二元一次方程组思维导图.docx
8二元一次方程组知识结构图-教师版
二元一次方程组
二元一次方程： 举例：2x ＋4y=94
解二元一次方程组
解决实际问题：
例：有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y 吨，则
⎩⎨⎧=+=+35655.1532y x y x
解得⎩⎨
⎧==5.24
y x 5.2453=+y x
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨
三元一次方程组
解方程组：
34,
2312,6.x y z x y z x y z -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
解：①+②得5216,x y +=
③+②得3418,x y +=
解得2,
3.
x y =⎧⎨
=⎩代入③得 1.z =
所以方程组的解是2,3,1.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
用代入消元法解：
解：由①，得x ＝y ＋3。
③ 把③代入②，得3(y 十3)一8y=14。
解这个方程，得y ＝一1。
把y=－l 代入③，得x ＝2
方程组的解是
用加减消元法解： (2)
1756(1)
1976⎩⎨
⎧=--=+y x y x 解：(1)－(2), 得 12y ＝－36 解得 y ＝－3 把y = －3代入(2), 得
3
1,17)3(56==-⨯-x x 解得
⎪⎩⎪⎨
⎧-==∴3
31y x。
第5章 二元一次方程组 思维图解+综合与实践-知识考点梳理 北师大版数学八年级上册课件
的未知数的相关式子表示，即可得到方程组.
依题意，得 45m+33n=336，解得 n=
−
，又因为 m，
n 均为正整数，所以
m＝6，
n＝2 ．
答：应该租用 45 座客车 6 辆，33 座客车 2 辆，才
能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算．
综合与实践
［点拨］ 应用二元一次方程组解决实际问题时，要找对
题目中的等量关系，可用文字先表示出等量关系，再用设出
方程的解 值，叫做这个二元一次方程的一个解
二元一次 一般地，以一个二元一次方程的解为
方程与一 坐标的点组成的图象与相应的一次函
次函数 数的图象相同，是一条直线
第五章 二元一次方程组
单
元
思
维
图
解
方程组中共含有三个未知数
二
元
一
次
方
程
组
定义
三
元
一
次
方
程
组
所含未知数的项的次数都是 1
共有三个整式方程
代入消元法
第五章 二元一次方程组
课标领航·核心素养学段目标
1. 掌握消元法，能解二元一次方程组.
2. 体会一次函数与二元一次方程的关系.会运用待定系数
法确定一次函数的表达式.
3. * 能解简单的三元一ຫໍສະໝຸດ 方程组.第五章 二元一次方程组
本章内容要点
6 个基本概念：二元一次方程，二元一次方程的解，二
元一次方程组，二元一次方程组的解，三元一次方程，三元
单
元
思
维
图
解
二
元
一
次
方
程
组
二
2020-2021学年七年级数学下册《 二元一次方程》
二元一次方程（组）【思维导图】【知识要点】知识点一 二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】1） 二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。
例如：xy=1，xy 的次数是二，属于二元二次方程。
2） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。
2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组。
这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。
3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。
4） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，x ＋y ＝2.【典型例题】考查题型一 利用二元一次方程组有关概念解决相关问题典例1下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2311546a b b c -=⎧⎨-=⎩C ．292x y x ⎧=⎨=⎩D ．284x y x y +=⎧⎨-=⎩变式1-1下列各组数值符合二元一次方程x ﹣3y ＝4的解的是（ ）A ．11x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．41x y =⎧⎨=-⎩ 变式1-2二元一次方程2x +y ＝5的正整数解有（ ）A ．一组B ．2组C ．3组D ．无数组变式1-3方程(m －2 016)x |m|－2 015＋(n ＋4)y |n|－3＝2 018是关于x 、y 的二元一次方程，则( )A ．m ＝±2 016；n ＝±4B ．m ＝2 016，n ＝4C ．m ＝－2 016，n ＝－4D ．m ＝－2 016，n ＝4 变式1-4方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．64x y =⎧⎨=⎩ B ．56x y =⎧⎨=⎩ C ．36x y =⎧⎨=⎩ D ．28x y =⎧⎨=⎩知识点二 解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。
初中数学《二元一次方程组》单元评价思维导图以及评价量规
（20分）
优秀(20-18分)
良好(17-15分)
满意(14-12分)
能利用二元一次方程组，解决现实生活中较复杂的问题。
能利用二元一次方程组，解决现实生活中的常见问题。
能利用二元一次方程组，解决现实生活中较简单的问题。
总分
积极思考问题，基本能和同学交流，并能在老师的引导下认真写出解题过程。。
小组合作
（30分）
组内合作
优秀(20-18分)
良好(17-15分)
满意(14-12分)
各成员积极主动地思考问题,积极配合，能很好的帮助本组其他成员分析问题，并解决问题。
各成员积极思考问题，能较好地开展合作学习，能够较好地完成任务。
各成员能够交流，能得出结论，或者在老师引导下完成任务。
组间合作
优秀(10-9分)
良好(8-7分)
满意(6-5分)
了解其他小组研究的问题，小组间经常交流数学知识资源，互相帮助。
了解其他小组研究的问题，小组间有时会交流数学知识资源，互相帮助。
小组之间有时交流数学知识资源，很少互相帮助。
知识与技能
（40分）
二元一次方程组
作者姓名
学科
数学
年级
七年级
主题单元名称
二元一次方程组
单元评价方案的思维导图
《二元一次方程组的应用》评价量规
评价指标及权重
评价等级及分值
生评
师评
学习态度（10分）优 Nhomakorabea(10-9分)
良好(8-7分)
满意(6-5分)
积极主动地思考问题,能主动和同学交流,并认真写出解题过程。
积极思考问题，能和同学交流，并认真写出解题过程。
优秀(40-36分)
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
二元一次方程组单元主题设计组及平面解析几何等知识的基础.也可以说本单元的知识是整个初中数学知识体系中数与式部分的必备基础知识．主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型.2．了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系．3．了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，专题问题设计问题1：什么是二元一次方程？观察方程组和一元一次方程2x+(22-x)=40有什么关系？问题2：怎样解方程组这两个方程中x，y的系数有什么样的关系？能不能发现新的消元方法？问题3：李明和妈妈买了18元的苹果和梨共5千克，1千克苹果售价4元，1千克梨售价3元，李明和妈妈买苹果和梨各多少千克？问题4：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨.这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？问题5：观察方程组中的两个方程：这两个方程中y的系数有什么样的关系？能不能发现新的消元方法？问题6：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？问题7：怎样解下面的二元一次方程组呢？所需教学环境和教学资源活动3：归纳总结代入消元法的概念【活动步骤】（1）讨论如何把二元转化为一元（2）伙伴共同探究什么是消元（3）师生总结定义第二课时：消元—解二元一次方程组活动1：解方程组,【活动步骤】（1）分组解方程组，看哪组又对又快（2）讨论这个方程组中未知数的系数有什么特点？（3）探究根据这一特点可以采用什么办法活动2：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组【活动步骤】（1）分组探究解法，一部分用代入法，一部分用上一题的方法。
8二元一次方程组知识结构图-教师版
二元一次方程组
二元一次方程： 举例：2x ＋4y=94
解二元一次方程组
解决实际问题：
例：有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y 吨，则
⎩⎨⎧=+=+35655.1532y x y x
解得⎩⎨
⎧==5.24
y x 5.2453=+y x
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货吨
三元一次方程组
解方程组：
34,
2312,6.x y z x y z x y z -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
解：①+②得5216,x y +=
③+②得3418,x y +=
解得2,
3.
x y =⎧⎨
=⎩代入③得 1.z =
所以方程组的解是2,3,1.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
用代入消元法解：
解：由①，得x ＝y ＋3。
③ 把③代入②，得3(y 十3)一8y=14。
解这个方程，得y ＝一1。
把y=－l 代入③，得x ＝2
方程组的解是
用加减消元法解： (2)
1756(1)
1976⎩⎨
⎧=--=+y x y x 解：(1)－(2), 得 12y ＝－36 解得 y ＝－3 把y = －3代入(2), 得
31
,17
)3(56==-⨯-x x 解得
⎪⎩⎪⎨
⎧-==∴3
31y x。
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图1.培养学生对数学的兴趣和热爱，认识数学在现实生活中的应用和重要性。
2.培养学生的思维能力和解决问题的能力，提高学生的自信心和创造力。
3.培养学生的团队合作意识和沟通能力，鼓励学生互相研究和帮助。
4.培养学生的责任感和积极性，鼓励学生勇于尝试和探索新的知识和方法。
本单元的研究目标包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。
学生将学会利用二元一次方程组解决实际问题，了解二元一次方程组及其相关概念，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，以及了解三元一次方程组及其解法。
同时，学生将培养类比思维、应用意识、团队合作和创造力等方面的能力，提高自信心和责任感。
本单元的研究将为今后研究不等式组、线性方程组及平面解析几何等知识奠定基础，是整个初中数学知识体系中数与式部分的必备基础知识。
1.研究二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。
2.培养学生的方程意识，渗透方程思想。
3.在解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高研究数学的兴趣。
同时，敢于发表自己的见解，理解他人的看法并与他人交流。
根据课标，本单元旨在通过实际问题，让学生体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型，研究二元一次方程组及其解法和应用，提高分析问题、解决问题的能力。
在专题一中，学生已经熟悉了一元一次方程的解法，本节课将介绍二元一次方程组的概念。
学生可以通过分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程的方式来列二元一次方程组。
但是，由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题。
本节课的重点问题是如何用一个未知数表示另一个未知数。
这为后面研究消元法解二元一次方程组做好铺垫。
通过学生对实际例子的分析，实现对二元一次方程的把握，从而提高利用二元一次方程解决实际问题的能力。
在本节教学中，应对列检验二元一次方程（组）的解以及用一个未知数表示另一个未知数进行充分的指导和训练，让学生列方程解应用题，进行分组讨论。
初中数学《二元一次方程(组)》单元教学设计以及思维导图
知识技能：
1、通过与一元一次方程的比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别一个方程是不是二元一次方程；
2、通过探索交流，会辨别一个解是不是二元一次方程的解，能写出给定的二元一次方程的解，了解方程解的不唯一性；
3、会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
过程与方法：
3、对于数量关系你会怎样用？
所需教学材料和资源
信息ห้องสมุดไป่ตู้资源
多媒体投影实物投影
常规资源
常用学具
教学支撑环境
多媒体教室
其他
纸笔等
思考：这个问题中，有几个未知数？能列一元一次方程求解吗？
如果设黄卡取x张，蓝卡取y张，你能列出方程吗？
3、在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/时，卡车的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程？
二、活动2
1、引导学生观察所列的方程：5x+2y=22，2a+3b=20，这两个方程有哪些共同特征？这些特征与一元一次方程比较，哪些是相同的，哪些是不同的？你能给它们取个名字吗？
二元一次方程（组）
适用年级
七年级
所需时间
课内10课时，课外2课时
主题单元学习概述
本章主要内容包括：本章主要内容包括：二元一次方程组及其相关概念，二元一次方程组的解法，利用二元一次方程组分析和解决实际问题。分析实际问题中的数量关系并用二元一次方程组表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。通过丰富实例，从算式到方程建立二元一次方程组，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的二元一次方程组的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“加减消元”、“代入消元”、等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
初中数学《二元一次方程组》单元评价思维导图以及评价量规
（权重）
评价标准描述
评价
好[1，0.8]
较好（0.8，0.6]
一般(0.6,0.4]
需要改进(0.4,0]
自评
互评
师评
知识学习
（40分）
1.能正确掌握二元一次方程组的有关概念，说出其区别与联系。
2.熟练运用两种方法解方程组。
3.能建立方程组数学模型解决实际问题。
1.能正确掌握二元一次方程组的有关概念。
2.运用两种方法解方程组。
3.能利用方程组解决一些简单的实际问题。
1.能了解二元一次方程组的有关概念。
2.只会一种方法解方程组；
二元一次方程组的有关概念模糊，不会解方程组。
合作能力
（30分）
1.小组有详细计划，和研究目标，分工明确。
2.小组汇报的探究结果是按照分工计划集体合作完成的。汇报内容具体，研究方法科学，有学习价值，有吸引力。
3.解决问题时，除完成各自分工后，同学间还能相互帮助，最后达成解决问题方案。
1.小组有计划，有分工，但不明确。
2.小组汇报的探讨结果是主要是由一两位同学完成的。汇报内容较具体，研究方法科学，有一定的学习价值。
3.小组内有个别同学没有积极参与探讨。
1.小组无计划，无分工。
2.小组汇报的探讨结果是主要是由一两位同学完成的。汇报内容不具体，学习价值一般。
总分及评语
《二元一次方程组》主题单元学习评价
作者姓名
学科
数学
年级
七
主题单元名称
二元一次方程组
单元评价方案的思维导图（说明：将单元评价方案的思维导图导出为jpeg文件粘贴在下面框内；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。）
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二元一次方程组思维导图
一、二元一次方程的定义：
含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：
①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母；
②有两个未知数——“二元”；
③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”。
关于x、y的二元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0且b≠0）
二、二元一次方程组的求解：
在之前的学习中，我们已经掌握了一元一次方程的解法，面对二元一次方程组的求解，我们要做的就是将其转化为一元一次方程。
转化方法：
利用等式两边同时乘以一个不为零的常数，等式左右仍然相等和等式两边同时加上或者减去一个相等的常数仍然相等的原理，消去方程组中的一个未知数，即可将方程组转化成一个一元一次方程。
ax+by=c
{
dx+ey=f
(ax+by)×i=c×i
{
dx+ey=f
d
i=
a。