逻辑学导论第四章

一个变项的某一次出现，如果处于量词x或x的辖域之内的， 或作为与该量词一起出现的变项（指导变项），则称该变项 的这一次出现是“约束出现”，否则叫做“自由出现”。
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一个变项，如果在一个公式中有约束出现，则称它是“约束 变项”；如果在一个公式中有自由出现，则称它是“自由变 项”。因此，一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又 是自由变项。
一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公式”。开公 式的意义不确定，没有确定的真假。一个不含任何自由变项 的公式，叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后，闭公式 有确定的意义，也有确定的真假。
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自然语言中性质命题的符号化 在论域为全域时，六种直言命题可以如下方式符号化：
◦ （1）全称的直言命题应符号化为一个全称蕴涵式。 SAP：x(S(x)→P(x)) SEP：x(S(x)→P(x))
一个模型U和模型U上的一个指派合称为一个赋值，记为σ＝＜U， ρ＞。
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如果一个谓词逻辑的公式对于任一赋值都为真，则称该公式 为普遍有效式，亦称常真式。普遍有效式是谓词逻辑的规律。
关系命题
◦ 包括三个要素：个体词、关系谓词和量词。从形式上看， 关系谓词与性质谓词没有实质性区别，只不过后者涉及一 个个体，而前者涉及两个以上的个体。发生在两个对象之 间的关系叫做“二元关系”，发生在三个对象之间的关系 叫做“三元关系”，依此类推，发生在n个对象之间的关 系叫做“n元关系”。
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一阶语言 （Ⅰ）初始符号
◦ （Ⅲ）谓词符号在个体域D上的解释，即表示该个体域中个体的性 质和个体间的关系。
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当给定模型U后，谓词逻辑的闭公式的意义就确定了，其真假也确 定了。
但谓词逻辑的开公式的意义尚不确定，为了确定该公式的真值， 需要对其中的自由变项的值做指派（记为ρ）。
在模型U和指派ρ之下，谓词逻辑的所有公式都有了确定的意义， 也有了确定的真假。谓词逻辑的语言因此得到了确定的解释。
◦ 一阶语言中允许重复约束和空约束。
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自然语言中关系命题的符号化
◦ 例如，下面的关系命题：
（1）牛郎不爱有些爱织女的男人。 （2）织女爱每一个爱牛郎的人。 来自百度文库（3）有的投票人赞成所有的候选人。
◦ 分别可以符号化为：
（1）x(M(x)∧L(x, a)∧L(b, x)) （2）x(P(x)∧L(x, b)L(a, x)) （3）x(T(x)∧y(H(y)Z(x, y)))
◦ （2）特称的直言命题应符号化为存在合取式。 SIP：x(S(x)∧P(x)) SOP：x(S(x)∧P(x))
◦ （3）单称的直言命题应符号化为原子公式。 “《春江花月夜》是一支中国古代名曲”可以符号化为：F(a) “周作人不是一位具有民族气节的人”可以符号化为：F(b)
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二、关系谓词、重叠量化和二元关系的性质
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量词和量化公式
◦ 量词包括全称量词和存在量词： ◦ xF(x)，读做“对于所有x而言，x是F”。 ◦ xF(x)，读做“存在x使得x是F”。
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原子公式和量化公式还可以用命题联结词连接起来， 形成更复杂的公式：
◦ x(F(x)→G(x)) ◦ xF(x)∧y H(y)
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量词有其管辖的范围，简称“辖域”。如果一个量词后面有 括号，则处于括号内的公式构成该量词的辖域；如果量词后 面无括号，则量词后面最短的公式，构成该量词的辖域。
一、个体词、性质谓词、量词和公式
个体词
◦ 个体词就是表示对象域中的个体的符号，包括个体变项和个体常项。 其中，个体变项使用小写字母x，y，z，…等等，表示某个特定的 范围内的某个不确定的对象。个体常项使用小写字母a，b，c，… 等等，表示某个特定范围内的某个确定的对象。
◦ 这里所说的“某个特定的范围”，叫做“论域”，即由一定对象所 组成的类或者集合。论域规定了个体变项的取值范围，因此也叫做 “个体域”。论域一般是“全域”，即由世界上所有能够被思考、 被谈论的事物组成的集合；有时也取特定个体域为论域。
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一元谓词和性质
◦ 谓词符号，用大写字母F，G，R，S…等表示，若只把这 些谓词符号用于单个的个体词，叫做“一元谓词符号”， 经解释后，它们表示论域中个体的某个具体性质。
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原子公式
◦ 如果一个谓词符号后面跟着写在一对括号内的一个个体词 （个体常项或个体变项），我们就得到“原子公式”，例 如F(a)，G(x)，它们分别表示“a是F”，“x是G”。在派 生的意义上，原子公式有两个可能的真值：真或者假。
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三、模型和赋值 普遍有效式
一阶语言的一个模型U（亦称“解释”）包括下列因素：
◦ （Ⅰ）一个个体域D，即由具有一定性质的个体所构成的集合。当 给定个体域之后，全称量词x表示个体域中的所有个体，存在量词 x表示个体域中的某些个体。全称量词、存在量词和约束个体变项 的意义都确定了。
◦ （Ⅱ）个体常项在个体域D中的值，即个体常项表示该个体域中的 某个特定个体。
◦ （ii）如果A是公式，则A是公式。 ◦ （iii）如果A和B都是公式，则A∧B，A∨B，AB，AB是公
式。 ◦ （iv）如果A是公式，则xA，xA是公式。 ◦ （v）只有按以上方式形成的符号串是公式。
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重叠的量词和重叠的量化式
◦ “重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包 含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。
逻辑学导论第四章
命题逻辑和词项逻辑的局限性
◦ （1）它们都不能处理关系命题及其推理。 ◦ （2）它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。
所以，我们还需要另外的逻辑——谓词逻辑，它把一个 命题拆分为个体词、谓词、量词，很多时候还要加上联 结词；它能够在一个统一的框架内同时处理性质命题和 关系命题及其推理。
◦ （i）个体变项：x，y，z，… ◦ （ii）个体常项：a，b，c，… ◦ （iii）谓词符号：F，G，R，S，… ◦ （iv）量词：全称量词，存在量词 ◦ （v）联结词：，∧，∨，， ◦ （vi）辅足性符号：逗号，，左括号（，右括号）。
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（Ⅱ）形成规则
◦ （i）一个谓词符号F，后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当 分开的n个个体词（n≥1），是原子公式。