逻辑学导论第四章
《逻辑学》第四章(精简版)
复合判断的负判断及其等值转换
3.不相容选言判断的负判断及其等值式 p∨· q←→( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )
例如:并非本案的作案人要么是张某,要么是王某, 就等于断定:或者本案的作案人既是张某,又是王某;
或者本案的作案人既不是张某,也不是王某。
复合判断的负判断及其等值转换
4.充分条件假言判断的负判断及其等值式 p→q←→p∧q
假言判断的真值表
pq
++ +- -+ --
pq
+ - + +
pq
+ + - +
pq
+ - - +
假言判断的等值转换
1.如果p是q的充分条件,那么q是p的必要条件 2.如果p是q的必要条件,那么q是p的充分条件 3.如果p是q的充分条件,那么非p是非q的必要条件 4.如果p是q的必要条件,那么非p是非q的充分条件
相容选言判断
断定若干可能的事物情况中至少有一种存在 (也可能同时存在)的复合判断。
联结词常用:“或”、“或者”表示。 逻辑形式为:或者p,或者q 数理逻辑符号表示为:p∨q 其中,“∨”读作“析取”
相容选言判断的逻辑性质
相容选言判断的逻辑性质是由其逻辑联结词的性质决定 的,“或者”是表示几种事物情况至少有一种存在的联结词。
②被告人否认犯罪事实,或是由于态度不老实,或是由于根本不存在这个 犯罪事实。
选言判断由选言肢和选言联结项两部分组成。
选言肢: p、q、r…… 选言联结项:或者 ……或者;要么……要么;
选言判断的种类
在选言判断中,各个肢判断所反映的事物情况有的可以 并存,有的不能并存。
选言判断
肢判断能否并存 相容选言判断 不相容选言判断
复合判断的负判断及其等值转换
逻辑导论全套课件
联合国教科文组织:数学、逻辑学、
天文学和天体物理学、地球科学和
空间科学、物理学、化学、生命科
学。
1977年版《大英百科全书》将逻辑 学列为基础学科第一位。
四、逻辑学的性质
2、工具性
①推理的工具 ②表述思想、建构理论的工具。 ③思想分析与批判的工具。
四、逻辑学的性质
分 析 1 比一比谁更聪明——戴帽子问题
三、思维形式是逻辑学的研究对象
1、思维形式分析为常项和变项
例如
①如果水温在一个大气压下为摄氏零度,那么水就会结冰。
②如果过度砍伐森林,那么就会破坏生态平衡。 ③如果某甲作案,那么他有作案时间。
它们共同的形式是:如果p,那么q
三、思维形式是逻辑学的研究对象
又如
①有的教师是律师。 ②有的被告是无罪的。 ③有的乌鸦是白色的。
逻辑思维规律
二、逻辑学的起源——源于理智的自我反思
1.
说谎者悖论及其他
克里特岛人埃匹门尼德(Epimennides): 所有的克里特岛人都说谎。 麦加拉派的欧布利德 : 一个人说,我正在说的这句话是假话。 罗素:“集合论悖论” “理发师悖论”
二、逻辑学的起源——源于理智的自我反思
逻辑导论
目录
第一章 绪论 第二章 语言分析 第三章 逻辑推理:命题演算
第四章 逻辑推理:类演算与关系推理
第六章 逻辑推理:模态、规范逻辑 第七章 合情推理:归纳逻辑
第八章 逻辑基本规律
第九章 论证
目录
第一章 绪论
一、“逻辑”的含义 二、逻辑学的起源
三、逻辑学的研究对象
四、逻辑学的性质
一、“逻辑”的含义
2、普罗泰戈拉斯的“半费之讼”
逻导第四章答案
逻辑导论第四章答案国际法学院总负责人:刘宣含一、制作人:庞智嘉1. A 鸟卵生脊椎动物周延不周延2. A 月球上没有生物的周延,不周延3 .E 金属非导体周延周延4. A 这个困难可以克服周延不周延5. O金属固体不周延周延6. A商品劳动产品周延不周延7. E无罪的人适用免予起诉周延周延8. O中毒死亡者自服中毒不周延周延9. I 我们当中有人不赞成方案不周延不周延10. A 困难可以克服周延不周延二、制作人:庞智嘉1.SIP2.SEP3.SOP4.SAP5.SOP6.POS三、制作人:庞智嘉1.SAP→SIP 有犯罪行为是违法行为2.¬SAP→SOP 有违法行为不是犯罪行为3.SEP→SOP 有侵略战争不是正义的4.¬SEP→SIP 有战争是正义的5.SIP→¬SEP 并非所有律师都不是政法大学的毕业生6.¬SIP→S EP 诈骗罪都不是过失犯罪7.SOP→¬SAP 并非凡被告都是罪犯8.¬SOP→SAP 凡贪污罪都是故意犯罪四、制作人:左敏1.题干:¬SAP(1)真¬SA P→SOP 对当关系推理(矛盾)(2)真假不定¬SA对当关系推理(反对)(3)假¬SA P→SOP→SI P→P IS→P O S→¬P A S对当关系推理(矛盾),换质,换位,换质,对当关系推理(矛盾)(4)真¬SA P→SOP→SI P对当关系推理(矛盾),换质2题干:SIP真(1) 真假不定对当关系推理(下反对)(2)真假不定对当关系推理(差等)(3)假SI P→¬SEP 对当关系推理(矛盾)(4) 真假不定 SIP→PIS→PO S→¬PA S→S IP换位,换质,对当关系推理(矛盾),对当关系推理(差等),换位3题干: SI P SOP为假(1) 假¬SOP→¬SEP 对当关系推理(差等)(2) 真¬SOP→SIP 对当关系推理(下反对)(3) 真 SO P→SIP, ¬SOP→SIP换质,对当关系推理(下反对)(4)真¬SOP →SAP 对当关系推理(矛盾)4题干:SAˉP→SEP(1) 真假不定 SEP →PES→PA S→S S AP换位,换质,对当关系推理(差等),对当关系推理(差等)(2)假SEP→¬SAP→¬S E P对当关系推理(反对),换质(3)假SEP→¬SIP→¬SO P对当关系推理(矛盾),换质(4)真SE P→SOP 对当关系推理(差等)五、制作人:刘人豪1. SAP →﹁ SEP 反对关系推理。
大学师范生《逻辑学》课程课堂笔记(第四章第一节一、二、)
第四章简单命题及其推理第一节直言命题一、直言命题及其逻辑结构直言命题是直接地无条件地反映对象具有或不具有某种性质的命题。
例如:(1)所有的语言都是交流思想的工具。
(也可以是手势、眼神)(2)有的桥不是拱形的。
(3)北京是中国的首都。
(4)这个故事是生动的。
知识点梳理:1.从语言表达方式上说,上述所举的四个命题都是直来直去的陈述,因此称为直言命题。
2.从内容上说,上述所举的四个命题都是对某类对象具有或不具有某种性质的反映,所以又可叫作性质命题。
3.从结构上说,上述所举的四个命题都是对一类事物情况的反映,也称一个主项的命题。
4.每个直言命题都是由主项、谓项、联项、量项四部分组成。
在命题形式中,主、谓项是逻辑变项,联项、量项是逻辑常项。
(1)命题的主项是表示命题对象的概念,如例(1)中的“语言”,通常用“S”表示。
命题的谓项是表示命题对象具有或不具有的性质的概念,如例(1)中的“交流思想的工具”,通常用“P”来表示。
(单独概念、普遍概念,集合概念、非集合概念,正概念、负概念均可充当主项和谓项。
)主项和谓项,统称词项,也叫变项。
(2)命题的联项是联结主、谓项的概念。
联项决定命题的质。
例(1)中的“是”和例(2)中的“不是”都是联项。
“是”为肯定联项,“不是”为否定联项。
(3)命题的量项是表示命题中的主项所反映对象的数量或范围的概念。
量项决定命题的量,有全称、特称和单称之分。
例(1)中的“所有”为全称量项,例(2)中的“有的”为特称量项,例(4)中的“这个”为单称量项。
例(3)中的“北京”是个单独概念,不必加量项限制,其量项实则为单称。
综上分析,可得:例(1)是全称肯定命题,逻辑形式:“所有的S都是P。
”P S例(2)是特称否定命题,逻辑形式:“有的S不是P。
”例(3)是单称肯定命题,逻辑形式:“某个S是P。
”例(4)是单称肯定命题,逻辑形式:“某个S是P。
”5.在日常语言中,直言命题用单句中的主谓式表达。
大学师范生《逻辑学》课程课堂笔记(第四章第一节三四)
大学师范生《逻辑学》课程课堂笔记(第四章第一节三四)《逻辑学》第四章简单命题及其推理三、直言命题的主、谓项周延性问题所谓直言命题的主、谓项周延性问题,是指一个命题对它的主项、谓项的外延反映情况。
一个命题的主项或谓项是周延的,是指这个命题确定地陈述了主项或谓项的全部外延;一个命题的主项或谓项是不周延的,是指这个命题没有确定地陈述主项或谓项的全部外延。
逻辑并不研究某个具体命题的内容及其主谓项是否周延,而是研究命题的一般形式,确定一些关于主谓项周延性的一般原则,以便在推理中正确使用。
下面,我们分别考察一下A、E、I、O四种命题的主谓项的周延性。
(书P75)(一)全称肯定命题的主项周延,谓项不周延。
(二)全称否定命题的主项、谓项都周延。
(三)特称肯定命题的主谓项都不周延。
(四)特称否定命题的主项不周延,谓项周延。
综上四点,列表如下:【此表考试,占四分】命题的类型 SAP SEP SIP SOP 主项周延周延不周延不周延谓项不周延周延不周延周延 SAP的周延性问题的例子:所有的等边三角形都是等角三角形。
S和P全同,主项S周延,谓项P 不周延。
S P关于直言命题的主谓项的周延性,要注意的三点:①一个脱离了具体命题的孤立概念,无所谓周延不周延。
因为前提是只在直言命题中。
②▲好好区分:要把命题对概念外延的不同陈述情况与客观事物的实际情况区分开来。
③周延性是直言命题在量的方面的基本逻辑特征。
四、主谓项分别相同的直言命题间的——对当关系(一)A、E、I、O的真假情况直言命题是直接地无条件地反映对象具有或不具有某种性质的命题。
由于任何性质总是属于一定的对象,因此,直言命题实际上反映两类客观对象之间的关系,即A、E、I、O是对现实中S类对象和P类对象之间的关系的概括反映。
实际中,S类对象和P类对象之间的关系有且仅有如下五种:全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系。
S P PS S P S P S P 图4.1 图4.2 图4.3 图4.4 图4.5根据这些图形所表示的S与P两类对象之间的关系,我们可以确定A、E、I、O四种命题的真假情况列表如下: SAP SEP SIP SOP 全同关系真假真假真包含于关系真包含关系假假真真交叉关系假假真真全异关系假真假真真假真假(二)A、E、I、O之间的真假关系由上面A、E、I、O的真假情况表,可以看出A、E、I、O四种命题形式之间有如下四种真假关系:1.反对关系A与E之间是不能同真、可以同假的反对关系。
逻辑学导论第四章
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自然语言中关系命题的符号化
◦ 例如,下面的关系命题:
(1)牛郎不爱有些爱织女的男人。 (2)织女爱每一个爱牛郎的人。 (3)有的投票人赞成所有的候选人。
◦ 分别可以符号化为:
(1)x(M(x)∧L(x, a)∧L(b, x)) (2)x(P(x)∧L(x, b)L(a, x)) (3)x(T(x)∧y(H(y)Z(x, y)))
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量词规则总结
◦ 全称量词消去规则-:从xA(x)推出A(x/t),其中代换x的t不会 被A中原有的量词所约束,这包括以下情形:
(1)t是一个个体常项; (2)A是一个原子公式,x是其中的自由变项,t是任一个体词; (3)A含有量词,但自由变项x不在这些量词的辖域之内,t是任一
个体词; (4)A含有量词,且自由变项x在这些量词的辖域之内,则t必须是
一个模型U和模型U上的一个指派合称为一个赋值,记为σ=<U, ρ>。
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如果一个谓词逻辑的公式对于任一赋值都为真,则称该公式 为普遍有效式,亦称常真式。普遍有效式是谓词逻辑的规律。
如果一个谓词逻辑的公式对于任一赋值都为假,则称该公式 是一个不可满足式,亦称常假式。不可满足式是谓词逻辑中 的逻辑矛盾。
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第三组
◦ [15]x(A(x)B(x))(xA(x)xB(x)) ◦ [16]x(A(x)B(x))(xA(x)xB(x)) ◦ [17]x(A(x)B(x))(xA(x)xB(x)) ◦ [18]x(A(x)B(x))(xA(x)xB(x)) ◦ [19]x(AB(x))(AxB(x)),若x不在A中自由出现 ◦ [20]x(AB(x))(AxB(x)) ,若x不在A中自由出现 ◦ [21]x(A(x)B)(xA(x)B) ,若x不在B中自由出现 ◦ [22]x(A(x)B)(xA(x)B) ,若x不在B中自由出现
逻辑学第四章
[例3]某甲必然不是诉讼当事人, 所以,某甲不可能是诉讼当事人。 [例4]某甲可能是这个案件的作案人, 所以,某甲不必然不是这个案件的作案人。 总之,根据模态命题的矛盾关系,可以由其 中一个命题为真推知另一命题为假,也可由其中 一个命题为假,推知另一命题为真。 2、差等关系对当推理 差等关系对当推理是指利用模态命题间的差 等关系进行的推理。差等关系是指□p和◇p、 □p和◇p之间的真假关系。
[例4] 某甲可能不是原告的法定代理人。 [例5] 他的行为可能是无因管理,也可能是不 当得利。 [例6] 故意杀人或故意伤害致人毙命必然会受 到法律的严惩。 表达模态命题必须有模态词,模态命题都含有 “必然”或“可能”等模态词。模态词有时在命题 联结项之前,有时在主项之前,有时在谓项之后。 这主要是根据所表达的内容和表达习惯来定。如[例 1]还可以表述为:“必然凶手有作案时间”,或者 “凶手有作案时间,这是必然的”。又如[例4]还可 以表述为:“可能某甲不是原告的法定代理人”, 或者“某甲不是原告的法定代理人是可能的”。一 般来说,在分析模态命题的形式时,将模态词放在 命题变项p、q……的前面。在模态逻辑中,用符号 “□”或“L”表示“必然”,用符号“◇”或“M” 表示“可能”。本课采用“□”
2、必然命题 必然命题就是陈述事物情况的必然性的命题。必然 命题又可分为必然肯定命题和必然否定命题。 [例5] 客观事物必然发展变化。 [例6] 法律必然有阶级性。 [例7] 社会主义革命的胜利必然不以人的意志为转移。 [例8] 无效合同必然不受法律保护。 [例5]、[例6] 是必然肯定命题。必然肯定命题是反映 事物情况必然存在的命题。它可以用公式表示为“S必 然是P”或“S是P是必然的”,用符号表示为“□P”。 [例7]、[例8] 是必然否定命题。必然否定命题是反映 事物情况必然不存在的命题。它可以用公式表示为“□ ﹁P”。
逻辑导论5 第四章
(二)基于反对关系的推理规则 SAP — SEP: 不可同真; 可以同假。
所以有: SAP ¬ SEP
SEP ¬ SAP
(三)基于下反对关系的推理规则 SIP — SOP: 不可同假; 可以同真。
所以有: ¬ SIP SOP
¬ SOP SIP
(四)基于差等关系的推理规则 SAP — SIP: 上位命题真则下位命题真; SEP—SOP 下位命题假则上位命题假。
说明:逻辑上的特称量项“有的”、“有些”, 其含义相当于“有”。
在日常语言中,当断定“有的S是P”的时候, 通常还包含着“有的S不是P”的含义。 但是,逻辑上的特称量项“有的”并不包含这 一含义。逻辑上的特称命题“有的S是P”,断 定至少存在着一个S是P,至于究竟存在量的多 少,则没有确切地断定,最少是一个,最多至 全体。
例2、有些自然现象不是科学能够解释的 。
主项
谓项
量词
联词
主项 (S)
变项
谓项 (P)
联词(肯定联词;否定联词) 质
常项
量词(全称;特称) 量
联词(是;不是) “是”在直言命题中的用法
S是P:1) S = P 2) S⊆P 3) S∈P ( S 可理解为单元类)
“S是P” :S=P或 S⊆P
量词 全称量词:所有的;任何;全部;凡;⋯ 特称量词:有的;有;存在;有些;; ⋯
主项的周延性:
SAP SEP
S周延
SIP SOP
S不周延
谓项的周延性:
SEP (所有S不是P)
P周延
SOP (有S不是P)
P周延
SAP (所有S是P)
P
P不周延
SIP (有S是P)
P不周延
SAP SEP SIP SOP
法律逻辑学第四章
法律逻辑学第四章介绍本文档将带您深入了解法律逻辑学的第四章内容。
法律逻辑学是法学中的一个重要分支,旨在研究法律规则、法律原则和法律逻辑的运用。
该学科的发展,有助于提高法官、律师和法学研究人员的法律逻辑推理能力,并促进司法系统的公正性和效率。
第四章主要介绍了法律逻辑学中的推理方法和论证结构。
第四章:推理方法和论证结构4.1 推理方法在法律逻辑学中,推理方法是一种根据已知事实和法律原则,得出合理结论的思维过程。
推理方法的正确运用对于法律论证的准确性和可靠性至关重要。
在这一章节中,我们将介绍几种常用的推理方法,包括:•归纳推理:从个别案例或事实中总结出普遍规律或原则;•演绎推理:从普遍规律或原则推导出特定结论;•类比推理:通过将一个已知情况与另一个情况进行比较来推断它们的相似性和相同规律;•逆向推理:根据已知结论推断可能的前提条件或可能的事实。
推理方法的运用需要结合具体案例和法律背景,深入思考并进行合理分析。
4.2 论证结构论证结构是推理过程中的逻辑框架,用于构建合理的论证。
在法律逻辑学中,论证结构起到明确论证目的、清晰呈现思路和增强论证逻辑性的作用。
本章节将介绍几种常见的论证结构,包括:•演绎论证:从已知的前提推导出必然结论的论证结构。
它基于三段论形式,包括主张、中间论据和结论,其中结论是从前提推导而来。
•归纳论证:从多个个案的特征或事实总结出普遍规律或原则的论证结构。
它通常包括观察、归纳和推广三个步骤。
•比较论证:通过比较两个或多个案例或观点之间的差异和相似性来支持论证。
比较论证可以从事实层面或法律层面进行。
•授权论证:根据权威的观点或法律规定,支持特定的论证结论。
以上论证结构可以根据具体的案例和论证目的进行组合和运用,以达到更好的效果。
结论通过本文档,我们对法律逻辑学第四章的推理方法和论证结构有了深入了解。
推理方法的正确运用和论证结构的合理构建是法学领域中重要的思维工具,可以提高法律工作者的逻辑推理能力和论证效果。
逻辑概论第四章
作业难题讲解
P78 十二、下面三句话一真两假,试确定S与P的外 延关系。A:有S是P(SIP) B:有S不是P(SOP) C:有P不是S(POS)
因为SIP与SOP是下反对关系,不能同假, 二者必有一真,所以POS必假,PAS必真。 因为PAS真,所以SIP真; 因为SIP真,据题意,SOP必假,SAP必真。
因为PAS真且SAP真,所以S与P是全同关系。
第四章
简单命题及其推理
第二节 性质命题变形推理
一、换位法直接推理 所谓换位推理,就是通过改换一个命题的主 项与谓项的位置,从而推出另一个新命题的推理。
换位法有两条规则: 1、不得改变原来命题的性质; 2、不得扩大原命题中的周延性情况。
诸葛亮讲:曹军虽号称百万, 其实他的老底子不过40-50万。一 路收编了一些降兵降将,统算在内 不过60-70万。而且这些降兵降将
第一节 推理的概述 第四章 简单命题及其推理
一、什么是推理
“《三国演义》中所 谓‘眉头一皱计上心 来’,我们普通说话 所谓‘让我想一想’, 就是脑子中运用概念 以作出判断和进行推 理的功夫。” ——《实践论》
第一节 推理的概述 第四章 简单命题及其推理
一、什么是推理
这种从已知命题推出未知命题的思维形 式就是推理。
(1)老李比大李大十岁,大李比小李大十岁,所以,老李必定 不比小李大十岁。 (2)老严是大严的父亲,大严是小严的父亲,所以,老严必定 不是小严的父亲。
第四章
简单命题及其推理
第三节 关系推理
一、什么是关系推理 二、关系推理的种类
1、直接的关系推理 2、间接的关系推理
3、混合关系推理 构成其前提的命题有的是关系命题,有的 是性质命题,这种推理称做混合关系推理。
逻辑学导论第四章
一个变项,如果在一个公式中有约束出现,则称它是“约束 变项”;如果在一个公式中有自由出现,则称它是“自由变 项”。因此,一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又 是自由变项。
一个含有至少一个自由变项的公式,叫做“开公式”。开公 式的意义不确定,没有确定的真假。一个不含任何自由变项 的公式,叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后,闭公式 有确定的意义,也有确定的真假。
◦ (ii)如果A是公式,则A是公式。 ◦ (iii)如果A和B都是公式,则A∧B,A∨B,AB,AB是公
式。 ◦ (iv)如果A是公式,则xA,xA是公式。 ◦ (v)只有按以上方式形成的符号串是公式。
13
重叠的量词和重叠的量化式
◦ “重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包 含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。
11
一阶语言 (Ⅰ)初始符号
◦ (i)个体变项:x,y,z,… ◦ (ii)个体常项:a,b,c,… ◦ (iii)谓词符号:F,G,R,S,… ◦ (iv)量词:全称量词,存在量词 ◦ (v)联结词:,∧,∨,, ◦ (vi)辅足性符号:逗号,,左括号(,右括号)。
12
(Ⅱ)形成规则
◦ (i)一个谓词符号F,后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当 分开的n个个体词(n≥1),是原子公式。
如果一个谓词逻辑的公式,对于有些赋值为真,对于有些赋 值为假,则称该公式是偶真式,但非普遍有效式。所有的偶 真式都是可满足式。
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普遍有效式举例
◦ (1)xF(x)F(y) ◦ (2)F(y) xF(x) ◦ (3)x(F(x)∨F(x)) ◦ (4)x(F(x)∧F(x))
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◦ (5)xF(x) xF(x) ◦ (6)xF(x) xF(x) ◦ (7)x(F(x) G(x))(xF(x) xG(x)) ◦ (8)x(F(x)∧G(x))(xF(x)∧xG(x)) ◦ (9)x(F(x)∨G(x))( xF(x)∨xG(x)) ◦ (10)xyR(x, y)yx R(x, y)
大学师范生《逻辑学》课程课堂笔记(第四章第二节)
第四章简单命题及其推理第二节直言命题的直接推理直言直接推理是以一个直言命题为前提或根据直言命题对当关系推出结论的推理。
直言直接推理分为两种:对当关系推理和命题变形推理。
一、直言对当关系推理及其有效式直言命题的对当关系推理就是根据主谓项相同的A、E、I、O四种命题的真假制约关系进行的推理。
在对当关系中,有必然性真假关系和或然性真假关系两种。
我们舍弃或然性的真假关系,取其必然性的真假关系,加以分类组合,便得到对当关系直接推理的四种形式。
下列推导式中,“→”表示推出;“ ̄”表示“非”(否定)。
【文中横线划在下方】(一)由一命题真推出另一命题假SAP→SEP(反对关系)SEP→SAP(反对关系)SAP→SOP(矛盾关系)SOP→SAP(矛盾关系)SEP→SIP (矛盾关系)SIP→SEP (矛盾关系)(二)由一命题假推出另一命题真SIP→SOP(下反对关系)SOP→SIP(下反对关系)SAP→SOP(矛盾关系)SOP→SAP(矛盾关系)SEP→SIP (矛盾关系)SIP→SEP (矛盾关系)(三)由一命题真推出另一命题真(由全称真推特称真)SAP→SIP(从属关系)SEP→SOP(从属关系)(四)由一命题假推出另一命题假(由特称假推全称假)SIP→SAP (从属关系)SOP→SEP (从属关系)对当关系的直接推理,包括且只包括以上16种有效式。
二、直言命题变形直接推理直言命题变形直接推理是通过改变命题联项的性质或主谓项的位置而推出结论的推理。
直言命题变形推理主要有换质法、换位法、换质换位综合法三种形式。
(一)换质法换质法是通过改变命题的质,从而推出一个新命题的直接推理。
换质法的规则是:第一,改变命题的质,即把肯定命题变为否定命题,把否定命题变为肯定命题,其主谓项的位置不变。
第二,换质后的命题的谓项是原命题谓项的矛盾概念。
A、E、I、O四种命题都可换质,例如:所有的物体都是运动的。
(换质)→所有的物体都不是不运动的。
逻辑学教程(第四章)解析
必然性推理:结论断定的范围没有超过前 提断定的范围。如演绎推理和完全归纳 推理。
或然性推理:结论断定的范围超过了前提 断定的范围。如不完全归纳推理和类比 推理。
简单判断推理:以简单判断为前提和结论。又 分为性质判断推理和关系判断推理。
பைடு நூலகம்
第一节 推理的概述
一、推理的特征 推理就是由一个或几个已知判断得出一个新
的判断的思维形式。例如: ①犯罪是有社会危害性的行为, 所以,不具有社会危害性的行为不是犯罪。 ②所有的法律都是有阶级性的, 刑法是法律, 所以,刑法是有阶级性的。
推理是由判断组合而成的,但并不是判断的 任意组合。推理的前提与结论之间存在着一 种推导关系,这种推导关系就是前提与结论 之间的逻辑关系。这种逻辑关系是客观事物 情况之间联系的反映。
I can't see you anymore. 我不能再和你见面了
I can't. 我不能
He made you promise, didn't he? 他让你作出承 诺了,是吗?
To stay away from me, so I'd be safe. 远离我, 好让我安全
第二节 直接推理
葬礼
And Flash showed up. 弗莱希也去了 Everyone was there but you. 大家都去了,
除了你
Can't do this. Can't do this. 我做不到 I'm sorry. I can't... 对不起,我做不到 What are you saying? 你在说什么?
《逻辑学导论》课程笔记
《逻辑学导论》课程笔记第一章引论:走进逻辑学1.1 逻辑学是什么逻辑学是一门研究推理的有效性和论证的结构的学科。
它关注如何从一组前提(premise)推导出结论(conclusion),并对此过程进行评估。
逻辑学的主要目的是帮助我们识别和分析有效的论证,以及避免无效的推理。
逻辑学在各个领域都有广泛的应用,包括哲学、数学、计算机科学、法律等。
1.2 逻辑与法律:普罗泰戈拉悖论普罗泰戈拉悖论是关于逻辑在法律中的一个经典问题。
普罗泰戈拉与他的学生约定,若学生赢得第一次诉讼,则需支付普罗泰戈拉的学费;若学生输掉诉讼,则因为输掉诉讼而无需支付学费。
学生赢得了诉讼,那么他是否应该支付学费呢?这个悖论涉及到逻辑、语言和法律之间的复杂关系,引发了对法律论证和逻辑推理的深入思考。
1.3 逻辑学的功能和研究范围逻辑学的功能主要包括:评估论证的有效性,推导新的结论,以及解决悖论和争议。
逻辑学通过提供一套严格的规则和标准,帮助我们判断一个论证是否合理和有效。
逻辑学的研究范围涵盖形式逻辑、非形式逻辑、归纳逻辑等多个领域。
形式逻辑关注于论证的形式结构和推理规则,而非形式逻辑则考虑论证的内容和语境。
归纳逻辑则涉及从个别事实推导出一般性结论的推理过程。
1.4 认识“非西方逻辑”非西方逻辑指的是西方传统逻辑之外的逻辑体系,如中国古代的名辩逻辑、印度的因明学等。
了解非西方逻辑有助于我们更全面地理解逻辑学的多样性和丰富性。
不同的文化和哲学传统可能发展出不同的逻辑体系,这些体系在推理和论证的方法上可能存在差异。
通过学习非西方逻辑,我们可以拓宽对逻辑学的认识,并更好地理解和尊重不同文化背景下的推理方式。
第二章论证2.1 论证的关键概念论证:论证是通过推理从一组前提得出结论的过程。
一个完整的论证通常包括前提、结论和推理。
前提:前提是支持结论的陈述,是论证的基础。
一个有效的论证必须建立在正确和可信的前提之上。
结论:结论是论证的最终目标,是需要证明的陈述。
逻辑学导论(第3版) 练习题及详细答案-第4章 谓词逻辑
逻辑学导论(第3版)练习题及其答案第四章课后习题详细答案解析一、请用谓词逻辑的语言把下述命题或推理符号化:1.没有最大的自然数。
2.一个好的专家胜过任何业余人士。
3.每一个时刻都在有的时刻之后。
4.神帮助所有自助的人,并且只帮助自助的人。
5.如果所有的人都尊重每一个人,则每一个人都会很快乐。
6.有一本书,全班同学都喜欢它并且轮流读过它,而它为王军所拥有。
7.所有教逻辑的教师,其思维一定非常合乎逻辑,这一说法是假的。
8.对于任意的自然数x、y来说,x+5=y当且仅当x=y 5。
9.如果天堂的门将只对穷人敞开,而约翰是一位大富翁,那么,约翰将进不了天堂。
10.或者所有的学生喜欢所有老师讲课,或者有的学生不喜欢有的老师讲课。
11所有的马都是动物,所以,所有的马头都是动物头。
12.有的人得到所有人的尊敬,有的人得到某些人的尊敬,但一个人至少应该自己尊敬自己。
13.如果有的自然数小于所有自然数,那么肯定有自然数自己小于自己,而后一说法肯定是假的,所以,前一说法也是假的。
14.如果牛郎不爱所有爱织女的男人,那么,如果孙悟空爱织女,则牛郎不爱孙悟空或者大白菜是云彩。
15.仅当大学生爱好数学时才爱好逻辑。
16.如果张三有罪,则没有一个证人说谎,除非他害怕。
有证人害怕。
因此,张三无罪。
17.最大的行星是木星。
18.至少有三个碳同素体。
19.双子座恰有两颗明亮的星星。
20.每位丈夫有恰好一位妻子。
二、用解释方法证明下面前五个公式不普遍有效,后五个公式可满足:1.∃xA(x)∧∃xB(x)→∃x(A(x)∧B(x))2.∀x(A(x)∨B(x))→∀x A(x)∨∀xB(x)3.(∃xA(x)→∃xB(x))→∀x(A(x)→B(x))4.∃xA(x)∧∀xB(x)→∀x(A(x)∧B(x))5.∀z(∀x(R(x,z)→R(z,z))∧∀y(R(y,z)→R(z,z))→∀x(R(y,z)→R(x,z)))6.(∀xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))7.∀x(Px→Mx)∧∃x(Sx∧Mx)→∀x(Sx→Px)8.∃y∀xR(x,y)→∀x∃yR(x,y)9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x,y)))10.∃x(D(x)∧∀y(M(y)→⌝R(x,y)))三、请用树形图判定下述公式是否普遍有效式:1.∀x∀yR(x,y)↔∀y∀xR(x,y)2.∃x∃yR(x,y)↔∃y∃xR(x,y)3.∃x∀yR(x,y)→∀y∃xR(x,y)4.∀x(A(x)→B(x))∧∀x(B(x)→C(x))→∀x(A(x)→C(x))5.∀x(A(x)→C(x))∧∀x(B(x)→C(x))∧∃x(A(x)∨B(x))→∃xC(x)6.∀x(A(x)→B(x))∧∃x(C(x)∧⌝B(x))→∃x(C(x)∧⌝A(x))7.∃x(A(x)∧⌝B(x))→∃xA(x)∧∃x⌝B(x)8.∀xA(x)∨∀xB(x)→∀x(A(x)∨B(x))9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x,y)))10.∃x(Dx∧∀y(My→⌝R(x,y)))→∀y(My→∃x(Dx∧⌝R(x,y)))四、证明下述公式是Q N定理:1.∃x(A(x)→B(x))↔(∀xA(x)→∃xB(x))2.(∃xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))3.∀x(A(x)→B(x))→(∃xA(x)→∃xB(x))4.∀x(A(x)↔B(x))→(∀xA(x)↔∀xB(x))5.∀x(A(x)↔B(x))→(∃xA(x)↔∃xB(x))6.∀x(A∧B(x))↔A∧∀xB(x),若x在A中不自由7.∃x(A∧B(x))↔A∧∃xB(x),若x在A中不自由8.∀x(A∨B(x))↔A∨∀xB(x),若x在A中不自由9.∃x(A∨B(x))↔A∨∃xB(x),若x在A中不自由10.∃x(A(x)∧∀y(B(y)→C(x,y)))→∀y(B(y)→∃x(A(x)∧C(x,y)))五、为下述推理构造Q N证明:1.Aα,∀x(A(x)→∀yB(y)) /∴∀xB(x)2.∀x(A(x)→B(x)),∃x⌝B(x),∀x (⌝A(x)→C(x)) /∴∃xC(x)3.∀x(A(x)∨B(x)→⌝C(x)),∃x⌝(⌝A(x)∧⌝B(x)) /∴⌝∀xC(x)4.∃x(A(x)∧B(x))⌝∀yC(y),⌝C(α) /∴∀x(A(x)→⌝B(x))5.∀x(A(x)∨B(x)→C(x)),∀x(C(x)∨D(x)→E(x)) /∴∀x (A(x)→E(x))6.∃xA(x)→∃xB(x),∀x (C(x)→A(x)) /∴∃xC(x)→∃xB(x)7.∀x(A(x)→B(x)),∃x(C(x)∧⌝B(x)),∀x (⌝D(x)∨A(x)) /∴∃x(C(x)∧⌝D(x))8.∃xA(x)→∃x(B(x)∧C(x)),∃x(C(x)∨D(x))→∀xE(x) /∴∀x (A(x)→E(x))9.∀x(A(x)∧B(x)→C(x)),∃x(D(x)∧B(x)),∀x(⌝A(x)→⌝D(x))/∴∃x(C(x)∧D(x))10.∀x(A(x)∨B(x)→C(x)∧D(x)) /∴∃x(A(x)∨C(x))→∃xC(x)11.∃xA(x)→∃yB(y),∃x(A(x)∧∀y(B(y)→R(x,y))) /∴∃x∃yR(x,y)12.∀x(A(x)→∃y(A(y)∧B(x,y))),∃x(A(x)∧∀y(A(y)∧B(x,y)→C(x,y))) /∴∃x∃y(A(x)∧A(y)→C(x,y))13.∀x(A(x)→B(x)) /∴∀x (∃y(A(y)∧C(x,y))→∃z(B(z)∧C(x,z)))14.∃xA(x)→⌝∃xB(x) /∴∀x(∃yA(y)→⌝B(x))15.∃xA(x)→∃xB(x) /∴∃y∀x (A(x)→B(y))六、先用谓词逻辑的语言把下述推理符号化,再为其构造Q N证明:1.所有的科学家都是理性主义者,没有宗教狂热者是理性主义者,所以,所有的宗教狂热者都不是科学家。
逻辑学第三版答案第四章 简单命题及其推理
第四章简单命题及其推理一、下列命题是哪种直言命题?请指出命题的主项、谓项、联项、量项及主谓项的周延情况。
1.共产党员是无产阶级先进分子。
答:这是个全称肯定命题(A),全称肯定量项省略;“共产党员”是主项;“是”为联项;“无产阶级先进分子”是谓项。
主项周延,谓项不周延。
2.任何困难都不是不可克服的。
答:这是个全称否定命题(E)。
全称量项“任何”;主项“困难”;联项“不是”;谓项为负概念“不可克服的”。
其主项、谓项都周延。
3.有些图书是线装书。
答:这是特称肯定命题(I)。
量项“有些”;主项“图书”;联项“是”;谓项“线装书”。
其主项、谓项均不周延。
4.《女神》是郭沫若的诗集。
答:这是个单称肯定命题。
《女神》是主项;“是”是联项;“郭沫若的诗集”是谓项。
其主项周延,谓项不周延。
5.有些学生不刻苦。
答:这个命题一般理解为O 命题:有些学生不是刻苦的。
“学生”是主项;“刻苦的”是谓项;“不是”是联项;“有些”是量项。
其主项不周延,谓项周延。
二、下列对当关系推理是否有效?为什么?1.由“有的植物不开花”真,推知“所有植物都开花”假。
答:正确。
因为O 与A 是矛盾关系,由O 真可推知A 假。
2.由“凡环境污染都对人身体有害”真,推知“有的环境污染不对人身体有害”假。
答:正确。
因为A 与O 是矛盾关系,由A 真可推知O 假。
3.由“有人生而知之”假,推知“有人不是生而知之”真。
答:正确。
I 与O 是下反对关系,由I 假可推知O 真。
4.由“有的大学生是有理想的”真,推知“所有大学生都是有理想的”假。
答:不正确。
I 与A 是从属(差等)关系,由I 真推不出A 假。
5.由“所有的古代散文都不押韵”假,推知“有的古代散文押韵”真。
答:正确。
E 与I 是矛盾关系,由E 假可推知I 真。
6.由“所有的新诗都不押韵”假,推知“所有新诗都押韵”真。
答:不正确。
E 与A 是反对关系,由E 假推不出A 真。
三、根据命题的对当关系,由已知下列命题的真假,断定同素材的其它三种命题的真假。
逻辑导论6 第四章及第六章
标准三段论:以大前提、小前提、结论的 顺序排列。
MAP
SAM _______
SAP
中项M起着媒介的作用:
MAP SAM
SA S
三、三段论的格与式
1、格 中项M在前提中出现的位置不一样,导致三段
论不同的格。
M--P S--M ______ S--P
P--M S--M ______ S--P
_______ SOP
第三格的EAO式 记作: EAO3 展开为: MEP MAS
_______ SOP
三段论的形式
式: 4×4×4=64 与格结合: 64×4=256
166页 练习六
四、三段论有效性的判定:规则判定 (一)基本规则
1、中项至少周延一次。
PAM MOS _____ SOP
MIP MES _____ SIP
小项:结论的主项 S 大项:结论的谓项 P 中项:在大、小前提中各出现一次的词项 M
人都是会死的; 苏格拉底是人; ——————————— 苏格拉底是会死的。
结论; 大前提:包含大项和中项的 小前提:包含小项和中项的前提
人都是会死的; 苏格拉底是人; ——————————— 苏格拉底是会死的。
推理形式: MAP SAM
M--P P--M M--S M--S _______ _______ S--P S--P
第一格 第二格 第三格 第四格
2、式 指大前提、小前提与结论的命题类型
如:三段论 MAP
SAM _______ SAP
是AAA式的;
三段论 MEP SAM
_______ SOP
是EAO式的。
第一格的EAO式 记作: EAO1 展开为: MEP SAM
教学课件 逻辑学导论
逻辑学导论
(第三版)
第一章 什么是逻辑学?
“逻辑”的词源与词义 逻辑学的对象:推理和验证 命题分析和逻辑类型 推理形式及其有效性 逻辑基本规律
2
第一章 什么是逻辑学?
“逻辑”的词源与词义 逻辑学的对象:推理和验证 命题分析和逻辑类型 推理形式及其有效性 逻辑基本规律
3
“逻辑”的古希腊词源
[14] ((AB)C)(BC) [15] ((AB)A)A [16] (AB)(A∧CB) [17] (AB)(A∨CB∨C) [18] (AB)(A∧CB∧C) [19] (A(BC))(A∧BC) [20] (A∧BC)(A(BC)) [21] (AB)((CD)(A∧CB∧D)) [22] AA [23] (AB)(BA) [24] (AB)((BC)(AC) [25] (AB)((CD)((AC)(BD)))
p∧q p∨q pq pq
p
直言命题和词项逻辑
简单命题
量项
主项
联项
谓项
所有/有些 普遍词项S/ 是/不是
P
单称词项a
个体词、谓词和谓词逻辑
简单命题
联结词
简单命题
量词 个体词 谓词
全称量词/ 个体常项/ F/G/R/S 存在量词 个体变项
归纳逻辑
个别性例证
真
归纳推理
一般性原理
真/假
或然性推理
非形式逻辑
例如
联言命题
除了表示各个支命题同时为真外,还表示并列,承接,递进关系等
真值联结词
二元联结词 一元联结词
真值联结词 ∧ ∨
读作 合取 析取 蕴涵 等值 否定
意义 并且 或者 如果,则 当且仅当 并非
复旦大学《逻辑学》第4章
第四章直言三段论我们首先要说明我们研究的对象以及这种研究属于什么科学:它所研究的对象是证明,它归属于证明的科学。
其次,我们要给“前提”、“词项”和“三段论”下定义,要说明什么样的三段论是完满的,什么样的三段论是不完满的。
——[古希腊]亚里士多德《前分析篇》179主要内容•三段论的定义•三段论的公理和基本规则•三段论的格式•文恩图解法•三段论公理系统•日常语言中的三段论180一. 三段论的定义三段论历史悠久,早在古希腊时代就为亚里士多德所创立。
三段论的建立,对人类的思维发展意义重大。
著名哲学家、逻辑学家莱布尼茨认为,三段论形式的发明是人类思想发展史上最完美、最重要的创造之一。
著名哲学家康德说,只要我们把谬误和歪曲的论证放入正确的三段论中,那么我们就可以迅速地鉴别之。
我们很多时候在不自觉地使用三段论。
如果我们掌握三段论的基本规则和方法,那么我们就可以自觉地运用三段论,并更好地论证观点和反驳谬误。
1、定义亚里士多德说:“三段论是一种论证,其中只要确定某些论断,某些异于它们的事物便可以必然地从如此确定的论断中推出。
所谓‘如此确定的论断’,我的意思是指结论通过它们而得出的东西,就是说,不需要其他任何词项就可以得出必然的结论。
”现在,我们一般说,三段论是指由两个包含有共同项的直言命题推出一个新的直言命题的推理。
例1.所有的人都有死,苏格拉底是人,所以,苏格拉底有死。
例2.例3.所有医生都是医务工作者;没有画家是雕刻家;所有护士都是医务工作者;有雕刻家是艺术家;所以,所有护士都是医生。
所以,有艺术家不是画家。
标准式直言三段论的四个条件:两个前提和一个结论都是标准式直言命题(A、E、I、O);只有三个词项;在整个论证中每个词项的意义保持不变;三个命题以特定的顺序排列(大前提,小前提,结论)。
因为直言三段论的有效性依赖于其词项之间的外延关系,因此它又被称为“词项逻辑”。
2、结构•标准式直言三段论由三个直言命题组成,其中两个是前提,一个是结论。
逻辑学第四章
逻辑学第四章————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:第四章形式逻辑的基本规律一、思考题1.01 什么是形式逻辑的基本规律?形式逻辑的基本规客观基础是什么?1.02 什么是同一律?同一律的公式是什么?是什么?违反同一律会犯什么逻辑错误? 1.03 什么是矛盾律?矛盾律的公式是什么?是什么?违反矛盾律会犯什么逻辑错误? 1.04 什么是排中律?排中律的公式是什么?是什么?违反排中律会犯什么逻辑错误? 1.05 矛盾律与排中律有什么区别?1.06 什么是充足理由律?充足理由律的公式是什么?理由律的要求是什么?违反充足理由律会犯什么逻辑错误?二、概念解释翘2.Ol同一律 2.02偷换概念 2.03浪淆概念 2.04转移论题2.05偷换论题 2.06矛盾律 2.07 自相矛盾 2.08排中律2. 09模棱两可(两不可) 2.10充足理由律 2.1l 推不出 2.12理由虚假三、下列议论是否违反形式逻辑的基本规律?如果没有违反,请简述理由;如果违反了,请指出主要违反哪一条逻辑规律,犯了什么样的逻辑错误?3.01 我不认为一切矛盾部是对抗性的,也不认为一切矛盾都不是对抗性的。
3.02 我不认为所有矛盾都是对抗性的,也不认为有的矛盾不是对抗性的。
3.03 有这样一段对话:甲:中国人民是勤劳的、勇敢的、智慧的。
乙:你说的不对。
不见得每一个中国人都是勤劳的、勇敢的和智慧的,事实上有少数中国人是不劳而食的寄生虫、懦夫和蠢人。
对这样的事实,难道你竟然视而不见,听而不闻吗?3.04正确的思维都必须遵守形式逻辑的基本规律,这是对的。
但是,科学的辩证思维却超出了形式逻辑的狭隘眼界,它可以不必服从形式逻辑的基本规律的要求。
3.05 罗亭:“照你来说,就没有什么信念之类的东西了。
”皮卡索夫:“没有,根本没有!”罗亭:“你就是这样确信吗?”皮卡索夫:“对。
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◦ (3)单称的直言命题应符号化为原子公式。 “《春江花月夜》是一支中国古代名曲”可以符号化为:F(a) “周作人不是一位具有民族气节的人”可以符号化为:F(b)
10
二、关系谓词、重叠量化和二元关系的性质
逻辑学导论第四章
命题逻辑和词项逻辑的局限性
◦ (1)它们都不能处理关系命题及其推理。 ◦ (2)它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。
所以,我们还需要另外的逻辑——谓词逻辑,它把一个 命题拆分为个体词、谓词、量词,很多时候还要加上联 结词;它能够在一个统一的框架内同时处理性质命题和 关系命题及其推理。
◦ 一阶语言中允许重复约束和空约束。
14
自然语言中关系命题的符号化
◦ 例如,下面的关系命题:
(1)牛郎不爱有些爱织女的男人。 (2)织女爱每一个爱牛郎的人。 (3)有的投票人赞成所有的候选人。
◦ 分别可以符号化为:
(1)x(M(x)∧L(x, a)∧L(b, x)) (2)x(P(x)∧L(x, b)L(a, x)) (3)x(T(x)∧y(H(y)Z(x, y)))
一个变项的某一次出现,如果处于量词x或x的辖域之内的, 或作为与该量词一起出现的变项(指导变项),则称该变项 的这一次出现是“约束出现”,否则叫做“自由出现”。
8
一个变项,如果在一个公式中有约束出现,则称它是“约束 变项”;如果在一个公式中有自由出现,则称它是“自由变 项”。因此,一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又 是自由变项。
15
三、模型和赋值 普ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有效式
一阶语言的一个模型U(亦称“解释”)包括下列因素:
◦ (Ⅰ)一个个体域D,即由具有一定性质的个体所构成的集合。当 给定个体域之后,全称量词x表示个体域中的所有个体,存在量词 x表示个体域中的某些个体。全称量词、存在量词和约束个体变项 的意义都确定了。
◦ (Ⅱ)个体常项在个体域D中的值,即个体常项表示该个体域中的 某个特定个体。
关系命题
◦ 包括三个要素:个体词、关系谓词和量词。从形式上看, 关系谓词与性质谓词没有实质性区别,只不过后者涉及一 个个体,而前者涉及两个以上的个体。发生在两个对象之 间的关系叫做“二元关系”,发生在三个对象之间的关系 叫做“三元关系”,依此类推,发生在n个对象之间的关 系叫做“n元关系”。
11
一阶语言 (Ⅰ)初始符号
◦ (ii)如果A是公式,则A是公式。 ◦ (iii)如果A和B都是公式,则A∧B,A∨B,AB,AB是公
式。 ◦ (iv)如果A是公式,则xA,xA是公式。 ◦ (v)只有按以上方式形成的符号串是公式。
13
重叠的量词和重叠的量化式
◦ “重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包 含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。
一个模型U和模型U上的一个指派合称为一个赋值,记为σ=<U, ρ>。
17
如果一个谓词逻辑的公式对于任一赋值都为真,则称该公式 为普遍有效式,亦称常真式。普遍有效式是谓词逻辑的规律。
3
一元谓词和性质
◦ 谓词符号,用大写字母F,G,R,S…等表示,若只把这 些谓词符号用于单个的个体词,叫做“一元谓词符号”, 经解释后,它们表示论域中个体的某个具体性质。
4
原子公式
◦ 如果一个谓词符号后面跟着写在一对括号内的一个个体词 (个体常项或个体变项),我们就得到“原子公式”,例 如F(a),G(x),它们分别表示“a是F”,“x是G”。在派 生的意义上,原子公式有两个可能的真值:真或者假。
◦ (Ⅲ)谓词符号在个体域D上的解释,即表示该个体域中个体的性 质和个体间的关系。
16
当给定模型U后,谓词逻辑的闭公式的意义就确定了,其真假也确 定了。
但谓词逻辑的开公式的意义尚不确定,为了确定该公式的真值, 需要对其中的自由变项的值做指派(记为ρ)。
在模型U和指派ρ之下,谓词逻辑的所有公式都有了确定的意义, 也有了确定的真假。谓词逻辑的语言因此得到了确定的解释。
一个含有至少一个自由变项的公式,叫做“开公式”。开公 式的意义不确定,没有确定的真假。一个不含任何自由变项 的公式,叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后,闭公式 有确定的意义,也有确定的真假。
9
自然语言中性质命题的符号化 在论域为全域时,六种直言命题可以如下方式符号化:
◦ (1)全称的直言命题应符号化为一个全称蕴涵式。 SAP:x(S(x)→P(x)) SEP:x(S(x)→P(x))
5
量词和量化公式
◦ 量词包括全称量词和存在量词: ◦ xF(x),读做“对于所有x而言,x是F”。 ◦ xF(x),读做“存在x使得x是F”。
6
原子公式和量化公式还可以用命题联结词连接起来, 形成更复杂的公式:
◦ x(F(x)→G(x)) ◦ xF(x)∧y H(y)
7
量词有其管辖的范围,简称“辖域”。如果一个量词后面有 括号,则处于括号内的公式构成该量词的辖域;如果量词后 面无括号,则量词后面最短的公式,构成该量词的辖域。
◦ (i)个体变项:x,y,z,… ◦ (ii)个体常项:a,b,c,… ◦ (iii)谓词符号:F,G,R,S,… ◦ (iv)量词:全称量词,存在量词 ◦ (v)联结词:,∧,∨,, ◦ (vi)辅足性符号:逗号,,左括号(,右括号)。
12
(Ⅱ)形成规则
◦ (i)一个谓词符号F,后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当 分开的n个个体词(n≥1),是原子公式。
一、个体词、性质谓词、量词和公式
个体词
◦ 个体词就是表示对象域中的个体的符号,包括个体变项和个体常项。 其中,个体变项使用小写字母x,y,z,…等等,表示某个特定的 范围内的某个不确定的对象。个体常项使用小写字母a,b,c,… 等等,表示某个特定范围内的某个确定的对象。
◦ 这里所说的“某个特定的范围”,叫做“论域”,即由一定对象所 组成的类或者集合。论域规定了个体变项的取值范围,因此也叫做 “个体域”。论域一般是“全域”,即由世界上所有能够被思考、 被谈论的事物组成的集合;有时也取特定个体域为论域。