因式分解-讲义
因式分解经典讲义(精)
第一章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2•分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_____________________________________________________ ___分解因式是_____________________________________________________ ___所以，分解因式和整式乘法为________ 系。
3•提公因式法分解因式(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。
(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。
(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。
4•运用公式法分解因式(1 )平方差公式：_____________________________(2 )完全平方公式：____________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：【随堂练习】1 .分解因式：,、小34“23小22（1） 2x y 10x y 2x y32(1) 4m 16m 26 m(2) 2x(y z) 3(y z)2(3)x(x y)(x y) x(x y)(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；(3) 题的公因式为 x(x y) ;答案：(1) 2m(2m 28 »m13)；(3)2xy(x y);【例:2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,(2 ?）已知ba 6,ab7,解析：(1) 题：2x2y 2 x y 22xy(x（2）题：a|2bab2a b(a答案：(1) 60(2)42（4）题的公因式为7a 8b 。
人教版初二数学讲义《因式分解的概念和基本方法》
定 义示例剖析定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式． ()21a a a a +=+；()2324222x x x x +=+()()232236332131a b a b ab ab a a ab a ++=++=+实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．()ma mb mc m a b c −−−−→++++←−−−−因式分解整式乘法多项式−−−−→←−−−−因式分解整式乘法整式乘积 模块一 因式分解的概念知识导航知识互联网6因式分解的概念 和基本方法分解因式的注意事项：1、结果一定是乘积的形式；2、每一个因式都是整式；3、相同的因式的积要写成幂的形式.4、没有大括号和中括号；5、每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；6、单项式因式写在多项式因式的前面；7、每个因式第一项系数一般不为负；8、若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止.如：111x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭不是因式分解21(1)(1)x x x -=+-是因式分解()()22x y x y x y +-=-不是因式分解()23232x x x x +-=+-不是因式分解【例1】 ⑴下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A. 223()33ab a b a b ab +=+B. 2222421x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C. 224(2)(2)a b a b a b -=+-D. 23633(2)x xy x x x y -+=-⑵一次课堂练习，小胖同学做了如下4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题是（ ） A. ()321x x x x -=- B. ()2222x xy y x y -+=- C. ()22x y xy xy x y -=- D. ()()22x y x y x y -=+-【解析】 ⑴C. 其中A 是整式乘法不是因式分解；B 中的因式不是整式；D 不是恒等变形.⑵A. ()()()32111x x x x x x x -=-=-+【点评】 因式分解实质是一种恒等变形，是一种化和为积．．．．的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．因式分解的结果：每个因式都必须是整式．．，分解到不能再分解为止．【例2】 ⑴一个多项式分解因式的结果是33(2)(2)b b +-，那么这个多项式是（ ） A ．64b - B ．64b - C ．64b + D ．64b --⑵如果多项式235x mx --分解因式为()()57x x -+，则m 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、12D 、12- ⑶若多项式2x ax b ++可因式分解为()()12x x +-，求a b +的值 .【解析】 ⑴ B.⑵ A ⑶ 3-.由题意()()22122x ax b x x x x ++=+-=--，故12a b =-=-，，3a b +=-. 夯实基础定 义示例剖析如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因式分解。
因式分解-讲义
因式分解(一)-一般方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．1．(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4、(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2= ；(2)x2-y2+5x+3y+4= ；(3)xy+y2+x-y-2= ；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2= ;(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .因式分解(二)--求根法分解因式我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
第4讲 因式分解 讲义
八升九数学精品（第4讲 讲义）因式分解专题一 因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解. (1)因式分解专指多项式的恒等变形,即等式的左边必须是多项式.(2)因式分解的要求:分解的结果要以积的形式表示;每个因式必须是整式;因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.(3)因式分解与整式乘法是互逆变形.如果把整式乘法看做是一个变形过程,那么多项式的因式分解就是它的逆过程;如果把多项式的因式分解看做是一个变形过程,那么整式乘法就是它的逆过程.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是 ( ) A.x 2-x-2=x(x-1)-2 B.(a+b)(a-b)=a 2-b 2C.x 2-4=(x+2)(x-2)D.x 2-)1)(1(12yx y x y -+=【针对训练1】 ①若mx+A 能分解为m(x-y+2),则A= . ②下列式子是因式分解的是 ( )A.x(x-1)=x 2-1B.x 2-x=x(x+1)C.x 2+x=x(x+1)D.x 2-x=(x+1)(x-1) 专题二 提公因式法我们把多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.把下列各式因式分解: (1)3x+x 3; (2)7x 3-21x 2; (3)8a 3b 2-12ab 3c+ab; (4)-24x 3+12x 2-28x.【针对训练2】 把2a(x-y)+6b(y-x)因式分解.【基础巩固】1.把多项式4a 2b+10ab 2分解因式时,应提取的公因式是 .2.因式分解:x 2-3x= .3.分解因式:12x 3y-18x 2y 2+24xy 3= · . 【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x 2y-6xy (2)5x 2y 3-25x 3y 2(3)-4m 3+16m 2-26m (4)15x 3y 2+5x 2y-20x 2y 3.专题三 公式法运用平方差公式因式分解: 64(a-b)2-4(a+b)2.【针对训练3】 ①分解因式: 81(a+b)2-4(a-b)2.②尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x 2-25= ; (2)9x 2-y 2= ; (3)9m 2-4n 2= .运用完全平方公式因式分解:(a+b)2+10(a+b)+25.【针对训练4】①因式分解:x3y3-2x2y2+xy.②把下列完全平方式因式分解:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.③分解因式:(a-b)2-4b2= .④分解因式:a3b-4ab= .专题四因式分解的应用39992+3999能被4000整除吗?【针对训练5】计算:1998+19982-19992.将一条400 cm长的金色彩带剪成两段,恰好可用来镶嵌两张大小不同的正方形壁画的边(不计算接头处),已知两张壁画的面积相差4000 cm2.这条金色彩带应剪成多长的两段?【针对训练6】王师傅铸造了如右图所示的一种零件,在边长为10 cm的正方形内部有四个大小不同的圆,它们的直径分别为 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,他想知道阴影部分的面积,请你帮他算一算(π取3.14).专题五易错点对分解因式的方法掌握得不够彻底例7.分解因式:36x2-36x+9.例8.分解因式:9a2-4b2.例9.分解因式:-3m2n+6mn-3n.例10.分解因式:21a2-ab+21b2.。
因式分解讲义
到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例 2．分解因式： x2 y2 x y ____________
解： x2 y2 x y (x2 y2 ) (x y)
(x y)(x y) (x y) (x y)(x y 1) 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
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ac bd 0 原式 0
说明：首先要充分利用已知条件 a2 b2 1，c2 d 2 1 中的 1（任何数乘以 1，其值不变），其次利用 分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。
例 3. 分解因式： x3 2x 3 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1 时，它的值为 0，这就意味着
形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例 2. 已知 a b c 0，a 3 b3 c3 0 ，
求证： a5 b5 c5 0 证明： a 3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b2 c2 ab bc ca) 把 a b c 0，a3 b3 c3 0 代入上式， 可得 abc 0 ，即 a 0或 b 0或 c 0 若 a 0，则b c ， a5 b5 c5 0 若 b 0或 c 0 ，同理也有 a5 b5 c5 0 说明：利用补充公式确定 a，b，c 的值，命题得证。
因式分解讲义精讲
教育教学讲义 学员姓名： 年 级： 学科教师： 上课时间：辅导科目：数学 课时数：2 课 a因式分解 教学目标 讲解因式分解的三种方法1提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解教学内容课前检测知识梳理6.1 Q 式今解谁能以最快速度求：当a=101 , b=99时，聲・*的值？概念•像这样,把一个多巩式化成几个整式的积的形式叫因式分解.有时■也把这一过程叫分解因式•下列代数式变形中，哪些足因武分解？哪些不是？为什么？①左边是多项式f 右边是整式；②右边是整式的乘积的形式・a( <a+l ) =a?+a;1 }; (a+b ) ( d —b )=^—62;決一bT ( a+5 ) ( a —b ) • 2十2a 十 1=( a+L )3运算运算 1・填空(整式乘法，因式分解) 2・这两种运算是什么关系？(互逆)图示表示：2譏3)3).例2；把下列各式分解因武：(1 ) am+im ：(2) a 2-底因式分解・ 3・解决问题•(1 > Ja( O+2 ) (3 > x J -4= (x*2 ) < x-2 );(5 ) &一 (7) zzA 2—( b —2 > ； (9) (2 ) 3a 2+6a=3a( a+2 ):(4 ) x 2—4+3x= ( x4-2、( x —2 ) +3客; (6)x 2-4+3x=( x-h4)(x-1 );(8 ) | J 2=X 2^-2^4(10 )元-4= ( +2)( y/~x~-2 )• 尤耳2+⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时)⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幕(3)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以宜接利用公式法分解因式。
例1、分解因式：(1) x2-9；(2) 9x2-6x+l.二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
第9讲因式分解四大方法预习班讲义
因式分解的四种方法（讲义）一、知识点睛1.叫做把这个多项式分解因式．2.提公因式法要注意：①，②，③．3.运用公式法要注意：①，②．4.分解因式是有顺序的，记住口诀：“”；分解因式是有范围的，目前我们是在范围分解因式．二、精讲精练1.下列由左到右的变形，是分解因式的是．①-3x2y2=-3·x2·y2②(a+3)(a-3) =a2-9③m2-4=(m+2)(m-2)④a2-b2+1=(a+b)(a-b) +1⑤2mR+2mr=2m(R+r)⑥y2-4y+4=(y-2)22.分解因式（提公因式法）：（1）-a2+a；（2）8a2b+2ab；（3）12a2b-24ab2+6ab；（4）2a(b+c)-(b+c)；（5）(a-b)(m+1) -(b-a)(n-1)；（6）a(m-2) +b(2-m)；（7）x(x-y)2-y(y-x)2；（8）x m+x m-1．3.分解因式（公式法）：（1）4x2-9；（2）16x2+24x+9；（3）-x2+4xy-4y2；（4）9(m+n)2-(m-n)2；（5）x4-y4；（6）4a2-16；（7）2ab3-2ab；（8）x2(2x-5)+4(5-2x)；（9）(m+n)2-6(m+n)+9；（10）4-12(x-y)+9(x-y)2；（11）(x+3y)2-2(x+3y)(4x-3y) +(4x-3y)2；（12）-8ax2+16axy-8ay2；（13）(a2+b2)2-4a2b2；（14）a4-2a2+1．4.分解因式（十字相乘法）：（1）x2-x-2；（2）x2+4x+3；（3）x2+x-6；（4）x2+3x-4；（5）x2-3x-10；（6）2x2+x-1；（7）3x2-5x+2；（8）3x2-x-10；（9）2x2+15x+7；（10）3x2+xy-2y2；（11）2x2+13xy+15y2；（12）x3-2x2-8x；（13）x4-7x2+12；（14）x4-6x2-27．5.分解因式（分组分解法）：（1）a2-ab+ac-bc；（2）2ax-10ay+5by-bx；（3）m2-5m-mn+5n；（4）3ax+4by+4ay+3bx；（5）1-4a2-4ab-b2；（6）a2+6a+9-9b2；（7）9ax2+9bx2-a-b；（8）a2-2a+4b-4b2．6.用适当的方法分解因式：（1）a2-8ab+16b2-c2；（2）4xy2-4x2y-y3；（3）2(a-1)2-12(a-1)+16；（4）(x+1)(x+2)-12；（5）(2a-b)2+8ab；（6）x2-2xy+y2-2x+2y+1．【参考答案】：一、知识点睛1.把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式．2.提公因式法要注意：①公因式要提尽，②首项为负时，先提负号，③提公因式后项数不变．3.运用公式法要注意：①能提公因式先提公因式，②找准公式中的a和b．4.分解因式是有顺序的，记住口诀：“一提二套三分四查”；分解因式是有范围的，目前我们是在有理数范围分解因式．二、精讲精练1．③⑤⑥2．（1）-a(a-1) （2）2ab(4a+1)（3）6ab (2a -4b +1)（4）(b +c )(2a -1) （5）(a -b )(m +n )（6）(m -2)(a -b ) （7）3()x y -（8）1(1)m x x -+ 3．（1）(2x -3)(2x +3)（2）2(43)x + （3）2(2)x y --（4）4(m +2n )(2m +n ) （5）22()()()x y x y x y -++（6）4(a -2)(a +2) （7）2ab (b -1)(b +1)（8）(2x -5)(x -2)(x +2) （9）2(3)m n +-（10）2(332)x y -- （11）29(2)x y -（12）28()a x y -- （13）22()()a b a b -+（14）22(1)(1)a a -+ 4．（1）(x -2)(x +1)（2）(x +1)(x +3) （3）(x -2)(x +3)（4）(x +4)(x -1) （5）(x -5)(x +2)（6）(x +1)(2x -1) （7）(3x -2)(x -1)（8）(3x +5)(x -2) （9）(2x +1)(x +7)（10）(3x -2y )(x +y ) （11）(2x +3y )(x +5y )（12）x (x -4)(x +2) （13）2(3)(2)(2)x x x --+（14）2(3)(3)(3)x x x ++-5．（1）(a +c )(a -b )（2）(2a -b )(x -5y ) （3）(m -n )(m -5)（4）(a +b )(3x +4y ) （5）(1-2a -b )(1+2a +b )（6）(a +3b +3)(a -3b +3) （7）(a +b )(3x -1)(3x +1)（8）(a -2b )(a +2b -2) 6．（1）(a -4b -c )(a -4b +c )（2）2(2)y y x -- （3）2(a -3)(a -5)（4）(x -2)(x +5) （5）2(2)a b +（6）2(1)x y --因式分解的四种方法（随堂测试）1. 下列分解因式正确的是（ ）A ．-a +a 3=-a (1+a 2)B ．2a -4b +2=2(a -2b )C ．a 2-4=(a -2)2D ．a 2-2a +1=(a -1)2 2. 下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）A ．x 2+1B ．x 2+2x -1C ．x 2+x +1D ．x 2+4x +4 3. 分解因式:（1）2x 2-4x +2；（2）x 2+3x +2；（3）x 2-2xy +y 2+x -y ；（4）a (a +3)-3(a +3)；（5）x 2y -y ；（6）a 2-2ab +b 2-4c 2．【参考答案】1．D ．2．D ．3．（1）22(1)x -（2）(x +1)(x +2) （3）(x -y )(x -y +1)（4）(a +3)(a -3) （5）y (x -1)(x +1)（6）(a -b -2c )(a -b +2c )．因式分解的四种方法（作业）1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的（）A．(a+3)(a-3)=x2-9 B．x2+x-5=(x-2)(x+3) +1C．a2b+ab2=ab(a+b) D．x2+1=1 () x xx+2.把代数式3x3-6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（）A．x(3x+y)(x-3y) B．3x(x2-2xy+y2)C．x(3x-y) D．3x(x-y)23.分解因式：（1）3a2b+6ab2-3ab；（2）y(x-y) -(y-x)；（3）4a2-4a+1；（4）x2-5x+6；（5）16-8(x-y)+(x-y)2；（6）x4-1；（7）(a2+1)2-4a2；（8）2a2+7a+3；（9）8(x2-2y2) -x(7x+y)+xy；（10）ab-5bc-2a2+10ac；（11）3m(2x-y)2-3mn2；（12）x2-6xy+8y2；（13）ab-ac+bc-b2；（14）a2-b2+2a+2b；（15）a 2-b 2+a -b ；（16）(x +2)(x +4)+x 2-4；（17）a (a +b )2+b (a +b )2； （18）a 3+a 2-a -1；（19）a 2-4a +4-b 2；（20）a 2+2ab +b 2-2a -2b +1；（21）x 3-4x 2-12x ；（22）x 2-2x -8；（23）a 2-ab -6b 2；（24）2x 2-3x +1；（25）(x +y )2+(x +y )-2；（26）x 4-5x 2+4；（27）3x 2-5xy -2y 2；（28）(x -1)(x -2) -20．【参考答案】1．C ．2．D ．3．（1）3ab (a +2b -1)（2）(x -y )(y +1) （3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）2(4)x y --（6）2(1)(1)(1)x x x -++ （7）22(1)(1)a a -+（8）(2a +1)(a +3) （9）(x -4y )(x +4y )（10）(b -2a )(a -5c ) （11）3m (2x -y -n )(2x -y +n ) （12）(x -2y )(x -4y )（13）(b -c )(a -b )（14）(a +b )(a -b +2) （15）(a -b )(a +b +1)（16）2(x +1)(x +2) （17）3()a b +（18）2(1)(1)a a +- （19）(a -2-b )(a -2+b )（20）2(1)a b +- （21）x (x -6)(x +2)（22）(x -4)(x +2) （23）(a -3b )(a +2b )（24）(2x -1)(x -1) （25）(x +y -1)(x +y +2)（26）(x -2)(x +2)(x -1)(x +1) （27）(3x +y )(x -2y )（28）(x -6)(x +3)．。
因式分解的四种方法(课件讲义).doc
因式分解的四种方法（讲义）课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 对下列各数分解因数：210=_________； 315=__________；91=__________； 102=__________．3. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①___________________________；②___________________________；③___________________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．运用公式法的时候需要注意两点：①___________________________；②___________________________．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+； 解：原式=解：原式=（3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=（4）22()()x x y y y x ---；（5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+；（10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+；解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---；（4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-．解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式=解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-；解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；解：原式=（6）222221x xy y x y -+-++．解：原式=【参考答案】课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --赠送以下学习资料和倍差倍问题学习目标通过和倍、差倍问题的学习，除了掌握这类问题的解决方法以外，其重点要学习画线段图。
中考数学讲义 第25讲 因式分解(添拆项与最值)
第25讲 因式分解（添拆项与最值）知识点回顾：1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。
2、因式分解的方法：（1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式：()()b a b a b a-+=-22；完全平方公式：222b ab a ++=()2b a +和)(b a b ab a -=+-2222（3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,,a b p a b q +=⎧⎨⋅=⎩则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题：例1（1）计算 29982+2998×4+4= 。
（2）若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。
例2：分解因式：22288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x )例3：已知a –b = 1 ，2522=+b a 求ab 和a+b 的值。
例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2+3x 有最 值，是例5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456．分析：由于常数项数值较大，则常采用将x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．（1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575．三、强化训练：1、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 .2、分解因式：(2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2(n -m )4416n m - （8）4224817216b b a a +-4、已知：a=2999，b=2995，求655222-+-+-b a b ab a 的值。
因式分解四种方法(讲义)
因式分解得四种方法(讲义)➢课前预习1.平方差公式:___________________________;完全平方公式:_________________________;_________________________.2.对下列各数分解因数:210=_________; 315=__________;91=__________; 102=__________.3.探索新知:(1)能被100整除吗？小明就是这样做得:所以能被100整除.(2)能被90整除吗？您就是怎样想得？(3)能被哪些整式整除？➢知识点睛1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解得四种方法(1)提公因式法需要注意三点:①___________________________;②___________________________;③___________________________.(2)公式法两项通常考虑_____________,三项通常考虑_____________.运用公式法得时候需要注意两点:①___________________________;②___________________________.(3)分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法,首先找____________,然后再考虑____________或者_____________.(4)十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式得结构,其原理就是:3.因式分解就是有顺序得,记住口诀:“___________________”;因式分解就是有范围得,目前我们就是在______范围内因式分解.➢精讲精练1.下列由左到右得变形,就是因式分解得就是________________.①; ②;③; ④;⑤; ⑥;⑦.2.因式分解(提公因式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3);解:原式=(4); (5).解:原式= 解:原式=3.因式分解(公式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6);解:原式=(7); (8);解:原式= 解:原式=(9); (10).解:原式= 解:原式=4.因式分解(分组分解法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6).解:原式= 解:原式=5.因式分解(十字相乘法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6);解:原式= 解:原式=(7); (8).解:原式= 解:原式=6.用适当得方法因式分解:(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6).解:原式=【参考答案】➢课前预习1.2.210=7×5×3×2;315=7×5×3×3;91=13×7;102=17×3×23.(2)∴能被90整除∴能被1,m,m+1,m-1,m(m+1),m(m-1),(m+1)(m-1),m (m+1)(m-1)整除➢知识点睛1.把一个多项式化成几个整式得积得形式2.(1)①公因式要提尽②首项就是负时,要提出负号③提公因式后项数不变(2)平方差公式,完全平方公式①能提公因式得先提公因式②找准公式里得a与b(3)公因式,完全平方公式,平方差公式3.一提二套三分四查,有理数➢精讲精练1.④⑥⑦2.(1)(2)(3)(4)(5)3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 4.(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。
因式分解-讲义--资料
因 式 分 解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-； （2）22331n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）223612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m .⑷ 63244914b b a a +- ⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
八上第十四章：因式分解 讲义
3x(x+4)-(2x-1)(2x+3)=
4、综合运用及混合运算 3xy(5x 3 ������ − ������������ 3 )= xy•(x 2 − xy + 1)=
1
3、− 2 ������ (1 − ������ + 4������ 2 − 2������ 3 )= (-2cd)•(������ 2 − 4������������ )=
• 6������������2 =
1 3
(-2������2 ������)• ������������•(−8a3 bc)2 =
64 1 2
3
b2 • − ������2 ������ • 2������������������ = −5x 2 y • −4������ 3 ������ 2 • • − 3 abc 2
−3������ 2 ������ 3 ������ 2 − 1 − (������ 2 + 1) • 5������ 2 ������ 3 =−2xy x 2 − 3������ 2 − 4xy(2x 2 + ������ 2 )= (− ������������)•( ������ 2 ������ − 4������������ 2 + ������)=3������2 ������3 ������2 − 2������ − 4������(−������2 ������)2 = −2a
5
A． （a ） =a B． （x ） =（x ） C．x =（－x ） D．a =（－a ）
2 3 3 2 2 3
5
5
25
4
m
2m
2
2m
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
因式分解讲义
1 分解因式分解因式注意:①.结果应是积的形式. ②每个因式都是整式. ③要分解到不能分解为止.练习:下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）()()1122+-+=+-y x y x y x ； （2）()()2122--=+-x x x x ； （3）232236xy xy y x ⋅=；（4）()()()()221a y x a x y y x --=-+-；(5).96962⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x xy y xy y x 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=-123、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个4、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
5、22)(n x m x x -=++则m =____n =____6、232y x 与y x 612的公因式是＿7、若n my x-=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。
8、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有______ ，其结果是 ____。
9、若22(3)16x m x +--是平方差形式，则m=_______。
9、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x10、已知,01200520042=+++++xxx x 则.________2006=x11、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。
因式分解1讲义模板
教学目标
重点、难点
考点及考试要求 教学内容
一、因式分解的意义 把一个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 总结：(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变 形. (2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式. (3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不 能再分解为止. 二、提公因式法 (1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式. (2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (3)公因式的构成： ①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 提公因式时要一次提尽.公因式可以是单项式，也可以是多项式。 练习： （1）2x2y－xy （2）6a2b3－9ab2 （3）x（a－b）＋y（b－a） （4）ax＋ay＋bx＋by
a 4 1 a 2 1 a 1a 1
4、对某些多项式还要了解经过一定变形后才能分解的因式，如：分解 x 2 4 xy 3 y 2 的因式，此题用 现有的方法还不能分解因式.但若适当处理后配成完全平方，就可以继续分解.
x 2 4 xy 3 y 2 x 2 4 xy 3 y 2 y 2 y 2 x 2 4 xy 4 y 2 y 2 x 2 y y 2 x 2 y y x 2 y y x y x 3 y
（2）3ax2+6axy+3ay2
（3）4x2－12x＋9
（4）16x4+24x2+9；
第四章因式分解基础讲义(基础)
因式分解重点学习1.因式分解的定义2.提公因式法及公式法分解因式3.因式分解法综合运用（因式分解判断三角形、换元法常规、换元法平均数法）知识精讲1.因式分解的概念定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）2.提取公因式法公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3.公式法平方差公式：完全平方公式： 一个多项式化成几个整式的积的形式8x 2y 3=2x 2·4y 3一个多项式化成几个整式积的形式x-1=x(1―1x )一个多项式化成整式积的形式X 2-x-2=x(x-1)-2 (x+1)(x-1)=x 2-1考点1：因式分解的概念例题1：下列各式从左到右的变式中，属于因式分解的是（） A. a (x +y )=ax +ay B. x 2−2x +1=x (x −2)+1C . 6ab=2a ·3b D. x 2−1=(x +1)(x −1) 定义易错点提取经典例题考点2：提公因式法例题2：因式分解（1）a2x2―ax (2)-6abc-14a2b3+12a3b(3)8ab(x-y)2―4a(y-x)4(4)m(m-n)3+n(n-m)5考点3 整体思想例题3：（x-y）2-（y-x）因式分解的结果是（）A.（y-x）（x-y）B.(x-y)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(x-y)（y-x-1）超长材料阅读题阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3（1）上述分解因式的方法是（），共应用了（）次。
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因式分解-讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
因式分解(一)-一般方法
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充几个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；
(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；
(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
2
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的
3
某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
3．换元法
4
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
5
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
1．(2)x10+x5-2；
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
2．(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；
6
(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；
(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
4、
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2= ；
(2)x2-y2+5x+3y+4= ；
7
(3)xy+y2+x-y-2= ；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2= ;
(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .
8
因式分解(二)--求根法分解因式
我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．
9
例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
练习二
1．用双十字相乘法分解因式：
(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3； (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．
2．用求根法分解因式：
(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4； (3)4x4+4x3-9x2-x+2．
10
3．用待定系数法分解因式：
(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．
11。