苏教版数学高二- 选修1-1学案 平均变化率
苏教版高中数学高二选修1-1练习平均变化率
§3.1 导数的概念3．1.1 平均变化率一、基础过关1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________．2．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．3．函数y ＝1在[2,5]上的平均变化率是________．4．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．5．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为________．6．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.二、能力提升7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快．8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x中，平均变化率最大的是________．10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小． 11．一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．12．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3. (1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？答案1．－12．13．04．4.15．2.16．2.17．乙8．29．③10．解 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π； 在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3<1，∴3π>3(2－3)π. ∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大． 11．解 设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量为ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，因此ΔS Δt＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt . 所以铁板面积对温度的膨胀率为200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt . 12．解 (1)∵V ＝43πr 3， ∴r 3＝3V 4π，r ＝33V 4π，∴r (V )＝33V 4π. (2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)， 函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)2－1＝33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)． 显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．13．解 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1课时训练 平均变化率
3.1.1 平均变化率一、填空题1．函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，从t ＝0到t ＝0.5变化过程中，自变量增量是________．2．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是________(填序号)．3．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P (1，14)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q的坐标为________．4．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义是指函数y ＝f (x )图象上两点，P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线的________．5．已知函数y ＝2x 3＋1，当x ＝2时，Δy Δx＝________.6．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于________． 7．已知f (x )＝x 2＋2，则f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率为________．8．一棵树2009年1月1日高度为4.5米，2010年1月1日高度为4.98米，则这棵树2009年高度的月平均变化率是________．9．函数y ＝x 3在x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值是________．二、解答题10．求y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率．11．一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间x (单位：s)的函数y ＝f (x )＝3x ，计算x ∈[2,2＋Δx ]内y 的平均变化率．12．已知自由下落物体的运动的方程为S ＝12gt 2(S 单位：m ，t 单位：s)．求：(1)自由下落物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ； (2)自由下落物体在t ＝10 s 到t ＝10.1 s 这段时间内的平均速度． 答案1 解析：自变量增量是0.5－0＝0.5.答案：0.52 解析：先求出各个函数在Δx ＝0.3时的平均变化率，再比较大小． 答案：③3 解析：曲线上在点P (1，14)附近的Q 的横坐标为1＋Δx ，则其纵坐标为14＋Δy ＝14(1＋Δx )2.答案：(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2)4 解析：由平均变化率定义及直线斜率定义可得结果． 答案： 斜率5 解析：Δy ＝2(2＋Δx )3＋1－(2×23＋1) ＝2(Δx )3＋12(Δx )2＋24Δx ， ∴Δy Δx＝2(Δx )2＋12Δx ＋24. 答案：2(Δx )2＋12Δx ＋246 解析：由于Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2－4)＝2(1＋Δx )2－2＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx ＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx 7 解析：由定义知f 1.1－f 11.1－1＝1.12＋2－12＋20.1＝2.1.答案：2.18解析：月平均变化率为4.98－4.512＝0.04(米/月)．答案：0.04米/月9解析：f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝x 0＋Δx 3－x 30Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋Δx 2，∴当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋(12)2＝194.答案：19410解：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为y 2－y 1Δx＝－2＋Δx2－2－2＋Δx ＋1－[－22＋4＋1]Δx＝Δx －6.11 解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3(2＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为f 2＋Δx －f 22＋Δx －2＝32＋Δx －3×2Δx ＝3ΔxΔx＝3(m 3/s)．即x ∈[2,2＋Δx ]时水管中流过的水量y 的平均变化率为3 m 3/s.12 解：(1)当t 由t 0取得一个改变量Δt 时，S 取得相应改变量为ΔS ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20＝gt 0(Δt )＋12g (Δt )2，因此，在t 0到t 0＋Δt 这段时间内，自由下落物体的平均速度为：v ＝ΔS Δt＝gt 0Δt ＋12g Δt2Δt＝g (t 0＋12Δt )．(2)当t 0＝10 s ，Δt ＝0.1 s 时，由(1)得平均速度为v ＝g (10＋12×0.1)＝10.05 g (m/s)．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.1.1 平均变化率》18
课题：平均变化率江阴市华士高级中学 孟勇教学目标：知识与技能：1．理解并掌握平均变化率的概念,会求函数在指定区间上的平均变化率,能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；过程与方法：通过从实际生活背景中引出数学模型的过程来引入平均变化率，学会数学抽象思维，注重数形结合的思想方法；情感意志和价值观：1培养学生分析问题、归纳综合的能力；2通过数学文化的渗透，激发学习热情，培养优秀的数学学习品质 教学重点：平均变化率的概念、平均变化率的实际意义和数学意义 教学难点：理解平均变化率的概念及其实际意义 教学过程： 一、引言只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动。
------恩格斯 二、情景引入1江阴10月问题1：10月24日，11月22日最高气温分别是___________设计意图：引导学生读懂表格信息，为下面的问题做准备。
问题2：A 、B 、C 三段气温变化有什么共同特点？ 问题3：A 、B 、C 三轮降温哪一轮更容易感冒？ 问题4：A 、C 比较呢？设计意图：通过问题串，引导学生从时间增量、温度增量两个方面比较三段降温人体的感觉，认识错误!的实际意义：单位时间内温度的变化量。
22 “数缺形时少直观，形离数时难入微” ---华罗庚设计意图：（1）两个引例都来自于生活，分别代表了函数的两种表现形式：列表法、图像法。
（2）让学生理解平均变化率的实际意义，平均变化率是从具体的模型中抽象出来的一个概念，在具体的问题中它的意义会更具体化，比如引例1中即为：“单位时间内的温度变化量”，引例2中即为：“单位长度内高度的变化量”，还有在平均速率中为“单位时间内路程的变化量”三、构建新知：从“单位时间内的温度变化量”， “单位长度内高度的变化量”， “单位时间内路程的变化量”这些概念，抽象出“平均变化率”的概念四、数学应用例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率问题5：从视觉角度，AB ，BC 两段曲线有什么区别？问题6：如何量化陡峭程度呢？ 数学思想方法总结： 1直线斜率近似量化曲线的陡峭程度 ------以直代曲2平均变化率是曲线的陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” ------数形结合设计意图：让学生了解比较变化的过程可以从两个方面，“数”与“形”例2、已知函数f=21, 分别计算f在区间[-3 , -1] , [0 , 5]上的平均变化率口答：1已知函数g=-2 ,分别计算g在区间[-3 , -1] , [0 , 5]上的平均变化率2已知函数f=21, g=-2，计算在区间[m , n]上f及g的平均变化率思考：=b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？结论:一次函数=b在区间[m,n]上的平均变化率为斜率设计意图：巩固平均变化率的公式，提炼数学思想：特殊到一般数学文化链接：哥德巴赫猜想例3、已知函数f=2,分别计算f在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，]；（4）[1，]变式：（5）[，1]；（6）[，1]；（7）[，1]设计意图：深化平均变化率公式的运用，引导学生发现规律，为下一节课瞬时变化率、导数的学习做好铺垫五、深化理解思考：平均变化率相等，曲线陡峭程度一定相同吗？结论：用平均变化率来量化曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的。
苏教版数学高二-选修1-1课时作业 平均变化率
第3章导数及其应用§3.1导数的概念3.1.1平均变化率课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率；②在x0处的变化率；③在x1处的变化率；④以上都不对．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________.4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.第3章 导数及其应用 §3.1 导数的概念 3．1.1 平均变化率知识梳理 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比． 所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt. 5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.6．0.41 7．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1.9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝ΔyΔx ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为 f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2.∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.。
苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练 平均变化率
1．函数f(x)＝x＋1x在区间[12，1]上的平均变化率是________．解析：f(1)－f(12)1－12＝－1.答案：－12．函数f(x)＝x2＋1在区间[－1,1]上的平均变化率为________．解析：函数f(x)＝x2＋1在区间[－1,1]上的平均变化率为f(1)－f(－1)1－(－1)＝2－22＝0.答案：03．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于________．解析：函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．答案：f(x0＋Δx)－f(x0)4．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．解析：v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.答案：4.1一、填空题1．函数f(x)＝ln x在区间[1e2，1e]上的平均变化率为________．解析：函数f(x)＝ln x在区间[1e2，1e]上的平均变化率为f(1e)－f(1e2)1e－1e2＝ln1e－ln1e2e－1e2＝e2e－1(－1＋2)＝e2e－1.答案：e2e－12．函数y＝2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率是________．解析：∵Δy＝2(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋2(Δx)2，变化率为ΔyΔx＝8＋2Δx.答案：8＋2Δx3．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．解析：由图可知，第二年婴儿体重的平均变化率为： 14.25－11.2524－12＝312＝0.25(千克/月)． 答案：0.254．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于________．解析：Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1Δx ＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx 5．某市一天12 h 内的气温变化图如图所示，则温度在[0,4]内的平均变化率为________．解析：由图知，温度在[0,4]由－1变化到－2，故温度在[0,4]的平均变化率为－2－(－1)4－0＝－14.答案：－146．如图所示，物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．解析：在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故①②错误；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故③正确，④错误． 答案：③7．已知质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点在区间[1,2]上的平均速度为6 m/s ，则常数a ＝________.解析：该质点在区间[1,2]上的平均速度，就是该质点在区间[1,2]上位移的平均变化率， ∴s (2)－s (1)2－1＝(a ×22＋1)－(a ×12＋1)1＝3a .由题意知，3a ＝6，∴a ＝2. 答案：28．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为________．解析：点P 附近一点的横坐标为1＋Δx ，其纵坐标为f (1＋Δx )＝14(1＋Δx )2，∴Q ⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(1＋Δx )2. 答案：⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(1＋Δx )2 二、解答题9．求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．10．试比较余弦函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤π3，π2的平均变化率哪一个较大？ 解：函数y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的平均变化率为 k 1＝Δy 1Δx 1＝f ⎝⎛⎭⎫π3－f (0)π3－0＝cos π3－cos0π3－0＝－32π；在⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率为k 2＝Δy 2Δx 2＝f ⎝⎛⎭⎫π2－f ⎝⎛⎭⎫π3π2－π3＝cos π2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1>k 2，∴y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的平均变化率大． 11．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)84 m/min ＝1.4 m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14，f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72，所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.。
3.1.1《平均变化率》教案(苏教版选修1-1)
课时 1：均匀变化率教课目的：（一）知识目标1 ．感觉均匀变化率宽泛存在于平时生活之中，经历运用数学描绘和刻画现实世界的过程，领会数学的广博精湛以及学习数学的意义。
2 ．理解均匀变化率的意义，为后续成立刹时变化率和导数的数学模型供给丰富的背景。
（二）能力目标领会均匀变化率的思想及内涵（三）感情态度与价值观使学生拥有豪迈的科学态度，相互合作的风格，勇于研究，踊跃思虑的学习精神教课要点：均匀变化率的实质意义与数学意义教课难点：对生活现象作出数学解说教课过程：一．问题情境（ 1）情境某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移时间图象如下图：（ 2）问题 1：“从 A 到 B 的位移是多少？从 B 到 C 的位移是多少？”问题 2：“ AB 段与 BC 段哪一段速度较快？”二．师生活动（1）速度快慢是生活用语，如何将它数学化？（2）曲线上 BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（ 3）由点 B 上涨到 C 点一定观察y C y B的大小，但仅注意到y C y B的大小可否精确量化 BC 段峻峭的程度？为何？（ 4）在观察y C y B的同时一定观察x C x B，函数的实质在于一个量的改变自己就隐含着这类改变必然相关于另一个量的改变而言。
三．建构数学（ 1）经过比较位移在区间1,32 上的均匀变化率0.5 与位移在区间32,34上的均匀变化率 7.4 ，感知曲线峻峭程度的量化。
（ 2）一般地，给出函数f x2f x1 f x 在区间 x1 , x2上的均匀变化率x2x1（ 3）回到位移曲线图中，从数和形双方面对均匀变化率进行意义建构（ 4）用均匀变化率来量化一段曲线的峻峭程度是“粗拙不精准的”，但应注意当 x2 x1很小时，这类量化便由“粗拙”强迫“精准”。
四．讲堂练习学生议论 P57 练习 1，发布看法。
教师补例：甲、乙两汽车，速度从判两车的性能？0km / h 分别加快到100k / h 和 80k / h ，如何评五．数学应用例 1． P56 页例 1、例 2，并注意小结（1）如何解说例 1 中从出生到第 3 个月，婴儿体重均匀变化率为1（kg /月）？（2）例 1 中两个不一样的均匀变化率的实质意义是什么？（3）例 2 中V t5e 0.1t是一个随时间变化而变化的量，0.316（cm3/ s ）是否表示 10 秒内每一时辰容器甲中水的体积V 减少的速度？例 2． P57 页例 3、例 4，并注意小结（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例 2 的深入（2）例 3 中四个区间的变化致使均匀变化率有如何的变化？这类变化的实质意义和数学意义分别是什么？（3）例 4 讲完后应让学生当堂回答课本中的思虑。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.1.1 平均变化率》0
2、函数在区间上的平均变化率为___________,平均变化率是曲线陡峭程度的“__________〞；而曲线陡峭程度是平均变化率的“__________〞
探究互动
引例:如图
例2水经过虹吸管沉着器甲中流向容器乙，t后容器甲中水的体积〔单位：〕，计算第一个10内V的平均变化率
例3函数，分别计算在以下区间上的平均变化率：
〔1〕[1，3]；〔2〕[1，2]；〔3〕[1，]；堂检测
1、小远从出生到第12个月的体重变化如以下图，比拟从出生到第3个月与第6个月到第12个月小远体重变化的快慢，重量W单位:g
盐阜中学高二年级数学学科学案
初备人：汤爱民 二稿审核人：姚东盐总37课时 2021年1月6日
课题
平均变化率
课型
新授课
课时
1
教学目标
1.通过实例分析，了解并掌握平均变化率的概念；
2.会求函数在指定区间上的平均变化率
教学重难点
平均变化率的意义
学习过程
备注
预习引导
1、函数的定义:_____________________________________________________;
问题1：AB段和BC段气温变化情况如何？从图像上看有何特征？
问题2：图中的图像能否称为函数图像？
问题3：如何“量化〞〔数学化〕曲线上升的陡峭程度？
新知：1、平均变化率的定义:
2、平均变化率的几何意义:
例题分析
例1函数，，分别计算在区间[-3，-1]，
[0，5]上及的平均变化率
思考：一次函数在区间上平均变化率有什么特点？
2019-2020年高中数学 第三章 第1课 平均变化率教学案 苏教版选修1-1
2019-2020年高中数学 第三章 第1课 平均变化率教学案 苏教版选修1-1班级：高二（ ）班 姓名：____________教学目标：1.通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2.通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3.培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s ．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察的大小，但仅注意到的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察的同时必须考察．（3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线倾斜程度？二、建构数学1．一般地，函数在区间上的平均变化率为．注意：平均变化率不能脱离区间而言．s2．平均变化率是曲线陡峭程度“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．思考：（1）若设，即将看作是对于的一个增量, ，则在平均变化率为xxfxxfxyxxxfxf∆-∆+=∆∆=--)()()()(111212．（2）在平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线斜率．三、数学运用例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？问题（2）本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？讲评在不同的区间上平均变化率可能不同．例2水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，s后容器甲中的水的体积（单位：），试计算第一个内的平均变化率．例3已知函数xxgxxf2)(,12)(-=+=，分别计算在区间上，函数及的平均变化率．问题你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评一次函数在区间上的平均变化率等于它的斜率．例4已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：① ② ③ ④【巩固练习】1．函数y ＝f(x)的平均变化率的几何意义是指函数y ＝f(x)图象上两点，P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线的 ．2.在曲线上取点及它的附近点，那么为班级：高二（ ）班 姓名：____________1．某物体位移公式为s ＝s(t)，从t0至t0＋Δt 这段时间内，下列说法正确的有________．①(t0＋Δt)－t0称为函数增量； ②t0即为函数增量③Δs ＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数增量； ④Δs Δt 称为函数增量2.设函数，当自变量由到时，函数的改变量 。
2019-2020年苏教版高中数学选修2-2 1-1-1 平均变化率 教案1
2019-2020年苏教版高中数学选修2-2 1-1-1 平均变化率 教案1教学目标：了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵；理解平均变化率的意义，掌握平均变化率的求法。
教学过程：一. 情境引入：现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？二.新课导学：1．过点，的直线的斜率为 ，其反映了直线的倾斜程度。
2．平均变化率：一般地，函数在区间上上的平均变化率为注:平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．三.应用举例：t (d) 20 30 34 0 2 10例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
例2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位：），试计算第一个10s 内V 的平均变化率。
例3.已知函数，分别计算函数在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
例4.已知函数，分别计算函数及在区间上的平均变化率。
6 3 9 1211t/月 甲 乙注意：在区间上的平均变化率有什么特点？作业：班级姓名学号1.已知函数，分别计算函数在下列区间上的平均变化率。
（1）[-1，2]；（2）[-1，1]；（3）[-1，-0.9]；2.已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[0.9，1]；（2）[0.99，1]；（3）[0.999，1].3.求函数在上的的平均变化率。
2019-2020年高二数学选修1-1平均变化率教案 苏教版
2019-2020年高二数学选修1-1平均变化率教案苏教版教学目标：（一）知识目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（二）能力目标体会平均变化率的思想及内涵（三）情感态度与价值观使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义教学难点：对生活现象作出数学解释教学过程：一．问题情境（1）情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：（2）问题1：“从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？”问题2：“AB段与BC段哪一段速度较快？”二．师生活动（1）速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？（2）曲线上BC之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（3）由点B上升到C点必须考察的大小，但仅注意到的大小能否精确量化BC段陡峭的程度？为什么？（4）在考察的同时必须考察，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。
三．建构数学（1）通过比较位移在区间上的平均变化率与位移在区间上的平均变化率，感知曲线陡峭程度的量化。
（2）一般地，给出函数在区间上的平均变化率（3）回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构（4）用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当很小时，这种量化便由“粗糙”逼迫“精确”。
四．课堂练习学生讨论P57练习1，发表见解。
教师补例：甲、乙两汽车，速度从分别加速到和，如何评判两车的性能？五．数学应用例1．P56页例1、例2，并注意小结（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？（3）例2中是一个随时间变化而变化的量，（）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度？例2．P57页例3、例4，并注意小结（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化（2）例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？（3）例4讲完后应让学生当堂回答课本中的思考。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.1.1 平均变化率》4
平均变化率【学习目标】通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；【学习重点】会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．【学习难点】对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．【问题情境】1某市2021年3月18日到4月202134天）的气温变化曲线图：观察图象，回答问题：问题1 在 [1,32]，[32,34]两个时间段内气温变化较大的是哪个？气温变化较快的是哪个？为什么？ 问题2 如何量化气温在某时间段内变化的快慢程度呢？【建构数学】一般地，函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为_______________．注意：（1）平均变化率不能脱离区间而言．（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．（3）平均变化率的几何意义：【数学运用】例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月20 30 34 0 2 10该婴儿体重的平均变化率．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t 后容器甲中的水的体积Vt=5×（单位：），试计算第一个10内V 的平均变化率．例3已知函数2()f x x ，分别计算函数在下列区间上的平均变化率：（1） [1，3]（2） [1，2]（3） [1，]（4） [1,]乙t/月例4 已知函数()21()2f x x g x x =+=-，，分别计算()f x 及()g x 在区间[3,1][0,5]--，上的平均变化率．【课堂练习】1、课本第69页 练习1，2，52、填空（1）函数()31f x x =-在[2,1]--上的平均变化率为_________________（2）已知函数2()f x x x =-+在区间[1,]a 上的平均变化率为-3，则a =____________【课堂小结】【课后反思】。
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版选修1-1学案：3-1-1 平均变化率
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版选修1-1学案：3-1-1 平均变化率．1.1平均变化率学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率(重点).2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义(难点).3.了解平均变化率的正负(易混点)．知识点一函数的平均变化率在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π.思考1当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？思考2当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？梳理一般地，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________，其中________________是函数值的改变量．知识点二平均变化率的意义思考如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？梳理 平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率ΔyΔx＝________________为割线AB 的斜率．类型一 求函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； ②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx. (2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．类型二平均变化率的应用例2在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．反思与感悟(1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．跟踪训练22012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月至2013年2月间，与从2013年1月至2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？1．若函数f(x)＝x2的图象上存在点P(1,1)及邻近的点Q(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx的值为________．2．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．5．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．提醒：完成作业第3章§3.1 3.1.1答案精析问题导学 知识点一思考1 平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.621＝0.62 (dm/L)．思考2 平均膨胀率为r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.梳理f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1Δy ＝f (x 2)－f (x 1) 知识点二思考 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 梳理f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx题型探究例1 解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx＝2Δx ＋4x 1＋3.①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21， ΔyΔx＝21. ②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为 k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为 k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 跟踪训练1 (1)Δx (2)12 34例2 解 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05 m/s.(2)在1≤t ≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h (2)－h (1)2－1＝－8.2 m/s.跟踪训练2 解 (1)在2012年11月至2012年12月间，Δs 变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图可知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率ΔsΔt 较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s A3，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s C 1＝s B －s C ，显然k BC >k AB ，即s B －s C >s B －s A3，所以在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．当堂训练1．2＋Δx 2.0.4π 3.－1 4.[x 3，x 4]5．解 甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154>103， ∴甲企业的生产效益较好．。
高二数学苏教版2019选择性必修第一册教案：平均变化率
5.1.1平均变化率教学目标：1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念；2．理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；3．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解．教学过程：一、情景设置为了弄清气温变化的快慢问题，我们先来观察如图所示的气温曲线图（以3月18日作为第一天）．容易看出点B、C之间的曲线比点A、B之间的曲线更加“陡峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢．问题：如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢？二、学生活动从B到C位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化“陡峭”程度呢？1．探究1：由点B上升到C点必须考察y C－y B的大小，但仅注意到y C－y B的大小能否精确量化BC 段“陡峭”的程度？为什么？2．探究2：还必须考察什么量？3．探究3：曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？三、数学建构1．平均变化率．函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为：1212)()(x x x f x f －－ 说明：（1）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．（2）若设12x x x －＝∆，)()(12x f x f y －＝∆，则)(x f 在[x 1，x 2]平均变化率为xx f x x f x y x x x f x f ∆∆∆∆)()()()(111212－＋＝＝－－． （3）)(x f 在[x 1，x 2]平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的斜率．四、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图1所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为月），（＝－－/kg 1035.35.6 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为月）．（＝＝－－/kg 4.064.26126.8111 2例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙如图2所示，t s 后容器甲中的水的体积0.1()5t V t e -=（单位：3cm ），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V 的平均变化率为 010)0()10(－－V V ≈105839.1－＝－0.3161（cm 3/s ）， 即第一个10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.3161 cm 3/s （负号表示容器甲中的水在减少）．例3 已知函数2)(x x f ＝，分别计算函数()f x 在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数()f x 在[1，3]上的平均变化率为，＝－＝－－421313)1()3(22f f 函数()f x 在[1，2]上的平均变化率为，＝－＝－－311212)1()2(22f f 函数()f x 在[1，1.1]上的平均变化率为，＝－＝－－1.21.011.111.1)1()1.1(22f f 函数()f x 在[1，1.001]上的平均变化率为．＝－＝－－001.2001.01001.11001.1)1()001.1(22f f 例4 已知函数x x g x x f 2)(12)(＝－，＋＝，分别计算函数)(x f 及)(x g 在区间[－3，－1]，[0，5]上的平均变化率．解：函数()f x 在[－3，－1]上的平均变化率为，＝－－－－－－2)3()1()3()1(f f 函数()f x 在[0，5]上的平均变化率为，＝－－205)0()5(f f 函数()g x 在[－3，－1]上的平均变化率为，＝－－－－－－－2)3()1()3()1(g g 函数()g x 在[0，5]上的平均变化率为．＝－－－205)0()5(g g 五、小结1．函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为1212)()(x x x f x f －－； 2．平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？。
高中数学3.1《平均变化率》学案(苏教版选修1-1)
二．数学构建
一般地，给出函数 在区间 上的平均变化率为：
请回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义解释：
数：；
形：。
说明：用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当 很小时，这种量化便由“粗糙”逼迫“精确”。
课题
平均变化率
课型
新授
时间
09/ 9 /
学习目标
1．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型
提供丰富的背景；
2．会求平均变化率。
学习重点
平均变化率的实际意义与数学意义
一、自主学习
一．问题情境
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
问题1：“从A到B的位移是？从B到C的位移是？”
三．自学检测：
1.课本（文）P59（理）P7练习1，结论是。
2.甲、乙两汽车，速度从 分别加速到 和 ，如何评判两车的性能？。
二问题探究
问题1．课本（文）P58（理）P7页例1、例2，并注意小结
（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（ 月）？
（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？
（3）例2中 是一个随时间变化而变化的量， （ ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积 减少的速度？
问题2．课本（文）P58（理）P7例3、例4，并注意小结
（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化。
（2）例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？
（3）你从例4中发现一次函数 在区间 上的平均变化率有什么特点？
苏教版高中数学选修1-1《平均变化率》导学案1
3.1.1平均变化率
【学习目标】
1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程．体会数学的博大精深以及学习数学的意义．
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景．
【课前预习】
1．函数()f x 在区间[x 1 、x 2]上的平均率为 。
2．某市2005年6月20日的最高温度为28℃，6月22日的最高温度为37℃，则这三天的最高温度的变化率为（ ）
A ．5
B ．6
C ．3
D ．4
3．甲年收入为3.6万元，乙月收入为0.35万元，你如何比较和评价甲、乙两人的收入状况？
【课堂研讨】
例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变
化如图所示，试分别计算从出生到第3个
月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平
均变化率。
思考：题 1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？ W(kg) 6 3 9 12
3.5 6.5 8.6 11
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如
图) ，t 秒钟后容器甲中水的体积为
)(5)(31.0cm e t V t 单位：-= ，
试计算第一个10 秒内V 的平均变化率。
例3、已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.01]
例4、已知函数f (x ) = 2x + 1，g (x ) = -2x ，分别计算在下列区间上函数f (x )及g (x )的平均变化率．（1）[-3，-1]； （2）[0，5]． 甲 乙。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.1.1 平均变化率》
《平均变化率》教学设计高二数学李明一、前期分析：二、教学过程设计：本节课以我个人的小故事引入课题，从我读大学时候的体重为140斤，到马坝中学工作8年，涨到体重160斤，再来第一山工作2年体重涨到176斤，这样一个变化的过程，让学生分析各个时间段体重变化的快慢，进而引出这节课的课题“平均变化率”。
学生瞬间被我的体重变化所吸引，然后积极思考，回答我提出的三个问题。
变化情况，吸引学生的求知欲望。
利用层层递进的问题情境，让学生在朴素的生活环境中体会对于“平均变化率”概念的理解。
三、学习目标解读跟随老师解读，结合预习过程中对平均变化率的感知、认识，确定自己本节课的学习要求学生认真阅读目标，明确本节的需要达成的两条学习目标：1 仔细研读教材两遍，用自己的话说出平均变化率的概念，并能从生活中找到两个实例验证；2 通过分析图像，试着求平均变化率，总结求平均变化率的步骤，说出两点数形结合思想的认识。
通过解读学习目标，明确本节课重难点，做到有的放矢。
四、自主探究督促学生：1认真审题，静心思考，独立、迅速完成2找出要讨论的问题，准备讨论独立订正预习案中错误，继续完成探究案，将问题试题标注出来，准备讨论五、高效展示前黑板展示问题1，思考1，问题2，3，思考3后黑板展示例题1，拓展1，例题2，拓展2让学生把核心问题，和核心例题都展示在黑板上，供大家一起分享和提升六、合作探究（探究案和预习案中不能解决的问题）1教师巡视，观察学生存在的问题，及时解决，讨论时深入小组内讨论，了解学生的疑问，帮助其解决问题，并及时做好评价；2关注学生的模糊点和新生成的问题，及时引导学生深入思考；1先根据探究案自主探究，展示同学到黑板同步自主探究注意锻炼学生的独立思考能力，合作探究锻炼学生的表达能力及团队协作精神，同时注意规3教师对学生展示情况进行批阅，标注组间探究时注意的问题，并对展示情况做好评价【预习中学生存在的问题】1、平均变化率的概念和几何意义理解不到位；2、求平均变化率的步骤不规范。
高级中学高中数学(苏教版)选修1-1导学案：3.1.1平均变化率
学科：数学 年级：高二 课题：1-1文科 3.1.1平均变化率主备人： 学生姓名： 得分：一、教学内容：导数（第一课时）3.1.1平均变化率二、教学目标：1.通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2.通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3.培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．三、课前预习;1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s ．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．思考：案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -．（3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线倾斜程度？四、讲解新课1．一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为()()2121f x f x x x --．注意：平均变化率不能脱离区间而言．s2．平均变化率是曲线陡峭程度“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 思考：（1）若设12x x x -=∆，即将x ∆看作是对于1x 的一个增量, )()(12x f x f y -=∆，则)(x f 在[]12,x x 平均变化率为x x f x x f x y x x x f x f ∆-∆+=∆∆=--)()()()(111212．（2）)(x f 在[]12,x x 平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线斜率．3、有关例题例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（kg /月）？ 问题（2）本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积t t V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．例3 已知函数x x g x x f 2)(,12)(-=+=，分别计算在区间],1,3[--]5,0[上， 函数)(x f 及)(x g 的平均变化率．问题 你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评 一次函数b kx y +=在区间],[n m 上的平均变化率等于它的斜率k ．例4 已知函数2)(x x f =，分别计算在下列区间上的平均变化率：①]3,1[ ②]2,1[ ③]1.1,1[ ④]001.1,1[五、课堂练习1．函数y ＝f(x)的平均变化率的几何意义是指函数y ＝f (x)图象上两点， P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线的 ．2.在曲线2y x x =+上取点()1,2P 及它的附近点()1,2Q x y +∆+∆， 那么yx ∆∆为六、课堂小结七、课后作业1．某物体位移公式为s ＝s(t)，从t0至t0＋Δt 这段时间内，下列说法正确的 有________．①(t0＋Δt)－t0称为函数增量； ②t0即为函数增量③Δs ＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数增量； ④Δs Δt 称为函数增量。
苏教版数学高二-【新学案】 选修1-1教学案 平均变化率
3.1.1平均变化率教学过程一、问题情境某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:时间3月18日 4月18日 4月20日日最高气3.5℃18.6℃33.4℃温“气温陡增”这一句生活用语用数学方法如何刻画?二、数学建构问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?解通过讨论,给出函数f(x)在区间上的平均变化率:.概念理解1. 具体计算函数f(x)在区间上的平均变化率可用==,应注意分子、分母的匹配.2. 函数f(x)在区间上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3回到问题1中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.25.从形的角度:比较斜率大小.三、数学运用【例1】设函数y=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:(1) 自变量的增量Δx;(2) 函数的增量Δy;(3) 函数的平均变化率. (见学生用书P41)解(1) Δx=1.1-1=0.1.(2) Δy=f(1.1)-f(1)=1.12-1-(12-1)=0.21.(3) ==2.1求平均变化率时关键在于分清Δx与Δy分别指的是什么.变式甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用5年时间获利10万元,乙用5个月时间获利2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?学生讨论、判断,并且由学生给出理由或举出实例.解甲、乙获利的平均变化率分别为,,因为<,且甲、乙投入相同的资金,所以可以认为乙的经营成果较好.【例2】(教材第69页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间上f(x)及g(x)的平均变化率. (见学生用书P42) 可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.解函数f(x)在上的平均变化率为=2.函数f(x)在上的平均变化率为=2.函数g(x)在上的平均变化率为=-2.函数g(x)在上的平均变化率为=-2.一次函数y=kx+b在区间上的平均变化率就等于斜率k.变式已知某质点的运动方程为s=5t+3,则在时间中,相应的平均速度等于5.(图3)【例3】如图,路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿路灯下方的直路以84m/min的速度从A点走向B点,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)先由学生讨论,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,侧重于理解人影长度的变化速率的意义.解84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,行走时间为x.根据相似三角形的性质,有=,得y=x.人影长度的变化速率v===.几何类应用题需先观察图形,结合图形求解.【例4】已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间上的平均变化率.引导学生利用平均变化率的概念解题.上的平均变化率为=10.在上的平均变化率为=6.在上的平均变化率为=5.变式已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间解在上的平均变化率为=-.【例5】求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.本题与前面几个例题的区别在于由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.解当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为=3+3x0Δx+Δx2.变式求函数f(x)=在区间内的平均变化率.解===.四、课堂练习1. 国庆黄金周七天期间,本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是400万元/天.提示利用平均变化率的概念.2. 函数f(x)=5x+4在区间上的平均变化率是5.提示一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.3. 函数f(x)=x2-1在区间上的平均变化率为3,则m的值为2.提示由=3,得m=2.4. 已知正方形原来的边长为4m,现在边长以2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t到t+1正方形的面积增加了20+8t m2.提示S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t (m2).五、课堂小结1. 函数f(x)在区间上的平均变化率为.2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.。
高中数学选修1-1优质学案5：3.1.1 变化率问题
3.1.1 变化率问题一、学习目标知道平均变化率的定义.会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.二、学习过程情景导入：展示目标:知道平均变化率的定义.会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：vs）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案.精讲精练：例1：过函数y=f（x）=x3图象上两点P（1，1）和Q（1+△x，1+△y）作曲线的割线．（1）求出当△x=0.1时割线的斜率．（2）求y=f（x）=x3在x=x0处的瞬时变化率．例2：已知函数f（x）=2x2+3，分别计算函数f（x）在下列区间上的平均变化率：（1）[2，4]；（2）[2，3]；（3）[2，2.1]；（4）[2，2.001]．有效训练练习：求函数f（x）=x3在区间[x0，x0+△x]的平均变化率．当堂检测1. 求函数f（x）=在区间[x0，x0+△x]的平均变化率．2. 函数y=f（x），自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量△y等于（）A．y=f（x0+△x）B．y=f（x0）+△xC．y=f（x0）•△x D．y=f（x0+△x）﹣f（x0）3. 质点运动规律为s=t2+3，则在时间（3，3+△t）中相应的平均速度为_______________．4、求函数f（x）=ax+b在区间[m，n]上的平均变化率．作业布置学习小结——★参考答案★——：精讲精练：例1：解：（1）当△x=0.1时，1+△x=1.1；故1+△y=1.13=1.331；故k PQ==3.31．（2）===3x02+3x0△x+（△x）2．则f′（x0）==（3x02+3x0△x+（△x）2）=3x02例2：解：（1）函数f（x）在[2，4]上的平均变化率为=12；（2）函数f（x）在[2，3]上的平均变化率为=10；（3）函数f（x）在[2，2.1]上的平均变化率为=8.2；（4）函数f（x）在[2，2.001]上的平均变化率为=8.002．有效训练练习：解：===3x02+3x0△x+△x2．当堂检测1.解：△y=﹣=，∴=．2. D[解析]∵自变量x由x0改变到x0+△x，当x=x0，y=f（x0），当x=x0+△x，y=f（x0+△x），∴△y=f（x0+△x）﹣f（x0），故选D．3. 6+△t[解析]根据平均变化率的公式则在时间（3，3+△t）平均速度为．故[答案]为6+△t．4、解：函数f（x）=ax+b在区间[m，n]上的平均变化率===a．故其平均变化率为a．。
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3.1.1平均变化率
课时目标
1.理解并掌握平均变化率的概念.
2.会求函数在指定区间上的平均变化率.
3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．
1．函数f(x)在区间上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．
2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy
Δx＝
f x2－f x1
x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)
图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．
一、填空题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)
①在上的平均变化率；
①在x0处的变化率；
①在x1处的变化率；
①以上都不对．
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝
________.
4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．
5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．
8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间内相应的平均速度是________．
二、解答题
9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间上的平均变化率．
10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
能力提升
11.
甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？
12．函数f(x)＝x 2＋2x 在上的平均变化率是函数g(x)＝2x －3在上的平均变化率的2倍，求a 的值．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs
与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt
. 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
(1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1
.
3．1.1 平均变化率 知识梳理 1.f x 2－f x 1x 2－x 1 x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f(x 2)－f(x 1) Δy Δx 2．斜率
作业设计
1．①
2．f(x 0＋Δx)－f(x 0)
3．4＋2Δx
解析 Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx)2，
①Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx
＝4＋2Δx. 4.s t ＋Δt －s
t Δt
解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
所以v ＝
Δs Δt ＝s t ＋Δt －s t Δt
. 5．－1
解析 Δy Δx ＝f 3－f 13－1＝1－32＝－1. 6．0.41
7．1
解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0
＝1. 8．4.1
解析 质点在区间内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s 2.1－s 20.1
＝4.1. 9．解 函数f(x)在上的平均变化率为：
f －1－f －3－1－－3
＝[－12－2×－1]－[－3
2－2×－3]2＝－6.
函数f(x)在上的平均变化率为：
f 4－f 24－2＝42－2×4－22－2×22
＝4.
10．解 ①Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝3Δx ＋3(Δx)2＋(Δx)3，
①割线PQ 的斜率
Δy Δx ＝Δx 3＋3Δx 2＋3Δx Δx ＝(Δx)2＋3Δx ＋3.
当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，
则k ＝Δy Δx
＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. ①当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.
11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
12．解 函数f(x)在上的平均变化率为
f a －f 0a －0
＝a 2＋2a a ＝a ＋2. 函数g(x)在上的平均变化率为
g 3－g 23－2＝2×3－3－2×2－31
＝2. ①a ＋2＝2×2，①a ＝2.。