2014年华二附中自招数学试卷

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华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题

自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。

华师大二附中2014学年第一学期期末考试卷高一数学

华师大二附中2014学年第一学期期末考试卷高一数学时间：90分钟满分：100分一、填空题（每题4分，10小题，共40分）1．已知幂函数()f x 的图像经过点22⎛ ⎝⎭，，则()16f =．2．函数()253x f x x -=-的值域是：． 3．若函数()24f x x x a =--的零点个数为3，则a =．4．命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题为：．5．对于集合A 和B ，定义运算：{}|A B x x A x B -=∈∉，且，又()()*A B A B B A =-- ．设{}1357X =，，，，{}|4Y x x x =<∈Z ，且，则*X Y =．6．已知关于x 的方程122x a a+=-只有正实根，则实数a 的取值范围为：． 7．若a b +∈R ，，1a b +=，则1ab ab +的最小值为：． 8．函数()12log 1f x x =-的单调递增区间是：．9．不等式11x x m +--<的解集是R 是非真子集，则实数m 的取值范围是：．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，且()02x ∈，时，()241xx f x =+．则()f x 在[]22-，上的解析式为：．二、选择题（每题4分，4小题，共16分）11．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()f x x =，()g tB ．()f x ()3g x =C ．()211x f x x -=-，()1g x x =+D ．()f x ()g x12．要使函数12x y m +=+的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是（）A ．1m -≤B ．1m <-C ．2m -≤D ．2m -≥13．已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与()()1f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点，则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件14．定义域是一切实数的函数()y f x =，其图像是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ附属函数”．有下列关于“λ附属函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ附属函数”；②“12附属函数”至少有一个零点；③()2f x x =是一个“λ附属函数”；其中正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题（4小题，共44分，请写出必要的解答步骤）15．（10分）解下列方程：⑴943450x x -⋅-=⑵()()222log 2log 5x x x -=--16．（10分）已知()()23f x x a x a =+-+⑴ 对于x ∈R ，()0f x >总成立，求a 的取值范围； ⑵ 当[]12x ∈-，时，()0f x >，求a 的取值范围． 17．（12分）设()()1011x xa f x a a a +=>≠-， ⑴ 求()f x 的反函数()1f x -；⑵ 判断并证明()1f x -在()1+∞，上的单调性； ⑶ 令()1log a g x x =+，当[]()()1m n m n ⊆+∞<，，时，()1f x -在[]m n ，上的值域是 ()()g n g m ⎡⎤⎣⎦，，求a 的取值范围．18．（12分）已知函数()2211x b f x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0x ∈+∞，，其中0a b <<． ⑴ 当12a b ==，时，求()f x 的最小值；⑵ 若()21m f a -≥对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；⑶ 设k 、0c >，当()22a k b k c ==+，时，记()()1f x f x =；当()2a k c =+，()22b k c =+时，记()()2f x f x =．求证：()()()2124c f x f x k k c +>+．。

2014-2015年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷含参考答案

2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．2（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（s inα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为1cm2．【解答】解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：12．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．【解答】解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．=﹣2．【解答】解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．5．（3分）化简：=﹣1．【解答】解：由题意=故答案为﹣16．（3分）若α是第三象限角，且，则=．【解答】解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．==，∴则S△ABC故答案为．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．【解答】解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．【解答】解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．【解答】解：=2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与【解答】解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π 表示π的奇数倍，（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k ±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选：A．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选：B．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（co sβ），故选：C．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．【解答】解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x 0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．【解答】解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．【解答】解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．∴．（2）当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x 增大而减小，故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）导角核心图形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。

(高清打印版)2014华二自主招生数学试题

JI H B D G E AF C B D A F E C /////////////////2014华二自主招生数学试题一、填空题1．已知a+a -1=4，则a 4+a -4=______．2．⊙O 为△ABC 外接圆，已知R=3，边长之比为3：4：5，S △ABC =_____．3．,4112222b a b a +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013b a a b _________．4．四个不相等的整数ABCD ，满足下式的关系，则D 可能有________个取值+DBDDD BCADA ABBCB5．有一个鱼缸它的底为100cm×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水，水面高40cm ，将一个底为40cm×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中．缸内水面上升了________cm ．6．有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BEFC ，GHIJ ，BE=_________．7．13+a=9+b=3+c ，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=______．8．甲手上有1～5号牌，乙手上有6～11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为_________．9．直角坐标系xOy 内有一个△OEF ，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E′，已知E(2，1)，求E′的坐标_____．10．一辆车的计程车速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，n 小时(n 是整数)行程结束时里程表上的里程数是为cba ，其中a≥1，a+b+c≤7，a 2+b 2+c 2=_________．11．有一个多项式，除以2x 2-3，商式是7x-4，余式是-5x+2，多项式为__________．12．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______．13．有一个矩形ABCD ，DC=2BC ，E 、F 为AB 边上点，DE 、DF 将∠ADC 三等分，S △DEF /S 矩=________．14．抛物线上两点A(-5，y 1)，B(3，y 2)，抛物线顶点在(x 0，y 0)，当y 1＞y 2＞y 0，求x 0的取值范围__________．15．l 1、l 2交于点O ，平面内有任意点M ，M 到l 1、l 2的距离分别为a 、b ，有序实数对(a ，b)为距离坐标，若有序实数对为(2，3)，这样的数有几个?___________二、选择题16．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD 全等的有()A ．△BCE B ．△ADF C ．△ADE D ．△CDE 17．有一个长方形纸片，其长为a ，宽为b(a>b)，现将这种纸片按下图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足()A ．a=2b B ．a=3b C ．a=34b D ．a=4b 三、解答题18．解关于x 的方程a x =--3221．19．某商场购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价和售价如下图：进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元．(1)问该商场购进两种手机各多少台？(2)若现在进货资金不超过16万；且(1)的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大．20．如图所示，C 在⊙O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点Ｅ．(1)求证：DE 是切线；(2)32=DE CE ，求cos ∠ABC 的值．21．(1)设n 是给定的正整数，化简：()1111122-+++n n，(2)根据(1)的结果，计算2222221019113121121111+++++++++ 的值．22．已知抛物线过点A(-3，0)，B(0，3)，C(1，0)(1)求解析式；(2)P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB 于D ，PF ⊥x 轴于F ，与AB 交于E ．①当C △PDE 最大时，求P 的坐标②以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标．单位(元)甲乙进价40002500售价43003000。

上海中考自招真题26套及其答案

四校八大历年自招真题答案目录2013年上中自招试卷2014年上中自招试卷2015年上中自招试卷2011年华二自招试卷2012年华二自招试卷2014年华二自招试卷2013年华二冬令营数学试卷2015年年华二自招试卷2017年年华二自招试卷2013年复附自招试题2014年复附自招试题一2014年复附自招试题二2015年复附自招试题一2015年复附自招试题二2012年交附自招试题2013年交附自招试题2014年交附自招试题2015年交附自招试题2016年交附自招试题2014年七宝自招试题2016年七宝自招试题2016年南模自招试题2016年建平自招试题2017年建平自招试题建平数学培训资料试卷2015年控江自招试题2013年华二冬令营数学试卷1、“帽子函数”的图像如图所示：(1)求此函数的解析式；(2)若有抛物线23(),4y x a a =-+<求它与“帽子函数”图像的交点个数； (3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为5722，．【解析】：⑴1,211,12x k x k y x k k x k ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪-+++≤<+⎪⎩⑵0a <时，无交点0a =时，一个交点304a <<时，两个交点 ⑶考虑到34a =时，抛物线234y x =-+与帽子函数交于11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，所以可以将234y x =-+向右平移3个单位，即满足条件该抛物线解析式为()2334y x =--+2、在一个8×8的正方形方格纸中，一个角剪去一个2×2的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。

【解析】（一道基础的染色问题）如图进行黑白相间染色，那么L 型放入方格纸中，必定可以盖住1个黑格子和3个白格子，或者3个黑格子和1个白格子。

2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案 (2)

2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有（ B ）2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,, 100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ，而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S△AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。

2014高中自主对外招生数学试卷和答案

高中自主招生考试数学(试卷满分：150分考试时间：120分钟)准考证号姓名座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1．如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示，则其左视图面积为（）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为（） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7．实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为．9．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b，例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14．若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分）如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点，交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。

上海市华师大二附中2014-2015学年高一数学下学期期中试.

上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36分）1.（3分）扇形的半径为1cm,圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cmf .2. （3分）已知角 a 的终边过点 P （- 5, 12）,则cos a =.3. （3 分）已知I 一 H - I ，则 sin2 a =.42a tarr27. （3 分）在厶 ABC 中，若 b=1,二，.，贝U S A ABC =.8 （3分）隔河测算 A , B 两目标的距离，在岸边取 C, D 两点，测得 CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离 m10. （ 3分）定义在区间i ——j 上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P,2过点P 作PR 丄x 轴于点P 1，直线PR 与y=sinx 的图象交于点 P 2,则线段P 1P 2的长为.11. ( 3 分)已知函数 f (x ) =2x 2- ax+1，存在，使得 f (sin ?) =f (cos ?),4. (3分) 已知a 是锐角，则■-一「. J =.5. (3分)化简: sin (兀COt cos (- a) tan(K + Q) ▼* * 兀丄仃、sin (2K - Cl) sm I —+u )J6. (3分)是第三象限角，且： ■，则丄」_ sinx - 1 4cosx sinx（x €R9. （3分）定义 ■ I .，则函数£4 2则实数a的取值范围是.a 3 2 ■12. （3分）设函数f （工）二力・ " +1283（x €）的最大值为 M 最小2I 4+3COS 2Z +4值为 m 贝U M+m=、选择题（每小题 4分，共16 分）13. （ 4分）已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是（）15. ( 4分)给出下列三个等式： f (xy ) =f (x ) +f (y ) , f (x+y ) =f ( x ) f (y ),f Xx+y) = T 林饮一•下列函数中不满足其中任何一个等式的是()1 - f (x) f (y)A.f (x ) =3xB . f (x ) =sinxC. f (x ) =log 2XD. f (x ) =tanx16. ( 4分)定义在 R 上的偶函数f (x )满足f (2 - x ) =f (x ),且在上是减函数，a , B 是钝角三角形的两个锐角，且a < B ，则下列不等式关系中正确的是()A. f ( sin a )> f (cos B ) B . f (cos a )< f (cos B ) C. f (cos a ) > f ( cos B ) D. f (sin a )< f (cos B )三、解答题（本大题共 48分）17. （ 6分）若一 '■■■-：,求」」丄■!」.的值.1+tanA 418. （ 8分）设厶ABC 的内角 A 、B C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知a=1, b=2, cosC=4（I ）求厶ABC 的周长；（n ）求 cos （A- C ）的值.19・（10分）已知函数 f （x ） =2 亠］n —:. 「一'.（1）求函数f （x ）的最小正周期及在 I,二］上的单调递增区间；（2）若 f （x o ） ', x o € ■ ——•，求 cos2x 0的值.A.「与k 兀土 7T~2B . 2k n + n 与 4k n ± nc.7T ■?14. (4 分)在厶 ABC 中，若 cosAcosB > sinAsinB，则此三角形一定是（） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 形状不确定420. (10分)如图，单位圆(半径为 1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ,与钝角a 的终边OB 交于点B (X B , y B )，设/ BAO=3 .(1) 用3表示a ；(2) 如果-厶，求点B (X B , y B )的坐标；5(3) 求X B - y B 的最小值.21. ( 14分)已知函数—，：. 是奇函数，定义域为区间AK +1D (使表达式有意义的实数 x 的集合).(1) 求实数m 的值，并写出区间 D(2) 若底数a 满足0v a v 1，试判断函数y=f (x )在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3) 当 x € A= 解答：解：由 •,得 sin=sin a = -^_：13 13由a 是第三象限角，所以 I. '.：.'',2243故答案为：-. 点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力.则sina a 2sin_cos -^_o . a a __________ 2 2a —2sin —cos ——]22 .旳丄+2 aa2tan —二解得八=「或7. (3分)在厶ABC 中，若b=1,；,:,S ^ABC =—' 所以tan =—考点：正弦定理的应用.4专题：解三角形.分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S MBC=：•」，运算求得结果.解答：解：由于在△ ABC中，若b=1, 由正弦定理可得 --------- ：一si nB=二.2再由大边对大角可得B=一V A,. A=n - B- C='6 6.贝V s s B(=£bu・0inA=W^，故答案为<4点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题.8 （3分）隔河测算A, B两目标的距离，在岸边取C, D两点，测得CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离兀:様匚m考点：余弦定理；正弦定理.专题：计算题；解三角形.分析：依题意，利用正弦定理可求得AD, BD再利用余弦定理即可求得AB.解答：解：作图如下：•/ CD=200m / ADC=105 , / ACD=30 , / BDC=15 , / BCD=120 , •••/ CAD M CBD=45 , / BDA=90 ;.在△ ACD中，由正弦定理“口殳Q ，即mi緡 F券• AD=100*：「；在厶BCD中，同理可求BD=100 ..在直角三角形BDA中 ,由勾股定理得AB=「疝-二.二—二故A , B间的距离为200匚m.故答案为200 _.点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD, BD 是关键，考查作图与运算能力，属于中档题.(x € R )的值域为.考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域. 专题：新定义；三角函数的图像与性质.分析：利用新定义，展开f ( x )利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可.解答：解：由题意 f (笙)二"°蓋1 =sin 2X +4COSX = - cos 2x+4cosx+仁-(cosx - 2)4cosx sinx2+5€.故答案为：. 点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力.10. ( 3分)定义在区间i .——j上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P,2过点P 作PR 丄x 轴于点P i ，直线PP 与y=sinx 的图象交于点巳，则线段PQ 的长为2.3考点：余弦函数的图象；正切函数的图象. 专题：三角函数的图像与性质.分析：先将求P i F 2的长转化为求sinx 的值，再由x 满足6cosx=5tanx 可求出sinx 的值，从而得到答案. 解答：解：线段P 1P 2的长即为sinx 的值，99且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=—.线段P 1P 2的长为一3 39.( 3分)定义则函数■-：.故答案为：.点评：考查三角函数的图象、数形结合思想.“•(3分)已知函数f(x) =2x2-ax+1,存在-4「使得f(sin?) =f(cos?), 则实数a的取值范围是|考点：函数与方程的综合运用.专题：函数的性质及应用.分析：利用条件化简可得2 ( sin $ +cos $ ) =a,禾U用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围.解答：解：根据题意：2si n 冷-asin $ +1=2cos2© - acos $ +1,即：2 (sin2© - cos2© )=a (sin $ - cos $ )即：2 (sin $ +cos $ ) (sin $ - cos $ ) =a (sin $ - cos $ ),因为: $ €(77),所以sin $ - cos $ 工04 2故：2 (sin $ +cos $ ) =a,即：a=2、j[sin由$ € (+ =)得：| - I €( n /2 , 3n /4 )，也就是：sin ( q __[)€(.连，1)所以：a=2心sin (「\ )€( 2, 2 二)故答案为：1■ - 1点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用, 考查学生的计算能力，属于中档题.4 3 2 ■12. (3分)设函数f (工)二力一2玄(乂^)的最大值为M最小2 X4+3COS2X+4值为m贝U M+m=4考点：函数最值的应用. 专题：函数的性质及应用.—3sinM _ 2 v分析：将函数化简，构造新函数 g (x ) =' (x €),判断其为奇函数，可得 g2 Z Q +3COS 2Z +4(X )max +g (x ) min =0 ,从而可得结论.解答：解：■ •「• ' -■ ■■■：' =2+-- . ■-2 X ^+3COS 2M +42 x q+3cos2x+4••• g ( x ) max +g ( x ) min =0• M + m=4+( x ) max +g (x ) min =4令 g (X )(x €),则 g (- x )=-g (x ),•••函数g (x )是奇函数故答案为：4 点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.二、选择题（每小题 4分，共16分）13. （ 4分）已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是（） A.上工与 I • IB . 2k n + n 与 4k n ±n 2 2C 八:+与丨一 _D.上亍与：*考点：终边相同的角. 专题：计算题. 分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断.解答：解：由于空表示丄的整数倍，而k n ± '' = （2k ± 1）''表示“的奇数倍，故这两2 2 2 2 2个角不是终边相同的角，故A 不满足条件.（2k+1） n 表示n 的奇数倍，（4k ± 1） n 也表示n 的奇数倍，故（2k+1） n 与（4k ± 1）n （ k € Z ）是终边相同的角，故 B 满足条件.k n + 1 = （k+ ） n 表示 n 的（k+ ）倍，而 2k n ± ' = （2k ± ） n 表示 n 的（2k ± ）6 6 6 6 6 6 倍，故两个角不是终边相同的角，故C 不满足条件.由于丄一表示——整数倍，而k n + “ = （ 3k+1 ）…表示——非3的整数倍，故这两个角不是终边 33 333相同的角，故D 不满足条件. 故选：B . 点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义.14. （ 4分）在厶ABC 中，若cosAcosB > sinAsinB ，则此三角形一定是（）考点：三角形的形状判断.专题：计算题. 分析：先将条件等价于cos （ A+B > 0,从而可知C 为钝角，故可判断. 解答：解：由题意，T cosAcosB> sinAsinB/• cos （ A+B ）> 0 ••• cosC v 0•••C 为钝角故选A . 点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C 为钝角.15. ( 4 分)给出下列三个等式： f (xy ) =f (x ) +f (y ) , f (x+y ) =f ( x ) f (y ),•下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A.钝角三角形B.直角三角形C. 锐角三角形D.形状不确定71-f (x) f (y)xA. f (x) =3B. f (x) =sinxC. f (x) =log 2XD. f (x) =tanx考点：指数函数与对数函数的关系.分析：依据指、对数函数的性质可以发现 A C满足其中的一个等式，而D满足f (旳)=f 9 饮-,B不满足其中任何一个等式1 _ f txj f (yj解答：解：f (x) =3x是指数函数满足f (x+y) =f (x) f (y)，排除A.f (x) =log 2x是对数函数满足f (xy) =f (x) +f (y)，排除Cf (x ) =ta nx 满足- (旳)二亍9甘(叭 -，排除D.1 _ f S f (y)故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质.16. ( 4分)定义在R上的偶函数f (x)满足f (2 - x ) =f (x)，且在上是减函数， a , B是钝角三角形的两个锐角，且 a < 3，则下列不等式关系中正确的是()A. f ( sin a ) > f (cos 3 )B. f (cos a ) < f (cos 3 )C. f (cos a )> f ( cos 3 ) D. f (sin a ) < f (cos 3 )考点：奇偶性与单调性的综合.专题：函数的性质及应用.分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由 f (2-x ) =f (x)和偶函数的定义得f ( x) =f ( x+2)，求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据a和3的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数 f (x)的单调性进行判断.解答：解：•••偶函数f (x)在上是减函数，••• f ( x)在上是增函数，又•••偶函数f ( x)满足f (2 -x ) =f (x) ,••• f ( x) =f (x - 2),即f (x+2 ) =f (x)，函数的周期T=2,• f ( x)在上是增函数，T a , 3是钝角三角形的两个锐角，且 a <3 ,•根据余弦函数在(0 ,n )上递减得，0< cos 3 < cos a < 1,则f ( cos a ) > f ( cos 3 ).故选C.点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想.三、解答题(本大题共48分)17. (6分)若W，求的值.-11 --12 -考点：两角和与差的正切函数. 专题：三角函数的求值.分析：利用-■.,可求tanA 的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论.1十tanA 解答：解：••• • 川tan A=-1+tanA 31-1=丄:沱工:_ - '= ■1 - tanA . 1 E点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题.18. ( 8分)设厶ABC 的内角 A B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知a=1，b=2, cosC=4(I)求厶ABC 的周长；(n)求 cos (A- C )的值.考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数.专题：计算题.分析： (I )利用余弦定理表示出 c 的平方，把a , b 及cosC 的值代入求出c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；(II )根据cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值，然后由a , c 及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由a 小于c 得到A 小于C,即A 为锐角，贝U 根据sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值. 解答：解：(| )•., 2=a 2+b 2-2abcosC=1+4-4X =4,4二 c= 2,•••△ ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5.(II )••• cosC= _,••• sinC= _ ___「= 】:=j'.V15•.sin A=丄=」 c 2 S=cosAcosC+sinAsinC =二+ 宀［耳］•/ a < c ,「. A v C,故A 为锐角.则• cos ( A- C )点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题.19- ( 10分)已知函数f (X ) =2二］丄—丄_ -■二—(1)求函数f (x )的最小正周期及在..二•上的单调递增区间；2(2) 若 f (x o )=二 x o €「二 _「，求 cos2x o 的值.考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性. 专题：计算题；三角函数的图像与性质.分析：(1 )利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f (x ) =2 ■:sinxcosx+2cos 2x-1化为：f (x ) =2sin (2x+ '),从而可求函数f (x )的最小正周期及在「i. 上的单6 2」调递增区间；(2) 由(1)知，f (x o ) =2sin (2x o + )=',可求得 sin (2x o + 1)='，继而可求得 cos6 5 6 5(2x o +一)=-丄，而2x o = (2x o + )-一_,利用两角差的余弦即可求得cos2x o .6 5 r. 6解答：解：(1)由数 f (x ) =2;.：「;sinxcosx+2cos 2x - 1，得 f (x ) =^ 5sin2x+cos2x=2sin(2x+ 1),6所以函数f (x )的最小正周期为 n ； •/2k n - =< 2x+_l V 2k n +, k € Z 2 6 2x €( k n -, k n +) , k € Z36又x €, f (x ) =2sin ( 2x+ )在上的单调递增区间为(0,')；6 6(2)由(1)知，f (x o ) =2sin (2x o + ),6-f ( x o )=一5K 3• sin ( 2x o +——)=,• cos2x o =cos由 X o €，得 2x o +€.从而cosz7T(2x 0+=cos (2x o +)6cos +sin6(2x o +)sin-1o -)=-=■:i.U点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题.20. (10分)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A,与钝角a的终边OB交于点B ( X B, y B),设/ BAO=3 .(1)用3表示a ；(2)如果--_■，求点B (X B, y B)的坐标；5(3)求X B- y B的最小值.考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用.专题：综合题.分析：(i)作出图形，结合图形由■- |-.:,能求出:_■'-...r2 2y R(2)由'',r=1，得Tj-. -,；i .. .. ■ 1 ： = • ] _ 一丄1 -- ：: - .由此能求出点B (X B, y B)的坐标；(3)法一I ，由此能求出X B- y B的最小值.2 2 2 2 2 法二：由a 为钝角，知X B V0, y B>0, X B+y B =1, X B- y B= - (- X B+y B), (- X B+y B) <2=2,由此能求出X B- y B的最小值.解答：解：(1)如图，•••厶「：丨厂二-■. ,(2)由'，又r=1 ,T-14 --15 -得/..._i.. ._ ■■w二 • — - J ——：：-•525由钝角a ，知订匸--;-I■-,25 25又 '■ ' -cos (□+芋)E [_1» -42•••X B- y B 的最小值为二.法二：a 为钝角，• x B V 0 , y B > 0,点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用.21. ( 14分)已知函数一，：. 是奇函数，定义域为区间ax+1D (使表达式有意义的实数X 的集合).(1) 求实数m 的值，并写出区间 D(2) 若底数a 满足O V a v 1，试判断函数y=f (x )在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3) 当 X € A=于是，当O v a v 1时，函数■- [ ,上是单调增函数.(3)法x Ei - y B =cos - 日inQ 二逅eg a +晋)2015届高考的常见题型•解题时要X B 2+y B 2=1，2 2 2(—X B +y B ) w 2 ( X B +y B ) =2,(3)v x € A=[a , b) (A? D, a 是底数)••• O v a v 1, a v b< 1.•••由(2)知，函数. ’上是增函数，即：〕：.■'■ |a1十x a 1+a解得ci= : 1 ■：-, . . :丄若b v 1,贝U f (x)在A上的函数值组成的集合为.；,不满足函数值组成的a 1+b集合是[1 , +R)的要求，•必有b=1.因此，所求实数a、b的值是a二—一「-一 .点评：本题从恒等式出发得到m另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题.-16 -。

华二数学自主招生试题(13)---内部资料

数学自主招生试题（7）一填空题1 坐标平面上有两个圆,A B ，圆心均为(3,7)-，若圆A 与x 轴相切，圆B 与y 轴相切，则圆A 和圆B 的面积比为______2 若实数,a b 满足2222114a b a b +=+，则20172018()()______b a a b-= 3 函数|1||2||3||4||5|y x x x x x =+++++++++，当______x =时，min ______y = 4 一副中国象棋红方棋子共有16个，将它们反面朝上放在棋盘上，任取一个不是兵和帅的概率是______5 设a =，则32______a ++=6 三角形三边长为7,8,5a b c ===，则(sin sin sin )(cot cot cot )______222A B C A B C ++++= 7 设[]x 为不大于x 的最大整数，集合21{|2[]3},{|28}8x A x x x B x =-==<<，则______A B =I8 方程6209350xy x y -++=的所有整数解为aa9 方程4230x x --+=的四个实根的平方和为______ 10 在三位数中，数字7恰好出现一次的共有______个二解答题11 设,,0a b c >，证明不等式(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥+12 已知ABC V 的最短边为BC ，设,P Q 分别在线段,AB AC 上，使PCB BAC QBC ∠=∠=∠。

证明：ABC V 的外心与APQ V 的外心的连线垂直于BC13 求有序三元正整数组(,,)a b c 的个数，使得2()4abc a b c =+++14 对任意的实数[1,1]x ∈-，有2||1(0)ax bx c ac ++≤≠，求2()||x f cx bx a =++在[1,1]-的最大值。

2014年自招【数学】笔试真题与北京清华园教育讲义比较

2014年自主招生数学真题与《北京清华园自招讲义》相同或相近部分对照比较第一部分：北约联盟第2题：10个人分成3组（3、3、4），共有____种分法。

A.1070B.2014C.2100D.4200.解：43106222100C CA=（种）。

（这里有平均分组问题）。

在今年寒假讲义ppt第十三讲337页重点讲了排列组合中的“平均分组”问题：A.解：设,,1a x b y a b =-=-∴+=，14ab ≤21117)224xy xy ≥+=+≥或直接取12x y ==-又13,.44x y =-=-2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：2013年暑假讲义ppt 第259页：第7题. 证明：0tan3是无理数所以0000tan6,tan12,tan 24,tan30,Q Q Q Q ∈∈∈∈矛盾。

2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：有理数的四则运算仍是有理数，任何一个有理数都可设成qp的形式。

第8题：已知实二次函数()f x 和()g x 满足，()()f x g x =和()3()0f x g x +=都只有一对重根，()0f x =有两个不相等的实根，证明：()0g x =无实根。

证明：设()()22,,f x ax bx c g x dx ex f =++=++由()()2()()()0,f x g x a d x b e x c f =⇒-+-+-=因为上述一元二次方程有相等实数根 2()4()(),b e a d c f ∴-=--①同理有：2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，②⨯①3+②得：223124b e ac fd +=+ 注意到()()22240,4440g x b ac e df b ac ->∆=-=--<所以()0g x =无实根。

2013年暑假讲义PPT 第46、47页：解：没有.解法一：因为2()(1)0f x x ax b x c -=+-+=无实数根，所以2(1)40b ac ∆=--<； (())0f f x x -=．222()()0a ax bx cb ax bxc c x ++++++-=22222()()0a ax bx c ax ax b ax bx c c x ++-+++++-=．2222()()(1)(1)(1)0a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b ++-++++++-++=．3.（2008上海交大）已知函数2()f x ax bx c =++，(0)a ≠且()f x x = 没有实数根．那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．222(1)(1)(1)(1)0a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++++++-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 222(1)(1)10ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦．于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x ac b +++++=．21(1)40b ac ∆=--<； 2222(1)4(1)a b a ac b ∆=+-++222(1)4440a b ac a ⎡⎤=---<<⎣⎦。

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2014年华二附中自招数学试卷
1. 已知14a a -+=，则44a a -+=
2. ABC 外接圆，已知3R =，边长之比为3:4:5，则ABC S =
3. 2222114a b a b +=+，20132014()()b a a b -=
4. 四个互不相等的整数A 、B 、C 、D ，满足下式的关系，则D 可能有个取值 A B
B C B B C A D A D B D D D
+
5. 有一个鱼缸它的底为100cm ×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水40cm ，将一个底为40cm ×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中，缸内水面上升了 cm
6. 有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等
矩形BECF ，GHIJ ，则BE =
7. 一个正方体的表面积是242cm ，里面有个内切球，
该内切球中还内接一个小正方体，则小正方体的表面
积为
8. 1393a b c +=+=+，求222a b c ab ac bc ++---=
9. 甲手上有1~5号牌，乙手上有6~11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为
10. 一辆计程车的速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，行程结束时里程表上的速度为cba ，其中1a ≥，7a b c ++≤，则222a b c ++=
11. 有一个多项式，除以223x -，商式是74x -，余式是52x -+，多项式为
12. 有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数为
13. 有一个矩形ABCD ，2DC BC =，E 、F 在AB 边上，DE 、DF 将∠ADC 三等分，则:DEF S S =矩
14. 直角坐标系xOy 内有一个OEF ，(4,2)E -，(2,2)F --，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E '，求E '坐标
15. 若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与
ACD 全等的有（）
A.
BCE B. ADF C.
ADE D. CDE
16. 有一种长方形纸片，其长为a ，宽为b （a b >），现将这种纸片按下右图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足（）
A. 2a b =
B. 3a b =
C. 43
a b = D. 4a b =
17. 抛物线2y ax bx c =++，抛物线上两点1(5,)A y -，2(3,)B y ，抛物线顶点为00(,)x y ，当120y y y >≥，求0x 的取值范围.
18. 1l 、2l 交于点O ，平面内有任意点M ，M 到1l 、2l 的距离分别为a 、b ，有序实数对(,)a b 为距离坐标，若有序实数对为(2,3)，这样的数有几个？
19. 解关于x 的方程1|
2|32
x a --=.
20. 某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图：单位（元）
甲乙进价
4000 2500 售价 4300 3000 进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元.
（1）问该商场购进两种手机各多少台？
（2）若现在进货资金不超过16万，且在（1）的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大？
21. 如图所示，C 在圆O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点E .
（1）求证：DE 是切线；
（2）:2:3CE DE =，求cos ABC ∠的值.
22.（1）设n 是给定的正整数，化简：221111(1)n n ++-+；（2）根据（1）的结果，计算222222
1111111111223910+
+++++⋅⋅⋅+++的值.
23. 已知抛物线过点(3,0)A -、(0,3)B 、(1,0)C .
（1）求抛物线解析式；
（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB ，PF ⊥x 轴； ① 当PDE C 最大时，求P 的坐标；
② 以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标.
参考答案
1. 194
2.
21625
3. 0或2-
4. 7
5. 2
6. 2
7. 8
8. 76
9. 715 10. 37
11. 321482614x x x --+ 12. 35 13. 6 14. (2,1)-或(2,1)-
15. C 16. B 17. 01x ≥- 18. 4
19. 当3a <-，无解；当3a =-，4x =；当3a >-，210x a =+或22x a =--
20.（1）甲20台，乙30台；（2）甲15台，乙40台，最大毛利24500元.
21. 略 22. （1）
111n n -+；（2）9910. 23. 略.。