解三角形中的高、中线、角平分线问题

解三角形中的高、中线、角平分线问题
浙江温州龙湾中学2008级学生 王煜坤
指导老师 陈华云
[注]：此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖
在学习了《解三角形》这一章后，我们学会了怎样利用正弦定理和余弦定理来求三角形的边、角等问题。

先让我们来回顾这部分主要内容： 正弦定理：
C c
B b A a sin sin sin =
= 余弦定理：)
3(cos 2)2(cos 2)1(cos 22222
2
2
222C
ab b a c B
ac c a b A
bc c b a -+=-+=-+= 思考1：正弦定理和余弦定理可以互推吗 ①正弦定理⇒余弦定理 设
R C
c
B b A a 2sin sin sin === …
则C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===
2
22222222222222222222222222222222222sin 4)cos sin cos (sin 4]cos cos sin sin 2cos sin cos [sin 4]cos cos sin sin 2)sin 1(sin )sin 1([sin 4)]sin sin 2cos cos sin sin 2sin [sin 4)]sin sin cos (cos sin sin 2sin [sin 4)]
cos(sin sin 2sin [sin 4)cos sin sin 2sin (sin 4cos sin sin 8sin 4sin 4cos 2a A R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R C B C B C B C B R C B C B C B R A C B C B R A C B R C R B R A bc c b ==+=++=+-+-=-++=-++=+++=-+=-+=-+∴
同理B ac c a b cos 22
2
2
-+=；C ab b a c cos 22
2
2
-+= 故“正弦定理⇒余弦定理”成立 ②余弦定理⇒正弦定理
由 （1）+（2） 得B ca A bc c b a b a cos 2cos 222
2
2
2
2
--++=+ 即B a A b c cos cos +=代入（3）得
C ab b a B a A b cos 2)cos cos (222-+=+
⇒C ab b a B A ab B a A b cos 2cos cos 2cos cos 222222-+=++
⇒0)cos cos (cos 2)cos 1()cos 1(2222=+--+-C B A ab B a A b
}
⇒0)]cos(cos [cos 2sin sin 2222=+--+B A B A ab B a A b ⇒0sin sin 2sin sin 2222=-+B A ab B a A b ⇒0)sin sin (2=-B a A b ⇒B a A b sin sin =⇒
B
b
A a sin sin =
同理
C c A a sin sin =；B
b
C c sin sin =
故“余弦定理⇒正弦定理”成立 思考2：三角形的边和高有何关系
如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，h a 、h b 、h c 分别为a 、b 、c 三边上的高。

分析：由余弦定理ac
b
c a B 2cos 2
22-+=
而2
2
2
22)2(1cos 1sin ac
b c a B B -+-=-=
则
))()()((4
1])(][)[(41)2)(2(41)()2(41)2(121sin 2122222222222
22222222c a b c b a c b a c b a c a b b c a b c a ac b c a ac b c a ac ac b c a ac B ac S +-+--+++=---+=+---++=-+-=-+-== :
根据a ah S 21
=
∆，则a
c a b c b a c b a c b a a s h a 2)
)()()((2+-+--+++==
同理b
c a b c b a c b a c b a h b 2)
)()()((+-+--+++=
c
c a b c b a c b a c b a h c 2)
)()()((+-+--+++=
思考3：三角形的边和中线有何关系
如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，ma 、mb 、mc 分别为a 、b 、c 三边上的中线。

a
a
分析：由余弦定理ac
b c a B 2cos 2
22-+=
])(2[4
1244242)2(2)2(cos )2(2)2(2222
22222222222
2222
a c
b b a
c b c a c a ac
b c a c a c a B c a c a m a -+=+-=-+++=-+⋅
⋅-+=⋅⋅-+= 所以222)(221
a c
b m a -+=
同理222)(221b c a m b -+=；222)(22
1
c b a m c -+=
思考4：三角形的边和角平分线有何关系
~
如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，Ta 、Tb 、Tc 分别为∠A 、∠B 、∠C 的角平分线。

分析：设BD 、CD 分别为x 、y 根据三角形内角平分线的性质得
由
y x b c =得y
y x b c b +=+ c
b ab
y a y x +=
∴=+ 由余弦定理ab
c
b a C 2cos 2
2
2
-+=
22
2222
2
2
2
2
2
2
2222
22
22
2222
2
2
2
)())(()2()(]
)
)(()2([)(])()[()
(2)(2)(cos 2c b a c b c b a bc a bc c b c b bc c c b a c b a bc c b b c b bc b c b a c b a c b c b b ab
c b a c b ab b c b ab b C by y b T a +-+++=-+++=-++-++++=
-+⋅+-+++=-+⋅
+⋅-++=-+=
所以c b a c b c b a bc T a +-+++=
)
)((
同理c
a b c a c b a ac T b +-+++=
)
)((；b
a c
b a
c b a ab T c +-+++=
)
)((
通过以上四个思考题，你是否发现还可以利用正弦定理和余弦定理来推导三角形的高、中线、角平分线等问题，它们可以作为正弦定理和余弦定理内容的扩充。

C。