高考数学回归课本100个问题(必读)

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高三数学回归教材,查缺补漏,清除得分障碍专题

回扣——回归教材，查缺补漏，清除得分障碍1.集合与常用逻辑用语1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.[回扣问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是________(填等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形).答案等腰三角形2.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y ＝lg x}——函数图象上的点集.[回扣问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.答案∅3.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.[回扣问题3] 集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________.答案0，1，1 24.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.[回扣问题4] 满足{1，2} M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个.答案75.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.[回扣问题5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于________.答案 [0，＋∞)6.“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论.[回扣问题6] 已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是_______________________.答案否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b7.在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”.[回扣问题7] “若x 2－3x －4＞0，则x ＞4或x ＜－1”的否命题是_________________________________________________________________. 答案若x 2－3x －4≤0，则－1≤x ≤48.要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题8] 设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________条件.答案充分不必要9.要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题.如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”.求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.[回扣问题9] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是____________________.解析原不等式即(x 2＋x )a －2x －2＞0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1，3]，恒有f (a )≤0”.则⎩⎨⎧f （1）≤0，f （3）≤0，即⎩⎨⎧x 2－x －2≤0，3x 2＋x －2≤0，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，则符合题设条件的实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 10.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”.[回扣问题10] 在下列说法中：(1)“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(2)“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(3)“p 或q 为真”是“非p 为假”的必要不充分条件；(4)“非p 为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件.其中正确的是________(填序号).答案 (1)(3)2.函数与导数1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多.[回扣问题1] 若A ＝{1，2，3}，B ＝{4，1}，则从A 到B 的函数共有________个；其中以B 为值域的函数共有______个.答案 8 62.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.若f (x )定义域为[a ，b ]，复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x )≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a ，b ]，则f (x )定义域相当于x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[回扣问题2] 已知f (x )＝－x 2＋10x －9，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为________.答案 [1，3]3.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程组法等.[回扣问题3] 已知f (x )－4f (1x)＝－15x ，则f (x )＝________. 答案 x ＋4x4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.[回扣问题4] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f (f (π4))＝________. 答案－25.函数的奇偶性f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |);f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )；定义域含0的奇函数满足f (0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f (x )与f (－x )的关系.[回扣问题5] 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )＋1，求f (x )的解析式.答案 f (x )＝⎩⎨⎧x （1＋x ）＋1，x ＞0，0，x ＝0，－x 2＋x －1，x ＜06.函数的周期性由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a ＞0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：①函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； ②若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ；③若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a . [回扣问题6] 设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于______.答案－0.57.函数的单调性①定义法：设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数；②导数法：注意f ′(x )＞0能推出f (x )为增函数，但反之不一定.如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0；∴f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件.③复合函数由同增异减的判定法则来判定.④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题7] 函数f (x )＝x 3－3x 的单调递增区间是________.答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)8.求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.[回扣问题8] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 9.常见的图象变换(1)平移变换①函数y ＝f (x ＋a )的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位得到的.②函数y ＝f (x )＋a 的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴向上(a ＞0)或向下(a ＜0)平移|a |个单位得到的.(2)伸缩变换①函数y ＝f (ax )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴伸缩为原来的1a得到的.②函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.(3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称.[回扣问题9] 要得到y ＝lg x ＋310的图象，只需将y ＝lg x 的图象________.答案向左平移3个单位，再向下平移1个单位10.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.[回扣问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 11.指、对数函数(1)对数运算性质已知a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0，m ，n ∈R.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N＝log a M －log a N ，log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b N log b a. 推论：log a m N n＝n m log a N ；log a b ＝1log b a . (2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0，1)，对数函数y ＝log a x的图象恒过定点(1，0).[回扣问题11] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是________.答案a＞b＞c12.幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数.(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线.②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0，1)外的直线.③当0＜α＜1时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的.④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数.[回扣问题12] 函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________.答案 113.函数与方程(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标.(2)y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x∈(a，b)使f(x0)＝0.这个x也就是方程f(x)＝0的根.(3)用二分法求函数零点.[回扣问题13] (判断题)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(－1，0).( )答案√14.导数的几何意义和物理意义(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)v ＝s ′(t )表示t 时刻即时速度，a ＝v ′(t )表示t 时刻加速度. 注意：过某点的切线不一定只有一条.[回扣问题14] 已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点P (2，－6)作曲线y ＝f (x )的切线，则此切线的方程是________.答案 3x ＋y ＝0或24x －y －54＝015.利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )＜0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常数.注意：如果已知f (x )为减函数求参数取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此.[回扣问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________.解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1≥0，得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，且只有x ＝1时，f ′(x )＝0，∴a ＝13符合题意. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点.[回扣问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________. 答案 x ＝13.三角函数与平面向量1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r， tan α＝y x，(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关.[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为______.答案－152.同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α. (3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[回扣问题2] cos9π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin 21π的值为______. 答案22－33 3.三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点，三个平衡位置点)；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0， k ∈Z.(3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)； y ＝cos x 的增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z)；y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z). (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数.[回扣问题3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z)4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝β cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2 tan α1－tan 2α.[回扣问题4] cos(π4＋x )＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x －2sin 2x1－tan x ＝________.答案7255.在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]； α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4.[回扣问题5] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案－56656.解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径).已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍，在△ABC 中，A ＞B ⇔sin A ＞sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状.[回扣问题6] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 答案 27.有关三角形的常见结论(1)面积公式 S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A＝12ca sin B . (2)内切圆半径 r ＝2S ΔABCa ＋b ＋c.(3)三个等价关系：△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 对边，则a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔A ＞B .[回扣问题7] △ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________. 答案－16658.平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →.(2)向量满足三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②λ＞0，λa 与a 同向；λ＜0，λa 与a 反向；λ＝0，或a ＝0，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一实数λ，使b ＝λa . ②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.[回扣问题8] 已知a ＝(4，2)，与a 共线的单位向量为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－559.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a ，b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，特别地，a 2＝a ·a ＝|a |2，|a |＝a 2；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；当θ为锐角时，a ·b ＞0，且a ，b 不同向.a ·b ＞0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ·b ＜0，且a ，b 不反向；a ·b ＜0是θ为钝角的必要非充分条件； (3)|a ·b |≤|a ||b |.[回扣问题9] 已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞10.向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ＝a ·b|a |. [回扣问题10] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________. 答案 12511.几个向量常用结论：①PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； ④|PA →|＝|PB →|＝|PC→|⇔P 为△ABC 的外心.[回扣问题11] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为______. 答案直角三角形4.数列、不等式1.等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法a n＋1－a n＝d(d为常数)或a n＋1－a n＝a n－an－1(n≥2).(2)等差数列的通项：a n＝a1＋(n－1)d或a n＝a m＋(n－m)d.(3)等差数列的前n项和：S n＝n（a1＋a n）2，S n＝na1＋n（n－1）2d.[回扣问题1] 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝49，a4和a8的等差中项为11，则a n＝________，S n＝______________.答案2n－1 n22.等差数列的性质(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和S n＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋(a1－d2)n是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列.(3)当m＋n＝p＋q时，则有a m＋a n＝a p＋a q，特别地，当m＋n＝2p时，则有a m ＋a n＝2a p.(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列.[回扣问题2] 等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且SnTn＝3n－12n＋3，则a8b8＝________.答案4 33.等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法an＋1an＝q(q为常数)，其中q≠0，a n≠0或an＋1an＝anan－1(n≥2).(2)等比数列的通项：a n＝a1q n－1或a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝a1（1－q n）1－q＝a1－a n q1－q.(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B.[回扣问题3] 已知等比数列{a n}中，a3＝32，S3＝92，求a1与q.答案a1＝32，q＝1或a1＝6，q＝－124.等比数列的性质(1)若{a n}，{b n}都是等比数列，则{a n b n}也是等比数列；(2)若数列{a n}为等比数列，则数列{a n}可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；(3)等比数列中，当m＋n＝p＋q时，a m a n＝a p a q；[回扣问题4] 在等比数列{a n}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.答案5125.数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.(1)分组法求数列的和：如a n＝2n＋3n；(2)错位相减法求和：如a n＝(2n－1)2n；(3)裂项法求和：如求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n；(4)倒序相加法求和.[回扣问题5] 数列{a n}满足a n＋a n＋1＝12(n∈N，n≥1)，若a2＝1，S n是{a n}前n项和，则S 21的值为________. 答案 926.求数列通项常见方法(1)已知数列的前n 项和S n ，求通项a n ，可利用公式a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况.(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )可采用累加求和法，例如{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，求a n .(3)形如a n ＋1＝ca n ＋d 可采用构造法，例如a 1＝1，a n ＝3a n －1＋2，求a n . (4)归纳法，例如已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，求S n ，a n .[回扣问题6] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 答案 ⎩⎨⎧2，n ＝12n －1，n ≥27.不等式的基本性质 (1)a ＞b ⇔b ＜a ； (2)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； (3)a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ； (4)若c ＞0，则a ＞b ⇔ac ＞bc ；若c ＜0，则a ＞b ⇔ac ＜bc ；(5)若a ＞0，b ＞0，则a ＞b ⇔a n ＞b n (n ∈N *，n ≥2)[回扣问题7] 已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的取值范围是________. 答案 [1，7]8.解不等式包括一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式和含绝对值的不等式等.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.[回扣问题8] 不等式－1＜1x＜1的解集为________.答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 9.基本不等式：a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ＞0). (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件. [回扣问题9] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b的最小值是________.答案 910.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.[回扣问题10]已知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求：①可行域所在区域面积________； ②z ＝x ＋2y 的最大值________；③z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值________. ④z ＝y ＋1x ＋1的范围是________； ⑤z ＝ax ＋y 仅在C (3，1)处取最小值，则a 的范围是______. 答案 ①12 ②25 ③92 ④[12，2] ⑤(－2，1)5.立体几何1.空间几何体的结构(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)[回扣问题1] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.( ) ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.( )③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.( )④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.( ) 答案 ①× ②× ③√ ④× 2.简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高). (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高).(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高).(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线). (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高). (6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[回扣问题2] 棱长为a 的正四面体的体积为________，其外接球的表面积为________. 答案212a 3 32πa 2 3.空间点、线、面的位置关系 (1)平面的三个公理(2)线线位置关系(平行、相交、异面)(3)线面位置关系a ⊂α，a ∩α＝A (a ⊄α)，a ∥α (4)面面位置关系：α∥β，α∩β＝a[回扣问题3] 判断下列命题是否正确，正确的括号内画“√”，错误的画“×”.①梯形可以确定一个平面.( )②圆心和圆上两点可以确定一个平面.( )③已知a ，b ，c ，d 是四条直线，若a ∥b ，b ∥c ，c ∥d ，则a ∥d .( ) ④两条直线a ，b 没有公共点，那么a 与b 是异面直线.( )⑤若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线.( )答案 ①√ ②× ③√ ④× ⑤× 4.空间的平行关系(1)线面平行：⎭⎬⎫a ∥bb ⊂αa ⊄α⇒a ∥α；⎭⎬⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α；⎭⎬⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α；(2)面面平行：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥βb ∥β⇒α∥β； ⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；⎭⎬⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ；(3)线线平行：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b . [回扣问题4] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面.( ) ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行.( ) ③如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) ④如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) 答案 ①× ②× ③× ④√ 5.空间的垂直关系(1)线面垂直：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b⇒l ⊥α；⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；⎭⎬⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； (2)面面垂直：二面角90°；⎭⎬⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β；⎭⎬⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β；(3)线线垂直：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . [回扣问题5] 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是________. 答案 16.三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S 侧cos θ＝S 底.[回扣问题6] 过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC .(1)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则点O 是AB 边的________点. (2)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心.(3)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心. (4)若P 到AB ，BC ，CA 三边距离相等，则点O 是△ABC 的________心. 答案 (1)中 (2)外 (3)垂 (4)内6.解析几何1.直线的倾斜角α与斜率k (1)倾斜角α的范围为[0，π). (2)直线的斜率①定义：k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k ).[回扣问题1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 2.直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线. (2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线. (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线. (4)截距式：x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式. [回扣问题2] 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. [回扣问题3] 直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋8y －7＝0的距离为________. 答案17104.两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. [回扣问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时，l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合. 答案－112m ≠3且m ≠－1 3 5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆.[回扣问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案－16.直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切.(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当O1O2＞r1＋r2时，两圆外离；②当O1O2＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|＜O1O2＜r1＋r2时，两圆相交；④当O1O2＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤O1O2＜|r1－r2|时，两圆内含. 若两圆相交把两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋C1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋C2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(C1－C2)＝0.[回扣问题6] 双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________. 答案内切7.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支.[回扣问题7] 方程（x＋3）2＋y2＋（x－3）2＋y2＝6表示的曲线是________.答案线段y＝0(－3≤x≤3)8.求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)；焦点在y轴上，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0).(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).[回扣问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程为________. 答案 4x 29－y 24＝19.(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系. (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或P 1P 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2].[回扣问题9] (判断题)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.( ) 答案 ×7.概率与统计1.随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样.[回扣问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户，低收入家庭160户，其他为高收入家庭，在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________. 解析由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.答案 242.对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据.对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了.[回扣问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________.答案 203.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标. 平均数：样本数据的算术平均数，即x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n ).平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2].(2)简化计算公式s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－nx －2]，或写成s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.[回扣问题3] 已知一个样本中的数据为0.12，0.15，0.13，0.15，0.14，0.17，0.15，0.16，0.13，0.14，则该样本的众数、中位数分别是________. 答案 0.15，0.1454.互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ). (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥.(2)P (A －)＝1－P (A ).[回扣问题4] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，求出现奇数点或2点的概率之和为________. 答案 235.古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数).[回扣问题5] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________. 答案1126.几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等.。

高三数学高考回归课本100个问题(81-90)

2010届高考数学回归课本100个问题（81-90）81、求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系. 82.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x 、y=-x 、y=x+m 、y=-x+m 的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m 、a+m)、(-b+m 、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解 83、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x 对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a 对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题. 84、相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式|a |)k 1(x x k 1AB x x 2122∆+=-⋅+=122y y k11-⋅+=|a |)k 11(y y 2∆+=②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线1b y ax 2222=±(a,b>0)上A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)中点为M(x 0,y 0),则K AB K OM =22ab ;对抛物线y 2=2px(p ≠0)有K AB ＝21y y p 2+85、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x 1,y 1)而变化,Q(x 1,y 1)在已知曲线上,用x 、y 表示x 1、y 1,再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.86、运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax 2+Bx 2＝1;共渐进线x ab y ±=的双曲线标准方程可设为λλ(by a x 2222=-为参数,λ≠0);抛物线y 2=2px上点可设为(p2y 2,y 0);直线的另一种假设为x=my+a;解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;（3）给出0=+,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6）给出λλ++=1，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=（7）给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知A MB ∠是锐角,（8）给出=⎪⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;（10）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC ∆中，给出+=()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心；（15）在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线;88、计数原理：分类相加；分步相乘；有序排列，无序组合89、排列数公式:m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m ＋1)=)!m n (!n -(m ≤n,m 、n ∈N *), 0!=1; n n A =n!; n.n!=(n+1)!-n!;11--=m n m n nA A ;11-++=m nm n m n mA A A 90、组合数公式：123)2()1()1()1(!⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅--⋅⋅⋅-⋅==m m m m n n n m A C mnm n =)!(!!m n m n -（m ≤n ）, 10=n C ;r n r n r n m n n m n C C C C C 11;+--=+=;;C C C C 1r 1n r n r 1r r r +++=+⋅⋅⋅++11--=m n m n C mn C ;。

高考数学回归课本100个问题(一)

高考数学回归课本100个问题（一）1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。

2．在应用条件A∪B＝Ｂ⇔A∩B＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．3，含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7）4、C U (A∩B)=C U A∪C U B;C U (A∪B)=C U A∩C U B;card(A∪B)=?5、A∩B=A ⇔A∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A∩C U B=∅⇔C U A∪B=U6、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝；命题“p 或q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q”的否定是“┐P 或┐Q”7、指数式、对数式：mna =，1m nmnaa -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg 51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。

8、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;9、反比例函数:)0x (xc y ≠=平移⇒b x ca y -+=(中心为(b,a))10、对勾函数xax y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a 递减，在时)0,[0(,0a a a ->递增，在),a [],a (+∞--∞11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．12．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()fb a f a b-=⇔=13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

高中高考数学回归课本试卷试题

数学必修一回归试题1．会合 A={x|x=3k, kN },B={x|x=6z, z N } 的关系是 _________.2．设会合Ａ＝｛ x|(x-3)(x-a)=0,a R ｝,B={x|(x-4)(x-1)=0},求 AB, A B3．函数 y=1 是幂函数吗？函数 y=1 与 y= x 0 是同一个函数吗？ 4．设会合 A={a,b,c},B={0,1}, 试问从 A 到 B 的映照共有几个？并将它们分别列出来？ 5．画出定义域为 {x| 3x 8, 且 x 5 }, 值域为 {y|1y 2, 且 y0 } 的一个函数图象。

（1）假如平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标知足 3 x 8, 1 y 2 ，那么哪些点不可以在图象上？（2）你的图象与其余人的有差别吗？为何？6．函数 y=[x] 的函数值表示不超出 x 的最大整数，如， [-3.5]=-4,[2.1]=2 。

则当 x ( 2.5,3]时，求函数 f(x) 的分析式，并画出图象。

7．P25 第 4 题。

18．已知函数 f ( x) 1[1, ) , 画出该函数的图象，并求出值域。

你能2x , x1 编一道以该函数为背景的数列问题吗？9．已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x)=x(1+x)+1 。

画出该函数图象，并求出函数的分析式。

10. 已知会合 A={ x| x 2 1}，B={x|ax=1}, 若 BA ，务实数 a 的值。

11．证明：（1）若 f(x)=ax+b, 则 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 )f ( x 2 )（；）若g( x) x 2ax b ,2 22则 g (x 1x 2)g( x 1 ) g ( x 2 )。

试概括，什么函数拥有上述性质？模拟上式再编一22题。

12．P45，第 7 题。

1113．已知 x x 13，求以下各式的值：求（ 1）x 2 x 2 ；（2）x 2 x 2 ；（3）x 2 x 2 14．P60，第 3 题。

高中数学必做100题—回归精品练苏教版选修2-2

【精品练】高中数学必做100题—回归选修2-2时量：60分钟班级：姓名：计分：（说明：《选修2-2》共精选12题，“◎”为教材精选（或变式），“☆”为《精讲精练.选修2-2》精选）1..已知车轮旋转的角速度与时间的平方成正比.如果车轮启动后转动第一圈需要0.8S,求转动后第3.2S 时的瞬时角速度. （◎P 10 4）2. 已知函数x x x f ln )(=.(1)求这个函数的导数;(2)讨论这个函数的单调性;(3)求此函数在点1=x 处的切线方程;(4)求此函数在定义域上的极值.（◎P 18 6）3. 已知()f x =，分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.4. （1）若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，则此四面体的体积V = .（2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设ABC ∆的两边,AB AC 互相垂直，则222AB AC BC +=.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三侧面,,ABC ACD ADB 两两垂直，则 .”5. 试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知01a <<，则1491a a+≥-.6．已知,()2x y k k Z ππ≠+∈，sin sin x θ是，cos θ的等差中项，sin y 是sin ,cos θθ的等比中项. 求证：（1）1cos2cos22x y =；（2）22222(1tan )1tan 1tan 1tan x y x y --=++. （☆P 18 9，◎P 43 例6）7.（1）已知1510z i =+，234z i =-，12111z z z =+，求z . （◎P 65 3）（2）已知(12)43i z i +=+，求z 及z z. （◎P 65 B1）8. (1)以初速度为40-s m /垂直向上抛一物体,ts 时刻的速度(单位:s m /)为t v 1040-=,问多少秒后此物体达到最高?最大高度是多少?(2)由定积分的性质和几何意义,说明下列各式的值: 1.dx x a aa ⎰--22 2.()dx x x )11(102---⎰9. 一边长为a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒.(1)把方盒的容积V 表示为x 的函数;(2)x 多大时,方盒的容积V 最大? （◎P 37 A2）10. [理] 数列{}n a 满足2,n n S n a n N =-∈*．（n S 为前n 项和）（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．11. 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--. （1）求导数'()f x ；（2）若'(1)0f -=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2)-∞-和[)2,+∞上都是增函数，求a 的取值范围. （☆P 45 例3）12.（2006年江西卷）已知函数()f x 32x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值，（☆P 49 例2）（1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[]1,2x ∈-时，不等式2()f x c <恒成立，求c 的范围.。

回归课本的100个数学问题6 不等式

回归课本的100个数学问题6 不等式回归课本的100个数学问题6 不等式1、均值不等式①a2?b2?2ab并且当且仅当a?b，取得等号。

证明：(a?b)2?0?a2?2ab?b2?0?a2?b2?2ab并且当且仅当a?b，取得等号。

注：这个不等式是无条件成立的。

②若a,b?0，则a?b?2ab 令a,b?0，则前面的不等式，有a?b?(a)2?(b)2?2ab?2ab，即a?b?ab。

并且当且仅当a?b，即a?b取得等号。

2a?b我们将称为代数平均值，ab 称为几何平均值。

那么，这个不等式的2意义是：两非负数代数平均值不小于几何平均值，而且当且仅当两数相等时，两平均值相等。

我们将这个不等式称为均值不等式，或者基本不等式。

注意，它是对a,b?0才成立的。

③一般的均值不等式a?a?......?an1n假设ai?0，An??ak?12，Gn?nk?1nn?ak?1ni，则An?Gn。

并且当且仅当a1?a2?...?an时，An?Gn。

证明：先假设ai?0，?i?N?。

当n?1时，结论显然成立。

假设当n?k时，结论成立。

即Ak?Gk，且当且仅当a1?a2?...?an时，结论成立。

当n?k?1时， 1 (k?1)Ak?1?(k?1)Ak?1(k?1)Ak?1?a1?a2?... ?ak?ak?1?2k2k(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?a k1(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?ak?[?]?2 kkkkAk?1? ?k?1kAkk?1ak?1a1a2......a k?12kk?1k这样，Ak2?1?kAkk?1ak?1a1a2......ak，Ak?1?Ak?1ak?1a1a2......ak，?1k?1 aa......aa Akk?。

1?a1a2......akak?1，Ak?1?12kk?1?Gk?1 从上面的证明以及n?k时不等式取等号的条件，要使得Ak?1?Gk?1，必须?(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?ak??k k??Ak?1?ak?1 ?a?a?......?a 2k?1?这样，易得a1?a2?...?ak?ak?1 即n?k?1时，结论也成立，故结论对任意n?N?总成立。

高考数学回归课本100个问题(二)(1)

ab 2 2 k + 1 k 2高考数学回归课本 100 个问题（二）51、常用不等式：若 a , b > 0 ，（1≥ a + b ≥ ≥ 2 （当且仅当 a = b 时取等号）； 2 1 + 1 a b（2）a 、b 、c ∈ R ， a 2 + b 2 + c 2≥ ab + bc + ca （当且仅当a = b = c 时，取等号）；b b + m（3）若 a > b > 0, m > 0 ，则52、①一正二定三相等；<a a + m（糖水的浓度问题）。

②积定和最小,和定积最大。

常用的方法为：拆、凑、平方；53、如：①函数y = 4x -9 2 - 4x (x > 1 )2的最小值。

（答：8）②若若 x + 2 y = 1，则 2x + 4y的最小值是（答： 2 ）；③正数 x , y 满足 x + 2 y = 1，则 1 + 1 的最小值为（答： 3 + 2 ）；xy54、 a - b ≤ a ± b ≤ a + b (何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a55、不等式证明之放缩法1 1Ⅰ、 - = < ；k + 1 + k 2 kⅡ 、 1<k 21 = k (k - 1) 1 - 1 k - 1 k ； 1 > k 21 = k (k + 1) 1 - 1 k k + 1（程度大）Ⅲ 、 1 < k 2 1 = k 2- 1 1 (k - 1)(k + 1) = 1 ( 2 1 - k - 1 1 ) k + 1；（程度小）56、不等式证明之换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。

如：已知 x 2+ y 2= a 2，可设 x = a cos θ, y = a sin θ；已知 x 2+ y 2≤ 1 ，可设 x = r cos θ, y = r sin θ( 0 ≤ r ≤ 1)；已知 x + y a2 b2= 1 ，可设 x = a cos θ, y = b sin θ；a 2 +b 2 22⎭⎭⎭ ⎭ ⎭ ⎭ ⎭ ⎭⎭b ⊂ α⎬ ⎬ ⎭⎬ ⎬ ⎭⎭ ⎭ ⎭2⎭已知 x - y a 2 b 2= 1 ，可设 x = a sec θ, y = b tan θ；57、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方④公式法：|f(x)|>g(x) ⇔ f(x)>g(x)orf(x)<-g(x)|f(x)|<g(x) ⇔ -g(x)<f(x)<g(x)60. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a ⊄ α) 、a ⊂ α③平面与平面:α∥β、α∩β=a61. 常用定理:a //b ⎫α⊥ β⎫ ①线面平行b ⊂α⎪ ⇒ a //α;α// β ⎫⇒ a //α; a ⊥ β⎪⇒ a //α⎬a ⊄α⎪ a ⊂ β⎬⎬ a ⊄α⎪a //α⎫ α//β ⎫ ②线线平行: a ⊂ β⎪⇒ a //b ;a ⊥α⎫ ⇒ a //b ;α⋂γ= a ⎪ ⇒ a //b ; a // b ⎫⇒ c // b⎬α⋂β= b ⎪a ⊂ α,b ⊂ α⎫ b ⊥α⎬⎬β⋂γ= b ⎪a // c ⎬ ③面面平行: a ⋂b = O ⎪⇒ α// β ; a ⊥ α⎫ ⇒ α// β;α// β⎫ ⇒ α//γ⎬a // β,b // β ⎪ a ⊥ β⎬γ// β⎬PO ⊥ α⎫62、④线线垂直: a ⊥ α⎫ ⇒ a ⊥ b ;所成角 900； ⎭ a ⊂ α ⎪ ⇒ a ⊥ PA a ⊥ AO ⎪ (三垂线);逆定理?a ⊂α,b ⊂α⎫ α⊥ β ⎫ α//β⎫ a // b ⎫⑤线面垂直: a ⋂b = O ⎪⇒l ⊥α;α⋂β= l ⎪⇒ a ⊥ β; ⎬⇒a ⊥β; a ⊥α⎭ a ⊥α⎬ ⇒ b ⊥α l ⊥ a ,l ⊥b ⎪⑥面面垂直：二面角 900; a ⊂α, a ⊥ l ⎪ a ⊂ β⎫ ⇒ α⊥ β; a // β ⎫ ⇒ α⊥ βa ⊥ α⎬ 62. 求空间角之异面直线所成角θ的求法： π（1）范围：θ∈(0,]；2（2）求法：平移以及补形法、向量法。

(整理)高考数学考前必看系列材料之三回归课本篇

高考数学考前必看系列材料之三回归课本篇《回归课本篇》（一上）一、选择题1．如果X = {}x |x >－1 ，那么(一上40页例1(1)) (A) 0 ⊆ X (B) {0} ∈ X (C) Φ ∈ X (D) {0} ⊆ X2．ax 2+ 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是(一上43页B 组6) (A)0<a ≤1 (B) a<1 (C) a ≤1 (D) 0<a ≤1或a<03．命题p ：“a 、b 是整数”，是命题q ：“ x 2+ ax + b = 0 有且仅有整数解”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．若y = 15x + b 与y = ax + 3互为反函数，则 a + b =(A) －2 (B) 2 (C) 425 (D) －105．已知x + x – 1 = 3，则23x + 23-x 的值为 (A) 3 3 (B) 2 5 (C) 4 5 (D) －4 5 6．下列函数中不是奇函数的是(A) y = (a x + 1)x a x －1 (B) y = a x – a －x 2 (C) y = | x |x (D) y = log a 1 + x1－x7．下列四个函数中，不满足f (x 1 + x 22 )≤f (x 1) + f (x 2)2的是(A) f (x ) = ax + b (B) f (x ) = x 2 + ax + b (C) f (x ) = 1x(D) f (x ) = － lnx8．已知数列{a n }的前n 项的和 S n = a n － 1（a 是不为0的实数），那么{a n } (A) 一定是等差数列 (B) 一定是等比数列 (C) 或者是等差数列，或者是等比数列 (D) 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题 9．设A =(){}6x 4y y ,x +-=，B =(){}3x 5y y ,x -=，则A ∩B =_______. (一上17页例6)10．不等式x 2－3x －132－x≥1的解集是_______. (一上43页例5(2))11．已知A = {}x || x －a |< 4 ，B = {}x || x －2 |>3 ，且A ∪B = R ，则a 的取值范围是________. (一上43页B 组2) 12．函数y = 1x 218-的定义域是______；值域是______. 函数y =1－( 12)x 的定义域是______；值域是______. (一上106页A 组16)13．已知数列{a n }的通项公式为a n = pn + q ，其中p ，q 是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？______ 如果是，其首项是______，公差是________. (一上117页116) 14．下列命题中正确的是。

【数学】2011届高考数学回归课本100个问题 (5)

2011届高考数学回归课本100个问题
（41-50）
41巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβ
αβ++=⋅，()()222αβ
β
ααβ+=---
等） 42、辅助角公式中辅助角的确定：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中tan b a
θ=) 43、b a b a b a +≤±≤-,
44、向量b 在a 方向上的投影︱b ︱cos θ＝
a b a ⋅ 45、 →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)
特别：. OP ＝12OA OB λλ+
则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件 46、在ABC ∆中， 1()3
PG PA PB PC =++ ⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的重心；
47、PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔ 为ABC ∆的垂心；
48、向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；
||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心；
49、两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒” 即ａ＞ｂ＞ｏ11a b ⇒<，ａ＜ｂ＜ｏ11a b
⇒>．
50分式不等式
()
,(0) ()
f x
a a
g x
>的
段）。

高中数学必做100题—回归必修2

【精品练】高中数学必做100题—回归必修2时量：120分钟班级：姓名：计分：〔说明：?必修2?共精选15题，每题12分，“◎〞为教材精选，“☆〞为?精讲精练.必修2?精选〕1. 在圆锥底面半径为1 cm ，高为2cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.〔☆P 3 例3〕 2. 如图〔单位：cm 〕，求图中阴影局部绕AB 旋转一周所形成的几何体的外表积和体积. 〔☆P 15 例2〕3. 直角三角形三边长分别是3cm 、4cm 、5cm ，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的外表积和体积. 〔◎P 36 10〕4. 如图，α∥β∥γ，直线a 与b 分别交α,β,γ于点,,A B C 和点,,D E F ，求证：AB DE BC EF=. 〔◎P 63 B3〕 5. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中. 〔◎P 79 B2〕求证：〔1〕B 1D ⊥平面A 1C 1B ；〔2〕B 1D 与平面A 1C 1B 的交点设为O ，那么点O 是△A 1C 1B 的垂心.6. 〔06年北京卷〕如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.〔1〕求证：AC PB ⊥；〔2〕求证：//PB 平面AEC ；〔3〕求二面角E AC B--的大小. 〔☆P 38 9〕7. (1,1)A -，(2,2)B ，(3,0)C ，求点D 的坐标，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．〔◎P 90 8〕8. 求过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 〔◎P 100 9〕 9. 三角形的三个顶点是A 〔4，0〕、B 〔6，7〕、C 〔0，3〕. 〔◎P 101 B1〕〔1〕求BC 边上的高所在直线的方程；〔2〕求BC 边上的中线所在直线的方程；〔3〕求BC 边的垂直平分线的方程．10. 在x 轴上求一点P ，使以点(1,2)A 、(3,4)B 和点P 为顶点的三角形的面积为10. 〔◎P 110 B5〕11. 过点(3,0)P 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220l x y --=与2:30l x y ++=之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程. 〔◎P 115 B8〕12. ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1)A 、(7,3)B -、(2,8)C -，求它的外接圆的方程. 〔◎P 119 例2〕13. 线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. 〔◎P 122 例5〕14. 过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为45，求直线l 方程. 〔◎P 127 例2〕15. 求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程. 〔◎P 132 4〕 B CA D 4 5 2。

高中数学考前100问(最终版)

“ .高中数学考前回归教材资料亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下 100 个问题，您是否有清醒的认识？1．集合中的元素具有无序性和互异性.如集合{a,2}隐含条件 a ≠ 2 ，集合 {x | ( x -1)(x - a) = 0}不能直接化成{1,a }.2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{ x | y = lgx }与{ y | y = lgx }及{ (x, y)| y = l gx }三集合并不表示同一集合；再如：设 A={直线}，B={圆}，问 A ∩B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”与“A={(x, y)| x + 2y = 3},B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A ∩B 中元素有几个？”有无区别？过关题：设集合 M = {x | y = x + 3}，集合 N ＝ {y | y = x 2 + 1, x ∈ M }，则 MN = ___（答： [1, +∞) ）3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若 AB= φ ，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？ A = φ 或 B = φ ；对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是2n 、 2n - 1 和 2n - 2 ，你知道吗？你会用补集法求解吗？A 是B 的子集 ⇔ A ∪B=B ⇔ A ∩B=A ⇔ A ⊆ B ，你可要注意 A = φ 的情况.过关题：已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若 A ∩B=B ，则所有实数 m 组成的集合为.1答： m = {0,1,- }2已知函数 f ( x ) = 4 x 2 - 2( p - 2) x - 2 p 2 - p + 1 在区间 [-1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f (c) > 0 ，求实数 p 的取值范围.答： (-3, 3 2) ）4 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式函数的对称中心吗？过关题：已知函数 f ( x ) = a - x x - a - 1的对称中心是(3, -1)，则不等式 f (x) > 0 的解集是 .答：{x | 2 < x < 3}5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果原命题: p ⇒ q ;逆命题: q ⇒ p ;否命题: ⌝p ⇒ ⌝q ；逆否命题: ⌝q ⇒ ⌝p ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“ sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的条件.（答：充分非必要条件）若 p ⇒ q 且 q ≠ p ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）;| 注意命题 p ⇒ q 的否定与它的否命题的区别:命题 p ⇒ q 的否定是 p ⇒⌝ q ；否命题是 ⌝p ⇒ ⌝q命题“p 或 q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且 q ”的否定是“┐P 或┐Q ”注意：如 “ a, b ∈ Z ，若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数，则 a + b是奇数”；否定是“若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是奇数”7.绝对值的几何意义是什么？不等式ax + b |< c ，| ax + b |> c (c > 0) 的解法掌握了吗？过关题：| x | + | x – 1|<a 的解集非空，则 a 的取值范围是，| x | – | x – 1|<a 恒成立，则 a 的取值范围是.有解，则 a 的取值范围是.答： a > 1 ； a > 1 ； a > -18.如何利用二次函数求最值？注意对 x 2 项的系数进行讨论了吗？若 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，你对 a - 2 =0 的情况进行讨论了吗？若改为二次不等式 (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 1 < 0 恒成立，情况又怎么样呢？9. （1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（ 3）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？过关题：不等式 a x 2 + b x + 2 > 0 的解集为{x | - 1 1< x < } ，则 a + b = .2 3答： -14过关题：方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是.9答： [-2, ]8特别提醒：二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根即为不等式 ax 2 + bx + c > 0 (< 0) 解集的端点值，也是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标.对二次函数 y = ax 2 + bx + c ，你了解系数 a, b , c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴等的影响吗？对函数 y = lg( x 2 - 2ax + 1) 若定义域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式小于零；若值域为 R ，则 x 2 - 2ax + 1 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为，y = lg(x 2 – 1) 的值域为，你有点体会吗？答： [0, +∞);( -∞, +∞)10 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y = log (x 2 - 2x -3)的单调增区间？再如已知函数2y = log (x 2 - 2ax -1)在区间 [2,3] 上单调减，你会求 a 的范围吗？答： 0 < a <a34若函数 y = x 2 - 2ax + 2 的单调增区间为[2, +∞)，则 a 的范围是什么？答： a = 2若函数 y = x 2 - 2ax + 2 在 x ∈ [2, +∞)上单调递增，则 a 的范围是什么？答： a ≤ 2两题结果为什么不一样呢？y 11.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等. 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围.）如已知 f ( x ) = 5sin x + x 3 ， x ∈ (-1,1)， f (1- a) + f (1- a 2 ) < 0 ，求 a 的范围. 答： (1, 2)求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示.12.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充分条件）.1过关题：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则 a = , b =.答： ;0313.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）函数的图象不可能关于 x 轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x 是函数吗？函数图象与x 轴的垂线至多一个公共点，但与轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个；函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线y = x 对称，你知道吗？过关题：函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？过关题：已知函数 y = f (x) (a ≤x ≤b )，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a ≤x ≤b } ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的个数为（）A. 0 或 1B. 0C. 1D. 无数个答： A14.由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (- x ) 的图象？答：以 y 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f ( x ) 的图象？答：以 x 轴为对称轴翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = - f (- x ) 的图象？答：以 (0,0) 为对称中心翻折由函数 y = f ( x ) 图象怎么得到函数 y = f (| x |) 的图象？答：去左翻右⑴ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 x 轴的对称的曲线 C 是： . 答： f ( x , - y) = 0 1⑵ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于 y 轴的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , y) = 0 2 ⑶ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x 的对称的曲线 C 是： . 答： f ( y , x) = 0 3⑷ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = - x 对称的曲线 C 是：.答： f (- y , - x ) = 04⑸ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f ( y - m , x + m ) = 0 5⑹ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = -x + m 的对称的曲线 C 是：.答： f (m - y , m - x) = 06⑺ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 x = m 对称的曲线 C 是： .答： f (2m - x, y) = 0 7⑻ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于直线 y = m 对称的曲线 C 是： .答： f ( x ,2 m - y) = 08 ⑼ 曲线 C : f ( x , y) = 0 关于原点的对称的曲线 C 是：.答： f (- x , - y) = 09过关题： f (x) = log x 关于直线 y = x 的对称函数（反函数）.答： y = 2x或 [ b 的单调区间吗？（该函数在 (-∞,-. y指数式、对数式：a n = n a m ，a - n = 1 ，a 0 = 1 ，log 1 = 0 ，log a = 1 ，lg 2 + lg5 = 1 ，log x = ln x ，215.函数 y = x + kx(k > 0) 的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若 k ＜0 呢？你知道函数bab b,+∞) 上单调递增；在 (0, ] 或 [- ,0) 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！a a a求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.16.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质]过关题： y = log1 (-x2+ 2x )的单调递增区间是________(答：（1,2）).2已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x ∈[1, 9]，则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 . 答：13求解中你注意到函数 g (x)的定义域吗？(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）过关题 12：已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T ，则 f (-（答：0）几类常见的抽象函数：①正比例函数型： f ( x ) = kx(k ≠ 0) --------------- f ( x ± y ) = f ( x ) ± f ( y ) ；T2) = __x ②幂函数型： f ( x ) = x 2 -------------- f ( x y) = f ( x ) f ( y) ， f ( ) =y f ( x ) f ( y)；③指数函数型： f ( x ) = a x ---------- f ( x + y) = f ( x ) f ( y) ， f ( x - y) =f ( x ) f ( y)；x ④对数函数型： f ( x ) = log x --- f ( x y) = f ( x ) + f ( y) ， f ( ) = f ( x ) - f ( y) ；a⑤三角函数型： f ( x ) = tan x ----- f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) 1 - f ( x ) f ( y).17．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数 y = a x ，底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 y = 1 接近程度；对数函数 y = log x 呢？你 a还记得对数恒等式（a log a N = N ）和换底公式吗？知道： n m log N = log aa m N n吗？mmm a a eana b = N ⇔ log N = b (a > 0, a ≠ 1, N > 0) ， a log a N = N .a如 ( )log 28的值为________(答： 1 2 - β + 2k π ,( k ∈ Z )sin x > ； ⎨2 由三角函数线，我们很容易得到函数 y = sin x ， y = cos x 和 y = tan x 的⎪ tan θ ≥ 1函数 y =2sin(π15︒,75[ 2 ) 时，x, sinx, tanx 的大小关系如何？cos ϕ = ⎨ ⎩ϕ 1 2 64 )18.你还记得什么叫终边相同的角？若角α 与 β 的终边相同，则α = β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边共线，则：α = β + k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则：α = -β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则：α = π - β + 2k π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于原点对称，则：α = β + (2 k + 1)π ,( k ∈ Z )若角 α 与 β 的终边关于直线 y = x 对称，则：α =π各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦； ︒ 角的正弦、余弦、正切值还记得吗？ 19.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：⎧ 3 2 ⎪cos θ < 2 ⎩单调区间；三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 k ∈ Z ）ππ– 2x)的单调递增区间是- + k π ,+ k π]( k ∈ Z ) 吗？你知道错误的原因吗？663y = tan x 图象的对称中心是点 ( k π 2,0) ，而不是点 (k π ,0) (k ∈ Z ) 你可不能搞错了！你会用单位圆比较sinx 与 cosx 的大小吗？当x ∈ (0, π过关题:函数 y = tan x 与函数 y = sin x 图象在 x ∈[-2π,2π]上的交点的个数有个？答： 520 ．三角函数中，两角 α、β 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？⎧⎪ a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin(x + ϕ ) 中 ϕ 角是如何确定的？（可由 ⎪ ⎪ s in ϕ =⎪ aa 2 +b 2ba 2 +b 2确定，也可由tan= b a及 a , b 的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？重要公式： sin 2α = 1- cos2α ； cos 2α = 1 + cos2α ．；nat α = ± 1-osc α = nis α = 1-osc α ;222 1+osc α 1+osc α nis α1± sin θ = (cos ± sin )2 = cos ± sin12 ,k π + 2 ， α + βα + β = 2 ⋅ α + β (αβ ) (αβ )2-等），（答： y = - 3A.π函数 y = sin ⎛ 5π- 2 x ⎪ 的奇偶性是______（答：偶函数）y A 、 “ θ θ θ θ2 2 2 2等，你还记住哪些变形公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？如：函数 f ( x ) = 5 s in x cos x - 5 3 c os 2x +53( x ∈ R ) 的单调递增区间为___________（答：2[ k π - π5π 12]( k ∈ Z ) ）巧变角：如 α = (α + β ) - β = (α - β ) + β ， 2α = (α + β ) + (α - β ) ， 2α = (β + α) - (β -α) ，2=- -2如（1）已知 tan(α + β ) = 25π 1 π 3， tan( β - ) = ，那么 tan(α + ) 的值是_____（答：）；4 4 4 22（2）已知 α , β 为锐角， sin α = x,cos β = y ， cos(α + β ) = -4 3 1 - x 2 + x( < x < 1) ）5 5 53 5，则 y 与 x 的函数关系为______（3）若 x =π6是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴，则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是ππ B.C.D. π （）答： B63221.会用五点法画 = A s in( ωx + ϕ ) 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数 ω、ϕ 的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？答： A,ϕ, wx + ϕ, | ω |2π22.同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限”⎫ ⎝ 2 ⎭23.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无解）？24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（2）名的变换：见切化弦；, 且 < α < ，则 cos α -sin α的值为.答： -过关题: sin α = 5 ,sin β = , 且α ,β为锐角, 则 α + β =.答：y = sin x −左−或−平−−|Φ|→ y = sin( x + Φ) −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin(ω x + Φ)1 ω− 右移 y = sin x −横−坐−伸−到−原来−的−倍→ y = sin ωx −左−或−平−−|→ y = sin(ωx + Φ)1 Φω−−−−− 原来的− → y = A s in(ωx + Φ) −−−平−−→ y = A s in(ωx + Φ) + b 2 ]（3）次的变换：降幂公式；π π（4）形的变换：通分、去根式、1 的代换1 = sin 2 α + cos 2 α = tan =sin =cos0）等，这些统称为 1 的代换.4 225.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？过关题： sin α cos α = 1 π π8 4 23210π 5 10426.形如 y = Asin(ωx + ϕ) +b ，y = A t an(ωx + ϕ) 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？27、 y = Asin(ωx + ϕ) +b 与 y =sinx 变换关系:φ正左移负右移；b 正上移负下移;标缩标缩右移 | ω标缩下移28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知 s in α cos β = 12 1 1 ，求 sin β cos α 的变化范围.答： [- , ]2 2提示：整体换元，令 s in β cos α = t ，然后与 sin α cos β 相加、相减，求交集.29.请记住(sin α ± cos α )与 sin α cos α 之间的关系.5过关题：求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域.答： [- , 2 + 1]430 常见角的范围①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是(0,②直线的倾斜角、与的夹角的取值范围依次是[0, π ) ， [0,π31 以下几个结论你记住了吗？π π] ， [0, ] ， [0, π ] ； 2 2⎩y=2sinθB=b+c⑷面积公式：S=1a⑴如果函数f(x)的图象关于直线x=a对称，那么函数f(x)满足关系式为，且函数f(x)若为奇函数，则函数f(x)的周期为.答：f(a+x)=f(a-x),4|a|⑵如果函数f(x)满足关于点（a,b）中心对称，那么函数f(x)满足关系式为；答：f(a+x)+f(a-x)=2b⑶如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么f(x)是周期函数，周期是T=4|a-b|.（4）f(x+a)=f(b-x)，则f(x)的图象关于x=a+b2对称.过关题：已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且满足g(x)=f(x–1)，则f(2006)+f(2007)+f(2008) =.答：0132.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？l=|α|r,S=lr若α是角度，公式又是什么形式2呢？过关题:已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：2cm2），⎧x=2cosθ曲线⎨π（θ为参数,且-π≤θ≤-）的长度为.答：34π333.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？A B+C⑴内角和定理：三角形三内角和为π,sinA=sin(+C),cosA=-cos(B+C),s in=cos()22⑵正弦定理：a b c===2R（R为三角形外接圆的半径）, sin A sinB sinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解⑶余弦定理：a222-2bc cos A，cos A=定三角形的类型.b2+c2-a2(b+c)2-a2=-1等，常选用余弦定理鉴2bc2bc1abcah=ab sin C=224R，内切圆半径r=2S∆ABC a+b+c（5）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？sinA>sinB⇔A>B，你会证明吗？（6）已知a,b,A时三角形解的个数的判定：bCh a其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a<h时，无解；②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；④a≥b时，一解（一锐角）.⑵A为直角或钝角时：①a≤b时，无解；②a>b时，则b36.倒数法则还记得吗？（指ab>0,a>b⇒1）(x>③正数x,y满足x+2y=1，则1+的最小值为______（答：3+22）；（7）三角形为锐角三角形满足什么条件？34．常见的三角换元法：已知x2+y2=a2，可设x=a cosθ,y=a sinθ；已知x2+y2≤1，可设x=r cosθ,y=r sinθ(0≤r≤1)；已知x2y2+a2b2=1，可设x=a cosθ,y=b sinθ；35.重要不等式的指哪几个不等式？若a,b>0，（1）a2+b2≥a+b≥ab≥2（当且仅当a=b时取等号）；221+1a b（2）a、b、c∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；（3）若a>b>0,m>0，b+m<a a+m（糖水的浓度问题）.111<，常用如下形式：a>b>0⇒0<<，a b a b11a<b<0⇒0>>）用此求值域的注意点是什么？a b如求函数y=12x-11的值域，求函数y=2x-1的值域呢？37.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法（a2+b2≥(a+b)22≥2|ab|）等号成立的条件是什么？基本变形：①a+b≥；(a+b2)2≥；38利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？如：①函数y=4x-91)的最小值2-4x2.（答：8）②若若x+2y=1，则2x+4y的最小值是______（答：22）；1x y39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）过关题：若正数a,b满足a b=a+b+3,则a+b的取值范围是.（答：[6,+∞)）40不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？a + b， .“ x - 1 - . 答： ( 2, 3)过关题：已知 a > b > 0，且 a b = 1，设 c = 2, P = log a, N = log b , M = log ab ，c cc则 A. P < M < NB. M < P < NC. N < P < MD. P < N < M ( )答： A41 不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式）另外“序轴标根法”解不等式的注意事项是什么？将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 x 的最高次数项的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否包含零点如:解不等式 ( x + 3)( x - 1)3 ( x + 2)2 ≥ 0 .（答：{x | x ≥ 1或x ≤ -3 或 x = -2} ）；42.解分式不等式f ( x )g ( x )> a(a ≠ 0) 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，一般不能去分母而是移项通分）43.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上：综上，原不等式的解集是…”解不等式ax 2 ax - 1> x(a ∈ R)（综上，当 a = 0 时，原不等式的解集是{x | x < 0} ；当 a > 0 时，原不等式的解集是{x | x > 1 a或 x < 0} ；当 a < 0 时，原不等式的解集是{x | 1 a< x < 0 } ）过关题：解关于 x 的不等式：ax + 1> 1 ，（| a |≠1） x + 1答： a > 1,{x | x > 0或x < -1}； a =1,∅； 0 < a < 1,{x | -1 < x < 0}44.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）45.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）过关题：解关于 x 的不等式： log ( x 2- x - 2) > log1 1 421246.会用不等式 || a | - | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？47.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）过关题：对任意的 a ∈[-1, 1]，函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是.答： (-∞,1) (3, +∞)过关题：当 P(m, n )为圆 x 2 + ( y – 1) 2 = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c ≥0 恒成立，则 c 的取值范围是.答： [ 2 - 1,+∞)48.等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？}{公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用a=⎨直接写出所求数列的通项公式）S-S n≥2⎩nna2+(2n-1)=n2，（等差数列中的重要性质：若，则；等差数列的通项公式：a=kn+b型前n项和：S=An2+Bn型n n等比数列中的重要性质：若，则用等比数列求前n项和时一定要注意公比q是否为1？（过关题：求和：S=x+2x2+3x3++nx n要注意什么？n时，；时，）49.等差数列、等比数列的重要性质：an+1-an-1=d(a为常数)的数列有什么性质？若{a}为等差数列，n则{a2n-1，ka +b }也是等差数列，它们的公差是什么？n50.数列通项公式的常见求法：观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第项a与项数n之间的关系）n⎧S n=11nn-1叠加法（适用于递推关系为an+1-a=f(n)型）n连乘法（适用于递推关系为an+1=f(n)型）an构造新数列法（如递推关系n+1=pa+q;an n+1=pa+b(b为等差数列或等比数列)型）n n n51.数列求和的常用方法：公式法：⑴等差数列的求和公式（两种形式），⑵等比数列的求和公式⑶1+2++n=n(n+1)，1+3+5+1+3+5++(2n+1)=(n+1)2；12+22+32+1+n2=n(n+1)(2n+1)6分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含(-1)n因式，周期数列等等）倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：⑴1111111 =-⑵=(-)n(n+1)n n+1n(n+k)k n n+k⑶11111<=(-)k2k2-12k-1k+11111111-=<<=-k k+1(k+1)k2k(-1)k-1kk kn (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)(n + 1)!n ! (n + 1)!裂项法求和：如求和：1 + 1 1 + 2 1 + 2 + 3 +① a n+1-a n =…… ⎨= 0如 a n = -2n 2+29n-3 ⎪< 0n +1 = ⎨= 1 (a n >0) 如 a n = ⎪< 1 ⎩ 求通项常法: （1）可利用公式: a = ⎨ ⎩S n - S n -1 n ≥ 22 22 22n n 14, n = 1n + 1 + n (n ≥ 2) ，则 a =________（答：a = n + 1 - 2 + 1） a n ＝ an －1 an －2 a⑷⑹ 2( n + 1 - n ) < 1 n< 2( n - n - 1) ⑺ a = S - S n nn -1 (n ≥ 2)⑻ C m -1 + C m = C m ⇒ C m = C m - C m -1 （理科）nnn +1nn +1n分组法求数列的和：如 a n =2n+3n 、错位相减法求和：如 a n =(2n-1)2n 、1 + + 11 +2 +3 + + n =（答：2nn + 1）、倒序相加法求和：如①求证： C 0 + 3C 1 + 5C 2 +nnn+ (2 n + 1)C n = (n + 1) 2n ；（理科）nx 2 1 1 1 7②已知 f ( x ) = ，则 f (1)+ f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) ＝___（答：）1 + x2 234 2求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：⎧> 0⎪ ⎩②a ⎪ an ⎧> 19 n (n + 1)10 n③ a n =f(n) 研究函数 f(n)的增减性如 a n =nn 2 + 156⎧S n = 1 1 n如：数列{a } 满足 n1 1 a +a + 1+ 1a= 2n + 5 ，求 a （答： a =n n{2n +1, n ≥ 2 ）（2）先猜后证（3）递推式为 an ＋1＝ a ＋f(n) (采用累加法)； a nn ＋1 ＝ a ×f(n) (采用累积法)；n如已知数列{a } 满足 a = 1 ，a - a n1nn -1 =1nn（4）构造法形如 a = kann -1+ b 、 a = kann -1+ b n （k , b 为常数）的递推数列如已知 a = 1,a = 3a1nn -1+ 2 ，求 a （答： a = 2 3n -1 - 1 ）；n n（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 2 个公式的合理运用a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ；aa a n ⋅ n －1 2a 11（ a ≠ 0）i+ 13n - 24 + 1 1 , 数列{a n }的前 n 项和为 Sn , 点 P n (a n , - a答：（1） a = 4n - 3 4n - 3 2 4n - 3 4n - 3 + 4n + 1 = >，求数列通项时注意到 n ≥ 2 了吗？一般情况是： a= ⎨ ⎩S - S 常用定理:①线面平行 b ⊂ α ⎬ ⇒ a //α ; ⎬ ⇒ a //α ; a ⊥ β ⎬ ⇒ a //α a ⊄ α⎪⎭ a ⊄ α ⎪⎭ ②线线平行: a ⊂ β ⎬ ⇒ a //b ; ⎬ ⇒ a // b ; α ⋂γ = a ⎪ ⇒ a //b ; a // b ⎫ ⇒ c // bα ⋂ β = b ⎭β ⋂γ = b ⎭③面面平行: a ⋂ b = O ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // β ; ⎬ ⇒ α // γa // β ,b // β ⎪⎭④线线垂直: a ⊥ α⎫⎬ ⇒ a ⊥ b ;所成角 90；a ⊂ α ⎪ (三垂线);逆定理?b ⊂ α ⎭α // β ⎫ α // β ;; α//β ⎫⎬ ⇒a ⊥ β ; a // b ⎫⎬ ⇒ b ⊥ αa ⋂b = O ⎬ ⇒l ⊥α α ⋂β = l ⎬ ⇒ a ⊥ β l ⊥ a,l ⊥ b ⎪⎭ a ⊂α, a ⊥ l ⎪⎭⑥面面垂直：二面角 900; a ⊂ β ⎫ a // β ⎫（6）倒数法形如 a =nan -1的递推数列都可以用倒数法求通项.ka + bn -1如①已知 a = 1,a =1n②已知数列满足 a =1， a1n -1- a = a an n n -1，求 a （答： a = n n 1 n 2），已知函数 f (x) = -x 2 a n +1)(n ∈N*)在曲线 y = f (x)上, 且 a 1 =1, a n > 0.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证: S n >2n4n + 1 + 1 (n ∈N*);(3)若数列{b n }的前 n 项和为 T n , 且满足 Tn +12 n= Tnan +12+ 16n 2 - 8n - 3 , 试确定 b 1 的值, 使得数列{b n }是等差数列.n1 12 2（2）提示： a = （3） b = 1n 1 由 a = S - Sn n n -1n ⎧ S1 n n -1 n = 1 n ≥ 252.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α 、a ∩α =A (a ⊄ α ) 、a ⊂ α③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a线//线 ⇔ 线//面 ⇔ 面//面，线⊥线 ⇔ 线⊥面 ⇔ 面⊥面.a //b ⎫ α ⊥ β⎫⎪ ⎪a ⊂ β ⎭a //α⎫ ⎫⎪ a ⊥ α⎫ ⎬ ⎬ ⎪ b ⊥ α ⎭ ⎪ a // c ⎭a ⊂ α,b ⊂ α ⎫⎪a ⊥ α ⎫ α // β ⎫ a ⊥ β ⎭ γ // β ⎭PO ⊥ α ⎫⎬ ⇒ a ⊥ P Aa ⊥ AO ⎪⎭⑤线面垂直: a ⊂α,b ⊂α⎫ α⊥β ⎫⎪ ⎪ a ⊥α⎭ a ⊥ α⎭⎬⇒ α ⊥ β ; ⎬⇒ α ⊥ β a ⊥ α ⎭ a ⊥α ⎭两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是： (0, π ] 、 [0, ] 、， 53.异面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解）范围是什么？过关题：在正方体 ABCD – A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在线段 A 1C 1 上运动，异面直线 BP 与 AD 1 所成的角为θ ，则角θ 的取值范围是 .π22[0, π ] .(3)在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？“作、证、算”三个步骤可一个都不能少啊！（理科）求空间角①异面直线所成角θ 的求法：π（1）范围： θ ∈ (0, ] ；2（2）求法：平移以及补形法、向量法.如（1）正四棱锥 P - ABCD 的所有棱长相等， E 是 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 P A 所成的角的余弦值等于____（答：3 3）；（2）在正方体 AC 1 中，M 是侧棱 DD 1 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A 1B 1 上的一点，则OP 与 AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围 [0,π2] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如（理）（1）在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，已知 AB=1，D 在棱 BB 1 上，BD=1，则 AD 与平面 AA 1C 1C所成的角正弦为______（答：64）；（2）正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 AB 、C 1D 1 的中点，则棱 A 1B 1 与截面 A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：3 3）；如（1）正方形 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，二面角 B-A 1C-A 的大小为________（答： 60 ）；（2）正四棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中对角线 BD 1＝8 BD 1与侧面 B 1BCC 1 所成的为 30°，则二面角 C 1—BD 1—B 1的正弦为______（答：6 3）；（3）从点 P 出发引三条射线 PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是 60°，则二面角 B-P A-C 的余弦值是______（答： 13）；54.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？过关题：平面α 、 β 、 γ 两两互相垂直，直线 l 与平面 α 、 β 所成的角分别为 30o 、45o ，则直线 l 与平面 γ 所成的角为 .答： 30︒; r = ; R = aa | ! （2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为；侧面与底面所成的二面角的余弦值为；正四面体的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为，它们与正四面体的高 h 之间的关系分别为、 .答：3 ; 1 ; 1 h 3h 3 3 34 4（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）55.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？过关题：一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为. 答： 3π56．平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔ 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔ 顶点在底面射影为底面垂心 ;斜高相等(侧面与底面所成相等 ) ⇔ 顶点在底面射影为底面内心 ;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ ,则 S 侧 cos θ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;57.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量在另一向量上的投影（在 b 方向上的投影是 a | cos θ =a ⋅b , θ为向量a 与 b 的夹角）一定要记住 | b |过关题：在直角坐标平面上，向量 OA = (4,1) 与 OB = (2, -3) 在直线 l 上的射影长度相等，则 l 的斜率为. 答： -12⑵ 0 和 0 是有区别的了， 0 的模是 0，它不是没有方向，而是方向不确定；0 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直.⑶ 若 a = 0 ，则 a ⋅ b = 0 ，但是由 a ⋅ b = 0 ，不能得到 a = 0 或 b = 0 ，你知道理由吗？还有： a = c 时， a ⋅ b = c ⋅ b 成立，但是由 a ⋅ b = c ⋅ b 不能得到 a = c ，即消去律不成立.58.向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形 ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则 CD =12(CA + CB) ；已知直线 AB 外一点 O ，点 C 在直线 AB 上的充要条件为 O C = tOA + (1- t )OB .（三点共线）59 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？60.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量是－ a .)、共线向量、相等向量②当 a ， b 同向时， a • b ＝ a b ，特别地， a 2= a • a = a , a = ③ | a • b |≤| a || b |.如已知 a = (λ,2λ)，b = (3λ ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是b b 或 λ > 0且 λ ≠ ）； b 1 2如（1）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) , B(-1,3) ,若点 C 满足 OC = λ OA + λ OB ,（2）在 ∆ABC 中，① PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心，特别地 P A + PB + PC = 0 ⇔ P 为e e , →a e e 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）61、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB + B C = A C ; AB - AC =CB ; a - b ≤ a ± b ≤ a + b62、向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为θ ，则：① a ⊥ b ⇔ a • b = 0 ；2 a 2 ；当 a 与 b 反向时， a • b ＝－ a b ；当θ 为锐角时， a • b ＞0，且 a 、不同向， a ⋅ b > 0 是θ 为锐角的充要条件；当θ 为钝角时， a • b ＜0，且 a 、不反向， a ⋅ b < 0 是θ 为钝角的充要条件；→ →→ →______（答： λ < -4133④向量 b 在 a 方向上的投影︱︱cos θ ＝a ⋅ ba⑤ →和 →是平面一组基底则该平面任一向量 = λ →+ λ →( λ , λ 唯一)121 12 212特别： OP ＝ λ OA + λ OB 则 λ + λ = 1 是三点 P 、A 、B 共线的充要条件，向量基本定理是什么？12−−→ −−→ −−→12其中 λ , λ ∈ R 且 λ + λ = 1,则点 C 的轨迹是___（答：直线 AB ）1 2123∆ABC 的重心；② P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ⇔ P 为 ∆ABC 的垂心；③向量 λ ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；| AB | | AC |如：（1）若 O 是 △ABC 所在平面内一点，且满足 OB - OC = OB + OC - 2OA ，则 ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若 D 为 ∆ABC 的边 BC 的中点，∆ABC 所在平面内有一点 P ，满足 P A + BP + CP = 0 ，设 | AP | | PD |= λ ，则 λ 的值为___（答：2）；（3）若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA + OB + CO = 0 ，则 △ABC 的内角 C 为__（答：120 ）；63.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式记住了吗？直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？。

【精品练】高中数学必做100题—回归必修3_20200219080934

【精品练】高中数学必做100题—回归必修3时量：60分钟班级：姓名：计分：（说明：《必修3》共精选8题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修3》精选）1.设计一个算法求22221299100++⋅⋅⋅++的值，并画出程序框图.（◎P 202）2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.（☆P 15例3）寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400h 以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h 以上的在总体中占的比例.3.假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：（☆P 228）x 23456y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：1221,ni ii nii x y nxyb a y bx xnx==-==--∑∑）4.在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.5.（08年广东卷.文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373x y 男生377370z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.6.（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率.7.（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的合等于（A ）3（B ）3.5（C ）4（D ）4.58.5、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.c >xB.x >cC.c >bD.b >c是否开始输入x=a b>x 输出x 结束x=bx=c 否是。

高三数学高考回归课本100个问题(71-80)

2010届高考数学回归课本100个问题（71-80）71、直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B) 72、两直线平行和垂直的判定 73、l 1到l 2的角tan θ=12121k k k k +-;夹角tan θ=|12121k k k k +-|;点线距d=2200||B A C By Ax +++;74、圆:标准方程(x －a)2+(y －b)2=r 2;一般方程:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 参数方程:⎩⎨⎧+=+=θθsin r b y cos r a x ;直径式方程(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=075、把两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+C 1=0与x 2+y 2+D 2x+E 2y+C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C 2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f 1(x,y)=0与曲线f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=076、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 77、过圆x 2+y 2=r 2上点P(x 0,y 0)的切线为:x 0x+y 0y=r 2;过圆x 2+y 2=r 2外点P(x 0,y 0)作切线后切点弦方程:x 0x+y 0y=r 2; 过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴. 78、椭圆①方程1b y ax 2222=+(a>b>0);参数方程⎩⎨⎧==θθsin b y cos a x②定义:相应d |P F |=e<1; |PF 1|+|PF 2|=2a>2c③e=22ab 1ac -=,a 2=b 2+c 2④长轴长为2a ，短轴长为2b⑤焦半径左PF 1=a+ex,右PF 2=a-ex;左焦点弦)x x (e a 2AB B A ++=,右焦点弦)x x (e a 2AB B A +-=⑥准线x=ca 2±、通径(最短焦点弦)a b 22,焦准距p=cb 2⑦21F PF S ∆=2tan b 2θ,当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大,近地a-c 远地a+c; 79、双曲线 ①方程1b y a x 2222=-(a,b>0)②定义:相应d |P F |=e>1;||PF 1|-|PF 2||=2a<2c③e=22ab 1ac +=,c 2=a 2+b 2④四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=c a 2±、通径(最短焦点弦)a b 22,焦准距p=cb 2⑦21F PF S ∆=2cot b 2θ⑧渐进线0by a x 2222=-或x a b y ±=;焦点到渐进线距离为b;80、抛物线 ①方程y 2=2px ②定义:|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴？焦点F(2p ,0),准线x=-2p , ④焦半径2px AF A +=;焦点弦AB ＝x 1+x 2+p;y 1y 2=－p 2,x 1x 2=42p 其中A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)⑤通径2p,焦准距p;。

高考数学回归课本100个问题

求 f ( x ) 的解析式答
f ( x ) = −3 x −
以 ,真子集个数
古问如满足 {1, 2} ⊂ ≠ M ⊆ {1, 2,3, 4,5} 集合 ≤ 有______
B)称件②∪ 件②B问cardⅢ∪ B)称?
∪ B称∪ ⇔ ∪
B称B ⇔ ∪ ⊆ B ⇔ 件②B ⊆ 件②∪ ⇔ ∪ 件②B称 ∅ ⇔ 件②∪ B称② 否命题是 ¬p ⇒ ¬q
注意命题 p ⇒ q 的否定它的否命题的区别闭命题 p ⇒ q 的否定是 p ⇒ ¬q p 且 q 的否定是 ┐P 或┐Q
古～. 函数闭函数存在函数的条一一映射域非单元素集的偶函数无
-古 -古
奇函数若有函数则函数是奇函数周期函数定 ∪,值域 B,则
函数互
函数的两函数相同单调性 fⅢ末)定域
f与f Ⅲ末)]称末Ⅲ末∈B),f 与fⅢ末)]称末Ⅲ末∈∪). 原函数定域是函数的值域,原函数值域是函数的定域题型方法总结古8 古9 古顶点式判定相同函数闭定域相同且对法则相同求函数解析式的常用方法定系数法――已知所求函数的类型次函数的表达形式有种一般式
高考数学回
古区集合中元素的形式如
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古口口个
域
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{x | y = lg x}里函数的定
的点集
{y | y = lg x}里函数的值域
( x, y) | y = lg x}里函数图象 {
以在用条 ∪ B
⇔∪ B
n
⇔
时易忽略以
n
是空集Φ的情况
左含 n 个元素的集合的子集个数个巧 5 ｝件②Ⅲ∪ 答～ B)称件②∪ 件②B问件②Ⅲ∪

高考数学回归课本的100个问题

高考数学回归课本的100个问题1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。

2．在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．3，含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为2n －1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7） 4、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=? 5、A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B=∅⇔C U A ∪B=U6、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝；命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q ” 7、指数式、对数式：mnmna a =，1m nm naa -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。

8、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a ≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;9、反比例函数:)0x (xc y ≠=平移⇒bx ca y -+=(中心为(b,a)) 10、对勾函数xa x y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a递减，在时)0,[],0(,0a a a -> 递增，在),a [],a (+∞--∞11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．12．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()f b a f a b -=⇔= 13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

高三数学高考回归课本100个问题(91-100)

2010届高考数学回归课本100个问题（91-100）91、主要解题方法：①优先法②捆绑法③插空法④间接扣除法⑤隔板法⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题)92、二项式定理n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(特别地：(1+x)n =1+C n 1x+C n 2x 2+…+C n r x r +…+C n n x n93、二项展开式通项: T r+1= C n r a n －r b r ;作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

要注意区别二项式系数与项的系数；94、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.C n m =C n n －m②中间项二项式系数最大:n 为偶数,中间一项;若n 为奇数,中间两项(哪项?)③二项式系数和;2;213120210-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C95、f(x)=(ax+b)n 展开各项系数和为f(1); 奇次项系数和为)]1()1([21--f f ; 偶次项系数和为)]1()1([21-+f f ;n by ax )(+展开各项系数和,令1==y x 可得.96、随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n 互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B) 独立事件(事件A 、B 的发生互不影响):P(A •B)＝P(A)·P(B) 独立事件重复试验：:P n (K)=C n k p k (1-p)n-k 为A 在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率。

97、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点：每个个体被抽到的概率都相等n N。

高考数学100问

高考数学100问1．若某集合有n个元素，它的子集个数是多少？知道容斥定理吗？2．求子集时，要注意空集；求补集时，要注意什么？怎样巧妙地应用Venn图解题？3．知道集合子、交、并运算的等价形式和德"摩根公式吗？4．知道逻辑联结词或、且、非和集合运算并、交、补之间的对应关系吗？知道充要条件和四种命题吗？知道否命题与否定命题之间的区别吗？5．“若P，则Q”是复合命题吗？其否定命题是什么形式？ 6．求一个函数的解析式、反函数、奇偶性、单调性、最值以及作图等问题时，你注意到该函数的定义域了吗？并且定义域和值域通常要表示成什么形式？7．知道二次函数的三种表达形式吗？8．知道下述特殊与一般的方法及应用吗？；或（其中a是常数，A是的定义域）.9．函数的单调性具有区间的可加性吗？10．奇（偶）函数在对称区间上的单调性如何？11．知道复合函数单调性的判断方法吗？ 12．判断一个函数的奇偶性有哪些基本方法？判断函数奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？13．是为奇函数的什么条件？解题时如何利用这个条件？14．你知道函数的图像（方程曲线）的三种基本变换吗？写出几个表示函数图像对称变换的表达式．15．知道函数本身的对称性与两个函数图像具有对称性的区别吗？知道关系式与的区别吗？16. 知道常见组合函数如的基本性质吗？17. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？字母底数通常还需分别讨论.18. 知道判断对数符号的快捷方法吗？19．知道对数换底公式及推论吗？对数恒等式呢？20. 判断“实系数方程有实数解”，你是否注意到；当a=0时，“方程有解”不能转化为．即若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？21．何为“三个二次”问题？22．能分别找出一个与下列抽象函数性质对应的具体函数吗？对于函数定义域中任意的或x分别有如下结论：；；；（4）（5）；（6）；（7）；（8） .23. 解三角问题时，注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？ 24．在三角函数中，命题成立吗？25．什么叫弦函数的“五点作图法”？常见的三角函数图像变换有哪些？图像伸缩与平移变换的顺序有何关系？26．三角函数的基本性质有哪些？27. 在三角函数中，你知道1的代换吗？28. 三角函数化简求值的通性通法有哪些？29. 了解弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？30．记忆三角函数诱导公式的口诀是什么？31．知道关于正弦和余弦函数的线性表达式及其应用吗？ 32. 是否知道下面各种角的定义和取值范围？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；②直线的倾斜角；③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围；④两个向量所成角．33．如何利用单位圆求已知角的半角？三分之一角等；如何利用单位圆解三角不等式？34．知道正弦定理和余弦定理以及相应结论吗？35. 有理不等式的一般解题思路是什么？会用序轴法（波浪线法）解有理不等式吗？36. 解简单的指对数不等式应该注意什么问题？37．如何利用绝对值的几何意义来解绝对值不等式？一般的绝对值不等式的解法有哪些？38. 利用均值不等式以及变式求函数的最值时，你是否注意到“正、定、等”的条件？柯西不等式等号成立的条件是什么？39. 解含参数的有理不等式时，怎样进行分类讨论？40．常见的证明方法有哪些？41. 等差或等比数列常见判断的方法有几种？ 42．等差数列的基本性质有哪些？43．等比数列的基本性质有哪些？注意到等差与等比数列的对偶性质吗？*44．怎样由二元线性递推关系求数列的通项？45．注意到数列与函数之间的关系吗？怎样应用？46. 是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论？47. 由前n项和求数列的通项公式时，注意到需讨论吗？ 48. 知道数列求和的常用方法吗？49. 知道求数列通项的常用方法吗？50．数学归纳法的主要步骤有哪些？51. 解排列组合问题的依据是什么？ 52. 解排列组合问题的规律是什么？53. 知道排列数与组合数公式吗？组合数的两个性质呢？54．知道二项展开式的推导方法吗？二项式系数的两个性质又是怎样得到的？二项式系数与项的系数有何区别?55. 画三视图的要点是什么？会用斜二侧（或正等侧）画法画出一些简单的空间图形吗？56．作出二面角平面角的主要方法有哪些？ 57．求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角的主要方法有哪些？*58. 求点到面的距离的常用方法有哪些？异面直线上两点间的距离公式的几何模型是什么？59. 求不规则多面体体积的方法有哪些？60. 应用三垂线定理的关键是什么？61．能分别找出使得公式和成立的一个几何模型吗？62．三棱锥分别满足什么条件时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心、垂心、内心？63．球、正四面体、正方体（长方体）三者有何关系？64．什么是球面上两点的球面距离？怎样计算球面距离？65．三维与二维空间问题的相互转化？66．应用平面向量判断向量（或直线）平行（共线）或垂直的基本方法有哪些？应用空间向量判断线面或面面平行（或垂直）的基本方法有哪些？67．两个非零不共线的向量加、减法的几何意义是什么？三个不共面的向量加法的几何意义是什么？向量数量积的几何意义是什么？68．平面（空间）向量的基本定理是什么？如何运用它来解题？69．知道直线方程的五种形式吗？若设直线方程，涉及到斜率k时，你是否注意到斜率k不存在的情况需单独讨论？70．曲线或直线（在坐标轴上）的截距表示距离吗？71. 定比分点（三点或向量共线）的坐标公式是什么？如何应用？ 72. 如何用直线的方程判断平面上两条直线的位置关系？如何判断某点在已知直线的哪一侧？73. 解线性规划的步骤有哪些？要注意什么？解法有哪些拓展？74. 判断直线与圆的位置关系有哪些方法？75. 判断圆与圆的位置关系有什么方法？*如何求两个圆的根轴方程？*76. 知道直线系方程、圆系方程、曲线系方程及其应用吗？ 77. 会用圆锥曲线的定义解题吗？*78. 知道圆锥曲线中a，b，c，p，e，的几何意义吗？ 79．离心率的大小与曲线的形状有何关系？等轴双曲线的离心率是多少？*80．了解圆锥曲线的焦半径公式并会应用吗？81. 用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程求解中要注意什么？82. 在椭圆中，注意到焦点、中心、短轴端点所组成的基础三角形（a，b，c）吗？双曲线和抛物线呢？83. 了解圆锥曲线的光学性质吗？84．若 (其中 )是抛物线的焦点弦，你知道哪些基本的结论？85．知道圆锥曲线的弦长公式吗？86．你能举出几种求曲线轨迹方程的基本方法？87．到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹是什么？88．何谓解析几何中的“点差法”？如何应用？89．知道超几何分布吗？了解二项分布的期望与方差吗？90．知道互斥与独立事件的概率加法与乘法公式吗？知道事件A在n次独立重复实验中发生k次的概率公式吗？91．知道几何概型与古典概型的联系和区别吗？92．知道离散性随机变量的分布列、期望、方差和标准差吗？93．了解正态分布的密度函数吗？94．导数的基本公式有几个？知道四则运算与复合函数的求导法则吗？95．导数的基本应用有哪些？96．过曲线C上一点P作曲线C的切线与以P为切点作曲线C的切线有何区别？97．利用导数判断函数的单调性时，导数为零的点是否考虑？单调区间的端点是否一定要写上？98．常用的抽样方法有哪些？如何列出频率分布表和频率分布直方图？99．了解复数的代数形式以及四则运算法则吗？知道两个复数相等的充要条件吗？了解复数的模以及共轭复数的有关性质吗？100．算法的基本逻辑结构和程序框图的结构有几种？。

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T 2| a b|；
（2）函数 f ( x) 满足 f x f a x ( a 0) ，则 f ( x) 是周期为 a 的周期函数”：①函数 f ( x) 满足
f x f a x ，则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数；②若 f ( x a )
1 2 x 2x 4 2
④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 9、反比例函数: y 10、对勾函数 y x
c c ( x 0) 平移 y a (中心为(b,a)) xb x
a 是奇函数, a 0时, 在区间(， 0), (0， )上为增函数 a 0时, 在(0，a ],[ a ,0)递减 x
函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）反比例函数: y
c c ( x 0) 平移 y a (中心为(b,a)) xb x
17.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为 A,值域为 B,则 f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。题型方法总结 18Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 19Ⅱ求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： f ( x) ax bx c
8、二次函数 ①三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点 f(x)=a(x-h)2+k;零点式 f(x)=a(x-x1)(xx2)(轴?);b=0 偶函数; ③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数 y 的定义域、值域都是闭区间 [ 2,2b] ，则 b ＝（答：2）
高考数学回归课本 100 个问题
1．区分集合中元素的形式：如： { x | y = lg x} —函数的定义域； { y | y = lg x} —函数的值域；
{( x, y ) | y = lg x} —函数图象上的点集。
2．在应用条件 A∪B＝Ｂ A∩B＝ＡＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况． 3，含 n 个元素的集合的子集个数为 2n,真子集个数为 2n－1;如满足 {1, 2} M {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有 ______个。（答：7） 4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=? 5、A∩B=A A∪B=B A B CUB CUA A∩CUB= CUA∪B=U 6、注意命题 p q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p q 的否定是 p q ；否命题是 p q ；命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q” ， “p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q” 7、指数式、对数式：
。（答：
f ( x)
1 2 x 2x 1） 2
（2）代换（配凑）法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式，求 f ( x) 的表达式。如（1）已知；（2）若 f (1 cos x) sin 2 x, 求 f x 2 的解析式（答： f ( x 2 ) x 4 2 x 2 , x [ 2, 2] ）
1 (a 0) 恒成立，则 T 2a . f ( x)
1 (a x a )
16、函数的对称性。①满足条件 f x a f b x 的函数的图象关于直线 x
ab 对称。（2）证明 2
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1 1 ；（3）若函数 f ( x) 是定义在 R 上的 f ( x ) x 2 2 ，则函数 f ( x 1) =_____（答： x 2 2 x 3 ） x x
奇函数，且当 x (0,) 时， f ( x) x(1 3 x ) ，那么当 x (,0) 时， f ( x) =________（答：
2
；顶点式： f ( x) a ( x m) n ；零点式： f ( x) a ( x x1 )( x x2 ) ）。如已知 f ( x) 为二次函数，且
2
f ( x 2) f ( x 2) ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式
a n n am ， a
m
m n
0 ，， a 1 ， log a 1 0 ， log a a 1 ， lg 2 lg 5 1 ， log e x ln x ， 1 m an
a b N log a N b(a 0, a 1, N 0) ， a loga N N 。
在(， a ],[ a ,)递增
11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域． 12．函数与其反函数之间的一个有用的结论： f
1
(b) a f (a ) b
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13 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示． 14、奇偶性：f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 15、周期性。 ①若 y f ( x) 图像有两条对称轴 x a, x b( a b) ，则 y f ( x) 必是周期函数，且一周期为