶函数傅立叶变换的性质 虚 复函数f(x,y)的傅立叶变换可写为: 复函数 的傅立叶变换可写为: 的傅立叶变换可写为
F( fx, f y ) = ∫ ∫
∞
−∞
f ( x, y )e
−i 2π ( f x x + f y y )
dxdy
= ∫∫
∞
−∞
f ( x, y ) cos[2π ( f x x + f y y )]dxdy −
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第二章信息光学的数学基础◆引言在这一节,我们将以简明的格式,全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质,着重从光学眼光看待那些公式和数学定理,给出相应的光学显示或光学模拟,这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关,其意义就不仅仅限于光学领域了。
2.1傅里叶变换◆傅里叶级数首先.让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式,这里,)(x g 称为原函数,n G 称为博里叶系数或频谱值,它是傅里叶分量nf x i e2π的幅值.◆频谱的概念频谱的概念,广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。
因此,傅立叶分析也称频谱分析。
频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。
相位型频谱用的较少,通常提到的频谱大都指振幅型频谱。
为了更深刻的理解不同形式的频谱概念,以实例来进一步说明。
对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大.)(x g 是周期性函数则:上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。
周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量.透过率函数也可用复数傅里叶级数表示: 再回到光栅装置.由光栅方程, 在近轴条件下因此透镜后焦面上频率为 当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的. 故傅立叶变换能达到分频的目的。
◆傅里叶变换在现实世界中,不存在严格意义下的周期函数,非周期变化是更为普遍的现象.从数学眼光看,非周期函数可看作周期∞→d 的函数.据此,可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式.结果如下,上式(*******)称为傅里叶变换,下式******)称为博里叶逆变换.对于二维情形,傅里叶变),()(md x g x g +=),2,1,( ±±=m ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λf x nf f '==0换和逆变换的积分式为 简单地表示为从光学眼光看),(y x g 代表一波前函数,线性相因子)(2y f x f i y x e+π代表—平面波成分,(y x f f ,)代表一空间频率,对应一特定方向的平面波.于是,积分式(******)表明,任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加.对于非周期函数,空间频率(y x f f ,)的取值不是离散的,而是连续的,存在于(∞∞-,).因此,在(y x f f ,)一(y y x x df f df f ++,)频率间隔中,平面波成分的振幅系数dA 表示为这给出了谱函数G(y x f f ,)的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数,即振幅的谱密度函数,简称频谱。
原函数),(y x g 及其频谱G(y x f f ,),既可以是实数,也可以是复数。
2.2信息光学中常用的若干典型函数的频谱(1)方垒函数.如图*******(a),(b)所示从变换光学眼光看,方垒函数相当平行光正入射于单缝时的被前函数。
其夫琅禾费衍射场正是(******)式给出的sinc 函数形式.(2)相幅型方垒函数.如图******(a),(b)所示.从变换光学眼光看,这相幅型方垒函数,相当于平行光斜入射于单缝时的波前函数,或相当于平行光正入射于薄棱镜时的波前函数,其夫琅禾费衍射场的o 级班中心移至轴外,两侧依然呈现c sin 函数形式,如(******)式所示.(3)准单频函数.如图****所示.准单频函数可以被看作两个相幅型方垒函数之和,从而造成两支频谱,其频谱中心分别在0f ±处.如果,准单频函数代表纯空目信息而与时间变量无关,或代表纯时间信息而与空间变量无关,则这正负两支频谱无独立的物理意义,应将它俩合起来看作—支频谱——谱值加倍,而频率区间缩半于(o ,∞).如果,这准单频函数代表定态波场的复振幅分布,则正负频谱成分有独立含义,各自乘以同一时间因子t i e ω-,就分别代表两个相反方向传播的行波,而复振幅分布x f A 02cos π就表示那两列行波叠加的驻波场.(4)正向准单频函数.其中如图*****所示,展现有二支频谱,均系c sin 函数线型,其中心频率分别为0,0f ±.从变换光学眼光看,这)(x g 相当于平行光正入射于一余弦光栅时的波前函数,其夫琅禾费衍射场有三个离散的亮斑,在亮斑邻近区域有光强的少许扩展,这特点由(******)式所反映.(5)三角形函数. 如图******所示,其频谱恒为正值.含有明显的高频成分,方能合成带有尖顶的角形原函数.(6)半椭圆形函数. 这里)(1αJ 是一阶贝塞耳目数,如图******所示.(7)高斯函数.如图****所示.在函数大家庭中,唯有高斯雨数,其频谱依然是高斯型的,它是一个经傅里叶变换后线型不变的独特函数.凭借这一性质,高斯型光束成为激光器谐振腔中能稳定存在的一种模式.高斯函数也是光源的一种基本的光谱线型,因为由温度引起的谱线的多普勒展宽是高斯型的.导出频谱公式(*****]过程中用到一个高斯积分,(8)洛伦兹函数如图******所示,一钟型原函数其频谱变成一尖顶帐篷型。
(9)二维轴对称函数(圆域函数).在空域(x,y)平面上取极坐标(α,r ),以简化圆域函数的表示称(*******)式为傅里叶—贝塞耳变换.或零阶汉克尔变换,其中J 。
为零阶贝塞耳函数.将(****)式应用于常见的特例——半径为r 的圆孔函数,即 得其频谱为这结果与我们先前介绍过的圆孔夫琅禾费衍射场的表达式是相似的,仅在系数上有点差别.若将其中的ρ改写为我们一直熟悉的空间频率符号f ,且令λθ/sin =f ,角θ是衍射方向与圆心轴即透镜光轴的夹角,那(*******I)式就表示了波长为λ的一光束正入射于圆孔时的夫琅禾费衍射场.◆常用函数的傅里叶变换对2.3卷积◆卷积的定义函数)(x f 和)(x h 的卷积用符号)()(x h x f *表示,它定义为根据积分的几何意义,可以把求卷积理解为求两个函数)(ξf 和)(ξ-x h 重叠部分的面积。
◆卷积的性质 (1)线性性质 (2)交换律 (3)缩放性质 (4)结合律(5)与δ的卷积 ◆卷积的计算(1)图解法为了详细说明图解法的过程,我们选两个函数)(x f 和)(x h 世纪计算器卷积)(x g 。
设)(x f 和)(x h 为实寒暑,如图所示。
其具体数学表达式为图解法求卷积)(x g 有如下四个步骤: 1) 折叠由于卷积满足交换率,根据卷积的定义把任一个函数)(ξf 或)(ξh 相对于纵坐标作出镜像)(ξ-f 或)(ξ-h [这里我们作)(ξh 的景镜像)(ξ-h ]。
为此,虚设积分变量ξ,作出)(ξf 和)(ξ-h 函数图形,如下图所示。
2)位移。
为了得到)(ξ-x f 或)(ξ-x h 需要把)(ξ-f 或)(ξ-h 沿x 轴位移。
为此,要在选一个坐标轴x ,它与ξ平行,并在其上选一个坐标远点,)(ξ-h 平抑一段距离x 便得到)(ξ-x h 。
位移量x 的正负及原点选取的规定为:当x>0时,函数图形)(ξ-h 右移,当x 《0时,函数图形)(ξ-h 左移,当x =0时,函数图形)(ξ-x h =)(ξ-h ,见图****3)相乘。
将)(ξf 与)(ξ-x h 按变量ξ逐点相乘得到)()(ξξ-⋅x h f ,从图形上来看就是这两个函数重叠部分的积。
由于图解过程中)(ξf 保持不变,因此必须沿x 轴来回移动)(ξ-h ,得到对应不同x 值得两函数的乘积。
在x =0情况下,当0<ξ时,0)(=ξf ,则0)()(=-⋅ξξh f ,当1>ξ时,0)(=-ξh ,则乘积0)()(=-⋅ξξh f ,只是当10<<ξ时,0)(≠ξf 和0)(≠-ξh ,乘积0)()(≠-⋅ξξh f ,两函数的成绩为图*****中的直线AB (一般为曲线)。
4)积分。
求出乘积)()(ξξ-⋅x h f 曲线下的面积,即两个函数重叠部分的面积,该面积就是x 出的卷积值。
选择不同的位移量0x x =,就可得到相应的卷积)(0x g ,图*******(b)~(f)分别为)0(g 、)1(-g 、)3(g 、)5(g 。
我们还可以求出其他卷积值并画出x x g ~)(去县,该曲线就是)(x f 和)(x h 的卷积,如图*********(2)解析法解析法就是直接积分⎰∞∞--=*ξξξd x h f x h x f )()()()(求出)(x g 的值。
有图解法求出卷积的结果可见,一般卷积的结果是分段函数,所以积分一般也要分段积分。
由于积分是中含有参变量x ,求积分的关键是确定积分的上下限,一般要与图解法结合起来进行。
以下仍以)(x f 和)(x h 为例说明解析法计算卷积的过程。
根据图解法的结果,卷积可分为以下四段来积分:1)1≤x 。
这时不论x 为何值,)(ξf 与)(ξ-x h 均无重叠部分,乘积0)()(=-⋅ξξx h f ,其积分也等于零。
2)21≤<-x 。
)(ξf 的非零区间为[0,3],由于)(ξh 的非零区间为[-1,2],)(ξ-h 的非零区间为[-2,1],因此,)(ξ-x h 的非零区间为[x x ++-1,2]。
当)0,2(x +-∈ξ时,0)(=ξf ,0)()(=-⋅ξξx h f ;当)3,1(x +∈ξ时,0)(=-ξx h ,0)()(=-⋅ξξx h f 。
因此,)()(ξξ-⋅x h f 的非零区间为[x +1,0],卷积结果为从上面的分析中,可以得到确定上下限的规律。
如果两个函数)(ξf 与)(ξ-x h 的非零区间的上限为1U 和2U ,下限为1L 和2L ,则计算卷积的上限为],m in[21U U ,计算卷积的下限为],m ax [21L L 。
3)52≤<x 。
)(ξf 的非零区间为[0,3],由于)(ξ-x h 的非零区间为[]1,2x x ++-,根据上述选择几分上下限的原则,卷积结果为4)5>x 。
这时0)()(=-⋅ξξx h f ,所以0)(=x g 。
综合以上结果,用解析法计算卷积的结果为:由此可见,用解析法计算卷积于永图解法一样繁琐。
在计算复杂函数的卷积时,一般要把解析法和图解法结合起来进行,图解法用于几分区间的分段,解析法用于计算)()(ξξ-⋅x h f 复杂曲线下的面积。
2.4相关◆相关的定义若)(x f 和)(x h 是实变量的复值函数,函数)(x f 和)(x h 的相关用符号)()(x h x f *⊗或)(x r fh 表示,它定义为式中)(x h *是)(x h 的复共轭函数。